求极限的方法

求极限的方法：

1. 极限运算是线性运算。

2. 求乘式的极限可以在分式的极限有限的情况下求其极限的乘积。

3. 求除式的极限可以在分子的极限有限、分母的极限不为零的情况下求其分子极限与分母

极限的商。

4. 求除式的极限时，如果它在所说的条件之外，就求助于罗比塔法则。

5. 连续函数的运算可以和极限运算互换。比如说根号运算可以和极限运算互换。

6. 另外，对于已确定范围的式子，我们可以用迫敛性。

7. 带有根号的式子可以通分来求解。

8. 和重要极限有明显关系的要求助于重要极限。 9. 也可以利用泰勒公式。

10. 还有计算处理法，比如说先求一下对数。 11. 可以利用罗比塔法则求解。 例1

n

n n n n n n n n n n n )1

11(lim .3);

1

2

11

1(

lim .2)

(lim .12

2

2

2++

++

+++

+-+∞

→∞

→∞

→

4．12)1323(lim -∞→-+x x x x 5．x

e x x sin 1lim 0-→ 6.x

x x sin 0)(tan lim →

解：1．∞

→n lim (n n +2-n) =∞

→n lim

n

n

n n ++2 =)111(lim ++∞→n n =2 2．设原式=A ，

1

2

2

+≤

≤+n n A n

n n 因为 1lim

2

=+∞

→n

n n n ,

1

1

lim

2=+∞

→n n n .因此A=1

3． 原式=11])111[(lim ++∞→++n n

n x n =1lim

1])1

11[(lim ++∞→∞→++n n

n x n n e =

32

1

312lim 1312)13()1

311(lim .4e e x x x x x x x x ==-+=----?-∞→→∞原式

5．由罗比塔法则知：原式.

1cos 0lim =→=

x e x x

6．原式=,lim tan ln sin 0

x

x x e

→ 并有

x x x tan ln sin lim 0→.0cos sin lim cos sin 1

sec tan 1

lim 20220==-=→→x x

x x

x

x x x

所以原式的极限是1。 练习1

1．n n n )211(lim +∞→ 2. 90

2070)15()58()63(lim -++∞→x x x x

答案如下

1．原式=2

12

12])211[(lim e n

n x =+∞→ 2． 90

9020

207070)5

1(5)85

(8)2(3lim

--+∞→x x x x 902070583= 练习2

).1

11(lim .6;sin tan lim .5;

cos lim

.4);0(,lim .3];)1(1321211[lim .2;3)2(3)2(lim .100201

1----->-++++?+?+-+-→→-∞→→∞→++∞→x x x x x n n n n

n n e x x

x x x x

x

x a x a

x a n n

答案如下

1. 上下同除 n

3容易看出原式=3

1 2. 原式=1

sin 1lim

x

x +∞→=1.

3. 用罗比三、计算塔法则上下求导：原式=a

x a x 211)(21lim 2

1

2

0=+-→

4. 这是

∞

∞

型的，但不能用罗比塔法则上下求导，上下同除以∞即得答案：1 5. 用罗比塔法则上下求导，然后通分的答案：2 6. 用两次罗比塔法则上下求导的答案：2

1

数列极限理论的两个基本问题

在研究比较复杂的数列极限时，通常要分作两步走。第一，考察所给的数列是否有极限（极限的存在性问题）；第二，若数列有极限，则考虑如何计算此极限（极限值的计算问题）。这是极限理论的两个基本问题。在实际应用上，第一个问题解决后，即使一时求不出极限值，但因为n 充分大时，n a 能充分接近其极限值a ，故可以用n a 作为a 的近似值。

要考察某个数列的极限，当然不能把每个实数一一依定义检查，看它能否作为这个数列的极限。因此，根本的办法是直接从数列本身的特征来进行判断。

例2 迫敛性证明极限0!

lim

=∞←n

n n n

证明：如果n 是偶数，则

n

n n !2

2

!2)12()1(n n n

n n n

n n n ???

??????? ??+-

-= 2

!

2n n n ??? ??≤221n ??? ??≤

类似地，如果是奇数，则≤??? ??-≤-2

1

!

21n n

n n n n !2121-??? ??n 而当∞→n 时，2

21n

??

?

??0→。因此，由迫敛性定理可得到我们的结论。

如何利用递推公式计算或证明序列的极限？

借助递推公式计算或证明序列的极限，也是一种常见的方法，在这里我们需要首先验证极限的存在性。在极限存在的前提下，根据极限的唯一性，来解出我们所需要的结果，但往往验证极限的存在形式比较困难的，需要利用有关的不等式或实数的一些性质。

例3（1）设100<

∞→n 时，1→n

x

（2）若c 为任意的正数。置n n cy x =于（1）的递推公式中，给出)2(1n n n cy y y -=+，假设c

y 1

00<

<，则当∞→n 时，c y n 1→。

解：(1)由100<

121

>-=+n n

n x x x 推得1+

=1n n x 是单调递增且有界，它的极限存在，设为x ，从递推公式)2(1n n n x x x -=+中得到)2(x x x -= 解得1=x ，即1lim =∞

→n n x 。

（2）因为c y 100<<且对任意的n ，[]

2

1)1(11n n cy c

y --=+，可以在n 上作归纳证明，对任意的n ，c y n 10<

<。由11221=?->-=+c

c cy y y n n n 知，所以序列{}∞

=1n n y 是单调递增的，因而极限存在，借助递推公式)2(1n n n cy y y -=+可求的其极限为

c

1

。

如何使用单调有界定理判定极限的存在性

例4 研究序列111+++= n a 的敛散性。

解：（1）11=a ，112+=a ，11-+=n n a a ，显然 ，序列{}∞

=1n n a 是单

调递增的，且对任意的n ，2

2

因此，当∞→n 时，序列{}∞

=1n n a 的极限是存在的，设为a ，由递推公式11-+=n n a a 可

以得到2

5

1+=

a 。 注：上题的关键在于判定序列的极限存在。这里用到了我们熟知的单调有界序列必有极限存在的定理。

练习2

判断序列的敛散性n b n ++=21

答案如下：

显然，序列{}∞

=1n n b 是单调递增的，如果能够验证它的有界性，那么它是收敛的。为此，首

先证明：3)2(1)1(131212=++-++++n n n

我们在n 上作归纳证明：当n=2时，结论显然成立，假设n=k 时结论成立，即

2)2(1)1(131213++-++++=k k k

当n=k+1时，注意到)3)(1(1)2(2+++=+k k k 2

)3()1(1+++=k k ，因此

2)2(11213++++=k k 2)21()1(11121+++++++=k k k

结论成立，其次，我们注意到31)1(1121≤+-+++

=1n n b 是有界的，因而所给的序列收敛。

根据收敛序列的极限和它的子序列的极限的一致性来求极限：

例5 证明：

∑∞

=+1)

(1

n m n n =m 1)1211(m +++ （m 为正整数） 证明：容易验证，级数

∑∞

=+1

)(1

n m n n 对任意的正整数m 是收敛的。因此，当∞←n 时，序列∑=+=

n

k n m k k S 1)

(1的极限存在。研究子序列{}∞

=1k km S 。 =

m S 1m 1[)1211(m +++ )21

11(

m m +++- ] =m

S 2m 1[)1211(m +++ )31

121(

m

m +++- ] 由数学归纳法容易证明，对任意的正整数k ，

=

km S m 1)1211(m +++ ))1(111(1m

k km m ++++- 而当∞←k 时，

))1(1

11(1m

k km m ++++ 0→，因此km k S ∞→lim =m 1)1211(m +++ ，据

收敛序列极限与它子序列极限的一致性，我们得到

∑∞

=+1)

(1

n m n n m 1=)1211(m +++

如何利用二项式定理证明极限问题

例6 证明：对任意的正有理数r ，有r x

x r x =-+→1

)1(lim

0 证明：当r=n 为自然数时，由二项式定理

12

1)

1(1)1(-++?-+=-+n n x x n n n x x 因当0→x 时，等式右边除第一项外，均以0为极限，因此结论成立。 当m

r 1=

（m 为自然数）时，令11-+=m x y ，即1)1(-+=m

y x ，因为0→x ，我们可以考虑1

=1，故当0→x ，

同时0→y ，根据前面的讨论x

x m

x 1

1lim

-+→m y y m y 11)1(lim 0=-+=→ 最后，若m n r =，仍引用辅助变量y ，1

)1(1)1(1)1(-+-+=-+n

n m

n y y x x 1)1(1)1(-+?-+=n n y y

y y 因此m

n

x x m

n

x =-+→1)1(lim

注：实际上，对任意的实数a, a x

x a x =-+→1

)1(lim

0,这是我们已经熟知的结果，这里的证明只是提醒读者注意这种处理问题的方法。