最新初中数学反比例函数单元检测

最新初中数学反比例函数单元检测

一、选择题

1．如图，过反比例函数()0k

y x x

=

>的图象上一点A 作AB x ⊥轴于点B ，连接AO ，若2AOB S ?=，则k 的值为（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

【答案】C 【解析】 【分析】

根据2AOB S ?=，利用反比例函数系数k 的几何意义即可求出k 值，再根据函数在第一象限可确定k 的符号. 【详解】

解：由AB x ⊥轴于点B ，2AOB S ?=，得到1

22

AOB S k ?== 又因图象过第一象限, 1

22

AOB S k ?==，解得4k = 故选C 【点睛】

本题考查了反比例函数系数k 的几何意义.

2．如图，是反比例函数

3

y x

=

和7y x

=-在x 轴上方的图象，x 轴的平行线AB 分别与这两个函数图象相交于点,A B ，点P 在x 轴上．则点P 从左到右的运动过程中，APB △的面积是（ ）

A ．10

B ．4

C ．5

D ．从小变大再变小

【答案】C 【解析】 【分析】

连接AO 、BO ，由AB ∥x 轴，得ABP ABO S S =V V ，结合反比例函数比例系数的几何意义，即可求解． 【详解】

连接AO 、BO ，设AB 与y 轴交于点C ． ∵AB ∥x 轴，

∴ABP ABO S S =V V ，AB ⊥y 轴， ∵73

522

ABO BOC AOC S S S -=+=+=V V V ， ∴APB △的面积是：5． 故选C ．

【点睛】

本题主要考查反比例函数比例系数的几何意义，掌握反比例函数图象上的点与原点的连线，反比例函数图象上的点垂直于坐标轴的垂线段以及坐标轴所围成的三角形面积等于反比例函数比例系数绝对值的一半，是解题的关键．

3．如图, 在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数

k

y

x

=和3

y kx

=+的图象大致是

（）

A．B．

C．

D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答．【详解】

解：A、由函数y=k

x

的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＞0一致，正确；

B、由函数y=k

x

的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＞0，与3＞0矛盾，错误；

C、由函数y=k

x

的图象可知k＜0与y=kx+3的图象k＜0矛盾，错误；

D、由函数y=k

x

的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＜0矛盾，错误．

故选A．【点睛】

本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．

4．如图，在平面直角坐标系中，点A 是函数()0k

y x x

=

>在第一象限内图象上一动点，过点A 分别作AB x ⊥轴于点B AC y ⊥、轴于点C ，AB AC 、分别交函数()1

0y x x

=

>的图象于点E F 、，连接OE OF 、．当点A 的纵坐标逐渐增大时，四边形OFAE 的面积（ ）

A ．不变

B ．逐渐变大

C ．逐渐变小

D ．先变大后变小

【答案】A 【解析】 【分析】

根据反比例函数系数k 的几何意义得出矩形ACOB 的面积为k ，BOE S V COF S =V 1

2

=，则四边形OFAE 的面积为定值1k -． 【详解】 ∵点A 是函数(0k

y x x

=>)在第一象限内图象上，过点A 分别作AB ⊥x 轴于点B ，AC ⊥y 轴于点C ，

∴矩形ACOB 的面积为k ， ∵点E 、F 在函数1

y x

=的图象上， ∴BOE S V COF S =V 12

=

， ∴四边形OFAE 的面积11

122

k k =-

-=-， 故四边形OFAE 的面积为定值1k -，保持不变， 故选：A ． 【点睛】

本题考查了反比例函数中系数k 的几何意义，根据反比例函数系数k 的几何意义可求出四边形和三角形的面积是解题的关键．

5．在平面直角坐标系中，分别过点(),0A m ,()2,0B m

﹢作x 轴的垂线1l 和2l ,探究直线1l 和2l 与双曲线 3

y x

=

的关系，下列结论中错误．．的是 A ．两直线中总有一条与双曲线相交

B ．当m =1时，两条直线与双曲线的交点到原点的距离相等

C ．当20m -﹤﹤ 时，两条直线与双曲线的交点在y 轴两侧

D ．当两直线与双曲线都有交点时，这两交点的最短距离是2 【答案】D 【解析】 【分析】

根据题意给定m 特定值、非特定值分别进行讨论即可得. 【详解】

当m =0时，2l 与双曲线有交点，当m =-2时，1l 与双曲线有交点，

当m 0m 2≠≠，﹣时，12l l 与和双曲线都有交点，所以A 正确，不符合题意；

当m 1=时，两交点分别是(1，3)，(3，1)，到原点的距离都是10，所以B 正确，不符合题意；

当2m 0-﹤﹤ 时，1l 在y 轴的左侧，2l 在y 轴的右侧，所以C 正确，不符合题意；

两交点分别是33m (m 2m m 2++，和，)，两交点的距离是()2364m m 2+??+??

，当m 无限

大时，两交点的距离趋近于2，所以D 不正确，符合题意， 故选D. 【点睛】

本题考查了垂直于x 轴的直线与反比例函数图象之间的关系，利用特定值，分情况进行讨论是解本题的关键，本题有一定的难度.

6．如图，点A 是反比例函数y ＝

k

x

（x ＜0）的图象上的一点，过点A 作平行四边形ABCD ，使点B 、C 在x 轴上，点D 在y 轴上．已知平行四边形ABCD 的面积为8，则k 的值为（ ）

A ．8

B ．﹣8

C ．4

D ．﹣4

【答案】B

【解析】 【分析】

作AE ⊥BC 于E ，由四边形ABCD 为平行四边形得AD ∥x 轴，则可判断四边形ADOE 为矩形，所以S 平行四边形ABCD =S 矩形ADOE ，根据反比例函数k 的几何意义得到S 矩形ADOE =|k|． 【详解】

解：作AE ⊥BC 于E ，如图，

∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD ∥x 轴，

∴四边形ADOE 为矩形， ∴S 平行四边形ABCD =S 矩形ADOE ， 而S 矩形ADOE =|k|， ∴|k|=8， 而k ＜0 ∴k=-8． 故选：B ． 【点睛】

本题考查了反比例函数y=

k x （k≠0）系数k 的几何意义：从反比例函数y=k

x

（k≠0）图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．

7．如图，点P 是反比例函数(0)k

y k x

=

≠的图象上任意一点，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为M . 连接OP . 若POM ?的面积等于2. 5，则k 的值等于 （ ）

A ．5-

B ．5

C ． 2.5-

D ．2. 5

【答案】A 【解析】 【分析】

利用反比例函数k的几何意义得到1

2

|k|=2，然后根据反比例函数的性质和绝对值的意义确

定k的值．

【详解】

解：∵△POM的面积等于2.5，

∴1

2

|k|=2.5，

而k＜0，∴k=-5，故选：A．【点睛】

本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=k

x

图象中任取一点，过这一个

点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数的性质．

8．如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转.若∠BOA的两边分别与

函数

1

y

x

=-、

2

y

x

=的图象交于B、A两点，则∠OAB大小的变化趋势为（）

A．逐渐变小B．逐渐变大C．时大时小D．保持不变【答案】D

【解析】

【分析】

如图，作辅助线；首先证明△BEO∽△OFA，，得到BE OE

OF AF

=；设B为（a，

1

a

-），A为

（b，2

b

），得到OE=-a，EB=

1

a

-，OF=b，AF=2

b

，进而得到222

a b=，此为解决问题的关

键性结论；运用三角函数的定义证明知tan∠OAB=

2

2

为定值，即可解决问题．

【详解】

解：分别过B和A作BE⊥x轴于点E，AF⊥x轴于点F，则△BEO∽△OFA，

∴

BE OE

OF AF

=，

设点B为（a，

1

a

-

），A为（b，

2

b

），

则OE=-a，EB=

1

a

-，OF=b，AF=2

b

，

可代入比例式求得222

a b=，即2

2

2

a

b

=，

根据勾股定理可得：OB=222

2

1

OE EB a

a

+=+，OA=222

2

4

OF AF b

b

+=+，

∴tan∠OAB=

2

2

22

22

22

12

2

44

b

a

OB a b

OA

b b

b b

++

==

++

=

2

2

2

2

14

()

2

4

b

b

b

b

+

+

=

2

2

∴∠OAB大小是一个定值，因此∠OAB的大小保持不变.

故选D

【点睛】

该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答．

9．如图，点P是反比例函数y=

k

x

（x<0）图象上一点，过P向x轴作垂线，垂足为M，连接OP．若Rt△POM的面积为2，则k的值为（）

A．4 B．2 C．-4 D．-2

【答案】C 【解析】【分析】

根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△POD=1

2

|k|=2，然后去绝对值确定满足条件

的k的值．【详解】

解：根据题意得S△POD=1

2

|k|，

所以1

2

|k||=2，

而k＜0，所以k=-4．故选：C．【点睛】

本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=k

x

图象中任取一点，过

这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．

10．如图，菱形ABCD的两个顶点B、D在反比例函数y=的图象上，对角线AC与BD的交点恰好是坐标原点O，已知点A（1，1），∠ABC=60°，则k的值是（）

A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2

【答案】C

【解析】

分析：根据题意可以求得点B的坐标，从而可以求得k的值．

详解：∵四边形ABCD是菱形，

∴BA=BC ，AC ⊥BD ， ∵∠ABC=60°， ∴△ABC 是等边三角形， ∵点A （1，1）， ∴OA=，

∴BO=

，

∵直线AC 的解析式为y=x ， ∴直线BD 的解析式为y=-x ， ∵OB=

，

∴点B 的坐标为（?

，

），

∵点B 在反比例函数y=的图象上， ∴

，

解得，k=-3， 故选C ．

点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．

11．反比例函数21

k y x

+=的图象上有两点()11,A a y -，()21,B a y +，若12y y <，则a

的取值范围（ ）

A ．1a <-

B ．1a >

C ．11a -<<

D ．这样的a 值不存在

【答案】C 【解析】 【分析】

由210k +>得出在同一分支上，反比例函数y 随x 的增大而减小，然后结合反比例函数的图象进行求解． 【详解】

210k +>Q ，

∴在同一分支上，反比例函数y 随x 的增大而减小，

11a a -<+Q ，12y y <，

∴点A ，B 不可能在同一分支上，只能为位于不同的两支上，

10a ∴-<且10a +>，

11a ∴-<<， 故选C ． 【点睛】

本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，注意反比

例函数的图象有两个分支．

12．如图，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，反比例函数k

y x

=

(0)k ≠的图象过D 点和边BC 的中点E ，连接DE ，若CDE ?的面积是1，则k 的值是（ ）

A ．4

B ．3

C ．25

D ．2

【答案】A 【解析】 【分析】

设E 的坐标是（m ，n ），k=mn ，则C 的坐标是（m ，2n ），求得D 的坐标，然后根据三角形的面积公式求得mn 的值，即k 的值． 【详解】

解：设E 的坐标是（m ，n ），k=mn ， 则C 的坐标是（m ，2n ）， 在y=

mn

x 中，令y=2n ，解得：x=2

m ， ∵S △CDE =1，

∴

12|n|?|m -2m |=1，即12n×2m

=1， ∴mn=4． ∴k=4． 故选：A ． 【点睛】

本题考查了待定系数法求函数的解析式，利用mn 表示出三角形的面积是关键．

13．已知1122(,),,)A x y B

x y （均在反比例函数2

y x

=的图像上，若120x x <<，则12,y y 的大小关系是（ ） A ．120y y << B ．210y y <<

C ．120y y <<

D ．210y y <<

【答案】D 【解析】 【分析】

先根据反比例函数的性质判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数的性质即可作出

判断． 【详解】

解：∵反比例函数2

y x

=

中k=2＞0， ∴此函数的图象在一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小， ∵0＜x l ＜x 2，

∴点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）均在第一象限， ∴0＜y 2＜y l ． 故选：D ． 【点睛】

此题考查反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象的增减性是解题的关键．

14．如图，在某温度不变的条件下，通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后气缸内气体的体积(mL)V 与气体对气缸壁产生的压强(kPa)P 的关系可以用如图所示的函数图象进行表示，下列说法正确的是（ ）

A ．气压P 与体积V 的关系式为(0)P kV k =>

B ．当气压70P =时，体积V 的取值范围为70

C ．当体积V 变为原来的一半时，对应的气压P 也变为原来的一半

D ．当60100V 剟

时，气压P 随着体积V 的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】

A ．气压P 与体积V 表达式为P= k

V

,k ＞0，即可求解； B ．当P=70时，6000

70

V =

,即可求解； C ．当体积V 变为原来的一半时，对应的气压P 变为原来的两倍，即可求解； D ．当60≤V≤100时，气压P 随着体积V 的增大而减小，即可求解． 【详解】

解：当V=60时，P=100，则PV=6000， A ．气压P 与体积V 表达式为P=

k

V

，k ＞0，故本选项不符合题意；

B ．当P=70时，V=

6000

70

＞80，故本选项不符合题意； C ．当体积V 变为原来的一半时，对应的气压P 变为原来的两倍，本选项不符合题意； D ．当60≤V≤100时，气压P 随着体积V 的增大而减小，本选项符合题意； 故选：D ． 【点睛】

本题考查的是反比例函数综合运用．现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，进而根据字母代表的意思求解．

15．如图，已知在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，AOB V 是直角三角形，

90AOB ∠=?，2OB OA =，点B 在反比例函数2

y x =

上，若点A 在反比例函数k y x

=上，则k 的值为( )

A ．

1

2

B ．12

-

C ．

14

D ．14

-

【答案】B 【解析】 【分析】

通过添加辅助线构造出相似三角形，再根据相似三角形的性质可求得1,2x A x ??

- ??

?，然后由点的坐标即可求得答案． 【详解】

解：过点B 作BE x ⊥于点E ，过点A 作AF x ⊥于点F ，如图：

∵点B 在反比例函数2y x

=上 ∴设2,

B x x ?? ???

∴OE x =，2BE x

= ∵90AOB ∠=?

∴90AOD BOD ∠+∠=? ∴90BOE AOF ∠+∠=? ∵BE x ⊥，AF x ⊥ ∴90BEO OFA ∠=∠=? ∴90OAF AOF ∠+∠=? ∴BOE OAF ∠=∠ ∴BOE OAF V V ∽ ∵2OB OA = ∴

1

2

OF AF OA BE OE BO === ∴121122OF BE x x =?=?=，11222

x AF OE x =?=?= ∴1,2x A x ??-

??

? ∵点A 在反比例函数k

y x

=

上 ∴12x k x

=

- ∴12

k =-． 故选：B 【点睛】

本题考查了反比例函数与相似三角形的综合应用，点在函数图象上则点的坐标就满足函数解析式，结合已知条件能根据相似三角形的性质求得点A 的坐标是解决问题的关键．

16．矩形ABCO 如图摆放，点B 在y 轴上，点C 在反比例函数y k

x

=(x ＞0)上，OA ＝2，AB ＝4，则k 的值为（ ）

A．4 B．6 C．32

5

D．

42

5

【答案】C

【解析】

【分析】

根据矩形的性质得到∠A=∠AOC=90°，OC=AB，根据勾股定理得到

OB22

OA AB

=+=5C作CD⊥x轴于D，根据相似三角形的性质得到

CD

85

=，OD

45

=求得

8545

，)于是得到结论．

【详解】

解：∵四边形ABCO是矩形，

∴∠A＝∠AOC＝90°，OC＝AB，

∵OA＝2，AB＝4，

∴过C作CD⊥x轴于D，

∴∠CDO＝∠A＝90°，∠COD+∠COB＝∠COB+∠AOB＝90°，∴∠COD＝∠AOB，

∴△AOB∽△DOC，

∴OB AB OA OC CD OD

==，

∴2542

4CD OD

==，

∴CD

85

5

=，OD

5

5

=，

∴C(45

5

，

85

5

)，

∴k

32

5 =，

故选：C．

【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

17．如图，若直线2y x n =-+与y 轴交于点B ，与双曲线()2

0y x x

=-

<交于点(),1A m ，则AOB V 的面积为（ ）

A ．6

B ．5

C ．3

D ．1.5

【答案】C 【解析】 【分析】

先根据题意求出A 点坐标，再求出一次函数解析式，从而求出B 点坐标，则问题可解. 【详解】

解：由已知直线2y x n =-+与y 轴交于点B ，与双曲线()2

0y x x

=-<交于点(),1A m ∴2

1m

=-

则m=-2 把A （-2,1）代入到2y x n =-+，得

()122n =-?-+

∴n=-3 ∴23y x =-- 则点B （0，-3） ∴AOB V 的面积为1

32=32

?? 故应选：C 【点睛】

本题考查的是反比例函数与一次函数的综合问题，解题关键是根据题意应用数形结合思想．

18．直线y ＝ax (a ＞0)与双曲线y ＝3

x

交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，则代数式4x 1y 2－3x 2y 1的值是( ) A ．－3a B ．－3 C ．3a

D ．3

【答案】B 【解析】 【分析】

先把1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 代入反比例函数3

y x

=

得出11x y g 、22x y g 的值，再根据直线与双曲线均关于原点对称可知12x x =-，12y y =-，再把此关系式代入所求代数式进行计算即可． 【详解】

解：1(A x Q ，1)y 、2(B x ，2)y 在反比例函数3

y x

=

的图象上， 11223x y x y ∴==g g ，

Q 直线(0)y ax a =>与双曲线3y x

=的图象均关于原点对称，

12x x ∴=-，12y y =-，

∴原式111111433x y x y x y =+=-=--．

故选：B ． 【点睛】

本题考查的是反比例函数图象的对称性及反比例函数的性质，根据题意得出

11223x y x y ==g g ，12x x =-，12y y =-是解答此题的关键．

19．在函数()0k

y k x

=<的图象上有()11,A y ，()21,B y -，()32,B y -三个点，则下列各式中正确的是（ ）

A ．123y y y <<

B ．132y y y <<

C ．321y y y <<

D ．231y y y <<

【答案】B 【解析】 【分析】

根据反比例函数图象上点的坐标特征得到11y k ?=，21y k -?=，32y k -?=，然后计算出1y 、2y 、3y 的值再比较大小即可． 【详解】

解：(0)k

y k x =

11y k ∴?=，21y k -?=，32y k -?=，

1y k ∴=，2y k =-，31

2

y k =-，

而k 0<， 132y y y ∴<<．

故选：B ． 【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数k

y x

=

（k 为常数，且0k ≠）的图象是双曲线，图象上的点(),x y 的横纵坐标的积是定值k ，即xy k =．

20．若函数2

m y x

+=的图象在其象限内y 的值随x 值的增大而增大，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞﹣2 B ．m ＜﹣2 C ．m ＞2 D ．m ＜2

【答案】B 【解析】 【分析】

根据反比例函数的性质，可得m+2＜0，从而得出m 的取值范围． 【详解】

∵函数2

m y x

+=

的图象在其象限内y 的值随x 值的增大而增大， ∴m+2＜0， 解得m ＜-2． 故选B ．