北京2014年高考数学19题深入探究
2014年北京市高考数学试卷及解析(理科)
2014年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分、在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1、（5分）已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A、{0}B、{0，1}C、{0，2}D、{0，1，2}2、（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A、y=B、y=（x﹣1）2C、y=2﹣xD、y=log0.5（x+1）3、（5分）曲线（θ为参数）的对称中心（）A、在直线y=2x上B、在直线y=﹣2x上C、在直线y=x﹣1上D、在直线y=x+1上4、（5分）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A、7B、42C、210D、8405、（5分）设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}为递增数列”的（）A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件6、（5分）若x，y满足，且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（）A、2B、﹣2C、D、﹣7、（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A、S1=S2=S3B、S2=S1且S2≠S3C、S3=S1且S3≠S2D、S3=S2且S3≠S18、（5分）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”、若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”、如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（）A、2人B、3人C、4人D、5人二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9、（5分）复数（）2=、10、（5分）已知向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），则|λ|=、11、（5分）设双曲线C经过点（2，2），且与﹣x2=1具有相同渐近线，则C 的方程为；渐近线方程为、12、（5分）若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n=时，{a n}的前n项和最大、13、（5分）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有种、14、（5分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若f （x）在区间[，]上具有单调性，且f（）=f（）=﹣f（），则f（x）的最小正周期为、三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15、（13分）如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=、（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长、16、（13分）李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）；场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场12212客场1188主场21512客场21312主场3128客场3217主场4238客场41815主场52420客场52512（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；（3）记是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX与的大小（只需写出结论）、17、（14分）如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P﹣ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H、（1）求证：AB∥FG；（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长、18、（13分）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx，x∈[0，]（1）求证：f（x）≤0；（2）若a＜＜b对x∈（0，）上恒成立，求a的最大值与b的最小值、19、（14分）已知椭圆C：x2+2y2=4，（1）求椭圆C的离心率（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论、20、（13分）对于数对序列P：（a1，b1），（a2，b2），…，（a n，b n），记T1（P）=a1+b1，T k（P）=b k+max{T k﹣1（P），a1+a2+…+a k}（2≤k≤n），其中max{T k﹣1（P），a1+a2+…+a k}表示T k（P）和a1+a2+…+a k两个数中最大的数，﹣1（Ⅰ）对于数对序列P：（2，5），（4，1），求T1（P），T2（P）的值；（Ⅱ）记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对（a，b），（c，d）组成的数对序列P：（a，b），（c，d）和P′：（c，d），（a，b），试分别对m=a和m=d两种情况比较T2（P）和T2（P′）的大小；（Ⅲ）在由五个数对（11，8），（5，2），（16，11），（11，11），（4，6）组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5（P）最小，并写出T5（P）的值（只需写出结论）、参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分、在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1、（5分）已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A、{0}B、{0，1}C、{0，2}D、{0，1，2}分析：解出集合A，再由交的定义求出两集合的交集、解答：解：∵A={x|x2﹣2x=0}={0，2}，B={0，1，2}，∴A∩B={0，2}故选：C、点评：本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键、2、（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A、y=B、y=（x﹣1）2C、y=2﹣xD、y=log0.5（x+1）分析：根据基本初等函数的单调性，判断各个选项中函数的单调性，从而得出结论、解答：解：由于函数y=在（﹣1，+∞）上是增函数，故满足条件，由于函数y=（x﹣1）2在（0，1）上是减函数，故不满足条件，由于函数y=2﹣x在（0，+∞）上是减函数，故不满足条件，由于函数y=log0.5（x+1）在（﹣1，+∞）上是减函数，故不满足条件，故选：A、点评：本题主要考查函数的单调性的定义和判断，基本初等函数的单调性，属于基础题、3、（5分）曲线（θ为参数）的对称中心（）A、在直线y=2x上B、在直线y=﹣2x上C、在直线y=x﹣1上D、在直线y=x+1上分析：曲线（θ为参数）表示圆，对称中心为圆心，可得结论、解答：解：曲线（θ为参数）表示圆，圆心为（﹣1，2），在直线y=﹣2x上，故选：B、点评：本题考查圆的参数方程，考查圆的对称性，属于基础题、4、（5分）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A、7B、42C、210D、840分析：算法的功能是求S=7×6×…×k的值，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出S的值、解答：解：由程序框图知：算法的功能是求S=7×6×…×k的值，当m=7，n=3时，m﹣n+1=7﹣3+1=5，∴跳出循环的k值为4，∴输出S=7×6×5=210、故选：C、点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键、5、（5分）设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}为递增数列”的（）A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件分析：根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论、解答：解：等比数列﹣1，﹣2，﹣4，…，满足公比q=2＞1，但{a n}不是递增数列，充分性不成立、若a n=﹣1为递增数列，但q=＞1不成立，即必要性不成立，故“q＞1”是“{a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选：D、点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键、6、（5分）若x，y满足，且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（）A、2B、﹣2C、D、﹣分析：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，当k≥0时，可行域内没有使目标函数z=y﹣x取得最小值的最优解，k＜0时，若直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的左边，z=y﹣x的最小值为﹣2，不合题意，由此结合约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案、解答：解：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，可知直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的右边，故由约束条件作出可行域如图，当y=0，由kx﹣y+2=0，得x=，∴B（﹣）、由z=y﹣x得y=x+z、由图可知，当直线y=x+z过B（﹣）时直线在y轴上的截距最小，即z最小、此时，解得：k=﹣、故选：D、点评：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题、7、（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A、S1=S2=S3B、S2=S1且S2≠S3C、S3=S1且S3≠S2D、S3=S2且S3≠S1分析：分别求出三棱锥在各个面上的投影坐标即可得到结论、解答：解：设A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，），则各个面上的射影分别为A'，B'，C'，D'，在xOy坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，2，0），C'（0，2，0），D'（1，1，0），S1=、在yOz坐标平面上的正投影A'（0，0，0），B'（0，2，0），C'（0，2，0），D'（0，1，），S2=.在zOx坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，0，0），C'（0，0，0），D'（0，1，），S3=，则S3=S2且S3≠S1，故选：D、点评：本题主要考查空间坐标系的应用，求出点对于的投影坐标是解决本题的关键、8、（5分）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”、若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”、如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（）A、2人B、3人C、4人D、5人分析：分别用ABC分别表示优秀、及格和不及格，根据题干中的内容推出文成绩得A，B，C的学生各最多只有1个，继而推得学生的人数、解答：解：用ABC分别表示优秀、及格和不及格，显然语文成绩得A的学生最多只有1个，语文成绩得B得也最多只有一个，得C最多只有一个，因此学生最多只有3人，显然（AC）（BB）（CA）满足条件，故学生最多有3个、故选：B、点评：本题主要考查了合情推理，关键是找到语句中的关键词，培养了推理论证的能力、二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9、（5分）复数（）2=﹣1、分析：由复数代数形式的除法运算化简括号内部，然后由虚数单位i的运算性质得答案、解答：解：（）2=、故答案为：﹣1、点评：本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题、10、（5分）已知向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），则|λ|=、分析：设=（x，y）、由于向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），可得，解出即可、解答：解：设=（x，y）、∵向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），∴=λ（x，y）+（2，1）=（λx+2，λy+1），∴，化为λ2=5、解得、故答案为：、点评：本题考查了向量的坐标运算、向量的模的计算公式、零向量等基础知识与基本技能方法，属于基础题、11、（5分）设双曲线C经过点（2，2），且与﹣x2=1具有相同渐近线，则C 的方程为；渐近线方程为y=±2x、分析：利用双曲线渐近线之间的关系，利用待定系数法即可得到结论、解答：解：与﹣x2=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为﹣x2=m，（m≠0），∵双曲线C经过点（2，2），∴m=，即双曲线方程为﹣x2=﹣3，即，对应的渐近线方程为y=±2x，故答案为：，y=±2x、点评：本题主要考查双曲线的性质，利用渐近线之间的关系，利用待定系数法是解决本题的关键，比较基础、12、（5分）若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n=8时，{a n}的前n项和最大、分析：可得等差数列{a n}的前8项为正数，从第9项开始为负数，进而可得结论、解答：解：由等差数列的性质可得a7+a8+a9=3a8＞0，∴a8＞0，又a7+a10=a8+a9＜0，∴a9＜0，∴等差数列{a n}的前8项为正数，从第9项开始为负数，∴等差数列{a n}的前8项和最大，故答案为：8、点评：本题考查等差数列的性质和单调性，属中档题、13、（5分）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有36种、分析：分3步进行分析：①用捆绑法分析A、B，②计算其中A、B相邻又满足B、C相邻的情况，即将ABC看成一个元素，与其他产品全排列，③在全部数目中将A、B相邻又满足A、C相邻的情况排除即可得答案、解答：解：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有种方法，而A、B可交换位置，所以有2=48种摆法，又当A、B相邻又满足A、C相邻，有2=12种摆法，故满足条件的摆法有48﹣12=36种、故答案为：36、点评：本题考查分步计数原理的应用，要优先分析受到限制的元素，如本题的A、B、C、14、（5分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若f （x）在区间[，]上具有单调性，且f（）=f（）=﹣f（），则f（x）的最小正周期为π、分析：由f（）=f（）求出函数的一条对称轴，结合f（x）在区间[，]上具有单调性，且f（）=﹣f（）可得函数的半周期，则周期可求、解答：解：由f（）=f（），可知函数f（x）的一条对称轴为x=，则x=离最近对称轴距离为、又f（）=﹣f（），则f（x）有对称中心（，0），由于f（x）在区间[，]上具有单调性，则≤T⇒T≥，从而=⇒T=π、故答案为：π、点评：本题考查f（x）=Asin（ωx+φ）型图象的形状，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，是中档题、三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15、（13分）如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=、（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长、分析：根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论、解答：解：（1）在△ABC中，∵cos∠ADC=，∴sin∠ADC====，则sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=sin∠ADC•cosB﹣cos∠ADC•sinB=×﹣=、（2）在△ABD中，由正弦定理得BD==，在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+CB2﹣2AB•BCcosB=82+52﹣2×8×=49，即AC=7、点评：本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大、16、（13分）李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）；场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场12212客场1188主场21512客场21312主场3128客场3217主场4238客场41815主场52420客场52512（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；（3）记是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX与的大小（只需写出结论）、分析：（1）根据概率公式，找到李明在该场比赛中超过0.6的场次，计算即可，（2）根据互斥事件的概率公式，计算即可、（3）求出平均数和EX，比较即可、解答：解：（1）设李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6为事件A，由题意知，李明在该场比赛中超过0.6的场次有：主场2，主场3，主场5，客场2，客场4，共计5场所以李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率P（A）=，（2）设李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为事件B，同理可知，李明主场命中率超过0.6的概率，客场命中率超过0.6的概率，故P（B）=P1×（1﹣P2）+P2×（1﹣P1）=；（3）=（12+8+12+12+8+7+8+15+20+12）=11.4EX=点评：本题主要考查了概率的计算、数学期望，平均数，互斥事件的概率，属于中档题、17、（14分）如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P﹣ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H、（1）求证：AB∥FG；（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长、分析：（1）运用线面平行的判定定理和性质定理即可证得；（2）由于PA⊥底面ABCDE，底面AMDE为正方形，建立如图的空间直角坐标系Axyz，分别求出A，B，C，E，P，F，及向量BC的坐标，设平面ABF的法向量为n=（x，y，z），求出一个值，设直线BC与平面ABF所成的角为α，运用sinα=|cos|，求出角α；设H（u，v，w），再设，用λ表示H的坐标，再由n=0，求出λ和H的坐标，再运用空间两点的距离公式求出PH的长、解答：（1）证明：在正方形AMDE中，∵B是AM的中点，∴AB∥DE，又∵AB⊄平面PDE，∴AB∥平面PDE，∵AB⊂平面ABF，且平面ABF∩平面PDE=FG，∴AB∥FG；（2）解：∵PA⊥底面ABCDE，∴PA⊥AB，PA⊥AE，如图建立空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（2，1，0），P（0，0，2），E（0，2，0），F（0，1，1），，设平面ABF的法向量为=（x，y，z），则即，令z=1，则y=﹣1，∴=（0，﹣1，1），设直线BC与平面ABF所成的角为α，则sinα=|cos＜，＞|=||=，∴直线BC与平面ABF所成的角为，设H（u，v，w），∵H在棱PC上，∴可设，即（u，v，w﹣2）=λ（2，1，﹣2），∴u=2λ，v=λ，w=2﹣2λ，∵是平面ABF 的法向量，∴=0，即（0，﹣1，1）•（2λ，λ，2﹣2λ）=0，解得λ=，∴H（），∴PH==2、点评：本题主要考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面平行、垂直的判定和性质，同时考查直线与平面所成的角的求法，考查运用空间直角坐标系求角和距离，是一道综合题、18、（13分）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx，x∈[0，]（1）求证：f（x）≤0；（2）若a＜＜b对x∈（0，）上恒成立，求a的最大值与b的最小值、分析：（1）求出f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，判定出在区间∈（0，）上f′（x）=﹣xsinx＜0，得f（x）在区间∈[0，]上单调递减，从而f（x）≤f （0）=0、（2）当x＞0时，“＞a”等价于“sinx﹣ax＞0”，“＜b”等价于“sinx﹣bx ＜0”构造函数g（x）=sinx﹣cx，通过求函数的导数讨论参数c求出函数的最值，进一步求出a，b的最值、解答：解：（1）由f（x）=xcosx﹣sinx得f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，此在区间∈（0，）上f′（x）=﹣xsinx＜0，所以f（x）在区间∈[0，]上单调递减，从而f（x）≤f（0）=0、（2）当x＞0时，“＞a”等价于“sinx﹣ax＞0”，“＜b”等价于“sinx﹣bx ＜0”令g（x）=sinx﹣cx，则g′（x）=cosx﹣c，当c≤0时，g（x）＞0对x∈（0，）上恒成立，当c≥1时，因为对任意x∈（0，），g′（x）=cosx﹣c＜0，所以g（x）在区间[0，]上单调递减，从而，g（x）＜g（0）=0对任意x∈（0，）恒成立，当0＜c＜1时，存在唯一的x0∈（0，）使得g′（x0）=cosx0﹣c=0，g（x）与g′（x）在区间（0，）上的情况如下：x（0，x0）x0（x0，）g′（x）+﹣g（x）↑↓因为g（x）在区间（0，x0）上是增函数，所以g（x0）＞g（0）=0进一步g（x）＞0对任意x∈（0，）恒成立，当且仅当综上所述当且仅当时，g（x）＞0对任意x∈（0，）恒成立，当且仅当c≥1时，g（x）＜0对任意x∈（0，）恒成立，所以若a＜＜b对x∈（0，）上恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1点评：本题考查利用导数求函数的单调区间；利用导数求函数的最值；考查解决不等式问题常通过构造函数解决函数的最值问题，属于一道综合题、19、（14分）已知椭圆C：x2+2y2=4，（1）求椭圆C的离心率（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论、分析：（1）化椭圆方程为标准式，求出半长轴和短半轴，结合隐含条件求出半焦距，则椭圆的离心率可求；（2）设出点A，B的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x0≠0，由OA⊥OB得到，用坐标表示后把t用含有A点的坐标表示，然后分A，B的横坐标相等和不相等写出直线AB的方程，然后由圆x2+y2=2的圆心到AB的距离和圆的半径相等说明直线AB与圆x2+y2=2相切、解答：解：（1）由x2+2y2=4，得椭圆C的标准方程为、∴a2=4，b2=2，从而c2=a2﹣b2=2、因此a=2，c=、故椭圆C的离心率e=；（2）直线AB与圆x2+y2=2相切、证明如下：设点A，B的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x0≠0、∵OA⊥OB，∴，即tx0+2y0=0，解得、当x0=t时，，代入椭圆C的方程，得、故直线AB的方程为x=，圆心O到直线AB的距离d=、此时直线AB与圆x2+y2=2相切、当x0≠t时，直线AB的方程为，即（y0﹣2）x﹣（x0﹣t）y+2x0﹣ty0=0、圆心O到直线AB的距离d=、又，t=、故=、此时直线AB与圆x2+y2=2相切、点评：本题考查椭圆的简单几何性质，考查了圆与圆锥曲线的综合，训练了由圆心到直线的距离判断直线和圆的位置关系，体现了分类讨论的数学思想方法，考查了计算能力和逻辑思维能力，是压轴题、20、（13分）对于数对序列P：（a1，b1），（a2，b2），…，（a n，b n），记T1（P）=a1+b1，T k（P）=b k+max{T k﹣1（P），a1+a2+…+a k}（2≤k≤n），其中max{T k﹣1（P），a1+a2+…+a k}表示T k（P）和a1+a2+…+a k两个数中最大的数，﹣1（Ⅰ）对于数对序列P：（2，5），（4，1），求T1（P），T2（P）的值；（Ⅱ）记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对（a，b），（c，d）组成的数对序列P：（a，b），（c，d）和P′：（c，d），（a，b），试分别对m=a和m=d两种情况比较T2（P）和T2（P′）的大小；（Ⅲ）在由五个数对（11，8），（5，2），（16，11），（11，11），（4，6）组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5（P）最小，并写出T5（P）的值（只需写出结论）、分析：（Ⅰ）利用T1（P）=a1+b1，T k（P）=b k+max{T k﹣1（P），a1+a2+…+a k}（2≤k ≤n），可求T1（P），T2（P）的值；（Ⅱ）T2（P）=max{a+b+d，a+c+d}，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}，分类讨论，利用新定义，可比较T2（P）和T2（P′）的大小；（Ⅲ）根据新定义，可得结论、解答：解：（Ⅰ）T1（P）=2+5=7，T2（P）=1+max{T1（P），2+4}=1+max{7，6}=8；（Ⅱ）T2（P）=max{a+b+d，a+c+d}，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}、当m=a时，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}=c+d+b，∵a+b+d≤c+d+b，且a+c+d≤c+b+d，∴T2（P）≤T2（P′）；当m=d时，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}=c+a+b，∵a+b+d≤c+a+b，且a+c+d≤c+a+d，∴T2（P）≤T2（P′）；∴无论m=a和m=d，T2（P）≤T2（P′）；（Ⅲ）数对（4，6），（11，11），（16，11），（11，8），（5，2），T5（P）最小；T1（P）=10，T2（P）=26；T3（P）42，T4（P）=50，T5（P）=52点评：本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，正确理解与运用新定义是解题的关键。
2014年北京高考word版解析数学理答案
2014北京高考（理科）数学题解析1．集合{}{}2|2002A x x x =-==，．故{}02AB =，，选C ．2． A．y 在[)1-+∞，上为增函数，符合题意． B ．2(1)y x =-在(01)，上为减函数，不合题意． C ．2x y -=为()-∞+∞，上的减函数，不合题意． D ．0.5log (1)y x =+为(1)-+∞，上的减函数，不合题意． 故选A ．3． 参数方程1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩所表示的曲线为圆心在(12)-，，半径为1的圆．其对称中心为圆心(12)-，．逐个代入选项可知，(12)-，在直线2y x =-上，即选项B ． 4． 当m 输入的7m =，3n =时，判断框内的判断条件为5k <．故能进入循环的k 依次为7，6，5．顺次执行S S k =⋅，则有765210S =⋅⋅=， 故选C ． 5． D对于等比数列{}n a ，若1q >，则当10a <时有{}n a 为递减数列． 故“1q >”不能推出“{}n a 为递增数列”．若{}n a 为递增数列，则{}n a 有可能满足10a <且01q <<，推不出1q >． 综上，“1q >”为“{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件，即选D ． 6． D若0k ≥，z y x =-没有最小值，不合题意．若0k <，则不等式组所表示的平面区域如图所示．由图可知，z y x =-在点20k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，处取最小值．故204k ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，解得12k =-，即选项D 正确．7． D （23S S =且13S S ≠）D ABC -在xOy 平面上的投影为ABC △，故12S =， 设D 在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2D 和3D ，则D AB C -在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2OCD △和3OAD △．∵(201D ，，(310D ，．故23S S =综上，选项D 正确． 8． B用ABC 分别表示优秀、及格和不及格。
2014年北京市高考理科数学试卷及答案解析(word版)
2014年北京高考数学（理科）试题一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则AB =( ).{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）.1A y x =+ 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上.C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上4.当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）.7A .42B .210C .840D5.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）.2A .2B - 1.2C 1.2D -7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(2D ，若1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积，则（ ）（A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不 低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样 的.问满足条件的最多有多少学生（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9.复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________.10.已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则λ=________.11.设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________.12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大.13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种. 14. 设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2,6[ππ上具有单调性，且 ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________.三．解答题（共6题，满分80分）15. （本小题13分）如图，在ABC ∆中，8,3==∠AB B π，点D 在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD （1）求BAD ∠sin（2）求AC BD ,的长16. （本小题13分）.李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率. （2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过6.0，一 场不超过6.0的概率.（3）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明 在这比赛中的命中次数，比较)(X E 与x 的大小（只需写出结论）17.（本小题14分）如图，正方形AMDE 的边长为2，C B ,分别为MD AM ,的中点，在五棱锥ABCDE P -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PC PD ,分别交于点H G ,. （1）求证：FG AB //；（2）若⊥PA 底面ABCDE ，且PE AF ⊥，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并 求线段PH 的长.18.（本小题13分）已知函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈，（1）求证：()0f x ≤； （2）若sin xa b x<<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值.19.（本小题14分） 已知椭圆22:24C xy +=，（1）求椭圆C 的离心率. （2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.20.（本小题13分）对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b ，记111()T P a b =+，112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤，其中112max{(),}k k T P a a a -+++表示1()k T P -和12k a a a +++两个数中最大的数，（1）对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值.（2）记m 为,,,a b c d 四个数中最小值，对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P a b c d ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小.（3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.（只需写出结论）.2014北京高考（理科）数学题解析1．集合{}{}2|2002A x x x =-==，．故{}02AB =，，选C ．2． A ．1y x =+[)1-+∞，上为增函数，符合题意． B ．2(1)y x =-在(01)，上为减函数，不合题意． C ．2x y -=为()-∞+∞，上的减函数，不合题意． D ．0.5log (1)y x =+为(1)-+∞，上的减函数，不合题意． 故选A ．3． 参数方程1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩所表示的曲线为圆心在(12)-，，半径为1的圆．其对称中心为圆心(12)-，．逐个代入选项可知，(12)-，在直线2y x =-上，即选项B ．4． 当m 输入的7m =，3n =时，判断框内的判断条件为5k <．故能进入循环的k 依次为7，6，5．顺次执行S S k =⋅，则有765210S =⋅⋅=，故选C ． 5．D对于等比数列{}n a ，若1q >，则当10a <时有{}n a 为递减数列． 故“1q >”不能推出“{}n a 为递增数列”．若{}n a 为递增数列，则{}n a 有可能满足10a <且01q <<，推不出1q >． 综上，“1q >”为“{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件，即选D ． 6．D若0k ≥，z y x =-没有最小值，不合题意． 若0k <，则不等式组所表示的平面区域如图所示．由图可知，z y x =-在点20k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，处取最小值．故204k ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，解得12k =-，即选项D 正确．7．D （23S S =且13S S ≠）D ABC -在xOy 平面上的投影为ABC △，故12S =，设D 在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2D 和3D ，则D ABC -在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2OCD △和3OAD △．∵(2012D ，，，(3102D ，，．D 1O D 3D 2DCB A zyx +y -2=0-2kkx -y +2=022O y x故232S S == 综上，选项D 正确． 8．B用ABC 分别表示优秀、及格和不及格。
2014年高考北京文科数学试题及答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）【2014年北京，文1，5分】若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则A B =I （ ）（A ）{}0,1,2,3,4 （B ）{}0,4 （C ）{}1,2 （D ）{}3 【答案】C【解析】因为{1,2}A B =I ，故选C ．【点评】本题考查交集及其运算，是基础题． （2）【2014年北京，文2，5分】下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）（A ）x y e -= （B ）y x = （C ）ln y x = （D ）y x =【答案】B【解析】对于选项A ，在R 上是减函数；选项C 的定义域为),0(+∞；选项D ，在)0,(-∞上是减函数，故选B ． 【点评】本题主要考查函数定义域和单调性的判断，比较基础．（3）【2014年北京，文3，5分】已知向量()2,4a =r ，()1,1b =-r，则2a b -=r r （ ）（A ）()5,7 （B ）()5,9 （C ）()3,7（D ）()3,9【答案】A【解析】因为2(4,8)a =r，所以2(4,8)(1,1)(5,7)a b -=--=r r ，故选A ． 【点评】本题考查平面向量的数乘及坐标减法运算，是基础的计算题． （4）【2014年北京，文4，5分】执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）（A ）1 （B ）3 （C ）7 （D ）15 【答案】C【解析】当0k =时，1S =；当1k =时，123S =+=；当2k =时，347S =+=；当3k =时，输出7S =，故选C ．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．（5）【2014年北京，文5，5分】设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）（A ）充分必要条件 （B ）必要而不必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分不必要条件 【答案】D【解析】若0,2a b ==-，则22a b <，故不充分； 若2,0a b =-=，则22a b >，而a b <，故不必要，故选D ． 【点评】判断充要条件的方法是：①若p q ⇒为真命题且q p ⇒为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件； ②若p q ⇒为假命题且q p ⇒为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件； ③若p q ⇒为真命题且q p ⇒为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④若p q ⇒为假命题且q p ⇒为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q的关系．⑥涉及不等式平方大小的比较问题，举反例不失为一种有效的方法．（6）【2014年北京，文6，5分】已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ）（A ）()0,1 （B ）()1,2 （C ）()2,4 （D ）()4,+∞ 【答案】C【解析】因为3(2)410,(4)202f f =->=-<，所以由根的存在性定理可知，故选A ． 【点评】本题考查还是零点的判断，属基础题．（7）【2014年北京，文7，5分】已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=o ，则m 的最大值为（ ）（A ）7 （B ）6 （C ）5 （D ）4 【答案】B【解析】由题意知，点P 在以原点()0,0为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两个圆有交点即可，所以15m -=，故选B ．【点评】本题主要直线和圆的位置关系，求得圆C 上的点到点O 的距离的最大值为6，是解题的关键，属于中档题．（8）【2014年北京，文8，5分】加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．咋特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）（A ）3.50分钟 （B ）3.75分钟 （C ）4.00分钟 （D ）4.25分钟 【答案】B【解析】由图形可知，三点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)都在函数2p at bt c =++的图象上，所以930.71640.82550.5a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得0.2, 1.5,2a b c =-==-．2215130.2 1.520.2()416p t t t =-+-=--+，当153.754t ==时，p 取最大值，故选B ．【点评】本题考查了二次函数模型的应用，考查利用二次函数的图象与性质求函数的最值问题，确定函数模型是关键．第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分． （9）【2014年北京，文9，5分】若()()i i 12i x x R +=-+∈，则x = ． 【答案】2【解析】由题意知：i 112i x -=-+，所以由复数相等的定义知2x =． 【点评】本题考查复数相等的充要条件，属基础题．（10）【2014年北京，文10，5分】设双曲线C的两个焦点为()，)，一个顶点式()1,0，则C 的方程为 ． 【答案】221x y -=【解析】由题意知：1c a ==，所以2221b c a =-=，又因为双曲线的焦点在x 轴上，所以C 的方程为221x y -=．【点评】本题考查双曲线方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题． （11）【2014年北京，文11，5分】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为______．【答案】【解析】由三视图可知：该几何体为一条侧棱垂直底面的三棱锥，底面为边长为2的等边三角形，棱锥的高为2=．【点评】本题考查点、线、面间的距离计算，考查空间图形的三视图，考查学生的空间想象能力，考查学生分析解决问题的能力． （12）【2014年北京，文12，5分】在ABC ∆中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ；sin A = ．【答案】2【解析】由余弦定理得：22212cos 52244c a b ab C =+-=-⨯⨯=，故2c =；因为4417cos 2228A +-==⨯⨯，所以sin A =正（主）视图【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．（13）【2014年北京，文13，5分】若x 、y 满足11010y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则z y =+的最小值为_______．【答案】1【解析】画出不等式组表示的平面区域，可知区域为三角形，平移直线z y =+可得，当直线经过两条直线1y =与10x y +-=的交点()0,1时，z 取得最小值1．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． （14）【2014年北京，文14，5分】顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成则最短交货期为 工作日．【答案】42【解析】因为第一件进行粗加工时，工艺师什么都不能做，所以最短交货期为6152142++=天． 【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 三、解答题：共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）【2014年北京，文15，13分】已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -为等比数列．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得41123333a a d --===， 所以()()11312n a a n d n n =+-==L ，，．设等比数列{}n n b a -的公比为q ， 由题意得344112012843b a q b a --===--，解得2q =．所以()11112n n n n b a b a q ---=-=． （2）由（1）知()13212n n b n n -=+=L ，，．数列{}3n 的前n 项和为()312n n +， 数列{}12n -的前n 项和为1212112n n -=--×．所以，数列{}n b 的前n 项和为()31212n n n ++-．【点评】本题主要考查学生对等差数列及等比数列的通项公式和前n 项和公式的应用，考查学生的基本的运算能力，属基础题．（16）【2014年北京，文16，13分】函数()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）写出()f x 的最小正周期及图中0x 、0y 的值； （2）求()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．解：（1）()f x 的最小正周期为π，07π6x =．03y =．（2）因为ππ212x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，，所以π5π2066x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，．于是当π206x +=，即π12x =-时，()f x 取得最大值0；当ππ262x +=-，即π3x =-时，()f x 取得最小值3-．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，属基础题． （17）【2014年北京，文17，14分】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥， 12AA AC ==，E 、F 分别为11A C 、BC 的中点．（1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ；（2）求证：1//C F 平面ABE ；（3）求三棱锥E ABC -的体积． 解：（1）在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥底面ABC ．所以1BB AB ⊥．又因为AB BC ⊥． 所以AB ⊥平面11B BCC ．所以平面ABE ⊥平面11B BCC ．（2）取AB 中点G ，连结EG ，FG ．因为E ，F 分别是11A C ，BC 的中点，所以FG AC ∥，且12FG AC =．因为11AC AC ∥，且11AC AC =，所以1FG EC ∥，且1FG EC =．所以四边形1FGEC 为平行四边形．所以1C F EG ∥． 又因为EG ⊂平面ABE ，1C F ⊄平面ABE ，所以1C F ∥平面ABE ． （3）因为12AA AC ==，1BC =，AB BC ⊥，所以AB ==所以三棱锥E ABC -的体积111112332ABC V S AA =⋅=⨯⨯=△．【点评】本题考查线面平行、垂直的证明，考查三棱锥E ﹣ABC 的体积的计算，正确运用线面平行、垂直的判定定理是关键．（18）【2014年北京，文18，13分】从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图： （1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（2）求频率分布直方图中的a ，b 的值； （3）假设同一组中的每个数据可用该组区间 的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）． 解：（1）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时 间不少于12小时的学生共有62210++=名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1010.9100-=．从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9．（2）课外阅读时间落在组[46)，的有17人，频率为0.17，所以0.170.0852a ===频率组距．课外阅读时间落在组[810)，的有25人，频率为0.25，所以0.250.1252b ===频率组距．（3）样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组． 【点评】本题考查了频率分布表与频率分布直方图，再频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=频数样本容量． （19）【2014年北京，文19，14分】已知椭圆22:24C x y +=．（1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在直线2y =，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值．解：（1）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=．所以24a =，22b =，从而2222c a b =-=．因此2a =，c =C的离心率c e a ==．C 1B 1A 1FE CBAG C 1B 1A 1FE CBA阅读时间频数（2）设点A ，B 的坐标分别为()2t ，，()00x y ，，其中00x ≠．因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=u u u r u u u r，即0020tx y +=，解得002y t x =-．又22024x y +=，所以()()222002AB x t y =-+- ()22000022y x y x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭2220002044y x y x =+++()2202002024442x x x x --=+++()22002084042x x x =++<≤． 因为()22002084042x x x +<≥≤，且当204x =时等号成立，所以28AB ≥． 故线段AB长度的最小值为【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． （20）【2014年北京，文20，13分】已知函数3()23f x x x =-．（1）求()f x 在区间[2,1]-上的最大值；（2）若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围；（3）问过点(1,2),(2,10),(0,2)A B C -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切？（只需写出结论）．解：（1）由()323f x x x =-得()263f x x '=-．令()0f x '=，得x =或x =．因为()210f -=-，f ⎛= ⎝⎭()11f f ==-⎝⎭，所以()f x 在区间[]21-，上的最大值为f ⎛= ⎝⎭（2）设过点()1P t ，的直线与曲线()y f x =相切于点()00x y ，，则300023y x x =-，切线斜率2063k x =-， 所以切线方程为()20063y y x -=-()0x x -，()()20631t y xx -=--．整理得32004630x x t -++=． 设()32463g x x x t =-++，则“过点()1P t ，存在3条直线与曲线()y f x =相切”等价于“()g x 有3个不同零点”．()()21212121g x x x x x '=-=-． ()g x 与g x '的情况如下：所以，g 当(0)30g t =+≤，即3t -≤时，此时()g x 在区间(]1-∞，和(1)+∞，上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点． 当(1)10g t =+≥，即1t -≥时，此时()g x 在区间(0)-∞，和[)0+∞，上分别至多有1个零点， 所以()g x 至多有2个零点．当()00g >且()10g <，即31t -<<-时，因为()()1702110g t g t -=-<=+>，，所以()g x 分别在 区间[)10-，，[)01，和[)12，上恰有1个零点．由于()g x 在区间()0-∞，和()1+∞，上单调， 所以()g x 分别在区间()0-∞，和[)1-∞，上恰有1个零点．综上可知，当过点()1P t ，存在3条直线与曲线()y f x =相切时，t 的取值范围是()31--，． （3）过点()12A -， 存在3条直线与曲线()y f x =相切；过点()210B ，存在2条直线与曲线()y f x =相切；过点()02C ， 存在1条直线与曲线()y f x =相切．【点评】本题主要考查利用导数求切线方程及判断函数的单调性求最值等知识，考查转化划归思想及分类讨论思想的运用能力和运算能力，属难题．。
2014北京文19 圆锥曲线大题及答案
2014北京文19．（14分）（2014•北京）已知椭圆C：x2+2y2=4．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．
：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
（Ⅰ）椭圆C：x2+2y2=4化为标准方程为，求出a，c，即可求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）先表示出线段AB长度，再利用基本不等式，求出最小值．
解答：
解：（Ⅰ）椭圆C：x2+2y2=4化为标准方程为，
∴a=2，b=，c=，
∴椭圆C的离心率e==；
（Ⅱ）设A（t，2），B（x0，y0），x0≠0，则
∵OA⊥OB，
∴=0，
∴tx0+y0=0，∴t=﹣，
∵，
∴|AB|2=（x0﹣t）2+（y0﹣2）2=+4≥4+4=8，
当且仅当，即x02=4时等号成立，
∴线段AB长度的最小值为2．
点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
北京高考圆锥曲线第1 页共1 页。
2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(文科)—北京卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试北京卷文科数学本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟，。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则AB =（ ）A.{}0,1,2,3,4B.{}0,4C.{}1,2D.{}3 2.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.x y e -=B.y x =C.ln y x =D.y x = 3.已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,9 4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A.1 D.15输出5.设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分不必要条件6.已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,+∞7.已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.48.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟第2部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2014年高考真题(北京卷)数学(理科) 答案解析版
.
【答案】 5
【解析】|b|= 22 + 12 =
5,由λa+b=0,得 b=-λa,故|b|=|-λa|=|λ||a|,所以|λ|=||
| |
=
5 1
=
5.
2
11.(2014 北京,理 11)设双曲线 C 经过点(2,2),且与 4 -x2=1 具有相同渐近线,则 C 的方程为
程为
.
2
2
【答案】
3
( ).
A.2 人
B.3 人
C.4 人
D.5 人
【答案】B
【解析】用 A,B,C 分别表示优秀、及格和不及格.
显然,语文成绩得 A 的学生最多只有一人,
语文成绩得 B 的也最多只有 1 人,得 C 的也最多只有 1 人,
所以这组学生的成绩为(AC),(BB),(CA)满足条件,故学生最多为 3 人.
场 2,客场 4.
所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过 0.6 的概率是 0.5.
(2)设事件 A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”,事件 B 为“在随机选择的一场
客场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”,事件 C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一
第2页共7页
第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9.(2014 北京,理 9)复数
1+i 1-i
2
=
.
【答案】-1
【解析】1+i
1-i
=
(1+i)2 (1-i)(1+i)
=
22i=i,所以
2014年北京高考理科数学试题逐题详解 (纯word解析版)
2014年北京高考理科数学试题逐题详解 （纯word 解析版）一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）【2014年北京卷（理01）】已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则AB =( ).{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D【答案】C【解析】∵A={x|x 2﹣2x=0}={0，2}，B={0，1，2}，∴A ∩B={0，2}故选C【2014年北京卷（理02）】下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）.1A y x =+ 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+【答案】A【解析】解：由于函数y=在（﹣1，+∞）上是增函数，故满足条件，由于函数y=（x ﹣1）2在（0，1）上是减函数，故不满足条件，由于函数y=2﹣x在（0，+∞）上是减函数，故不满足条件，由于函数y=log 0.5（x+1）在（﹣1，+∞）上是减函数，故不满足条件， 故选：A【2014年北京卷（理03）】曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上【答案】B 【解析】曲线（θ为参数）表示圆，圆心为（﹣1，2），在直线y=﹣2x 上，【2014年北京卷（理04）】当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）.7A .42B .210C .840D【答案】C【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求S=7×6×…×k 的值，当m=7，n=3时，m ﹣n+1=7﹣3+1=5，∴跳出循环的k 值为4， ∴输出S=7×6×5=210．【2014年北京卷（理05）】设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】等比数列﹣1，﹣2，﹣4，…，满足公比q=2＞1，但“{a n }”不是递增数列，充分性不成立．若a n =﹣1为递增数列，但q=＞1不成立，即必要性不成立，故“q ＞1”是“{a n }”为递增数列的既不充分也不必要条件，故选：D【2014年北京卷（理06）】若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）.2A .2B - 1.2C 1.2D -【答案】D【解析】由约束条件作出可行域如图，由kx ﹣y+2=0，得x=，∴B （﹣）．由z=y ﹣x 得y=x+z ．由图可知，当直线y=x+z 过B （﹣）时直线在y 轴上的截距最小，即z 最小．此时，解得：k=﹣．故选：D【2014年北京卷（理07）】在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()1,1,2D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）（A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠【答案】D 【解析】设A （2，0，0），B （2，2，0），C （0，2，0），D （1，1，），则各个面上的射 影分别为A'，B'，C'，D'，在xOy 坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，2，0），C'（0，2，0），D'（1，1，0），S 1=．在yOz 坐标平面上的正投影A'（0，0，0），B'（0，2，0），C'（0，2，0），D'（0，1，），S 2=.在zOx 坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，0，0），C'（0，0，0），D'（1，0，），S 3=，则S 3=S 2且S 3≠S 1，故选：D【2014年北京卷（理08）】有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不 低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的.问满足条件的最多有多少学生（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5【答案】B【解析】用ABC 分别表示优秀、及格和不及格，显然语文成绩得A 的学生最多只有1个，语文成绩得B 得也最多只有一个，得C 最多只有一个，因此学生最多只有3人， 显然（AC ）（BB ）（CA ）满足条件，故学生最多有3个．故选：B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）【2014年北京卷（理09）】复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________.【答案】﹣1 【解析】（）2=．故答案为：﹣1【2014年北京卷（理10）】已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则λ=________.【答案】【解析】设=（x ，y ）．∵向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R ），∴=λ（x ，y ）+（2，1）=（λx+2，λy+1），∴，化为λ2=5．解得．故答案为：【2014年北京卷（理11）】设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________. 【答案】y=±2x 【解析】与﹣x 2=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为﹣x 2=m ，（m ≠0），∵双曲线C 经过点（2，2），∴m=，即双曲线方程为﹣x 2=﹣3，即，对应的渐近线方程为y=±2x ，故答案为：，y=±2x【2014年北京卷（理12）】若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大.【答案】8【解析】由等差数列的性质可得a 7+a 8+a 9=3a 8＞0，∴a 8＞0，又a 7+a 10=a 8+a 9＜0，∴a 9＜0，∴等差数列{a n }的前8项为正数，从第9项开始为负数，∴等差数列{a n }的前8项 和最大，故答案为：8【2014年北京卷（理13）】把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种.【答案】36【解析】根据题意，分3步进行分析：①、产品A 与产品B 相邻，将AB 看成一个整体，考虑AB 之间的顺序，有A 22=2种情况，②、将AB 与剩余的2件产品全排列，有A 33=6种情况，③、产品A 与产品C 不相邻，C 有3个空位可选，即有3种情况， 故不同的摆法有12×3=36种【2014年北京卷（理14）】 设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在学科网区间]2,6[ππ上具有单调性，且 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________. 【答案】π 【解析】由f （）=f （），可知函数f （x ）的一条对称轴为x=，则x=离最近对称轴距离为．又f （）=﹣f （），且f （x ）在区间[，]上具有单调性，∴x=离最近对称轴的距离也为．函数图象的大致形状如图，∴．则T=π．故答案为：π三．解答题（共6题，满分80分）【2014年北京卷（理15）】如图，在ABC ∆中，8,3==∠AB B π，点D 在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD （1）求BAD ∠sin （2）求AC BD ,的长解：（I ）在ADC ∆中，因为17COS ADC ∠=，所以43sin 7ADC ∠=。
2014年北京市高考理科数学试卷及答案解析(word版)
2014年北京高考数学（理科）试题一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则AB =( ).{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）.A y 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+ 3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上4.当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）.7A .42B .210C .840D5.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）.2A .2B - 1.2C 1.2D -7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(D ，若1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积，则（ ）（A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不 低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样 的.问满足条件的最多有多少学生（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9.复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________.10.已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则λ=________.11.设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________.12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大.13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种. 14. 设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2,6[ππ上具有单调性，且 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________. 三．解答题（共6题，满分80分）15. （本小题13分）如图，在ABC ∆中，8,3==∠AB B π，点D 在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD（1）求BAD ∠sin （2）求AC BD ,的长16. （本小题13分）.李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率. （2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过6.0，一 场不超过6.0的概率.（3）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明 在这比赛中的命中次数，比较)(X E 与x 的大小（只需写出结论）17.（本小题14分）如图，正方形AMDE 的边长为2，C B ,分别为MD AM ,的中点，在五棱锥ABCDE P -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PC PD ,分别交于点H G ,. （1）求证：FG AB //；（2）若⊥PA 底面ABCDE ，且PE AF ⊥，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并 求线段PH 的长.18.（本小题13分）已知函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈，（1）求证：()0f x ≤；（2）若sin x a b x<<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值.19.（本小题14分） 已知椭圆22:24C xy +=，（1）求椭圆C 的离心率.（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.20.（本小题13分）对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b ，记111()T P a b =+，112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤，其中112max{(),}k k T P a a a -+++表示1()k T P -和12k a a a +++两个数中最大的数，（1）对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值.（2）记m 为,,,a b c d 四个数中最小值，对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P a b c d ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小.（3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.（只需写出结论）.2014北京高考（理科）数学题解析1．集合{}{}2|2002A x x x =-==，．故{}02AB =，，选C ．2． A．y 在[)1-+∞，上为增函数，符合题意． B ．2(1)y x =-在(01)，上为减函数，不合题意． C ．2x y -=为()-∞+∞，上的减函数，不合题意． D ．0.5log (1)y x =+为(1)-+∞，上的减函数，不合题意． 故选A ．3． 参数方程1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩所表示的曲线为圆心在(12)-，，半径为1的圆．其对称中心为圆心(12)-，．逐个代入选项可知，(12)-，在直线2y x =-上，即选项B ．4． 当m 输入的7m =，3n =时，判断框内的判断条件为5k <．故能进入循环的k 依次为7，6，5．顺次执行S S k =⋅，则有765210S =⋅⋅=， 故选C ． 5．D对于等比数列{}n a ，若1q >，则当10a <时有{}n a 为递减数列． 故“1q >”不能推出“{}n a 为递增数列”．若{}n a 为递增数列，则{}n a 有可能满足10a <且01q <<，推不出1q >． 综上，“1q >”为“{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件，即选D ． 6．D若0k ≥，z y x =-没有最小值，不合题意． 若0k <，则不等式组所表示的平面区域如图所示． 由图可知，z y x =-在点20k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，处取最小值．故204k ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，解得12k =-，即选项D 正确．7．D （23S S =且13S S ≠）D ABC -在xOy 平面上的投影为ABC △，故12S =，设D 在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2D 和3D ，则D ABC -在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2OCD △和3OAD △．∵(201D ，，(310D ，．故23S S = 综上，选项D 正确． 8．B用ABC 分别表示优秀、及格和不及格。
2014年高考真题精校精析纯word可编辑·2014高考真题解析2014·北京(理科数学)
2014·北京卷(理科数学)1．[2014·北京卷] 已知集合A ＝{x |x 2－2x ＝0}，B ＝{0，1，2}，则A ∩B ＝( )A ．{0}B ．{0，1}C ．{0，2}D ．{0，1，2}1．C [解析]∵A ＝{0，2}，∴A ∩B ＝{0，2}∩{0，1，2}＝{0，2}． 2．、[2014·北京卷] 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－x D ．y ＝log 0.5(x ＋1)2．A [解析]由基本初等函数的性质得，选项B 中的函数在(0，1)上递减，选项C ，D 中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B ，C ，D ，选A.3．[2014·北京卷] 曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上3．B [解析]曲线方程消参化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，其对称中心点为(－1，2)，验证知其在直线y ＝－2x 上．4．[2014·北京卷] 当m ＝7输出的S 值为( )A ．7B ．42C ．210D ．8404．C [解析]S ＝1×7×6×5＝210. 5．[2014·北京卷] 设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．D [解析]当a 1<0，q >1时，数列{a n }递减；当a 1<0，数列{a n }递增时，0<q <1.故选D.6．[2014·北京卷] 若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( ) A ．2B ．－2C.12D ．－126．D [解析]可行域如图所示，当k >0时，知z ＝y －x 无最小值，当k <0时，目标函数线过可行域内A 点时z 有最小值．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，kx －y ＋2＝0，解得A ⎝⎛⎭⎫－2k ，0，故z min ＝0＋2k ＝－4，即k ＝－12.7．[2014·北京卷] 在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A (2，0，0)，B (2，2，0)，C (0，2，0)，D (1，1，2)．若S 1，S 2，S 3分别是三棱锥D -ABC 在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则( )A ．S 1＝S 2＝S 3B ．S 2＝S 1且S 2≠S 3C ．S 3＝S 1且S 3≠S 2D ．S 3＝S 2且S 3≠S 17．D [解析]设顶点D 在三个坐标平面xOy 、yOz 、zOx 上的正投影分别为D 1、D 2、D 3，则AD 1＝BD 1＝2，AB ＝2，∴S 1＝12×2×2＝2，S 2＝SOCD 2＝12×2×2＝2，S 3＝SOAD 3＝12×2×2＝ 2.∴选D. 8．[2014·北京卷] 学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( )A ．2人B ．3人C ．4人D ．5人8．B [解析]假设A 、B 两位学生的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩较高的学生比另一个学生“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾．因此，没有任意两位学生数学成绩是相同的．因为数学成绩只有3种，因而学生数量最大为3，即3位学生的成绩分别为(优秀，不合格)、(合格，合格)、(不合格，优秀)时满足条件．9．[2014·北京卷] 复数⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2＝________．9．－1 [解析]⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋i ）2（1－i ）（1＋i ）2＝⎝⎛⎭⎫2i 22＝－1.10．[2014·北京卷] 已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2，1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________．10.5 [解析]∵λa ＋b ＝0，∴λa ＝－b ， ∴|λ|＝|b ||a |＝51＝ 5.11．[2014·北京卷] 设双曲线C 经过点(2，2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．11.x 23－y 212＝1 y ＝±2x [解析]设双曲线C 的方程为y 24－x 2＝λ，将(2，2)代入得224－22＝－3＝λ，∴双曲线C 的方程为x 23－y 212＝1.令y 24－x 2＝0得渐近线方程为y ＝±2x .12．[2014·北京卷] 若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．12．8 [解析]∵a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，∴a 8>0，a 9<0，∴n ＝8时，数列{a n }的前n 项和最大．13．[2014·北京卷] 把5件不同产品摆成一排．若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有________种．13．36 [解析]A 33A 22A 13＝6×2×3＝36. 14．[2014·北京卷] 设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．14．π [解析]结合图像得T 4＝π2＋2π32－π2＋π62，即T ＝π.图1-215．[2014·北京卷] 如图1-2，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．15．解：(1) 在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝437×12－17×32＝3314. (2)在△ABD 中，由正弦定理得 BD ＝AB ·sin ∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理得 AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49，所以AC ＝7. 16．、[2014·北京卷] 李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：(1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；(3)记x 为表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX 与x 的大小．(只需写出结论)16．解：(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6”，事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”．则C ＝AB ∪AB ，A ，B 相互独立．根据投篮统计数据，P (A )＝35，P (B )＝25.故P (C )＝P (AB )＋P (AB ) ＝35×35＋25×25 ＝1325. 所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325.(3)EX ＝x －.17．、[2014·北京卷] 如图1-3，正方形AMDE 的边长为2，B ，C 分别为AM ，MD 的中点．在五棱锥P -ABCDE 中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD ，PC 分别交于点G ，H .(1)求证：AB ∥FG ；(2)若P A ⊥底面ABCDE ，且P A ＝AE ，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长．图1-317．解：(1)证明：在正方形AMDE 中，因为B 是AM 的中点，所以AB ∥DE . 又因为AB ⊄平面PDE ， 所以AB ∥平面PDE .因为AB ⊂平面ABF ，且平面ABF ∩平面PDE ＝FG ， 所以AB ∥FG .(2)因为P A ⊥底面ABCDE ， 所以P A ⊥AB ，P A ⊥AE .建立空间直角坐标系Axyz ，如图所示，则A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (2，1，0)，P (0，0，2)，F (0，1，1)，BC →＝(1，1，0)．设平面ABF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＋z ＝0.令z ＝1，则y ＝－1.所以n ＝(0，－1，1)．设直线BC 与平面ABF 所成角为α，则 sin α＝|cos 〈n ，BC →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·BC →|n ||BC →|＝12.因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为π6.设点H 的坐标为(u ，v ，w )．因为点H 在棱PC 上，所以可设PH →＝λPC →(0<λ<1)．即(u ，v ，w －2)＝λ(2，1，－2)，所以u ＝2λ，v ＝λ，w ＝2－2λ. 因为n 是平面ABF 的一个法向量， 所以n ·AH →＝0，即(0，－1，1)·(2λ，λ，2－2λ)＝0， 解得λ＝23，所以点H 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，23，23. 所以PH ＝⎝⎛⎭⎫432＋⎝⎛⎭⎫232＋⎝⎛⎭⎫－432＝2.18．[2014·北京卷] 已知函数f (x )＝x cos x －sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.(1)求证：f (x )≤0；(2)若a <sin xx <b 对x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立，求a 的最大值与b 的最小值．18．解：(1)证明：由f (x )＝x cos x －sin x 得f ′(x )＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .因为在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上f ′(x )＝－x sin x <0，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减．从而f (x )≤f (0)＝0.(2)当x >0时，“sin x x >a ”等价于“sin x －ax >0”，“sin xx <b ”等价于“sin x －bx <0”．令g (x )＝sin x －cx ，则g ′(x )＝cos x －c .当c ≤0时，g (x )>0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立．当c ≥1时，因为对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，g ′(x )＝cos x －c <0，所以g (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减，从而g (x )<g (0)＝0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立．当0<c <1时，存在唯一的x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2使得g ′(x 0)＝cos x 0－c ＝0.g (x )与g ′(x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上的情况如下：因为g (x )在区间(0，x 0)上是增函数，所以g (x 0)>g (0)＝0.进一步，“g (x )>0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立”当且仅当g ⎝⎛⎭⎫π2＝1－π2c ≥0，即0<c ≤2π.综上所述，当且仅当c ≤2π时，g (x )>0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立；当且仅当c ≥1时，g (x )<0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立．所以，若a <sin x x <b 对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1.19．、、[2014·北京卷] 已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4.(1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，试判断直线AB 与圆x 2＋y 2＝2的位置关系，并证明你的结论．19．解：(1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22.(2)直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．证明如下： 设点A ，B 的坐标分别为(x 0，y 0)，(t ，2)， 其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0， 即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.当x 0＝t 时，y 0＝－t 22，代入椭圆C 的方程，得t ＝±2，故直线AB 的方程为x ＝±2.圆心O 到直线AB 的距离d ＝2， 此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．当x 0≠t 时，直线AB 的方程为y －2＝y 0－2x 0－t (x －t )，即(y 0－2)x －(x 0－t )y ＋2x 0－ty 0＝0. 圆心O 到直线AB 的距离d ＝|2x 0－ty 0|（y 0－2）2＋（x 0－t ）2. 又x 20＋2y 20＝4，t ＝－2y 0x 0，故 d ＝⎪⎪⎪⎪2x 0＋2y 20x 0x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4＝⎪⎪⎪⎪4＋x 20x 0x 40＋8x 20＋162x 20＝ 2.此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．20．[2014·北京卷] 对于数对序列P ：(a 1，b 1)，(a 2，b 2)，…，(a n ，b n )，记T1(P)＝a1＋b1，T k(P)＝b k＋max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}(2≤k≤n)，其中max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}表示T k－1(P)和a1＋a2＋…＋a k两个数中最大的数．(1)对于数对序列P：(2，5)，(4，1)，求T1(P)，T2(P)的值；(2)记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对(a，b)，(c，d)组成的数对序列P：(a，b)，(c，d)和P′：(c，d)，(a，b)，试分别对m＝a和m＝d两种情况比较T2(P)和T2(P′)的大小；(3)在由五个数对(11，8)，(5，2)，(16，11)，(11，11)，(4，6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值．(只需写出结论)20．解：(1)T1(P)＝2＋5＝7，T2(P)＝1＋max{T1(P)，2＋4}＝1＋max{7，6}＝8.(2)T2(P)＝max{a＋b＋d，a＋c＋d}，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}．当m＝a时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋d＋b.因为a＋b＋d≤c＋b＋d，且a＋c＋d≤c＋b＋d，所以T2(P)≤T2(P′)．当m＝d时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋a＋b.因为a＋b＋d≤c＋a＋b，且a＋c＋d≤c＋a＋b，所以T2(P)≤T2(P′)．所以无论m＝a还是m＝d，T2(P)≤T2(P′)都成立．(3)数对序列P：(4，6)，(11，11)，(16，11)，(11，8)，(5，2)的T5(P)值最小，T1(P)＝10，T2(P)＝26，T3(P)＝42，T4(P)＝50，T5(P)＝52.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
北京2014年高考数学理科19题深入探究
（北京易趣数学 彭泽）
一、问题提出
（2014年北京卷第19题）已知椭圆22:24C x y += （1）求椭圆C 的离心率e .
（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y=2上，且OA ⊥OB ，求直线AB 与圆
222x y +=的位置关系，并证明你的结论。
二、解答过程
（1）椭圆的标准方程为：22
142
x y +=，
故2,2a b ==，则2c =，故离心率2
e 2
c a =
=
； （2）设点A 、B 的坐标为00(,)x y ，(,2)t ，其中00x ≠
因为OA OB ⊥，所以0OA OB =，即：0020tx y +=，解得：0
2y t x =-
点B 的坐标为0
2(,2)y x -
，易得直线AB 的方程为： 2
22
000000
(2)(2)2()0
x y x x y y
x y --+++= 圆心O 到直线AB 的距离为： 2200222200002()
(2)(2)x y d x y x y +=
-++22002220002()
(4)()x y x x y +=++22
0020
24x y x +=+ 由于2
2
0024x y +=，得：2
2
0042x y =-代入上式得：22
0020422
2424
y y d y -+==-+ 所以直线AB 与圆2
2
2x y +=相切。
三、深入探究
任意给定的椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>），是否存在平行于x 轴的定直线l ，点
A 在椭圆C 上运动，点
B 在直线l 上，且OA ⊥OB ，直线AB 与定圆2
2
2
x y r +=相切 ? 解：设直线l 的方程为：1y y =，点A 、B 的坐标为00(,)x y ，1(,)t y ，其中00x ≠
因为OA OB ⊥，所以0OA OB =，即：0010tx y y +=，解得：01
y y t x =-
点B 的坐标为01
10
(,)y y y x -
，易得直线AB 的方程为： 222
0010011
00
()()()0x y y x x y y y y x y --+
+
+= 圆心O 到直线AB 的距离为： 221002
2
2
2
001001|()|()()
y x y d x y y x y y +=
-++221002
2
2
2
0100|()|()()
y x y x y x y +=
++22
00122
01||
x y y x y +=+
由于2200221x y a b
+=，得：22222
002
a b a y x b -=代入上式得： 22222
0122222
01()||()
a b y a b d y a y b a y --=-+ 要使得d 为定值，必须满足：
2222
222
21()
a b a b a b a y -=+ 解得：122
ab y a b =±
-， 此时：d b =，所以直线AB 与圆222
x y b +=相切。
由以上的推导能得到以下结论：
推论一、任意给定的椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>），直线l 的方程：22ab
y a b
=±-，
点A 在椭圆C 上运动，点B 在直线l 上，且OA ⊥OB ，那么直线AB 与圆2
2
2
x y b +=相切。
同理，在双曲线上存在类似的结论：
推论二、任意给定的双曲线C ：22
221x y a b
-=（0,0a b >>），直线l 的方程：
2
2
ab x a b
=-
+，点A 在双曲线C 的右支上运动，点B 在直线l 上，且OA ⊥OB ，直线AB
与定圆222
x y a +=相切。
（证明留给读者，这里不再陈述）。