三维热传导问题温度场分布的数值分析
三维非稳态导热问题的高效稳定数值解法
三维非稳态导热问题的高效稳定数值解法三维非稳态导热问题是工程领域中常见的问题之一，其数值解法的高效稳定性对于工程设计和优化至关重要。
本文将介绍一种基于有限元方法的高效稳定数值解法。
有限元方法是一种常用的数值解法，其基本思想是将连续的物理问题离散化为有限个小区域，然后在每个小区域内建立一个数学模型，通过求解这些小区域内的数学模型来得到整个物理问题的解。
在三维非稳态导热问题中，有限元方法可以将物体分割为许多小的体元，然后在每个体元内建立一个数学模型，通过求解这些数学模型来得到整个物体的温度分布。
在有限元方法中，最重要的是建立数学模型。
对于三维非稳态导热问题，数学模型可以表示为：$$\rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} - \nabla \cdot (k \nabla T)= Q$$其中，$\rho$是物体的密度，$c_p$是物体的比热容，$k$是物体的导热系数，$T$是物体的温度分布，$t$是时间，$Q$是物体内部的热源。
这个方程可以通过有限元方法离散化为一个线性方程组，然后通过求解这个线性方程组来得到物体的温度分布。
然而，在实际应用中，有限元方法存在一些问题。
例如，当网格过于粗糙时，数值解的精度会降低；当时间步长过大时，数值解的稳定性会降低。
为了解决这些问题，研究人员提出了许多改进的有限元方法。
其中，一种比较成功的方法是基于时间分数阶导数的有限元方法。
这种方法可以通过引入时间分数阶导数来改进传统的有限元方法，从而提高数值解的精度和稳定性。
具体来说，这种方法可以将时间分数阶导数表示为：$$\frac{\partial^\alpha T}{\partial t^\alpha}$$其中，$\alpha$是时间分数阶，通常取值为0.5或1。
这个方程可以通过有限元方法离散化为一个非线性方程组，然后通过求解这个非线性方程组来得到物体的温度分布。
总之，基于有限元方法的高效稳定数值解法可以有效地解决三维非稳态导热问题。
三维热传导问题温度场分布的数值分析2
（1）按照圆柱体的实际几何尺寸,建立圆柱体的三维计算模型； （2）定义热分析的类型,即选择“稳态热传导”； （3）确定圆柱体的材料，设臵模型的材料属性,并将三维计算模型进行网 格划分； （4）设定模型边界条件温度，然后进行分析计算；
5. 【Multizone】：多重区域网格划分自动对几何体进行分解成映射区域和自由区域，可以自动判断 区域并生成纯六面体网格，对不满足条件的区域采用更好的非结构网格划分，多重区域网格划分和扫 掠网格划分相似，但更适合于用扫掠方法不能分解的几何体
6. 【CFX-Mesh】：采用流体网格CFX划分实体
24
三维热传导问题温度场分布的数值分析
进一步拓展
改变哪一些条件，温度场将会随之改变？
答：即单值性条件的4个方面：几何条件、物 理条件、时间条件、边界条件。
25
三维热传导问题温度场分布的数值分析 影响条件 结构形状（几何尺寸） 结构材质（导热系数） 其他因素（边界条件）
26
三维热传导问题温度场分布的数值分析
Fig. 1
图1 计算模型三维结构示意图 3-D structure sketch map of calculation model
9
三维热传导问题温度场分布的数值分析 解题步骤
1. 选择稳态热分析系统。
2. 确定材料参数：稳态传热问题，仅输入热传导系数。
3. 【DesignMdoler】建立几何模型：考虑对称性，建立 1/8 圆柱体。 4. 进入【Mechanical】分析程序。 5. 网格划分：采用系统默认网格。 6. 施加边界条件：圆柱体对称面无热量交换，为绝热边界，系统默认无需输入，圆柱体其它外表 面输入温度。 7. 设臵需要的结果：温度分布。 8. 求解及结果显示。
三维非稳态导热问题的高效稳定数值解法
三维非稳态导热问题的高效稳定数值解法介绍随着计算机技术的快速发展，数值模拟已经成为研究热传导问题的一种重要方法。
在工程领域，三维非稳态导热问题的数值解法应用广泛。
本文将详细探讨三维非稳态导热问题的高效稳定数值解法。
理论基础1. 热传导方程热传导方程是描述热量在物质中传递的方程，对于三维非稳态导热问题，可以表示为：∂u=α∇2u∂t其中，u是温度场，t是时间，α是热扩散系数，∇2是拉普拉斯算子。
2. 数值方法为了求解三维非稳态导热问题的数值解，有多种数值方法可供选择，例如有限差分法、有限元法和边界元法等。
本文将重点介绍有限差分法。
有限差分法是一种常用的数值方法，用于离散化偏微分方程。
对于三维非稳态导热问题，可以将空间和时间分别离散化，从而得到离散化的方程组。
通过迭代求解，可以得到数值解。
三维非稳态导热问题的数值解法1. 网格划分在使用有限差分法求解三维非稳态导热问题时，需要将计算区域进行网格划分。
通常采用正交网格的方式，将计算区域划分为多个小立方体。
2. 初始条件和边界条件为了求解三维非稳态导热问题，需要指定初始条件和边界条件。
初始条件用于确定初始温度分布，边界条件用于描述物体表面与外界的热交换过程。
3. 显式差分格式显式差分格式是一种简单但稳定性较差的差分格式，用于求解三维非稳态导热问题。
该方法基于前向差分公式，通过迭代计算得到数值解。
4. 隐式差分格式隐式差分格式是一种复杂但稳定性较好的差分格式，用于求解三维非稳态导热问题。
该方法基于后向差分公式，通过迭代求解线性方程组得到数值解。
数值实验为了验证所提出的数值方法的有效性和稳定性，进行了一系列数值实验。
以下是数值实验的步骤：1.确定计算区域和网格划分方式。
2.指定初始条件和边界条件。
3.选择显式差分格式或隐式差分格式进行数值求解。
4.通过迭代计算得到数值解。
5.与解析解进行比较，评估数值方法的精确度和稳定性。
数值实验结果表明，所提出的方法在求解三维非稳态导热问题方面具有较高的精确度和稳定性。
三维热传导问题温度场的分布的数值分析PPT课件
பைடு நூலகம்
q t
n
• λ表征物质导热能力大小
-
9
02
导热微分方程及 定解条件
-
10
02 导热微分方程及定解条件
导热微分方程
傅里叶定律揭示了导热量与温度梯度的关系，要想确定温度梯度， 必须首先求解导热体内的温度分——温度场。因此必须建立一个能全面 描述导热问题温度场的数学表达式，即导热微分方程
然后结合具体的单值性条件求解方程便可得出特定条件下的温度分 布t=f(x,y,z,,τ)
问题难以应用,故其适用范围远不如有限元法广泛,而且通常由它建立的求解代数方程组的系
数阵是非对称满阵,对解题规模产生较大限制。对一般的非线性问题,由于在方程中会出现域
内积分项,从而部分抵消了边界元法只要离散边- 界的优点。
43
04
• 定义:有限体积法又称为控制体积法
• 有限体积法：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积,并使每个网格点周围有一
-
26
04 导热问题的数值求解基础
内部节点的有限差分方程
下面用热平衡法建立节点的有限差分方程。热平衡法的基本原理就是对任一元体，根据能量 守恒定律写出热平衡式。
同理右侧、上侧和下侧导入的热流量分别为
-
27
03 导热问题的数值求解基础
内部节点的有限差分方程
上式即为节点有限差分方程，简称节点方程
-
28
03 导热问题的数值求解基础
边界节点的有限差分方程
对于第一类边界条件，边界节点温度已给定，所有内节点的差分方程组成了一个封闭的代数 方程组，可以立即进行求解。
但对于含有第二类或第三类边界条件的导热问题，由内节点的差分方程组成的方程组不是封 闭的，因为其中包含了未知的边界温度，因而还必须补充边界节点的有限差分方程，才能使方程 组封闭。
热传导温度场不确定性数值分析
关键词
不确定 性
区间分析
热传导
矩 阵摄动 Ａ
中图法分类号
Ｔ Ｋ １ ２ ４ ；
文献标志码
在 很多 实际工 程 结 构 中 ， 一些 重 要 的结构 参 数 往 往存 在 误 差 或 不 确 定 性 。处 理 不 确定 性 问 题 的 方 法 主要有 三 种 ： 随机模型、 模 糊 模 型 和 区 间 分 析 模型¨ Ｊ ， 分 别 适 用 于 解 决 不 同类 型 的 不 确 定 性 问 题 。区间分 析 模 型 则 适 用 于统 计 信 息 不 足 以描 述 不确定 参数 的概 率分 布 或 隶 属 函数 ， 或 者 仅 知道 不 确 定参 数 的取 值 范 围 ， 并 想 获 得 响应 的 区间 范 围 的 情 况 。 目前 ， 区 间分析 方 法 在 结构 动 力 特 性分 析 方
第ｌ ３卷 第 ６期
２ ０ １ ３年 ２月
科
学
技
术
与
工
程
Ｖ ｏ ｌ ＿ １ ３ Ｎｏ ． ６ Ｆ ｅ ｂ ．２ ０ １ ３
１ ６ ７ １ —１ ８ １ ５ （ ２ ０ １ ３ 、 ０ ６ － １ ６ ０ ６ — ０ ３
Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ａ ｎ ｄ Ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ
１ ６ ０ ７
在式 （ １ ） 一式（ ３ ） 所 给 出 的控 制 方 程 和 边 界 条
件 中， 相关参数均为 区间变量 ， 具 有管 横 截 面 的 热 传 导 温 度 场 区 间 分 析 问 题， 如图 １ 所示 ， 内径 为 ０ ． ８ １ １ ３ ＿ ， 外径 为 １ ． ０ ｍ， 沿 横 截 面厚 度方 向温 度 不 变 ， 外 圆弧 边 界 为第 一类 边 界 条件 ， 内 圆弧 边 界 是 第 二 类 边 界 条 件 ， 现 考 虑 各 物
三维非稳态热传导问题的边界元法
(College of Resources and Environmental Engineering，Shandong University of Science and Technology， Tai′an 271019 China)
Abstract A set of numerical simulation system should be established in order to predict the output and life of underground geothermal energy generation. One of the numerical subsystems is developed for 3D non-steady heat conduction in this chapter，and is verified by analytical solution. Aimed at the limitation of Gauss integral in this system，two special integral methods with high precision are developed. Key words numerical analysis，geothermal energy，thermal storage beds，non-steady heat conduction，BEM， integral method with high precision
鉴于本研究课题的精度要求，必须寻求新的更 好的积分方法。为此，笔者开发了以下两种精度较 高的积分方法。 2.4.1 方法 1
如图 2 所示，当场点 p(单元的重心)位于源单元 平面内时，考虑用源单元的内切圆上的解析积分来 近似三角形单元上的积分。设 r 为源点 p′ 至场点 p 的距离；从场点至三角形各边中的最小距离为 R1 ， 至三角形的三个顶点的最大距离为 R2 ；以场点 p 为 圆心，半径为 R1 的圆为 D1 ，半径为 R2 的圆为 D2 。 因为
热传导现象的数值计算与模拟
热传导现象的数值计算与模拟热传导是物理学中一个重要的研究领域，涉及到热量在物质中的传递和分布。
在很多工程和科学应用中，需要对热传导进行准确的计算和模拟，以优化设计和预测物体的温度分布。
数值计算和模拟方法在热传导研究中扮演了至关重要的角色。
在过去，研究者通常使用解析方法来计算热传导问题。
然而，解析方法往往只适用于简单的几何形状和边界条件，并且在复杂的情况下很难求得准确的解析解。
因此，数值计算和模拟方法逐渐成为研究热传导问题的主要手段。
数值计算方法可以通过离散化热传导方程来求解。
其中最常用的是有限差分法和有限元法。
有限差分法将连续的物理方程转化为离散的差分方程，通过迭代求解差分方程来得到数值解。
有限元法则将问题分割成无穷个小单元，然后通过整合每个单元的局部方程来得到整个问题的数值解。
这两种方法在热传导问题中广泛使用，能够得到较为准确的结果。
在进行数值计算之前，我们需要对待求区域进行合适的网格划分。
网格划分的细致程度将直接影响到数值计算的准确性和计算效率。
通常，简单的几何形状可以使用规则网格，而复杂的几何形状则需要使用非结构化网格或自适应网格。
在选择网格时，要考虑到具体问题的特点和计算资源的限制。
除了数值计算方法外，热传导现象还可以通过数值模拟方法来研究。
数值模拟方法通过建立物理模型和数学模型，通过计算机仿真得到物体的温度分布和热流动态。
数值模拟方法通常需要考虑物体的几何形状、边界条件、材料属性等因素，并通过适当的数值计算方法来解决模型方程。
近年来，随着计算机硬件和算法的不断发展，数值计算和模拟方法的应用越来越广泛。
在工业领域，热传导的数值计算和模拟可以应用于热管设计、电子器件散热、焊接过程等方面。
在科学研究中，数值计算和模拟也被广泛应用于地热、天气气象、核聚变等领域。
然而，数值计算和模拟方法也存在一定的局限性。
首先，数值计算方法需要进行离散化，可能会引入一定的误差。
虽然可以通过减小网格尺寸和增加计算精度来减小误差，但也会增加计算的复杂性和耗时。
稳态热传导问题的数值模拟
稳态热传导问题的数值模拟热传导是热能从高温区向低温区传递的过程，在自然界和工程应用中有广泛的应用。
当材料或物体的长度，面积和体积足够大以至于其中的热量可以被视为连续分布时，稳态热传导方程可以用来描述热传导现象。
本文将讨论如何通过数值模拟来解决稳态热传导问题。
1. 稳态热传导方程首先，我们来看一下稳态热传导方程。
稳态热传导方程最常用的形式是二维热传导方程和三维热传导方程。
对于二维情况，可以表示为：$$ \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}=0 $$对于三维情况，可以表示为：$$ \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 T}{\partialy^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial z^2}=0 $$其中，T表示温度。
2. 数值模拟方法由于稳态热传导方程在大多数情况下很难用解析方法求解，因此数值模拟方法成为了解决该问题的主要方法之一。
这里我们主要介绍两种数值模拟方法：有限差分法和有限元法。
2.1 有限差分法有限差分法是一种基于迭代计算的数值模拟方法，它将区域离散化为小的网格，并通过有限差分来逼近上述方程。
具体来说，它将偏微分方程近似为差分方程，然后用迭代方法来逼近和求解问题。
在应用有限差分法时，需要将连续的区域离散化为小的网格。
然后，用相邻两个网格点的温度差来逼近该点处的温度。
具体来说，对于二维情况，可以用以下公式来表示：$$ \frac{T(i+1,j)+T(i-1,j)+T(i,j+1)+T(i,j-1)-4T(i,j)}{h^2}=0 $$其中，h表示网格尺寸，i和j分别表示网格的横向和纵向坐标。
通过递归求解该方程，可以得到整个区域内的温度分布。
2.2 有限元法有限元法是一种更通用的数值模拟方法，可以用于解决各种类型的偏微分方程。
044_皮托管温度场的三维数值分析
2006年用户年会论文皮托管温度场的三维数值分析[丁保庚王颖周陈龙][核工业理化工程研究院，300180][ 摘要 ] 对皮托管处于高马赫数均匀氟里昂气体来流下不同头部形状、不同姿态的皮托管进行流固耦合计算，给出了固体域温度场三维数值分析结果。
计算是采用ANSYS软件的结构模块进行建模，然后应用ICEM软件进行网格的划分，采用CFX软件进行数值求解和进行数据的后处理。
[ 关键词]皮托管，温度场，三维数值分析3D numerical simulation of temperature on Pitot tube[Ding Baogeng, Wang Ying, Zhou Chenlong][Tianjin Institute of Physical & Chemical Engineering][ Abstract ] Multi-physics problem is considered for the Pitot tube located in uniform freon gas flow with high Mach number and the 3D numerical results of temperature on Pitot tube is given.Themodel is created by using structural module of ANSYS, the grids are obtained by ICEM CFD,and the problem is solved and the data post-processing is done by CFX.[ Keyword ] Pitot tube, temperature, 3D numerical simulation1前言在用皮托管测量高速气体流速时，皮托管的头部形状和姿态对其温度有很大的影响，过高的温度要影响皮托管的使用，使用测试方法测量其温度是困难的，特别是对于小型皮托管情况，所以非常有必要用数值分析的方法研究皮托管的头部姿态对其头部温度的影响。
热传导问题的数值模拟及解析研究
热传导问题的数值模拟及解析研究热传导问题是工程、物理和材料科学领域中一个重要的课题。
在实践应用中，解决热传导问题可以帮助我们优化生产过程、改善设备性能以及预测材料的寿命，具有极大的意义。
数值模拟和解析研究是解决热传导问题的两种常用方法，它们各自有着自己的特点和应用范围。
数值模拟方法是在计算机上通过建立数学模型和求解方程组来模拟热传导过程的一种方法。
数值模拟方法的主要优点在于可以模拟复杂的边界条件和几何结构，具有较强的适用性。
不管是传统的有限差分法还是较新的有限元方法，数值模拟方法都可以提供非常精确的结果。
然而，数值模拟方法也存在着一些局限性。
首先，数值模拟方法需要大量的计算资源和计算时间，特别是在三维场景下，计算成本更加显著。
其次，模型设置和参数选择对结果的精确性有着重要影响，需要经验和专业知识的支持。
解析研究是研究热传导问题的传统方法，通过数学分析和求解热传导方程得到解析解。
解析解具有数学上的精确性，可以提供问题的全局性和稳定性，从而为我们提供问题的一些重要性质。
然而，在实际应用中，解析解往往只适用于简单几何形状和较为理想的边界条件。
对于复杂的问题，解析解往往无法得到，需要借助数值模拟方法。
在实际的研究和工程应用中，数值模拟和解析研究常常结合使用，互为补充。
首先，可以通过解析研究来对热传导问题进行预研，了解问题的一些基本性质和规律。
其次，可以通过数值模拟方法模拟复杂的工程场景和真实条件，提供更加详细和全面的结果。
数值模拟方法可以通过调整模型参数，优化边界条件等方式，逐步逼近真实情况，使研究结果更加准确和可靠。
当然，热传导问题的数值模拟和解析研究也面临一些挑战和限制。
首先，热传导问题的数学模型并不是完美的，它们常常需要在实际应用中进行修正和改进。
其次，参数的选择和设定需要经验和专业知识的支持，否则可能会导致结果的偏差。
此外，数值模拟方法在建模过程中需要进行网格划分，网格的选择和划分对结果的准确性和计算效率有重要影响。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
情况下,温度是空间坐标(x,y,z)和时间( )的函数,即
t f x, y, z,
• 随时间而变动的温度场称为非稳态温度场,在非稳态温度场中发生的导热称为
牛顿冷却公式 P124
03
导热问题的数值求解基础
边界节点的有限差分方程
这就是第三类边界条件下平直边界面上节点的有限差分方程
03
导热问题的数值求解基础
边界节点的有限差分方程
内部节点
对流边界节点
03
导热问题的数值求解基础
节点方程组的求解
前面已建立了物体内部节点和边界节点的有限差分方程，如有n个未知温度的节点，就可以写 出n个代数方程。现在要运用高斯-赛德尔迭代法来求解这种方程组04各种数值Fra bibliotek法的介绍•
定义:将力学中的微分方程的定解问题化为边界积分方程的定解问题,再通过边界的离散
化与待定函数的分片插值求解的数值方法
04
各种数值解法的介绍
边界元法：是一种继有限元法之后发展起来的一种新数值方法,与有限元法在连续体域内
划分单元的基本思想不同,边界元法是只在定义域的边界上划分单元 ,用满足控制方程的函数 去逼近边界条件。所以边界元法与有限元相比,具有单元个数少数据准备简单等优点，但用 边界元法解非线性问题时,遇到同非线性项相对应的区域积分,这种积分在奇异点附近有强烈 的奇异性,使求解遇到困难。边界元法是在有限元法之后发展起来的一种较精确有效的工程 数值分析方法。又称边界积分方程边界元法。它以定义在边界上的边界积分方程为控制方 程,通过对边界分元插值离散,化为代数方程组求解。它与基于偏微分方程的区域解法相比, 由于降低了问题的维数,而显著降低了自由度数,边界的离散也比区域的离散方便得多,可用 较简单的单元准确地模拟边界形状,最终得到阶数较低的线性代数方程组。又由于它利用微 分算子的解析的基本解作为边界积分方程的核函数,而具有解析与数值相结合的特点,通常具 有较高的精度。特别是对于边界变量变化梯度较大的问题,如应力集中问题,或边界变量出现 奇异性的裂纹问题,边界元法被公认为比有限元法更加精确高效。由于边界元法所利用的微 分算子基本解能自动满足无限远处的条件,因而边界元法特别便于处理无限域以及半无限域 问题,边界元法的主要缺点是它的应用范围以存在相应微分算子的基本解为前提,对于非均匀 介质等问题难以应用,故其适用范围远不如有限元法广泛,而且通常由它建立的求解代数方程 组的系数阵是非对称满阵,对解题规模产生较大限制。对一般的非线性问题 ,由于在方程中会 出现域内积分项,从而部分抵消了边界元法只要离散边界的优点。
这时，就该数值解法上场表演了。
03
导热问题的数值求解基础
数值解法是求解所有上述情况下导热问题的有效方法。 有限差分法 有限元法 数值解法
边界元法
and so on
03
导热问题的数值求解基础
导热问题数值求解的基本思想
对物理问题进行数值求解的基本思想可以概括为：把原来在时间、 空间坐标系中连续的物理量场，如导热物体的温度场，用有限个离散点 上的值的集合来代替；通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代 数方程，获得离散点上被求物理量的值。这些离散点上被求物理量值的 集合称为该物理量的数值解。 这一基本思想可用求解过程的框图来表示：
04
各种数值解法的介绍
• 定义:一种将连续体离散化为若干个有限大小的单元体的集合,以求解 连续体力学问题的数值方法。 • 有限元法：是将连续的求解域离散为一组单元的组合体,用在每个单 元内假设的近似函数来分片的表示求解域上待求的未知场函数,近似 函数通常由未知场函数及其导数在单元各节点的数值插值函数来表 达。从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。
01
热传导及导热的基本定律
二、热流量及热流密度
• 1.热流量 • 单位时间内通过某一给定面积的热量称为热流量,记为 ,单位为W • 2.热流密度
• 单位时间通过单位面积的热量称为热流密度(或称面积热流量),记为q,单位为
W/㎡ ,于是有
q
A
01
热传导及导热的基本定律
三、温度场和温度梯度
• 1.温度场
同理右侧、上侧和下侧导入的热流量分别为
03
导热问题的数值求解基础
内部节点的有限差分方程
上式即为节点有限差分方程，简称节点方程
03
导热问题的数值求解基础
边界节点的有限差分方程
对于第一类边界条件，边界节点温度已给定，所有内节点的差分方程组成了一个封闭的代数 方程组，可以立即进行求解。 但对于含有第二类或第三类边界条件的导热问题，由内节点的差分方程组成的方程组不是封 闭的，因为其中包含了未知的边界温度，因而还必须补充边界节点的有限差分方程，才能使方程 组封闭。
04
• 定义:有限体积法又称为控制体积法 • 有限体积法：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积,并使每个网格点周围有
一个控制体积:将待解的微分方程对每一个控制体积积分,便得出一组离散方程,其中的 未知数是网格点上的因变量的数值,为了求出控制体积的积分,必须假定值在网格点之间 的变化规律,即假设值的分段的分布的分布剖面,从积分区域的选取方法看来,有限体积 法属于加权剩余法中的子区域法:从未知解的近似方法看来,有限体积法属于采用局部近 似的离散方法。简言之,子区域法属于有限体积发的基本方法。有限体积法的基本思路 易于理解,并能得出直接的物理解释,离散方程的物理意义,就是因变量在有限大小的控 制体积中的守恒原理,如同微分方程表示因变量在无限小的控制体积中的守恒原理一样。 有限体积法得出的离散方程,要求因变量的积分守恒对任意一组控制体积都得到满足,对 整个计算区域,自然也得到满足。这是有限体积法吸引人的优点。有一些离散方法 ,例如 有限差分法,仅当网格极其细密时,离散方程才满足积分守恒:而有限体积法即使在粗网 格情况下,也显示出准确的积分守恒:就离散方法而言,有限体积法可视作有限单元法和 有限差分法的中间物。有限单元法必须假定值在网格点之间的变化规律(既插值函数), 并将其作为近似解。有限差分法只考虑网格点上的数值而不考虑值在网格点之间如何 变化,有限体积法只寻求的结点值,这与有限差分法相类似:但有限体积法在寻求控制体 积的积分时,必须假定值在网格点之间的分布,这又与有限单元法相类似在有限体积法中, 插值函数只用于计算控制体积的积分,得出离散方程之后,便可忘掉插值函数:如果需要 的话,可以对微分方程中不同的项采取不同的插值函数
03
导热问题的数值求解基础
建立控制方程及定解条件 确定节点（区域离散化） 建立节点物理量的代数方程
这一基本思想可用求解过程的框图来表示：
设立温度场的迭代初值
求解代数方程
否
改进初场
是否收敛
是
解的分析
04
导热问题的数值求解基础
稳态导热问题的数值计算
04
导热问题的数值求解基础
内部节点的有限差分方程
下面用热平衡法建立节点的有限差分方程。热平衡法的基本原理就是对任一元体，根据能量 守恒定律写出热平衡式。
q t n
• 热导率的定义式可由傅里叶定律表达式得到
q t n
• λ 表征物质导热能力大小
02
导热微分方程及 定解条件
02
导热微分方程及定解条件
导热微分方程
傅里叶定律揭示了导热量与温度梯度的关系，要想确定温度梯度，
必须首先求解导热体内的温度分——温度场。因此必须建立一个能全面 描述导热问题温度场的数学表达式，即导热微分方程 然后结合具体的单值性条件求解方程便可得出特定条件下的温度分 布t=f(x,y,z,,τ)
线不会相交.
• 观察一物体内温度为t及t+Δ t的两个不同温度的等温面,沿等温面法线方向上 的温度增量Δ t与法向距离Δ n比值的极限称为温度梯度,用符号gradt表示
Δt t gradt n lim n Δ n 0Δ n n
01
热传导及导热的基本定律
四、热导率及傅里叶定律
A
03
导热问题的数值求解基础
节点方程组的求解
03
导热问题的数值求解基础
高斯-赛德尔迭代法:用最新值进行迭代计算
节点方程组的求解
03
导热问题的数值求解基础
节点方程组的求解
03
导热问题的数值求解基础
节点方程组的求解
04
各种数值解法的 介绍
04
各种数值解法的介绍
04
各种数值解法的介绍
• 定义:力学中将求解微分方程问题转化为求解差分方程的一种数值解法。 • 有限差分法：采用的是微分方程和积分微分方程数值解的方法。基本 思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替,这些离散 点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上 定义的离散变量函数来近似;把原方程和定解条件中的微商用差商来近 似,积分用积分和来近似,于是原微分方程和定解条件就近似地代之以 代数方程组,即有限差分方程组,解此方程组就可以得到原问题在离散 点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在 整个区域上的近似解。
非稳态导热.各店温度不随时间变动的温度场称为稳态温度场,在稳态温度场中
发生的导热称为稳态导热.一维温度场具有最简单的数学形式
t f x
01
热传导及导热的基本定律
• 2.温度梯度
• 在同一瞬时,物体内温度相同的各点所连成的面或线称为等温面或等温线.由 于物体内同一点上不可能同时具有两个不同的温度,所以温度不同的等温面或
04
• •
• •
有限元法的运用步骤: (1)剖分。将待解区域进行分割,离散成有限个元素的集合.元素(单元)的形状 原则上是任意的.二维问题一般采用三角形单元或矩形单元,三维空间可采用 四面体或多面体等,每个单元的顶点称为节点(或结点)。 (2)单元分析。进行分片插值,即将分割单元中任意点的未知函数用该分割单 元中形状函数及离散网格点上的函数值展开,即建立一个线性插值函数。 (3)求解近似变分方程。用有限个单元将连续体离散化,通过对有限个单元作 分片插值求解各种力学、物理问题的一种数值方法。有限元法把连续体离 散成有限个单元:杆系结构的单元是每一个杆件;连续体的单元是各种形状 (如三角形、四边形、六面体等)的单元体。每个单元的场函数是只包含有限 个待定节点参量的简单场函数,这些单元场函数的集合就能近似代表整个连 续体的场函数。根据能量方程或加权残量方程可建立有限个待定参量的代 数方程组,求解此离散方程组就得到有限元法的数值解。有限元法已被用于 求解线性和非线性问题,并建立了各种有限元模型,如协调、不协调、混合、 杂交、拟协调元等。有限元法十分有效、通用性强、应用广泛,已有许多大 型或专用程序系统供工程设计使用。结合计算机辅助设计技术,有限元法也 被用于计算机辅助制造中。