结合稀疏逼近的正则化方法求解非齐次双调和方程的Cauchy问题

并选择二次罚项 ， 以使 得 近 似 解 具 有 光 滑 性 。本 文 选 择 的 稀 疏 逼 近 正
则化方法 。 即 （ ）＝ ， 同时借 助稀疏逼近的优势 ， 在减少结点数 目的同
时， 仍得到较好的结果。
则齐次方程 （ ８ ） 的解 ｕ （ Ｘ）由基本解的线 性组合近似表示。
（ 一） 求非齐次双调和方程的特 解 边界结点法 中， 非齐次方程 （ ５） 的特解近似表示 为［ ３ ］ ：
、
引言
二维双调和方程在很 多实 际问题 中需 要用到 。但是 实际 的工程 应用 中。 已知的边界条件可能不完 整或者 不准确 ， 这 样的 问题就 是反 问题 ， 一般 来说反 问题是不适定 的。本 文研 究的 Ｃ ａ ｕ ｃ ｈ ｙ问题 就是一种反问题 ， 因而在
界 条 件 的 部 分 边 界 厂。 上 选 取 ｎ个 结 点 ， 当 Ｘ ＝Ｘ ，（ ｉ＝ １ ， ｎ Ｒ 上 的非齐 次双调 和写为 ：
△ “ （ Ｘ） ＝－ 厂 Ｉ Ｘ） Ｘ ∈ ｎ 或表示成两个 Ｐ ｏ ｓ ｓ ｉ ｏ ｎ方 程 ： △ Ｍ （ Ｘ） ＝＂ （ ｘ） ， △ （ ｘ）＝－ 厂 （ Ｘ） ｘ ∈ ｎ
（ １ ） （ ２ ）
Ｘ ∈ 力 Ｙ ∈ Ｒ ＼ ｎ （ １ １ ）
Ｉ ｎ ｒ （ ｘ —ｙ ）
Ｇ ２ （ ， ｙ ）＝一 Ｆ ２ （ 一Ｙ ） Ｉ ｎ ｒ （ —ｙ ） Ｘ∈ （ １ ２）
Ｙ∈Ｒ
＼
ａ ｒ ｉ ｎＡ —Ｙ 一Ⅱ （ ）
设 ｕ 一＿ Ｏ Ｅ ｕ
ａ “
时， 我们得到 ａ （ Ｘ）所满足的边界条件构成的方程组 从 ＝ｂ， 这个方程组 的系数矩阵一般不是 方 阵， 因此 将求 解该线 性方 程组 转化 为如 下极小 值
问题 ： （ ４）
ｍｉ ｎｌ Ｉ ＡＡ —ｂｌ ｌ （ １ ４）
（ ３）
求解过程 中， 用基本解 方法得到 的最小 二乘 问题 的解是不 唯 一的 ， 需 要 通
（ ｘ ） ：∑ｑ （ ｘ ） ｘ ｎ （ ９ ）
其中￣ Ｏ ｊ （ ｘ） ＝ （ １ ｎ ｒ ｊ （ ｘ）一 ） Ｘ （ １ ０）
过使用正则化 方法提 高原 问题数值 求解的准确度。 用基本解 方法 求解齐次 双调 和方程 会导致 离散 的 Ｃ ａ ｕ ｃ ｈ ｙ问题 的线性 方程不是满秩 的或是 超定 的 ， 其解 的适定 性存 在 问题 ， 故 本文将 使用 稀疏
Ｍ （ ｘ）Ｉ ， ．＝ Ｕ ０ （ ｘ） ． １ ｘ）Ｉ ｒ ＝ Ｍ ｌ （ Ｘ） （ Ｘ）Ｉ ， ．＝ （ Ｘ） ， １ Ｘ）Ｉ Ｆ ＝ Ｉ （ Ｘ） （ ５）
部分边界上 的边界 条件 来推 导该 线性 组合 中的待 定 系数 ， 该过程 涉及求解超定线性 方程 组 ， 由于边界 条件给得 不充分， Ｃ ａ ｕ ｃ ｈ ｙ问题 的解
不唯一 ， 故 需要 用 正 则 化 方 法 来 得 到 逼 近 解 析 解 的结 果 ， 我 们 选择 使 用 稀 疏 逼近 正 则化 方 法 （ 又称 ｌ 约束 正则化方法 ） ， 该 方 法 能很 好 地
现的不确定性 。 传统的 Ｔ ｉ ｋ ｈ ｏ ｎ ｏ ｖ正 则 化 方 法 是 将 线 性 反 问题 Ａ ｘ＝ Ｙ
重 新 表 示 为
（ 二） 求非齐次双调和方程的通解 本 文用 Ｌ ａ ｐ ｌ ａ ｃ ｅ方程 的基本解和双调和方程 的基 本解的线 性组合来近
ａ ｐ ｌ ａ ｃ ｅ方程 的基 本解 是 Ｇ ， （ ， ｙ ）， 双 逼近的正则化 方法来 求解 离散 方程组 ， 以避免直 接求解 非齐次方程 时会 出 似 表示 非齐次双调和 方程的 通解。Ｌ 调和 方程 的基 本 解 是 Ｇ ： （ ， ｙ ）。 Ｇ （ ｘ， ｌ ， ） ：一
◆
结 合 稀 疏 逼 近 的 正 则 化 方 法 求 解 ｊ Ｅ 齐 次 双 调 和 方 程 的Ｃ ａ ｕ ｃ ｈ ｙ 问 题
◆ 刘晓宇
（ 重庆 工商大学融智学院）
【 摘要】在利用边界结点法 （ Ｂ Ｋ Ｍ） 通过径 向基 函数和 Ｌ ａ ｐ ｌ ａ ｃ ｅ 算子 、 重调 和算子的基本 解的线性组合来表示 问题 的解时， 需利 用 已知 的一
解决 Ｃ ａ ｕ ｃ ｈ ｙ问题的不适定性 ， 能很好 地反 演 出跳 跃较大的参数部分。本文针对 若干具有光滑边界或 分段 光滑边界 的数值 算例 ， 验证 了 该方 法的有效性 ， 而且所得的数值计算结果 关于噪声是准确的并随 已知数据噪声的减小而收敛 。 【 关键词】稀疏逼近
一
正则化
Ｃ ａ ｕ ｃ ｈ ｙ问题
Ｏ ｖ
， ＿
ｏ ｎ
，
ｎ为外法线 方向 ， 在 部分边界 Ｆ，ｃ，上给 出一
其 中， ｌ ｌ ・ Ｉ Ｉ 是 ２一范数 ， Ａ＝（ ｃ 。 ， ｃ ２ …． ， ｃ ｄ ， ｄ ， ． ． ．， ｄ ） 是待定系
定边界 条件 ， 而在 Ｆ２＝厂＼ 厂。 上， 只知 道 Ｕ或 “ 或 不知 道任何 边界 条件 数向量。系数矩 阵 Ａ和已知的边界 条件 向量 ｂ分别 为： ［ ３ ］ 。本文研究满足下面这种边界条件 的双 调和方程（ ３ ） 或（ ４）
（ ｘ ） ：∑ｑ Ｇ 。 （ ， ） ＋ ∑ Ｇ ： （ ， ） ｘ∈
（ １ ３ ）
本文还考虑到给定的边界数据有扰 动， 即有噪 声的情况下 的数值 方法
的稳 定 性 。 二、 问 题 的 数 学 表 述
其 中， Ｌ是源点数 ，｛ ｃ ）和 ｛ ｄ ） 是待定系数 ，｛ ） 是 源点 ， 是边界 点。 （ Ｘ）满足给定边界条件 （ ９） ， （ １ ０） ［ ３ ］ 。为求解待定 系数 ， 在 已知边