2向量在物理中的应用举例
2019(A版)_6_4_1 平面几何中的向量方法__6_4_2 向量在物理中的应用举例巩固提升
6.4 平面向量的应用6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例课后篇巩固提升基础巩固1.在Rt △ABC 中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D 为AC 中点,则cos ∠BDC=( )A.-725B.725C.0D.12,则B (0,0),A (0,8),C (6,0),D (3,4),∴DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,-4),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,-4). 又∠BDC 为DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角, ∴cos ∠BDC=DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=-9+165×5=725. 2.两个大小相等的共点力F 1,F 2,当它们的夹角为90°时,合力的大小为20 N,则当它们的夹角为120°时,合力的大小为( ) A.40 N B.10√2 NC.20√2 ND.√10 NF 1,F 2,当它们的夹角为90°,合力的大小为20 N 时,由三角形法则可知,这两个力的大小都是10√2 N;当它们的夹角为120°时,由三角形法则可知力的合成构成一个等边三角形,因此合力的大小为10√2 N .3.河水的流速为2 m/s,一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度大小为 ( )A.10 m/sB.2√26 m/sC.4√6 m/sD.12 m/s|v 水|=2 m/s,|v 船|=10 m/s,作出示意图如图.∴|v |=√102+22=√104=2√26(m/s).4.(多选题)已知O 是四边形ABCD 内一点,若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则下列结论错误的是( ) A.四边形ABCD 为正方形,点O 是正方形ABCD 的中心B.四边形ABCD 为一般四边形,点O 是四边形ABCD 的对角线交点C.四边形ABCD 为一般四边形,点O 是四边形ABCD 的外接圆的圆心D.四边形ABCD 为一般四边形,点O 是四边形ABCD 对边中点连线的交点OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0知,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).设AB ,CD 的中点分别为E ,F ,由向量加法的平行四边形法则,知OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,O 是EF 的中点;同理,设AD ,BC 的中点分别为M ,N ,则O 是MN 的中点,所以O 是EF ,MN 的交点.5.已知A (3,2),B (-1,-1),若点P (x ,-12)在线段AB 的中垂线上,则x= .AB 的中点为M ,则M (1,12),MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-1,-1),由题意可知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,-3),MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以-4(x-1)+(-1)×(-3)=0,解得x=74.6.一个物体在大小为10 N 的力F 的作用下产生的位移s 的大小为50 m,且力F 所做的功W=250√2 J,则F 与s 的夹角等于 .F 与s 的夹角为θ,由W=F ·s ,得250√2=10×50×cos θ,∴cos θ=√22.又θ∈[0,π],∴θ=π4. 7.如图所示,在等腰直角三角形ACB 中,∠ACB=90°,CA=CB ,D 为BC 的中点,E 是AB 上的一点,且AE=2EB.求证:AD ⊥CE.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(CA⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =-13|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+13|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2.因为CA=CB ,所以-13|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+13|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=0,故AD ⊥CE.8.某人骑车以速度a 向正东方向行驶,感到风从正北方向吹来,而当速度为2a 时,感到风从东北方向吹来,试求实际风速的大小和方向.v ,由题意可知,此人以速度a 向正东方向行驶时,感到的风速为v -a ,当速度为2a 时感到的风速为v -2a .如图,设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2a ,PO ⃗⃗⃗⃗⃗ =v . ∵PO⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =v -a ,这就是速度为a 时感到的由正北方向吹来的风速. ∵PO⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =v -2a ,这就是速度为2a 时感到的由东北方向吹来的风速,由题意知∠PBO=45°,PA ⊥BO ,BA=AO ,∴△POB 为等腰直角三角形,∴∠APO=45°,|PO⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2|a |,即|v |=√2|a |. ∴实际风速的大小是√2|a |,为西北风.能力提升1.已知△ABC 的外接圆半径为1,圆心为O ,且3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +5OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A.-15 B.15C.-65D.653OA⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +5OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-5OC⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以9OA⃗⃗⃗⃗⃗ 2+24OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=25OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2. 因为A ,B ,C 在圆上,所以|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1. 代入原式得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-15(3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-15(3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-4OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-15.2.一条渔船距对岸4 km,以2 km/h 的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际行程为8 km,则河水的流速是 km/h .√3解析如图,用v 1表示河水的流速,v 2表示船的速度,则v =v 1+v 2为船的实际航行速度.由图知,|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=8,则∠AOB=60°.又|v 2|=2,∴|v 1|=|v 2|·tan 60°=2√3.即河水的流速是2√3 km/h .3.已知△ABC 是等腰直角三角形,∠B=90°,D 是BC 边的中点,BE ⊥AD ,垂足为E ,延长BE 交AC 于F ,连接DF ,求证:∠ADB=∠FDC.,以B 为原点,BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,设A (0,2),C (2,0),则D (1,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-2). 设AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2)+(2λ,-2λ)=(2λ,2-2λ).又DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2),由题设BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以BF⃗⃗⃗⃗⃗ ·DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以-2λ+2(2-2λ)=0,所以λ=23.所以BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(43,23).所以DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BF ⃗⃗⃗⃗⃗ −BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(13,23).又DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0),所以cos ∠ADB=DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√55,cos ∠FDC=DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√55,又∠ADB ,∠FDC ∈(0,π),所以∠ADB=∠FDC.4.已知e 1=(1,0),e 2=(0,1),今有动点P 从P 0(-1,2)开始,沿着与向量e 1+e 2相同的方向做匀速直线运动,速度为|e 1+e 2|;另一动点Q 从Q 0(-2,-1)开始,沿着与向量3e 1+2e 2相同的方向做匀速直线运动,速度为|3e 1+2e 2|.设P ,Q 在t=0 s 时分别在P 0,Q 0处,当PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥P 0Q 0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 时所需的时间t 为多少秒?1+e 2=(1,1),|e 1+e 2|=√2,其单位向量为(√22,√22);3e 1+2e 2=(3,2),|3e 1+2e 2|=√13,其单位向量为(√13√13).依题意知,|P 0P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2t ,|Q 0Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√13t , ∴P 0P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|P 0P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |(√22,√22)=(t ,t ),Q 0Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|Q 0Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |(√13√13)=(3t ,2t ),由P 0(-1,2),Q 0(-2,-1),得P (t-1,t+2),Q (3t-2,2t-1),∴P 0Q 0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-3),PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2t-1,t-3),∵PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥P 0Q 0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴P 0Q 0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即2t-1+3t-9=0,解得t=2. 即当PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥P 0Q 0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 时所需的时间为2 s .。
向量在物理中的应用举例 课件
知识点归纳
向量在物理中的应用 (1)物理中的力、速度、位移都是向量，它们的分解与合成 与向量的加法与减法相类似，可以用向量来解决． (2)物理中的功是一个标量，它是力f与位移s的数量积，即 W＝f·s＝|f|·|s|cos θ.
用向量方法解决力学问题
如图，在重300 N的物体 上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的 两侧，与铅垂线的夹角为30°和60°， 求重物平衡时，两根绳子拉力的大小．
【思路分析】力的合成与分解，可用向量的平行四边形法 则解决．
【规范解答】如右图，作平行四边形 OACB， 使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.在△OAC 中，∠ ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°，|O→A|＝|O→C |cos 30°＝ 150 3 (N) ， | A→C | ＝ | O→C |sin 30°＝ 150(N)，|O→B|＝|A→C|＝150 N.
力所做的功
已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，F 的大小为50 N，F拉着80 N的木块在摩擦系数为μ＝0.02的水平 面上运动了20 m，问F和摩擦力f所做的功分别是多少？
【思路分析】利用向量数量积的物理意义求解．
【规范解答】设木块的位移为 s，则 F·s＝|F||s|·cos 30°＝
【规范解答】设船速为 v1，水速为 v2， 船的实际速度为 v3.建立如图所示坐标系， 则|v1|＝5 m/s，|v3|＝250 m/s＝4 m/s.
由 v3＝v1＋v2，得 v2＝v3－v1＝(0,4)－(－3,4)＝(3,0)， ∴|v2|＝3，即 v2＝3 m/s.
用向量解决相关的物理问题，要将相关的 物理量用几何图形正确地表示出来；根据物理意义，将物理问 题转化为数学问题求解．最后将数学结论还原为物理问题．
平面几何中的向量方法向量在物理中的应用举例【新教材】人教A版高中数学必修第二册优秀课件
第 平6面章几何6.中4 的6向.4量.1方法平向面量几在何物中理的中向的量应方用法举例6.4【.2新教向材量】在人物教理A中版的高应中用数举学例必-修【第新二教册材优】秀人 教pptA版 课 （ 件2019 ）高中 数学必 修第二 册课件
返 首 页
·
第 平6面章几何6.中4 的6向.4量.1方法平向面量几在何物中理的中向的量应方用法举例6.4【.2新教向材量】在人物教理A中版的高应中用数举学例必-修【第新二教册材优】秀人 教pptA版 课 （ 件2019 ）高中 数学必 修第二 册课件
6
·
情
课
境
2．向量在物理中的应用
堂
导
小
学
结
探
(1)物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等．
·
提
新
素
知
(2)向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与 养
合 作
分解．
课
探
时
究
(3)动量 mv 是向量的数乘运算．
分 层
释
作
疑 难
(4)功是力 F 与所产生的位移 s 的数量积．
业
第 平6面章几何6.中4 的6向.4量.1方法平向面量几在何物中理的中向的量应方用法举例6.4【.2新教向材量】在人物教理A中版的高应中用数举学例必-修【第新二教册材优】秀人 教pptA版 课 （ 件2019 ）高中 数学必 修第二 册课件
知
素 养
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
4
·
情
课
境 导
在生活中，你是否有这样的经验：
第二章平面向量在几何物理中的应用举例【新教材】北师大版高中数学必修第二册课件
当堂检测
角度2 垂直问题
例2如图,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,四边形PECF是
矩形,用向量证明:PA⊥EF.
探究一
探究二
当堂检测
证明设正方形边长为 a,由于 P 是对角线 BD 上的一点,可设
=λ(0≤λ≤1).
则 = − = -λ = -λ( + )=(1-λ)-λ.
激趣诱思
知识点拨
(3)要证 A,B,C 三点共线,只要证明存在唯一一个实数 λ≠0,使=λ,
或若=a,=b,=c,存在一个实数 t,使 c=ta+(1-t)b.
(4)证明线段的垂直问题,如证明四边形是矩形、正方形,判断直线
(线段)是否垂直等,常运用向量垂直的条件:a⊥b⇔a·
b=0
| || |
π
=
2
2×
=
3
2
3
3
2
.
π
因为 0<∠EAC<2 ,所以∠EAC=6 .
反思感悟 利用平面向量解决几何中的夹角问题,本质是将平面图
形中的角视为两个向量的夹角,借助夹角公式进行求解.这类问题
也有两种方向,一是利用向量的基求解,二是利用坐标运算.在求解
过程中,务必注意向量的方向.
探究一
因为实际速度=游速+水速,所以游速为
− = ,
在 Rt△AOB 中,由已知||=4 3,||=4,
因此 ∥ ,
又因为 , 有公共点 F,所以 A,E,F 三点共线.
探究一
探究二
当堂检测
反思感悟 证明A,B,C三点共线的步骤
(1)证明其中两点组成的向量与另外两点组成的向量共线.
(2)说明两向量有公共点.
数学(2.5.2向量在物理中的应用举例)
向量的表示方法
总结词
向量可以用箭头表示，箭头的长度代 表大小，箭头的指向代表方向。
详细描述
在数学和物理中，向量通常用箭头表 示，箭头的长度代表向量的模长，箭 头的指向代表向量的方向。在坐标系 中，向量也可以用坐标表示。
向量的运算规则
总结词
向量具有加法、减法、数乘等基本运算规则，这些运算规则遵循平行四边形法 则或三角形法则。
04
向量在物理中的重要性
描述物理现象的数学工具
向量是描述物理现象的重要数 学工具，如力、速度、加速度 等物理量都可以用向量表示。
向量具有大小和方向两个要素， 能够准确地描述物理量的变化 和方向。
向量运算（加法、数乘、向量 的模等）能够描述物理量的合 成与分解。
解决物理问题的有效方法
向量在解决物理问题中具有高效性和准确性，通过向量的运算和变换可以简化问题。
向量在解决力学、电磁学、振动与波动等问题中具有广泛的应用，能够提供简洁明 了的解决方案。
向量方法可以避免复杂的解析过程，提高解题效率。
连接数学与物理的桥梁
向量作为数学和物理之间的桥梁，能 够将数学理论应用于实际物理问题。
向量的引入和发展推动了数学和物理 学的发展，促进了科学技术的进步。
通过向量的应用，能够将抽象的数学 概念与具体的物理现象联系起来，促 进数学与物理的相互理解和应用。
详细描述
在物理中，力的合成与分解是常见的运算。例如，当一个物体受到两个力的作用时，可 以通过向量的合成求出这两个力的合力；同样地，当需要将一个力分解为若干个分力时， 也可以通过向量的分解来实现。力的合成与分解在工程、力学等领域有着广泛的应用。
速度与加速度的实例
总结词
速度和加速度是描述物体运动状态的重要物理量，通 过向量运算可以方便地描述它们的方向和大小。
向量空间在物理学中的应用讨论
向量空间在物理学中的应用讨论向量空间是现代数学中的一个重要概念，在各个领域的应用十分广泛，其中包括物理学。
本文将围绕向量空间在物理学中的应用展开讨论。
一、向量空间的基本概念向量空间是指一个集合V，其中定义了向量的加法和数量乘法两种运算，同时满足以下几个条件：加法符合交换律和结合律、存在零向量、存在加法逆元、数量乘法满足结合律、分配律和单位元等基本性质。
这些基本性质使得向量空间很自然地展现了出来在各个领域中的重要性。
二、向量空间在物理学中的应用1. 向量的表示在物理学中，向量空间常常被用来表示物理量。
例如，我们可以把一个物体的速度看作一个向量，速度大小就是向量的模，速度的方向就是向量的方向。
因此，我们可以用向量空间中的向量来表示出物理量的大小和方向。
2. 向量的加法在物理学中，向量的加法也非常重要。
例如，如果一个物体同时受到两个力的作用，那么这两个力的合力就可以用向量的加法来表示。
另外，在描述场时，也需要将不同的向量叠加起来，得到一个总的向量描述整个场，可以是电场、磁场等。
3. 向量的数量乘法向量的数量乘法在物理学中也有广泛的应用。
例如，在描述电场时，我们常常需要计算一个电荷在电场中所受的力，这个力可以用电荷的电量和电场的强度两个量来描述，其中电量是标量，电场强度是向量。
在这个过程中，我们需要使用向量的数量乘法来计算受力的大小和方向。
4. 向量的内积在物理学中，向量的内积也十分重要。
例如，在描述能量时，我们需要计算物体的动能或势能。
这些能量可以用物体的质量和速度或者高度来表示。
在计算能量时，我们需要使用向量的内积。
另外，向量的内积还可以用来表示两个向量之间的夹角，这在描述磁场中的磁力时也有应用。
5. 向量的外积向量的外积在物理学中也有应用。
例如，在描述电磁感应时，我们需要计算磁场中的磁通量和电线圈的面积。
这个面积可以用两个向量的外积来计算。
三、总结向量空间在物理学中的应用非常广泛，涉及到许多物理量和物理现象的描述。
人教版高中数学新教材必修第二册课件6.4.2 向量在物理中的应用举例
讲
课
人
：
邢
启 强
10
学习新知
想一想：如果船沿与上游河岸成60°方向行驶， 那么船的实际速度v的大小是多少？
v1
v
60° v2
|v|2＝| v1＋v2|2＝（v1＋v2）2＝84.
讲
课
人
：
邢
启 强
11
学习新知
思考：船应沿什么方向行驶，才能使航程最短？
B
与上游河岸的夹角为
v1 v
78.73°.
F1＋F2＋G=0.
启 强
6
学习新知
思考3：假设两只手臂的拉力大小相等，夹角为θ， 那么|F1|、|G|、θ之间的关系如何F？
| F1 |
|G | 2 cos 2
θ
F1
F2
θ∈[0°，180°)
G
思考5：上述结论表明，若重力G一定，则拉力的
大小是关于夹角θ的函数.在物理学背景下，这个
函讲课 数的定义域是什么？单调性如何？
讲
课
人
：
邢
启 强
4
学习新知 探究（一）：向量ห้องสมุดไป่ตู้力学中的应用
如图，用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个重量是10N
的灯具，根据力的平衡理论，每根绳子的拉力与灯具的重
力具有什么关系？每根绳子的拉力是多少？
1．我们在图中标上相应的字母（如 图），绳子 OA 与绳子 OB 的拉力与灯
A
B
120°
具的重力 G 具有什么关系？
讲
课
人
：
邢
启 强
3
学习新知
向量在物理中的应用
（1）物理问题中常见的向量有力 、速度 、位移 等． （2）向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中． （3）动量mv是向量的数乘 运算． （4）功是力F与位移s的数量积 ．
向量在物理学中的应用举例省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
二、速度及位移问题
以某市人民广场中心为原点建立直角坐标系,x轴指向东,y轴指向北一个单 位表示实际旅程100米,一人步行从广场入口处A(2,0)出发,一直沿一个方向 均速前进,6分钟时途经少年宫C,10分钟后抵达科技馆B(-3,5).求：此人位 移向量(说明此人位移距离和方向); 此人行走速度向量(用坐标表示); 少年宫C点相对于广场中心所处位置. (以下数据供选取:tan18°24 ＝ 0.3327,tan18°26 = 13 ,tan2 ＝0.0006)
向量在物理学中应用举例
向量起源于物理,是从物理学中抽象出 来数学概念。物理学中许多问题, 如位移、速度、加速度等都能够利用向 量来处理。用数学知识处理物理问题, 首先要把物理问题转化为数学问题,即 依据题目标条件建立数学模型,再转化 为数学中向量运算来完成。
第1页
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 一、受力分析
质量为m物体静止地放在斜面上,斜面与水平面夹角为θ,求斜面对于物体摩擦 力和支持力大小.
⑵t＝10分＝ 16 小时，|V|＝ |AB|t ＝302∴Vx＝|V|cos135°＝－30，Vy ＝|V|sin135°＝30，∴V＝(－30,30)⑶∵AC＝ 610 AB，∴OC＝OA＋ 35 AB＝(2,0)＋ 35 (－5,5)＝(－1,3)∴|OC|＝10，又tan(18°24 ＋2 )＝ 0.3327+0.00061-0.3327×0.0006 ＝ 13 而tan∠COy＝ 13 ，∴∠COy＝ arctan 13 ＝18°26 。 ∴少年宫C点相对于广场中心所处位置为“北
分析： ⑴AB坐标等于它终点坐标减去起点坐标,代入A,B坐标可求；⑵习惯上 单位取百米/小时，故需先将时间换成小时。而速度等于位移除以时间，由 三角知识可求出坐标表示速度向量。⑶经过向量坐标运算及三角函数公式 求解。
向量在物理中的应用
向量在物理中的应用1.向量是既有大小又有方向的量，物理中有许多量：力、速度、加速度等都是向量.2.用向量研究物理问题的相关知识：(1)力、速度、加速度、位移都是向量；(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法、运动的叠加亦用到向量的合成；(3)动量m 是数乘向量；(4)功定义即力与产生位移的内积. 典型例题例1 A、B两人同拎着有绳相缚的某一货物，当A、B所拉着的绳子与铅垂线分别成30°、45°角时，试求A、B手上所承受的力的比.解：取绳与货物的交叉位置为O，这时作用在货物上的力有三个：重力G，A、B的手对货物的拉力、，因为作用于平衡物体上的合力为0，∴=0，设、的相反向量为，，则按照向量加法的意义可知四边形OPGQ是一个平行四边形.由正弦定理得：= ∴｜｜∶｜｜= = ∶1即A、B 两人手上所承受的拉力之比为∶1例2 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d=500m，一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处，船航行的速度｜v1｜=10km/h，水流速度｜v2｜=4km/h，那么v1与v2的夹角多大时，船才能垂直到达对岸B处?船行驶多少时间? 分析：若水是静止的，则船只要取垂直于河岸的方向行驶就行了.由于水流动的作用，船要被水冲向下游，因此要使船垂直到达对岸，就要使v1与v2的合速度的方向正好垂直于河岸方向.解：设表示水流速度，表示船向对岸行驶速度，以AE、AB分别为平行四边形的一条边和一条对角线作平行四边形，根据向量的平行四边形法则和解直角三角形知识得：v= = =2 (km/h)由于sin∠FAB= = 所以v1与v2的夹角为arcsin ∵2 km/h= m/min= m/min.∴船行驶时间t= = (min)答：v1与v2的夹角为arcsin 时，船才能垂直到达对岸B处，船行驶时间是min.向量是代数的对象。
运算及其规律是代数学的基本研究对象。
向量可以进行多种运算，如，向量的加法、减法，数与向量的乘法（数乘），向量与向量的数量积（也称点乘），向量与向量的向量积（也称叉乘）等。
向量在物理中的应用举例
3.质量 m＝2.0 kg 的木块，在平行于斜面向上的拉力 F＝10 N 的作用下，沿倾斜角 θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s|＝2.0 m 的距离.(g＝9.8 N/kg) (1)分别求物体所受各力对物体所做的功； (2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多 少？
解：(1)木块受三个力的作用，重力 G，拉力 F 和 支持力 FN，如图所示， 拉力 F 与位移 s 方向相同，所以拉力对木块所做的功为 WF＝ F·s＝|F||s|cos 0°＝20(J)； 支持力 FN 与位移方向垂直，不做功，所以 WN＝FN·s＝0； 重力 G 对物体所做的功为 WG＝G·s＝|G||s|cos(90°＋θ)＝ －19.6(J). (2)物体所受各力对物体做功的代数和为 W＝WF＋WN＋WG＝ 0.4(J).
[典例 2] 已知两恒力 F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一 质点，使之由点 A(20,15)移动到点 B(7,0)，求 F1，F2 分别对质 点所做的功.
[解] 设物体在力 F 作用下的位移为 s，则所做的功为 W ＝F·s.∵―AB→＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15).
＋F22＋2F1·F2＝4＋16＝20，∴|F3|＝2 5. 答案：C
3.一条河宽为 800 m，一船从 A 处出发想要垂直到达河正对岸 的 B 处，若船速为 20 km/h，水速为 12 km/h，则船到达 B 处所需时间为________min. 解析：由题意作出示意图，如图， ∵v 实际＝v 船＋v 水＝v1＋v2， |v1|＝20 km/h， |v2|＝12 km/h，
二、创新应用题 5.一艘船从南岸出发，向北岸横渡.根据测量，这一天水流速
度为 3 km/h，方向正东，风吹向北偏西 30°，受风力影响， 静水中船的漂行速度为 3 km/h，若要使该船由南向北沿垂 直于河岸的方向以 2 3 km/h 的速度横渡，求船本身的速 度大小及方向.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.5.2 向量在物理中的应用举例
图1
在教学中要尽可能地采用多媒体,在信息技术的帮助下让学生来动态地
观察|F |、|G |、θ之间在变化过程中所产生的相互影响.由学生独立完成本例
后,与学生共同探究归纳出向量在物理中的应用的解题步骤,也可以由学生
自己完成,还可以用信息技术来验证.
用向量解决物理问题的一般步骤是:①问题的转化,即把物理问题转化
为数学问题;②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型;③参数的获
得,即求出数学模型的有关解——理论参数值;④问题的答案,即回到问题的
初始状态,解释相关的物理现象.
解:不妨设|F 1|=|F 2|,由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的
知识,可以知道
2
cos 2||||||212cos 1θθG F G ⇒= 通过上面的式子,我们发现:当θ由0°到180°逐渐变大时,
2θ由0°到90°逐渐变大,cos 2
θ的值由大逐渐变小,因此|F 1|由小逐渐变大,即F 1,F 2之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力.
点评:本例是日常生活中经常遇到的问题,学生也会有两人共提一个旅
行包以及在单杠上做引体向上运动的经验.本例的关键是作出简单的受力
分析图,启发学生将物理现象转化成模型,从数学角度进行解释,这就是本例
活动中所完成的事情.教学中要充分利用好这个模型,为解决其他物理问题
打下基础.得到模型后就可以发现,这是一个很简单的向量问题,这也是向量
工具优越性的具体体现.
变式训练
某人骑摩托车以20 km/h 的速度向西行驶,感到风从正南方向吹来,而当
其速度变为40 km/h 时,他又感到风从西南方向吹来,求实际的风向和风速.
图2
解:如图2所示.设v 1表示20 km/h 的速度,在无风时,此人感到的风速为-v 1,
实际的风速为v ,那么此人所感到的风速为v +(-v 1)=v -v 1.
令AB =-v 1,AC =-2v 1,实际风速为v .
∵DA +AB =DB ,
∴DB =v -v 1,这就是骑车人感受到的从正南方向吹来的风的速度.
∵DA +AC =DC ,
∴DC =v -2v 1,
这就是当车的速度为40 km/h 时,骑车人感受到的风速.
由题意得∠DCA=45°,DB ⊥AB,AB=BC,
∴△DCA 为等腰三角形,DA=DC,∠DAC=∠DCA=45°.
∴DA=DC=2BC=202.
∴|v |=202 km/h.
答:实际的风速v 的大小是202 km/h,方向是东南方向.
例2 如图3所示,利用这个装置(冲击摆)可测定子弹的速度,设有一砂箱悬
挂在两线下端,子弹击中砂箱后,陷入箱内,使砂箱摆至某一高度h.设子弹和
砂箱的质量分别为m 和M,求子弹的速度v 的大小.
图3
解:设v 0为子弹和砂箱相对静止后开始一起运动的速度,由于水平方向上
动量守恒,所以m|v |=(M+m)|v 0|. ①
由
于机械能守恒,所以21(M+m)v 02=(M+m)gh. ②
联立①②解得|v |=.2gh m
m M 又因为m 相对于M 很小,所以|v |≈
gh m M
2, 即子弹的速度大小约为gh m M
2.
知能训练
1.一艘船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行,已知河水流
速为2 km/h,则经过3小时,该船实际航程为( )
A.215 km
B.6 km
C.84 km
D.8 km
图4
图5
表示水流速度,OB表示船垂直于对岸的速度。