贵州大学信息学院计算机专业级《离散数学》试卷A

贵州大学信息学院计算机专业2004级《离散数学》试卷 A 姓名 学号 班级 得分
一、判断题（每题1分，共10分）
1、在命题逻辑中，任何公式都存在与之等值的主合取和主析取范式，并且是唯一。

（ ）
2、设<G,*>是交换群，则G 的所有子群是正规子群。

（ ）
3、设<P,≤>为偏序集，∅≠S ⊆P ，若S 有上界，则S 必有上确界。

4、设R 为二元关系，A 是集合，则R 在A 上的限制是R 的子关系。

（ ）
5、图G 是树则G 是连通的且G 中任意两顶之间有不只一条路径。

（ ）
6、对于任意非空集合A ，P(A)—Φ是A 的一个划分。

（ ）
7、任给函数F ，它的逆F -1一定是函数。

（ ）
8、不是封闭公式在任何解释下都变成命题。

（ ）
9、R=<n Z ，⊕，⊗〉是模n 的整数环，R 是整环当且仅当n 是素数。

（ ）
10、非负整数列（4，4，3，3，2，2）可简单图画。

（ ）
二、填空题（每小题2分，共30分）
1、设集合A={Φ，a}，则P （A ）⨯A= 。

2、公式∀x F （x,y ）→∃x G （x,y ）等值的前束范式为 。

3、R 是集合A 上的等价关系，A={a,b,c,d}，R={<a,b><b,a>,<c,d>,<d,c>} A I ,g 是集合A 到集合A/R 的自然映射，即g ：A →A/R 。

则g （a ）= ， g （d ）= 。

4、在全总个体域中，设F （x ）：x 是人，G （x ，y ）：x 与y 一样高，命题“所有人都不一样高”符号化： 。

5、有一公式为：) q p ()q p (⌝∧⌝↔∨⌝,该公式的类型_________________。

6、已知n 阶无向简单图G 有m 条边，则G 的补图G 有__________条边。

7、设σ=(1345)(2678)是8元置换，则σ-1=___________。

8、n 阶零图G 的连通分支数P(G)= 。

9、已知f:R →R,f(x)=2x+1,g:R →R,g(x)=x 2 +3x+1,则f g=_____________;
g f=_______________________。

10、设代数系统V=(Q,*)，其中Q 是有理数集合，*表示对∀x ，y∈Q 有x*y=x+y-xy ，则Q 上关于*的幺元(或称单位元)是_________。

11、含n 个命题变项的重言式的主合取范式为________________________。

12、在命题逻辑中，设p: 小明从筐中拿一个苹果，q: 小明从筐中拿一个梨子，r: 我去书店，则命题“如果小明只能从筐中拿一个苹果或一个梨子，那么我就去书店”的符号化形式为______________ _。

13、设G={e,a,b,c}是Klein 四元群，H={e,b}是G 的子群，则H 的所有的右陪集是： 。

14、彼得松图（10阶3-正侧图）中，边数m= 。

15、根树T 中，有一个顶点的入度为 ，其余的顶点的入度为 。

三、解答计算题
1、求公式（（p∨⌝q）→批）→r的主析取范式和主合取范式，并给出公式的成真赋值和成假赋值（6分）
2、构造一棵权为2,2,3,4,5,6,6,7的最优二叉树并计算树的权W（T）。

3、设G=<a>是12阶循环群。

求出(1)G的所有生成元。

（2）G的所有子群。

4、如图示，是偏序集<A,《>的哈斯图。

（1）该偏序集是否是格，为什么？（2）分别给出集合A和偏序关系《的集合表达式。

（3）求集合A和A的子集B={a,d,e,f}的极大元、极小元、最大元、最小元、上界、下界、上确界和下确界。

（10分）
5、设A={a,b,c,d,e,f}，R={<a,b>,<a,d>,<e,f>}是A上的关系,(1)求R′=tsr(R)。

(2) R′是A 上的等价关系,求A/R。

（3）给出R′的关系矩阵和关系图。

6、无向树T有8片树叶，2个3度的分支点，其余的分支点都是4度顶点。

（1）问T有几个顶点？（2）根据T的度数列，画出2棵非同构的无向树。

7、判断下列一阶公式的公式类型。

)
(
))
(
)
(
(
)2(
))
(
)
(
(x
)1(y
yG
y
yG
x
xF
x
G
x
F∃
∧
∃
→
∀
⌝
→
∀
8、设代数系统V=< Z
6,⊗>，Z
6
={0,1,...,5}，⊗为模6乘法。

(1)给出⊗运算
的运算表。

(2)求出所有可逆元素关于⊗运算的逆元。

(3)说明V构成什么代数系统。

（6分）
四.证明题（共12分）
1、在自然推理系统F中构造推理的证明：(8分)
前提：))
H
(x
)
(
x⌝
∀
→
(
W
x
(x
)
(
⌝∃，))
H
(
x⌝
Q
∧
x
结论：))
W
x⌝
→
x
∀
)
Q
(
(
(x
2、设(G,*)为循环群，生成元为a，设(A,*)和(B,*)均为(G,*)的子群，而a i和a j分别为(A,*)和(B,*)的生成元。

①证明(A∩B,*)是(G,*)的子群。

②请问：(A∩B)是否为循环群。

如果是，请给出其生成元。