相机标定方法

摄像机标定的方法和具体的步骤
1.理想的摄像机成像模型
在不考虑畸变的情况下，建立如图所示的摄像机模型。

物体到图像之间的转化，经历了下面四个坐标系的转换：
1.三维世界坐标系
O X Y Z
w w w w
这是基于不存在误差的基础上建立的坐标系，是一个理想的模型。

这是后两个模型
的参考，可以作为对比的基础。

2.摄像机坐标系Oxyz
该坐标系的原点是摄像机的光心，CCD像平面到原点的距离为f，即理想成像系统
的有效焦距，坐标系的轴与光轴重合。

3.摄像机图像坐标系'O XY
O，X轴、该二维坐标系定义在CCD像平面上，其中光轴与像平面的交点定义为原点'
Ｙ轴分别平行于ｘ、ｙ轴。

4.计算机像平面坐标系Ouv
在这一坐标系中，原点在图像的左上角。

这是一个建立在CCD像平面中的二维坐标
系，u轴和v轴组成坐标系，前者为水平轴，后者为垂直轴，方向向右、向下。

上面我们讨论的四个坐标系中，只有最后一个坐标系的单位是像素。

前三者的单位
都是毫米。

一被测点P，其三维坐标为(x,y,z)
，摄像机坐标系为(x,y,z)，其经过拍摄后，
w w w
在摄像机图像坐标系中的坐标为(X,Y)，最后得到计算机像面坐标系的坐标(u,v)，这四步的变换过程如下图所示：
一、刚体变换（从世界坐标系到摄像机坐标系）
在刚体变换过程中世界坐标系中的一点到摄像机坐标系中的点，可以由一个旋转矩阵R以及一个平移矩阵t来描述，则存在如下刚体变换公式：
其中R为3X3的旋转矩阵（），t是一个三维平移向量，化为其次坐标形式有：
二、透视投影（相机坐标系到理想图像物理坐标系）
根据针孔模型下透镜成像焦距f，物距u和相距v的关系，以及下图可得：（注意此时的点M是摄像机坐标系的点）
y是理想图像物理坐标系坐标）将上面的关系式化成其次坐标式为：（注意：x,
u u
三、畸变校正
在上面所有的坐标系公式推导的过程中，我们遵循的是线性摄像机模型，但是实际的摄像机由于镜头制作工艺等原因，使摄像机获取的原始图像是含有畸变的，畸变的图像的像点、投影中心、空间点不存在共线关系，所以如果要想直接运用线性模型来描述三维世界空间的点与像点之间的关系，必须先对畸变的图像进行校正。

畸变模型矫正公式为：
y为针孔线性模型计算出来的图像点坐标的理想值，(x,y)是实际的图像点的坐(x,)
u u
δδ是非线性畸变值，它与图像点在图像中的位置有关。

标，,
x y
1.径向畸变
径向畸变是由于镜头形状缺陷造成的，分为桶形畸变和枕形畸变，如下图所示：
下面公式是忽略了高阶项的径向畸变模型函数：
2.切向畸变
径向畸变是由于光学系统存在不同程度的偏心，即透镜组的光学中心不是完全在一条直线上，这样的缺陷造成了透镜的偏心畸变。

下面公式是忽略了高阶项的切向畸变模型函数：
3.薄棱镜畸变
薄棱镜畸变产生的原因是由于透镜在设计制造安装的过程中的工艺造成的，下面公式是忽略了高阶项的薄棱镜畸变模型函数：
故由上面的式子得出我们的畸变校正函数模型如下：
透过畸变校正函数模型，可知上式分别是径向畸变、切向畸变和薄棱镜畸变校正函数模型组成，其实有12,1212,,,,k k p p s s 共6个非线性畸变系数。

四、数字化图像（理想图像物理坐标系到图像像素坐标系）
图像物理坐标系的原点，也即光轴与像平面的交点在理想情况下应该是位于图像的中心点，但是由于相机制造方面的原因，一般都是有偏离，只不过是镜头的制造工艺高低而偏离不同尺度而已，若图像物理坐标系(x,y)原点在图像坐标系(u,v)中的坐标为00(u ,v )，像面上每一个像素点在x 轴，y 轴方向上的物理尺寸为d ,d x y ，则图像中任意一个像素在两个坐标系中满足如下关系：（注意每个物理像素都是有物理尺寸的，并且注意由于工艺原因每个像素点是一个长方形，并不是一个严格的正方形）
化为齐次坐标与矩阵形式为：
由式3、5和12 可以得到一个三维空间坐标点到实际图像像素坐标点的映射，如下：
12,M M 分别是摄像机标定的内外参数，其中1M 为相机的内参数，2M 为外部参数，包括旋转矩阵和平移矩阵。