高等数学例题及习题(2)
高等数学：第二讲 数项级数的性质
目录
01 数项级数的性质
02
例题
1. 数项级数的性质
性质 1(1) 若级数 un 收敛， 其和为S ，则对 任意常数k ，
n1
级数 kun 也收敛， 其数项级数的性质
性质 1(2) 若级数 un 和 vn 都收敛，其和分别为 S 与T ，
n1
n1
n1
性质 2 在级数中去掉或加上有限多项，不改变 级数的敛散性。
1. 数项级数的性质
性质 3 若级数 un 收敛，则不改变它的各项次序任意
n1
添加括号后构成的新级数 vm 仍然收敛且其和不变。 m 1
性质4 （级数收敛的必要条件）
若 un收敛， 则lim un 0
n1
n
（即
lim
n
un
0
un 发散）
n1
2. 例题
例1
讨论级数
3 2n 2 3n
n1
6n
的敛散性，若收敛求其和：
解
un
3
2n 2 3n 6n
3(1)n 2(1)n
3
2
因为级数
3(1)n n1 3
收敛,
其和为
1 1 1
3 2
级数 2 (1)n
n1
2
收敛, 其和为
1 1 1
3 2
2 所以由性质1（2）得原级数收敛，其和为
n1
n1
则级数 (un vn ) 也收敛，其和为 S T 。
n1
两个收敛级数逐项相加（或相减）所得的级数收敛。
推论1：若级数 un 收敛，而级数 vn发散，
n1
n1
则级数 un vn 必发散。
n1
江苏专转本高等数学 定积分 例题加习题
- 106 -第四章 定积分本章主要知识点● 定积分计算● 特殊类函数的定积分计算 ● 变限积分● 定积分有关的证明题 ● 广义积分敛散性 ● 定积分应用（1）面积 （2）旋转体体积一、定积分计算定积分计算主要依据牛顿—莱伯尼兹公式：设⎰+=C x F dx x f )()(，则()()()()bb a af x dx F b F a F x =-=⎰。
其主要计算方法与不定积分的计算方法是类似的，也有三个主要方法，但需要指出的是对于第Ⅱ类直接交换法，注意积分限的变化：()111()()()()()(())x t bb aa t x f x dx f t t dt ϕϕϕϕϕϕ---=='=⎰⎰。
例4.1．111)edx x ⎰解：原式=e11)ln d x ⎰=32125((ln )ln )|33ex x +=例4.2．30dx ⎰ 解：原式t x t x =+-==11222 1121t tdt t -+⎰=32 121t t dt t -+⎰=322125()|33t t -= 例4.3．⎰22sin πxdx x- 107 -解：原式=⎰-22cos 21πx xd =⎰+-2022cos 21|2cos 21ππxdx x x =20|2sin 414ππx +=4π 二、特殊类函数的定积分计算1．含绝对值函数利用函数的可拆分性质，插入使绝对值为0的点，去掉绝对值，直接积分即可。
例4.4．⎰--21|1|dx x解：原式=121 1(1)(1)x dx x dx --+-⎰⎰=212|)2(2x x -+=)121(02--+=25例4.5．⎰--++22|)1||1(|dx x x解：原式=112211(|1||1|)(|1||1|)(|1||1|)x x dx x x dx x x dx ---++-+++-+++-⎰⎰⎰=112211(11)(11)(11)x x dx x x dx x x dx ------++++-+++-⎰⎰⎰=112211222xdx dx xdx ----++⎰⎰⎰=212122|4|x x ++---=)14(4)41(-++--=102．分段函数积分例4.6．⎩⎨⎧≤+>=0,10,)(2x x x x x f ，求⎰-11)(dx x f解：原式=⎰⎰-+0110)()(dx x f dx x f =⎰⎰-++01102)1(dx x dx x =103012|31|)2(x x x ++- =31)121(+--=65- 108 -例4.7．⎩⎨⎧≤>+=1,1,12)(x x x x x f ，求⎰-+12)1(dx x f解：原式11221(1)()u x f x dx f u du =+--=+==⎰⎰1211()()f u du f u du -+⎰⎰1222111(21)0()udu u du u u -=++=++⎰⎰624=-=3．奇函数积分如果 ()f x 为定义在[],a a -的奇函数，则()0aaf x dx -≡⎰，这是一个很重要考点。
大学《高等数学》核心考点精讲讲义(附例题练习)
（2）“ ∀ 正整数 N ， ∃ 正整数 K ，当 0 <
x − x0
≤1 K
时，恒有
f (x) − A ≤ 1 2N
”是
“ lim f (x) = A ”的充要条件； x→x0
（3）“ ∀ε ∈ (0,1) ， ∃ 正整数 N ，当 n ≥ N 时，恒有| xn − a |≤ 2ε ”是“数列{xn} 收敛于 a ”
<δ
时，恒有
f (x) − A
<ε
1
注：趋向方式六种
（2）数列极限定义：
lim
n→∞
xn
=
a
⇔
∀ε
>
0, ∃N
>
0, 当 n
>
N
时，恒有
xn
−a
<ε
注：趋向方式只有一种
【例】以下三个说法，
ε
（1）“ ∀ε > 0 ，∃X > 0 ，当 x > X 时，恒有 f (x) − A < e10 ”是“ lim f (x) = A ”的充要条 x→+∞
【例】求极限 lim( 1 − cos2 x) x→0 sin2 x x2
4
②没有分母，创造分母，再通分
1
【例】求极限 lim [x2 (e x −1) − x] x→+∞
第三组： ∞0 00 1∞
1
【例 1】求极限 lim (x + 1+ x2 ) x x→+∞
1
【例 2】求极限 lim(tan x) cos x−sin x x→π 4
数 f (x) 在开区间 (a, b) 内有界.
（3）若极限不存在，则转向“四则运算规则”——有限个有界函数与有界函数的和、差、积
《高等数学》(一)(2)补充例题及练习题
第八章 空间解析几何与向量代数（6学时）§8.1 向 量 及 其 线 性 运 算一、补充例题例1 已知向量)1,5,3(-=a ，)3,2,2(=b ，)3,1,4(--c，求c b a 432+-。
例2 在yOz 面上，求与三点)2,1,3(A 、)2,2,4(--B 和)1,5,0(C 等距离的点。
例3 已知两点)1,3,2(-A 和)0,2,1(-B ，求与方向相同的单位向量e。
例4 已知两点)2,1,1(-A 和)3,1,0(B ，计算向量的模、方向余弦和方向角。
例5 一向量的终点在点)7,1,2(-B ，它在x 轴、y 轴和z 轴上的投影依次为4，4-和7。
求这向量的起点A 的坐标。
二、练习1312-p 习题8-1 4，5，15，17§8.2 向量的数量积与向量积一、补充例题例1 已知j i a += ，k i b += ，求b a ⋅，∧),(cos b a 及a j bPr 。
例2 已知四点)1,2,2(A 、)2,1,0(B 、)1,1,1(C 、)2,3,3(D ，求AB j CDPr ，∧),(cos 。
例3 记)0,1,3(-=a，)1,2,1(-=b，求b a⨯。
例4 已知ABC ∆的三个顶点为)2,0,3(A ，)1,3,5(B ，)3,1,0(-C ，（1）求垂直于这个三角形所在平面的单位向量；（2）求ABC ∆的面积。
解 （1）因为a ⨯= 垂直于向量与，所以a是一个垂直于三角形ABC 所在平面的向量。
而)1,3,2(-=，)1,1,3(--=，所以k j i kj i a72113132++=---=⨯=。
63712222=++=a ，)7,1,2(631=a e。
所以垂直于三角形ABC 所在平面的单位向量为)7,1,2(631±。
（2）因为ABC ∆的面积S 是以AB ，AC 为邻边的平行四边形面积的一半，所以6237122121222=++===a S 。
高等数学实验2 微分、积分(含答案)
班级 学号 姓名高等数学实验2 微分、积分一. 用MA TLAB 计算下列导数：diff 函数（1）已知2xy e =，求y '、y ''、(10)y 。
（2）已知nx y e =，求y '''。
（3）已知210x y xe-=,求y '、y ''与(8)y 。
(4)设2sin ()43x f x x x =++，求()f x '、()f x ''及()6f π''。
二．用MA TLAB 解方程。
solve 函数1．一元方程与线性方程（组）（1） 解方程 062=--x x（2）解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+060622x y y x （3）解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++=++-=++012412324543213214321431x x x x x x x x x x x x x x2．非线性方程（组）（4）解非线性方程组⎩⎨⎧=+-=--0sin 3.0cos 5.00cos 3.0sin 5.0212211x x x x x x 三。
用MA TLAB 计算极值：(1)已知销售额R 是价格P 的函数，且200184R P P ⎛⎫=-⎪+⎝⎭。
当价格P 为何值时， 销售额R 有最大值，且求此最大值。
(2)已知某公司收益函数210xR xe -=，成本函数32(1085)/100C x x =++，其中x 为产（销）量，求最大收益、最低平均成本和最大利润。
四．用MATLAB 计算下列不定积分 int 函数1．ln xdx ⎰； 2。
321x x e dx -⎰； 3． 42(31)sin(21)x x x dx -++⎰； 4．(sin sin cos )ax bx cx dx ⨯⨯⎰； 5．（练习）5(4)ln(32)x x x dx --⎰； 6．（练习）4sin(25)x x e dx +⎰；五．用MATLAB 计算下列定积分 int 函数1．120(1)x xe dx x +⎰ 2。
高等数学2知识点总结和例题
高等数学2知识点总结和例题高等数学2课程主要包含了微积分的高级内容，如多元函数微积分、向量场、曲线积分、面积积分、常微分方程等。
本文将对这些知识点进行总结，并提供一些例题和解答，以供大家参考。
1. 多元函数微积分1.1 偏导数多元函数的偏导数定义：设函数z=f(x,y)，在点(x0,y0)的邻域内，当y=y0时，f(x,y)关于x的导数存在，则称该导数为函数f(x,y)在点(x0,y0)处的偏导数，记为fx(x0,y0)。
偏导数的计算方法：对于多元函数z=f(x,y)，求其在点(x0,y0)处的偏导数fx(x0,y0)时，将y视为常数，对x求一阶导数即可。
1.2 全微分全微分的定义：设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)连续且存在偏导数，则称与∆z=f(x,y)-f(x0,y0)满足的关系式∆z=A∆x+B∆y+o(∆r)，其中A=fx(x0,y0)，B=fy(x0,y0)，∆r=√[(∆x)^2+(∆y)^2]称作函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分。
全微分的计算方法：计算函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分时，首先求出其偏导数，然后用偏导数构造微分式，即dz=fx(x0,y0)dx+fy(x0,y0)dy。
1.3 链式法则链式法则的定义：设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)有连续的偏导数，并且u=g(x,y)在点(u0,v0)有连续的偏导数，则复合函数z=f[g(x,y)]在点(x0,y0)具有偏导数，且有：∂z/∂x = (∂z/∂u)·(∂u/∂x) + (∂z/∂v)·(∂v/∂x)∂z/∂y = (∂z/∂u)·(∂u/∂y) + (∂z/∂v)·(∂v/∂y)其中(∂u/∂x)、(∂u/∂y)、(∂v/∂x)、(∂v/∂y)可以由u=g(x,y)的偏导数求得，而(∂z/∂u)、(∂z/∂v)可以由z=f(u,v)的偏导数求得。
高等数学(2)-兰州大学201303考试
高等数学(2)-兰州大学201303考试考前辅导资料3.2指数的概念和基本运算要理解指数的概念，会指数的基本运算。
下面看下例题：例1.()()0≠=x e x f x ，那么()()21x f x f ⋅为（ ）Ａ．()()21x f x f + Ｂ．()21x xf + Ｃ．()()21x f x f - Ｄ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21x x f解：)21()2()1(2121x x f e e ex f x f x x x x +==⋅=⋅+，因此答案是B 例2设()xx x f =，()22x x =ϕ，则()[]x f ϕ是（ ） 解：x x x x x xx f 222)(2][)]([===ϕϕ3.3函数的极限计算设f:(a,+∞)→R 是一个一元实值函数，a ∈R.如果对于任意给定的ε>0，存在正数X ，使得对于适合不等式x>X 的一切x ，所对应的函数值f(x)都满足不等式.│f(x)-A │<ε ,则称数A 为函数f(x)当x →+∞时的极限，记作 f(x)→A(x →+∞).例y=1/x ，x →+∞时极限为y=0函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。
下面看一道例题。
例 若22lim 222=--++→x x b ax x x ，让求解a 和b 的值分别是多少。
解：原式可以写成2)1)(2(lim 22=+-++→x x b ax x x则可以得出式子分子项中应该还有一项（x-2），这样分子分母可以约掉（x-2），当x 趋近于2时，可以使得式子成立。
同时分式的值是2，即分子分母同时约掉（x-2）之后，分子的值是分母的2倍，分母约掉（x-2）后变为（x+1），也就是3，因此推出分母是6.进而可以推出分子应该有一项（x+4）。
则)4)(2(2+-=++x x b ax x ，因此a=2，b= -83.4导数的概念和计算一般地，假设一元函数 y ＝f(x )在 x0点的附近(x0－a ，x0 ＋a)内有定义，当自变量的增量Δx ＝ x －x0→0时函数增量 Δy ＝f （x ）－ f （x0）与自变量增量之比的极限存在且有限，就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的导数（或变化率)。
高等数学典型例题与解法(二)04-第71讲 【空间曲面的切平面与法线】随堂练习题解答_72
x y z 2 0 ，故正确选项为（A）.
3 、 设 F (u, v) 有 连 续 的 一 阶 偏 导 数 ， 且 Fu(3,1) 1, Fv(3,1) 1 ， 曲 面 F (x y, x z) 0 过点 (2,1,1) ，求曲面过该点的法线与 xOy 面的夹角．
第 71 讲 空间曲面的切平面与法线练习题解答
ห้องสมุดไป่ตู้
1、求曲面 z x2 (1 sin y) y2 (1 sin x) 在点 (1, 0,1) 处的切平面方程和法线方程．
【解】由于 zx 2x(1 sin y) y2 cos x ，zy x2 cos y 2 y(1 sin x) ，故 zx (1, 0) 2 ，
2、曲面 x2 cos(xy) yz x 0 在点 (0,1, 1) 处的切平面方程为（ ）．
（A） x y z 2
（B） x y z 0
（C） x 2 y z 3
（D） x y z 0
【解】令 F (x, y, z) x2 cos(xy) yz x ，则
Fx(0,1, 1)
2x
y sin(xy)
1 (0,1,1)
1,
Fy(0,1, 1)
x sin(xy)
z (0,1,1)
1，
Fz(0,1, 1) y (0,1,1) 1 ， 因 此 所 求 切 平 面 方 程 为 x ( y 1) (z 1) 0 ， 即
zy (1, 0) 1，从而曲面在点 (1, 0,1) 处的法向量为 n (2, 1, 1) .因此所求切平面方
程为 2(x 1) ( y 0) (z 1) 0 ，即 2x y z 1 0 ，所求法线方程为 x 1 y z 1 . 2 1 1
高等数学：几何(2)(8-7)
0
且垂直于已知平面7x y 4z 3 0,求该平面法线的
的方向余弦.
提示: 已知平面的法向量 n1 (7, 1, 4)
求出已知直线的方向向量
取所求平面的法向量
i jk
所求为
n s n1 1 1 2 2(3, 5, 4)
7 1 4
cos 3 , cos 5 , cos 4
y 1
2
y
1
L0绕y轴 旋 转 一 周 所 生 成 的 曲面 方 程 为 ：
x2 z2 2 y2 1 y 12 4 y2 1 y 12
4
4
直
线
A1 A2
x x
B1 B2
y y
C1z C2z
D1 D2
0 绕y轴 0
旋
转
一
周,
求 所 生 成 的 旋 转 曲 面 方程.
化
直
线
3
4
从而得所求平面方程 x 20 y 7z 12 0.
例7. 求过点
且与两直线 都相交的直线 L.
解: 思路: 先求交点 M1 , M 2 ;
再写直线方程.
的方程化为参数方程
L1
L2
M0 M2
M1 L
设 L 与它们的交点分别为
M1(t1 , 2t1 ,t1 1), M 2 (t2 ,3t2 4, 2t2 1) .
M 0 , M1 , M 2 三点共线 M 0M1 // M 0M 2
t1 0, t2 2
M1 (0,0, 1), M 2 (2, 2,3) L: x 1 y 1 z 1
112
L1
L2
M0 M2
M1 L
例8 求平分平面1 : x 2 y 3z 1 0和
高等数学B2习(讲稿)例题解答
高等数学（B Ⅱ）复习例题解答第六章： 空间解析几何初步（1）向量平行和垂直的充要条件：例1 求{3,2,1}=a ，{6,4,}k =b ，若//a b ，则k = ；若⊥a b ，则k = 。
【解】//a b 32164k⇔==，故2k =；⊥a b 362410k ⇔⨯+⨯+⨯=，故26k =- 例2 求与{1,2,3}=a 及=+b i j 都垂直的单位向量。
【解】设{,,}x y z =c 与,a b 都垂直，则2300x y z x y ++=⎧⎨+=⎩ 或 33x zy z=⎧⎨=-⎩故与a 及b 都垂直的单位向量为03,1}===-c c c（2）求向量的模、方向余弦及方向角和两向量的夹角的方法：例1已知两点1}M =和2{3,0,2}M =，试求向量12M M 的模、方向余弦及方向角。
【解】由于12{34,01}{1,}M M =--=-，则 12(2M M =-=又因为1212111{1,}{,}222M M M M =-=-故方向余弦为 11cos ,cos cos 222αβγ=-=-= 方向角为 23,cos ,cos 343πππαβγ===例2 已知向量a 与b 的夹角为23π，又3,4==a b ，计算(32)(2)-⋅+a b a b 。
【解】22(32)(2)344-⋅+=-+⋅a b a b a b a b22222344cos(,)3344434cos613π=-+=⨯-⨯+⨯⨯⨯=-a b a b a b 例3 设0++=a b c ，又3,1,2===a b c ，则⋅++=a b bc ca （ ） A. 1 B. 7 C. 1- D.7- 【解】选D. 注意到()()2()++⋅++=⋅+⋅+⋅+⋅++a b c a b c a a b b c c a b bc ca（3）求平面方程的方法：例1 已知平面π与平面204570x y z --+=平行且相距6个单位，求π的方程。
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5. 设 都存在 , 并求出
, 问 a 取何值时,
在
解: 显然该函数在 x = 0 连续 .
f ( x) 0 sin x 0 f (0) lim lim 1 x 0 x 0 x0 x0 ax 0 f ( x) 0 a f (0) lim lim x 0 x 0 x 0 x0 在 故 a 1 时 此时 都存在,
例5. 设
uv 解:
求
1 x x x ( sin( e )) e cos( e )
e x tan(e x )
思考: 若 存在 , 如何求
f (ln cos(e x )) 的导数?
df ( ln cos( e x ) ) (ln cos( e x )) f dx
依次类推 , 可得
y
( n)
n!an
y ( n 1) 0
y x ( 为任意常数 ) , 问 思考: 设
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例2. 设 y e ,
ax
求
y
(n )
.
解:
y ae a x , y a 2 e a x , y a 3 e a x , , y (n) a n e ax
或
x 1
h
1 x
lim
1 h lim h 0 h x
h 0
x h h lim ln(1 ) x h 0
ln e
即
1 (ln x) x
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例5. 证明函数
在 x = 0 不可导.
f (0 h) f (0) h 1 , h 0 证: h 1 , h 0 h f (0 h) f (0) lim 不存在 , h 0 h
在
处连续, 且
存在， 证明:
处可导.
则有 存在，
处连续, 故
f ( x) f (0) lim x 0 x
在 处可导.
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第二节
例1. y x ( x 4 cos x sin 1) ,
3
解:
( x 3 4 cos x sin 1) y ( x )
x a
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说明：
对一般幂函数 y x ( 为常数)
( x ) x 1
( 例如， x )
1 ( x 2 )
1 1x 2 1 2 2 x
(
1 11 1 1 (x ) x 2 x x
例4. 求下列导数:
解: (1) ( x ) (e
ln x
)
( ln x)
x
x 1
(2) ( x x ) (e x ln x )
( xln x) x x ( ln x 1)
e x e x e x e x (3) (sh x) ch x 2 2
解:
y f ( f ( f ( x)) ) f ( f (x) ) f (x)
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第三节
例1. 设
解:
求
y a1 2a2 x 3a3 x 2 nan x n 1 y 2 1a2 3 2a3 x n(n 1)an x n 2
1 x x
3 7 3 4 ) ( x 4 ) x
4
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例3. 求函数 解: 则
的导数.
f ( x h) f ( x ) sin( x h) sin x lim lim h 0 h 0 h h h lim 2 cos( x ) 2 h 0 h lim cos( x ) h 0 2
x ( x 4 cos x sin 1)
3
2 x 1 y x 1 (1 4 cos 1 sin 1) ( 3 4 sin 1) 2 7 7 sin 1 2 cos 1 2 2
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1
例6. 设
f ( x0 h) f ( x0 h) . 存在, 求极限 lim h 0 2h
解: 原式 lim
h 0
f ( x0 )
x x (h ff((x00) hf)( 0f x0)) 22h) (h
1 1 f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) 2 2
y ln a
特别当 a e 时, ( e x ) e x
小结:
( arcsin x) ( arctan x)
(a ) a ln a
x x
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( arccos x) ( arc cot x)
( e x ) e x
( x 3 4 cos x sin 1) x ( 3 x 2 4 sin x )
例2. 求证
证: (tan x) sin x (sin x) cos x sin x (cos x) cos 2 x cos x
cos 2 x sin 2 x sec 2 x cos 2 x cos x 1 (sin x) (csc x) 2 2 sin x sin x sin x
即
cos x
(sin x) cos x (cos x) sin x
类似可证得
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例4. 求函数 解:
的导数.
ln( x h) ln x f ( x h) f ( x ) lim lim h 0 h h 0 h 1 lim h 0 h
1 f (1 ( x)) f (1) 1 f (1 ( x )) f (1) lim lim 2 x 0 ( x) 2 x 0 ( x) 1 f (1) 2
所以
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7. 设 在 证：因为 又 所以 即 在
1 (sin y ) cos y
1 sin 2 y
利用 arccos x arcsin x 2 类似可求得
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y a x (a 0 , a 1) , 则 x log a y , y ( 0 , ) 2) 设 1 1 y ln a 1 (log a y )
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例7. 问曲线 的切线与直线 解:
哪一点有垂直切线 ? 哪一点处
平行 ? 写出其切线方程.
1 2 x 3 3
y x 0 ,
故在原点 (0 , 0) 有垂直切线 1 1 1 令 3 2 , 得 x 1 , 对应 y 1 , 3 x 3 则在点(1,1) , (–1,–1) 处与直线 平行的切线方程分别为
第二章 例题及习题
第一节
例1. 求函数
(C 为常数) 的导数. f ( x x ) f ( x ) 解: y lim x 0 x
即 例2. 求函数 解:
f ( x) f (a) xn an lim lim x a x a x a xa
lim ( x n 1 a x n 2 a 2 x n 3 a n 1 )
1 1 1
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1
即
思考与练习
1. 函数 在某点 处的导数 与导函数
有什么区别与联系 ?
区别:
f (x) 是函数 , f ( x0 ) 是数值;
f ( x) x x0 f ( x0 )
联系:
注意:
f ( x0 )？f ( x0 ) ] [
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f (1 h ) f (1) lim h 0 h
6. 设 解: 因为
存在, 且
求
f (1) f (1 x ) 1 f (1 x ) f (1) 1 lim lim x 0 2x 2 x 0 x
csc x cot x
类似可得:
(cot x ) csc2 x ,
(sec x ) sec x tan x .
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例3. 求反三角函数及指数函数的导数.
解: 1) 设 则
y (
1
2
,
2
),
cos y 0 , 则
这两个记号含义不同
f (u ) u ln cos(e x )
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例6. 设
1 x x2 1 1 x x 1
2
解:
( x x 2 1 ) '
1 2 x2 1