直觉模糊数-一种新的决策工具 (2013.10.17) 3
直觉模糊多属性决策方法综述
直觉模糊多属性决策方法综述一、本文概述随着信息时代的到来，决策问题变得越来越复杂，多属性决策问题在各个领域中都得到了广泛的研究和应用。
在多属性决策中，决策者常常面临属性值模糊、不完全或不确定的情况，这使得决策过程更加困难。
为了解决这些问题，直觉模糊多属性决策方法应运而生，它结合了直觉模糊集理论和多属性决策方法，为处理模糊信息提供了一种有效的工具。
本文旨在综述直觉模糊多属性决策方法的研究现状和发展趋势，分析不同方法的优缺点，为决策者提供更为全面和深入的理论支持和实践指导。
本文将对直觉模糊多属性决策方法进行概述，介绍直觉模糊集的基本概念和性质，以及其在多属性决策中的应用。
然后，将重点综述现有的直觉模糊多属性决策方法，包括基于直觉模糊集的权重确定方法、属性约简方法、决策规则等。
通过对这些方法的分析和比较，揭示各种方法的特点和适用范围。
本文将探讨直觉模糊多属性决策方法在实际应用中的挑战和解决方案。
针对决策过程中可能出现的模糊信息、不确定性等问题，提出相应的处理策略和方法，以提高决策的准确性和有效性。
本文将展望直觉模糊多属性决策方法的发展前景和趋势。
随着、大数据等技术的快速发展，直觉模糊多属性决策方法将在更广泛的领域得到应用，同时也将面临新的挑战和机遇。
因此，本文将分析未来的研究方向和发展趋势，为相关领域的研究和实践提供参考和借鉴。
本文将对直觉模糊多属性决策方法进行全面的综述和分析，旨在为决策者提供更为科学、有效的决策方法和工具，推动多属性决策理论和方法的发展和应用。
二、直觉模糊集理论直觉模糊集（Intuitionistic Fuzzy Sets, IFSs）是Zadeh模糊集理论的一种扩展，由Atanassov在1986年提出。
直觉模糊集不仅考虑了元素对模糊集合的隶属度，还考虑了元素对模糊集合的非隶属度和犹豫度，从而提供了更丰富的信息描述方式。
在直觉模糊集中，每个元素x在一个直觉模糊集A中的隶属度用μ_A(x)表示，非隶属度用ν_A(x)表示，而犹豫度π_A(x)则为1 - μ_A(x) - ν_A(x)。
模糊数直觉模糊数的多属性决策记分排序法
模糊数直觉模糊数的多属性决策记分排序法摘要：对于属性值为模糊数直觉模糊数的多属性决策问题，提出了一种新的记分函数排序方法，该方法不仅考虑了支持部分对决策的影响，而且也考虑了反对部分对决策影响。
最后，给出实例分析，数值结果表明，该方法是可行的、有效的。
关键词：多属性决策；模糊数直觉模糊数；记分函数1引言多属性决策问题在经济、管理等领域有着广泛的应用，近年来倍受许多学者的关注。
随着决策问题的不断深入，人们对属性不确定的多属性决策问题的研究进一步加深，自从1986年，保加利亚学者Atanassov[1]提出直觉模糊集的概念后，许多学者把直觉模糊集的理论与方法应用到多属性决策问题中取得不少成果[2,3]，但在直觉模糊集中很难用精确的实数值来表达隶属度和非隶属度两个数值，为此人们开始对直觉模糊集进行推广研究。
Atanassov和Gargov[4]于1989年提出了区间直觉模糊集的概念，关于属性值为区间直觉模糊数的多属性决策问题也取得许多成果[5,6] ，区间直觉模糊数不具有倾向性，为了能够突出取值的机会在中心点最大，刘峰、袁学海[7]在2007提出了模糊数直觉模糊集概念，关于属性值为模糊数直觉模糊的多属性决策问题取得一些成果[8，9，10，11]。
对于多属性决策问题，排序是关键问题之一，许多学者提出了不少方法，其中基于记分函数的排序方法是行之有效方法之一，针对模糊数直觉模糊的多属性决策问题，汪新凡在文[8]中建立了记分函数及排序方法。
刘於勋[9,10]给出了精确的记分函数及排序方法。
本文将Ye[12]的方法推广到模糊数直觉模糊数，定义模糊数直觉模糊数的记分函数，并给出属性值为模糊数直觉模糊数多属性决策方法排序方法，最后把排序方法应用到实际问题中，结果表明方法是可行的、有效的。
2 记分函数定义1[7] 设是一个非空集合，则称为模糊数直觉模糊集，其中，为[0,1]上的三角模糊数，且满足条件.类似区间直觉模糊数的定义，把称为模糊数直觉模糊数，简记为。
梯形直觉模糊数排序方法及在多属性决策中应用
梯形直觉模糊数排序方法及在多属性决策中应用南江霞【摘要】基于梯形直觉模糊数的值和模糊度两个特征，一类梯形直觉模糊数的排序方法被研究。
首先，给出了梯形直觉模糊数的定义、运算法则和截集。
其次，定义了梯形直觉模糊数关于隶属度和非隶属度的值和模糊度，以及值的指标和模糊度的指标。
最后，给出了梯形直觉模糊数的排序方法，并将其应用到属性值为梯形直觉模糊数的多属性决策问题中。
%The ranking of trapezoidal intuitionistic fuzzy numbers (TIFNs)was solved by the value and ambiguity based ranking method developed in this paper.Firstly,the concept of TIFNs was introduced,and arithmetic operations and cut sets over TIFNs were investigated.Then,the values and ambiguities of the membership degree and the non-membership degree for TIFNs were defined as well as the value-index and ambiguity-index.Finally,a value and ambiguity based ranking method was developed and applied to solve multiattribute decision making problems in which the ratings of alternatives on attributes were expressed using TIFNs.A numerical example was examined to demonstrate the implementation process and applicability of the method proposed.【期刊名称】《经济数学》【年(卷),期】2014(000)003【总页数】5页(P87-91)【关键词】梯形直觉模糊数;梯形直觉模糊数的排序;多属性决策【作者】南江霞【作者单位】桂林电子科技大学数学与计算科学学院，广西桂林 541004【正文语种】中文【中图分类】C934Atanassov［1，2］提出的直觉模糊集（intuitionistic fuzzy）是模糊集的扩展，引起许多学者的关注，取得了大量研究成果．直觉模糊集已经被成功应用到一些领域，如：多属性决策［3，4］、医疗诊断［5］、模式识别［6］等领域．直觉模糊数是一类特殊的直觉模糊集，更容易表示一些实际问题中的不确定的量．直觉模糊数受到了一些研究者的关注，已经定义了几种类形的直觉模糊数及其相应的排序方法．Mitchell［7］将直觉模糊数定义为模糊数的全体，介绍了一个直觉模糊数的排序方法．Nayagam et al［8］定义了一类直觉模糊数，将Chen与Hwang ［9］提出的模糊数的得分（scoring）推广到直觉模糊数，给出了直觉模糊数的排序方法．Grzegoraewski［10］定义了一类直觉模糊数及其期望区间，并给出了一种直觉模糊数的排序方法．Shu等［11］通过增加一个非隶属度，定义了一类三角直觉模糊数，但没有给出其排序方法．Nan［12］等研究了文献［11］的三角直觉模糊数的均值排序方法，并将该方法应用于直觉模糊矩阵对策问题．Li ［13］进一步研究了三角直觉模糊数的比率排序方法，并将该方法应用于多属性决策问题．Zhang［14］等研究了三角直觉模糊数的折中率排序方法，并将该方法应用于多属性决策问题．梯形直觉模糊数是三角模糊数的推广，王坚强等［15］将文献［11］中的三角直觉模糊数的定义推广到梯形直觉模糊数，并根据梯形直觉模糊数的期望值区间对此类梯形直觉模糊数进行排序．万树平［16］等研究方案属性值为梯形直觉模糊数的多属性群决策问题，给出了一种基于可能性均值－方差的梯形直觉模糊数的排序方法．目前研究梯形直觉模糊数排序的文献比较匮乏．因此，本文研究一类梯形直觉模糊数的排序方法，将该方法应用到多属性决策问题中．本文提出的方法根据梯形直觉模糊数的值和模糊度（ambiguity）的指标，将梯形直觉模糊数的排序转化为实数的比较，方法原理简单、计算量小、易于实现．2．1 梯形直觉模糊数的定义与运算法则梯形直觉模糊数是特殊的直觉模糊数，又是三角直觉模糊数和梯形模糊数的推广，其表述简单，在模糊决策问题中便于表示不确定的量．首先给出梯形直觉模糊数的定义为：定义1 设＝〈（a，b，c，d）；w，u〉是实数集上一个梯形直觉模糊数，其隶属度和非隶属度分别为梯形直觉模糊数＝＜（a，b，c，d）；w，u＞用介于a和d之间的任意实数表示不确定量，且在区间（a，d）内任意的实数x具有不同的隶属度、非隶属度和犹豫度，分别为（x）、（x）和1－（x）－（x）．定义1中的两个参数与分别表示的自信程度和非自信程度．因此，与梯形模糊数相比，梯形直觉模糊数能更全面地表示不确定量模糊性的本质．类似文献［17，18］中梯形模糊数的运算法则，下面定义梯形直觉模糊数的加法和数乘运算法则．定义2 设为两个梯形直觉模糊数，λ是实数．梯形直觉模糊数的运算法则定义为：2．2 梯形直觉模糊数的截集推广文献［13］中三角直觉模糊数截集的定义，给出梯形直觉模糊数截集的定义．定义3 设为梯形直觉模糊数，且，称集合为梯形直觉模糊数的α截集．根据式（1）和定义3，是一个闭区间，记为，计算可得定义4 设为梯形直觉模糊数，且，称集合为梯形直觉模糊数的β截集．根据式（2）和定义是一个闭区间，记为＝［Lβ），Rβ）］，计算可得3．1 梯形直觉模糊数的值与模糊度拓展文献［13］中三角直觉模糊数的值和模糊度的定义，定义梯形直觉模糊数的值和模糊度．定义5 设与分别为梯形直觉模糊数＝＜（a，b，c，d），＞的α截集和β截集．梯形直觉模糊数关于隶属函数（x）和非隶属函数（x）的值分别定义为和其中，是一个非负单调不减函数，且满足是一个单调不增函数，且满足g（1）＝0，函数f（α）和g（β）可看作是权重函数．f（α）对不同的α截集赋予了不同的权重．事实上，由于越小的α截集含有越多的不确定性，因此f（α）降低了较小的α截集的重要性．显然，Vμ（）综合反映了隶属函数的信息，Vμ（）可以看成是由隶属函数所表示的梯形直觉模糊数的中心值．类似地，g（β）对不同的β截集赋予了不同的权重．由于越大的β截集含有越多的不确定性，g（β）减少了较大的β截集的作用．Vυ（）综合反映了非隶属函数的信息，Vυ（）可以看成是由非隶属函数所表示的梯形直觉模糊数的中心值．选择f（α）和g（β）分别为：由式（6）和（8）及式（9）～（12）可得梯形直觉模糊数关于隶属函数μ（x）和非隶属函数υ（x）的值的计算公式为和定义6 设α与β分别为梯形直觉模糊数＝〈（a，b，c，d）；w，u〉的α截集和β截集．梯形直觉模糊数关于隶属函数μ（x）和非隶属函数υ（x）的模糊度分别定义为易知是与的区间长度．因此，与是梯形直觉模糊数关于隶属函数和非隶属函数的跨度．显然，与表示梯形直觉模糊和数的模糊程度．根据式（6）和（8）、式（11）～（12）、式（15）～（16），可得梯形直觉模糊数关于隶属函数（x）和非隶属函数（x）的模糊度的计算公式为和3．2 基于梯形直觉模糊数的值和模糊度的排序方法根据上述定义的梯形直觉模糊数的值和模糊度，下面给出梯形直觉模糊数的排序方法．首先，定义梯形直觉模糊数的值的指标和模糊度的指标．定义7 设是梯形直觉模糊数，值的指标和模糊度的指标分别定义为和其中，λ∈［0，1］是权重函数，表示了决策者的信息偏好．λ∈［1／2，1］表明决策者喜欢肯定的、正面信息；λ∈［0，1／2］表明决策者喜欢否定的、负面信息．因此，值的指标和模糊度的指标反映了决策者对梯形直觉模糊数的主观态度．设是两个梯形直觉模糊数，基于梯形直觉模糊数值的指标和模糊度的指标，给出下面字典序的排序方法：Wang［19］等提出了评价模糊数排序方法合理性的公理．下面证明梯形直觉模糊数值的指标Vλ（）满足文献［19］提出的公理A1～A6．容易证明Vλ（）满足公理A1～A3及公理A5．因此，只证明Vλ（）满足公理A4和公理A6．定理1 设与为两个梯形直觉模糊数，且．若证明由式（9）得定理2 设1＝〈（a1，b1，c1，d1）；w1，u1〉，2＝〈（a2，b2，c2，d2）；w2，u2〉，3＝〈（a3，b3，c3，d3）；w3，u3〉为梯形直觉模糊数，且w1＝w2＝w3，u1＝u2＝u3．若1＞2，则1＋3＞2＋3．证明由式（9）和w1＝w2＝w3可得类似可得：类似地，由式（11）和u1＝u2＝u3可得类似可得：由式（21）～（24）可得由式（27）－（30）可得证毕．本小节将上述提出的梯形直觉模糊数的排序方法，用于解决属性值为梯形直觉模糊数的多属性决策问题中（以下简称为直觉模糊多属性决策）．设有m个方案Ai组成方案集A＝｛A1，A2，…，Am｝，每个方案由n个属性Xj进行评价，记属性集为X＝｛X1，X2，…，Xn｝．假设方案Ai∈A（i＝1，2，…，m）关于属性Xj∈X（j＝1，2，…，n）的评价值表示为梯形直觉模糊数＝〈（aij，bij，cij，dij），〉．上述直觉模糊多属性决策问题可用矩阵表示为）m×n．由于每个属性的重要性不同，因此对每个属性赋予不同的权重．假设属性Xj的权重为ωj（j＝1，2，…，n），满足ωj∈［0，1］．所有属性的权重可用向量形式表示为ω＝（ω1，ω2，…，ωn）T．用加权方法求解上述直觉模糊多属性决策问题的步骤为：（a）规范梯形直觉模糊决策矩阵．为了消除不同物理量纲对决策结果的影响，利用下面公式将梯形直觉模糊决策矩阵规范化．其中，B和C分别表示效益形属性和成本形属性，（b）计算加权梯形直觉模糊决策矩阵．根据定义2中的式（4），可得加权直觉模糊决策矩阵，其中（c）计算加权梯形直觉模糊综合值．根据定义2中的式（3），每个方案Ai（i＝1，2，…，m）的加权综合值计算为．显然，（i＝1，2，…，m）是梯形直觉模糊数．（d）对方案进行优劣排序．根据第三部分介绍的梯形直觉模糊数排序方法对方案Ai（i＝1，2，…，m）进行排序．本文讨论了梯形直觉模糊数的两个特征：值与模糊度，定义了梯形直觉模糊数的值的指标和模糊度的指标．基于这两个指标给出了梯形直觉模糊数的排序方法．并且将提出的排序方法用于解决属性值为梯形直觉模糊数的多属性决策问题，说明提出的排序方法容易实施且有直观的解释．由于梯形直觉模糊数是梯形模糊数的推广，其他已有的梯形模糊数的排序方法也可以拓展到梯形直觉模糊数的排序中，今后将研究更有效的梯形直觉模糊数的排序方法．【相关文献】［1］K T ATANASSOV．Intuitionistic fuzzy sets［J］．Fuzzy Sets and Systems，1986，20（1）：87－96．［2］K T ATANASSOV，Intuitionistic fuzzy sets：theory and Applications ［M］．Heidelberg：Physica－Verlag HD，1999．［3］D F LI，Y C WANG，S LIU．Fractional programming methodology for multi－attribute group decision－making using IFS［J］．Applied Soft Computing，2009，9（1）：219－225．［4］D F LI．Extension of the LINMAP for multiattribute decision making under atanassov intuitionistic fuzzy environment［J］．Fuzzy Optimization and Decision Making，2008，7（1）：17－34．［5］S K DE，R BISWAS，A R ROY．An application of intuitionistic fuzzy sets in medical diagnosis［J］．Fuzzy Sets and Systems，2001，117（6）：209－213．［6］D F LI，C T CHENG．New similarity measures of intuitionistic fuzzy sets and application to pattern recognitions［J］．Pattern Recognition Letters，2002，23（4）：221－225．［7］H B MITCHELL．Ranking intuitionistic fuzzy numbers［J］．International Journal of Uncertainty Fuzziness and Knowledge Based Systems，2004，12（3）：377－386．［8］V G NAYAGAM，G VENKATESHWARI，G SIVARAMAN．Ranking of intuitionistic fuzzy numbers［C］／／IEEE International Conference on Fuzzy Systems，Hong Kong，2008：1973－1976．［9］S J CHEN，C L HWANG．Fuzzy multiple attribute decision making［M］．New York：Spring Verlag，Berlin Heildelberg，1992．［10］P GRZEGRORZEWSKI．The hamming distance between intuitionistic fuzzy sets［C］／／The Proceeding of the IFSA 2003 World Congress，ISTANBUL，2003．［11］M H SHU，C H CHENG，J R CHANG．Using intuitionistic fuzzy sets for fault－tree analysis on printed circuit board assembly［J］．Microelectronics Reliability，2006，46（2）：2139–2148．［12］J X NAN，D F LI，M J ZHANG．A lexicographic method for matrix games with payoffs of triangular intuitionistic fuzzy numbers［J］．International Journal of Computational Intelligence Systems，2010，3（3）：280－289．［13］D F LI．A ratio ranking method of triangular intuitionistic fuzzy numbers and its application to MADM problems［J］．Computers and Mathematics with Applications．2010，60（6）：1557－1570．［14］M J ZHANG，J X NAN．A compromise ratio ranking method of triangular intuitionistic fuzzy numbers and its application to MADM problems［J］．Iranian Journal of Fuzzy Systems，2013，10（6），21－37．［15］王坚强，张忠．基于直觉模糊数的信息不完全的多准则规划方法［J］．控制与决策，2009，24（2）：226－230．［16］万树平，董九英．多属性群决策的直觉梯形模糊数法［J］．控制与决策，2010，25（5）：773－776．［17］D DUBOIS，H PRADE．Fuzzy Sets and Systems：Theory and Applications ［M］．Mathematics in Science and Engineering 144 Academic Press，New York，1980．［18］赵雪婷，杨辰陆，秋君．基于具有LR型模糊输出回归模型的上证指数预测［J］．经济数学，2013，30（4）：106－110．［19］X WANG，E E KERRE．Reasonable properties for the ordering of fuzzy quantities（I）［J］．Fuzzy Sets and Systems，2001，118（4）：375－385．。
基于二元联系数的三角模糊数直觉模糊集多属性决策
基于二元联系数的三角模糊数直觉模糊集多属性决策杨红梅【摘要】针对用三角模糊数表示的直觉模糊集多属性决策算法复杂又难以开展不确定性分析的问题,应用集对分析中的联系数给出一种新算法.该算法的基本原理是把三角模糊数转换成“均值”加“偏差”形式的二元联系数,再利用二元联系数的除法算得直觉模糊集的商,利用这种商进行多属性决策建模,计算简单又便于作不确定性分析.实例应用表明,该算法可行,结果可信,其他用直觉模糊集表示的决策问题也可借鉴应用文中的方法.【期刊名称】《山西师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(029)002【总页数】7页(P13-19)【关键词】三角模糊数直觉模糊集;多属性决策;二元联系数;集对分析;不确定性分析【作者】杨红梅【作者单位】山西广播电视大学网络教育学院,山西太原030027【正文语种】中文【中图分类】O159上世纪80年代，保加利亚数学家Atanassov 针对美国数学家Zadeh教授开创的模糊集理论在刻画模糊关系上的不足，于1986年提出了直觉模糊集的概念[1]，其特点是同时描述隶属度和非隶属度两方面的信息，从而使得直觉模糊集比Zadeh给出的模糊集有更强的信息表达能力，因而受到不少学者的青睐和进一步研究.Atanassov又于1994年提出区间直觉模糊集的概念，同时用区间数表示直觉模糊集中的隶属度和非隶属度[2].2007年，国内学者刘峰和袁学海又把三角模糊数引入直觉模糊集，用三角模糊数表示直觉模糊集中的隶属度和非隶属度，但相应的算法随之趋于复杂[3]，如何能让三角模糊数表示的直觉模糊集在不丢失信息的情况下得到简化，以便于实际决策工作者的应用，这是摆在数学工作者面前的一个问题[4].由中国学者赵克勤提出的集对分析(Set Pair Analysis，SPA)，基于客观世界确定性与不确定性对立统一的观点，构造出一种新的系统数学理论和一种新的数学工具——联系数[5～7]，借助联系数统一描述和处理随机、模糊、中介、不确知等不确定性问题，至今已在科学技术与社会经济等多个领域得到广泛应用[8～10].特别是近年来，一些学者应用联系数处理区间数、三角模糊数、梯形模糊数表示的模糊多属性决策问题，不仅算法简明，易于操作，还能方便地开展不确定性分析，从而使得模糊多属性决策结论更为客观、合理、可信[11～13].基于以上工作，本文首次把联系数的除法运算引入到用三角模糊数表示的直觉模糊集多属性决策研究.实例应用表明，不仅所得的最优方案,次优和再次优方案不仅与其他文献所得结果相同，而且原理清晰，算法简明，便于展开不确定性分析.1 二元联系数1.1 二元联系数定义联系数(Connection number，CN)是赵克勤在集对分析中给出的一种数学工具.二元联系数(Two element connection number，TECN)是一种最基本的联系数，其一般形式为U=A+Bi(1)式(1)中的A、B∈R+，i∈[-1,1].令N=A+B，μ=U/N，a=A/N，b=B/N，则由(1)式得μ=a+bi(2)显然式(2)中，a+b=1，i∈[-1,1].(1)和(2)式称为二元联系数，也简称联系数，其中的A(a)和B(b)称为联系数的联系分量，A(a)为确定性测度的联系分量，B(b)是不确定性测度的联系分量，i是一个在[-1,1]区间视不同情况取值的量，由于当A(a)和B(b)都确定时，i仍不确定，所以也称为B的不确定系数，Bi也因此是一个不确定量.若称U(μ)为联系数时，其实是指(1)和(2)式右边的式子.1.2 二元联系数的运算1.2.1 加法运算定义1 设μ1=a1+b1i，μ2=a2+b2i是两个二元联系数，则有μ=μ1+μ2=a+bi(3)其中，a=a1+a2，b=b1+b2，i∈[-1,1].显然，两个联系数的加法满足交换律，也就是μ1+μ2=μ2+μ1(4)推论若有n(n≥2)个二元联系数相加时，有以下加法公式(5)1.2.2 实数k与二元联系数的相乘定义2 令k为一实数，当k与二元联系数μ=a+bi相乘时，有以下乘法公式kμ=ka+kbi(6)1.2.3 两个二元联系数相乘设μ1=a1+b1i，μ2=a2+b2i是两个二元联系数，则有以下乘法公式μ1μ2=(a1+b1i)(a2+b2i)=a1a2+(a1b2+a2b1)i+b1b2i2(7)根据集对分析理论[7]在不计及不确定性层次的前提下，两个二元联系数乘积中不同幂次i的可作为一次幂对待，也就是有i=i2=i3=…=in n≥1(8)这一简化公式.据此可以把(7)式简化为μ1μ2=a1a2+(a1b2+a2b1+b1b2)i(9)若令a1a2=a, a1b2+a2b1+b1b2=b,则(9)式进一步简化成μ1μ2=a+bi(10)由此得两个二元联系数相乘的乘法定理如下：定理1 设μ1=a1+b1i，μ2=a2+b2i是两个二元联系数，则它们的乘积是一个二元联系数μ=a+bi，其中μ=μ1μ2，a=a1a2，b=a1b2+a2b1+b1b2.定理的证明见前说明.定理1表明两个二元联系数相乘，其乘积仍是一个二元联系数.由定理1显然可以推广到有3个或3个以上二元联系数相乘的情形.因本文仅应用到两个二元联系数相乘，故略.1.2.4二元联系数的除法运算利用两个二元联系数的上述乘法定理，容易导出以下的除法定理.定理2 若已知二元联系数μ=a+bi是两个二元联系数的积，又已知其中的一个二元联系数μ1=a1+b1i，要求另一个二元联系数μ2=a2+b2i，则有(11)其中利用定理1即可证明定理2成立，证明略.2 三角模糊数直觉模糊集向二元联系数的转换2.1 用三角模糊数表示的直觉模糊集定义3 设X是一个非空集合，则称A={〈x,μA(x),vA(x)〉|x∈X}为直觉模糊集，其中μA(x)和vA(x)分别是X中元素x属于X的隶属度μA：X[0,1]和非隶属度vA：X[0,1]且0≤μA(x)+vA(x)≤1，∀x∈X,对于X上的每一个直觉模糊集，称πA(x)=1-μA(x)-vA(x)为直觉模糊集的犹豫度.由于客观事物的复杂性和模糊性，直觉模糊集中的隶属度和非隶属度有时难以用一个精确的实数表示，为此，文献[14]引进了用三角模糊数表示隶属度和非隶属度的所谓三角模糊数直觉模糊集，其中的三角模糊数是用以下定义4刻画的模糊数. 定义4 记α=〈(a,b,c)〉∈F(D)，D=[0,1]，则称α为D上的一个三角模糊数，其隶属度μα(x)，R∈[0,1]表示为(12)由此得到三角模糊数表示的直觉模糊集定义.定义5 设论域U是一个非空有限集合，称G={(μ<tc(u),fc(u)>1)|u∈U}[17]为三角模糊数直觉模糊集.其中的和均为D上的三角模糊数，分别表示元素u属于U的隶属度和非隶属度，且满足并且称二元组〈tc(u),fc(u)〉为三角模糊数直觉模糊数，简记为α=〈(e,g,h),(l,p,q)〉，其中的(e,g,h)∈F(D)，(l,p,q)∈F(D)，且h+q≤1. 2.2 化三角模糊数直觉模糊数为二元联系数第1步化三角模糊数为二元联系数为不失一般性，用表示一个三角模糊数，并记为=(P,Q,K)，若记P,Q,K的平均值为，得(13)在此基础上，用)表示与P和K的最大偏差，则有-P)}(14)则得到由三角模糊数化成的二元联系数为)]i(15)(15)式称为三角模糊数转换为二元联系数的转换公式.据此公式可把定义5中的直觉模糊数G改写成用二元联系数表示的直觉模糊算子(16)第2步计算G′中表示隶属度的二元联系数与表示非隶属度的二元联系数的商得(17)称(17)式为三角模糊数直觉模糊数向二元联系数转换的转换公式，式中的i∈[-1,1]，(17)式中下标SPA表示这一转换公式是基于集对分析定义的.3 决策原理与方法3.1 问题描述对于属性值用三角模糊数表示的隶属度与非隶属度的模糊数直觉模糊集刻画的多属性决策问题.用X=(x1,x2,…,xm)表示待优劣排序的方案集.U=(u1,u2,…,un)为用三角模糊数直觉模糊数表示的属性集，其中的各属性值用三角模糊数直觉模糊数αtj=〈(etj,gtj,htj),(ltj,ptj,qtj)〉表示属性数量.向量W=(w1,w2,…,wn)设为已知，t=1,2,…,m，j=1,2,…,n，∑wi=1，且假定各属性都是越大越好的效益型属性，试在m个待评方案中求得最优方案，并作出个方案的优劣排序.3.2 决策步骤第1步利用式(17)将决策矩阵中各属性值的三角模糊数直觉模糊数化为形如μtj=atj+btji的二元联系数.第2步建立综合决策模型M(st)=wj(aij+btji)=(wjatj+iwjbtj)=wjatj+iwjbtj(18)第3步先依据的大小作出初排序.M′(st)大的优先于M′(st)小的，再计算i=-1,-0.5,0,0.5,1时对M′(st)的影响对初排序的干扰.综合不同情况下的排序变化作出终排序.第4步若同一问题有其他方法所作的决策结果时，则把第3步所得结论与其他方法所得结果作同异反对比研究，作出决策结论.4 实例应用为方便比较，这里采用[15]中的一个实例说明本文方法的应用.某单位在干部考核选拔时，制定了6项考核指标(属性)：思想品德(u1)、工作态度(u2)、工作作风(u3)、文化水平和知识结构(u4)、领导能力(u5)、开拓能力(u6)，各指标(属性)权重为W=(0.135 1,0.048 4,0.145 5,0.558 6,0.030 9,0.081 5).现有6位候选人由群众就以上6项指标进行评议，并作统计处理，其结果用三角模糊数表示的直觉模糊数，如表1所示.试决定最优候选人，并作出优劣排序.首先决策步骤如下，应用式(13),式(14)和式(15)把表1中的各三角模糊数化为二元联系数，得表2.第2步应用式(17)计算表2中各隶属度与非隶属度的商，得到表3.第3步根据表3以及各属性权重，利用式(18)算得各候选人的加权综合项系数如下：M(x1)=1.758 8+0.088 5i，M(x2)=4.585 6-0.692 4i，M(x3)=2.882 5-0.450 7i，M(x4)=2.848 5+0.683 2i，M(x5)=2.188 2+0.147 2i，M(x6)=2.405 8+0.076 3i.第4步不确定性分析.令M(xt)中的i在[-1,1]区间取i=-1,0.5,0,0.5,1，考察M(xt)的大小变化及大小排序，见表4.由表4可知，当M(xt)中的各个i同步取-1,-0.5,0,0.5,1时，都有M(x2)最大，M(x1)最小，也就是候选人x2为最优候选人，x1为最差候选人，这一结果与文献[15]中得到的结果相同.但文献[15]给出的6个候选人的优劣排序x2>x3>x4>x5>x6>x1仅是表4中的一种排序而已，其具体数值如下：M(x1)|i=-1=1.670 3⑥,M(x2)|i=-1=5.278①,M(x3)|i=-1=3.3332②,M(x4)|i=0=2.848 5③,M(x5)|i=1=2.335 4④,M(x6)|i=-1=2.329 5⑤.但此排序仅是表4给出的30种优劣排序中的一种；事实上，当i取-1,-0.5,0,0.5,1以外的值时，还能得到其他排序，从数学上看，这样的排序种数可以无穷多；但i 取-1,1是不确定性的两个边界值，因此从已有的排序结果中得出为最优的结论是可信的.表1 候选人在各指标下决策值Tab.1 Decision-making values of candidates under various indicatorsu1u2u3u4u5u6x1〈(04，05，06)，(03，035，04)〉〈(07，08，09)，(01，01，01)〉〈(04，05，06)，(03，035，04)〉〈(03，035，04)，(05，055，06)〉〈(07，085，09)，(01，01，01)〉〈(07，075，08)，(015，015，02)〉x2〈(03，04，05)，(03，04，045)〉〈(05，06，07)，(01，02，03)〉〈(07，08，09)，(005，01，01)〉〈(06，07，08)，(01，015，02)〉〈(06，07，08)，(01，02，02)〉〈(04，05，06)，(03，04，045)〉x3〈(035，045，05)，025，035，04)〉〈(05，065，07)，(02，025，03)〉〈(07，075，08)，(01，015，02)〉〈(05，06，06)，(02，025，03)〉〈(06，075，08)，(02，02，03)〉〈(05，06，07)，(0，01，02)〉x4〈(04，05，05)，(04，045，05)〉〈(06，07，08)，(02，02，02)〉〈(06，07，075)，(02，025，025)〉〈(04，05，155)，(02，03，04)〉〈(07，08，09)，(01，01，01)〉〈(06，07，08)，(015，015，02)〉x5〈(045，055，06)，(035，04，04)〉〈(07，075，08)，(01，01，02)〉〈(05，06，07)，(02，025，03)〉〈(03，04，05)，(04，045，05)〉〈(07，08，09)，(01，01，01)〉〈(06，08，09)，(01，01，01)〉x6〈(06，07，08)，(01，015，02)〉〈(08，085，09)，(01，01，01)〉〈(04，045，05)，(035，045，05)〉〈(02，03，04)，(05，06，06)〉〈(08，085，09)，(01，01，01)〉〈(07，08，09)，(01，01，01)〉表2 6位候选人各属性值的二元联系数Tab.2 The two-element connection number of 6 candidates’ attributevalueu1u2u3u4u5u6x1(05+01i)(035+005i)(08+01i)(01+0i)(05+01i)(035+005i)(035+005i)(055+005i)(082+012i)(01+00i)(075+005i)(017+003i)x2(04+01i )(038+008i)(06+01i)(02+01i)(08+01i)(008+003i)(07+01i)(015+005i)(07+01i )(017+007i)(05+01i)(038+008i)x3(043+008i)(033+008i)(062+012i)(025+005i)(075+005i)(015+005i)(057+007i)(025+005i)(072+012i)(023+007i)(06+01 i)(01+01i)x4(047+007i)(045+005i)(07+01i)(02+0i)(068+008i)(023+003i)(082+073i)(03+01i)(08+01i)(01+0i)(07+01i)(017+003i)x5(053+008i)(038+003i) (075+005i)(013+007i)(06+01i)(025+005i)(04+01i)(045+005i)(08+01i)(01+0i )(077+017i)(01+0i)x6(07+01i)(015+005i)(085+005i)(01+0i)(045+005i)(043+ 008i)(03+01i)(057+007i)(085+005i)(01+0i)(08+01i)(01+0i)表3 6位候选人各属性值三角模糊数直觉模糊数的商二元联系数Tab.3 The factor of two-element connection number of triangular fuzzy number intuitionistic fuzzy number for 6 candidates’ attributevalueu1u2u3u4u5u6x1143+007i8+1i143+007i064+003i82+12i441+(-041)ix2105+003i3+(-067)i10+(-182)i467+(-067)i412+(-078)i132+(-001)ix313+(-006)i248+0013i5+(-1)i228+(-015)i313+(-033)i6+(-25)ix4104+004i35+05i296+(-003)i273+114i8+1i412+(-012)ix5139+009i577+(-177)i24+(-007)i089+011i8+1i77+17ix6467+(-067)i85+05i105+(-007)i053+01i85+05i8+1i表4 i 取不同值时的M(xt)及其排序Tab.4 Result and its order when i takes different valuesi=-1i=-05i=0i=05i=1M(x1)1．6703⑥1．7145⑥1．7588⑥1．8031⑥1．8473⑥M(x 2)5．278①4．9318①4．5856①4．2394①3．8932①M(x3)3．3332②3．10 78②2．8825②2．6571③2．4318④M(x4)2．1653④2．5069③2．8485③3．1901②3．5317②M(x5)2．041⑤2．1146⑤2．1882⑤2．2618⑤2．3354⑤M(x6)2．3295③2．3676④2．4058④2．444④2．4821③5 讨论在本文工作之前，已有学者刘秀梅[11,12]、施丽娟[17]、张肃[18] 和王霞[19] 把集对分析中的联系数用于直觉模糊决策研究，本文与这些文献的不同之处是首次把二元联系数的除法用于直觉模糊数中隶属度与非隶属度商的描述.利用这种商法等价地简化直觉模糊数的优点有，一是从信息利用的角度看，保留了直觉模糊数的全部信息，包括确定的信息和不确定的信息；二是从逻辑上看，一个直觉模糊数中的隶属度越大且非隶属度越小，这个直觉模糊数在总体上相对于参考集的隶属关系就越强，因为隶属度作分子，非隶属度作分母的分式及其所谓分式的值(商)在逻辑意义上与所论直觉模糊数是完全一致的；三是直觉模糊数本身含有不确定性，但利用直觉模糊数本身的数学形式不便开展不确定性分析，以至于不采用联系数处理的直觉模糊决策研究总是千方百计地避开“不确定性分析”这道坎，总是在把直觉模糊决策转化为确定性决策上下功夫，最后得到唯一确定的方案排序，完全忽视了不确定性对决策排序的干扰和影响，显而易见，这样的直觉模糊决策结果很难有充分的说服力，而利用联系数中的，则可以方便地考察不确定性对方案优劣排序的干扰和影响；第四个优点是，完全避开了利用所谓的直觉模糊数的“得分函数”而导致的失效问题.刘秀梅等人在一些文章中指出，直觉模糊数中的“得分函数”是一个不可靠的函数.例如，直觉模糊数〈3，2〉与〈5，4〉其得分函数的值都是1，但是其隶属度与非隶属度之比，前者是3/2=1.5，后者是5/4=1.25，总体上说，前者的综合隶属强度要大于后者，正是在这个意义上，本文采用两个联系数的商来简化一个直觉模糊数，也进而简化了后续的数学建模及其一系列的运算和分析.当然也有其不足，就是当除数为“0+0i”这种联系数时，本方法失效，因为“0”不能作除数.应当承认，模糊数学已获得了广泛的应用[20]，但模糊集理论一开始就用一个确定的实数去描述客观上存在不确定性的模糊现象，丢失了研究对象的不确定性信息，一直为人诟病;保加利亚学者Atanassov 提出的直觉模糊集，试图弥补Zadeh模糊集理论的不足，但同样采用一个确定的实数表示一个直觉模糊集中的隶属度和非隶属度，走的仍是Zadeh的路子；之后，有学者用区间数、三角模糊数、梯形模糊数代替普通的点实数表示直觉模糊集中隶属度和非隶属度，试图弥补前面所说的不足，但都难以从数学层面上展开简明清晰的不确定分析；而且给出的模糊决策建模运算过于复杂且难以实际应用，特别是这种不确定性分析从理论上说会涉及到无穷多种不同情况的分析，回避这些分析又会导致结论与实际情况相去甚远；相比之下，集对分析理论中的联系数，从理念上把客观事物的确定性与不确定性对立统一如实地反映在联系数中，保证了第一次数学“映射”不失真，后续运算遵循经典数学的多项式算法规则，对运算结果又借助联系数中的i展开不确定性分析，不失为是一种既简明扼要、又符合决策实际的科学处理方法，当然，集对分析联系数理论也有不成熟之处，有些问题还有待作深入研究，如联系数“0+0i”不能作除数等问题，需要深入研究[22].6 结语本文针对用三角模糊数表示的直觉模糊数集成运算复杂且集成结果不能作不确定性分析的问题，把集对分析二元联系数引入到三角模糊数表示的直觉模糊数模糊决策算法的改进，从决策实例的应用可以看出，其决策对象的最优排序结果不仅与实例中采用其他方法所得结果相同，而且还利用联系数中i的不同值考察排序结果在不确定性干扰下的变化，从而为决策者提供了较为客观的决策支持，特别是本文给出的算法原理清楚、运算方便,与其他直觉模糊数决策的集对分析联系数处理方法相比，本文是首次采用两个联系数的商来等价地表示直觉模糊数中隶属度与非隶属度的综合作用，从一个侧面说明了集对分析联系数方法简化有关模糊数直觉模糊数决策算法的灵活性和实用性.【相关文献】[1] Atanassov K T. Intuitionistic fuzzy sets[J].Fuzzy Sets and Systems,1986,20(1):87～96.[2] Atanassov K T. Operators over interval-valued intuitionistic fuzzy Sets[J].Fuzzy Sets andSystems,1994,64(2):159～174.[3] 刘峰，袁学海.模糊数直觉模糊集[J].模糊系统与数学，2007，21(1)：88～91.[4] 杨红梅.基于联系数的梯形直觉与非直觉模糊决策算法与应用[J].中北大学学报(自然科学学报)，2012，33(6)：687～694.[5] 赵克勤．联系数及其应用[J].吉林师范学院学报,1996，17(8)：50～52.[6] 赵克勤．集对论——一种新的不确定性理论方法与应用[J].系统工程,1996，14(1)：18～24.[7] 赵克勤.集对分析及其初步应用[M].杭州：浙江科学技术出版社，2000.[8] 沈定珠.体育用联系数学[M].香港：中国教育文化出版社.2007.1～190.[9] 王文圣，李跃清，金菊良，等.水文水资源集对分析[M].北京：科学技术出版社,2010.1～173.[10] 刘保相.粗糙集对分析理论与决策模型[M].北京：科学出版社,2010.[11] 刘秀梅，赵克勤．基于联系数不确定性分析的区间数多属性决策[J].模糊系统与数学,2010，24(5)：141～148.[12] 刘秀梅，赵克勤，王传斌．基于联系数的三角模糊数多属性决策新模型[J].系统工程与电子技术,2009，31(10)：2399～2403.[13] 吴维煊．联系数在梯形模糊数多属性决策中的应用[J].数学的实践与认识,2013，43(1)：160～166.[14] 赵克勤．二元联系数A+Bi的理论基础与基本算法在人工智能中的应用[J].智能系统学报.2008，3(6)：476～486.[15] 戴原平．基于模糊直觉模糊集的多属性决策方法[J].模糊系统与数学,2013，27(2)：149～154.[16] 刘秀梅，赵克勤．基于集对分析联系数的信息不完全直觉模糊多属性决策[J].数学的实践与认识,2010，40(1)：67～77.[17] 施丽娟，黄天民，翟秀枝.基于集对分析的区间直觉模糊多属性决策方法[J].西南民族大学学报(自然科学版)，2009，35(3)：468～471.[18] 张肃．基于集对分析和直觉模糊集的语言型多属性群决策方法[J].科技导报,2008，28(12)：67～69.[19] 王霞，贾学龙．基于联系数的直觉模糊多属性决策不确定分析与应用[J].天津科技大学学报,2010，25(3)：75～78.[20] 汪培庄.模糊集合论及其应用[M].上海：上海科技出版社,1983.[21] 杨红梅．模糊数学基础及应用[M].太原：山西科学技术出版社,2011.[22] 赵克勤,赵森烽．奇妙的联系数[M].北京：知识产权出版社，2014.。
一种直觉梯形模糊数的排序方法及其在多准则决策中的应用
一种直觉梯形模糊数的排序方法及其在多准则决策中的应用李井翠;黄敢基;邵翠丽【摘要】According to the characteristic of intuitionistic trapezoidal fuzzy number, a new distance of intuitionistic trapezoidal fuzzy numbers is defined. This paper proposes a new ranking method of intuitionistic fuzzy numbers with the ideal points,which is applied to fuzzy multi-attribute decision making. Also,a practical example is provided to verify the effectiveness of the developed approach.%先根据直觉梯形模糊数的特点,定义一种新的直觉梯形模糊数距离公式,再结合理想点方法,提出一种直觉梯形模糊数的排序方法,最后将该方法应用于模糊多准则决策中,并通过实例说明了所提方法是有效的.【期刊名称】《广西科学》【年(卷),期】2011(018)002【总页数】4页(P113-116)【关键词】直觉梯形模糊数;理想点;排序【作者】李井翠;黄敢基;邵翠丽【作者单位】广西大学数学与信息科学学院,广西南宁,530004;广西大学数学与信息科学学院,广西南宁,530004;广西大学数学与信息科学学院,广西南宁,530004【正文语种】中文【中图分类】O159;C934Zadeh[1]提出的模糊集理论在现代社会的各个领域已经得到了广泛应用[2],为了能够更细腻地描述和刻画客观世界的模糊性,Atanassov在文献[3,4]中又对Zadeh的模糊集进行了拓展,把仅考虑隶属度的模糊集推广到同时考虑隶属度、非隶属度和犹豫度的直觉模糊集.徐泽水[5]根据客观事物的复杂性和不确定性,将隶属函数和非隶属函数由实数扩展到区间数,提出区间直觉模糊数.文献[5～8]提出区间直觉模糊数的排序方法,并将其应用于多准则决策领域.文献[9]提出一种基于区间直觉模糊信息不完全确定的多准则决策方法.随着研究的深入,区间直觉模糊数又被扩展到直觉三角和直觉梯形模糊数.文献[10]定义了直觉梯形模糊数的期望值,提出直觉梯形模糊数的多准则决策方法.文献[11]定义了直觉梯形模糊数的期望值、得分函数、精确函数和几何算术平均算子,并给出一种多准则决策方法.文献[12]定义直觉梯形模糊数的距离公式及加权算术平均算子,提出直觉梯形模糊数的排序方法,并将其运用于模糊多准则决策中.而对于两直觉梯形模糊数和当它们的隶属度都为0,非隶属度都为1时,由文献[12]定义的距离公式,得到它们之间的距离为0,显然这是不合理的.基于此，本文根据直觉梯形模糊数的特点,定义直觉梯形模糊数的一种新的距离公式,利用理想点方法,提出一种新的直觉梯形模糊数排序方法,并将其应用于模糊多准则决策中.1 预备知识定义1[13] 设是实数集上的一个直觉梯形模糊数,其隶属函数满足关系非隶属函数满足关系其中,当b=c时,直觉梯形模糊数退化为直觉三角模糊数.一般地,有a=a1,d=d1.此时直觉梯形模糊数简记为若无特别声明,本文直觉梯形模糊数均指此类模糊数.表示直觉模糊数的犹豫程度,越小,模糊数越确定.定义2[12] 设和是两个直觉梯形模糊数,F是直觉梯形模糊数的集合,d是一个映射: d:F×F→R. 如果满足(3)对于任一直觉梯形模糊数有则称为直觉梯形模糊数和之间的距离.2 直觉梯形模糊数的距离公式及排序方法2.1 距离公式设和是两个直觉梯形模糊数,记{|a1μ1-a2μ2|,|a1v1-a2v2|}+|(μ1+v1)b1-(μ2+v2)b2|+|(μ1+v1)c1-(μ2+v2)c2|+max {|d1μ1-d2μ2|,|d1v1-d2v2|}].(2.1)则满足定义2的条件.即是直觉梯形模糊数和的距离.定义2中的条件(1)和(2)显然成立.又对于任意直觉梯形模糊数有max {|a1μ1-a3μ3|,|a1v1-a3v3|}=max {|a1μ1-a2μ2+a2μ2-a3μ3|,|a1v1-a2v2+a2v2-a3v3|}≤max {|a1μ1-a2μ2|+|a2μ2-a3μ3|,|a1v1-a2v2|+|a2v2-a3v3|}≤max {|a1μ1-a2μ2|,|a1v1-a2v2|}+max {|a2μ2-a3μ3|,|a2v2-a3v3|}.同理得max {|d1μ1-d3μ3|,|d1v1-d3v3|}≤max{|d1μ1-d2μ2|,|d1v1-d2v2|}+ma x {|d2μ2-d3μ3|,|d2v2-d3v3|}.而|(μ1+v1)b1-(μ3+v3)b3|=|(μ1+v1)b1-(μ2+v2)b2+(μ2+v2)b2-(μ3+v3)b3|≤|(μ1+v1)b1-(μ2+v2)b2|+|(μ2+v2)b2-(μ3+v3)b3|.同理得|(μ1+v1)c1-(μ3+v3)c3|≤|(μ1+v1)c1-(μ2+v2)c2|+|(μ2+v2)c2-(μ3+v3)c3|.所以因此,是直觉梯形模糊数和的距离.当μ1=μ2=1,v1=v2=0时,直觉梯形模糊数退化为梯形模糊数,此时|c1-c2|+|d1-d2|)/4.这与文献[11]定义的一般梯形模糊数的距离一致.2.2 排序方法设有n个直觉梯形模糊数其中0≤μj≤1,0≤vj≤1,且μj+vj≤1,a1j≤a2j≤a3j≤a4j,1≤j≤n. 步骤1 确定正理想点和负理想点步骤2 根据(2.1)式,分别求出与正理想点的距离及其与负理想点的距离步骤3 计算的相对贴近度越大,对应的直觉梯形模糊数就越大.按的大小对直觉梯形模糊数排序.排序准则为当且仅当成立.当且仅当成立.当且仅当成立.容易验证,上述排序方法具有如下性质:任意给定直觉梯形模糊数若则有给定直觉梯形模糊数或至少有一个成立.3 基于直觉梯形模糊数排序方法的多准则决策对于多准则决策问题,最常见的准则类型有效益型和成本型.为了消除不同的物理量纲带来的影响,首先需要对模糊决策矩阵规范化,然后按照提出的多准则决策方法确定方案的排序.设模糊多准则决策问题有m个方案{A1,A2,…,Am},l个决策准则C={C1,C2,…,Cl},对应的权系数为w={w1,w2,…,wl},且方案Ai(i=1,2,…,m)在准则Cj(j=1,2,…,l)下的值为直觉梯形模糊数则成为直觉模糊数决策矩阵.采用如下方法对A进行规范化处理效益型:(3.1)成本型:(3.2)为了方便,经过规范化处理后的决策矩阵仍记为A,方案Ai(i=1,2,…,m)在准则Cj(j=1,2,…,l)下的值为直觉梯形模糊数仍记为多准则决策问题的决策步骤为步骤1 按(3.1)式或(3.2)式规范化决策信息.步骤2 确定正理想点其中，和负理想点其中，1,0).步骤3 根据(2.1)式,分别求出与正理想点的距离及其与负理想点的距离其中i=1,2,…,m；j=1,2,…,l.步骤4 计算步骤6 计算的相对贴近度4 实例某一发动机零部件制造公司为其装配过程中最关键部件在全球范围内寻找最好的供应商,现有5个供应商A1,A2,…,A5可供选择.选取5个评价准则:(1)C1为供应能力;(2)C2为交货能力;(3)C3为服务质量;(4)C4为影响力;(5)C5为科研能力.这些准则均为效益型准则.准则权重向量为w=(0.20,0.15,0.25,0.10,0.30),决策者给出的决策信息如表1所示,试选择最优供应商.(1) 根据(3.1)式对表1进行规范化处理，结果见表2.(2)确定正理想点和负理想点其中表1 方案的准则值Table 1 Criterion value of each alternative供应商SupplierC1C2C3C4C5A1([1,2,3,4];0.7,0.3)([5,6,7,8];0.7,0.3)([3,4,5,6];0.7,0.3)([4 ,5,7,8];0.6,0.3)([4,5,6,7];0.8,0.0)A2([2,3,4,5];0.6,0.3)([6,7,8,9];0.8,0.1)([4,5,6,7];0 .8,0.2)([3,4,5,6];0.7,0.3)([6,7,8,9];0.6,0.3)A3([1,2,3,5];0.6,0.4)([4,6,7,8];0.6,0.3)([ 3,4,5,6];0.5,0.5)([4,5,6,7];0.8,0.1)([5,6,7,8];0.8,0.2)A4([2,3,4,6];0.6,0.2)([5,6,7,8];0.8,0.2)([2,3,5,6];0.6,0.4)([3,4,5,7];0.6,0.3)([4,6,7,8];0.6,0.3)A5([2,3,4,5];0.8,0.2)( [4,5,6,7];0.9,0.0)([3,4,5,6];0.8,0.2)([3,5,7,8];0.7,0.1)([4,5,6,7];0.8,0.0)表2 方案的规范化后处理的准则值Table 2 Standard criterion values供应商SupplierC1C2C3C4C5A1([0,0.2,0.4,0.6];0.7,0.3)([0.2,0.4,0.6,0.8];0.7,0.3)([0.2,0.4,0.6,0.8];0.7,0.3)([0.2,0.4,0.8,1.0];0.6,0.3)([0,0.2,0.4,0.6];0.8,0)A2([0.2,0.4,0.6,0 .8];0.6,0.3)([0.4,0.6,0.8,1.0];0.8,0.1)([0.4,0.6,0.8,1.0];0.8,0.2)([0,0.2,0.4,0.6];0.7,0 .3)([0.4,0.6,0.8,1.0];0.6,0.3)A3([0,0.2,0.4,0.8];0.6,0.4)([0,0.4,0.6,0.8];0.6,0.3)([0.2 ,0.4,0.6,0.8];0.5,0.5)([0.2,0.4,0.6,0.8];0.8,0.1)([0.2,0.4,0.6,0.8];0.8,0.2)A4([0.2,0. 4,0.6,1.0];0.6,0.2)([0.2,0.4,0.6,0.8];0.8,0.2)([0,0.2,0.4,0.8];0.6,0.4)([0,0.2,0.4,0.8];0.6,0.3)([0,0.4,0.6,0.8];0.6,0.3)A5([0.2,0.4,0.6,0.8];0.8,0.2)([0,0.2,0.4,0.6];0.9,0)([ 0.2,0.4,0.6,0.8];0.8,0.2)([0,0.4,0.8,1.0];0.7,0.1)([0,0.2,0.4,0.6];0.8,0)(3)根据(2.1)式,计算(4)计算计算(5)计算的相对贴近度.因此,供应商的排序为最优供应商为与文献[10～12]的多准则决策方法所得到的结果一致.参考文献:[1] Zadeh L A.Fuzzy sets[J].Information and Control,1965,8 (3):338-353.[2] 陈水利,李敏功,王向功.模糊集理论及其应用[M].北京:科学出版社,2005:156-186.[3] Atanassov K.Intuitionistic Fuzzy sets[M]//Sgurev V ed.Sofia:VII ITKR’s Session,1983.[4] Atanassov K.Intuitionistic Fuzzy sets [J].Fuzzy Sets and Systems,1986,20 (1): 87-96.[5] 徐泽水.区间直觉模糊信息的集成方法及其在决策中的应用[J].控制与决策,2007,22(2):215-219.[6] 徐泽水,陈剑.一种基于区间直觉判断矩阵的群决策方法[J].系统工程理论与实践,2007,27(4):126-133.[7] Xu Z S.A method based on distance measure for interval-valued intuitionistic fuzzy group decision making [J].InformationSciences,2010,180(1):181-190.[8] Xu Z S,Cai X Q.Incomplete interval-valued intuitionistic preference relations [J].International Journal of General Systems,2009,38(8):871-886.[9] Wang Z J,Li K W,Wang W Z.An approach to multiattribute decision making with interval-valued intuitionistic Fuzzy assessments and incomplete weights[J].Information Sciences,2009,179(17):3026-3040. [10] 王坚强,张忠.基于直觉模糊数的信息不完全的多准则规划方法[J].控制与决策,2008,23(10):1145-1148.[11] Wang J q,Zhang Z.Aggregation operators on intuitionistic trapezoidal Fuzzy number and its application to multi-criteria decision making problems[J].J of Systems Engineering and Eletronics,2009,20(2): 321-326.[12] 王坚强,张忠.基于直觉梯形模糊数的信息不完全的多准则决策方法[J].控制与决策,2009,24 (2):226-230.[13] 王坚强.模糊多准则决策方法研究综述[J].控制与决策,2008,23 (6):601-607.。
模糊多属性决策的直觉模糊集方法
模糊多属性决策的直觉模糊集方法
谭春桥;张强
【期刊名称】《模糊系统与数学》
【年(卷),期】2006(20)5
【摘要】基于直觉模糊集理论,提出了一种新的TOPSIS方法来研究模糊多属性决策问题。
首先,根据直觉模糊集的几何意义,定义了两个直觉模糊集之间的距离,且每个备选方案的评价值用直觉模糊值表示;然后,根据TOPSIS原理,通过计算备选方案到直觉模糊正理想解和负理想解的距离,来确定备选方案的综合评价指数,以此判断方案的优劣次序。
最后,通过一个具体实例说明该方法的有效性和具体应用过程。
【总页数】6页(P71-76)
【关键词】多属性决策;TOPSIS方法;直觉模糊集;直觉模糊距离
【作者】谭春桥;张强
【作者单位】北京理工大学管理与经济学院
【正文语种】中文
【中图分类】C934
【相关文献】
1.基于偏差熵的直觉模糊集多属性群决策方法 [J], 李京峰;项华春;张洋铭;严雅榕
2.用区间直觉模糊集方法对属性权重未知的群求解其多属性决策 [J], 陈志旺;陈林;杨七;白锌;赵方亮
3.基于直觉模糊集的多属性模糊决策方法 [J], 王毅;雷英杰;路艳丽
4.基于TOPSIS的区间直觉模糊集多属性群决策方法研究综述 [J], 李敏; 苏变萍; 张强强
5.基于改进得分函数的属性变权重区间直觉模糊集的群决策方法 [J], 要瑞璞因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
直觉模糊数的表示和结构刻划
ｓ ｕ ｐ
Ｏ 。＜ ｒ＜ ｉ ＜ ＜
ｓ 屯（ ］ Ｉ ） 。＜ｕ １ ０ ｎ Ｉ ｒ 一 （ ｌ砺（ 一 （ ｌ ［ ｖ ０＜ ｒｐ １ ｛ ） ｒ ， ｒ ， ｝ ，］ 丝（ ）Ｉ ） 厂 ） ＜
收稿 日期：０ ６１—３ 作者简介：巩增泰（９ ５ ２ ２ ０—２１． １６ 年１月生） ，男，博士，教授 ． 研究方 向：模糊分析学、粗糙集理
论
基金项 目： 国家 自 然科学￣ （０ ７ １１．甘肃省教育厅科研基￣（６ １２） １７ １７） － ０ —０ ： ０
第６ 期
巩增泰等 ：直觉模糊数的表示和结构刻划
１０ １３
２ 直觉模 糊数及其 表示定理
定义２１ 称直觉模糊集 Ａ ＝ ｛ ，Ａ ｘ， （）＞ Ｉ ∈Ｘ，Ａ Ｘ ＋Ｖ （） １ 简记 ． ＜ ｕ （） Ａ Ｘ Ｖ Ｕ（ ） ＡＸ ）（ 为 Ａ＝ ＡＶ ） ＜ｕ ， Ａ＞ 为直觉模糊数，如果 Ａ ， 为模糊数，即 Ｕ ， ∈Ｅ，其中 ｕ Ａ 表示模 糊集 Ｖ Ａ的余 （ 三 ＝ １ Ａ ） Ｉ 为直觉模糊数所组成的空间。 即 （） 一Ｖ （）记 Ｅ 对 于直 觉模糊数 Ａ ＝＜ ， Ａ＞， 由于 Ｕ ， 磊为模糊数 ，且 Ｕ 与 由模糊数的区间 Ｖ Ａ Ａ ，
表示定理，函数表示定理和嵌入定理 ，完全类似于模糊数 的表示定理之证 明［，容易得到直觉 ２ 】
模糊数的区间表示定理（ 见下面的定理 ２１，函数表示 定理和嵌入定理（ ．） 限于篇幅 ，不再重述 ） 。
定理２ １ 若 ∈Ｉ ． Ｅ，则
１ 对 ｒ ０１ ［ 】 】 ） ∈［ 】 ， ， Ａ ， 均为非空有界闭区间；
ｎ
（ ， （ ］ （） （ ］ （ ， ｒ］ ｒ ｒ ＝ ） ） ｒ， ｒ × ｒ 瓦（）×… × （ ， （ ］ ） ） ｒ ｒ ． ） ）
直觉模糊微积分
直觉模糊微积分引言微积分是数学中的一门重要学科，涉及到函数、极限、导数和积分等概念。
微积分的发展与应用已经深入到各个领域，包括物理学、工程学、经济学等等。
然而，传统的微积分理论在处理模糊问题时存在局限性。
直觉模糊微积分（Intuitionistic Fuzzy Calculus）是一种新兴的数学工具，能够有效地处理模糊问题。
本文将介绍直觉模糊微积分的基本概念、运算规则以及应用领域。
直觉模糊集在介绍直觉模糊微积分之前，我们先来了解直觉模糊集的基本概念。
直觉模糊集是一种扩展的模糊集，它的隶属度函数不仅可以表示模糊程度，还可以表示不确定度。
直觉模糊集的隶属度函数是一个三元组，包括模糊度、确定度以及不确定度三个维度，分别用数值表示。
直觉模糊集可以用来描述人类的直觉认知，更符合人类对不确定性问题的处理方式。
直觉模糊微积分的基本概念直觉模糊微积分通过引入直觉模糊数和直觉模糊函数的概念，将传统微积分理论推广到模糊环境中。
直觉模糊数是一个具有隶属度函数的数值，可以用来表示直觉模糊集合。
直觉模糊函数是一个从直觉模糊集到直觉模糊集的映射，可以看作是一种模糊函数关系。
在直觉模糊微积分中，我们定义了直觉模糊导数和直觉模糊积分的运算规则。
直觉模糊导数可以看作是直觉模糊函数的斜率，它表征了函数在某一点上的变化情况。
直觉模糊积分是直觉模糊函数在某一区间上的累积效应，可以用来计算函数曲线下的面积。
直觉模糊微积分的运算规则直觉模糊微积分的运算规则包括直觉模糊导数和直觉模糊积分的运算性质。
直觉模糊导数具有线性性、乘法性以及链式法则等性质，使得我们可以像传统微积分一样对直觉模糊函数进行求导。
直觉模糊积分具有线性性、区间性以及换元法则等性质，使得我们可以像传统微积分一样对直觉模糊函数进行积分。
直觉模糊微积分的应用领域直觉模糊微积分在多个领域具有广泛的应用。
在工程学中，直觉模糊微积分可以用于模糊控制系统的设计与优化。
在经济学中，直觉模糊微积分可以用于风险分析与决策制定。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
徐泽水. 区间直觉模糊信息的集成方法及其在决
策中的应用. 控制与决策, 2007, 22(2): 215219. Cited times: 354. (2007年以来该期刊发
表论文中引用率排名第一)
Z. S. Xu*, X. Q. Cai. Intuitionistic Fuzzy Information Aggregation: Theory and Applications. Springer-Verlag, Science Press, 2012.
n wi
g1 (1,2 ,...,n ) i
i 1
n
wi
wi wi ( i ) , 1 (1 vi ) i 1 i 1
n n
Z. S. Xu, R.R. Yager. Intuitionistic and interval-valued intutionistic fuzzy preference relations and their measures of similarity for the evaluation of agreement within a group. Fuzzy Optimization and Decision Making, 2009, 8(2): 123-139. Cited times: 63
f1 (1,2 ,...,n ) wi i , wi vi i 1 i 1
n n
G. Beliakov, H. Bustince, D. P. Goswami, U. K. Mukherjee, N. R. Pal (印度科学院院士、工程院院
士、IEEE Fellow、IFSA Fellow、IEEE Transactions on Fuzzy Systems前主编). On averaging operators for Atanassov’s intuitionistic fuzzy sets. Information
R(i ) 0.5 2 ( i vi ) d (1,0), i
Basic operational laws
Let ( , v ), 1 ( , v ) and 2 ( , v ) be three 2 2 1 1 intuitionistic fuzzy numbers, then (1) ( , );
(2) 1 2 (min{1 , 2 }, max{ 1 , 2 });
(3) 1 2 (max{1 , 2 }, min{ 1 ,2 }); (4) 1 2 ( 1 2 1 2 , v1 v2 );
(5) 1 2 (1 2 , v1 v2 v1 v2 );
直觉模糊数
一种新的决策工具
徐泽水
xuzeshui@
解放军理工大学理学院
Support
In a voting problem
Abstention
Objection
K. Atanassov. Intuitionistic fuzzy sets, Fuzzy Sets and Systems, 1986, 20(1): 87-96.
A x, A ( x), A ( x) | x X
Intuitionistic fuzzy numbers
, v
The intuitionistic fuzzy number ( , ) has a physical interpretation, for example, if
Systems, 2007, 15(6): 1179-1187. Cited times:
401.
2008年中国百篇最具影响国际学术论文奖;
2007年以来该期刊发表论文中引用率排名第一; ESI高被引论文.
Z. S. Xu*, R.R. Yager (IEEE Life Fellow, IFSA Fellow). Some
1. Intuitionistic fuzzy weighted aggregation operators
f1 (1, 2 ,..., n ) wii 1 (1 i ) wi , i 1 i 1
n n
(vi ) i 1
Z. S. Xu. An overview of methods for determining
OWA weights. International Journal of Intelligent
Systems, 2005, 20(8): 843-865. Cited times:
318 (2005年以来大陆地区计算机学科领域被
引次数最多的20篇论文之一(摘自Scopus))
f ( x)
1 e 2
( x u )2 2 2
,
x
Z. S. Xu. Intuitionistic preference relations and their application in group decision making. Information Sciences, 2007, 177 (11): 2363-2379. Cited times: 255
(6) (1 (1 ) , v ), 0;
(7) ( ,1 (1 v ) ), 0.
All the results above are intuitionistic fuzzy numbers.
Basic properties
(2) 1 1 2 1 ;
(3) (1 2 ) 1 2 ;
(4) (1 2 ) 1 2 ;
(5) 1 2 (1 2 ) ;
(6) 1 2 1 2 .
Z. S. Xu. Intuitionistic fuzzy aggregation operators. IEEE Transactions on Fuzzy
Theorem. Let ( , v ), 1 (1 , v1 ) and 2 (2 , v2 ) be
three intuitionistic fuzzy numbers, and , 1 , 2 0, then
(1) 1 1 2 1 ;
E. Szmidt, J. Kacprzyk (国际模糊系统协会(IFSA)前主 席、IEEE Fellow、IFSA Fellow、波兰科学院院士 ). Amount of information and its reliability in the ranking of Atanassov’s intuitionistic fuzzy alternatives. in: E. Rakus-Andersson, R. R. Yager, N. Ichalkaranje, L. C. Jain, (Eds.), Recent Advances in Decision Making, Berlin: Springer-Verlag, 2009, pp. 7-19.
Cited times: 3738
Growth trend graph of papers about intuitionistic fuzzy sets indexed in SCI-Expanded, SSCI
Growth trend graph of papers about intuitionistic fuzzy sets indexed by EI Compendex
Sciences, 2011, 181: 1116-1124. Cited times: 66
n 1 n 1 f1 (1 , 2 ,..., n ) h1 wi h1 ( i ) , h2 wi h2 ( vi ) i 1 i 1
geometric aggregation operators based on intuitionistic fuzzy sets. International J6, 35(4): 417-433. Cited times: 393 (2006 年以来该期刊发表论文中引用 率排名第一；ESI高被引论文)
(2007 年以来该期刊发表论文中引用 率排名第七; ESI高被引论文)
x1
x2
...
xn
...
x1 ( 11 , v11 ) ( 12 , v12 ) x 2 ( 21 , v21 ) ( 22 , v22 ) x n ( n 1 , vn 1 ) ( n 2 , vn 2 )
( , ) (0.5,0.3)
which can be interpreted as “the vote for resolution is 5 in favor, 3 against, and 2 abstentions”.
An order relation between intuitionistic fuzzy numbers
Z. S. Xu. Intuitionistic fuzzy multi-attribute decision making: An interactive method. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 2012, 20(2): 514-525.
Z. S. Xu. Intuitionistic Preference Modeling and Interactive Decision Making. SpringerVerlag , in Series:《Studies in Fuzziness and Soft Computing》, Heidelberg, New York, 2013.
Definition. Let i ( i , i )(i 1,2) be two intuitionistic fuzzy numbers, s(i ) i i and h(i ) i i (i 1,2) are the scores and the accuracy degree of 1 and 2 respectively, then (1) if s(1 ) s( 2 ), then 1 2 ; (2) if s(1 ) s( 2 ), then (i) if h(1 ) h( 2 ), then 1 2 ; (ii) if h(1 ) h( 2 ), then 1 2 .