二维径向调和函数
调和函数Liouville定理的推广
调和函数Liouville定理的推广调和函数Liouville 定理的推广Liouville 定理是非常重要的一个定理，它在物理学中，数学中都有着重要的位置，在研究复分析、哈密顿力学、数论、微分、代数中都有它的身影出现。
调和函数是指满足拉普拉斯方程且存在二阶连续偏导的实解析函数。
调和函数Liouville 定理：如果h 在2上是调和函数且在n上满足0h ≥，则h 就等价于一个（非负）常函数。
定理一：如果h 在n调和，P 是一个使hP 0≥且趋近于无穷的调和多项式，那么h 就等价于一个常数乘以P 。
定理二：如果f 在n上是m 阶多重调和的，并且0f ≥且f 趋近于无穷，那么f 是一个小于等于2m-2次的（非负）多项式。
定理三:如果h 在n 上调和，那么在任意点0x ∈n00202(,)()lim (,,)(,)lim(,,)p pmp mm n D h x M x h x v m n A x h x ρρμρρρρ→∞→∞==其中,(2)(,)(,)(2)(4)...(2)m p n m m n nv m n n n n n mμ=+==+++。
定理四：如果h 在n 上调和，m 是一个正整数，并且1lim (,0,)0m r M h r r +→∞=（特别是当()lim 0m r h x r →∞=时）则h 是一个低于m 次的多项式。
关键词：调和函数，Liouville 定理，推论，调和多项式第一章绪论1.1 概述Liouville 定理是非常重要的一个定理，由十九世纪法国数学家约瑟夫.刘维尔最先证明。
它在物理学中，数学中都有着重要的位置，在研究复分析、哈密顿力学、微分中都有它的身影出现。
在复分析中Liouville 定理对整函数（即在整个复数域上都是全纯函数）的值域进行了刻画，它的内容为任何有界的整函数都恒等于一个常数。
在物理学中，Liouville 定理是经典统计力学和哈密顿力学中的重要定理，该定理表明相空间的分布函数沿着系统的轨迹是常数——即给定一个系统点，在相空间游历过程中，该点邻近的系统点的密度关于时间是常数。
调和分析讲义008---调和函数的非切向收敛性.pdf
第2.3.2节 调和函数的非切向收敛性定义.设0α>,0n x E ∈,记()(){}010,:n x x y E x x y αα++Γ=∈-<,称为以()0,0x 为 顶点的锥,α为其锥度.若0α∀>,当(),x y 在()0x αΓ内趋向于()0,0x 时,均有(),u x y l →,则称(),u x y 在0x 处有非切向极限l .定理.设()1n L E ϕ∈,()1nE t dt ϕ=⎰,且存在径向递减的可积函数ψ,使得ϕ≤ψ;若0α∀>,当()()0,x y x α∈Γ时,均有()()0y y x t d x t αϕϕ-≤-,则()()1p n f L E p ∀∈≤≤∞,在勒贝格点0x 处,()()y f x ϕ*有非切向极限()0f x .证.当()0x x α∈Γ时,()()()()()()()00nyE f x f x f t f x x t dt εϕϕ*-=--⎰,而()()()()()()00nnyyE E f t f x x t dt d f t f x xt dt αϕϕ--≤--→⎰⎰,证毕.引理.设0α>,则当()()0,x y x α∈Γ时,有()()0,,P x t y d P x t y α-≤-. 证.()()()()()()12202122220,,,||n nn y x t P x t y yP t y c P x t y y x t yt +-+⎛⎫+--=⇒= ⎪ ⎪-+-+⎝⎭,令0x t z y -=,x tw y -=,则()()()122201,,1n z P x t y P x t y w +⎛⎫+-= ⎪ ⎪-+⎝⎭,且z w α-<,而()222222112sup1111z w w z wwααααξξ-<++++==++++,当0ξ>时,2221ααξξ++有唯一驻点 2αξ-+=,且是极大值点,故2202max 1ξααξξ>+=+,故取()()12121n n d α++⎛⎫⎛⎫=+= ⎝,证毕.注.容易验证{}()12max 12,2n d αα+≤+.定理16.设()()1p n f L E p ∈≤≤∞,则在其勒贝格点0x 处,Poisson 积分(),u x y =()()()(),nyE f x t P t y dt f P x -=*⎰有非切向极限()0f x .注.在n E 的几乎所有点0x 处,Poisson 积分u 非切向有界,即在任意高度h 的截锥(){}()0,00h x y h x ααΓ⋂<≤=Γ上u 有界,实际上,我们有更强的结果:()()(){}(){}()000sup ,:,sup ,:0f u x y x y x d u x y y d m x ααα∈Γ≤>≤,因为 ()()()()()()()()()00,y y u x y f P x d f P x m fx m f x α≤*≤*≤=.定理19.设u 在1n E ++内调和,n S E ⊂具有正测度,若u 在S 上处处非切向有界,则u 在S 上几乎处处存在非切向极限.证.由于S 是()(){},2:F q S p q u p m α=∈∈Γ⇒≤的可数并,其中α+∈ ,m ∈ , 故只需验证:对几乎所有q F ∈,当p 在(),1q αΓ中趋向于q 时,()u p 的极限存在; 不妨设F 含在单位方体中,且1m =,即在(),2q FA q α∈=Γ 中,1u ≤;记(),1q F D q α∈=Γ ,1:,k n F x E x D k ⎧⎫⎛⎫=∈∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭,()1,,k u x y u x y k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;令()()(),,nk kE x y f t P x t y dt ϕ=-⎰,其中()()(),0kkF k f t t u t χ=,则11kk uϕ≤⇒≤,()12nk F α≤+,故{}k f 在()2n L E 中有界⇒存在子列弱收敛于()2n f L E ∈,因此,()()()()lim ,,,nk k E x y x y f t P x t y dt ϕϕ→∞==-⎰,因为()()2,nP y L E ⋅∈;由于ϕ调和,故在n E 上几乎处处存在非切向极限,令u ψϕ=-,则我们只需验证: (*)对几乎所有q F ∈,当p 在(),1q αΓ中趋向于q 时,()p ψ趋向于零;注意()lim lim k k k k x u ψϕψ→∞→∞=-=,而k ψ满足(*),故只要构造非负调和函数(),x y ω,使得它满足(*),并在D 中能控制住k ψ,即k ψω≤,进而控制住ψ,即ψω≤,由 最大值定理,只需要做到在D ∂上2ω≥就可以了; 令()()()()1222,2CnF n E t x y y cy dt yx tχω+=++-⎰,则在D ∂中的1y =部分,2ω≥;在D ∂中的()q Fq α∈Γ 边界部分,()()()1222,n t x yx y cyyx tdt αω-+-<≥+-=⎰()()()()111112122221yn n n n n n r r c y dr c dr yrr ααωω----++=++⎰⎰,取充分大的c 即可,证毕.定义.设D 为1m n n n E E E =⨯⨯ 中的区域,若()()(1)()2,,m u x x C D ∈ ,且对每个()()()()1,,jj j j n xx x= ,均有()22()10jn jj i iuu x =∂∆==∂∑,则称u 为多重调和函数.定义.设()p n f L E ∈,记()()()(1)()1,,,,;,,m f m u x u x u x x εεεε===()()()1(1)(1)(1)()()(1)()()11,,,,n n mm m m m m m E E P xt dt P x t f t t dt εε--⎰⎰,其中()()()()1222,||jj jj j j n n jP t c t εεε+=+,称为f 的m 重累次Poisson 积分.定理20.设()()1p n f L E p ∈<≤∞,()()(),f T f x u x εε=,令()()M f x =()()10,,0supm T f x εεε>> ,则()1,,,m p n n ppM f A f≤ .证.不妨设2m =,令()()()1(1)1(1)(1)(2)(1)(1)(2)(1)01,sup,n r n t rm f x x f x t x dt r >≤=-Ω⎰,()()()2(2)2(1)(1)(2)(1)(2)(2)(2)01,sup,n r n t rm f x x f x x t dt r >≤=-Ω⎰,则()()()221(2)(1)(1),,,p n p n p n p pppm m f B m f B B fA f≤≤≤,而()()()()()21(2)(2)(2)(1)(1)(1)(2)(1)2211,,,n n E E T f x P x t dt P xt f t t dt εεε≤--≤⎰⎰()()()()()()2(2)(2)(1)(1)(2)(2)(2)(1)(1)(2)22,,,n pE P x t m f x t dt m m f x x A fε-≤≤⎰,证毕.定理.设()()1p n f L E p ∈≤≤∞,(),u x ε为其累次Poisson 积分,则(),0pu fε⋅-→.证.()()()()(1)(2)(1)(2)12,,;,,u x f x u x x f x x εεε-=-=()()()(){}12(1)(2)(1)(1)(2)(2)(1)(2)(1)(2)1122,,,,n n E E P tP t f x t x t f x x dt dt εε---=⎰⎰()()()(){}12(1)(2)(1)(1)(2)(2)(1)(2)(1)(2)1212,1,1,,n n E E P t P tf x t x t f x x dt dt εε---⎰⎰,故 ()()()()()12(1)(2)(1)(2)12,,1,10n n pp E E u fP tP t f x t f x dt dt εε⋅-≤--→⎰⎰,证毕.定理22.设()()1p n f L E p ∈<≤∞,(),u x ε为其累次Poisson 积分,则几乎处处()()0lim ,u x f x εε→=.证.不妨设2m =,若()()()(1)(2)12f x f x f x =,其中()0j j n f C E ∈,则(),u x ε=()()()()()()21(2)(2)(2)(2)(1)(1)(1)(1)(1)(2)22211212,,n n E E P xt f t dt P xt f t dt f x f x εε-⋅-→⎰⎰,而此类函数的线性组合在()p L x 中稠密,故得()0lim ,u x εε→几乎处处存在;同时,已知(),0pu fε⋅-→,故存在数列()()..,a e n u x f x ε−−→,即得,证毕.定义.设()(1)()1,;;,m m u x y x y 为111m n n E E ++++⨯⨯ 上函数,若0j α∀>,1,2,,j m = , 当()(1)()1,;;,m m x y x y 在()()1(1)(1)()()00m m m x x ααΓ⨯⨯Γ 内趋向于()(1)()00,,m x x 时,均有 ()(1)()1,;;,m m u x y x y l → ,则称u 在()(1)()00,,m x x 处按每个变量组有非切向极限, 其中()(){}()()()()()010,:jjj j j j j j n j j x xy E x x y αα++Γ=∈-<. 若在()(){}1(1)(1)()()0011,,1mm m m x x y y ααΓ⨯⨯Γ⋂<< 上u 有界,则称u 在()(1)()00,,m x x 按每个变量组非切向有界.定理23.设()()1p n f L E p ∈<≤∞,(),u x ε为其累次Poisson 积分,则几乎处处(),u x ε有非切向极限()f x ;于是,几乎处处非切向有界.定理24.设()(1)()1,;;,m m u x y x y 为111m n n E E ++++⨯⨯ 上的多重调和函数,n S E ⊂具有 正测度,其中1m n n n E E E =⨯⨯ ,若u 在S 上按每个变量组处处非切向有界,则u 在S 上几乎处处按每个变量组存在非切向极限.证.与定理19类似,证毕.注.n 上的多元解析函数就是222n E E E =⨯⨯ 上的多重调和函数.。
调和函数
调和函数harmonic function定义：在区域D内存在二阶连续偏导数的实函数U(x,y,z),如果在D内满足拉普拉斯方程Δu=2u/x2+2u/y2+2u/z2=0，则称U(x,y,z)为区域D上的调和函数。
调和函数-----数学物理方程如果二元函数f(x,y)在区域Ω内有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程,则称f为区域二元函数Ω中的调和函数.满足拉普拉斯方程在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。
通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。
当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。
例如，n=2时,调和函数u(x,y)在某平面区域内满足方程若所考虑的区域包含一个闭圆域，例如x+y≤R，则有下列关于调和函数的平均值公式：即u(x,y)在圆心的值等于圆周上的积分平均值。
更一般地，圆内任何一点x=rcosφ，y=rsinφ(0≤r<R)处调和函数u＝u(r, φ)的值可以由下列泊松公式给出：拉普拉斯方程1拉普拉斯方程2形如上式右端的积分称作泊松积分。
设u(x,y)为平面区域G中的调和函数,且在G的闭包上连续,则借助于平均值公式可以证明,它不能在G 的内部取其最大值与最小值，除非它恒等于一常数。
这就是调和函数的最大、最小值原理。
由泊松积分出发可解决下列狄利克雷问题：在区域G的边界嬠G上给定一连续函数ƒ(x,y)，要求给出G中的调和函数u(x,y)，使其在嬠G上取ƒ(x,y)的值，即拉普拉斯方程，在G的边界嬠G满足一定的条件下,这个问题的解存在且惟一。
对于高维的调和函数，也有与上述类似的最大、最小值原理，平均值公式以及相应的狄利克雷问题解的存在和惟一性定理。
二维调和函数与解析函数论有着密切联系。
在某区域内的调和函数一定是该区域内某解析函数(可能多值)的实部或虚部；反之，某区域内的解析函数其实部与虚部都是该区域内的调和函数，并称其虚部为实部的共轭调和函数。
用复数z=x+iy的记法,将u(x,y)写成u(z),若u(z)在│z│<R内调和，在│z│≤R上连续，则泊松公式就成为(0≤r＜R)。
调和函数
∆ ( au + bv ) = a∆u + b∆v
2．解析函数与调和函数的关系 定理： f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y )是区域D内的解析函数
⇒ u与v是区域D内的调和函数 证明： f ( z )在D内解析 ⇒ u x = v y , v x = −u y
且u, v有任意阶连续偏导数
2 v 3 x ⇒ = + g ′( y ) ⇒ v ( x, y ) = 3 x y + g ( y ) y
2
3 2 ′ ⇒ g ( y ) = − y +C ⇒ g ( y ) = −3 y
⇒ v ( x, y ) = 3 x y − y + C 2 2 2 ′ 方法3：f ( z ) = u x − iu y = 3x − 3 y + 6ixy = 3z
2 3
⇒ f ( z ) = z + C1
3
= x − 3 xy + i (3 x y − y ) + C1
3 2 2 3
Re f ( z ) = x − 3xy ⇒ C1 = iC
3 2
⇒ f ( z ) = z + iC
3
即v是u的共轭调和函数
v ( x, y ) = ∫
x
( x, y )
( x0 , y 0 )
− u y dx + u x dy + C0
(x ,y )
0 0
(x,y)
(C0为任意常数)
y x0 y0
= ∫ − u y ( x, y0 )dx + ∫ u x ( x, y )dy + C0
(x,y )
复变函数论第五版3-4 调和函数与解析函数
调和函数 共轭调和函数
设f (z)=u+iv 在区域D内解析，则由C.-R.方程
ux vy , uy vx 再求偏导 uxx vyx , uyy vxy
由于连续，混合偏导数相等
uxx uyy 0 或
2u x2
2u y 2
0
同理
vxx vyy 0
或
2v 2v 0 x2 y2
称
2 2 x2 y2
为拉普拉斯算子
定义3.5 如果二元实函数H(x,y)在区域D内有 二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程∆H=0， 则称H(x,y)为区域D内的调和函数.
定义3.6 在区域D内满足C.-R.方程
ux vy , uy vx
的两个调和函数u , v 中，v 称为u 的共轭调和函数
记公式
已知u,求v
已知v,求u
dv(x, y) vxdx vydy du(x, y) uxdx uydy
C.-R.方程
C.-R.方程
dv(x, y) uydx uxdy du(x, y) vydx vxdy
例 1 证明 u( x, y) y3 3x2 y 为全平面上的调和
函数，并求以其实部的解析函数.
f (z) U(z)dz c, f (z) V (z)dz c,
例 2 已知 v( x, y) e x ( y cos y x sin y) x y 为调 和函数, 求一解析函数 f (z) u iv, 使 f (0) 1. 解 v e x ( y cos y x sin y sin y) 1,
x y ex ( ycos y xsin y sin y) 1 ex ( xsin y ycos y sin y) g( y),
大学物理-二维调和函数与平面场 保角变换法
平面上区域 D 内解析的复变函数 w = u + i v 的实部或虚部。
例如，可以令 U 等于 w 的实部：
U u
(3-6-6)
设已给定了平面静电场的电势 U ，也就是给定了 w 的
实部 u，利用 (1-3-14) 可以求出 w 的虚部 v 。这样得到的
复变解析函数 w 称为静电场的复电势。
在 w 平面上，两个方程
[u = C1 ] 成为
y2 4C12 (C12 x)
(3-6-13)
这于是一族抛物线，如图 3-6-1 中的虚线。这是带电平板边
沿所产生的电场。
备忘：平面静电场等势线和电场线的共轭关系 因为解析函数的实部与虚部均为调和函数，所以当
用解析函数的实部 u 表示平面静电场的等势线时，其虚 部 v 表示电场线。具体说明如下：
w az b ,
a
b 0
cz d c d
(3-6-25)
式中，a,b,c,d 为常数 (若 ad – bc = 0，则 w 将恒等于常数)。 我们来讨论由它实现的保角变换。若 c ≠ 0，式 (3-6-25)
可改写为
a (cz d ) b ad
w c
c A
B
cz d
zC
(3-6-26)
2v y 2
0
(3-6-1b)
即 v = v (x,y) 也是调和函数。
我们证明了，在区间 D 内解析的复变函数的实部和虚 部都是该区间内的二维调和函数。这两个二维调和函数之 间有关系 (3-6-2)。通常称它们是相互共轭的调和函数。
(二) 平面场的复电势——解析函数的应用
定理一 (教材 p20) 可以用来研究平面上的拉普拉斯方 程。考虑在 xy 平面的区域 D 内的平面静电场，其场强为
第四讲 解析函数和调和函数讲诉
例1、验证u(x,y)=x3-3xy2是二维平面上的调和函数，并求以它 为实部的解析函数。
解：
2u x2
6x
2u y2 6x
显然：2u 2u 0 ， u(x,y)为调和函数。
x2 y2
若以u(x,y)为实部，则函数解析必须满足C-R条件，所以：
v x
u y
6xy,
(1)
v
u
3x2
3y2,
第二节 解析函数和调和函数
1、共轭调和函数
由复变函数的可微的充要条件，函数可微必须满足C-R条 件，即：u v , u v 。而由C-R条件有：
x y y x
2u x2
2v xy
,
2u y 2
2v yx
显然有：2u
x2
2u y 2
0,
2v x2
2v y 2
0
定义1(调和函数)：如果实函数u(x,y)在区域D中有二阶连续偏
y0 )
v(x0 , y0 ) v(x0 , y0 ) v(x0 , y0 ) v(x0 , y0 ) 0
y
x
x
y
很显然，两个共轭调和函数的等值曲线在交点处正交。
例2，在复平面上的解析函数f (z) az2 b 解： f (z) az2 b a(x iy)2 b
a x2 y2 b i2axy 所以：u(x, y) a x2 y2 b
定理2：在区域D中解析的复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其实部 和虚部为该区域上的共轭调和函数。
2、共轭调和函数的几何意义
在区域D中解析的复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若f’(z)0，并分 别取u(x,y),v(x,y)的等值线：
径向函数 计算模拟
径向函数计算模拟1. 引言径向函数是一种被广泛使用的函数，它可以用于许多不同的领域，例如数学、计算机科学、物理学等。
在这篇文章中，我们将介绍径向函数的基本概念、公式和计算方法，以及它在模拟方面的应用。
我们将从基础知识开始，向读者介绍径向函数是如何工作的，以及如何使用径向函数来模拟不同的情况和现象。
2. 什么是径向函数径向函数是定义在n维空间中的一个函数，它的输入是一个向量，输出是一个标量。
这里的n可以是任意正整数。
如果我们将n=2，那么我们可以将径向函数视为将二维空间中的每个点映射到一个标量。
径向函数非常有用，因为它们可以用来表示各种不同的物理量和现象，例如温度分布、声波传播和电磁场分布等。
径向函数的具体形式可以有许多不同的公式，但它们通常都具有一个共同的特征，即它们将向量的长度作为自变量。
因此，径向函数通常具有以下通用形式：R(x) = f(||x||)其中，x是n维向量，||x||表示x的长度，f是一个标量函数，R(x)表示x的径向函数值。
3. 如何计算径向函数计算径向函数的方法可以有很多种，但其中最常见的是使用高斯径向函数或多项式径向函数。
下面我们将依次介绍这两种常见的径向函数计算方法。
3.1 高斯径向函数高斯径向函数是一种常用的径向函数，它的形式如下：R(x) = e^(-||x||^2/σ^2)其中，σ是一个正的常数。
可以看出，当x的长度很小的时候，R(x)会趋近于1，而当x的长度很大的时候，R(x)会趋近于0。
这意味着高斯径向函数通常被用来表示距离x越近的点对函数值的贡献越大，离x越远的点对函数值的贡献越小。
计算高斯径向函数可以使用以下公式：R(x) = Σw_i*e^(-||x-x_i||^2/σ^2)其中，x_i是数据集中第i个点的坐标，w_i是第i个点的权重。
3.2 多项式径向函数多项式径向函数是另一种常用的径向函数，它的形式如下：R(x) = (||x||^2+c)^k其中，k是整数，c是常数。
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二维径向调和函数
1.调和函数(1)定义
满足二维拉普拉斯方程的二元实函数。
(2）判断
f(z)=u(x.y)+ iv(x.y)在区域D内解析，则实部u和虚部v(x，y)都是区域D内的调和函数。
2共轮调和函数
(1)定义
(x，y)u(x，y)均为区域D内的调和函数，且满足C-R方
程:ap/ax=aqulay
aulex=-ap/ay
(2)判断
f(z)=u(x.y)+ iv(x,y)在区域D内解析的充要条件是在区域D内，虚部v(x，y)是实部u的共辄调和函数。
(3)性质
3.已知调和函数求解析函数
由于解析函数的实部和虚部是共扼调和函数，且共扼调和函数之间存在两个偏微分方程，故通过一个实部或虚部即可求得整个解析函数。
(1)偏积分法
(2）全微分法
(3）全微分法。