中学数学中的分形几何
分形几何
分形几何作者：来源：《初中生世界·九年级》2014年第08期分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学. 相对于传统几何学的研究对象为整数维数，如零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体乃至四维的时空，分形几何学的研究对象为分数维数，如0.63、1.58、2.72. 因为它的研究对象普遍存在于自然界中，比如云彩、闪电、山脉、树枝、蕨叶以及生物细胞等，因此分形几何学又被称为“大自然的几何学”.康托尔三分集1883年，德国著名数学家康托尔构造了一个奇异的集合：取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，将剩下的两段各再三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段各再三等分，这样一直继续操作下去，直至无穷，便可得到康托尔三分集.皮亚诺曲线取一个正方形并把它分成4个相等的小正方形，然后从左上角的正方形开始至左下角的正方形结束，依次将小正方形的中心连接起来；下一步把每个小正方形再分成4个相等的正方形，然后按上述方式把其中心连接起来……如此继续不断作下去，以至无穷，也便形成了一条皮亚诺曲线.一般来说，一维的直线是不可能填满二维的平面的，但是皮亚诺曲线恰恰给出了反例.谢尔宾斯基三角形垫片1915～1916年，波兰数学家谢尔宾斯基构造了这样一种图形：将边长为1的等边三角形均分成四个小等边三角形，去掉中间的一个小等边三角形，再对其余3个小等边三角形进行相同操作，这样操作继续下去直至无穷，所得图形称为谢尔宾斯基三角形垫片. 我们可以发现，剩下的三角形面积在不断操作下趋近于零，但它的周长却趋近于无限大.谢尔宾斯基地毯谢尔宾斯基地毯的构造与谢尔宾斯基三角形相似，区别仅在于谢尔宾斯基地毯是以正方形而非等边三角形为基础的. 将一个实心正方形划分为3×3的9个小正方形，去掉中间的小正方形，再对余下的小正方形重复这一操作便能得到谢尔宾斯基地毯.门杰海绵与谢尔宾斯基金字塔奥地利数学家门杰从三维的单位立方体出发，用与构造谢尔宾斯基地毯类似的方法，构造了门杰海绵（1999年以前，大部分分形著作中，均误称之为谢尔宾斯基海绵）；谢尔宾斯基用与构造谢尔宾斯基三角形垫片类似的方法，构造了谢尔宾斯基金字塔. 这是两座宏伟的集合大厦，里面有无数的通道，连接着无数的门窗. 这种“百孔千窗”、“有皮没有肉”的结构的表面积是无穷大，它们是由反复挖去一拨比一拨小的立体所生成，是化学反应中催化剂或阻化剂最理想的结构模型.海岸线有多长1967年，数学家曼德尔布罗在著名的《科学》杂志上发表了一篇奇怪的文章《英国的海岸线有多长》，使人们大吃一惊. 原来海岸线长度不是一个固定不变的数值. 海岸线的长短取决于人们所用的尺. 如果用1千米的尺子测量，小于1千米的弯弯曲曲的海岸线便会被忽略；如果用1米的尺子测量，便会增加许多弯曲的部分，海岸线必然大大增大；如果让蜗牛来测量，海岸线必然大得惊人.曼德尔布罗波兰裔法国数学家曼德尔布罗是分形几何的创始人. 他的科学兴趣极其广泛，具有极强的创造能力和形象思维能力，利用计算机开创了一门崭新的分形几何学.。
分形几何概述
三、分形几何的研究方法
1、以分数维数来描述分形；
Mandelbrot提出了一个分形维数的概念。
在Euchlid几何学中我们知道维数的概念
点---0维；
线---1维；
面---2维；
分形几何与传统几何相比有什么特点：
⑴从整体上看，分形几何图形是处处不规则的，它的整体与局部都不能用传统的几何语言来描述。例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。
⑵分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。
例如：Mandelbrot集，简称M集，是人类有史以来最奇异最瑰丽的几何图形. 它由一个主要的心形图与一系列大小不一的圆盘芽苞突起连在一起构成．你看，有的地方象日冕，有的地方象燃烧的火焰，那心形圆盘上饰以多姿多彩的荆棘，上面挂着鳞茎状下垂的微小颗粒，仿佛是葡萄藤上熟透的累累硕果．它的每一个细部都可以演绎出美丽的梦幻般仙境似的图案，因为只要把它的细部放大，展现在眼前的景象会更令人赏心悦目．而这种放大可以无限地进行下去，无论放大到哪一个层次，都会显示同样复杂的局部，这些局部与整体有某种相似的地方，但又不完全相同，仿佛里面酝藏着无穷的创造力，使你感到这座具有无穷层次结构的雄伟建筑的每一个角落都存在无限嵌套的迷宫和回廊，催生起你无穷的探究欲望.。
6、可以制作成各种尺寸的分形挂历、台历、贺卡、书签等等。
7、装点科技馆、少年宫、旅游景点等地点，美化公众环境。
�
我们来看曼德勃罗的分析：
当你用一把固定长度的直尺(没有刻度)来测量时，对海岸线上两点间的小于尺子尺寸的曲线，只能用直线来近似。因此，测得的长度是不精确的。
如果你用更小的尺子来刻画这些细小之处，就会发现，这些细小之处同样也是无数的曲线近似而成的。随着你不停地缩短你的尺子，你发现的细小曲线就越多，你测得的曲线长度也就越大。如果尺子小到无限，测得的长度也是无限。
分形几何学在数学中的应用
分形几何学在数学中的应用分形几何学是一门描述非整体几何形态的学科，旨在研究自然中那些看似复杂但具有某种重复结构的“异形体”，如云朵、树枝、海岸线等。
分形几何学涉及的多为斐波那契数列、曼德博集、朱利亚集等著名的分形图像，它们虽然看似艺术品，但同时也为科学家研究探索提供了许多思路和启示。
在数学领域中，分形几何学有着广泛的应用，本文将会介绍其中的一些。
一、分形理论在图像压缩中的应用分形图像压缩技术是一种全新的图像压缩模式，它对自相似性的图像进行了探索，并且寻找到了自相似性的一般规律，最终形成了基于分形特征的高比例压缩模式。
这种压缩模式的具体应用包括电子图象、遥感图象、数字信号、地图等领域。
二、分形理论在金融市场预测中的应用分形几何学在金融市场的应用主要是通过其分形特征来预测市场走势。
经过多年的研究，科学家们发现，在金融市场中，股票、期货等商品的价格走势常常表现出来分形的特征，因此可以利用分形理论来剖析市场，预测市场走势和涨跌趋势。
许多金融大佬利用分形理论，制定交易策略，从而取得了良好的投资回报。
三、分形理论在土地利用规划中的应用利用分形特征对地形进行分段，可以得到一系列体块空间，这种方法被应用于城市风貌的分析和规划以及土地利用的方案制定中。
利用分形特征进行空间自动分割，在统计分析地表质心变化的同时，改进了城市土地利用的管理和规划模式。
四、分形理论在生命科学中的应用生命科学中的DNA序列、蛋白质序列等都具有自相似的特点，生物界的许多分形现象都存在着是否是一种更为高级的自组织模式仍然存在争议，但是利用分形特征，科学家们已经开始了一系列的探索和实验，涉及癌症诊断和治疗策略的制定、人体运动过程的测量以及脑功能的计算等等。
五、分形理论在计算机科学中的应用计算机科学中的随机生成、优化问题、自适应控制、图像处理等领域都有分形特征，利用分形理论所构建的智能化算法，可以在较小的规模区间内进行高效的检索和组合，进一步提高了计算机科学的研究和应用水平。
分形几何学
2分形几何学的基本概念本章讨论分形几何学的一些基本内容，其中：第1节讨论自相似性与分形几何学的创立；第2节讨论分形几何学的数学量度，即三种不同的维数计算方法；第3节讨论应用分形几何方法所实现的对自然有机体的模拟。
2.1自相似性与分形几何学无论人们通过怎样的方式把欧几里得几何学的形体与自然界关联起来，欧氏几何在表达自然的本性时总是会遇到一个难题：即它无法表现自然在不同尺度层次上的无穷无尽的细节。
欧氏几何形体在局部放大后呈现为直线或光滑的曲线，而自然界的形体（如山脉、河流、云朵等）则在局部放大后仍呈现出与整体特征相关的丰富的细节（图版2-1图1），这种细节特征与整体特征的相关性就是我们现在所说的自相似性。
自相似性是隐含在自然界的不同尺度层次之间的一种广义的对称性，它使自然造化的微小局部能够体现较大局部的特征，进而也能体现其整体的特征。
它也是自然界能够实现多样性和秩序性的有机统一的基础。
一根树枝的形状看起来和一棵大树的形状差不多；一朵白云在放大若干倍以后，也可以代表它所处的云团的形象；而一段苏格兰的海岸线在经过数次局部放大后，竟与放大前的形状惊人地相似（图版2-1图2）。
这些形象原本都是自然界不可琢磨的形状，但在自相似性这一规律被发现后，它们都成为可以通过理性来认识和控制的了。
显然，欧氏几何学在表达自相似性方面是无能为力了，为此，我们需要一种新的几何学来更明确地揭示自然的这一规律。
这就是分形几何学产生的基础。
1977年，曼德布罗特（Benoit Mandelbrot）出版了《自然的分形几何学》（The Fractal Geometry of Nature）一书，自此分形几何学得以建立，并动摇了欧氏几何学在人们形态思维方面的统治地位。
分形几何学的研究对象是具有如下特性的几何形体：它们能够在不断的放大过程中，不停地展现出自相似的、不规则变化着的细节（图2-1图3）。
这些几何形状不同于欧氏几何形体的一维、二维或三维形状，它们的维数不是简单的1、2或3，而是处于它们之间或之外的分数。
分形几何的特征及其维数
分形几何的特征及其维数
分形几何，这一诞生于二十世纪的数学领域瑰宝，以其独特的美学与科学魅力在2024年的今天依然引人入胜。
它的核心特征可以概括为以下几点：
1. 自相似性：这是分形最直观也最具代表性的特点，即不论是在整体还是局部，乃至无限次放大的微小部分，都能发现与整体形态相似或等比例缩小的结构。
比如著名的科赫雪花和谢尔宾斯基三角形。
2. 不规则性和复杂性：传统几何形状如圆形、方形等具有明显的边界和规则性，而分形则呈现出无规律、不规则的复杂结构，难以用传统的欧几里得几何来描述。
3. 维数的非整数性：分形维数是衡量分形结构复杂程度的一个重要概念，它突破了经典欧氏空间中一维、二维、三维等整数维的界限。
例如，科赫曲线虽然看似占据了一维空间，但实际上其分形维数大于1但小于2，这体现了它在有限空间内展现出了超越常理解的空间复杂度。
分形维数的计算通常采用盒计数法，通过将分形划分为多个大小相等的小区域（盒子），统计不同尺度下被分形所覆盖的盒子数量随尺度改变的关系，从而得到描述分形复杂度的维数值。
总之，在我们所处的2024年，分形几何已经广泛应用于艺术、自然科学、社会科学等多个领域，并以其深邃的内涵和无穷的变化，持续启发着人们对自然界及宇宙奥秘的认识探索。
数学的分形几何
数学的分形几何分形几何是一门独特而迷人的数学领域，它研究的是自相似的结构和形态。
分形几何的概念由波蒂亚·曼德博（Benoit Mandelbrot）在1975年首次提出，之后得到了广泛应用和发展。
本文将介绍分形几何的基本概念和应用领域，旨在帮助读者更好地了解这一令人着迷的学科。
一、分形几何的基本概念分形（fractal）是一种非几何形状，具有自相似的特点。
简单来说，分形就是在各个尺度上都具有相似性的图形。
与传统的几何图形相比，分形图形更加复杂、细致，其形状常常无法用传统的几何方法进行描述。
分形几何的基本概念包括分形维度、分形特征和分形生成等。
1. 分形维度分形维度是分形几何中的重要概念之一。
传统的几何图形维度一般为整数，如直线的维度为1，平面的维度为2，而分形图形的维度可以是非整数。
分形维度能够描述分形的复杂程度和空间占据情况，是衡量分形图形特性的重要指标。
2. 分形特征分形几何的分形特征是指分形图形所具有的一些独特性质。
其中最著名的就是自相似性，即分形图形在不同尺度上具有相似的形态和结构。
此外，分形图形还具有无限的细节，无论放大多少倍都能够找到相似的结构。
3. 分形生成分形图形的生成是分形几何中的关键问题之一。
分形图形可以通过递归、迭代等方式进行生成，比如著名的分形集合——曼德博集合就是通过迭代运算得到的。
分形生成的过程常常需要计算机的辅助，对于不同的分形形状，生成算法也有所不同。
二、分形几何的应用领域分形几何的独特性质使其在许多领域中得到广泛应用。
以下列举了几个典型的应用领域。
1. 自然科学分形几何在自然科学中有着广泛的应用。
例如，分形理论可以用来研究自然界中的地形、云雾形态等。
通过分形几何的方法，我们能够更好地理解和描述自然界的复杂性，揭示出隐藏在表面之下的规律。
2. 经济金融分形几何在经济金融领域也有着重要的应用。
金融市场的价格走势往往具有分形特征，通过分形几何的方法可以更好地预测未来的市场走势和波动。
什么是分形几何？
什么是分形几何？什么是分形几何？1973年，曼德勃罗（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。
分形（Fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其愿意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。
由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。
分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。
分形几何与传统几何相比有什么特点⑴从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。
例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。
⑵在不同尺度上，图形的规则性又是相同的。
上述的海岸线和山川形状，从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是自相似的。
当然，也有一些分形几何图形，它们并不完全是自相似的。
其中一些是用来描述一般随即现象的，还有一些是用来描述混沌和非线性系统的。
什么是分维？在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。
也可以梢加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，但通常人们习惯于整数的维数。
分形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入了，所以存在分维。
其实，Koch曲线的维数是1.2618……。
Fractal（分形）一词的由来据曼德勃罗教授自己说，fractal一词是1975年夏天的一个寂静夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时，突然想到的。
此词源于拉丁文形容词fractus，对应的拉丁文动词是frangere （“破碎”、“产生无规碎片”）。
此外与英文的fraction （“碎片”、“分数”）及fragment（“碎片”）具有相同的词根。
在70年代中期以前，曼德勃罗一直使用英文fractional一词来表示他的分形思想。
因此，取拉丁词之头，撷英文之尾的fractal，本意是不规则的、破碎的、分数的。
分形几何中的分形维数和分形拓扑
分形几何是一门研究自相似性和自恶化性质的数学分支。
分形几何的基本思想是运用递归和迭代方法来构造并研究具有特殊性质的几何对象，这些几何对象被称为分形。
在分形几何中，分形维数和分形拓扑是两个重要的概念。
分形维数描述了分形对象的尺度特征和空间填充性质。
对于一般的几何图形，维数可以用整数来描述，比如点的维数是0，线的维数是1，平面的维数是2。
然而，对于分形对象来说，用整数维度来描述是不合适的，因为分形对象通常具有非整数维的特点。
分形维数是一种介于整数维和分数维之间的维数概念，它可以帮助我们理解和揭示分形对象的尺度特性。
常见的分形维数包括Hausdorff维数、盒维数等。
Hausdorff维数描述了分形对象的自相似性，而盒维数则描述了分形对象的空间填充性。
分形拓扑研究的是分形对象如何在拓扑空间中进行组合和分解。
传统的拓扑学主要研究整体性质和连续性，无法很好地描述分形对象的自相似性和分布特点。
分形拓扑通过引入分形维度和分形结构等概念，对分形对象进行了全面而深入的研究。
在分形拓扑中，分形对象可以通过分形维度和分形结构来分解成多个部分，并且这些部分之间仍然表现出自相似性。
通过分形拓扑的方法，人们可以更好地理解分形对象的组合特性、变换特性以及拓扑空间中的分形结构。
分形维数和分形拓扑的研究不仅在纯数学领域中具有重要意义，而且在物理学、生物学、地理学、经济学等多个学科中也有广泛的应用。
在物理学中，分形维数被用来描述复杂系统的几何特征，如分形海岸线、分形粉末的填充性等；在生物学中，分形维数被用来研究生物体的形态特征和生存策略；在地理学中，分形维数被用来描述地形形状的复杂性和多样性；在经济学中，分形拓扑可以用于模拟金融市场的波动性和奇异性。
总之，分形维数和分形拓扑是分形几何中的两个重要概念，它们描述了分形对象的尺度特性和空间组织特性。
分形维数和分形拓扑的研究不仅在数学领域具有重要意义，而且在其他学科中也发挥着重要作用。
通过对分形维数和分形拓扑的深入研究，我们可以更好地理解和揭示自然界和人类社会中的复杂系统的结构和行为规律。
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中学数学中的分形几何
广西桂林市恭城瑶族自治县栗木中学数学组何桂荣（542502）
桂林市第十八中学数学组蒋雪祥（541004）
内容提要：本文论述了规则图形的容量维，对容量维的计算作了说明，同时还对4个较为著名的与中学有关的，或是可以用于启发学生思维的分形问题进行了分析。
关键字：容量维 Sierpinski三角毯 Koch曲线
Koch岛 Sierpinski-Menger海绵
1973年，曼德勃罗(B.B.Mandelbrot)在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。
分形(Fractal)一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。
由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。
数千年来，几何学的发展从来没有二十世纪诞生的分形几何那样对物理学和数学发展产生如此巨大的影响。
分形几何对我们大多数人来说是陌生的，因为它看起来离我们太远。
其实分形就在我们身边，在近年的竞赛与高考中，分形的影子已经出现。
中学数学中的分形与数学研究中的分形所看的角度与研究目标都不同，可以说是羊头狗肉之分吧。
笔者试对此进行一点探讨，以抛砖引玉尔。
一、规则图形的容量维
为了描述混沌学中奇怪吸引子的这种奇特结构，曼德尔布罗特(Mandelbrot)最早（1975年）引进了分形（既其维数是非整数的对象）的概念。
维数是描述客体的重要几何参量。
也可以说，维数是为了确定几何对象中一个点的位置所需的独立坐标数目。
已经知道：点是零维，线是一维，平面是二维，而立方体是三维的。
这种维数称为拓扑维，用字母"d"表示。
维数也可以这样来考虑：比如，取一线段，将该线段的长度乘2，就得到另一个线段，长度为n=2个原线段长度。
一正方形，每边长×2，得到一个大的正方形，它等于4个原来大小的正方形。
一立方体，每边长×2，得到一个大的立方体，它等于8个原来大小的立方体。
由此可以推得，一个d维的几何对象，它的每一个独立方向都增长L倍，结果得到N
个原来的对象，这三者的关系为d L N
=,两边取自然对数，得维数
ln
ln
N
d
L
=。
在
本例的正方体中，如果是L=2,则必有N=8,于是就有
ln ln8
3
ln ln2
N
d
L
===，即立方
体是三维的。
将上式的定义加以推广，就得到d不必一定是整数，它可以是分数，我们就把这样推广定义的维数称为分维（fractal），用字母"D" 表示。
对于规则的几何对象，可以使用统一的长度变换倍数L。
而对于不规整的复杂体，如海岸线的长度，总长度与测量单位有关，为了得到精确的测量，不是把尺寸放大L 倍，而是测量单位缩小为原来的ε倍，L＝１／ε，测量长度次数Ｎ随ε减小而增
大，记为Ｎ（ε），这时分维定义为：
ln()
(0)
1
ln
N
D
ε
ε
ε
=→。
上式定义的分维称为
容量维D，又称为柯尔莫哥洛夫（Ａ.Ｎ.Kolmogorov）容量维。
可以证明，拓扑维d和分维D满足如下关系：d≤D式中取等号是对普通规则几何对象而言的。
容量维为非整数的典型的例子是康托集合。
如图示，考虑一闭合线段[0,1]，将其分成三等分，舍弃中段，剩下的两段
再分别三等分和舍弃中段，如此继续下去，最后剩下的点的总体就是康托集合。
它是一种处处稀疏的对象（自相似结构），其拓扑维d=0，现在来求它的分维D。
当ε＝1/3，N=2；当ε＝1/9，N=4；...亦即当
1
()
3
n
ε=时，N=2n。
于是可得康托
集合的容量维为
ln()ln2ln2
0.631
11ln3
ln ln()
1
3
n
n
N
D
ε
ε
====由此可见康托集合满足关系
d≤D。
奇怪吸引子的维数从一个侧面反映了说明此吸引子所必须的信息量，它是该系统中最重要和最主要的信息，对它的细致研究将有利于我们抓住问题的主要方面，更根本地分析和认识问题。
二、中学数学分形问题与分形几何学问题的例子
例1、将一个三角形的三边中点连结，挖去所得的小三角形；再将剩下的图形的各边的中点连结，各得一个三角形，挖去所得三角形；如此继续下去，第七次总共可得多少个三角形（例如第二次挖去后，总共有13个三角形）？
第一次（4个）第二次（13个）第三次（40个）这个问题就是分形几何学中所说的Sierpinski三角毯，在我们竞赛中是一个
数列问题，而在分形几何中，它是一个规则的分形。
其中白色的三角形共有3n（n 为第n次挖取）。
当然在分形几何中，所研究的不是三角形的个数，而是利用下述公式从测度的角度把规则图形的维度D确定为
ln()
(0)
1
ln
N
D
ε
ε
ε
=→。
这里的ε是测量单元的尺寸，()
Nε是测度得到的规则图形的测量单元数。
本例中()
Nε=3n，ε=
1
()
2
n于是得到此分形图的容量维为
ln3ln3
1.585
1ln2
ln
1
()
2
n
n
D===例2、如图，挖去线段中间的
1
3
后，加上等边三角形的二边，形成四段等长
线段组成的折线，如此无限地进行下去，形成处处连续、但处处不可微的Koch 曲线。
在数学竞赛中，本问题是要求折线的条数。
第
n次变换后有4n条。
但在分形几何中，用上述的公
式
ln()
(0)
1
ln
N
D
ε
ε
ε
=→可以计算此分形图的容量维
为
ln4ln4
1.262
1ln3
ln
1
()
3
n
n
D===
例3、如图，这是著名的n级三分Koch岛，在我们的问题中，一是可能问及的问题是，每次三分后，边长如何变化；二是当其
进行无限次等分后，其面积是多少。
前者是数列通
项问题，后者是数列与极限问题。
在分形几何中，
其容量维仍为
ln4ln4
1.262
1ln3
ln
1
()
3
n
n
D===。
例4、正方体27等分（沿三条棱三等分）成27个小正方体，挖去中心和6个面中心位置上总共6个小正方体，留下20个小正方体，如此无限进行，试求当进行到第n次时，有多少个小正方体。
其容量维为多大？
此为分形几何中著名的Sierpinski-Menger海绵，其中正方体有20n个，其容
量维为
ln20ln20
2.777
1ln3
ln
1
()
3
n
n
D===
上述几个例子说明了分形几何已经成为中学数学的一个问题源。
这只是分形几何中与中学学习中最能让我们理解的几个问题，还有许多问题需要我们许多同行去研究挖掘。
不难看出，这些问题还只是处于其最常见的变形为数列或几何问题，其基本数学思想还没有进入中学。
某些地区已经将分形几何作为中学生学习内容，可以预见，分形几何不仅在内容上走进中学，其根本的思想也将在不久的未来进入中学课堂。
学生经常问数列的一些问题是如何来的，一些立体几何问题为什么那么看起来无聊而又一再考试，这些都是应当看到和说明的。
教师应当了解一点分形几何，从而拓宽自己的数学问题源，让自己的知识更加丰富，通过这些有趣的知识调动学生的学习积极性、激发学生的求知欲，这无疑是一个很好的选择。
教师为学习分形几何可以参考的书有许多，笔者所阅读的书列于本文之后的参考资料。
参考资料：Thomas L.Pirnot 著Mathematics All Around 机械工业出版社，20XX年1月第1版
孙霞等编著分形原理及其应用中国科技大学出版社，20XX年10月第1版
[加拿大]B.H.Kaye 著徐新阳等译分形漫步东北大学出版社，1994年12月第1版。