等腰三角形(第2课时)
沪教版八年级数学上册教学设计：153等腰三角形(2课时)
4.针对本节课的学习内容，编写一道关于等腰三角形的综合应用题，要求题目具有一定的挑战性和趣味性。下节课与同学们交流讨论。
5.完成课后小结，总结自己在学习等腰三角形过程中的收获和困惑，为后续学习提供借鉴。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
1.利用多媒体展示生活中含有等腰三角形的建筑、艺术作品等，引导学生观察并思考：这些图形有什么共同特点？它们在生活中的应用有哪些？
2.学生分享观察结果，教师总结：这些图形都是等腰三角形，它们具有独特的性质，今天我们将进一步学习等腰三角形的相关知识。
3.提问：等腰三角形我们已经有所了解，那么同学们能回忆一下等腰三角形的定义和性质吗？
（五）总结归纳，500字
1.引导学生回顾本节课所学知识，总结等腰三角形的性质、判定方法以及在几何图形中的应用。
2.学生分享学习心得，教师点评并总结学生的发言。
3.强调等腰三角形在几何学习中的重要性，鼓励学生在日常生活中多观察、多思考。
4.布置作业，要求学生巩固所学知识，为下一节课的学习做好准备。
五、作业布置
二、学情分析
八年级学生在前期的数学学习中，已经掌握了三角形的基本概念、性质和判定方法，具备了一定的几何图形分析能力。在此基础上，学习等腰三角形的内容，对学生来说既是挑战，也是提升。大部分学生对几何图形充满好奇，有较强的探究欲望，但个体差异明显，部分学生对几何证明和解题技巧掌握不够熟练，需要教师耐心引导和辅导。
注意事项：
1.作业量适中，要求同学们在完成作业的过程中，注重方法和技巧的积累，提高解题效率。
2.鼓励同学们相互讨论、交流，共同解决作业中的问题，提高合作学习的能力。
初中数学第2课时等腰三角形的判定
第2课时等腰三角形的判定要点感知1 有个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).预习练习1-1 △ABC中，∠A=65°，∠B=50°，则△ABC的形状是.要点感知2 三个角都是的三角形是等边三角形.预习练习2-1 有一个外角是120°，另两个外角相等的三角形是( )A.不等边三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.不能确定要点感知3 有一个角是的等腰三角形是等边三角形.预习练习3-1 在△ABC中，∠A=60°，AB=AC=3，则△ABC的周长为.知识点1 等腰三角形的判定1.如图，PQ为Rt△MPN斜边上的高，∠M=45°，则图中等腰三角形的个数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图，在△ABC中，AB=AC=3，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点D，过点D作直线EF∥BC，交AB于E，交AC 于F，则△AEF的周长为.3.如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，找出图中的一个等腰三角形，并给予证明.我找的等腰三角形是：.知识点2 等边三角形的判定4.已知△ABC，AB=AC，请添加一个条件，使△ABC成为等边三角形.5.如图，在△ABC中，点D是AB上的一点，且AD=DC=DB，∠B=30°.求证：△A DC是等边三角形.6.如图所示，在△A BC中，AB=AC，∠B=30°，D，E在BC上，且AD=BD，AE=EC.求证：△ADE是等边三角形.7.已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是( )A.等腰直角三角形B.一般的等腰三角形C.等边三角形D.等腰钝角三角形8.在△ABC中，∠B=∠C=40°，D，E是BC上的两点，且∠ADE=∠AED=80°，则图中共有等腰三角形( )A.6个B.5个C.4个D.3个9.在下列命题中：①有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形.其中正确的是.(只需填写序号)10.聪明的亮亮，用含有30°的两个完全相同的三角板拼成如图的图案，并发现图中有等腰三角形，请你帮他找出所有的等腰三角形：.11.已知，如图所示，在△ABC中，AB=AC，D是AB上一点，过D作DE⊥BC于E，并与CA的延长线相交于F，试判断△ADF的形状，并说明理由.12.已知：等边三角形ABC中，点P，Q，R分别在AB，BC，AC上，且PQ⊥BC于点Q，QR⊥AC于点R，RP⊥AB于点P.求证：△PQR是等边三角形.挑战自我13.如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC.(1)试判定△ODE的形状，并说明你的理由；(2)线段BD，DE，EC三者有什么关系？写出你的判断过程.。
人教版数学八年级上册13.等腰三角形的判定课件(第二课时21张)
M
C
D
B
E
N
(2)
练习2
已知：如图， ∠A=
∠DBC =360， ∠C=720。
计算∠1和∠2，并说明图
中有哪些等腰三角形？
A
∠1=720 ∠2=360
2
等腰三角形有：△ABC， B △ ABD， △ BCD
D 1
C
练习3
2．如图，把一张矩形的纸沿对 角线折叠．重合部分是一个等 腰三角形吗？为什么？
AD∥BC。
求证：AB=AC
E
分析：从求证看：要证AB=AC，可 先证明∠B=∠C，
A
1 2
D
因为∠1=∠2，所以可以设
法找出∠B，∠C与∠B，∠C
的关系。
B
C
课本P78
证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠B（两直线平 行， 同位角相等）， ∠2=∠C（两直线平行， 内错角相等）。
又∵∠1=∠2，
∴∠B=∠C， ∴AB=AC（等边对 等角）。
在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么 关系？
OAB来自3已知：△ABC中，∠B=∠C
求证：AB=AC
证明：作∠BAC的平分线AD
A
在△ BAD和△ CAD中， 1 2
∠1=∠2， ∠B=∠C，
AD=AD
B
C
D
∴ △ BAD≌ △ CAD（AAS）
∴AB=AC（全等三角形的对应边 相等）
等腰三角形的判定方法
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个 角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)
应用格式:
在△ABC中
∵ ∠B=∠C ∴ AB=AC （等角对等边）
2022八年级数学上册 第十三章 轴对称13.3 等腰三角形 1等腰三角形第2课时 等腰三角形的判定
13.3 等腰三角形
13.3.1 等腰三角形 第2课时 等腰三角形的判定
知识点一 等角对等边
1.如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝5，则AC的长为( D )
A.2
B.3
C.4
D.5
2.如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝8 cm，则CD等于( A )
A.8 cm B.4 cm
C.15 cm
D.20 cm
3.(课本P79练习T1改编)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平 分∠ABC交AC于点D，则图中等腰三角形有___△__A_B_C_，__△__A_B_D_，__△__B_D_C___.
4.如图，在△ABC中，BD⊥AC，∠A＝50°，∠CBD＝25°，若AC＝3 cm，则AB＝___3_c_m___.
C.8个
D.9个
考查角度一 等腰三角形的判定 11.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O， 给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC. (1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰 三角形？(用序号写出所有成立的情形) (2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程.
9.在如图所示的三角形中，若AB＝AC，则能被一条直线分成①②③
B.①②④
C.②③④
D.①③④
10.在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知点A，B是两
格点，如果点C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，那么这样
的点C有( C )
A.6个
B.7个
5.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，过点D作DE⊥BC于点E， 并与CA的延长线交于点F，试判断△ADF的形状，并说明理由. 解：△ADF是等腰三角形．理由如下：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C.∵DE⊥BC，∴∠DEB＝∠DEC＝90°， ∴∠BDE＋∠B＝90°，∠F＋∠C＝90°， ∴∠BDE＝∠F.∵∠BDE＝∠ADF， ∴∠ADF＝∠F，∴AF＝AD， ∴△ADF是等腰三角形．
八年级数学人教版(上册)第2课时等腰三角形的判定
讲授新课
方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形 的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限 于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形 中，此结论不一定成立．
侵权必究
讲授新课
如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB
的平分线交于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.
探究EF、BE、FC之间的关系.
∴ AC=AB. ( 等角对等边 ) B
C
即△ABC为等腰三角形. 侵权必究
讲授新课
辨一辨：如图,下列推理正确吗?
A 12
B
D
C
∵∠1=∠2 ,
∴ BD=DC
（等角对等边）.
C D
1
A2
B
∵∠1=∠2, ∴ DC=BC （等角对等边）.
错，因为都不是在同一个三角形中.
侵权必究
讲授新课
求证：如果三角形一个外角的平分线平行于 三角形的一边，那：1.作线段AB=a. 2.作线段AB的垂直平分线MN，交AB
于点D. 3.在MN上取一点C，使DC=h. 4.连接AC，BC，则△ABC即为所求.
C
M A DB
N
侵权必究
讲授新课
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB 边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F， 求证：△CEF是等腰三角形．
第十三章 轴对称
13.3 等腰三角形
第2课时 等腰三角形的判定
侵权必究
目录页
新课导入
讲授新课
当堂练习
课堂小结
侵权必究
新课导入
✓ 教学目标 ✓ 教学重点
侵权必究
学习目标
探索等腰三角形的判定定理及其应用
等腰三角形的性质定理2课时含答案
2.3 等腰三角形的性质定理(一)A组1．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，∠A＝36°，则∠1的度数为(C)A．36°B．60°C．72°D．108°(第1题)(第2题)2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为(B)A．30°B．45°C．50°D．75°3．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD∥BC．若∠1＝70°，则∠BAC的度数为(A)A．40°B．30°C．70°D．50°(第3题)(第4题)4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC，∠ACB的平分线BD，CE交于点O，且BD交AC于点D，CE交AB于点E．某同学分析图形后得出以下结论：①△BCD≌△CBE；②△BAD≌△BCD；③△BDA≌△CEA；④△BOE≌△COD；⑤△ACE≌△BCE．上述结论一定正确的是(D)A．①②③B．②③④C．①③⑤D．①③④(第5题)5．如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE．若∠A＝50°，则∠CDE的度数为(D)A．50°B．51°C．51．5°D．52．5°(第6题)6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，求∠ABD的度数．【解】∵AB＝AC，∠ABC＝72°，∴∠ACB＝∠ABC＝72°，∴∠A＝36°．∵BD⊥AC，∴∠ABD＝90°－36°＝54°．(第7题)7．如图，将△ADE沿DE折叠，点A恰好落在BC边上的点A′处．若D为AB边的中点，∠B＝50°，求∠BDA′的度数．【解】∵D是AB的中点，∴BD＝AD．由折叠的性质，得A′D＝AD，∴BD＝A′D．∴∠BA′D＝∠B＝50°．∵∠B＋∠BA′D＋∠BDA′＝180°，∴∠BDA′＝180°－∠B－∠BA′D＝80°．(第8题)8．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝28°，求∠EDC的度数．【解】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．同理，∠ADE＝∠AED．设∠EDC＝α，∠C＝β，则∠ADE＝∠AED＝∠EDC＋∠C＝α＋β，∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝α＋β＋α＝2α＋β．∵∠ADC＝∠BAD＋∠B＝28°＋β，∴2α＋β＝28°＋β，∴α＝14°，即∠EDC＝14°．B组(第9题)9．如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM ＝BK，BN＝AK．若∠MKN＝44°，则∠P的度数为(D)A．44°B．66°C．88°D．92°【解】∵PA＝PB，∴∠A＝∠B．在△AMK 和△BKN 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝BK ，∠A ＝∠B ，AK ＝BN ，∴△AMK ≌△BKN (SAS )．∴∠AMK ＝∠BKN ． ∵∠MKB ＝∠MKN ＋∠BKN ＝∠A ＋∠AMK ， ∴∠A ＝∠MKN ＝44°， ∴∠P ＝180°－∠A －∠B ＝92°．10．如图，已知AB ＝A 1B ，A 1B 1＝A 1A 2，A 2B 2＝A 2A 3，A 3B 3＝A 3A 4，…．若∠A＝70°，则∠B n －1A n A n －1的度数为(C)(第10题)A ． ⎝⎛⎭⎫702n °B ． ⎝ ⎛⎭⎪⎫702n ＋1°C ． ⎝ ⎛⎭⎪⎫702n －1°D ． ⎝ ⎛⎭⎪⎫702n ＋2°【解】 在△ABA 1中，∵∠A ＝70°，AB ＝A 1B ， ∴∠BA 1A ＝∠A ＝70°．∵A 1A 2＝A 1B 1，∠BA 1A 是△A 1A 2B 1的外角， ∴∠B 1A 2A 1＝∠BA 1A2＝35°．同理，∠B 2A 3A 2＝12∠B 1A 2A 1＝∠BA 1A 22，∠B 3A 4A 3＝12∠B 2A 3A 2＝∠BA 1A 23，…， ∴∠B n －1A n A n －1＝∠BA 1A 2n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫702n －1°．11．如图，在△ABC 中，分别以AC ，BC 为边作等边三角形ACD 和等边三角形BCE ，连结AE ，BD 交于点O ，求∠AOB 的度数．(第11题)【解】设AC与BD交于点H．∵△ACD，△BCE都是等边三角形，∴CD＝CA，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，∴△DCB≌△ACE(SAS)，∴∠CDB＝∠CAE．又∵∠DCH＋∠DHC＋∠CDB＝180°，∠AOH＋∠AHO＋∠CAE＝180°，∠DHC＝∠AHO，∴∠AOH＝∠DCH＝60°．∴∠AOB＝180°－∠AOH＝120°．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE是△ABC的两条高线，BD与CE相交于点O．(1)求证：OB＝OC．(2)若∠ABC＝70°，求∠BOC的度数．(第12题)【解】(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵BD，CE是△ABC的两条高线，∴∠BEC＝∠CDB＝90°．又∵BC＝CB，∴△BEC≌△CDB(AAS)，∴BE ＝CD ．又∵∠BOE ＝∠COD ，∠BEO ＝∠CDO ＝90°， ∴△BOE ≌△COD (AAS )， ∴OB ＝OC ． (2)连结DE ．∵∠ABC ＝70°，AB ＝AC ， ∴∠A ＝180°－2×70°＝40°．∵∠A ＋∠AED ＋∠ADE ＝180°，∠OED ＋∠ODE ＋∠DOE ＝180°， ∴∠A ＋∠AEO ＋∠ADO ＋∠DOE ＝360°． 又∵∠AEO ＝∠ADO ＝90°， ∴∠A ＋∠DOE ＝180°，∴∠BOC ＝∠DOE ＝180°－40°＝140°．(第13题)13．如图，在△ABC 中，已知BC ＝AC ，∠BAC 的外角平分线交BC 的延长线于点D ．若∠ADC ＝12∠CAD ，求∠ABC 的度数．(第13题解)【解】 如解图，设∠ABC ＝x ，∠CAD ＝y ， 则∠ACD ＝2x ，∠ADC ＝12∠CAD ＝12y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝180°，2x ＋32y ＝180°，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝36°，y ＝72°.∴∠ABC ＝36°．数学乐园14．(1)已知在△ABC 中，∠A ＝90°，∠B ＝67．5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形(请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数)．(2)已知在△ABC 中，∠C 是其最小的内角，过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC 与∠C 之间的关系．(第14题)导学号：91354010【解】 (1)如解图①②(共有2种不同的分割法)．(第14题解)(第14题解③)(2)设∠ABC ＝y ，∠C ＝x ，过点B 的直线交边AC 于点D ． 在△DBC 中，①若∠C 是顶角，如解图③，则∠CBD ＝∠CDB ＝90°－12x ，∠A ＝180°－x －y ． 故∠ADB ＝180°－∠CDB ＝90°＋12x ＞90°，此时只能有∠A ＝∠ABD ，即180°－x －y ＝y －⎝⎛⎭⎫90°－12x ，∴3x ＋4y ＝540°，∴∠ABC ＝135°－34∠C ．②若∠C 是底角，第一种情况：如解图④，当DB ＝DC 时，∠DBC ＝x ．在△ABD 中，∠ADB ＝2x ，∠ABD ＝y －x ．若AB ＝AD ，则2x ＝y －x ，此时有y ＝3x ，∴∠ABC＝3∠C．若AB＝BD，则180°－x－y＝2x，此时有3x＋y＝180°，∴∠ABC＝180°－3∠C．若AD＝BD，则180°－x－y＝y－x，此时有y＝90°，即∠ABC＝90°，∠C为小于45°的任意锐角．, ④), ⑤)(第14题解)第二种情况：如解图⑤，当BD＝BC时，∠BDC＝x，∠ADB＝180°－x＞90°，此时只能有AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝12∠BDC＝12∠C＜∠C，这与题设∠C是最小角矛盾．∴当∠C是底角时，BD＝BC不成立．综上所述，∠ABC与∠C之间的关系是∠ABC＝135°－34∠C或∠ABC＝3∠C或∠ABC＝180°－3∠C或∠ABC＝90°(∠C是小于45°的任意锐角)．2.3 等腰三角形的性质定理(二)A组1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D．若∠BAC＝64°，则∠BAD 的度数为__32°__．,(第1题)),(第2题))2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，已知BC＝6，∠B ＝65°，则BD＝__3__，∠ADB＝__90°__，∠BAC＝__50°__．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为(C)A．35°B．45°C．55°D．60°,(第3题)),(第4题)) 4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，AD⊥BC，垂足为D，CD＝4，则△ABC的周长为(B)A．18 B．20C．22 D．24(第5题)5．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则DE＝DF，请说明理由．【解】连结AD．∵AB＝AC，D为BC的中点，∴∠BAD＝∠CAD．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF．(第6题)6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，作∠ABE＝∠ABD，且BE＝DC，连结AE．求证：AB平分∠EAD．【解】∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴BD＝DC，AD⊥BC．又∵BE＝DC，∴BD＝BE．又∵∠ABD＝∠ABE，AB＝AB，∴△ABD≌△ABE(SAS)，∴∠BAD＝∠BAE，即AB平分∠EAD．(第7题)7．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG分别交AD，AC于点E，G，EF⊥AB，垂足为F．求证：EF＝ED．【解】∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC．又∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，∴EF＝ED．B组(第8题)8．如图，D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，若AB＝AC，AD＝AE，则(B)A．当∠B为定值时，∠CDE为定值B．当α为定值时，∠CDE为定值C．当β为定值时，∠CDE为定值D．当γ为定值时，∠CDE为定值【解】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝γ．∵∠AED＝∠C＋∠CDE，∠ADC＝∠B＋α，即γ＝∠C＋∠CDE，γ＋∠CDE＝∠B＋α，∴2∠CDE＝α．9．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按以下要求画图：以点A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第一条线段AA1；再以点A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第二条线段A1A2；再以点A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第三条线段A2A3……这样一直画下去，最多能画__9__条线段．(第9题)【解】由题意可知：AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，则∠AOA1＝∠OA1A，∠A1AA2＝∠A1A2A，…．∵∠BOC＝9°，∴∠A1AB＝2∠BOC＝18°．同理可得∠A 2A 1C ＝27°，∠A 3A 2B ＝36°，∠A 4A 3C ＝45°，∠A 5A 4B ＝54°，∠A 6A 5C ＝63°，∠A 7A 6B ＝72°，∠A 8A 7C ＝81°，∠A 9A 8B ＝90°，∴第10个三角形将有两个底角等于90°，不符合三角形的内角和定理，故最多能画9条线段．10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，BF ⊥AC 于点F ，交AD 于点E ，∠BAC ＝45°．求证：△AEF ≌△BCF ．(第10题)【解】 过点F 作FG ⊥AB 于点G ．∵∠BAC ＝45°，BF ⊥AF ，∴∠ABF ＝45°．∵FG ⊥AB ，∴∠AGF ＝∠BGF ＝90°．在△AGF 和△BGF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠GAF ＝∠GBF ＝45°，∠AGF ＝∠BGF ，GF ＝GF ，∴△AGF ≌△BGF (AAS )，∴AF ＝BF ．∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∴∠EAF ＋∠C ＝90°．∵BF ⊥AC ，∴∠AFE ＝∠BFC ＝90°，∠CBF ＋∠C ＝90°，∴∠EAF ＝∠CBF ．在△AEF 和△BCF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠EAF ＝∠CBF ，AF ＝BF ，∠AFE ＝∠BFC ，∴△AEF ≌△BCF (ASA )．(第11题)11．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．(1)求证：DE ＝DF ．(2)问：如果DE ，DF 分别是∠ADB ，∠ADC 的平分线，那么它们还相等吗？【解】 (1)∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD 平分∠BAC ．∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF ．(2)相等．理由如下：由(1)知AD ⊥BC ，∠DAE ＝∠DAF ，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°．∵DE ，DF 分别是∠ADB ，∠ADC 的平分线，∴∠ADE ＝12∠ADB ，∠ADF ＝12∠ADC ，∴∠ADE ＝∠ADF ．在△ADE 和△ADF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠DAE ＝∠DAF ，AD ＝AD ，∠ADE ＝∠ADF ，∴△ADE ≌△ADF(ASA)，∴DE ＝DF ．数学乐园(第12题)12．如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝50°．∠BAC 的平分线与AB 的中垂线相交于点O ，点C 沿EF 折叠后与点O 重合，求∠CEF 的度数．【解】 连结BO ．∵∠BAC ＝50°，∠BAC 的平分线与AB 的中垂线相交于点O ，∴∠OBA ＝∠OAB ＝12∠BAC ＝25°．∵AB ＝AC ，∠BAC ＝50°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝65°．∴∠OBC ＝65°－25°＝40°．根据等腰三角形的对称性，得∠OCB ＝∠OBC ＝40°．∵点C 沿EF 折叠后与点O 重合，∴EO ＝EC ，∠CEF ＝∠OEF ，∴∠EOC ＝∠ECO ＝40°，∴∠CEF ＝∠OEF ＝180°－2×40°2＝50°．。
等腰三角形的判定(二)
常见误区与注意事项
误区一
误区二
认为只要有两边相等就是等腰三角形，忽 略了“在同一个三角形中”的前提条件。
在使用“等角对等边”的判定方法时，忽 略了必须是同一个三角形中的两个角相等 才能推出对应的两边相等。
注意事项一
注意事项二
在证明等腰三角形时，要注意证明过程是 否符合逻辑，每一步的推理是否都有充分 的依据。
03
法
已知两边相等
01
若三角形中有两边相等，则这个 三角形是等腰三角形。
02
已知两边相等的情况下，可以通 过测量或计算确认第三边是否等 于其中一边，从而判定是否为等 腰三角形。
已知两角相等
若三角形中有两个角相等，则这个三 角形是等腰三角形。
已知两角相等的情况下，可以通过测 量或计算确认第三个角是否等于其中 一个角，从而判定是否为等腰三角形 。
在解决与等腰三角形相关的问题时，要善 于运用等腰三角形的性质和判定方法，简 化问题的解决过程。
思考与练习题
思考一
已知一个三角形的两个内角分别为30°和 70°，则这个三角形是等腰三角形吗？为
什么？
练习题一
在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，则∠A的 度数为____。
思考二
已知一个三角形的两边长分别为3和5，且 这两边所对的内角分别为40°和70°，则这 个三角形是等腰三角形吗？为什么？
等腰三角形的拓展与
05
延伸
等边三角形的性质与判定
01
02
03
三边相等
等边三角形的三条边长度 相等。
三个内角相等
等边三角形的三个内角均 为60度。
判定方法
若一个三角形满足三边相 等或两个内角为60度，则 可判定为等边三角形。
北师大版八年级下册数学 1.1 等腰三角形 第2课时 等边三角形的性质 教案
第2课时 等边三角形的性质1．进一步学习等腰三角形的相关性质，了解等腰三角形两底角的角平分线(两腰上的高，中线)的性质；2．学习等边三角形的性质，并能够运用其解决问题．(重点、难点)一、情境导入我们欣赏下列两个建筑物(如图)，图中的三角形是什么样的特殊三角形？这样的三角形我们是怎样定义的，有什么性质？二、合作探究 探究点一：等腰三角形两底角的平分线(两腰上的高、中线)的相关性质如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，CD⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，求证：DE ∥BC .证明：因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠ACB .又因为CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，所以∠AEB ＝∠ADC ＝90°，所以∠ABE ＝∠ACD ，所以∠ABC －∠ABE ＝∠ACB －∠ACD ，所以∠EBC ＝∠DCB .在△BEC 与△CDB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BEC ＝∠CDB ，∠EBC ＝∠DCB ，BC ＝CB ，所以△BEC ≌△CDB ，所以BD ＝CE ，所以AB －BD ＝AC －CE ，即AD ＝AE ，所以∠ADE ＝∠AED .又因为∠A 是△ADE 和△ABC 的顶角，所以∠ADE ＝∠ABC ，所以DE ∥BC .方法总结：等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的中线相等，两腰上的高相等． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题探究点二：等边三角形的相关性质【类型一】 利用等边三角形的性质求角度如图，△ABC 是等边三角形，E是AC 上一点，D 是BC 延长线上一点，连接BE ，DE .若∠ABE ＝40°，BE ＝DE ，求∠CED 的度数．解析：因为△ABC 三个内角为60°，∠ABE ＝40°，求出∠EBC 的度数，因为BE ＝DE ，所以得到∠EBC ＝∠D ，求出∠D 的度数，利用外角性质即可求出∠CED 的度数． 解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB ＝60°，∵∠ABE ＝40°，∴∠EBC ＝∠ABC －∠ABE ＝60°－40°＝20°.∵BE ＝DE ，∴∠D ＝∠EBC ＝20°，∴∠CED ＝∠ACB －∠D ＝40°.方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常常应用在求三角形角度的问题上，所以必须熟练掌握．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型二】 利用等边三角形的性质证明线段相等如图：已知等边△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上的一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M ，求证：BM ＝EM .解析：要证BM ＝EM ，由题意证△BDM ≌△EDM 即可．证明：连接BD ，∵在等边△ABC 中，D 是AC 的中点，∴∠DBC ＝12∠ABC ＝12×60°＝30°，∠ACB ＝60°.∵CE ＝CD ，∴∠CDE ＝∠E .∵∠ACB ＝∠CDE ＋∠E ，∴∠E ＝30°，∴∠DBC ＝∠E ＝30°.∵DM ⊥BC ，∴∠DMB ＝∠DME ＝90°，在△DMB 和△DME 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DMB ＝∠DME ，∠DBM ＝∠E ，DM ＝DM ，∴△DME ≌△DMB .∴BM ＝EM .方法总结：证明线段相等可利用三角形全等得到．还应明白等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等腰三角形的性质完全适合等边三角形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题【类型三】 等边三角形的性质与全等三角形的综合运用△ABC 为正三角形，点M 是边BC上任意一点，点N 是边CA 上任意一点，且BM ＝CN ，BN 与AM 相交于Q 点，求∠BQM 的度数．解析：先根据已知条件利用SAS 判定△ABM ≌△BCN ，再根据全等三角形的性质求得∠AQN ＝∠ABC ＝60°.解：∵△ABC 为正三角形，∴∠ABC ＝∠C ＝∠BAC ＝60°，AB ＝BC .在△AMB 和△BNC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠ABC ＝∠C ，BM ＝CN ，∴△AMB ≌△BNC (SAS)，∴∠BAM ＝∠CBN ，∴∠BQM ＝∠ABQ ＋∠BAM ＝∠ABQ ＋∠CBN ＝∠ABC ＝60°.方法总结：等边三角形与全等三角形的综合运用，一般是利用等边三角形的性质探究三角形全等．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题三、板书设计1．等腰三角形两底角的平分线(两腰上的高、中线)的相关性质等腰三角形两底角的平分线相等； 等腰三角形两腰上的高相等； 等腰三角形两腰上的中线相等． 2．等边三角形的性质等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.本节课让学生在认识等腰三角形的基础上，进一步认识等边三角形．学习等边三角形的定义、性质．让学生在探索图形特征以及相关结论的活动中，进一步培养空间观念，锻炼思维能力．让学生在学习活动中，进一步产生对数学的好奇心，增强动手能力和创新意识.。
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板
书
设
计
等腰三角形（二）
：证明：。。证明：证明：
教学反思
1、学生“根据文字命题写出已知、求证”非常差，要想方法突破这一难点。
2、学生证明能力比较弱，证明一道题要用很多时间，做题比较慢。
如果 ， 呢？由此你能得到一个什么结论，并说明理由
1、问题，学生动手画画，看得到什么相等的线段或角，再让学生验证结论，从而自然过渡到活动一、二中去。
注意事项：活动中，教师应注意给予适度的引导，如可以渐次提出问题：
（1）你可能得到哪些相等的线段？
（2）你能证明你的猜测吗？试作图，写出已知、求证和证明过程；
（2）等腰三角形的性质
2、课前小测：小测本
1、齐答
2、独立完成，然后交换批改，教师统计好学生完成的情况
二、
自
主
探
究
提出问题：
在等腰三角形中自主作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，观察其中有哪些相等的线段，并尝试给出证明。
得出结论：
等腰三角形两个底角的平分线相等；
等腰三角形腰上的高相等；
等腰三角形腰上的中线相等．
2、出示例2，让学生尝试证明
3、投影生答案，点评
四、
练
习
巩
固
做学案纸A、B组。
1、独立做10分钟。
2、小组讨论
3、投影学生答案或对学生板书解答过程进行点评。
五、
小结
与
反馈
本节课你学到什么？
1、师生一起回顾等腰三角形中可以怎样作出相等的线段或角。
2、通过学习，收获了什么数学思想方法？
作业布置
1、完成学案纸
然后
（4）还可以有哪些证明方法？
2、对于活动一、二
学生对文字命题写“已知”、“求证”，经验尚显不足，应该引导学生完成，然后由学生自己独立完成“证明”过程，再继续独立做“活动二“
然然后请学生板书其中部分证明过程，或
借助课件展示活动三的解答过程；教学中教师应注意对证明规范提出一定的要求，
3、注意证明方法的多样性：引导学生除了用“全等“明外还可以利用“腰三角形是轴对称图形“知识解决。
数学教案（02）第1周第2课时主备人：李顺霞
课题
等腰三角形（第2课时）
课型
新授
教学目标
1、经历“探索——发现一一猜想——证明”的过程，能够用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论．发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力；
2、在图形的观察中，揭示等腰三角形的本质：对称性，发展学生的几何直觉；
3、探索并证明等边三角形的性质定理．
4、于活动三：
时间有限，可以在引导学生提出上述这些问题的基础上，让学生明白证明思路，然后让一般性的结论写在书上。
注意：在解决问题的基础上，教师还应注意揭示蕴含其中的思想方法。
三、
学
以
致
用
例2：证明：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°
已知：如图，
求证：
证明：
1、让学生；回顾之前已掌握的等边三角形的相关性质有哪些？
活动一：
证明：等腰三角形两底角的平分线相等
已知：
求证：
证明：
活动二、证明：等腰三角形两腰上的中线相等
已知：
求证：
证明
活动三、变式训练
如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在边AC和AB上
①如果 , ,那么BD=CE吗？
如果 , 呢？由此你能得到一个什么结论，并说明理由
②如果 ， ，那么BD=CE吗？
重点
经历“探索——发现一一猜想——证明”的过程，能够用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论．
难点
经历“探索——发现一一猜想——证明”的过程，能够用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论．发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力；
教
学
过
程
师生活动
操作方法与策略
一、
创
设
情
境
1、回顾：
（1）全等三角形的判定方法与性质。