3.1 矩阵的初等变换
3-1矩阵的初等变换
矩阵 A 与矩阵 B 等价，记作 A ~ B
A
有限次初等变换
B
矩阵之间的等价关系具有下列性质： 反身性 对称性 传递性
A~ A ；
若 A ~ B，则 B ~ A ； 若 A ~ B, B ~ C，则 A ~ C．
1 0 0 0
r1 r2
1 2 1 4 1 1 1 0 B4 0 0 1 3 0 0 0 0
① ② ③ ④
1 2 1 1 2 1 1 1 2 3 1 1 6 9 7 3
4 2 B1 2 9
x1 x2 2 x3 x4 4, 2 x x x x 2, 1 2 3 4 2 x1 3 x2 x3 x4 2, 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9.
①
②
③ ④
x1 x2 2 x3 x4 4, 2 x x x x 2, 1 2 3 4 2 x1 3 x2 x3 x4 2, 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9.
②－③
③－2×① ④－3×①
①
②
③ ④
ri krj
ri krj .
把定义中的“行”换成“列”，就得到矩阵的初等列变换的定 义． 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换．
2 x1 x2 x3 x4 2, x x 2 x x 4, 1 2 3 4 4 x1 6 x2 2 x3 2 x4 4, 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9.
4, ① 0, ② 6, ③ 3. ④
1 0 0 0
1 2 1 4 1 1 1 0 B3 0 0 2 6 0 0 1 3
第三章矩阵的初等变换
3 2 0 0
2 1 0 0
R(A) 3
0 7 1 0
由于R ( A) 3，可知A的最高阶的非零子式为 3 3 阶，而 A 的三阶子式共有 C3 C5＝4 10＝40个 , 要 4 从 40 个子式中找出一个非零子式是比较麻烦的， 但考察 A 的行梯矩阵，记：A (a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ) 2 1 7 2 3 5 则由矩阵 B (a1 , a2 , a5 ) 知, R ( B ) 3， 3 2 0 1 0 0 故 B中必有三阶非零子式。 中的三阶子式只有4个 B 2 1 7 显然 2 0 14 0 ，所以该子式便是 A 的最高 3 1 0 0 阶的一个非零子式。
x1 x3 x2 x3 4 3 x4 3 00
(1) r3 2r4 1 (2) r4 r3 0 ~ 0 (3) 0 (4)
(1) r1 r2 r3 1 (2) r2 r3 0 ~ 0 (3) 0 (4)
设 A 经过列的初等变换变这 B，那么， AT 经过行的初等变换变为 BT，由上面的讨论可 知， R(AT)=R(BT) 又因为，R(A) = R(AT) = R(BT) = R(B) 所以，矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。
☞上面的命题给出了求矩阵的秩的一种常用
办法。即就是对待求秩的矩阵进行行的初等变 换化为行阶梯矩阵，那么非零行的行数就是矩 阵的秩。
把定义中和“行”换成“列”，即得矩阵的
初等列变换的定义（所用记号是把“r”换成
“c”）。
矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为矩 阵的初等变换。
显然，三种初等变换都是可逆的，且其变 换是同一类型的初等变换。变换ri↔rj的逆变换 就是本身；变换 rj×k 的逆变换为 rj÷k ；变换 ri+krj 的逆变换为ri k rj。 如果 A 经过有限次初等变换变为矩阵 B， 称矩阵 A与 B是等价的，记为A～B 。 矩阵的等价关系有如下性质： ☞ 反身性： A～ A 对称性： A～B ，则B ～ A 传递性： A～B， B ～ C，则A ～ C
矩阵的初等变换与线性方程组
.
1 a
1 1
,
r − 2r1 r3 + (a − 2)r2 2 3 a+2 3 2 0 −1 0 −1 a 1 r3 − 3r1 3 a −2 0 0 a − 2 −3 −1 0 0
1 −2
1 −2
x2 = k1 −3 + k2 −1 + 0 1 x 3 0 x4 1
1 . 0 0
其中 k1 , k2 为任意常数.
(II) 当 λ =
第三章
矩阵的初等变换与线性方程组
秩是矩阵的一种内在属性. 矩阵的这种内在属性是与生俱来的, 一个矩阵一旦诞生, 它 的这种内在属性就确定了. 虽然初等变换可以把它们变得面目全非, 但是它们的这个内在 属性是不变的. 等价的矩阵, 看上去各各不同, 但是有一个内在属性是一样的, 那就是它们 的秩.
§3.1
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
min R(A), R(B ) . 其中 A, B 分别为 s × n 和 n × m 矩阵.
(三) 线性方程组有解判别 (1) 一般的方程 Ax = b 的情形.
对 n 元线性方程组 Ax = b, 记 B = (A, b). 注意到 R(B ) 比 R(A) 只多 0 或 1.
是否出现矛盾方程是方程组有解与否的关键; 是否出现自由未知量又是区分有无限多解和有唯 一解的关键. 换成秩的角度去说问题, 就呈现为下面的表达:
n 元线性方程组 Ax = b 有解 ⇐⇒ R(A) = R(B ). 且 n 元线性方程组 Ax = b 无解 ⇐⇒ R(A) = R(B ). (2) 齐次方程组 Ax = 0 的情形. R(A) = R(B ) = n, 有唯一解; R(A) = R(B ) < n, 有无限多解.
第3章 矩阵的初等变换与线性方程组的解
↔
1 0 B = 0 2 0 0
矩阵等价性具有如下性质： （1）反身性： A ↔ A （2）对称性：如果 A ↔ B ，那么 B ↔ A （3）传递性：如果 A ↔ B, B ↔ C ，那么 A ↔ C
第 i行
| E ( i , j ) |= −1,
第j行
E ( i , j ) −1 = E ( i , j )
第i列
第j列
-12-
2、倍乘初等矩阵
1 E ( i ( k )) = O 1 k 1 O
↑ 第i列
← 第 i行 1
r
Pl L P2 P1 A = E
问 A − 1 = Pl L P2 P1 作一次行变换 再作一次行变换 继续… 考虑对 ( A E ) 作行变换
P1 ( A E ) = ( P1 A P1 E )
P2 P1 ( A E ) =
( P2 P1 A
P2 P1 E )
Pl L P2 P1 ( A E ) = ( Pl L P2 P1 A Pl L P2 P1 E )
A ↔ B,
如何把它们用等号联系起来？
-11-
定义
对单位矩阵E做一次初等变换得到的矩阵称
为初等矩阵。 共有三种初等矩阵，分别为 1、交换初等矩阵
1 O 1 0 1 L ← 1 E ( i, j ) = M O M 1 1 L 0 ← 1 O 1 ↑ ↑
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组的解
§3.1 矩阵的初等变换 §3.2 初等矩阵 §3.3 矩阵的秩 §3.4 线性方程组的解
3.1矩阵的初等变换
(3.1)
的矩阵称为行阶梯矩阵。 的矩阵称为行阶梯矩阵。 其特点：（1 自上而下的各行中， 其特点：（1）自上而下的各行中，第一个非零元素左 ：（ 边零的个数随行数增加而增加；（2 边零的个数随行数增加而增加；（2）元素全为零的行 ；（ 如果有的话）位于矩阵的最下面。 （如果有的话）位于矩阵的最下面。
确定, 其中r就是行阶梯形矩阵中非 零行的行数 .
四、等价类
定义 3 如果矩阵 A 经有限次初等行变换变
r
成矩阵 B ,
则称矩阵 A 与矩阵 B 等价 , 记作 A ~ B ; 如果矩阵 A 经 有限次初等列变换变成
c
矩阵 B , 则称矩阵 A 与矩阵 B 等价 , 矩阵 B ,
记作 A ~ B ; 如果矩阵 A 经有限次初等变换变成 则称矩阵 A 与矩阵 B 等价 , 记作 A ~ B .
第一节 矩阵的初等变换
矩阵初等变换的引例 矩阵初等变换 矩阵初等变换与方程组求解的关系 等价类的定义
一、初等变换的引例
引例 用消元法求解方程组 (1) (2) (3) (4)
2 1 4 3 −1 1 −6 6 −1 −2 2 −9 1 1 −2 7 2 4 4 9
对行最简形矩阵再施以 的矩阵 , 称为标准形 .如
1 0 0 0 0 1 0 0 −1 −1 0 0 0 1 1 0
初等列变换 , 可变成形状更简单
4 c 3 ↔ c4 c 4 + c1 + c 2 0 − 3 c − 4c − 3c + 3c 5 1 2 3 0
(1 )↔ ( 2 )
→2 ( 3 )÷
x1 + x2 − 2x3 + x4 = 4 2x − x − x + x = 2 1 2 3 4 2x1 − 3x2 + x3 − x4 = 2 3x1 + 6x2 − 9x3 + 7x4 = 9
【线性代数】 矩阵的初等变换
a1n xn b1 a2 a21 A a m1 a12 a22 am 2 a1n b1 a2 n b2 amn bm
在我国古代数学经典著作《九章算术》(约公 例习 元3世纪)第八章“方程”(线性方程组)中有如下一问： 今有上禾三秉(束)，中禾二秉，下禾一秉，实(产量)三 十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上 禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗，问上、中、下 禾一秉几何？ 该书中列出了如下的方程组(中国古代的书写形式是自上 而下，从右到左)： 上禾秉数 试列出此问题的方程 中禾秉数 组，并用高斯消元法求出 下禾秉数 斗数 其解。
经初等变换求解线性方程组的这一思路，反映了一般线 性方程组的求解规律。 思考：方程组的解和未知量符号有没有关系？ 那和什么有关呢？ 没有 和未知量的系数以及右端的常数项有关！ 问题：在用初等变换求解方程组时，本质上是对什么 在运算？什么在变化？ 未知量的系数以及右端的常数项！ 基于此，在解题时可将未知量舍去不写；此时就出现了 由未知量系数以及右端常数项组成的数表：
式简单的方程。
为了便于将此方法应用到任意形式的方程组的求解，仍以
例1为例，完整规范的写出它的解题步骤。
例1
求解线性方程组
解：第一步，为了便于运算，互换(1)与(2)的位置
第二步，消去第一个方程下面的各个方程中的 x1， (1)-2×(2)，(3)-4×(2) 得
(1)-2×(2)，(3)-4×(2)得
由以上3例思考 不一定！ 1. 线性方程组都有解吗？若有解，解一定唯一吗 ？ 2. 如何判断解的各种情况？
唯 一 解
第3章矩阵的初等变换与矩阵的秩
第3章 矩阵的初等变换与矩阵的秩３．１ 矩阵的初等变换矩阵的初等行（列）变换：（１） 交换第i 行（列）和第j 行（列）；（２） 用一个非零常数乘矩阵某一行（列）的每个元素；（３） 把矩阵某一行（列）的元素的k 倍加到另一行（列）．对矩阵施行初等变换时，由于矩阵中的元素已经改变，变换后的矩阵和变换前的矩阵已经不相等，所以在表达上不能用等号，而要用箭号＂→＂．例1 求矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=042111210A 的逆矩阵．３．２ 初等矩阵单位矩阵作一次初等变换得到的矩阵叫初等矩阵．概括起来，初等矩阵有３类，分别是（１）交换第行和第i j 行（交换第列和第i j 列）⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1101111011).(%"""###%###"""%j i E（２）用常数λ乘第行（i λ乘第i 列）⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1111))((%%λλi E （３）第i 行的k 倍加到第j 行（第j 列的k 倍加到第列） i⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1111))((%"%#%k k ij E显然，初等矩阵都可逆，其逆矩阵仍是初等矩阵，且有),(),(1j i E j i E =−；⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛=−λλ1))((1i E i E ； ))(())((1k ij E k ij E −=−．初等矩阵与初等变换有着密切的关系：左乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初等矩阵相应类型一样的初等行变换．例如要将矩阵的第１行和第３行交换，则左乘一个初等矩阵A )3,1(E ：⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛001010100⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a ＝⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛131211232221333231a a a a a a a a a ． 右乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初等矩阵相应类型一样的初等列变换．例2 设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=231322122111333231232221a a a a a a a a a a a a B ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=1000100111E ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=0010101002E ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=1000010103E ．则以下选项中正确的是B A E E E A =321)(；B E E AE B =321)(；B A E E EC =123)(；B E E AE D =123)(．例３ 设是３阶可逆矩阵，将的第１行和第３行对换后得到的矩阵记作．A AB （１） 证明可逆；B （２） 求． 1−AB例4 设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=011431321A ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=000110101B ，是否存在可逆矩阵P ，使得B PA =？若存在，求P ；若不存在，说明理由．例5 设是3阶方阵，将的第1列与第2列交换得，再把的第2列加到第3列得C ，A AB B 则满足C AQ =的可逆矩阵Q 为(A) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛101001010 (B) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛100101010 (C) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛110001010 (D) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛100001110３．３ 矩阵的等价与等价标准形 若矩阵B 可以由矩阵经过一系列初等变换得到，则称矩阵和等价．A AB 矩阵的等价是同型矩阵之间的一种关系，它具有如下性质：（１） 反身性：任何矩阵和自己等价；（２） 对称性：若矩阵和矩阵等价，则矩阵和A B B矩阵也等价；A （３） 传递性：若矩阵和矩阵等价，矩阵和矩阵C 等价，则矩阵和矩阵C 等价．A B B A 形如⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E 的矩阵称为矩阵的等价标准形． 任意矩阵A 都与一个等价标准形⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E 等价．其中r E 是r 阶单位矩阵．这个r 是一个不变量，它就是矩阵的秩．任何矩阵总存在一系列的初等矩阵s P P P ,,,21"，和初等矩阵t Q Q Q ,,,21"使得11P P P s s "−A t Q Q Q "21＝⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E ． 令P ＝，Q ＝11P P P s s "−t Q Q Q "21，于是对任意的矩阵，总存在m 阶可逆矩阵n m ×A P 和n 阶可逆矩阵Q ，使得PAQ ＝⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E ．例6 设阶矩阵与等价，则必有n A B (A) 当)0(≠=a a A 时，a B =．(B) 当)0(≠=a a A 时，a B −=． (C) 当0≠A 时，0=B ． (D) 当0=A 时，0=B ．３．4 矩阵的秩在矩阵中，任取n m ×A k 行k 列，位于这k 行k 列交叉处的2k 个元素按其原来的次序组成一个k 阶行列式，称为矩阵的一个A k 阶子式．若矩阵中有一个A r 阶子式不为零，而所有1+r 阶子式全为零，则称矩阵的秩为A r ．矩阵的秩记作．A )(A r 零矩阵的秩规定为零．显然有 ⇔≥r A r )(A 中有一个r 阶子式不为零；中所有A r A r ⇔≤)(1+r 阶子式全为零．若n 阶方阵，有A n A r =)(，则称是满秩方阵． A 对于n 阶方阵， A 0)(≠⇔=A n A r ．矩阵的初等变换不改变矩阵的秩．例7 求矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=45532511014132232211A 的秩． 例8 求阶矩阵n ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=a b b b a b b b a A """""""的秩， 2≥n ．例9 设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=71534321101111a b A ，已知3)(=A r ， 求．b a , 常用的矩阵的秩的性质： （１）；)()(T A r A r =（２）)()()(B r A r B A r +≤+；（３）))(),(min()(B r A r AB r ≤，（４）)()(00B r A r B A r +=⎟⎠⎞⎜⎝⎛； （５）)()(0B r A r B C A r +≥⎟⎠⎞⎜⎝⎛；（６）若0=AB ，则n B r A r ≤+)()(，其中n 为矩阵的列数．A （７）若可逆，则A )()(B r AB r =（８）若列满秩，则A )()(B r AB r =（９）若行满秩，则B )()(A r AB r =例10 设B A ,都是阶方阵，满足n E AB A =−22，求=+−)(A BA AB r ？例１1 设是矩阵，A 34× ,301020201,2)(⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−==B A r 求．)(AB r 例１2 已知⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=62321321t A ，是３阶非零B 矩阵，且满足0=AB ，则4)(=t A 时，的秩必为１；B 4)(=t B 时，的秩必为２；B 4)(≠tC 时，的秩必为１；B 4)(≠t D 时，的秩必为２．B 例13 设B A ,都是阶非零矩阵，且满足n 0=AB ， 则A 和的秩B)(A必有一个等于零； )(B都小于n ； )(C一个小于n ，一个等于； n )(D 都等于n ．例14 设是矩阵，B 是A n m ×m n ×矩阵，若 m n < 证明：0=AB ．例15 设是２阶方阵，已知A 05=A ，证明． 02=A３． 5 伴随矩阵设 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A """""""212222111211， 记的代数余子式为，令ij a ij A ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=nn n nn n A A A A A A A A A A """""""212221212111* 为矩阵的伴随矩阵．因此，若A ()ij a A =，则 ()T ij A A =*．伴随矩阵的基本关系式：E A A A AA ==**． *11A A A =−，或 1*−=A A A ． 1*−=n A A ．⎪⎩⎪⎨⎧−<−===.1)(,0,1)(,1,)(,)(*n A r n A r n A r n A r例16 设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=122212221A ，求的伴随矩阵． A *A 例17 设⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=1111,23212121A A , ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−12100A A B 则 *B =？ 例18 设是３阶矩阵，A 21=A ，求*12)3(A A −−． 例19 设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=8030010100100001*A ，且E XA AXA 311+=−−，求X ．。
同济大学数学系《工程数学—线性代数》(第5版)【教材精讲+考研真题解析】讲义与视频课程-矩阵的初等变
第3章矩阵的初等变换与线性方程组[视频讲解]3.1本章要点详解本章要点■初等变换的概念与性质■矩阵之间的等价关系■初等变换与矩阵乘法的关系■初等变换的应用■矩阵的秩■线性方程组的解重难点导学一、矩阵的初等变换1．初等变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换：(1)对调两行（对调i，j两行，记作r i↔r j）；(2)以数k≠0乘某一行中的所有元（第i行乘k，记为r i×k）；(3)把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元上去（第j行的k倍加到第i行上，记作r i＋kr j）．把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义，矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换．2．矩阵等价(1)定义①若矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B，就称矩阵A与B行等价，记作；②若矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B，就称矩阵A与B列等价，记作；③若矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与B等价，记作A～B．（2）矩阵之间的等价关系的性质①反身性A～A；②对称性若A～B，则B～A；③传递性若A～B，B～C，则A～C．（3）矩阵的类型①两个矩阵，矩阵B4和B5都称为行阶梯形矩阵.行阶梯形矩阵B5又称为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为1，且非零元所在的列的其他元素都为0．结论：对于任何非零矩阵A m×n总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵．②标准形矩阵F称为矩阵B的标准形，其特点是：F的左上角是一个单位矩阵，其余元素全为0．对于m×n矩阵A，总可经过初等变换（行变换和列变换）把它化为标准形此标准形由m，n，r三个数完全确定，其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数．所有与A 等价的矩阵组成一个集合，标准形F 是这个集合中形状最简单的矩阵．3．初等变换与矩阵乘法的关系（1）定理设A 与B 为m ×n 矩阵，则：①的充分必要条件是存在m 阶可逆矩阵P ，使PA ＝B ；②的充分必要条件是存在n 阶可逆矩阵Q ，使AQ ＝B ；③A ～B 的充分必要条件是存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ,使PAQ ＝B ．（2）初等矩阵由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵．（3）性质①设A 是一个m ×n 矩阵，对A 施行一次初等行变换，等价于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，等价于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵．②方阵A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P 1，P 2，…P l ，使A ＝P 1P 2…P l ．③方阵A 可逆的充分必要条件是.4．初等变换的应用当||0A ≠时,由12l A PP P = ,有11111l l P P P A E ----= 及111111l l P P P E A -----= 所以()()()1111111111111111|||l l l l l l P P P A E P P P A P P P E E A -------------== 即对n ×2n 矩阵()|A E 施行初等行变换，当把A 变成E 时，原来的E 就变成A -1．二、矩阵的秩1．秩的定义（1）k阶子式在m×n矩阵A中，任取k行与k列（k≤m，k≤n），位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式．注：m×n矩阵A的k阶子式共有个．（2）矩阵的秩设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r＋1阶子式（如果存在的话）全等于0，则D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R（A）．注：零矩阵的秩等于0．（3）最高阶非零子式由行列式的性质可知，在A中当所有r＋1阶子式全等于0时，所有高于r＋1阶的子式也全等于0，因此把r阶非零子式称为最高阶非零子式，而A的秩R（A）就是A的非零子式的最高阶数．（4）满秩矩阵与降秩矩阵可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数．因此，可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵（奇异矩阵）又称降秩矩阵．（5）等价矩阵的秩①若A～B，则R(A)=R(B).②若可逆矩阵P，Q使PAQ＝B，则R(A)＝R(B)．2．秩的性质（1）0≤R(A m×n)≤min{m，n}（2）R(A T)=R(A)；（3）若A～B,则R(A)=R(B)；（4）若P、Q可逆，则R(PAQ)=R(A)；（5）max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B)特别地，当B＝b为非零列向量时，有R(A)≤R(A，b)≤R(A)＋1；（6）R(A＋B)≤R(A)＋R(B)；（7）R(AB)≤min{R(A)，R(B)}；（8）若A m×n B n×l＝0，则R(A)＋R(B)≤n.3．满秩矩阵矩阵A的秩等于它的列数，称这样的矩阵为列满秩矩阵．当A为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩阵．4.结论（1）设A为n阶矩阵，则R(A＋E)＋R(A－E)≥n．（2）若A m×n B n×l＝C，且R(A)＝n，则R(B)＝R(C).。
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增广矩阵B的行最简形矩阵
一一对应
线性方程组的通解
所以任意矩阵的行最简形矩阵一定是唯一确定的． 抛开方程组的背景，单从矩阵角度， 则可将其化成更 简单的形式：
1 0 1 1 c c c 1 0 0 0 3 1 2 B4 0 1 1 2 0 1 0 0 c4 c1 2 c2 0 0 0 0 0 0 0 0
3 1
（3）把某个方程k倍加到另一个方程上去： （如 ② 2① ) . 这三种变换都是可逆的，即
方 程 组 的 同 解 变 换
若 ( A) 若 ( A) 若 ( A)
i j i i
( B), 则 ( B) ( B ), 则 ( B)
j
i j i i
( A);
k k
( B ), 则 ( B)
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若矩阵A经过有限次初等行变换变成B， 则称A与B 行等价， 记作 A ~ B ;
r
若矩阵A经过有限次初等列变换变成B，则称A与B
列等价， 记作 A ~ B ; 若矩阵A经过有限次初等变换变成B， 则称A与B等价， 记作 A ~ B ; 等价矩阵的性质： (1)
c
A ~ A （反身性）
2 x1 x2 x3 0 x1 2 x2 x3 3 x x 2 x 3 1 2 3 ① ② ③
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(3-1)
2 x1 x2 x3 0 ① (3-1) x1 2 x2 x3 3 ② x x 2 x 3 ③ 1 2 3 x1 2 x2 x3 3 ①② 解 （3-1） 2 x1 x2 x3 0 x x 2 x 3 1 2 3
x1 x3 1, x x 2 , 令 x3 c , 3 2
x1 c 1, 得方程组的解： x2 c 2 , x c , 3
x1 1 1 或 x x2 c1 2 (c为任意常数) . x 1 0 3
Er 的阶数
r 就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.
矩阵的秩
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矩阵的初等变换的性质： 定理1 设 A , B 为 m n矩阵， 则
(1) A ~ B 的充分必要条件是存在m阶可逆阵P, 使
r
PA B ;
(2) A ~ B 的充分必要条件是 存在n阶可逆阵Q, 使
AQ B ;
上，这便得到矩阵的三种初等行变换．
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定义1 对矩阵进行下列三种变换： （1）互换某两行 （第 i , j 两行互换， 记作 ri r j ) ; （2）用非零常数乘某一行的所有元素 （用 k 0 乘 第 i 行，记作 ri k ) ; （3）把某一行的所有元素的 k 倍加到另一行对应的 元素上去 （第 j 行 k 倍加到第 i 行上去， 记作 ri krj ) . 称上述三种变换为矩阵的初等行变换．
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矩阵的初等行变换的“行”换成“列”， 记号" r "换成 " c " 称为矩阵的初等列变换．
,
矩阵的初等变换： 矩阵的初等行变换与列变换的统称． 矩阵的三种初等变换也都是可逆的， 其逆变换仍与其 是同一类型的初等变换． 变换 ri r j 的逆变换仍为 ri rj ; 1 r k 的逆变换为 ri (或ri k ) ; 变换 i k 变换 ri krj 的逆变换为 ri (k )r j (或ri krj ) .
（2）若 A ~ B , 则 B ~ A （对称性）
（3）若 A ~ B , B ~ C , 则 A ~ C （传递性）
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增广矩阵 B ( A, b)
1 1 0 2 1 2 1 3 r r 1 2 1 2 1 3 1 1 0 2 1 1 1 2 3 1 2 3 1 3 1 2 1 2 1 3 r2 2 r1 r r 3 2 0 3 3 6 0 1 1 2 B3. r3 r1 1 r2 ( ) 0 3 0 3 3 6 0 0 0
~
F.
B的标准形
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对于任意 m n非零矩阵A
经有限次
经有限次
初等行变换
行最简形矩阵，
Er O F . 标准形 初等列变换 O O mn
行最简形矩阵与标准形矩阵都由m ,n ,r三个数唯一 确定，标准形是等价矩阵中形式最简单的矩阵， 其中
( A 2 E , A) ~ ( E , X ).
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r
0 3 3 A 1 1 0 , 1 2 3
1 0 0 E 0 1 0 , 0 0 1
2 ( A 2 E , A) 1 1
~
3 2 0 1 1 r 2 r 1 3 2 0 1 1 1 3 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 2 0 2 2 0 3 0 0 0 1 9 4 0 2 3
~
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3 2 0 1 1 1 1 1 0 0 0 2 0 6 ② 3 x 2 3 x 3 6 ③ ③ ② 1 x1 2 x2 x3 3 ① ② ( ) 3 x2 x3 2 ② 0 0 ③
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② 2① x1 2 x 2 x 3 3 ① ③ ①
解 AX A 2 X , ( A 2 E ) X A 若 A 2 E 可逆， 则 X ( A 2 E ) 1 A
1 ( A 2 E ) ( A 2E ) E 1 ( A 2 E ) A X
( A 2 E ) 1 ( A 2 E , A) ( E , X )
3 3 1 0 2 1
0 3 3 r r 1 2 1 1 0 r2 2 r1 1 2 3 r3 r1
~
1 1 0 1 1 0 1 3 2 5 3 0 0 1 1 0 3 3
3 3 6 3 1 0 0 1 3 2 5 3 r3 r2 0 0 2 2 2 0
第3章
线性方程组
矩阵的初等变换的定义及应用 —求逆阵、 解矩阵方程 基本内容 矩阵的秩 利用初等行变换求解线性方程组
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3.1
矩阵的初等变换
矩阵的初等变换 是矩阵的一种重要的运算，它在 求矩阵的逆阵、 矩阵的秩、 解线性方程组以及矩阵理 论的探讨中都有很重要的应用．
引例 用消元法解线性方程组
r1 r2
~
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3 3 6 3 1 0 1 0 0 r3 ( 2) 3 2 5 3 0 1 0 1 0 1 3 r3 0 0 2 2 2 0 r r2 3 r3 0 0 1
~
~
~
1 0 1 1 r1 2 r2 0 1 1 2 0 0 0 0
~
B的行阶梯形矩阵 （对应阶梯形方程组）
（对应方程组的通解) B的行最简形矩阵
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1 0 1 1 0 1 1 2 0 0 0 0
r
r
判定可逆的另一种方法
初等行变换的应用： A ~ B 存在可逆矩阵P， 使 PA B , 如何求P ？
PA B PA B PE P
P ( A, E ) ( B, P )
r
( A, E ) ~( B, P ) ,
求逆阵的另一种方法
P
若 B E , 则 P A1
方程③变成恒等式 0 0 ,
方程③是多余方程， 方程
①、②是方程组的有效方程 （如果方程③变成矛盾方 程 0 1 , 则说明原方程组无解）， 到此消元完成．
x1 2 x2 x3 3 ① x2 x3 2 ② 0 0 ③
阶梯形方程组
可选 x1 , x2 为非自由的未知数，余下的 x3 为自由未知数 用“回代”的方法得到方程组的解： 由②
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1 0 2 例1 设 A 3 0 2 , 证明A可逆， 并求 A1 . 2 3 0
解
2 r3 1 1 0 0 r 0 2 r1 r2 ( A, E ) 3 0 2 0 1 0 2 3 0 0 0 1
~
6 3 4 1 A ~ E , A 可逆, 且 A 4 2 3 . 9 4 6
r
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0 3 3 例2 设 A 1 1 0 , 且 AX A 2 X , 求 X . 1 2 3
r1 3 r2 r3 2 r2
r3 4 r2 r2 r3
~
3 2 0 1 1 1 1 0 4 2 3 0 0 2 1 1 0 0
~
1 0 2 12 5 8 1 0 0 6 3 4 r 2 r 1 3 0 4 2 3 0 1 0 1 0 4 2 3 , 0 0 0 0 1 9 4 6 1 9 4 6
（表示方程组的全部解）
x1 1 1 x x2 c1 2 (c为任意常数) . x 1 0 3