江西省九江市2015届高三第二次模拟考试数学(理)试卷(扫描版)

九江市2015年第二次高考模拟统一考试一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.5. 解：111(1)333j j a j =+-⋅=，11111()()232i i ij j j a a --∴=⋅=⋅ 6168811()3212a -∴=⋅=，故选A.6. 解：()22sin f x x x '=-，令()22sin g x x x =-，()22cos 0g x x '=-≥()g x ∴在R 上单调递增 (0)0g =，(,0)x ∴∈-∞时，()0f x '<，函数()f x单调递减；(0,)x ∈+∞时，()0f x '> ，函数()f x 单调递增，()f x 为偶函数，22()()()()f f f f αβαβαβαβ∴>⇒>⇒>⇒>，故选D.7. 解：如图所示，两曲线共有5个交点， 故选B.9. 解：取CD 的中点N ，1CC 的中点R ，11B C 的中点H ， 则1MN B C HR ////，MH AC // 故平面MNRH //平面C AB 1，MP Ü平面MNRH ，线段MP 扫过的图形是MNR ∆，设2AB =，则MN =NR =MR =222MN NR MR ∴=+MNR ∴∆是直角三角形，故选B.10. 解:当123a a a ,,互不相同时，123a a a 共有33848A =个，当123a a a ,,有且仅有两个相同时，123a a a 共有13618A =个，当123a a a ,,均相同时，123a a a 共有6个，∴所求概率为4818616663P ++==⨯⨯，故选D.11. 解：当1n =时，111S T +=，即112S =，当2n =时，2121S S S +=，即223S =，当3n =时，31231S S S S +=，即334S =，…，猜想1n nS n =+，1111(1)n n n n n a S S n n n n --∴=-=-=++ 1(1)nn n a ∴=+∴数列1{}n a 中最接近2015的项是44144451980a =⨯=，故选B.D AB CM C 1 B 1A 1D 1P N R H12. 解：结合函数()f x 的图像可知，234a a -=-，即1a =或3a = 当1a =时，2431b b -+-=-（3b >），解得2b =+当3a =时，212279b b -+-=-（9b >），解得6b =+，故选D. 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.23π14.60 15. 解：设函数()sin f x x a =-，（502x π≤≤）的三个零点从小到大依次为1x ，2x ，3x ， 则122322133x x x x x x xππ+=⎧⎪+=⎨⎪=⎩，2222()(3)x x x ππ∴=--，234x π∴=，3sin 4a π∴==1a ∴==-. 16. 解：如图所示，点F 及直线l 分别是抛物线C点B 作BD l ⊥于D ，则BD BF =，2AB BF =，060ABD ∴∠= 02tan 6013m m∴=+解得m =.三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 解：（1）法1：由角60A ︒=，得120C B ︒=-代入B C C cos 3cos sin =+得sin(120)cos(120)B B B ︒︒-+-=………1分0sin120cos cos120sin cos120cos sin120sin B B B B B ︒︒︒∴-++= 即B B cos sin =，tan 1B ∴=………4分又0120B ︒︒<<，45B ︒∴=，75C ︒=………6分法2：由角60A ︒=，得120B C ︒=-代入B C C cos 3cos sin =+得 )120cos(3cos sin C C C -=+︒………1分sin cos cos sin120sin )C C C C ︒︒∴+=+即sin (2C C =+,即tan 2C =+………4分 又0120C ︒︒<<，75C ︒∴=，45B ︒=………6分法3：由60A ︒=知B A B B cos sin 2cos 232cos 3⋅=⋅=………1分 因此有B A C C cos sin 2cos sin =+又B A B A B A C sin cos cos sin )sin(sin ⋅+⋅=+=，代入上式得)sin(cos B A C -=即)60sin()90sin(B C -=-︒︒………4分又︒︒︒<-<-909030C ，︒︒<-︒<-606060B9060C B ︒︒∴-=- 即30C B ︒-=，又120C B ︒+= 45B ︒∴=，75C ︒=………6分(2)法1:由正弦定理得2sin sin sin b c aB C A===，设ABC ∆的周长为y 则3)120sin(2sin 23sin 2sin 2+-+=++=︒B B C B y 3)30sin(32++=︒B (8)分又0120B ︒︒<<，即︒︒︒<+<1503030B ，1sin(30)12B ︒∴<+≤………10分从而333)30sin(3232≤++<︒B ABC ∴∆周长的取值范围是]33,32( (12)分法2：由余弦定理得2222cos3b c bc π=+-，即2()33b c bc +-=22()33()2b c b c +∴+-≤，即b c +≤………8分 又b c a +>，b c ∴+>……10分ABC ∴∆周长的取值范围是]33,32(………12分18. 解:(1)监控抽查采取的是系统抽样方法………1分 ６段区间的人数依次是4，10，16，4，4，2人 故中位数落在(90,100]内………3分 (2)这40辆小型汽车的平均车速为475108516954105411521259540⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（/km h ）………6分(3)0,50,100,200,250,400X = ………7分2421062(0)4515C P X C ====，114421016(50)45C C P X C ⋅===，2421062(100)4515C P X C ====， 11422108(200)45C C P X C ⋅===，11422108(250)45C C P X C ⋅===，222101(400)45C P X C === ∴X (102162881050100200250400120154515454545)EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(元)……12分 19. 解：(1)取AD 的中点E ，连CE ，由条件可知四边形ABCE 是正方形，三角形CED 是等腰直角三角形，所以454590ACD ACE ECD ︒︒︒∠=∠+∠=+= 即AC DC ⊥………2分平面⊥DAC 平面ABC ，DC ∴⊥平面ABC ………4分 (2)DC ⊥平面ABC ，DC AB ∴⊥又AB BC ⊥，所以AB ⊥平面DBC ，AB DB ∴⊥,即90ABD ACD ︒∠=∠=，∴四面体ABCD 的外接球的球心是AD 的中点E ………6分即四面体ABCD 的外接球的半径1=R ，故四面体ABCD 的外接球的体积为43π (8)分(3)以B 为原点，建立如图空间直角坐标系，则(0,1,0)A ，(1,0,0)C ，D ，(0,1,0)BA ∴=，BD =设平面ABD 的法向量),,(z y x n =，则00n BA n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y x =⎧⎪⎨=⎪⎩令1z =，则x =(2,0,1)n ∴=-………10分 设(0,,0)P t (0t >)，则)0,,1(t CP -=，sin 45CP n CP n︒⋅∴=⋅，即221322=+⋅t ， 解得33=t ，即33=PB 故存在点P ，使得直线CP 与平面ABD 所成的角为︒45，且33=PB ………12分 （用其它方法做请酌情给分）20. 解: (1)2221()1x kx f x x -+'=+，]1,0[∈x ………1分解法一：①1≤k 时，由10≤≤x 知x kx 22-≥-，故0)1(1212222≥-=+-≥+-x x x kx x ()0,[0,1]f x x ∴'≥∈恒成立，即()f x 在区间]1,0[上是增函数，min ()(0)0f x f ∴== 满足题意………3分②当1>k 时，令()0f x '=得x k =±注意到21x k =+>，1(0,1)x k =-=，又当10x x <≤时，()0f x '>，)(x f 是增函数，当11≤<x x 时，()0f x '<，)(x f 是减函数，故要使函数()y f x =在区间[0,1]上的最小值为0，只需0)0()1(=≥f f ，即1ln 20k -⋅≥，又1>k ，11ln 2k ∴<≤综上所述，实数k 的取值范围是1(,]ln 2-∞………6分解法二：令2()21g x x kx =-+，]1,0[∈x 244k ∆=-①当0∆≤时，即11k -≤≤，()0g x ≥，()0f x '≥，()f x 在区间]1,0[上是增函数， min ()(0)0f x f ∴== 满足题意………3分②当0∆>，即1k <-或1k >，设()0g x =的两根为12,x x （12x x <），则122x x k +=， 121x x =若1k <-，则120x x <<，()0g x >，()0f x '>，()f x 在区间]1,0[上是增函数，min ()(0)0f x f ∴== 满足题意若1k >，则1201x x <<<，1(0,)x x ∈，()0g x >，()0f x '>，()f x 在区间1(0,)x 单调递增，1(,1)x x ∈，()0g x <，()0f x '<，()f x 在区间1(,1)x 单调递减min ()min{(0),(1)}f x f f ∴=，又(0)0f =，(1)1ln 20f k ∴=-≥，11ln 2k <≤综上所述，实数k 的取值范围是1(,]ln 2-∞………6分(2)由(1)知，当[0,1]x ∈，且1ln 2k =时，0)0()(=≥f x f 恒成立，即21ln(1)0ln 2x x -⋅+≥ 221x x ∴≥+，[0,1]x ∈时恒成立………9分 令12k x =，则有121124kk +<（1,2,,k n =）………11分21111122222111(1)(1)(1)222444n n n +++-∴+++<=<………12分21. 解：（1）依题意，得满足条件的0x 满足220022004113x yx y ⎧+=⎪⎨+>⎪⎩………1分 即220033(14)1x x +->，0x << 故0x 的取值范围是(………2分(2)设(,)S x y 00(,)P x y 在椭圆1422=+y x 上，220041x y ∴+=………① OP OS ⊥ 000xx y y ∴+=………②………3分在Rt OPS ∆中，斜边PS 上的高等于33222213|OP OSOP OS⋅∴=+，即22113OP OS+= 222200113x y x y ∴+=++………③………5分(ⅰ)当0y ≠时，由②得00x x y y=-代入①得220224y x x y =+2222222200022411131314x y y x y x x y x y +∴===+-+-+ 代入③得222222413x y x y x y++=++，化简得2221x y -=………7分 (ⅱ)当0y =时，代入②得00x x =，显然此时0x ≠，否则切线l 过原点，不成立，即00x =此时201y =，代入③得221x =，即此时2221x y -=也成立.综上所述，点S 的轨迹所在的曲线方程为1222=-y x ………8分 (3)解法一：由（2）知222200113x y x y +=++ 又2222200()()PSx y x y =+++222200222200111[()()]()3x y x y x y x y=+++⋅+++ 22220022220014(2)33x y x y x y x y ++=++≥++………10分 当且仅当22220023x y x y +=+=时，取等号………11分PS ∴的最小值为332，此时121233OPS S ∆=⨯=………12分解法二：由（2）知222200113x y x y+=++令22000u x y =+>，220v x y =+>，则113u v+=，3u v uv ∴+= 233()2u v u v uv +∴+=≤ 即43u v +≥………10分 又243PS u v =+≥ 从而 当且仅当23u v ==时，取等号………11分PS ∴的最小值为332，此时121233OPS S ∆=⨯=………12分22. 证明：(1)连接AD ，在ADB ∆和EFB ∆中BD BE BA BF ⋅=⋅ BD BFBA BE∴=又DBA FBE ∠=∠ ADB ∴∆∽EFB ∆…………3分则90EFB ADB ∠=∠= EF FB ∴⊥…………5分(2)在ADB ∆中，90ADB ADE ∠=∠=又90EFB ∠= ∴E F A D 、、、四点共圆DFB AEB ∴∠=∠…………8分又AB 是⊙O 的直径，则90ACB ∠=∴DFB DBC AEB ∠+∠=∠+∠…………10分23. 解：（1）直线l的普通方程是10x =………2分圆C 的普通方程为224x y +=………4分(2)直线l 的参数方程可化为1112x y t ⎧=+'⎪⎪⎨⎪=+'⎪⎩，（t '是参数）………6分 代入圆C ：224x y +=中，整理得21)20t t '++'-=，121)t t '+'=-+，122t t ''=-………8分1211PA PB t t t ∴-='-'='+………10分24. 解： (1)由26x a a -+≤，得26x a a -≤-，60a -≥，6a ∴≤626a x a a ∴-≤-≤-，即33≤≤-x a ………2分 32a ∴-=-，即1=a ………4分(2)由（1）知()211f x x =-+ 令)()()(n f n f n -+=ϕ，则124()211()212124()22124()2n n n n n n n n ϕ⎧-≤-⎪⎪⎪=-+++=-<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩………6分)(n ϕ的最小值为4………8分 4m ∴≥，即实数m 的取值范围是),4[+∞………10分。