定理及推论

三角函数一、常用公式 半角公式2cos 12sin αα-±=2cos 12cos αα+±=αααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12tan+=-=+-±=积化和差()()[]βαβαβα-++=sin sin 21cos sin()()[]βαβαβα--+=sin sin 21sin cos()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos()()[]βαβαβα--+-=cos cos 21sin sin和差化积2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+2sin2cos 2sin sin βαβαβα-+=- 2cos2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ 2sin2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- 万能公式ααα2tan 1tan 22sin +=ααα22tan 1tan 12cos +-= ααα2tan 1tan 22tan -=三倍角公式()()αααααα+-=-= 60sin sin 60sin 4sin 4sin 33sin 3 ()()αααααα+-=-= 60cos cos 60cos 4cos 3cos 43cos 3三、三角函数求值给出一个复杂的式子，要求化简。

这样的题目经常考，而且一般化出来都是一个具体值。

要熟练应用上面的常用式子，个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的，如果看到一些不常用的角，应当考虑用和差化积、积化和差，一般情况下直接使用不了的时候，可以考虑先乘一个三角函数，然后利用积化和差化简，最后再把这个三角函数除下去求值：76cos74cos 72cosπππ++ 提示：乘以72sin 2π，化简后再除下去。

求值：︒︒-︒+︒80sin 40sin 50cos 10cos 22四、三角不等式证明最常用的公式一般就是：x 为锐角，则x x x tan sin <<；还有就是正余弦的有界性。

例求证：x 为锐角，sinx+tanx<2x 设12π≥≥≥z y x ，且2π=++z y x ，求乘积z y x cos sin cos 的最大值和最小值。

数列数列常见的几种形式：⑪ （p 、q 为二阶常数）用特证根方法求解.具体步骤：①写出特征方程（对应，x 对应），并设二根②若可设，若可设；③由初始值确定.⑫（P 、r 为常数）用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n 转化为的形式，再用特征根方法求；④（公式法），由确定.② 转化等差，等比：. ②选代法：.③用特征方程求解：. ③ 由选代法推导结果： .几种常见的数列的思想方法：⑪等差数列的前项和为，在时，有最大值. 如何确定使取最大值时的值，有两种方法：一是求使，成立的值；二是由利用二次函数的性质求的值.⑫如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前项和可依照等比数列前项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如： ⑬两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差的最小公倍数.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n ≥2的任意自然数,验证为同一常数。

(2)通项公式法。

(3)中项公式法:验证都成立。

n n n qa pa a +=++12→q Px x +=22x 2+n a 1+n a 21,x x 21x x ≠n n n x c x c a 2211.+=21x x =nn x n c c a 121)(+=21,a a 21,c c r Pa a n n +=-1→n n n qa Pa a +=++12n a 121-+=n n P c c a 21,c c 21,a a 1)(11-=⇒-+=⇒+=+++P rx x Px Pa a x a P x a n n n n =++=+=--r r Pa P r Pa a n n n )(21x P x a P r P P r a a n n n -+=---+=⇒--1111)(1)1( r r P a P n n +++⋅+=--Pr 211 ⇒⎭⎬⎫+=+=-+相减，r Pa a r Pa a n n n n 111+n a 1111-+--+=⇒-=-n n n n n n Pa a P a Pa Pa a ）（PrP P r a c P c a P r a c P r c n n n -+-+=+=-+=-=--111111112121）（，，n n S 0 d n S n 0,01 +≥n n a a n n da n d S n )2(212-+=n n n , (2)1)12,...(413,211n n -⋅21d d ，)(11---n nn n a a a a 212-++=n n n a a a N n a a a n n n ∈=++)(221在等差数列｛｝中,有关S n 的最值问题：(1)当>0,d<0时，满足的项数m 使得取最大值. (2)当<0,d>0时，满足的项数m 使得取最小值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

给递推式求通项公式(1)常见形式即一般求解方法注：以下各种情况只需掌握方法即可，没有必要记住结果，否则数学就变成无意义的机械劳动了。

①q pa a n n +=+1若p=1，则显然是以a 1为首项，q 为公差的等差数列，若p ≠1，则两边同时加上1-p q，变为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=-++111p q a p p q a n n 显然是以11-+p qa 为首项，p 为公比的等比数列②()n f pa a n n +=+1，其中f(n)不是常数 若p=1，则显然a n =a 1+()∑-=11n i i f ，n ≥2若p ≠1，则两边同时除以p n+1，变形为()111++++=n n n n n p n f p a p a 利用叠加法易得()∑-=++=1111n i i n n p i f p a p a ，从而()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∑-=-1111n i i n n p i f a p a(2)不动点法当f(x)=x 时，x 的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。

典型例子：da c ba a a n n n +⋅+⋅=+1注：我感觉一般非用不动点不可的也就这个了，所以记住它的解法就足够了。

我们如果用一般方法解决此题也不是不可以，只是又要待定系数，又要求倒数之类的，太复杂，如果用不动点的方法，此题就很容易了 令dx c b x a x +⋅+⋅=，即()02=--+b x a d cx ，令此方程的两个根为x 1，x 2， 若x 1=x 2 则有p x a x a n n +-=-+11111其中k 可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。

注：如果有能力，可以将p 的表达式记住，p=da c+2 若x 1≠x 2则有212111x a x a q x a x a n n n n --⋅=--++其中k 可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。

注：如果有能力，可以将q 的表达式记住，q=21cx a cx a --(3)特征根法特征根法是专用来求线性递推式的好方法。

先来了解特征方程的一般例子，通过这个来学会使用特征方程。

①n n n qa pa a +=++12特征方程为x 2=px+q ，令其两根为x 1，x 2n a 1a ⎩⎨⎧≤≥+001m m a a m s 1a ⎩⎨⎧≥≤+001m m a a m s则其通项公式为nn n x B x A a 21⋅+⋅=，A 、B 用待定系数法求得。

②n n n n ra qa pa a ++=+++123特征方程为x 3=px 2+qx+r ，令其三根为x 1，x 2，x 3则其通项公式为n n n n x C x B x A a 321⋅+⋅+⋅=，A 、B 、C 用待定系数法求得。

注：通过这两个例子我们应当能够得到特征方程解线性递归式的一般方法，可以试着写出对于一般线性递归式的特征方程和通项公式，鉴于3次以上的方程求解比较困难，且竞赛中也不多见，我们仅需掌握这两种就够了。

(4)数学归纳法简单说就是根据前几项的规律猜出一个结果然后用数学归纳法去证。

这样的题虽说有不少但是要提高不完全归纳的水平实在不易。

大家应当都会用数学归纳法，因此这里不详细说了。

但需要记得有这样一个方法，适当的时候可以拿出来用。

(5)联系三角函数三角函数是个很奇妙的东西，看看下面的例子2112nnn a a a -=+ 看起来似乎摸不着头脑，只需联系正切二倍角公式，马上就迎刃而解。

注：这需要我们对三角函数中的各种公式用得很熟，这样的题目竞赛书中能见到很多。

例数列{}n a 定义如下：21=a ，2142n n a a --=+，求{}n a 通项注：这个不太好看出来，试试大胆的猜想，然后去验证。

(6)迭代法先了解迭代的含义()()()()()()()()()() ，，，，x f f f x f x f f x fx f x f x x f ====3210f 右上角的数字叫做迭代指数，其中()x f n-是表示()x f n 的反函数再来了解复合的表示()()()x g f x g f = ，()()()()x h g f x h g f =如果设()()x g f gx F 1-=，则()()x g f g x F n n 1-=，就可以将求F(x)的迭代转变为求f(x)的迭代。

这个公式很容易证明。

使用迭代法求值的基础。

而在数列中我们可以将递推式看成()n n a F a =+1，因此求通项和求函数迭代就是一样的了。

我们尽量找到好的g(x)，以便让f(x)变得足够简单，这样求f(x)的n 次迭代就很容易得到了。

从而再得到F(x)的n 次迭代式即为通项公式。

练习{}n n n n n n n a a a a a a a a a 212221221221221++-+=+===，，，满足已知数列 试求数列的通项公式。

数列求和的常用方法1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。

2.裂项相消法:适用于其中{ }是各项不为0的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。

3.错位相减法:适用于其中{ }是等差数列，是各项不为0的等比数列。

4.倒序相加法: 类似于等差数列前n 项和公式的推导方法.5.常用结论1）: 1+2+3+...+n =2） 1+3+5+...+(2n-1) =⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n n a a c n a {}n n b a n a {}n b 2)1(+n n 2n3）4） 5）6）不等式与最值1平均不等式 设+∈R a i (i=1,2,…,n) 调和平均值：∑==ni in a n H 11几何平均值：nni in aG ∏==1算术平均值：na A ni in ∑==1方幂平均值：naG ni in ∑==12n n n n G A G H ≤≤≤等号成立当且仅当n a a a === 21 注意：运用平均不等式需注意各项均为正数！ 题外话：有很多同学十分“痛恨”∏∑这两个符号，总是看不懂，其实这两个符号是绝对好用的，并且以后会常常遇到，在大学课本中更是家常便饭，多看几次自然也就习惯了。