有限维线性空间的分解
毕业论文题目有限维线性空间的分解学院数学与统计学院姓名周吉强专业班级数学与应用数学学号 20101010646指导教师邵海琴教授提交日期 2014-5-28原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。
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论文作者签名：年月日论文指导教师签名：年月日目录1引言与预备知识 12有限维线性空间的分解 22.1按子空间的直和分解 22.2按生成子空间分解 32.3按特征子空间分解，即按可对角化的线性变换分解 42.4按根子空间分解，即准素分解 62.5按循环子空间分解 72.6按线性变换的标准形分解 9参考文献................. ... ... ... ............. . (12)有限维线性空间的分解周吉强（天水师范学院，数学与统计学院,甘肃，天水，741000）摘要总结了有限维线性空间按子空间、生成子空间、特征子空间、根子空间、循环子空间以及线性变换的Jordan标准形等分解方法，并通过具体的例子加以说明.关键词线性空间;直和分解；子空间；生成子空间；根子空间；循环子空间；线性变换Decomposition of finite-dimensional linear spaceJiqiang Zhou(School of Mathematics and Statistics, Tianshui Normal University, Tianshui 741000)Abstract In this paper, we summary decomposition methods of finite dimensional Linear space by subspace, generating subspace, proper subspace, and root space,- cyclic subspace andstandard from of transformation, we explain for the six decomposition methods by concrete examples.Keywords Linear space, straight and decomposition, subspace, generating subspace, root space, cyclic subspace, linear transformation有限维线性空间的分解1引言与预备知识线性空间是线性代数中的重要知识点，线性空间也是线性代数中最为抽象的概念.子空间的和，尤其是直和虽然概念抽象，证明困难，但仍然有规律可循.只要掌握了方法，便能得心应手.定义1.1设与是有限维线性空间的两个子空间，如果与的和中每个元素的分解式是惟一的，则称这个和为直和.定义1.2设是数域上的维线性空间，,为的一组基.在该基下的矩阵为，则有设是的特征值，令则是的子空间，且称其为的属于特征值的特征子空间.定义1.3设线性变换的特征多项式为，它可以分解成一次因式的乘积则可分解成不变子空间的直和，其中称为属于的根子空间.定理1.1设是有限维线性空间的两个子空间,那么下列命题等价(1);(2)零向量的分解式是惟一的；(3);(4).定理1.2复数域上有限维线性空间的每一个线性变换都有标准形，并且这个标准形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外，是被线性变换唯一决定的.线性变换的标准形的求法具体如下：(1)首先用初等变换化特征矩阵为对角形式，然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）就是的全部初等因子.(2)每一个初等因子对应一个若而当块.(3)就是的标准形.2有限维线性空间的分解2.1按子空间的直和分解在判定两个子空间的和是直和是应熟练应用直和的等价条件，其中最常用的是与.如果要证明线性空间可以分解成子空间的直和时，先任取,证明，,则有;再任取,证，则有.于是.例2.1.1已知的两个子空间，证明.证明对任意的，有,其中,.容易验证,所以,即有.对任意的,则,所以,故.2.2按生成子空间分解定义2.2.1设是线性空间中的一组向量，不难看出，这组向量所有的线性组合所成的集合是非空的.而且对两种运算封闭，因而是的一个子空间.这个子空间叫做由生成的子空间，记为.例2.2.1证明：数域上任意一个维线性空间可以表示成个1维子空间的直和.证明在线性空间中取一个基，则由于因此是直和，于是.2.3按特征子空间分解，即按可对角化的线性变换分解如果可以写成两个非平凡子空间与的直和：,那么任选的一个基和的一个基凑成的一个基.当与都在线性变换之下不变时，关于这样选取的矩阵是，其中是一个阶矩阵，它是关于基的矩阵，是一个阶矩阵，它是关于基的矩阵.由此可知，矩阵分解为准对角形与维线性空间分解为不变子空间的直和是相当的.上述的讨论说明对于维线性空间的一个线性变换，如果能将分解成若干个子空间的直和，则可以适当的选取的一个基，使在这个基下的矩阵有比较简单的形状（准对角形）.特别的如果能将分解成若干个一维子空间的直和，则可以适当的选取的一个基，使在这个基下的矩阵是对角形.这个命题的逆命题也是成立的.即可以对角化的充分必要条件是可以分解成若干个一维子空间的直和.例2.3设是数域上的维线性空间的线性变换，使得求的特征子空间.解取的一个基，，则，同样有，，，于是在基下的矩阵为的特征多项式为,特征值为.矩阵的属于特征值的线性无关的特征向量是.所以线性变换的属于特征值的线性无关的特征向量是，，的属于特征值的特征子空间是，同理可求属于特征值的特征子空间是.2.4按根子空间分解，即准素分解定理2.4（空间准素分解）设数域上线性空间的线性变换的最小多项式为，，其中为数域上的首一不可约多项式，互异，为正整数，则是A的不变子空间，且;的最小多项式为.注1：上述定理中的特征多项式为，则是的特征多项式，且=其中对某正整数成立.例2.4考虑4维线性空间中由矩阵决定的线性变换：,任意的直和分解问题.其中.此时，线性变换的特征多项式为.它在实数域上只有特征值，.在上不可约.由分解定理可以直接算出,，；,,容易验证，为的一组基. 显然为的直和.2.5按循环子空间分解定义2.5.1设是维向量空间的一个线性变换.子空间叫做关于的一个循环子空间，简称循环子空间.如果存在一个非零向量和一个正整数，使得构成的一个基；.这时叫做循环子空间的一个生成向量，而叫做的一个循环基.定理2.5.1设是维向量空间的一个幂零线性变换，那么向量空间可分解成循环子空间的直和，令；我们有.注定理2.5.1中循环子空间维数序列是唯一确定的.定理2.5.2每一个幂零矩阵都与一个形如的矩阵相似，这里每一个是一个阶幂零若尔当块，.由于维向量空间的每一个幂零线性变换，可以分解成一些循环子空间的直和.于是在每一个子空间内选取一个循环基，凑起来成为的一个基，关于这个基的矩阵有形状.例2.5.1设是维线性空间的一个幂零线性变换，则在基下的矩阵为求.解由初等变换把化为对角矩阵并求出它的初等因子组为，.因此的标准形为.因为，故先计算.注意到是分块对角矩阵，它的次方等于将各对角块次方.因此，.2.6按线性变换的标准形分解定理2.6.1设是维线性空间的一个线性变换，是的互不相同的特征值，那么存在的一个基，使得关于这个基的矩阵有如下形状，这里，而都是属于的若尔当块，.由于线性变换的一个基是线性空间的一个基，它使得在这个基下的矩阵为形矩阵.当我们已经求出的标准形之后，为了求出的一个基.只要把原来的基到基的过渡矩阵求出即可.由于J=，所以是矩阵方程的解并且为可逆矩阵.如果，则上述方程是含有个未知量的由个方程组成的线性方程组，解这个线性方程组，可求出.选取可逆矩阵（因为线性变换的标准形存在，所以满足上述方程的可逆矩阵一定存在）便可作为过渡矩阵P.定理2.6.2设是复数域上维线性空间上的线性变换，，，是的一个基，则，其中，例2.6.1设是复数域上线性空间的线性变换，是线性空间的一个基，在这组基下的矩阵为=求线性空间的一个直和分解.解由预备知识中的定理1.2可知的标准形为，故的一个基为：,.由上述推论，令,则.参考文献[1]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].第三版.北京：高等教育出版社，2003.[2]丘维声.高等代数[M].第二版（下册）.北京：高等教育出版社，2003.[3]杨子胥.高等代数精选题解[M].北京：高等教育出版社，2008.[4]张禾瑞,郝鈵新.高等代数[M].第五版.北京:高等教育出版社,2007.[5]梁聪刚，赵伟杰.线性空间在一类线性变换多项式下的直和分解[J].平顶山学院学报，2009，18（2）：61-62.。
1-4 有限维空间
|| xm-xn ||> ，
m n
取 x1 S1，M1=span{x1}。从空间 X 中将 M1 这 一部分剔除。
由 dim X=
可知 M1 X。于是， y X\M1。
由此构造出点列的第二个元，保证在 S1 中。 由于 dim M1=1，可知存在 x M1，使得 ||y-x|| = (y，M1) = min{||y-ax1||：a K} 令 x2=(y-x)/||y-x||，则 x2 S1，且 (x2，M1)=1
( x2，M 1 ) min{ x2 min{ 1 y x ax1 : a (y K} x ) ax1 : a K}
(将M 1中的元放一起) 1 y 1 y x x min{ y ( x a y ( y，M 1 ) 1 x x1 ) : a K}
由 dim X=
可知 M1 X。于是， y X\M1。
回顾：
有限维 B*空间 有限维 Banach 空间
线性同构、拓扑同胚于 Kn 单位球面 S1={x X：||x||=1} (自)列紧 反过来
定理：设 X 为 B*空间，则
dim X< 单位球面列紧
证明：只需要证明若单位球面 S1 列紧，则 X
是有限维空间。 反过来说，若 dim X= ，我们证明 S1 非列紧。 即存在 X 中点列 {xn：n N} 不存在 Cauchy 子 列。即存在常数 (不妨取 1)>0，s.t.
证明：注意前面对于有限维的情形，找到的元
为最佳逼近元。取 y0 X0，存在 x0 X0，s.t. ||y0-x0|| = min{||y0-x||：x X0} 此处未必是有限维子空间，只能是下确界，并 且只能是次佳逼近，即
||y0-x0||
inf{||y0-x||：x X0} +
第七章线性变换总结篇(高等代数)
第 7章 线性变换7.1知识点归纳与要点解析一．线性变换的概念与判别 1.线性变换的定义数域P 上的线性空间V 的一个变换σ称为线性变换，如果对V 中任意的元素,αβ和数域P 中的任意数k ，都有：()()()σαβσασβ+=+，()()k k σασα=。
注：V 的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。
2.线性变换的判别设σ为数域P 上线性空间V 的一个变换，那么：σ为V 的线性变换⇔()()()k l k l ,,V ,k,l P σαβσασβαβ+=+∀∈∀∈ 3.线性变换的性质设V 是数域P 上的线性空间，σ为V 的线性变换，12s ,,,,V αααα∀∈。
性质1. ()()00,σσαα==-; 性质2. 若12s ,,,ααα线性相关，那么()()()12s ,,,σασασα也线性相关。
性质3. 设线性变换σ为单射，如果12s ,,,ααα线性无关，那么()()()12s ,,,σασασα也线性无关。
注：设V 是数域P 上的线性空间，12,,,m βββ，12,,,s γγγ是V 中的两个向量组，如果：11111221221122221122s ss s m m m ms sc c c c c c c c c βγγγβγγγβγγγ=+++=+++=+++记：()()1121112222121212,,,,,,m m m s s s ms c c c c c c c c c βββγγγ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭于是，若()dim V n =，12,,,n ααα是V 的一组基，σ是V 的线性变换， 12,,,m βββ是V 中任意一组向量，如果：()()()11111221221122221122n n n n m m m mn nb b b b b b b b b σβααασβααασβααα=+++=+++=+++记：()()()()()1212,,,,m m σβββσβσβσβ=那么：()()1121112222121212,,,,,,m m m n n n mn b b c b b c b b c σβββααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭设112111222212m m n n mn b b c b b c B b b c ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，12,,,m ηηη是矩阵B 的列向量组，如果12,,,r i i i ηηη是12,,,m ηηη的一个极大线性无关组，那么()()()12,ri i iσβσβσβ就是()()()12,m σβσβσβ的一个极大线性无关组，因此向量组()()()12,m σβσβσβ的秩等于秩()B 。
线形空间的维数与基
浅谈线性空间的维数与基摘要本文通过对有限维线性空间中基和维数的讨论，总结出了有限维线性空间的基和维数的求解方法，并且，用不同的方法对线性空间的基和维数的应用进行了探讨.关键词：线性空间；维数；基；同构；子空间THE DISCUSSING TO THE DIMENSIONS ANDBASES OF LINEAR SPACEABSTRACTIn this paper, by discussing dimensions and bases of finite dimensions linear space, we Summarizes the methods to soluting dimensions and bases of finite dimensional linear space. Moreover, the application of the bases and dimensions are discussed in different ways.Keywords: linear space; dimension; base; isomorphism; subspace .目录摘要 (1)关键词： (1)ABSTRACT (2)一、基本概念 (4)二、线性空间的基和维数求解方法 (5)2.1、定义法 (5)2.2、利用相关定理求维数与基 (8)三、线性空间基和维数的应用 (10)3.1、次子空间的应用 (10)3.2、在同构线性空间中的应用 (12)四、有限维线性空间基的扩充 (13)五、参考文献 (15)致谢 (15)一、基本概念定义1.2、U 中向量集H 如果满足下述两个条件，① 向量集H 是线性相关的；② U 中每一个向量可以由H 中有限个向量线性表出；则H 是U 的一个基，只含0向量的基是空集。
定义1.3、U 称为有限维的，如果U 有一个基包含有限多个向量，否则U 称为无限维的，有限维线性空间的一个基所含向量个数称为U 的维数。
有限维线性空间直和分解问题的新探索
ｃ
Ａ ）＝Ｈ（ — ｉ ， Ａ ｈ） ∑
…
ｒｎ ， ＝
（．） １ ２
则 具 有直和分 解
＝ห้องสมุดไป่ตู้
∑ ＝ ① ①…ｏ ＝ （ — ） ＝ ，∈ （＝ ，， ｓ ， ｛Ｉ Ａ ｏ ｝ｉ １２…， Ａ Ｅ ）
（．） １ ３
其 中 ， Ａ ， ， Ｐ中互不 相 同的数 ， Ａ ，：… Ａ 是 Ｅ是 上 的恒 等变换 。
对（．） ２ １ 情形 的特征 多项式 ＿ Ａ） 厂 构造 多项 式 （
（２ ２） ．
（． ） ２３
证明
（ ） Ｉ （ ） （ ＝ ，，…，） Ａ ＝ ＿ ， ， １２３ ， Ｉ Ａ
则有 （ ） （ ） … （ ） Ａ Ａ ， Ａ 互素 （ ） ｈ（ ） Ａ 与 Ａ 互素 ， 并且厂 Ａ ＝ ／Ａ ｈ（ ） （ ＝ ， ， ｓ 。记 （ ） ｆ（ ） Ａ ， １２ …，） ｛ ＾（ ＝ ， Ｉ， ） ０ ∈Ｖ （ ＝１２３ ，） ｝ ｉ ，，… ｓ ， （． ） ２ ４
但是 ， 当数域 Ｐ不是复数域（ 例如实数域、 有理数域等） 线性变换的特征多项式未必总能分解为 时，
（． ） １ ２ 的形式 ， 因而未必有 （ ． ） １ ３ 的直 和分解 。
本 文利用 哈密尔顿一 凯莱定 理给 出 ｎ维 向量空 间的一 个适用 范 围更 为广 泛 的直 和分 解定 理 和一 些
项式 ， 则
厂 ＝ Ｔ Ａ 一＋… ＋（ １ ｅ Ｅ （ ） Ａ 一 ｒ Ａ 一 ）ｄｔ Ｏ Ａ （． ） １１ 线 性空 间直 和分解 问题是 Ｈ ｍｌｎＣｙ ｙ 理 的重 要应 用 ， 许 多文 献讨 论 Ｈ ｍｌｎＣ ｙ ｙ定 理 ａ ｉｏ－ａｌ 定 ｔ ｅ 有 ａ ｉｏ—ａｌ ｔ ｅ 的推广及 应用 刮 。线 性空 间直和分 解问题在 数学 、 学 、 力 物理 学及 许多 领域 有着 广泛 的应 用 ， 献 文
第讲-线性空间与线性变换
V x1, x2, x3, x4 x1 x2 x3 x4 0, x2 x3 x4 0, x1, x2 , x3, x4 R
（1）求V的基和维数；
（2）求V的一组标准正交基。
解 由V的构成可知，V是4元齐次线性方程组
x1 x2
x2 x3
x3 x4 x4 0
证 （1）由加法的定义知 V1 V2 对加法封闭，并容 易验证加法满足交换律与结合律。且
设 1,2分别是V1,V2 中的零元，则1,2 是V1 V2 的
零元。
对1,2 V1 V2 , 存在 1, 2 V1 V2 , 使得
1,2 1, 2 1,2 .
其次由数乘的定义知 V1 V2 对数乘封闭，且
构成V的一个子空间，称之为由1,2, ,s 生成的子空
间，记为L 1,2, ,s .
验证线性空间V的非空子集W是否构成子空间，只 要验证W对于V的两种线性运算的封闭性。
2、线性子空间的有关结果
（1）如果数域P上的线性空间V的非空子集W对于V的
两种线性运算封闭，即对于任意, W 有 W ,又 对于任意 k P, W 有 k W ，则W是V的子空间。
a1, a2 , , an .
设1,2, ,s 是线性空间V中的一组元素，则
dim L 1,2, ,n r1,2, ,n
且元素组 1,2, ,s 的任一极大线性无关组都是生成
子空间 L 1,2, ,s 的基。
设W是数域P上 n 维线性空间V的一个m 维子空间，
1,2, ,m 是W的一组基，则这组元素必可扩充成V 的一组基。即在V中必可找到n m个元素m1,m2, ,n 使得1,2, m,m1, ,n 是V的一组基。
dimV . 即V 不是有限维线性空间。
矩阵理论与应用(张跃辉)(上海交大)第二章参考答案
(0.0.3)
是 U + W 的一组基. 为此需要证明该向量组线性无关, 且 U + W 的任何向量均可由这些向量 线性表示.
设
k1α1 + k2α2 + · · · + krαr + br+1βr+1 + · · · + bsβs + cr+1γr+1 + · · · + ctγt = 0. (0.0.4)
0 = V0 ⊂ F α1 ⊂ (F α1 ⊕ F α2) · · · ⊂ (F α1 ⊕ · · · ⊕ F αm) ⊂ · · · ⊂ (F α1 ⊕ · · · ⊕ F αn) = V
显然是一个空间的真包含的链，其长度 m = n. 因此需证的等式成立。该等式说明线性空间的 维数是子空间按包含关系所形成的链的最大长度。
3. (1) 设 V 是线性空间, U 与 W 是 V 的两个子空间. 证明：
dim (U + W ) = (dim U + dim W ) − dim (U ∩ W ).
(2) 设 V 是有限维线性空间. 证明并解释下面的维数公式: dim V = max{m | 0 = V0 ⊂ V1 ⊂ · · · ⊂ Vm−1 ⊂ Vm = V, Vi 是 Vi+1 的真子空间}
5. 设
112
A = 0 1 1 ,
134
求 A 的四个相关子空间. 解：
R(A) = [(1, 0, 1)T , (1, 1, 3)T ], R(AT ) = [(1, 0, 1)T , (0, 1, 1)T ], N (A) = [(−1, −1, 1)T ], N (AT ) = [(−1, −2, 1)T ]
有限维线性空间上线性变换的值域与核
有限维线性空间上线性变换的值域与核数学系 04数本 410401142 郭文静摘要： 定义在有限维空间V 上的线性变换的值域与核都是V 的子空间。
本文主要讨论了这两个子空间与大空间的关系。
本文还进一步讨论了幂等变换的值域与核的有关性质。
简明介绍了用线性变换的值域与核来刻划可逆变换.关键词：值域、核、直和、幂等变换。
正文：定义1：设σ是线性空间V 上的一个线性变换，σ的全体象的集合称为的σ值域,用()V σ或m I σ表示，所有被σ变成零的向量的集合称为σ核，用()10σ-或()Ker σ表示。
且记为：()(){}m V I V σσσαα==∈()(){}1(0)0,Ker V σσασαα-===∈.不难证明，()V σ与()10σ-都是σ的不变子空间。
一:线性空间V 与ker ,()V σσ的关系结论1: dim ()dim(ker )V σσ+=σ的秩＋σ的零度＝()dim V .证明见 《高等代数》北京大学数学系几何与代数教研代数小组编。
应当指出，虽然子空间()V σ与()Ker σ的维数之和为n ，但是，()()10V σσ-+不一定是整个子空间，那么当σ满足什么条件时()()10V V σσ-=+？若()()10V V σσ-=+成立，σ必须满足什么条件呢？结论2就回答了这个问题.结论2: σ为n 维线性空间V 上的线性变换，则秩2σ=秩σ⇔()()10V V σσ-=+ 证明：()⇒设1,2,...,n εεε是V 的一组基，而()()()()()()()11,,,,n i is V L L σσεσεσεσε==这里()()1,,i is σεσε为()V σ的一组基.于是，()()()()2221,,i is V L σσεσε=已知 秩2σ=秩σ 则()()2dim dim V V σσ= 则()()221,,i is σεσε 为()2V σ的基。
()()10V ασσ-∀∈⋂ 则 ()()11i s is a a ασεσε=++且()()()22110i s is a a σασεσε==++从而10s a a ===即0α=故()()10{0}V σσ-⋂= 即()()10V σσ-+为直和. 又因为()()()()()11dim 0dim dim 0V V n σσσσ--+=+= 所以 ()()10V V σσ-=⊕ ；()⇐设 ()()10V V σσ-=⊕，任取()()10V ασσ-=⊕(),.V s t βασβ∃∈=，而 ()()1110,V βσβγγσβ-=+∈∈于是()()221V ασβσ=∈，故()()2V V σσ⊆ 显然，()()2V V σσ⊇ 所以，()()2V V σσ= 得，秩2σ=秩σ.特别的，如果2σσ=，那么()()10V V σσ-=⊕结论3: 数域P 上的n 维线性空间V 的任一子空间W 必为某一线性变换的核。
线性空间-知识点及其注释
第五章 线性空间-知识点及其注释知识点：n 维数组向量，向量空间，线性空间，线性组合，线性表示，向量组等价，线性相关，线性无关，极大无关组，秩，生成子空间，子空间，基，维数，坐标，基变换，坐标变换，同构，交子空间，和子空间，直和，线性方程组的解空间，基础解系，特解，通解。
#n 维数组向量#简称为n 维向量，是指由数域F 中n 个数n a a a ,,,21 组成的n 元有序数组，常记为12(,,,)T n a a a 或),,,(21n a a a ，又称为n 元（数组）向量。
由数域F 上所有n 维数组向量所构成的线性空间称为n 维（元）（数组）向量空间，记为n F 。
#线性组合#表达式1122s s k k k ααα+++称为向量组s ααα,,,21 的系数分别为12,,,()s k k k F ∈的线性组合，s k k k ,,,21 称为线性组合系数。
#线性表示#向量α可由向量组s ααα,,,21 线性表示(出)是指存在数域F 中的数s k k k ,,,21 ,使1122s s k k k αααα=+++。
向量组s ααα,,,21 可由向量组12,,,t βββ线性表示是指每个i α（1,2,...,i s =）都可由向量组12,,,t βββ线性表示。
显然，向量组的线性表示具有传递性。
在n F 中，向量α可由向量组s ααα,,,21 线性表示⇔线性方程组1122s s x x x αααα+++=有解⇔ 1212(,,,,)(,,,)s s rank rank ααααααα=。
#向量组等价#向量组s ααα,,,21 与向量组12,,,t βββ等价是指向量组s ααα,,,21 与向量组12,,,t βββ可以相互线性表示。
显然，向量组等价是等价关系，即具有自反性、对称性和传递性。
若矩阵Ａ经过有限次行初等变换成为Ｂ，则Ａ与Ｂ的行向量组等价。
#线性相关#向量组s ααα,,,21 线性相关是指存在数域F 中不全为零的数s k k k ,,,21 ,使02211=+++s s k k k ααα ；否则称为线性无关。
第六章 线性空间
第六章 线性空间§1 集合·映射一、集合集合是数学中最基本的概念之一，所谓集合就是指作为整体看的一堆东西.组成集合的东西称为这个集合的元素.用M a ∈表示a 是集合M 的元素，读为：a 属于M .用M a ∉表示a 不是集合M 的元素，读为：a 不属于M .所谓给出一个集合就是规定这个集合是由哪些元素组成的.因此给出一个集合的方式不外两种，一种是列举法：列举出它全部的元素，一种是描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质.设M 是具有某些性质的全部元素所成的集合，就可写成{}具有的性质a a M |=. 不包含任何元素的集合称为空集，记作φ.如果两个集合M 与N 含有完全相同的元素，即M a ∈当且仅当N a ∈，那么它们就称为相等，记为N M =.如果集合M 的元素全是集合N 的元素，即由M a ∈可以推出N a ∈，那么M 就称为N 的子集合，记为N M ⊂或M N ⊃.两个集合M 和N 如果同时满足N M ⊂和M N ⊂.，则M 和N 相等. 设M 和N 是两个集合，既属于M 又属于N 的全体元素所成的集合称为M 与N 的交，记为N M .属于集合M 或者属于集合N 的全体元素所成的集合称为M 与N 的并，记为N M .二、映射设M 和M '是两个集合，所谓集合M 到集合M '的一个映射就是指一个法则，它使M 中每一个元素a 都有M '中一个确定的元素a '与之对应.如果映射σ使元素M a '∈'与元素M a ∈对应，那么就记为σ,a)(a'=a'就为a在映射σ下的像，而a称为a'在映射σ下的一个原像.M到M自身的映射，有时也称为M到自身的变换.关于M到M'的映射σ应注意：1）M与M'可以相同，也可以不同；2）对于M中每个元素a，需要有M'中一个唯一确定的元素a'与它对应；3）一般，M'中元素不一定都是M中元素的像；4）M中不相同元素的像可能相同；5）两个集合之间可以建立多个映射.σ=集合M到集合M'的两个映射σ及τ，若对M的每个元素a都有)(aτ(a)σ=..则称它们相等，记作τ例1M是全体整数的集合，M'是全体偶数的集合，定义σ,2)(n∈Mnn=,这是M到M'的一个映射.例2M是数域P上全体n级矩阵的集合，定义σ.|()=,|MA∈AA1这是M到P的一个映射.例3M是数域P上全体n级矩阵的集合，定义σ.)(=,Pa∈aaE2E是n级单位矩阵，这是P到M的一个映射.例4 对于]x[Pf∈,定义)(xσxf=f'((x()))这是]P到自身的一个映射.[xa是M'中一个固定的元素，定义例5 设M，M'是两个非空的集合，σ.=,)(a∈aaM这是M到M'的一个映射.例6 设M 是一个集合，定义M a a a ∈=,)(σ.即σ把M 的每个元素都映到它自身，称为集合M 的恒等映射或单位映射，记为M 1.例7 任意一个定义在全体实数上的函数)(x f y =都是实数集合到自身的映射，因此函数可以认为是映射的一个特殊情形.对于映射可以定义乘法,设σ及τ分别是集合M 到M '，M '到M ''的映射，乘积τσ定义为M a a a ∈=,))(())((σττσ,即相继施行σ和τ的结果，τσ是M 到M ''的一个映射.对于集合集合M 到M '的任何一个映射σ显然都有σσσ=='M M 11.映射的乘法适合结合律.设ψτσ,,分别是集合M 到M '，M '到M ''，M ''到M '''的映射，映射乘法的结合律就是)()(τσψσψτ=.设σ是集合M 到M '的一个映射，用)(M σ代表M 在映射σ下像的全体，称为M 在映射σ下的像集合.显然M M '⊂)(σ.如果M M '=)(σ，映射σ称为映上的或满射.如果在映射σ下，M 中不同元素的像也一定不同，即由21a a ≠一定有)()(21a a σσ≠,那么映射σ就称为11-的或单射.一个映射如果既是单射又是满射就称11-对应或双射.对于M 到M '的双射σ可以自然地定义它的逆映射，记为1-σ.因为σ为满射，所以M '中每个元素都有原像，又因为σ是单射，所以每个元素只有一个原像，定义a a a a '=='-)(,)(1σσ当.显然，1-σ是M '到M 的一个双射，并且M M '--==1,111σσσσ.不难证明，如果τσ,分别是M 到M '，M '到M ''的双射，那么乘积τσ就是M 到M ''的一个双射.§2 线性空间的定义与简单性质一、线性空间的定义.例 1 在解析几何里,讨论过三维空间中的向量.向量的基本属性是可以按平行四边形规律相加，也可以与实数作数量算法.不少几何和力学对象的性质是可以通过向量的这两种运算来描述的.10 按平行四边形法则所定义的向量的加法是V 3的一个运算;20 解析几何中规定的实数与向量的乘法是R ×V 3到V 3的一个运算.30 由知道, 空间上向量的上述两种运算满足八条运算规律.例2. 数域P 上一切矩阵所成的集合对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法满足上述规律.定义1 令V 是一个非空集合，P 是一个数域.在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说给出了一个法则，.对于V 中任意两个向量α与β,在V 中都有唯一的一个元素γ与它们对应,称为α与β的和,记为βαγ+=.在数域P 与集合V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域P 中任一个数k 与V 中任一个元素α,在V 中都有唯一的一个元素δ与它们对应,称为k 与α的数量乘积,记为αδk =.如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V 称为数域P 上的线性空间.加法满足下面四条规则：:1) αββα+=+；2) )()(γβαγβα++=++；3) 在V 中有一个元素0,V ∈∀α,都有αα=+0（具有这个性质的元素0称为V 的零元素）；4) 0,,=+∈∃∈∀βαβαst V V (β称为α的负元素).数量乘法满足下面两条规则：5) αα=1;6) αα)()(kl l k =;数量乘法与加法满足下面两条规则：7) αααl k l k +=+)(;8) ;(βαβαk k k +=+）在以上规则中，l k ,等表示数域P 中任意数；γβα,,等表示集合V 中任意元素. 例3 数域P 上一元多项式环][x P ,按通常的多项式加法和数与多项式的乘法，构成一个数域P 上的线性空间.如果只考虑其中次数小于n 的多项式，再添上零多项式也构成数域P 上的一个线性空间，用n x P ][表示.例4 元素属于数域P 的n m ⨯矩阵，按矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法，构成数域P 上的一个线性空间，用n m P ⨯表示.例5 全体实函数，按函数加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上的线性空间.例6数域P 按照本身的加法与乘法，即构成一个自身上的线性空间.例7 以下集合对于所指定的运算是否作成实数域R 上的线性空间:1) 平面上全体向量所作成的集合V ,对于通常向量的加法和如下定义的纯量乘法:V R a a ∈∈=αα,,0.2) R 上n 次多项式的全体所作成的集合W 对于多项式的加法和数与多项式的乘法.例8 设V 是正实数集, R 为实数域.规定αββα=⊕(即α与β的积),a ⊙α=a α(即α的a 次幂),其中R a V ∈∈,,βα.则V 对于加法⊕和数乘⊙作成R 上的线性空间.二 线性空间的简单性质线性空间的元素也称为向量.当然这里的向量比几何中所谓向量的涵义要广泛得多.线性空间有时也称为向量空间.以下用黑体的小写希腊字母 ,,,γβα代表线性空间V 中的元素，用小写拉丁字母 ,,,c b a 代表数域P 中的数.1.零元素是唯一的.2.负元素是唯一的.3..)1(;00;00ααα-=-==k4.如果0=αk ,那么0=k 或者0=α.§3 维数·基与坐标一、向量的线性相关与线性无关定义 2 设V 是数域P 上的一个线性空间，r ααα,,,.21 )1(≥r 是V 一组向量,r k k k ,,,21 是数域P 中的数，那么向量r r k k k αααα+++= 2211.称为向量组r ααα,,,.21 的一个线性组合，有时也说向量α可以用向量组r ααα,,,.21 线性表出.定义3 设r ααα,,,.21 ; (1)s βββ.,,21 (2)是V 中两个向量组，如果（1）中每个向量都可以用向量组（2）线性表出，那么称向量（1）可以用向量组（2）线性表出.如果（1）与（2）可以互相线性表出，那么向量组（1）与（2）称为等价的.定义4 线性空间V 中向量r ααα,,,.21 )1(≥r 称为线性相关，如果在数域P 中有r 个不全为零的数r k k k ,,,21 ，使0.2211=+++r r k k k ααα . (3)如果向量r ααα,,,.21 不线性相关，就称为线性无关.换句话说，向量组r ααα,,,.21 称为线性无关，如果等式（3）只有在021===r k k k 时才成立.几个常用的结论：1. 单个向量α线性相关的充要条件是0=α.两个以上的向量r ααα,,,.21 线性相关的充要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合.2. 如果向量组r ααα,,,.21 线性无关，而且可以被s βββ.,,21 线性表出，那么s r ≤.由此推出，两个等价的线性无关的向量组，必含有相同个数的向量.3. 如果向量组r ααα,,,.21 线性无关，但βααα,,,,.21r 线性相关，那么β可以由被r ααα,,,.21 线性表出，而且表示法是唯一的.在一个线性空间中究竟最多能有几个线性无关的向量，显然是线性空间的一个重要属性.定义5 如果在线性空间V 中有n 个线性无关的向量，但是没有更多数目的线性无关的向量，那么V 就称为n 维的；如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V 就称为无限维的.定义6 在n 维线性空间V 中，n 个线性无关的向量n εεε,,,21 称为V 的一组基.设α是V 中任一向量，于是αεεε,,,,21n 线性相关，因此α可以被基n εεε,,,21 线性表出：n n a a a εεεα+++= 2211.其中系数n a a a ,,,21 是被向量α和基n εεε,,,21 唯一确定的，这组数就称为α在基n εεε,,,21 下的坐标，记为),,,(21n a a a .由以上定义看来，在给出空间V 的一组基之前，必须先确定V 的维数. 定理1 如果在线性空间V 中有n 个线性无关的向量n ααα,,,.21 ，且V 中任一向量都可以用它们线性表出，那么V 是n 维的，而n ααα,,,.21 就是V 的一组基.例1 在线性空间n x P ][中，12,,,,1-n x x x是n 个线性无关的向量，而且每一个次数小于n 的数域P 上的多项式都可以被它们线性表出，所以n x P ][是n 维的，而12,,,,1-n x x x 就是它的一组基.例2 在n 维的空间n P 中，显然⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)1,,0,0(),0,,1,0(),0,,0,1(21n εεε 是一组基.对于每一个向量),,,(21n a a a =α,都有n n a a a εεεα+++= 2211.所以),,,(21n a a a 就是向量α在这组基下的坐标.例3 如果把复数域K 看作是自身上的线性空间，那么它是一维的，数1就是一组作是实数域上的线性空间，那么就是二维的，数1与i 就是一组基.这个例子告诉我们，维数是和所考虑的数域有关的.§4 基变换与坐标变换在n 维线性空间中，任意n 个线性无关的向量都可以取作空间的基.对于不同的基，同一个向量的坐标一般是不同的.随着基的改变，向量的坐标是怎样变化的.设n εεε,,,21 与n εεε''',,,21是n 维线性空间V 中两组基，它们的关系是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++='+++='+++='.,,22112222112212211111n nn n n nnn n n a a a a a a a a a εεεεεεεεεεεε (1) 设向量ξ在这两组基下的坐标分别是),,,(21n x x x 与),,,(21n x x x ''' ，即 .22112211n n n n x x x x x x εεεεεεξ''++''+''=+++= (2) 现在的问题就是找出),,,(21n x x x 与),,,(21n x x x ''' 的关系. 首先指出，(1)中各式的系数n j a a a nj j j ,,2,1,),,,(21 =实际上就是第二组基向量),,2,1(n j j ='ε在第一组基下的坐标.向量n εεε''',,,21的线性无关性就保证了(1)中系数矩阵的行列式不为零.换句话说，这个矩阵是可逆的.为了写起来方便，引入一种形式的写法.把向量.2211n n x x x εεεξ+++=写成⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n x x x 2121),,,(εεεξ, (3)也就是把基写成一个n ⨯1矩阵，把向量的坐标写成一个1⨯n 矩阵，而把向量看作是这两个矩阵的乘积.所以说这种写法是”形式的”，在于这里是以向量作为矩阵的元素，一般说来没有意义.不过在这个特殊的情况下，这种约定的用法是不会出毛病的.相仿地，(1)可以写成⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='''nn n n n n n n a a a a a aa a a 2122221112112121),,,(),,,(εεεεεε. (4) 矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211称为由基n εεε,,,21 到n εεε''',,,21的过渡矩阵，它是可逆的. 在利用形式写法来作计算之前，首先指出这种写法所具有的一些运算规律. 设n ααα,,,21 和n βββ,,,21 是V 中两个向量组，()()ij ij b B a A ==,是两个n n ⨯矩阵，那么;))(,,,()),,,((2121AB B A n n αααααα =;))(,,,(),,,(),,,(212121B A B A n n n +=+ααααααααα .),,,(),,,(),,,(22112121A A A n n n n βαβαβαβββααα+++=+ 现在回到本节所要解决的问题上来.由(2)有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''''''=n n x x x 2121),,,(εεεξ. 用(4)代入，得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n nn n n n n n x x x a a a a a aa a a 2121222211121121),,,(εεεξ.与(3)比较，由基向量的线性无关性，得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn n n n n n x x x a a a a a a a a a x x x 2121222211121121, (5) 或者⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''-n nn n n n n n x x x a a a a a a a a a x x x 21121222211121121. (6)(5)与(6)给出了在基变换(4)下，向量的坐标变换公式.例1 在§3例2 中有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='''111011001),,,(),,,(2121n n εεεεεε ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111011001 A 就是过渡矩阵.不难得出⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-10000010000100011 A .因此⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''n n x x x x x x21211000001000010001也就是)2(,111n i x x x x x i i i ，， =-='='-.与§3所得出的结果是一致的.例2 取2V 的两个彼此正交的单位向量21,εε它们作成2V 的一个基.令21,εε''分别是由21,εε旋转角θ所得的向量，则21,εε''也是2V 的一个基，有 θεθεεθεθεεsin sin sin cos 212211+-='+='所以｛21,εε｝到｛21,εε''｝的过渡矩阵是 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos . 设2V 的一个向量ξ关于基｛21,εε｝和｛21,εε''｝的坐标分别为),(21x x 与(21,x x '').于是由(5)得,cos sin sin cos 2121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x x θθθθ即.cos sin ,sin cos 212211θθθθx x x x x x '+'=''-'=这正是平面解析几何里，旋转坐标轴的坐标变换公式.§5 线性子空间一、线性子空间的概念定义7 数域P 上的线性空间V 的一个非空子集合W 称为V 的一个线性子空间（或简称子空间），如果W 对于V的两种运算也构成数域P 上的线性空间.定理2 如果线性空间V 的一个非空集合W 对于V 两种运算是封闭的，也就是满足上面的条件1，2，那么W 就是一个子空间.既然线性子空间本身也是一个线性空间，上面引入的概念，如维数、基、坐标等，当然也可以应用到线性子空间上.因为要线性子空间中不可能比在整个子空间中有更多数目线性无关的向量.所以，任何一个线性子空间的维数不能超过整个空间的维数.例 1 在线性空间中，由单个的零向量所组成的子集合是一个线性子空间，它叫做零子空间.例2 线性空间V本身也是V 的一个子空间.在线性空间中，零子空间和线性空间本身这两个子空间有时叫做V 的平凡子空间，而其它的线性子空间叫做非平凡子空间.例3 在全体实函数组成的空间中，所有的实系数多项式组成一个子空间. 例4 n x P ][是线性空间][x P 的子空间. 例5 在线性空间n P 中，齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0,0,0221122221211212111n sn s s nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的全部解向量组成一个子空间，这个子空间叫做齐次线性方程组的解空间.解空间的基就是方程组的基础解系，它的维数等于r n -，其中r 为系数矩阵的秩.二、生成子空间设r ααα,,,21 是线性空间V 中一组向量，这组向量所有可能的线性组合r r k k k ααα+++ 2211所成的集合是非空的，而且对两种运算封闭，因而是V 的一个子空间，这个子空间叫做由r ααα,,,21 生成的子空间，记为),,,(21r L ααα .由子空间的定义可知，如果V 的一个子空间包含向量r ααα,,,21 ，那么就一定包含它们所有的线性组合，也就是说，一定包含),,,(21r L ααα 作为子空间.在有限维线性空间中，任何一个子空间都可以这样得到.事实上，设W 是V 的一个子空间，W 当然也是有限维的.设r ααα,,,21 是W 的一组基，就有),,,(21r L W ααα =.定理3 1)两个向量组生成相同子空间的充要条件是这两个向量组等价.2）),,,(21r L ααα 的维数等于向量组r ααα,,,21 的秩.定理4 设W 是数域P 上n 维线性空间V 的一个m 维子空间，m ααα,,,21 是W 的一组基，那么这组向量必可扩充为整个空间的基.也就是说，在V 中必定可以找到m n -个向量n m m ααα,,,21 ++使得n ααα,,,21 是V 的一组基.结论 数域P 上线性空间V 的一个非空子集W 是V 的一个子空间W b a W F b a ∈+∈∈∀⇔βαβα都有,,,,.§6子空间的交与和定理5 如果1V ,2V 是线性空间V 的两个子空间，那么它们的交21V V 也是V 的子空间.由集合的交的定义有，子空间的交适合下列运算规律：1221V V V V =(交换律)，)()(321321V V V V V V =（结合律）.由结合律，可以定义多个子空间的交：si i s V V V V 121==,它也是子空间.定义8 设1V ,2V 是线性空间V 的子空间，所谓1V 与2V 的和，是指由所有能表示成21αα+,而2211,V V ∈∈αα的向量组成的子集合，记作21V V +.定理6 如果1V ,2V 是线性空间V 的子空间，那么它们的和21V V +也是V 的子空间.由定义有，子空间的和适合下列运算规律：1221V V V V +=+(交换律)，)()(321321V V V V V V ++=++（结合律）.由结合律，可以定义多个子空间的和∑==+++si i s V V V V 121 .它是由所有表示成),,2,1(,21s i V i i s =∈+++αααα的向量组成的子空间.关于子空间的交与和有以下结论：1. 设W V V ,,21都是子空间，那么由1V W ⊂与2V W ⊂可推出21V V W ⊂；而由1V W ⊃与2V W ⊃可推出21V V W +⊃.2. 对于子空间1V 与2V ，以下三个论断是等价的： 1）;21V V ⊂ 2) 121V V V = ; 3)221V V V =+.例1 在三维几何中用1V 表示一条通过原点的直线，2V 表示一张通过原点而且与1V 垂直的平面，那么，1V 与2V 的交是{}0，而1V 与2V 的和是整个空间.例2 在线性空间n P 中，用1V 与2V 分别表示齐次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0,0,0221122221211212111n sn s s nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 与⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0,0,0221122221211212111n tn t t nn n n x b x b x b x b x b x b x b x b x b 的解空间，那么21V V 就是齐次方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++0,0,0,02211121211122111212111n tn t t n n n sn s s n n x b x b x b x b x b x b x a x a x a x a x a x a的解空间.例3 在一个线性空间V 中，有),,,,,(),,,(),,,(112121t s t s L L L ββααβββααα =+.关于两个子空间的交与和的维数，有以下定理.定理7（维数公式）如果1V ，2V 是线性空间V 的两个子空间，那么维（1V ）+维（2V ）=维（21V V ）+维（21V V ）.从维数公式可以看到，和的维数往往要比维数的和来得小.推论 如果n 维线性空间V 中两个子空间1V ，2V 的维数之和大于n ，那么1V ，2V 必含有非零的公共向量.§7 子空间的直和定义9 设21,V V 是线性空间V 的子空间，如果和21V V +中每个向量α的分解式221121,,V V ∈∈+=ααααα是唯一的，这个和就称为直和，记为21V V ⊕.定理8 和21V V +是直和的充要条件是等式)2,1(,021=∈=+i V i i ααα只有在i α全为零时才成立.推论 和21V V +是直和⇔{}021=V V .定理9 设21,V V 是线性空间V 的子空间，令21V V W +=，则21V V W ⊕=⇔维(W )=维(1V )+维(2V ).定理10 设U 是线性空间V 的一个子空间，那么一定存在一个子空间W 使W U V ⊕=.子空间的直和的概念可以推广到多个子空间的情形.定义10 设s V V V ,,,21 都是线性空间V 的子空间，如果和s V V V +++ 21中每个向量α的分解式),,2,1(,21s i V i i s =∈+++=ααααα是唯一的，这个和就称为直和，记为s V V V ⊕⊕⊕ 21.定理11 s V V V ,,,21 是线性空间V 的一些子空间，下面这些条件是等价的： 1）∑=i V W 是直和； 2）零向量的表法唯一； 3）{}),,2,1(0s i V V ij j i ==∑≠;4）维(W )=∑)(i V 维.§8 线性空间的同构设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，在这组基下，V 中每个向量都有确定的坐标，而向量的坐标可以看成n P 元素，因此向量与它的坐标之间的对应实质上就是V 到n P 的一个映射.显然这个映射是单射与满射，换句话说，坐标给出了线性空间V 与n P 的一个双射.这个对应的重要性表现在它与运算的关系上.设n n a a a εεεα+++= 2211,n n b b b εεεβ+++= 2211而向量,,βα的坐标分别是),,,(21n a a a ,),,,(21n b b b ，那么n n n b a b a b a εεεβα)()()(222111++++++=+ ;n n ka ka ka k εεεα+++= 2211.于是向量,βα+αk 的坐标分别是),,,(),,,(),,,(21212211n n n n b b b a a a b a b a b a +=+++,),,,(),,,(2121n n a a a k ka ka ka =.以上的式子说明在向量用坐标表示之后，它们的运算就可以归结为它们坐标的运算.因而线性空间V 的讨论也就可以归结为n P 的讨论.定义11 数域P 上两个线性空间V 与V '称为同构的，如果由V 到V '有一个双射σ，具有以下性质：1）)()()(βσασβασ+=+;2) ).()(ασασk k =其中βα,是V 中任意向量，k 是P 中任意数.这样的映射σ称为同构映射.前面的讨论说明在n 维线性空间V 中取定一组基后，向量与它的坐标之间的对应就是V 到n P 的一个同构映射.因而，数域P 上任一个n 维线性空间都与n P 同构.由定义可以看出，同构映射具有下列性质：1. )()(,0)0(ασασσ-=-=.2. )()()()(22112211r r r r k k k k k k ασασασααασ+++=+++ .3. V 中向量组r ααα,,,21 线性相关⇔它们的象)(,),(),(21r ασασασ 线性相关.因为维数就是空间中线性无关向量的最大个数，所以由同构映射的性质可以推知，同构的线性空间有相同的维数.4. 如果1V 是V 的一个线性子空间，那么，1V 在σ下的象集合 {}11|)()(V V ∈=αασσ是)(V σ的子空间，并且1V 与)(1V σ维数相同.5. 同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射.同构作为线性空间之间的一种关系，具有反身性、对称性与传递性.既然数域P 上任意一个n 维线性空间都与n P 同构，由同构的对称性与传递性即得，数域P 上任意两个n维线性空间都同构.定理12 数域P 上两个有限维线性空间同构的充要条件是它们有相同的维数.由线性空间的抽象讨论中，并没有考虑线性空间的元素是什么，也没有考虑其中运算是怎样定义的，而只涉及线性空间在所定义的运算下的代数性质.从这个观点看来，同构的线性空间是可以不加区别的.因之，定理12说明了，维数是有限维线性空间的唯一的本质特征.第六章、线性空间(小结)线性空间是线性代数的中心内容，是几何空间的抽象和推广，线性空间的概念具体展示了代数理论的抽象性和应用的广泛性.一、线性空间1. 线性空间的概念2. 线性间的性质(1) 线性空间的零元，每个元素的负元都是唯一的；(2) αα-=-)1(;0,00==⇔=ααor k k .二、基、维数和坐标1．基本概念：线性表示（组合）；向量组等价；线性相关（无关）；基、维数和坐标；过渡矩阵.2．基本结论(1)线性相关性的有关结论.(2)在n 维线性空间V 中，任意n 个线性无关的向量都作成V 的一个基；任意)(n m m <个线性无关的向量都可扩充为V 的一个基；任意)(n s s >个向量都是线性相关的.(3)若在线性空间V 中有n 个线性无关的向量n ααα,,,21 ,且V 中任意向量都可由它线性表示，则V 是n 维的，而n ααα,,,21 就是V 的一个基.(4)设{n ααα,,,21 }和{n βββ,,,21 }是n 维线性空间V 的两个基，A 是由基{n ααα,,,21 }到基{n βββ,,,21 }的过渡矩阵，),,,(21n x x x 和),,,(21n y y y 分别是向量α在这两个基下的坐标，则A 是可逆的，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n y y y A x x x 2121 三、线性子空间及其形成1．基本概念：子空间；生成子空间；子空间的和与直和.2．基本结论：(1) 线性空间V 的非空子集合W 作成V 的子空间⇔W 对于V 的两种运算封闭.(2) 线性空间V 的两个子空间的交与和仍为子空间.(3)(维数公式) 若21,V V 是线性空间V 的两个有限维子空间，则)dim()dim()dim()dim(212121V V V V V V ++=+(4)),,,(),,,(dim 2121n n rank L αααααα =.),,,(),,,(2121n m L L βββααα = ⇔向量组{m ααα,,,21 }与{n βββ,,,21 }等价.(5) 设U 是线性空间V 的一个子空间，则存在一个子空间W ，使得W U V ⊕=，此时称W 为U 的一个余子空间.(6) 设s V V V ,,,21 是线性空间V 的子空间，下面这些条件等价：① ∑=i V W 是直和；② 零向量的表示法唯一；③ {});,,2,1(,0t i V V ij j i ==∑≠④ ∑=i V W dim dim .四、线性空间的同构1.同构的定义2. 同构映射的基本性质：(1) 线性空间的同构映射保持零元，负元，线性组合，线性相关性；(2) 同构映射把子空间映成子空间；(3) 线性空间的同构关系具有反身性，对称性和传递性；(4) 数域P 上两个有限维线性空间同构⇔它们有相同的维数，因而，每一个数域P 上的n 维线性空间都与n 元数组所成的线性空间n P 同构.本章的重点是线性空间的概念，子空间的和，基与维数；难点是线性空间定义的抽象性，线性相关和子空间的直和.本章的基本题型主要有：线性空间，子空间的判定或证明，线性相关与无关的判定或证明，基与维数的确定，过渡矩阵和坐标的求法，直和及同构的判定或证明.本章的基本内容及其内在联系可用下图来说明：。
第二章 内积空间
第二章 内积空间在以前学习的线性代数中，我们知道在n R 中向量的长度、夹角和正交等性质是用内积刻划的，在本章中将内积的概念推广到一般线性空间，从而讨论一般线性空间中向量的度量性质。
定义了内积的线性空间称为内积空间，常用的内积空间有欧氏空间与酉空间。
§2.1欧氏空间与酉空间一、欧氏空间与酉空间定义1 设V 是R 上的线性空间，如果V 中每对向量,x y ，按某一对应法则都有唯一确定的实数(,)x y 与之对应且满足： ),(),(.1x y y x =),(),(.2y x y x λ=λ，λ∀∈R ),(),(),(.3z y z x z y x +=+，z V ∀∈0),(.4≥x x 等号成立当且仅当x θ=则称(,)x y 为V 的内积。
称定义了上述内积的有限维线性空间()V R 为欧几里得空间，简称欧氏空间，称21),(x x x =为x 的长度或模。
例1 在[]n P x 中定义10((),())()()f x g x f x g x dx =⎰，(),()[]n f x g x P x ∈，则[]nP x 构成一个欧氏空间。
例2 在n n ⨯R 中对,n n A B ⨯∀∈R 定义T (,)tr()A B AB =,则n n ⨯R 为欧氏空间。
证明 因为,,,n n A B C λ⨯∀∈∈R R（1） T T T T (,)tr tr[()]tr (,)A B AB AB BA B A ==== （2） T T (,)tr tr (,)A B AB AB A B λλλλ===（3） T T T (,)tr[()]tr[](,)(,)A B C A B C AC BC A C B C +=+=+=+（4） 211(,)tr()0n nTijj i A A AA a ====≥∑∑ 等号当且仅当A θ=成立 故n n ⨯R 为欧氏空间。
例3 ,n x y ∀∈R 定义T (,)x y x y =，则n R 是n 维欧氏空间。