有限维线性空间的分解

毕业论文

题目有限维线性空间的分解

学院数学与统计学院

姓名周吉强

专业班级数学与应用数学

学号 20101010646

指导教师邵海琴教授

提交日期 2014-5-28

原创性声明

本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。

本声明的法律责任由本人承担。

论文作者签名：

年月日

论文指导教师签名：

年月日

1引言与预备知识 1

2有限维线性空间的分解 2

2.1按子空间的直和分解 2

2.2按生成子空间分解 3

2.3按特征子空间分解，即按可对角化的线性变换分解 4

2.4按根子空间分解，即准素分解 6

2.5按

循环子空间分解 7

2.6按线性变换的

标准形分解 9

参考文献................. ... ... ... ............. . (12)

有限维线性空间的分解

周吉强

（天水师范学院，数学与统计学院,甘肃，天水，741000）

摘要总结了有限维线性空间按子空间、生成子空间、特征子空间、根子空间、

循环子空间以及线性变换的Jordan标准形等分解方法，并通过具体的例子加以说明.

关键词线性空间;直和分解；子空间；生成子空间；根子空间；循环子空

间；线性变换

Decomposition of finite-dimensional linear space

Jiqiang Zhou

(School of Mathematics and Statistics, Tianshui Normal University, Tianshui 741000)

Abstract In this paper, we summary decomposition methods of finite dimensional Linear space by subspace, generating subspace, proper subspace, and root space,

- cyclic subspace and

standard from of transformation, we explain for the six decomposition methods by concrete examples.

Keywords Linear space, straight and decomposition, subspace, generating subspace, root space, cyclic subspace, linear transformation

有限维线性空间的分解

1引言与预备知识

线性空间是线性代数中的重要知识点，线性空间也是线性代数中最为抽象的概念.子空间的和，尤其是直和虽然概念抽象，证明困难，但仍然有规律可循.只要掌握了方法，便能得心应手.

定义1.1

设

与

是有限维线性空间

的两个子空间，如果

与

的和

中每个元素的分解式是惟一的，则称这个和为直和.

定义1.2

设

是数域

上的

维线性空间，

为

的一组基.在该基下的矩阵为

，则有

设

是

的特征值，令

则

是

的子空间，且称其为

的属于特征值

的特征子空间.

定义1.3

设线性变换

的特征多项式为

，它可以分解成一次因式的乘积

则

可分解成不变子空间的直和

，

其中

称为属于

的根子空间.

定理1.1

设

是有限维线性空间

的两个子空间,那么下列命题等价

(1)

;

(2)零向量的分解式是惟一的；

(3)

;

(4)

定理1.2

复数域上有限维线性空间

的每一个线性变换都有

标准形，并且这个

标准形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外，是被线性变换唯一决定的.

线性变换的

标准形的求法具体如下：

(1)首先用初等变换化特征矩阵

为对角形式，然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）就是

的全部初等因子.

(2)每一个初等因子

对应一个若而当块

(3)

就是

的

标准形.

2有限维线性空间的分解

2.1按子空间的直和分解

在判定两个子空间

的和是直和是应熟练应用直和的等价条件，其中最常用的是

与

如果要证明线性空间

可以分解成子空间

的直和时，先任取

,证明

，

,则有

;再任取

,证

，则有

.于是

例2.1.1

已知

的两个子空间

，

证明

证明对任意的

，有

,其中

.容易验证

,所以

,即有

对任意的

,则

,所以

,故

2.2按生成子空间分解

定义2.2.1

设

是线性空间

中的一组向量，不难看出，这组向量所有的线性组合

所成的集合是非空的.而且对两种运算封闭，因而是

的一个子空间.这个子空间叫做由

生成的子空间，记为

例2.2.1

证明：数域

上任意一个

维线性空间

可以表示成

个1维子空间的直和.

证明在线性空间

中取一个基

，则

由于

因此

是直和，于是

2.3按特征子空间分解，即按可对角化的线性变换分解

如果

可以写成两个非平凡子空间

与

的直和：

,那么任选

的一个基

和

的一个基

凑成

的一个基.当

与

都在线性变换

之下不变时，

关于这样选取的矩阵是

，

其中

是一个

阶矩阵，它是

关于基

的矩阵，

是一个

阶矩阵，它是

关于基

的矩阵.

由此可知，矩阵分解为准对角形与

维线性空间

分解为不变子空间的直和是相当的.

上述的讨论说明对于

维线性空间

的一个线性变换

，如果能将

分解成若干个

子空间的直和，则可以适当的选取

的一个基，使

在这个基下的矩阵有比较简单的形状（准对角形）.

特别的如果能将

分解成若干个一维

子空间的直和，则可以适当的选取

的一个基，使

在这个基下的矩阵是对角形.这个命题的逆命题也是成立的.即

可以对角化的充分必要条件是

可以分解成若干个一维

子空间的直和.

例2.3

设

是数域

上的

维线性空间

的线性变换，使得

求

的特征子空间.

解取

的一个基

，

则

，

同样有

，

于是

在基

下的矩阵为

的特征多项式为

,特征值为

.矩阵

的属于特征值

的线性无关的特征向量是

所以线性变换

的属于特征值

的线性无关的特征向量是

，

的属于特征值

的特征子空间是

，同理可求属于特征值

的特征子空间是

2.4按根子空间分解，即准素分解

定理2.4

（空间准素分解）设数域

上线性空间

的线性变换

的最小多项式为

，

其中

为数域

上的首一不可约多项式，互异，

为正整数，则

是A的不变子空间，且

;

的最小多项式为

注1：上述定理中

的特征多项式为

，则

是

的特征多项式

，且

其中

对某正整数成立.

例2.4

考虑4维线性空间

中由矩阵

决定的线性变换

：

,任意

的直和分解问题.其中

此时，线性变换

的特征多项式为

它在实数域

上只有特征值

，

在

上不可约.由分解定理可以直接算出

，

；

容易验证，

为

的一组基. 显然

为

的直和.

2.5按

循环子空间分解

定义2.5.1

设

是

维向量空间

的一个线性变换.子空间

叫做关于

的一个循环子空间，简称

循环子空间.如果存在一个非零向量

和一个正整数

，使得

构成

的一个基；

这时

叫做循环子空间

的一个生成向量，而

叫做

的一个循环基.

定理2.5.1

设

是

维向量空间

的一个幂零线性变换，那么向量空间

线性代数的一些证明题

线性代数一些证明题 1 题目设n 阶可逆矩阵A 满足A 2=A ，求A 的特征值。知识点特征值与特征向量矩阵的行列式解题过程解：因为A 2=A 所以A 2－A =0 所以det(A 2－A )=det[A (A －E )]=det(A )det(A －E )=0 A 为可逆矩阵，所以det(A )≠0 所以det(A －E )=0 所以A 的特征值为1. 常见错误设存在λ，使Ax =λx 成立则 det(Ax )=det(A )det(x ) =det(λx ) =n λdet(x ) (错误在于向量取行列式) 所以有)det(A n =λ成立. 又因为A 2=A det(A )2=det(A), 即det(A )=0或det(A )=1.

由于A 为可逆矩阵，det(A)≠0. 所以 det(A )=1 1=n λ 当n 为奇数时，λ=1. 当n 为偶数时，λ=±1. 相关例题设A 为n 阶矩阵,若A 2=E ，试证A 的特征值是1或-1. 2题目设A 是奇数阶正交矩阵，且det(A )=1，证明det(E -A )=0. 知识点 ①正交矩阵的定义：A T A=E ②单位矩阵的性质：EA=AE=A E T =E ③矩阵运算规律 ④转置矩阵的性质：(A+B )T =A T +B T ⑤det(A )=det(A T ) ⑥det(AB )=det(A )det(B ) ⑦det(-A )=(-1)n det(A ) 解题过程 ∵A 是正交矩阵 ∴E －A= A T A －A= A T A －EA=( A T －E )A ∵det(A )=1

空间位置关系的判断与证明

. . 空间中的线面关系要求层次重难点空间线、面的位置关系 B ① 理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理． ◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线上所有的点在此平面． ◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面． ◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． ◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． ◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． ② 以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定．公理1，公理2，公理3，公理4，定理* A 高考要求模块框架空间位置关系的判断与证明

. . 理解以下判定定理． ◆如果平面外一条直线与此平面的一条直线平行，那么该直线与此平面平行． ◆如果一个平面的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行． ◆如果一条直线与一个平面的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直． ◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．理解以下性质定理，并能够证明． ◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行． ◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行． ◆垂直于同一个平面的两条直线平行． ◆如果两个平面垂直，那么一个平面垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直． ③ 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题． *公理1：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线在此平面．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 1．集合的语言：我们把空间看做点的集合，即把点看成空间中的基本元素，将直线与平面看做空间的子集，这样便可以用集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系：点A 在直线l 上，记作：A l ∈；点A 不在直线l 上，记作A l ?；点A 在平面α，记作：A α∈；点A 不在平面α，记作A α?；直线l 在平面α（即直线上每一个点都在平面α），记作l α?；直线l 不在平面α（即直线上存在不在平面α的点），记作l α?；直线l 和m 相交于点A ，记作{}l m A =，简记为l m A =；知识内容

线性代数基本定理-新版.pdf

线性代数基本定理一、矩阵的运算 1.不可逆矩阵的运算不满足消去律AB=O,A 也可以不等于 O 11-1-1?è???÷1-1-11?è???÷=0000?è?? ? ÷ 2.矩阵不可交换 (A+B)2=A 2+AB+BA+B 2 (AB)k =ABABABAB ...A B 3.常被忽略的矩阵运算规则 (A+B)T =A T +B T (l A)T =l A T

4.反称矩阵对角线元素全为0 4.矩阵逆运算的简便运算 (diag(a 1,a 2 ,...,a n ))-1=diag( 1 a 1 , 1 a 2 ,..., 1 a n ) (kA)-1=1 k A-1 方法 1.特殊矩阵的乘法 A．对角矩阵乘以对角矩阵，结果仍为对角矩阵。且： B．上三角矩阵乘以上三角矩阵，结果为上三角矩阵2.矩阵等价的判断 A@B?R(A)=R(B) 任何矩阵等价于其标准型

3.左乘初等矩阵为行变换，右乘初等矩阵为列变换如：m*n 的矩阵，左乘 m 阶为行变换，右乘 n 阶为列变换 4. 给矩阵多项式求矩阵的逆或证明某个矩阵可逆如：A 2 -A-2I =O ，证明(A+2I)可逆。把2I 项挪到等式右边，左边凑出含有 A+2I 的一个多项式，在确保A 平方项与 A 项的系数分别为原式的系数情况下，看I 项多加或少加了几个。5.矩阵的分块进行计算加法：分块方法完全相同矩阵乘法（以A*B 为例）：A 的列的分法要与B 行的分法一致，如：如红线所示：左边矩阵列分块在第 2列与第3列之间，那么，右边矩阵分块在第二行与第三行之间 1-1003-1000100002-1 é? êêêêù?úúúú1000-1000013-1021 4 é? ê êêêù? úúúú

空间中直线与直线之间的位置关系

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系整体设计教学分析空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系，直线的异面关系是本节的重点和难点.异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否定形式给出的，因此它的证明方法也就与众不同.公理4是空间等角定理的基础，而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础，请注意知识之间的相互关系，准确把握两异面直线所成角的概念. 三维目标 1.正确理解空间中直线与直线的位置关系,特别是两直线的异面关系. 2.以公理4和等角定理为基础，正确理解两异面直线所成角的概念以及它们的应用. 3.进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质. 重点难点两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法. 课时安排 1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入）在浩瀚的夜空，两颗流星飞逝而过（假设它们的轨迹为直线），请同学们讨论这两直线的位置关系. 学生：有可能平行，有可能相交，还有一种位置关系不平行也不相交，就像教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线一样. 教师：回答得很好，像这样的两直线的位置关系还可以举出很多，又如学校的旗杆所在的直线与其旁边公路所在的直线，它们既不相交，也不平行，即不能处在同一平面内.今天我们讨论空间中直线与直线的位置关系. 思路2.（事例导入）观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与线段C′C所在直线的位置关系如何？图1 推进新课新知探究提出问题 ①什么叫做异面直线？ ②总结空间中直线与直线的位置关系. ③两异面直线的画法. ④在同一平面内，如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空间这个结论成立吗？ ⑤什么是空间等角定理？ ⑥什么叫做两异面直线所成的角？ ⑦什么叫做两条直线互相垂直？

线性空间直和分解定理的推广及应用_李毛亲

收稿日期：2010-12-20 基金项目：台州学院培育基金（2010PY011）.作者简介：李毛亲（1958-），女，山西太原人，硕士，副教授，研究方向：应用数学及教学研究. 线性空间直和分解定理的推广及应用李毛亲（台州学院数学与信息工程学院，浙江临海317000）摘要：把高等代数中线性空间的直和分解定理推广到一般情形.对于n 维线性空间V 上线性变换A 的任一个化零多项式f （x ），若f （x ）为若干个两两互素的多项式的乘积，则线性空间V 可以相应地分解成有限个A 的不变子空间的直和.一些应用实例被给出. 关键词：线性空间；直和分解；多项式互素中图分类号：O151.2文献标识码：A 文章编号：1672-3708（2011）03-0001-02 在高等代数中，线性空间的直和分解定理是一个非常重要的定理，是研究矩阵对角化和Jordan 标准形的理论基础.［1］中的直和分解定理如下：定理1［1］设V 是数域P 上的n 维线性空间，V 上的线性变换A 的特征多项式f （x ）可以分解成互异的一次因式方幂的乘积 f （x ）＝（x -a 1）r 1（x -a 2）r 2…（x -a s ）r s ，则V 可以分解成s 个A 的不变子空间的直和V =V 1+V 2+…+V s ，其中V i ={α∈V /（A -a i E ）r i α=0}，i =1，2，…，s . 多项式g （x ）称为线性变换A 的化零多项式，若g （A ）＝0.我们把定理1推广到A 的任意化零多项式上去. 定理2设V 是数域P 上的n 维线性空间，若V 上的线性变换A 的化零多项式f （x ）=f 1（x ）f 2（x ）…f s （x ），f 1，f 2，…，f s 两两互素，则V 可以分解成s 个A 的不变子空间的直和 V =V 1+V 2+…+V s ，其中V i ={α∈V /f i （A ）α=0}，i =1，2，…，s . 为证明该定理，我们首先给出两个引理，这两个引理除了在证明该定理时起重要作用外，本身也是重要的结论. 引理1设f （x ）=f 1（x ）f 2（x ）…f s （x ），f 1，f 2，…，f s 两两互素，则g 1，g 2，…，g s 互素，其中g i （x ）=f （x ）i （），i =1，2，…，s .证明设（g 1，g 2，…，g s ）＝d （x ），考虑d （x ）/g 1（x ），由于g 1=f 2…f s ，若d （x ）≠1，可设p （x ）是d （x ）的一个不可约因式，由p （x ）/f 2…f s 可知，p （x ）至少整除其中之一，不妨假设p （x ）|f 2（x ），考虑到p （x ）是g 1，g 2，…，g s 的一个公因式，得p （x ）|g 2（x ），于是p （x ）是f 2（x ）和g 2（x ）的公因式，但（f 2（x ），g 2（x ））=1，矛盾.所以d （x ）=1. 台州学院学报Journal of Taizhou University 2011年6月第33卷第3期Vol.33,No.3Jun.2011

线性代数证明题

线性代数证明题 1．设1234,,,αααα是非零的四维列向量，1234(,,,),*A A αααα=为A 的伴随矩阵，已知 0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T ，证明234,,ααα是方程组*0A x =的基础解系. 2.设A 是n 阶矩阵，且0n A =，则A E n -必是可逆矩阵。 3．,,A B C 均是n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若ABC E =，证明：BCA E = 4．设3级方阵,A B 满足124A B B E -=-，证明：2A E -可逆，并求其逆. 5．设A 是一个n 级方阵，且()R A r =，证明：存在一个n 级可逆矩阵P 使1 PAP -的后n r -行全为零. 6．设矩阵,m n n m A B ??，且,m n AB E <=，证明：A 的行向量组线性无关. 7．如果,2 A A =称A 为幂等矩阵.设 B A ,为n 阶幂等矩阵，证明：B A +是幂等矩阵的充要条件是.0==BA AB 8.如果对称矩阵A 为非奇异,试证:1-A 也是对称矩阵 9.设A ，B ，C 都是n 阶方阵，且C 可逆，T --+=A E B C C ）（11 , 证明：A 可逆且T -+=）（C B A 1 。 10.设0=k A ，其中k 为正整数，证明：121)(--++++=-k A A A E A E 11.设方阵A 满足A 2 -A-2E=O ，证明A 及A+2E 都可逆，并求1 1 2--+）及（E A A 12.试证：对任意方阵A ，均有 T A A +为对称矩阵， T A A -为反对称矩阵。 13.证明 1)(=A R 的充分必要条件是存在非零列向量α和非零行向量T β，使T A αβ= 14.设A 为列满秩矩阵，C A B =，证明方程0=BX 与0=CX 同解 15.设A 为n m ?矩阵，证明方程m E AX =有解m A R =?)( 16.向量组A 能用向量组B 表示，则R(A)<=R(B) 17.设B A ,分别为m n n m ??,矩阵，则齐次方程组O =ABx 当n m >时必有非零解。 18、设，，，，144433322211ααβααβααβααβ+=+=+=+=证明向量组

§4.4-5 线性空间的同构

§4.4 线性空间的同构下面讨论同构的概念在线性空间中的应用，以便将两个线性空间进行比较。设V 与V '都是数域P 上的线性空间，在V 与V '上各有加法和数量乘法运算，并且都用普通的加法和乘法符号表示。定义4.4.1 设V 与V '都是数域P 上的线性空间，如果存在V 到V '上的双映射σ满足（1） )()()(βσασβασ+=+；（2） )()(ασασk k =，其中βα,是V 中任意向量，k 是数域P 中任意数，则称σ为V 到V '的同构映射，并且称V 与V '是同构的。同构的线性空间具有如下性质。定理4.4.1 设V 与V '是数域P 上的同构线性空间，σ为V 到V '的同构映射，则（1） )0(σ=0；（2）对任意V ∈α，)()(ασασ-=-；（3）如果m αα,,1 是V 的一个向量组，∈m k k ,,1 P ，则 )()()(1111m m m m k k k k ασασαασ++=++ ；（4） V 中向量组m αα,,1 线性相关当且仅当它们的像)(1ασ,)(,m ασ 是V '中线性相关的向量组；（5）如果V 是n 维的，n εε,,1 是V 的一组基，则V '也是n 维的，并且 )(,),(1n εσεσ 是V '的一组基。证明（1）－(3) 由定义4.4.1即得。（4）如果向量组m αα,,1 线性相关，则存在不全为零的数∈m k k ,,1 P 使得 011=++m m k k αα 由（1）和（3）得 0)()(11'=++m m k k ασασ 所以)(1ασ,)(,m ασ 线性相关。反过来，如果)(1ασ,)(,m ασ 线性相关，则存在不全为零的数∈m k k ,,1 P ，使得 0)()(11=++m m k k ασασ 即

空间位置关系的判断与证明.板块一.对平面的进一步认识.学生版

题型一平面的基本性质【例1】在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的（） A ．充分不必要条件． B ．必要不充分条件． C ．充要条件． D ．既不充分也不必要条件．【例2】判断下面说法是否正确： ①如果一条直线与两条直线都相交，那么这三条直线确定一个平面． ②经过一点的两条直线确定一个平面． ③经过空间任意三点有且只有一个平面． ④若四边形的两条对角线相交于一点，则该四边形是平面图形． ⑤两个平面的公共点的集合，可能是一条线段． ⑥空间中的四个点只可能确定一个平面或四个平面．【例3】若P 是正方体1111ABCD A B C D -上底面对角线AC 上一点，则B 、D 、P 三点可以确定平面（） A ．1个 B ．2个 C ．无数个 D ．1个或无数个【例4】下列推理错误的是（） A ．,,,A l A B l B l ααα∈∈∈∈?? B ．,,,A A B B AB αβαβαβ∈∈∈∈?= C ．,,,,,A B C A B C αβ∈∈，且,,A B C 不共线?,αβ重合 D ．,l A l A αα?∈?? 【例5】已知点A ，直线l ，平面α， ①,A l l A αα∈??? ②,A l l A αα∈∈?∈ ③,A l l A αα???? ④,A l A l αα∈??? 以上命题表达正确，且是真命题的有________．共线问题【例6】在正方体1111ABCD A B C D -中，O ，1O 分别是上，下底的中心，P 是1DB 的中点，则O 、P 、1 O 典例分析板块一.对平面的进一步认识

线性代数常见证明题型及常用思路

《线性代数》常见证明题型及常用思路、证明题题型1关于1,K , m 线性相关性的证明中常用的结论 (1)设1 1 L m m 0，然后根据题设条件，通过解方程组或其他手段：如果能证明 1，K , m 必全为零，则1，K , m 线性无关；如果能得到不全为零的1 ,K , m 使得等式成立，贝S 1，K , m 线性相关。 2) 1,K , m 线性相关当且仅当其中之一可用其他向量线性表示。时候我们设 0, 根据题设条件 1,K , m W 1, 1,K , t W 2的线性无关得到系数全为零。题型2.关于欧氏空间常用结论 (1) 内积的定义 (2) 单位正交基的定义 (3)设B { 1,K , n }是单位正交基, (3)如果 1，K , m F “，则可通过矩阵的秩等方面的结论证明。 4 ) 一如果有两个线性无关组， 1，K , m W 1， 1,K , t W 2,且W 1,她是同一个线性空间的两个子空间，要证 1,K , 1,K , t 线性无关。这种情况下，有些 0 ，进而由

U B (X i,K,X n),V B (y i,K,y n)。则(u,v) x$ L x“y n5 题型3.关于矩阵的秩的证明中常用的结论 (1)初等变换不改变矩阵的秩 (2)乘可逆矩阵不改变矩阵的秩 (3)阶梯形的秩 (4)几个公式(最好知道如何证明)：常用来证明关于秩的不等式 r(A B) r(A) r(B); r(AB) min{ r(A),r(B)}; r(A) r(A T) r(A T A); A T 计")'")} "A? r B T r(A) r(B)； A r(A)r(B); r B A r(A) r(B) r(C); B r(A)r(B)r C B0r(A)r(B) n A m n (5)利用分块矩阵的初等变化不改变矩阵的秩(常用来证明关于秩的不等式) 例：证明：r(A m n) r(B) n r(AB)。证:

1-1线性空间解析

第一专题线性空间和线性变换矩阵是研究线性模型最基本的工具之一。根据本书的性质，我们假定读者已具备了这方面的基础知识。本书的目的是对本科《线性代数》教材中没有论及或讨论不够充分，而在线性模型讨论中经常用到的一些矩阵知识，给予系统而扼要地叙述。 §1 线性空间一、线性空间的概念与性质线性空间是由具体的几何平面和空间的特征经过抽象提炼出来的一个数学概念。粗略地说，在一个非空集合上定义了线性运算，并且这种运算满足一定的规则，那么这个非空集合就成为一个线性空间。因此，一个线性空间必须有由线性运算规定的代数结构(由集合与满足一定运算规律的一些代数运算合在一起组成的系统)，以便于用数学方法对它研究。为了说明它的来源，在引入定义之前，先看几个熟知的例子。例1 在解析几何中，我们讨论过三维空间中的向量。向量的基本属性是可以按平行四边形规律相加，也可以与实数作数量乘法。我们看到，不少几何和力学对象的性质是可以通过向量的这两种运算来描述的。例 2 为了解线性方程组，我们讨论过以n 元有序数组)(21n ,a ,,a a 作为元素的n 维向量空间。对于它们，也有加法和数量乘法，那就是： ),()()(22112121n n n n b ,a ,b ,a b a ,b ,,b b ,a ,,a a +++=+ ).()(2121n n ,ka ,,ka ka ,a ,,a a k = 从这些例子中我们可以看到，所考虑的对象虽然不同，但它们有一个共同点，那就是它们都有加法和数量乘法这两种运算。抽取它们的共同点，把它们统一起来加以研究，我们可以引入线性空间的概念。

在第一个例子中，我们用实数和向量相乘。在第二个例子中用什么数和向量相乘，就要看具体情况。例如，在有理数域中解线性方程组时，用有理数去作数量乘法就足够了，而在复数域中解线性方程组时，就需要用复数去作运算。可见，不同的对象与不同的数域相联系。当我们引入抽象的线性空间的概念时，也必须选定一个确定的数域作为基础。定义1 设F 是一个数集，其中包含0和1。如果F 中任意两个数（它们可以相同）的和、差、积、商（除数不是0）仍是F 中的数，那么称F 为数域。显然，全体实数集R 、全体复数集C 、全体有理数集Q 等都是数域。而全体正实数集+R ，全体整数集Z 等都不是数域。定义2 设V 是一非空集合,F 是数域（本书特指实数域）,对V 中任意两个元βα,,定义一个加法运算,记为“+”:V ∈+βα（元βα+称为α与β的和）；定义一个数乘运算:F k V k ∈∈ ,α（元αk 称为k 与α的数积）。这两种运算（也称为V 的线性运算）,满足下列规则,则称V 为数域F 上的线性空间（或向量空间）。加法满足下面四条规则： (1) αββα+=+； (2) )()(γβαγβα++=++； (3) 在V 中存在零元素0；对任何V ∈α，都有αα=+0； (4) 对任何V ∈α，都有α的负元素V ∈β，使0=+βα，记αβ-=；数量乘法满足下面两条规则： (5) αα=1； (6) αα)()(λμμλ=；数量乘法与加法满足下面两条规则； (7) μαλααμλ+=+)(；

向量空间的基与维数

向量空间的基与维数结论1 设，当下述三个条件有两条满足时，{}就是V的一个基. (i)零向量可由唯一地线性表示； (ii)V中每个向量都可由唯一地线性表示； (iii). 结论 2 设,都是F上向量空间V的子空间. 若，,则，且. 例 1 设和都是数域，且，则是上的向量空间. 域F是F上向量空间，基是{1}，. C是R向量空间，{ 1 , i} 是基，. R是有理数域上的无限维向量空间，这是因为对任意的正整数t，是线性无关的，这里. 令，则F是一个数域，F是Q上的向量空间. 1)1,线性无关：设，. 则(否则，,矛盾)，因此. 2) 1,,线性无关：设，，i=1,2,3 . ( 1 ) , 两端平方得 , 由于1,线性无关，故

假如，则，且，即. 矛盾. 因而故假如，则得，这与是无理数相矛盾. 因而将代入(1)，便得这说明1,,线性无关. 3) 1,,,线性无关：设，，i=1,2,3,4 . 则有 . ( 2 ) 假如不全为零，则得到“1,,线性相关”的结论，矛盾. 所以与应全为零，将代入(2)得又由1,线性无关得. 这样，我们证得了1,,,线性无关. 故{1,,,}是F的一个基.. 例2 C[a,b]={f(x)|f(x)是定义在[a,b]上的连续实函数}. C[a,b]是R上的向量空间. 对任意的正整数n，可证得线性无关：设，使( 3 ) 取n+1个实数，使 a b. 由(3)知 . 即其中

而 . 用左乘(4)两端，得这说明线性无关. 故C[a,b]是R上无限维向量空间. 引理设V是F上向量空间，是V的子空间，V，i=1,2,…,s. 试证明证对s作数学归纳. 当s=1 时，结论显然成立. 设，且对个V的不等于V的子空间结论成立. 下考虑V的子空间，，. 由归纳假设知故存在 1) 当时，，故； 2) 当时，由于，因此显然,,…,.且存在，使（否则，如果,,…,，, , ,使,，所以，即有，这与矛盾）.这样，故例3 设.存在集合, 使S含无穷多个向量，且S中任意n个不同的向量都是V 的一个基. 证取V的一个基，令. 对任意从中删去后剩下的个向量生成的V的子空间记为，则由引理知, 故存在令, 中任n个不同的向量线性无关，是V的基. 设，有，且中任意n个不同的向量构成V的一个基. 对任意，有 .

利用空间向量证明空间位置关系

利用空间向量证明立体几何中的平行与垂直问题 [考纲要求] 1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．会简单应用空间两点间的距离公式． 2．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．3．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．掌握空间向量的数量积及其坐标表示．能用向量的数量积判断向量的共线和垂直． 4．理解直线的方向向量及平面的法向量．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系． 5．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理(包括三垂线定理)．知识点一：空间向量及其运算 1．空间向量及其有关概念 (1)空间向量的有关概念 (2) 2. (1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 3．空间向量的运算及其坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

[基本能力] 1．如图，已知空间四边形ABCD ，则13AB ―→＋13BC ―→＋13CD ―→ 等于________．答案：13 AD ―→ 2．已知i ，j ，k 为标准正交基底，a ＝i ＋2j ＋3k ，则a 在i 方向上的投影为________．答案：1 3．若空间三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (p,3，q ＋2)共线，则p ＝________，q ＝________. 答案：3 2 4．已知向量a ＝(－1,0,1)，b ＝(1,2,3)，k ∈R ，若k a －b 与b 垂直，则k ＝________. 答案：7 考法一空间向量的线性运算 [例1] 已知四边形ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形的中心O .Q 是CD 的中点，求下列各题中x ，y 的值： (1)O Q ―→＝P Q ―→＋x PC ―→＋y PA ―→； (2)PA ―→＝x PO ―→＋y P Q ―→＋PD ―→. [解] (1)如图，∵O Q ―→＝P Q ―→－PO ―→＝P Q ―→－12(PA ―→＋PC ―→)＝P Q ―→－ 1 2PA ―→－12 PC ―→， ∴x ＝y ＝－1 2 . (2)∵PA ―→＋PC ―→＝2PO ―→， ∴PA ―→＝2PO ―→－PC ―→. 又∵PC ―→＋PD ―→＝2P Q ―→，∴PC ―→＝2P Q ―→－PD ―→. 从而有PA ―→＝2PO ―→－(2P Q ―→－PD ―→)＝2PO ―→－2P Q ―→＋PD ―→ . ∴x ＝2，y ＝－2. 考法二共线、共面向量定理的应用 [例2] 已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量方法求证： (1)E ，F ，G ，H 四点共面； (2)BD ∥平面EFGH . [证明] (1)如图，连接BG ，则EG ―→＝EB ―→＋BG ―→＝EB ―→＋12 (BC ―→＋BD ―→ ) ＝EB ―→＋BF ―→＋

《线性代数》常见证明题型及常用思路

《线性代数》常见证明题型及常用思路二、证明题题型1.关于1,,m ααK 线性相关性的证明中常用的结论 (1)设110m m λαλα++=L ,然后根据题设条件,通过解方程组或其她手段:如果能证明1,,m λλK 必全为零,则1,,m ααK 线性无关;如果能得到不全为零的1,,m λλK 使得等式成立,则1,,m ααK 线性相关。 (2)1,,m ααK 线性相关当且仅当其中之一可用其她向量线性表示。 (3)如果1,,n m F αα∈K ,则可通过矩阵的秩等方面的结论证明。 (4)如果我们有两个线性无关组,11,,,m W αα∈K 12,,,t W ββ∈K 且12,W W 就是同一个线性空间的两个子空间,要证11,,,,,m t ααββK K 线性无关。这种情况下,有些时候我们设 111111110, ,m m t t m m t t λαλαμβμβαλαλαβμβμβ+++++==++=++L L L L 。根据题设条件往往能得到0αβ==,进而由11,,,m W αα∈K 12,,t W ββ∈K 的线性无关得到系数全为零。题型2、关于欧氏空间常用结论 (1)内积的定义 (2)单位正交基的定义 (3)设1{,,}n B αα=K 就是单位正交基, 11(,,),(,,)B n B n u x x v y y ==K K 。则11(,)n n u v x y x y =++L 5 题型3、关于矩阵的秩的证明中常用的结论 (1)初等变换不改变矩阵的秩

(2)乘可逆矩阵不改变矩阵的秩 (3)阶梯形的秩 (4)几个公式(最好知道如何证明):常用来证明关于秩的不等式 ()()(); ()min{(),()}; ()()(); max{(),()}(,)()();()();()()()()();0()()T T T T m n r A B r A r B r AB r A r B r A r A r A A A r A r B r A B r r A r B B A r r A r B B A r A r B r r A r B r C C B A B r A r B n ?+≤+≤==??≤=≤+ ??? ??=+ ??? ??+≤≤++ ??? =?+≤ (5)利用分块矩阵的初等变化不改变矩阵的秩(常用来证明关于秩的不等式) 例:证明:()()()m n r A r B n r AB ?+≤+。证: ()()()0n n n E E n r AB r r AB A AB E B r r A r B A ????+== ? ?????-??=≤+ ??? 上面第二个等号就是用A 左乘第一个分块矩阵的第一行,然后加到第二行所得;第三个等号就是用B -又乘第二个分块矩阵的第一列,然后加到第二列所得。

线性空间与子空间

第一讲线性空间一、线性空间的定义及性质 [知识预备] ★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体集合的表示：枚举、表达式集合的运算：并（），交（）另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。 ★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数域、实数域（R）和复数域（C）。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。 1．线性空间的定义：设V是一个非空集合，其元素用x,y,z等表示；K是一个数域，其元素用k,l,m等表示。如果V满足[如下8条性质，分两类] ∈时，有唯一的和（I）在V中定义一个“加法”运算，即当x,y V +∈（封闭性），且加法运算满足下列性质 x y V （1）结合律()() ++=++； x y z x y z （2）交换律x y y x +=+；（3）零元律存在零元素o，使x+o x =；

（4）负元律对于任一元素x V ∈，存在一元素y V ∈，使x y +=o ，且称y 为x 的负元素，记为（x -）。则有()x x +-= o 。（II ）在V 中定义一个“数乘”运算，即当x V ∈，k K ∈时，有唯一的kx V ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质（5）数因子分配律 ()k x y kx ky +=+；（6）分配律 ()k l x kx lx +=+；（7）结合律 ()()k lx kl x =；（8）恒等律 1x x =； [数域中一定有1] 则称V 为数域K 上的线性空间。注意：1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合，如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同。（2）两种运算、八条性质数域K 中的运算是具体的四则运算，而V 中所定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象。（3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭性。唯一性一般较显然，封闭性还需要证明，出现不封闭的情况：集合小、运算本身就不满足。当数域K 为实数域时，V 就称为实线性空间；K 为复数域，V 就称为复线性空间。例1．设R +＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为 x y=xy , k k x x =o

有限维线性空间的分解

毕业论文题目有限维线性空间的分解学院数学与统计学院姓名周吉强专业班级数学与应用数学学号 20101010646 指导教师邵海琴教授提交日期 2014-5-28 原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。本声明的法律责任由本人承担。论文作者签名：年月日

论文指导教师签名：年月日目录 1引言与预备知识 1 2有限维线性空间的分解 2 2.1按子空间的直和分解 2 2.2按生成子空间分解 3 2.3按特征子空间分解，即按可对角化的线性变换分解 4 2.4按根子空间分解，即准素分解 6 2.5按循环子空间分解 7 2.6按线性变换的标准形分解 9 参考文献................. ... ... ... ............. . (12) 有限维线性空间的分解周吉强

（天水师范学院，数学与统计学院,甘肃，天水，741000）摘要总结了有限维线性空间按子空间、生成子空间、特征子空间、根子空间、循环子空间以及线性变换的Jordan标准形等分解方法，并通过具体的例子加以说明. 关键词线性空间;直和分解；子空间；生成子空间；根子空间；循环子空间；线性变换 Decomposition of finite-dimensional linear space Jiqiang Zhou (School of Mathematics and Statistics, Tianshui Normal University, Tianshui 741000) Abstract In this paper, we summary decomposition methods of finite dimensional Linear space by subspace, generating subspace, proper subspace, and root space, - cyclic subspace and standard from of transformation, we explain for the six decomposition methods by concrete examples. Keywords Linear space, straight and decomposition, subspace, generating subspace, root space, cyclic subspace, linear transformation 有限维线性空间的分解

高考数学命题角度4_3空间位置关系证明与二面角求解大题狂练理

命题角度4.3：空间位置关系证明与二面角求解 1.如图所示，已知三棱柱111ABC A B C -中， 1111AC B C =， 111A A A B =， 1160AA B ∠=?．（1）求证： 1AB B C ⊥；（2）若1112A B B C ==， 112B C =，求二面角11C AB B --的余弦值．【答案】(1)见解析；（2） 21 7 . 【解析】试题分析: （1）证明线面垂直，一般利用线面垂直判定定理，即从线线垂直出发给予证明，而线线垂直的寻找与论证往往需要结合平几知识，如利用等腰三角形性质得底边上中线垂直底面得线线垂直，（2）一般利用空间向量数量积求二面角大小，先根据条件确定恰当空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角余弦值，最后根据法向量夹角与二面角关系确定二面角的余弦值. （2）∵1ABB ?为等边三角形， 2AB =，∴13OB =，

∵在ABC ?中， 2AB =， 2BC AC ==， O 为AB 中点， ∴1OC = ， ∵12B C =， 13OB =，∴222 11OB OC B C +=， ∴1OB OC ⊥，又1OB AB ⊥， ∴1OB ⊥平面ABC ．以O 为原点， OB ， OC ， 1OB 方向为x ， y ， z 轴的正向，建立如图所示的坐标系， ()1,0,0A -， () 10,0,3B ， ()1,0,0B ， ()0,1,0C ，则() 1111,1,3OC OC CC OC BB =+=+=-，则()11,1,3 C -， ()1 1,0,3AB =， () 10,1,3AC =，则平面1BAB 的一个法向量()0,1,0m =，设(),,n x y z =为平面11AB C 的法向量，则1130, {30, n AB x z n AC y z ?=+=?=+=令1z =-，∴3x y ==， ∴( ) 3,3,1n = -， ∴21 cos ,7m n m n m n ?= =?．点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.

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