2008年高考数学试题分类汇编函数与导数

2008年高考数学试题分类汇编函数与导数
2008年高考数学试题分类汇编函数与导数

2008年高考数学试题分类汇编函数与导数

一. 选择题:

1.(全国一1

)函数y =的定义域为

( C ) A .{}

|0x x ≥

B .{}

|1x x ≥ C .{}{}|10x x ≥

D .{}

|01x x ≤≤

2.(全国一2)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间

t 的函数,其图像可能是( A )

3.(全国一6)若函数(1)y f x =-的图像与函

l 1y =的图像关于直线y x =对称,则()f x =

( B ) A .21

x e

-

B .2x

e

C .21

x e

+

D .22

x e

+

4.(全国一7)设曲线11

x y x +=

-在点(32),处的切线与直

线10ax y ++=垂直,则a =( D ) A .2

B .

12

C .12

-

D .2-

5.(全国一9)设奇函数()f x 在(0)+∞,上为增函数,且(1)0f =,则不等式()()

0f x f x x

--<的解集为

( D )

A .(10)(1)-+∞ ,,

B .(1)(01)-∞- ,,

C .(1)(1)-∞-+∞ ,,

D .(10)(01)- ,,

6.(全国二3)函数1()f x x x

=-的图像关于( C )

A .y 轴对称

B . 直线x y -=对称

C . 坐标原点对称

D . 直线x y =对称 8.

全国二4)

1

3

(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===,,,,,则

( C ) A .a

B .c

C . b

D . b

9.(北京卷

2)若0.5

2

a =,πlog 3

b =,

22πlog sin

5

c =,则( A ) A .a b c >>

B .b a c >>

C .c a b >>

D .b c a >>

10.(北京卷3)“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函

数()f x 在R 上为增函数”的( B ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件

D .既不充分也不必要条件

11.(四川卷10)设()()s i n f x x ω

?=+,

其中0ω>,则()f

x 是偶函数的充要条件是( D )

(A)()01f =

(B)()00f

=

(C)()'

01f

=

(D)()'

00f

=

12.(四川卷11)设定义在R 上的函数()

f

x 满足

()()213f

x f x ?+=,若()12

f =,则

()99f =( C )

(A)13 (B)2 (C)

132

(D)

213

13.(天津卷3

)函数1y =+04x ≤≤)的反函数

是(A )

(A )2

(1)y x =-(13x ≤≤) (B )2

(1)y x =-(04x ≤≤) (C )2

1y x =-(13x ≤≤) (D )21y x =-(04x ≤≤)

14.(天津卷10)设1a >,若对于任意的[,2]x a a ∈,都有2

[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=,这时a 的取值集合为(B )

(A )2{|1}a a <≤ (B ){|}2a a ≥

A .

B .

C .

D .

(C )3|}2{a a ≤≤ (D ){2,3}

15.(安徽卷7)0a <是方程2

210ax x ++=至少有一个负数根的( B )

A .必要不充分条件

B .充分不必要条件

C .充分必要条件

D .既不充分也不必要条件

16.(安徽卷9)在同一平面直角坐标系中,函数()y g x =的图象与x

y e =的图象关于直线y x =对称。而函数

()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称,若()1f m =-,则m 的值是( B )

A .e -

B .1

e -

C .e

D .

1

e

17.(安徽卷11)若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、

偶函数,且满足()()x

f x

g x e -=,则有( D ) A .(2)(3)(0)f f g << B .(0)(3)(2)g f f << C .(2)(0)(3)f g f <<

D .(0)(2)(3)g f f <<

18.(山东卷3)函数y =lncos x (-

2

π<x <

)2

π

的图象是

(A)

19.(山东卷4)设函数f (x )=|x +1|+|x -a |的图象关于直线x =1对称,则a 的值为(A )

(A) 3 (B)2 (C)1 (D)-1 20.(江西卷3)若函数()y f x =的值域是1[

,3]2

,则函

数1()()()

F x f x f x =+

的值域是( B )

A .1[

,3]2

B .10[2,

]3

C .510[

,]23 D .10

[3,]3

21.(江西卷6)函数tan sin tan sin y x x x x =+--在

区间3(,

)2

2

ππ

内的图象是 ( D )

22.

西

12

2

()

22(4)1f x m x m x =--+,()g x mx =

,若对于任一实数x ,()f x 与()g x 至少有一个为正数,则实数m 的取值范围是( B )

A . (0,2)

B .(0,8)

C .(2,8)

D . (,0)-∞ 23.

北卷4

)函

1()f x x

=

的定义

域为( D )

A. (,4][2,)-∞-+∞

B. (4,0)(0.1)-

C. [-4,0)(0,1]

D. [4,0)(0,1)- 24.

7

2

1()

l n (2)2

f x x b x =-

++∞在(-1,+)

上是减函数,则b 的取值范围是( C )

A. [1,)-+∞

B. (1,)-+∞

C. (,1]-∞-

D. (,1)-∞- 25.

湖北卷13)

已知函数

2

()2f x x x a =++,2

()962f bx x x =-+,其中

x R ∈,,a b 为常数,则方程()0f a x b +=的解集

为 . ?

26.(湖南卷10)设[x ]表示不超过x 的最大整数(如[2]

=2, [

54

]=1),对于给定的n ∈N *,定义

[

]

[]

(1)(1)

,(1)

(1)

x

n n n n x C x x x x --+

=

--+ x ∈[)1,+∞,则当x ∈

3,32

??????

时,函数x

n C 的值域是( D ) A.

16,283??

??

?? B.

16,563

??

????

C.284,

3??? ??

?[)28,56 D.16284,,2833????

? ??????

27.(陕西卷7)已知函数3

()2x f x +=,1

()f

x -是()

f x 的反函数,若16m n =(m n ∈+

R

,),则

A

B

C

D

1

1

()()f

m f

n --+的值为( A )

A .2-

B .1

C .4

D .10

28.(陕西卷11)定义在R 上的函数()f x 满足

()()()2f x y f x f y x y +=

++(x y ∈R ,),

(1)2f =,则(3)f -等于( C )

A .2

B .3

C .6

D .9

29.(重庆卷4)已知函数

M ,最小值为m ,则

m M

的值为( C )

(A)

14

(B)

12

(C)

2

2

30.(重庆卷6)若定义在R 上的函数f (x )满足:对任意

x 1,x 2∈R 有f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2)+1,,则下列说法一定正确

的是( C ) (A)f (x )为奇函数

(B )f (x )为偶函数

(C) f (x )+1为奇函数

(D )f (x )+1为偶函数

31.(福建卷4)函数f (x )=x 3+sin x +1(x ∈R ),若f (a )=2,则

f (-a )的值为( B )

A.3

B.0

C.-1

D.-2

32.(福建卷12)已知函数y =f (x ),y =g (x )的导函数的图象如下图,那么y =f (x ),y =g (x )的图象可能是

( D )

33.(广东卷7)设a ∈R ,若函数3ax

y e x =+,x ∈R

有大于零的极值点,则( B )

A .3a >-

B .3a <-

C .13

a >-

D .13

a <-

34.(辽宁卷6)设P 为曲线C :2

23y x x =++上的点,

且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π?

?

????

,则点P 横坐标的取值范围为( A )

A .112?

?--

????, B .[]10-, C .[]01, D .112??

????

35.(辽宁卷12)设()f x 是连续的偶函数,且当x >0时

()f x 是单调函数,则满足3

()4

x f x f x +??

=

?+??

的所有x 之和为( C )

A .3-

B .3

C .8-

D .8

二. 填空题:

1.(上海卷4)若函数f (x )的反函数为f -1(x )=x 2(x >0),则f (4)= 2

2.(上海卷8)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数,若当x ∈(0,+∞)时,f (x )=lg x ,则满足f (x )>0的x 的取值范

围是 (-1,0)∪(1,+∞)

3.(上海卷11)方程x 2+2x -1=0的解可视为函数y =x +2的图像与函数y =1

x

的图像交点的横坐标,若x 4+ax -4=0

的各个实根x 1,x 2,…,x k (k ≤4)所对应的点(x i ,4

x i

)(i =

1,2,…,k )均在直线y =x 的同侧,则实数a 的取值范围是 (-∞, -6)∪(6,+∞); 4.(全国二14)设曲线ax

y e

=在点(01),处的切线与直线

210x y ++=垂直,则a = .2

5.(北京卷12)如图,函数

()f x 的图象是折线段ABC ,其中A B C

,,的

(04)(20)(64),,,,,,则

((0))

f f =

2 ;0

(1)(1)

lim x f x f x

?→+?-=? -2 .(用数

字作答)

6.(北京卷13)已知函数2

()cos f x x x =-,对于

ππ22??

-???

?,上的任意12x x ,,有如下条件:①12x x >;

②2

2

12x x >; ③12x x >.其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是 ② .

7.(北京卷14)某校数学课外小组在坐标纸上,为学校的一块空地设计植树方案如下:第k 棵树种植在点

()k k k P x y ,处,其中11x =,11y =,当2k ≥时,

111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --??--?

????=+--? ? ???????????

--?????

=+- ? ??????

?

,.()

T a 表示非负实数a 的整数部分,例如(2.6)2

T =,(0.2)0T =.按此方案,第6棵树种植点的坐标应为 (12), ;第2008棵树种植点的坐标应为 (3402),

. 8.(安徽卷13)函

数2()log (1)

f x x =-的定义域

为 .[3,)+∞ 9.(江苏卷8)直线12

y x b =

+是曲线()

ln 0y x x =>的一条切线,则实数b = .ln2-1. 10.(江苏卷14)()331f x ax x =-+对于[]

1,1x ∈-总有()f

x ≥0 成立,则a = .4

11.(湖南卷13)设函数()y f x =存在反函数

1

()y f

x -=,且函数()y x f x =-的图象过点(1,2),则

函数1

()y f x x -=-的图象一定过点 . (-1,2)

12.(湖南卷14

)已知函数()1).1f x a a =

≠-

(1)若a >0,则()f x 的定义域是 3,

a ??-∞ ??

?

(2) 若()f x 在区间(]0,1上是减函数,则实数a 的取值

范围是 . ()(],01,3-∞?

13.(重庆卷

13)已知1

249

a =

(a>0) ,则

23

l o g a = .3

14.(浙江卷15)已知t 为常数,函数t x x y --=22

区间[0,3]上的最大值为2,则t=___。1

15.(辽宁卷13)函数100

x

x x y e x +

?,,,

≥的反函数是

__________.11ln 1.x x y x x -

,,

, ≥

三. 解答题:

1.(全国一19).(本小题满分12分)

(注意:在试题卷上作答无效.........

) 已知函数3

2

()1f x x ax x =+++,a ∈R . (Ⅰ)讨论函数()f x 的单调区间;

(Ⅱ)设函数()f x 在区间213

3??

-

-

??

?

,内是减函数,求a 的取值范围. 解:(1)

32

()1f x x ax x =+++求导:2

()

321

f x x a x

'=+

+ 当2

3a

≤时,0?≤,()0

f x '≥,()f x 在R 上

递增

当2

3a

>,()0f x '=

求得两根为3

a x -±=

()f x

3a ?---∞ ??

?

,递增

33a a ?---+

??

?

,递减,

3a ??

-++∞

? ???

递增

(2

)2

33133-?-?

,且2

3a >解得:74a ≥

2.(全国二22).(本小题满分12分) 设函数sin ()2cos x f x x

=

+.

(Ⅰ)求()f x 的单调区间;

(Ⅱ)如果对任何0x ≥,都有()f x ax ≤,求a 的取值范围. 解

2

2

(2cos )cos sin (sin )

2cos 1()(2cos )

(2cos )

x x x x x f x x x +--+'=

=

++ ···············································································2分

当2π2π2π2π33

k x k -

<<+

(k ∈Z

)时,

1c o s 2

x >-

,即()0f x '>;

当2π4π2π2π33

k x k +

<<+

(k ∈Z

)时,

1c o s 2

x <-,即()0f x '<.

因此()f x 在每一个区间2π2π2π2π3

3k k ??

-

+

??

?

,(k ∈Z )是增函数,()f x 在每一个区间

2π4π2π2π33k k ??

++

???

,(k ∈Z )是减函数. ···························································································6分 (Ⅱ)令()()g x ax f x =-,则

2

2cos 1()(2cos )

x g x a x +'=-

+

2

232cos (2cos )

a x

x =-

+

++

2

11132cos 33a x ?

?=-+- ?+??

故当13

a ≥

时,()0g x '≥.

又(0)0g =,所以当0x ≥时,()(0)0g x g =≥,

即()f x ax ≤. ·······························································································当103

a <<

时,令()s i n h x x a

x =-,则()c o s h x x a

'=-. 故当[)0arccos 3x a ∈,时,()0h x '>. 因此()h x 在[)0arccos 3a ,上单调增加. 故当(0arccos 3)x a ∈,时,()(0)0h x h >=, 即sin 3x ax >. 于

(0a r x a ∈,时

s i

n s i

n

()2cos 3

x x f x ax x

=

>

>+.

当0a ≤时,有π1

π0222f a ??=>

?

??

≥. 因此,a 的取值范围是

13

??

+∞????

,. ·······························································3.(北京卷18).(本小题共13分) 已知函数2

2()(1)

x b f x x -=

-,求导函数()f x ',并确定

()f x 的单调区间.

解:2

4

2(1)(2)2(1)

()(1)

x x b x f x x ----'=

-

3

222(1)x b x -+-=- 3

2[(1)](1)

x b x --=-

-.

令()0f x '=,得1x b =-.

当11b -<,即2b <时,()f x '的变化情况如下表:

当,即时,的变化情况如下表:

所以,当2b <时,函数()f x 在(1)b -∞-,上单调递减,在(11)b -,上单调递增,在(1)+∞,上单调递减. 当2b >时,函数()f x 在(1)-∞,上单调递减,在(11)b -,上单调递增,在(1)b -+∞,上单调递减. 当11b -=,即2b =时,2

()1f x x =

-,所以函数()f x 在(1)-∞,上单调递减,在(1)+∞,上单调递减.

4.(四川卷22).(本小题满分14分) 已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的

一个极值点。 (Ⅰ)求a ; (Ⅱ)求函数()f

x 的单调区间;

(Ⅲ)若直线y b =与函数()y f x =的图象有

3个交

点,求b 的取值范围。 【解】:(Ⅰ)因为()'

2101a f x x x

=

+-+

所以()'

361004

a f

=

+-= 因此16a =

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, ()(

)()2

16l n 110,1,f

x x x x x =++-∈-+∞

()()2

'

2431x x f

x x

-+=

+

当()()1,13,x ∈-+∞ 时,()'

0f x >

当()1,3x ∈时,()'

0f x <

所以()f

x 的单调增区间是()()1,1,3,-+∞,()f x 的

单调减区间是()1,3 (Ⅲ)由(Ⅱ)知,()f

x 在()1,1-内单调增加,在()

1,3内单调减少,在()3,+∞上单调增加,且当1x =或3x =时,()'

0f x =

所以()f

x 的极大值为()116ln 29f =-

,极小值为

()332ln 221f =-

因此()()2

1616101616ln 291f f =-?>-=

()()2

13211213f

e

f --<-+=-<

所以在()f

x 的三个单调区间()()()1,1,1,3,3,-+∞直

线y b =有()y f

x =的图象各有一个交点,当且仅当

()()31f b f <<

因此,b 的取值范围为()32ln 221,16ln 29--。

5.(天津卷21)(本小题满分14分)

已知函数4

3

2

()2f x x ax x b =+++(x R ∈),其中

R b a ∈,.

(Ⅰ)当103

a =-

时,讨论函数()f x 的单调性;

(Ⅱ)若函数()f x 仅在0x =处有极值,求a 的取值范围;

(Ⅲ)若对于任意的[2,2]a ∈-,不等式()1f

x ≤在

[1,1]-上恒成立,求b 的取值范围.

(Ⅰ)解:3

2

2

()434(434)f x x ax x x x ax '=++=++.

当103

a =-

时,2

()(4104)2(21)(2)f x x x x x x x '=-+=--.

令()0f x '=,解得10x =,212

x =

,32x =.

当x 变化时,()f x ',()f x 的变化情况如下表:

所以()f x 在1(0,)2

,(2,)+∞内是增函数,在(,0)-∞,

1(

,2)2

内是减函数.

(Ⅱ)解:2

()(434)f x x x ax '=++,显然0x =不是方程2

4340x ax ++=的根. 为使

()f x 仅在0

x =处有极值,必须

24403x ax +≥+成立,即有2

9640a ?=-≤.

解些不等式,得3838

a -≤≤.这时,(0)f

b =是唯一

极值.因此满足条件的a 的取值范围是88

[,]33

-.

(Ⅲ)解:由条件[2,2]a ∈-,可知2

9640a ?=-<,从而2

4340x ax ++>恒成立.

当0x <时,()0f x '<;当0x >时,()0f x '>. 因此函数()f x 在[1,1]-上的最大值是(1)f 与(1)f -两者中的较大者.

为使对任意的[2,2]a ∈-,不等式()1f x ≤在[1,1]-上

恒成立,当且仅当1

11))1((f f ≤-≤???,即

22b a b a

≤--≤-+??

?

,在[2,2]a ∈-上恒成立.

所以4b ≤-,因此满足条件的b 的取值范围是

(,4]-∞-.

6.(安徽卷20).(本小题满分12分)设函数

1()(01)

ln f x x x x x

=

>≠且 (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间;

(Ⅱ)已知1

2a

x x >对任意(0,1)x ∈成立,求实数a 的取值范围。

解 (1) '

2

2

ln 1(),ln x f x x x

+=-

若 '

()0,f x = 则

1x

=

列表如下

(2) 在 1

2a

x x

> 两边取对数, 得 1ln 2ln a x x

>,由于01,x <<所以 1ln 2

ln a x x

>

(1)

由(1)的结果可知,当(0,1)x ∈时, 1()()f x f e e

≤=-,

为使(1)式对所有(0,1)x ∈成立,当且仅当

ln 2

a e >-,即

ln 2a e >-

7.(山东卷21)(本小题满分12分)已知函数

1()l n (1),(1)

n

f x a x x =

+--其中n ∈N*,a 为常数

.

(Ⅰ)当n =2时,求函数f (x )的极值;

(Ⅱ)当a =1时,证明:对任意的正整数n ,

当x ≥2时,有f (x )≤x -1.

(Ⅰ)解:由已知得函数f (x )的定义域为{x |x >1},

当n =2时,2

1()ln(1),(1)

f x a x x =

+--

所以 2

3

2(1)().

(1)

a x f x x --=

- (1)当a >0时,由f (x )=0得

11x =+

>1

,21x =-

1,

此时 f ′(x )=

123

()()

(1)

a x x x x x ----.

当x ∈(1,x 1)时,f ′(x )<0,f (x )单调递减; 当x ∈(x 1+∞)时,f ′(x )>0, f (x )单调递增.

(2)当a ≤0时,f ′(x )<0恒成立,所以f (x )

无极值.

综上所述,n =2时,

当a >0时,f (x )在1x =+

处取得极小值,极

小值为2(1(1ln

).2

a f a

+

=

+

当a ≤0时,f (x )无极值.

(Ⅱ)证法一:因为

a =1,所以

1()

l n (1).

(1)

n

f x x x

=+-- 当n 为偶数时,

令1()1ln(1),(1)

n

g x x x x =--

---

则 g

x

=1+

1

1

12(1)

1

1

(1)

n n n x n x x x x ++--

=

+

---->0(x ≥2).

所以当x ∈[2,+∞]时,g(x)单调递增, 又 g (2)=0 因此1

()1l n (1)

(1)

n

g x x x x =

-----≥g(2)=0恒成立,

所以f (x )≤x-1成立.

当n 为奇数时,

要证()f x ≤x-1,由于

1(1)

n

x -<0,所以只需证

ln(x -1) ≤x -1,

令 h (x )=x -1-ln(x -1), 则 h ′(x )=1-121

1

x x x -=

--≥0(x ≥2),

所以 当

x ∈[2,+∞]时,

()1l n (h x x x =

---

单调递增,又h (2)=1>0, 所以当x ≥2时,恒有h (x ) >0,即ln (x -1)<x-1命

题成立.

综上所述,结论成立.

证法二:当a =1时,1()ln(1).(1)

n

f x x x =

+-- 当x ≤2,时,对任意的正整数n ,恒有

1(1)

n

x -≤1,

故只需证明1+ln(x -1) ≤

x -1.令

[)

()1(1ln(1))2ln(1),2,h x x x x x x =--+-=---∈+∞则12()1,1

1

x h x x x -'=-

=

--

当x ≥2时,()h x '≥0,故h (x )在[)2,+∞上单调递增, 因此 当x ≥2时,h (x )≥h (2)=0,即1+ln(x -1) ≤x -1成立.

故 当x ≥2时,有

1ln(1)(1)

n

x x +--≤x -1.

即f (x )≤x -1.

8.(江苏卷17).某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD 的

顶点A,B 及CD 的中点P 处,已知AB=20km,CB =10km ,

为了处理三家工厂的污水,现要在矩形ABCD 的区域上(含

边界),且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂,

并铺设排污管道AO,BO,OP ,设排污管道的总长为y km . (Ⅰ)按下列要求写出函数关系式: ①设∠BAO=θ(rad),将y

表示成θ的函数关系式;

②设OP x =(km) ,将y 表

示成x x 的函数关系式.

(Ⅱ)请你选用(Ⅰ)中的一个函数关系式,确定污水处理

厂的位置,使三条排污管道总长度最短.

(Ⅰ)①由条件知PQ 垂直平分AB ,若∠BAO=θ(rad) ,则10cos cos A Q O A θθ

=

=

, 故

10

cos O B θ

=

,又OP =1010tan θ-10-10ta θ,

所以10101010tan cos cos y O A O B O P θθ

θ

=++=

+

+-

所求函数关系式为2010sin 10cos y θ

θ

-=

+04πθ?

?<< ??

?

②若OP=x (km) ,则OQ =10-x ,所以OA

=

所求函数关系式为)010y x x =+<< (

Ⅱ)选择函数模型①,

()()()

'

22

10cos cos 2010sin 102sin 1cos cos sin y θθθθθθθ

-----== 令'

y =0 得sin 12

θ=

,因为04

π

θ<<

,所以θ=

6

π

当0,

6πθ??

∈ ??

?

时,'

0y < ,y 是θ的减函数;当

,64ππθ??∈

???

时,'

0y > ,y 是θ的增函数,所以当C

B

P

O

A

D

θ=

6

π

时,min 10y =+这时点P 位于线段AB 的

中垂线上,且距离AB

3

km 处。

9.(江苏卷20)若()1

13

x p f x -=,()2

223

x p f x -= ,

12,,x R p p ∈为常数,

且()()()()()()()

112212,,f x f x f x f

x f x f x f x ≤??=?

>?? (Ⅰ)求()()1f

x f x =

对所有实数成立的充要条件(用

12,p p 表示)

; (Ⅱ)设,a b 为两实数,a b <且12

,p p (),a b ,若

()()f a f

b =

求证:()f

x 在区间[],a b 上的单调增区间的长度和为

2

b a -(闭区间[],m n 的长度定义为n m -).

【解析】本小题考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用. (

()()

1f

x f x =恒成

?

()()12f x f x ≤?

1

2

3

23

x p x p --≤ ?

12

3log 2

3

3

x p x p ---≤?1

232x p x p l

o g

-

-

-≤(*)

因为()()121212x p x p x p x p p p ---≤

-

--=-

所以,故只需12p p -32log ≤(*)恒成立 综上所述,()()1f

x f x =

对所有实数成立的充要条件是:

12p p -32log ≤

(Ⅱ)1°如果12p p -32l o g ≤,则的图象关于直线

1x p =对称.因为()()f a f b =,所以区间[],a b 关

于直线1x p = 对称.因为减区间为[]1,a p ,增区间为

[]1,p b ,所以单调增区间的长度和为

2

b a -

2°如果12p p -32log >.

(1)当12p p -32l o g >时.()[][]1

1

1113

,,3,,x p p x x p b f x x a p --?∈?=?∈??,

()[][]2323

log 2

22log 2

23

,,3

,,x p p x x p b f x x a p -+-+?∈?=?∈?? 当[]1,x p b ∈,

()()

213log 2

10

23

31,p p f x f x --=<=因为

()()120,0f x f x >>,所以()()12f x f x <,

故()()1f

x f x =

=1

3

x p -

当[]2,x a p ∈,

()()

123log 2

10

23

31,p p f x f x --=>=因为

()()120,0f x f x >>,所以()()12f x f x >

故()()2f

x f x =

=23log 2

3p x -+

因为()()f

a f

b =,所以231

log 2

33p a b p

-+-=,所以

123l o g 2,b p p a -=-+即

123log 2a b p p +=++

[]21,x p p ∈时,令

()()12f x f x =,则

231log 2

3

3

x p p x

-+-=,所以123log 2

2

p p x +-=

当1232log 2,2p p x p +-?

?∈

????

时,()()12f x f x ≥,所以()()2f

x f x =

=23log 2

3

x p -+

1231log 2,2p p x p +-??

∈????

时,()()12f x f x ≤,所

以()()1f

x f x =

=13

p x

- ()f x 在区间[],a b 上的单调增区间的长度和

12312log 2

2p p b p p +--+

- =123log 2

2

2

2

p p a b b a b b +++--=-

=

2)

21

p p -3

2l

o g >时.

()[][]1

1

1113

,,3

,,x p p x

x p b f x x a p --?∈?=?∈??,

()[][]2323

log 2

22log 2

23

,,3

,,x p p x x p b f x x a p -+-+?∈?=?∈?? 当[]2,x p b ∈,

()()

213log 2

10

23

31,p p f x f x --=>=因为

()()120,0f x f x >>,所以()()12f x f x >,

故()()2f

x f x =

=23log 2

3

x p -+

当[]1,x a p ∈,

()()

123log 2

10

23

31,p p f x f x --=<=因为

()()120,0f x f x >>,所以()()12f x f x <

故()()1f

x f x =

=13p x

-

因为()()f

a f

b =,所以231

log 2

33

b p p a

-+-=,所以

12

3l o g 2a b p p +=+- 当

[]12,x p p ∈时,令

()()12f x f x =,则

231

log 2

3

3

p x x p -+-=,所以123log 2

2

p p x ++=

当1231log 2,2p p x p ++?

?∈????

时, ()()12f x f x ≤,

所以()()1f

x f x =

=1

3

x p -

1231log 2,2p p x p ++??∈????

时,()()12f x f x ≥,所

以()()2f

x f x =

=23log 2

3

p x -+

()f x 在区间[],a b 上的单调增区间的长度和

12321log 2

2p p b p p ++-+

- =123log 2

2

2

2

p p a b b a b b +-+--

=-

=

综上得()f

x 在区间[],a b 上的单调增区间的长度和为

2

b a

-

10.(江西卷22).(本小题满分14分)已知函数

(

)f x =

+

()0x ,∈+∞.

()1.当8a

=时,求()f

x 的单调区间;

()2.对任意正数a ,证明:()12f x <<.

解:()1、当8a =时,(

)13

f

x =

+

,求得

(

)

f x '=

于是当(0,1]x ∈时,()0f x '≥;而当 [1,)x ∈+∞时,

()0f x '≤.

即()f x 在(0,1]中单调递增,而在[1,)+∞中单调递减. (2).对任意给定的0a >,0x >

111() f x =

+

若令 8b ax

=

,则 8abx = … ① ,而

(

)f x =

+

… ②

(一)、先证()1

f

x >;

因为

11x

>

+,

1

1a

>

+

1

1b

>

+

又由

28

a b x

+++≥=,

得6

a b x

++≥, 所以

(

)111

111

f x

x a b

=>++

+++

32()()

(1)(1)(1)

a b x a b a x b x

x a b

++++++

=

+++

9()()

(1)(1)(1)

a b x ab ax bx

x a b

++++++

+++

1()()

1

(1)(1)(1)

a b x ab ax bx abx

x a b

+++++++

==

+++

(二)、再证()2

f x<;由①、②式中关于,,

x a b的对

称性,不妨设x a b

≥≥.则02

b

<≤

(ⅰ)、当7

a b

+≥,则5

a≥,所以5

x a

≥≥,因为

1

<,

1

≤<,此时

(

)1

2

1

f x=+<.

(ⅱ)、当7

a b

+<…③,由①得,

8

x

ab

=

1

=

因为

2

2

2

1

1[1]

114(1)2(1)

b b b

b b b b

<-+=-

++++

所以

1

2(1)

b

b

<-

+

… ④

同理

得1

2(1)

a

a

<-

+

… ⑤,于是

(

)1

2

211

a b

f x

a b

?

<-+-

++

?

… ⑥

今证明

11

a b

a b

+>

++

… ⑦, 因为

11

a b

a b

+≥

++

只要证

(1)(1)8

a b a b

a b a b

>

+++

,即

8(1)(1)

ab a b

+>++,也即7

a b

+<,据③,此为

显然.

因此⑦得证.故由⑥得()2

f x<.

综上所述,对任何正数a,x,皆有()

12

f x

<<.

11.(湖北卷20).(本小题满分12分)

水库的蓄水量随时间而变化,现用t表示时间,以月为单位,

年初为起点,根据历年数据,某水库的蓄水量(单位:亿立

方米)关于t的近似函数关系式为

1

24

(1440)50,010,

()

4(10)(341)50,1012.

x

t t e t

V t

t t t

?

?-+-+<≤

=?

?--+<≤

?

(Ⅰ)该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以

1

i t i

-<<表示第1月份(1,2,,12

i= ),同一年内

哪几个月份是枯水期?

(Ⅱ)求一年内该水库的最大蓄水量(取 2.7

e=计算).

解:

水库的蓄水量随时间而变化,现用t表示时间,以月为单位,

年初为起点,根据历年数据,某水库的蓄水量(单位:亿立

方米)关于t的近似函数关系式为

1

24

(1440)50,010,

()

4(10)(341)50,1012.

x

t t e t

V t

t t t

?

?-+-+<≤

=?

?--+<≤

?

(Ⅰ)该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以

1

i t i

-<<表示第1月份(1,2,,12

i= ),同一年内

哪几个月份是枯水期?

(Ⅱ)求一年内该水库的最大蓄水量(取 2.7e =计算).

12.(湖南卷21)(本小题满分13分)已知函数

f (x )=ln 2(1+x)-

2

1x

x

+.

(I) 求函数()f x 的单调区间; (Ⅱ)若不等式1(1)

a a

e n

++

≤对任意的N *n ∈都成立

(其中e 是自然对数的底数).求α的最大值. 解: (Ⅰ)函数()f x 的定义域是(1,)-+∞,

2

2

2

2

2ln(1)22(1)ln(1)2().1(1)

(1)

x x x x x x x

f x x

x x ++++--'=

-

=

+++

2

()2(1)ln(1)2,

g x x x x x =++--则

()2ln(1)2.g x x x '=+-

()2ln(1)2,

h x x x =+-则

22()2.11x h x x

x

-'=

-=

++

当10x -<<时, ()0,h x '> ()h x 在(-1,0)上为增函数,当x >0时,()0,h x '<()h x 在(0,)+∞上为减函数.所以h (x )在x =0处取得极大值,而h (0)=0,所以

()0(0)g x x '<≠,函数g (x )在(1,)-+∞上为减函数.,

于是当10x -<<时,()(0)0,g x g >=当x >0时,

()(0)0.g x g <=

所以,当10x -<<时,()0,f x '>()f x 在(-1,0)上为增函数.

当x >0时,()0,f x '<()f x 在(0,)+∞上为减函数. 故函数()f x 的单调递增区间为(-1,0),单调递减区间为

(0,)+∞.

(Ⅱ)不等式1(1)

n a

e n

++

≤等价于不等式

1()l n (1)1.n a n

++≤

1

11n

+>知, 1.1

ln(1)

a n n

-+ 设(]11(),0,1,

ln(1)

G x x x x

=

-

∈+则22

2

2

2

2

11(1)ln (1)().(1)ln (1)

(1)ln (1)

x x x G x x x x

x x x ++-'=-

+

=

++++

由(Ⅰ)知,

2

2

ln (1)0,

1x

x x

+-

≤+即

22

(1)ln (1)0.x x x ++-≤

所以()0,G x '<(]0,1,x ∈于是G (x )在(]0,1上为减函数.

故函数G (x )在(]0,1上的最小值为1(1) 1.ln 2

G =-

所以a 的最大值为1 1.ln 2

-

13.(陕西卷21).(本小题满分12分)已知函数

2

1()kx f x x c

+=

+(0c >且1c ≠,k ∈R )恰有一个极

大值点和一个极小值点,其中一个是x c =-.

(Ⅰ)求函数()f x 的另一个极值点;

(Ⅱ)求函数()f x 的极大值M 和极小值m ,并求

1M m -≥时k 的取值范围.

解:(Ⅰ)2

2

2

2

2

2

()2(1)

2()()

()

k x c x kx kx x ck f x x c x c +-+--+'=

=

++,

由题意知()0f c '-=,

即得2

20c k c ck --=,(*)0c ≠ ,0k ∴≠. 由()0f x '=得2

20kx x ck --+=, 由韦达定理知另一个极值点为1x =(或2x c k

=-).

(Ⅱ)由(*)式得21

k c =

-,即21c k

=+

当1c >时,0k >;当01c <<时,2k <-. (i )当0k >时,()f x 在()c -∞-,和(1)+∞,内是减函数,在(1)c -,内是增函数.

1(1)01

2

k k M f c +∴==

=

>+,

2

2

1()02(2)

kc k

m f c c c k -+-=-=

=

<++,

由212

2(2)

k k

M m k -=

+

+≥及0k >

,解得k ≥.

(ii )当2k <-时,()f x 在()c -∞-,和(1)+∞,内是

增函数,在(1)c -,内是减函数.

2

()02(2)

k

M f c k -∴=-=

>+,(1)02

k m f ==

<

2

2

(1)1112(2)

2

2

k

k k M m k k -++-=

-

=-

++≥恒成立.

综上可知,所求k

的取值范围为(2))-∞-+∞ ,.

14.(重庆卷20)(本小题满分13分.(Ⅰ)小问5分.(Ⅱ)小问8分.)设函数2

()(0),f x ax bx c a =++≠曲线

y =f (x )通过点(0,2a +3),且在点(-1,f (-1))

处的切线垂直于y 轴.

(Ⅰ)用a 分别表示b 和c ;

(Ⅱ)当bc 取得最小值时,求函数g (x )=-f (x )e -x

的单调区间.

(

)

为2

(),(

)2.f x a x b x c f x

a x b

'=++=+所以 又因为曲线()y f x =通过点(0,2a +3), 故(0)23,(0),2 3.f a f c c a =+==+而从而 又曲线()y f x =在(-1,f (-1))处的切线垂直于y 轴,

即-2a +b =0,因此b=2a

(Ⅱ)由(Ⅰ)得2

392(23)4(),44

bc a a a =+=+-

故当34

a =-

时,bc 取得最小值-

94

.

此时有33,.2

2

b c =-

= 从而2

33333(),(),4

22

22f x x x f x x '=-

-

+

=-

-

2

333()()(

),4

2

2

x

x

g x f x c

x x e --=-=+

-

所以2

3()(()()(4)

.

4

x

x

g x f x

f x e x e --''=-=--令()0

g x '=,解得122, 2.x x =-=

当(,2),()0,()(,2)x g x g x x '∈-∞-<∈-∞-时故在上为减函数;

当(2,2)()0,()(2,).x g x g x x '∈->∈+∞时,故在上为减函数当(2,)()0()(2,)x g x g x x '∈+∞<∈+∞时,,故在上为减函数.

由此可见,函数()g x 的单调递减区间为(-∞,-2)和(2,+∞);单调递增区间为(-2,2).

15.(福建卷19)(本小题满分12分)已知函数

32

1()23

f x x x =

+-.

(Ⅰ)设{a n }是正数组成的数列,前n 项和为S n ,其中a 1=3.若点2

11(,2)n n n a a a ++-(n ∈N*)在函数y =f ′(x )的图象上,求证:点(n ,S n )也在y =f ′(x )的图象上;

(Ⅱ)求函数f (x )在区间(a -1,a )内的极值.

(Ⅰ)证明:因为32

1()2,3

f x x x =+-所以f ′(x )=x 2+2x ,

由点211(,2)(N )n n n a a a n +

++-∈在函数y =f ′(x )的图

象上, 又

0(N ),

n a n +

>∈所以

11()(2)0,n n n n a a a a -+---=

所以2

(1)32=22

n n n S n n n -=+

?+,又因为f ′(n )=n 2+2n ,所以()n S f n '=,

故点(,)n n S 也在函数y=f ′(x )的图象上.

(Ⅱ)解:2

()2(2)f x x x x x '=+=+, 由()0,f x '=得02x x ==-或.

当x 变化时,()f x '﹑()f x 的变化情况如下表: 注意到(1)12a a --=<,从而

① 当212,21,()(2)3

a a a f x f -<-<-<<--=-

即时的极大值为,

此时()f x 无极小值;

②当10,01,()a a a f x -<<<<即

时的极小值为

(0)2f =-,此时()f x 无极大值;

③当2101

,()a a a f x ≤--≤≤≥或或时既无极大值

2008年高考数学试题分类汇编——函数与导数

2008年高考数学试题分类汇编 函数与导数 一. 选择题: 1.(全国一1 )函数y = C ) A .{}|0x x ≥ B .{}|1x x ≥ C .{}{}|10x x ≥ D .{}|01x x ≤≤ 2.(全国一2)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数,其图像可能是( A ) 3.(全国一6)若函数(1)y f x =- 的图像与函数1y =的图像关于直线y x =对称,则()f x =( B ) A .21x e - B .2x e C .21x e + D .22x e + 4.(全国一7)设曲线11x y x += -在点(32),处的切线与直线10ax y ++=垂直,则a =( D ) A .2 B .12 C .12- D .2- 5.(全国一9)设奇函数()f x 在(0)+∞, 上为增函数,且(1)0f =,则不等式()()0f x f x x --<的解集为( D ) A .(10)(1)-+∞ ,, B .(1)(01)-∞- , , C .(1)(1)-∞-+∞ ,, D .(10)(01)- , , 6.(全国二3)函数1()f x x x = -的图像关于( C ) A .y 轴对称 B . 直线x y -=对称 A . B . C . D .

C . 坐标原点对称 D . 直线x y =对称 8.(全国二4)若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===,,,,,则( C ) A .a > B .b a c >> C .c a b >> D .b c a >> 10.(北京卷3)“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的( B ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 11.(四川卷10)设()()sin f x x ω?=+,其中0ω>,则()f x 是偶函数的充要条件是( D ) (A)()01f = (B)()00f = (C)()'01f = (D)()'00f = 12.(四川卷11)设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ?+=,若()12f =,则()99f =( C ) (A)13 (B)2 (C)132 (D)213 13.(天津卷3)函数1y =04x ≤≤)的反函数是A (A )2(1)y x =-(13x ≤≤) (B )2(1)y x =-(04x ≤≤) (C )21y x =-(13x ≤≤) (D )21y x =-(04x ≤≤) 14.(天津卷10)设1a >,若对于任意的[,2]x a a ∈,都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=,这时 a 的取值集合为B (A )2{|1}a a <≤ (B ){|}2a a ≥ (C )3|}2{a a ≤≤ (D ){2,3} 15.(安徽卷7)0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的( B ) A .必要不充分条件 B .充分不必要条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 16.(安徽卷9)在同一平面直角坐标系中,函数()y g x =的图象与x y e =的图象关于直线y x =对称。而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称,若()1f m =-,

2008年高考数学试题分类汇编——函数与导数

2008年高考数学试题分类汇编——函数与导数

2008年高考数学试题分类汇编 函数与导数 一. 选择题: 1.(全国一1 )函数y =的定义域为( C ) A .{}|0x x ≥ B .{}|1x x ≥ C .{}{}|10x x ≥ D .{}|01x x ≤≤ 2.(全国一2)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数,其图像可能是( A ) 3.(全国一6)若函数(1)y f x =- 的图像与函数ln 1y =的图像关于直线y x =对称,则()f x =( B ) A .21x e - B .2x e C .21x e + D .22x e + 4.(全国一7)设曲线11x y x += -在点(32),处的切线与直线10ax y ++=垂直,则a =( D ) A .2 B .12 C .12- D .2- 5.(全国一9)设奇函数()f x 在(0)+∞, 上为增函数,且(1)0f =,则不等式()()0f x f x x --<的解集为( D ) A .(10)(1)-+∞,, B .(1)(01)-∞-, , C .(1)(1)-∞-+∞, , D .(10)(01)-,, 6.(全国二3)函数1()f x x x = -的图像关于( C ) A .y 轴对称 B . 直线x y -=对称 A B C D

C . 坐标原点对称 D . 直线x y =对称 8.(全国二4)若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===,, ,,,则( C ) A .a > B .b a c >> C .c a b >> D .b c a >> 10.(北京卷3)“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的( B ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 11.(四川卷10)设()()sin f x x ω?=+,其中0ω>,则()f x 是偶函数的充要条件是( D ) (A)()01f = (B)()00f = (C)()'01f = (D)()'00f = 12.(四川卷11)设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ?+=,若()12f =,则()99f =( C ) (A)13 (B)2 (C)132 (D)213 13.(天津卷3)函数1y =04x ≤≤)的反函数是A (A )2(1)y x =-(13x ≤≤) (B )2(1)y x =-(04x ≤≤) (C )21y x =-(13x ≤≤) (D )21y x =-(04x ≤≤) 14.(天津卷10)设1a >,若对于任意的[,2]x a a ∈,都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=,这时a 的取值集合为B (A )2{|1}a a <≤ (B ){|}2a a ≥ (C )3|}2{a a ≤≤ (D ){2,3} 15.(安徽卷7)0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的( B ) A .必要不充分条件 B .充分不必要条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 16.(安徽卷9)在同一平面直角坐标系中,函数()y g x =的图象与x y e =的图象关于直线y x =对称。而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称,若()1f m =-,

2009至2018年北京高考真题分类汇编之导数大题

2009至2018年北京高考真题分类汇编之导数大题精心校对版题号一总分得分△注意事项:1.本系列试题包含2009年-2018年北京高考真题的分类汇编。2.本系列文档有相关的试题分类汇编,具体见封面。3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年(2011年-2020年)高考所有学科一、解答题(本大题共10小题,共0分)1.(2013年北京高考真题数学(文))已知函数2()sin cos f x x x x x (1)若曲线()y f x 在点(,())a f a 处与直线y b 相切,求a 与b 的值。(2)若曲线()y f x 与直线y b 有两个不同的交点,求b 的取值范围。2.(2012年北京高考真题数学(文))已知函数2()1(0)f x ax a ,3()g x x bx .(Ⅰ)若曲线()y f x 与曲线()y g x 在它们的交点(1,)c 处具有公共切线,求,a b 的值;(Ⅱ)当3a ,9b 时,若函数()()f x g x 在区间[,2]k 上的最大值为28,求k 的取值范围.3.(2011年北京高考真题数学(文))已知函数()()x f x x k e . (Ⅰ)求()f x 的单调区间;(Ⅱ)求()f x 在区间[0,1]上的最小值. 4.(2009年北京高考真题数学(文))姓名:__________班级:__________考号:__________●-------------------------密--------------封- -------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●

五年高考真题分类汇编:函数、导数及其应用资料

五年高考真题分类汇编:函数、导数及其应用 一.选择题 1.(2015高考福建,文12)“对任意(0, )2 x π ∈,sin cos k x x x <”是“1k <”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 【解析】当1k <时,sin cos sin 22k k x x x = ,构造函数()sin 22 k f x x x =-,则'()cos 210f x k x =-<.故()f x 在(0,)2x π∈单调递增,故()()022 f x f ππ <=-<, 则sin cos k x x x <; 当1k =时,不等式sin cos k x x x <等价于1 sin 22 x x <,构造函 数1()sin 22g x x x =-,则' ()cos 210g x x =-<,故()g x 在(0,)2x π∈递增,故 ()()022g x g ππ<=-<,则sin cos x x x <.综上所述, “对任意(0,)2x π ∈,sin cos k x x x <”是“1k <”的必要不充分条件,选B . 【答案】B 2.(2015湖南高考,文8)设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--,则()f x 是( ) A 、奇函数,且在(0,1)上是增函数 B 、奇函数,且在(0,1)上是减函数 C 、偶函数,且在(0,1)上是增函数 D 、偶函数,且在(0,1)上是减函数 【解析】函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--,函数的定义域为(-1,1),函数 ()ln(1)ln(1)()f x x x f x -=--+=-所以函数是奇函数.()2 111 '111f x x x x = +=+-- ,在(0,1)上()'0f x > ,所以()f x 在(0,1)上单调递增,故选A. 【答案】A 3.(2015北京高考,文8)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况. 注:“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为( )

2017至2018年北京高三模拟分类汇编之导数大题

2017至2018年北京高三模拟分类汇编之导数大题,20创新题 精心校对版 △注意事项: 1.本系列试题包含2017年-2018年北京高考一模和二模真题的分类汇编。 2.本系列文档有相关的试题分类汇编,具体见封面。 3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本 4.本系列试题涵盖北京历年(2011年-2020年)高考所有学科 一 、解答题(本大题共22小题,共0分) 1.(2017北京东城区高三一模数学(文))设函数ax x x x f +-=232131)(,R a ∈. (Ⅰ)若2=x 是)(x f 的极值点,求a 的值,并讨论)(x f 的单调性; (Ⅱ)已知函数3221)()(2+-=ax x f x g ,若)(x g 在区间)1,0(内有零点,求a 的取值范围; (Ⅲ)设)(x f 有两个极值点1x ,2x ,试讨论过两点))(,(11x f x ,))(,(22x f x 的直线能否过点)1,1(,若能,求a 的值;若不能,说明理由. 2.(2017北京丰台区高三一模数学(文)) 已知函数1()e x x f x +=,A 1()x m ,,B 2()x m ,是曲线()y f x =上两个不同的点. (Ⅰ)求()f x 的单调区间,并写出实数m 的取值范围; (Ⅱ)证明:120x x +>. 3.(2017北京丰台区高三二模数学(文)) 已知函数ln ()x f x ax =(0)a >. (Ⅰ)当1a =时,求曲线()y f x =在点(1(1)),f 处的切线方程; 姓名:__________班级:__________考号:__________ ●-------------------------密--------------封------------ --线------ --------内------ ------- -请------- -------不-------------- 要--------------答--------------题-------------------------●

2018年高考导数分类汇编

2018年全国高考理科数学分类汇编——函数与导数 1.(北京)能说明“若f(R)>f(0)对任意的R∈(0,2]都成立,则f(R)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是f(R)=sinR. 【解答】解:例如f(R)=sinR,尽管f(R)>f(0)对任意的R∈(0,2]都成立, 当R∈[0,)上为增函数,在(,2]为减函数,故答案为:f(R)=sinR. 2.(北京)设函数f(R)=[aR2﹣(4a+1)R+4a+3]e R. (Ⅰ)若曲线R=f(R)在点(1,f(1))处的切线与R轴平行,求a; (Ⅱ)若f(R)在R=2处取得极小值,求a的取值范围. 【解答】解:(Ⅰ)函数f(R)=[aR2﹣(4a+1)R+4a+3]e R的导数为 f′(R)=[aR2﹣(2a+1)R+2]e R.由题意可得曲线R=f(R)在点(1,f(1))处的切线斜率为0,可得(a﹣2a﹣1+2)e=0,解得a=1; (Ⅱ)f(R)的导数为f′(R)=[aR2﹣(2a+1)R+2]e R=(R﹣2)(aR﹣1)e R, 若a=0则R<2时,f′(R)>0,f(R)递增;R>2,f′(R)<0,f(R)递减. R=2处f(R)取得极大值,不符题意; 若a>0,且a=,则f′(R)=(R﹣2)2e R≥0,f(R)递增,无极值; 若a>,则<2,f(R)在(,2)递减;在(2,+∞),(﹣∞,)递增, 可得f(R)在R=2处取得极小值; 若0<a<,则>2,f(R)在(2,)递减;在(,+∞),(﹣∞,2)递增, 可得f(R)在R=2处取得极大值,不符题意; 若a<0,则<2,f(R)在(,2)递增;在(2,+∞),(﹣∞,)递减, 可得f(R)在R=2处取得极大值,不符题意. 综上可得,a的范围是(,+∞). 3.(江苏)函数f(R)=【解答】解:由题意得:故答案为:[2,+∞). 的定义域为[2,+∞). ≥1,解得:R≥2,∴函数f(R)的定义域是[2,+∞).

高考数学真题汇编——函数与导数

高考数学真题汇编——函数与导数 1.【2018年浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】D 点睛:有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路:(1)由函数的定义域,判断图象的左、右位置,由函数的值域,判断图象的上、下位置;(2)由函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)由函数的奇偶性,判断图象的对称性;(4)由函数的周期性,判断图象的循环往复. 2.【2018年理天津卷】已知,,,则a,b,c的大小关系为A. B. C. D. 【答案】D

【解析】分析:由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解:由题意结合对数函数的性质可知:,, , 据此可得:.本题选择D选项. 点睛:对于指数幂的大小的比较,我们通常都是运用指数函数的单调性,但很多时候,因幂的底数或指数不相同,不能直接利用函数的单调性进行比较.这就必须掌握一些特殊方法.在进行指数幂的大小比较时,若底数不同,则首先考虑将其转化成同底数,然后再根据指数函数的单调性进行判断.对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较,利用图象法求解,既快捷,又准确. 3.【2018年理新课标I卷】已知函数.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是 A. [–1,0) B. [0,+∞) C. [–1,+∞) D. [1,+∞) 【答案】C 详解:画出函数的图像,在y轴右侧的去掉,再画出直线,之后上下移动,可以发现当直线过点A时,直线与函数图像有两个交点,并且向下可以无限移动,都可以保证直线与函数的图像有两个交点,即方程有两个解,也就是函数有两个零点,此时满足,即,故选C.

点睛:该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题,在求解的过程中,解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题,将式子移项变形,转化为两条曲线交点的问题,画出函数的图像以及相应的直线,在直线移动的过程中,利用数形结合思想,求得相应的结果. 4.【2018年理新课标I卷】设函数,若为奇函数,则曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 【答案】D 点睛:该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题,在求解的过程中,首先需要确定函数解析式,此时利用到结论多项式函数中,奇函数不存在偶次项,偶函数不存在奇次项,从而求得相应的参数值,之后利用求导公式求得,借助于导数的几何意义,结合直线方程的点斜式求得结果. 5.【2018年全国卷Ⅲ理】设,,则

2017高考试题分类汇编-函数导数

函数导数 1(2017北京文)已知函数,则 (A )是偶函数,且在R 上是增函数 (B )是奇函数,且在R 上是增函数 (C )是偶函数,且在R 上是减函数 (D )是奇函数,且在R 上是增函数 2(2017北京文)(本小题13分) 已知函数. (Ⅰ)求曲线在点处的切线方程; (Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值. 3(2017新课标Ⅱ理)(12分) 已知函数2 ()ln f ax a x x x x =--,且()0f x ≥. (1)求a ; (2)证明:()f x 存在唯一的极大值点0x ,且220e ()2f x --<<. 4(2017天津理)(本小题满分14分) 设a ∈Z ,已知定义在R 上的函数4 3 2 ()2336f x x x x x a =+--+在区间(1,2)内有一个零点0x ,()g x 为()f x 的导函数. (Ⅰ)求()g x 的单调区间; (Ⅱ)设00[1,)(,2]m x x ∈ ,函数0()()()()h x g x m x f m =--,求证:0()()0h m h x <; (Ⅲ)求证:存在大于0的常数A ,使得对于任意的正整数,p q ,且 00[1,)(,2],p x x q ∈ 满足041| |p x q Aq -≥. 1()3()3 x x f x =-()f x ()e cos x f x x x =-()y f x =(0,(0))f ()f x π[0,]2

5(2017新课标Ⅲ理数)(12分) 已知函数()f x =x ﹣1﹣a ln x . (1)若()0f x ≥ ,求a 的值; (2)设m 为整数,且对于任意正整数n ,2111 1++1+)222 n ()(1)(﹤m ,求m 的最小值. 6(2017山东理)(本小题满分13分) 已知函数()22cos f x x x =+,()()cos sin 22x g x e x x x =-+-,其中 2.71828e = 是自然对数的底数. (Ⅰ)求曲线()y f x =在点()(),f x π处的切线方程; (Ⅱ)令()()()()h x g x af x a R =-∈,讨论()h x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. 7(2017天津文)(本小题满分14分)设,a b ∈R ,||1a ≤.已知函数 32()63(4)f x x x a a x b =---+,()e ()x g x f x =. (Ⅰ)求()f x 的单调区间; (Ⅱ)已知函数()y g x =和e x y =的图象在公共点(x 0,y 0)处有相同的切线, (i )求证:()f x 在0x x =处的导数等于0; (ii )若关于x 的不等式()e x g x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立,求b 的取值范围. 8(2017新课标Ⅰ理数)(12分) 已知函数2()(2)x x f x ae a e x =+--. (1)讨论()f x 的单调性; (2)若()f x 有两个零点,求a 的取值范围. 9(2017江苏)(本小题满分16分) 已知函数有极值,且导函数的极值点是的零 点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) 32 ()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R ()f x '()f x

高考真题导数第一问分类汇总

切线问题 1 已知函数31()4 f x x ax =++,()ln g x x =-.当a 为何值时,x 轴为曲线()y f x =的切线; 2 设函数1 (0ln x x be f x ae x x -=+,曲线()y f x =在点(1,(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+. 3已知函数ln ()1a x b f x x x = ++,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=.求a 、b 的值; 4 设函数()()23x x ax f x a R e +=∈若()f x 在0x =处取得极值,确定a 的值,并求此时曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程; 5已知函数f(x)=e x -ax(a 为常数)的图像与y 轴交于点A ,曲线y =f(x)在点A 处的切线斜率为-1. 求a 的值及函数f(x)的极值; 6设函数,曲线在点处的切线方程为, 7已知函数.求曲线在点处的切线方程; 8设函数f (x )=x 2+ax +b ,g (x )=e x (cx +d ).若曲线y =f (x )和曲线y =g (x )都过点P (0,2),且在点P 处有相同的切线y =4x +2.求a ,b ,c ,d 的值; ()a x f x xe bx -=+()y f x =(2,(2))f (1)4y e x =-+()e cos x f x x x =-()y f x =(0,(0))f

单调性问题 1已知函数)(x f 满足212 1)0()1(')(x x f e f x f x +-=-.求)(x f 的解析式及单调区间; 2 讨论函数2()2 x x f x e x -=+ 的单调性,并证明当x >0时,(2)20x x e x -++>; 3已知函数()2x x f x e e x -=--. 讨论()f x 的单调性; 4 设1a >,函数a e x x f x -+=)1()(2.求)(x f 的单调区间 ; 5已知函数f (x )=a e 2x -b e -2x -cx (a ,b ,c ∈R )的导函数f ′(x )为偶函数,且曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的 切线的斜率为4-c . (1)确定a ,b 的值; (2)若c =3,判断f (x )的单调性; 6设,已知定义在R 上的函数在区间内有一个零点,为的导函数.求的单调区间; 7已知函数()ln()x f x e x m =-+. 设0x =是()f x 的极值点,求m ,并讨论()f x 的单调性; a ∈Z 432 ()2336f x x x x x a =+--+(1,2)0x ()g x ()f x ()g x

2017年高考理科数学分类汇编 导数

导数 1.【2017课标II ,理11】若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点,则()f x 的极小值为( ) A.1- B.32e -- C.35e - D.1 【答案】A 【解析】()()2121e x f x x a x a -'??=+++-??? , 则()()324221e 01f a a a -'-=-++-?=?=-????, 则()()211e x f x x x -=--?,()()212e x f x x x -'=+-?, 令()0f x '=,得2x =-或1x =, 当2x <-或1x >时,()0f x '>, 当21x -<<时,()0f x '<, 则()f x 极小值为()11f =-. 【考点】 函数的极值;函数的单调性 【名师点睛】(1)可导函数y =f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)=0,且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同。 (2)若f (x )在(a ,b )内有极值,那么f (x )在(a ,b )内绝不是单调函数,即在某区间上单调增或减的函数没有极值。 2.【2017课标3,理11】已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点,则a = A .12- B .13 C .12 D .1 【答案】C 【解析】由条件,211()2(e e )x x f x x x a --+=-++,得: 221(2)1211211(2)(2)2(2)(e e ) 4442(e e )2(e e ) x x x x x x f x x x a x x x a x x a ----+----+-=---++=-+-+++=-++ ∴(2)()f x f x -=,即1x =为()f x 的对称轴, 由题意,()f x 有唯一零点, ∴()f x 的零点只能为1x =, 即21111(1)121(e e )0f a --+=-?++=, 解得12 a =. 【考点】 函数的零点;导函数研究函数的单调性,分类讨论的数学思想 【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围,若方程可解,通过解方程即可得出参数的

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导数大题分类 一、含参数单调区间的求解步骤: ① 确定定义域(易错点) ②求导函数 f ' (x) ③对 f ' ( x) 进行整理,能十字交叉的十字交叉分解,若含分式项,则进行通分整理 . ④ f ' ( x) 中 x 的最高次系数是否为 0,为 0 时求出单调区间 . 例 1: f ( x) a x 3 a 1 x 2 x ,则 f ' ( x) (ax 1)( x 1) 要首先讨论 a 0 情况 3 2 ⑤ f ' ( ) 最高次系数不为 0,讨论参数取某范围的值时, 若 f ' (x) 0 ,则 f ( x) 在定义域内单调递增; x 若 f ' (x) 0 ,则 f ( x) 在定义域内单调递减 . 例 2: f (x) a x 2 ln x ,则 f ' ( x) = ax 2 1 , ( x 0) ,显然 a 0时 f ' ( x) 0 ,此时 f (x) 的 2 x 单调区间为 (0, ) . ⑥ f ' ( ) 最高次系数不为 0,且参数取某范围的值时,不会出现 f ' (x) 0 或者 f ' ( x) 0 的情况 x 求出 f ' ( x) =0 的根,(一般为两个) x 1 , x 2 ,判断两个根是否都在定义域内 . 如果只有一根在定义域 内,那么单调区间只有两段 . 若两根都在定义域内且一根为常数,一根含参数 . 则通过比较两根大小分三种情况讨论单调区间, 即 x 1 x 2 , x 1 x 2 , x 1 x 2 . 例 3: 若 f ( x) a x 2 (a 1)x ln x, (a 0) ,则 f ' ( x) ( ax 1)( x 1) , (x 0) 解方程 f ' ( x) 2 1 x 0 得 x 1 1, x 2 a a 0时,只有 x 1 1 在定义域内 . a 0 时 , 比较两根要分三种情况: a 1,0 a 1, a 1 用所得的根将定义域分成几个不同的子区间,讨论 f ' ( x) 在每个子区间内的正负,求得 f (x) 的单调区间。

最新-2017新课标高考数学导数分类汇编(文)

2011-2017新课标(文科)导数压轴题分类汇编 【2011新课标】21. 已知函数ln ()1a x b f x x x = ++,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。 (1)求a 、b 的值; (2)证明:当0x >,且1x ≠时, f (x )> ln x x -1 【解析】 (1)22 1 ( ln ) '()(1)x x b x f x x x α+-= -+ 由于直线230x y +-=的斜率为1 2 - ,且过点(1,1), 故(1)1,1'(1),2f f =???=-?? 即1,1,22 b a b =???-=-?? 解得1a =,1b =。 (2)由(1)知f (x )=x x x 1 1ln ++,所以f (x )-ln x x -1=11-x 2 (2ln x -x 2-1x ), 考虑函数,则2 2 222)1()1(22)(x x x x x x x h -- =---=', 所以x ≠1时h ′(x )<0,而h (1)=0 故)1,0(∈x 时,h (x )>0可得,),1(+∞∈x 时,h (x )<0可得, 从而当,且时,. 【2012新课标】21. 设函数f (x ) = e x -ax -2 (1)求f (x )的单调区间 (2)若a =1,k 为整数,且当x >0时,(x -k ) f ′(x )+x +1>0,求k 的最大值 【解析】 (1) f (x )的定义域为(,)-∞+∞,()x f x e a '=-, 若0a ≤,则()0f x '>,所以()f x 在(,)-∞+∞单调递增. 若0a >,则当(,ln )x a ∈-∞时,()0f x '<;当(l n ,)x a ∈+∞时,()0f x '>,所以()f x 在(,ln )a -∞单调递减,在(ln ,)a +∞单调递增. (2)由于1a =,所以()()1()(1)1x x k f x x x k e x '-++=--++. 故当0x >时,()()10x k f x x '-++>等价于1(0) (1) x x k x x e +<+>-①. 令1()(1) x x g x x e +=+-,则221(2)()1(1)(1)x x x x x xe e e x g x e e ----'=+= --. 由(1)知,函数()2x h x e x =--在(0,)+∞单调递增,而(1)0h <,(2)0h >, ln ()1x f x x > -ln ()1x f x x >-0x >1x ≠ln ()1 x f x x >-

(完整版)专题05导数与函数的极值、最值—三年高考(2015-2017)数学(文)真题汇编.doc

1. 【 2016 高考四川文科】已知函数的极小值点,则=( ) (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】 D 考点:函数导数与极值. 【名师点睛】本题考查函数的极值.在可导函数中函数的极值点是方程但是极大值点还是极小值点,需要通过这点两边的导数的正负性来判断,在 的解,附近,如 果时,,时,则是极小值点,如果时,,时,,则是极大值点, 2. 【 2015 高考福建,文A.充分而不必要条 件12】“对任意 B.必要而不充分条件 ,”是“ C .充分必要条件 D ”的() .既不充分也不必 要条件 【答案】 B 【解析】当时,,构造函数,则 .故在单调递增,故,则;当时,不等式等价于,构造函数 ,则,故在递增,故 ”是“,则.综上 ”的必要不充分条件,选 所述,“ 对任 意B. ,

【考点定位】导数的应用. 【名师点睛】 本题以充分条件和必要条件为载体考查三角函数和导数在单调性上的应用, 根 据已知条件构造函数,进而研究其图象与性质,是函数思想的体现,属于难题. 3. (2014 课标全国Ⅰ,文 12) 已知函数 f ( x ) = ax 3 - 3 2 + 1,若 f ( ) 存在唯一的零点 x 0 ,且 x x x 0>0,则 a 的取值范围是 ( ) . A . (2 ,+∞ ) B . (1 ,+∞) C . ( -∞,- 2) D .( -∞,- 1) 答案: C 解析:当 a = 0 时, f ( x ) =- 3x 2+ 1 存在两个零点,不合题意; 当 a >0 时, f ′(x ) = 3ax 2- 6x = , 令 ′( ) = 0,得 x 1 = 0, , fx 所以 f ( x ) 在 x =0 处取得极大值 f (0) = 1,在 处取得极小值 , 要使 f ( x ) 有唯一的零点,需 ,但这时零点 x 0 一定小于 0,不合题意; 当 a <0 时, f ′(x ) = 3ax 2- 6x = , 令 f ′(x ) = 0,得 x 1=0, ,这时 f ( x ) 在 x =0 处取得极大值 f (0) = 1,在 处取得极小值 , 要使 f ( x ) 有唯一零点,应满足 ,解得 a <- 2( a > 2 舍去 ) ,且这时 零点 x 0 一定大于 0,满足题意,故 a 的取值范围是 ( -∞,- 2) . 名师点睛:本题考查导数法求函数的单调性与极值,函数的零点,考查分析转化能力,分类讨论思想, 较难题 . 注意区别函数的零点与极值点 . 4. 【 2014 辽宁文 12】当 时,不等式 恒成立,则实数 a 的取 值范围是()

2019年高考数学理科数学 导数及其应用分类汇编

2019年高考数学理科数学 导数及其应用 1.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线e ln x y a x x =+在点(1,a e )处的切线方程为y =2x +b ,则 A .e 1a b ==-, B .a=e ,b =1 C .1e 1a b -==, D .1e a -=,1b =- 【答案】D 【解析】∵e ln 1,x y a x '=++ ∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=,1e a -∴=, 将(1,1)代入2y x b =+,得21,1b b +==-. 故选D . 2.【2019年高考天津理数】已知a ∈R ,设函数222,1, ()ln , 1.x ax a x f x x a x x ?-+≤=?->?若关于x 的不等式()0 f x ≥在R 上恒成立,则a 的取值范围为 A .[] 0,1 B .[] 0,2 C .[]0,e D .[] 1,e 【答案】C 【解析】当1x =时,(1)12210f a a =-+=>恒成立; 当1x <时,2 2 ()22021 x f x x ax a a x =-+≥?≥-恒成立, 令2 ()1 x g x x =-, 则222(11)(1)2(1)1 ()111x x x x g x x x x -----+=-=-=- --- 11122(1)2011x x x x ???? =--+-≤--?= ? ? ?--???? , 当1 11x x -= -,即0x =时取等号, ∴max 2()0a g x ≥=,则0a >.

当1x >时,()ln 0f x x a x =-≥,即ln x a x ≤恒成立, 令()ln x h x x = ,则2ln 1()(ln )x h x x -'=, 当e x >时,()0h x '>,函数()h x 单调递增, 当0e x <<时,()0h x '<,函数()h x 单调递减, 则e x =时,()h x 取得最小值(e)e h =, ∴min ()e a h x ≤=, 综上可知,a 的取值范围是[0,e]. 故选C. 3.(2019浙江)已知,a b ∈R ,函数32 ,0 ()11(1),03 2x x f x x a x ax x 0 C .a >–1,b <0 D .a >–1,b >0 【答案】C 【解析】当x <0时,y =f (x )﹣ax ﹣b =x ﹣ax ﹣b =(1﹣a )x ﹣b =0,得x , 则y =f (x )﹣ax ﹣b 最多有一个零点; 当x ≥0时,y =f (x )﹣ax ﹣b x 3 (a +1)x 2+ax ﹣ax ﹣b x 3 (a +1)x 2﹣b , 2(1)y x a x =+-', 当a +1≤0,即a ≤﹣1时,y ′≥0,y =f (x )﹣ax ﹣b 在[0,+∞)上单调递增, 则y =f (x )﹣ax ﹣b 最多有一个零点,不合题意; 当a +1>0,即a >﹣1时,令y ′>0得x ∈(a +1,+∞),此时函数单调递增, 令y ′<0得x ∈[0,a +1),此时函数单调递减,则函数最多有2个零点. 根据题意,函数y =f (x )﹣ax ﹣b 恰有3个零点?函数y =f (x )﹣ax ﹣b 在(﹣∞,0)上有一个零点,在[0,+∞)上有2个零点, 如图:

近五年高考试题分类汇编-导数部分(附答案解析)

2018年全国高考试题分类汇编-导数部分(含解析) 1.(2018·全国卷I 高考理科·T5)同(2018·全国卷I 高考文科·T6)设函数f (x )=x3+(a -1)x2+ax.若f (x )为奇函数,则曲线y=f (x )在点(0,0)处的切线方程为( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x 2.(2018·全国卷II 高考理科·T13)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 3.(2018·全国卷II 高考文科·T13)曲线y=2lnx 在点(1,0)处的切线方程为 4.(2018·全国Ⅲ高考理科·T14)曲线y=(ax +1)ex 在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a= . 5.(2018·天津高考文科·T10)已知函数f(x)=exlnx,f ′(x)为f(x)的导函数,则f ′(1)的值为 . 6.(2018·全国卷I 高考理科·T16)已知函数f (x )=2sinx+sin2x,则f (x )的最小值是 . 7.(2017·全国乙卷文科·T14)曲线y=x 2 + 1 x 在点(1,2)处的切线方程为 . 8.(2017·全国甲卷理科·T11)若x=-2是函数f (x )=(2x +ax-1)1x e -的极值点,则f (x )的极小值为 ( ) A.-1 B.-23e - C.53e - D.1 9.(2017 10.(2017递增,则称f (x )A.f (x )=2-x 11.(2017数a 12.(2017则称f (x )具有M ①f (x )=2-x ;②f (x

13.(2017·全国乙卷理科·T16)如图,圆形纸片的圆心为O ,半径为5cm ,该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O.D ,E ,F 为圆O 上的点,△DBC ,△ECA ,△FAB 分别是以BC ,CA ,AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC ,CA ,AB 为折痕折起△DBC ,△ECA ,△FAB ,使得D ,E ,F 重合,得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm 3 )的最大值为 . 14.(2017·天津高考文科·T10)已知a ∈R ,设函数f (x )=ax-lnx 的图象在点(1,f (1))处的切线为l ,则l 在y 轴上的截距为 . 15.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T12)若函数f (x )=x-1 3 sin2x+asinx 在(-∞,+∞)上单调递增,则a 的取值范围是( ) A.[-1,1] B.11,3 ? ? -?? ?? C.11,33??- ???? D.11,3? ? --???? 16.(2016·四川高考理科·T9)设直线l 1,l 2分别是函数f (x )=lnx,0x 1,lnx,x 1, ?-<?图象上点P 1,P 2处的 切线,l 1与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 17.(2016·四川高考文科·T6)已知a 为函数f (x )=x 3 -12x 的极小值点,则a=( ) A.-4 B.-2 C.4 D.2 18.(2016·四川高考文科·T10)设直线l 1,l 2分别是函数f (x )=lnx,0x 1,lnx,x 1, ?-<?图象上点P 1,P 2处的切线,l 1 与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是 ( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 19.(2016·山东高考文科·T10)同(2016·山东高考理科·T10) 若函数y=f (x )的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是 ( ) A.y=sinx B.y=lnx C.y=e x D.y=x 3 20.(2016·全国卷Ⅱ理科·T16)若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln (x+1)的切线,则b= .

2019年高考文科数学导数及其应用分类汇编

导数及其应用 1.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】曲线y =2sin x +cos x 在点(π,-1)处的切线方程为 A .10x y --π-= B .2210x y --π-= C .2210x y +-π+= D .10x y +-π+= 【答案】C 【解析】2cos sin ,y x x '=-π2cos πsin π2,x y =∴=-=-' 则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π,即2210x y +-π+=. 故选C . 2.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线e ln x y a x x =+在点(1,a e )处的切线方程为y =2x +b ,则 A .e 1a b ==-, B .a=e ,b =1 C .1e 1a b -==, D .1e a -=,1b =- 【答案】D 【解析】∵e ln 1,x y a x '=++ ∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=,1e a -∴=, 将(1,1)代入2y x b =+,得21,1b b +==-. 故选D . 3.【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ,函数32,0()11(1),03 2x x f x x a x ax x 0 C .a >–1,b <0 D .a >–1,b >0 【答案】C 【解析】当x <0时,y =f (x )﹣ax ﹣b =x ﹣ax ﹣b =(1﹣a )x ﹣b =0,得x , 则y =f (x )﹣ax ﹣b 最多有一个零点; 当x ≥0时,y =f (x )﹣ax ﹣b x 3 (a +1)x 2+ax ﹣ax ﹣b x 3 (a +1)x 2﹣b ,

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