洛必达LHospital法则在求1∞型极限中的应用
第二节洛必达LHospital法则
x? 0?
x? 0?
(3) lim (1 ? 1 ) x
x? 0?
x
x ) 1/ x 2 ;
系理数院学技科汉武
解：(1) 令y=xx, 则 lny=xlnx, 再取极限, 得到
ln x
1/ x
lim ln y ? lim
? lim
x? 0?
x? 0? 1 / x
x? 0? ? 1 / x 2
? lim x ? 0 x? 0?
? lim ln y ? 0 x? 0?
? lim y ? e 0 ? 1 ? x? 0?
lim x x ? 1
x? 0?
案教子电学数等高
也可以
( 1 ) lim x x ? lim e x ln x
x? 0?
x? 0?
? exp[
lim ( x ln x )]
x? 0?
? exp[
lim
1/ x ] ? e 0 ? 1
x ? 0 ? ? 1/ x 2
(2) lim(cos x? 0
x ) 1/ x 2 ? lim
1 ln cos x
e x2
x? 0
ln cos x
? exp[lim x? 0
x2
]
? tgx
? exp[lim
] ? exp[
x? 0 2 x
? 1 ? 1] 2
系理数院学技科汉武
? e ? 1/ 2 ?
在区间[a,x] 或[x,a] 上应用柯西中值定理
f ( x ) ? f ( a ) ? f ?(? ) , (? ? [ a , x ]) g ( x ) ? g ( a ) g ?(? )
x ? a,? ? a
洛必达(L Hospital)法则
1 ⎧ 1 x ⎪ (1 + x ) x ] , 当x > 0 ⎪[ 三、讨论函数 f ( x ) = ⎨ , e ⎪ −1 ⎪ 当x ≤ 0 ⎩e 2 ,
在点x = 0处 的连续性.
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系 马儒宁
例10 解
2007年8月
求 lim x
x →1 x →1
1 1− x
. =e
ln x x →11− x lim
( 1∞ )
=e
1 lim x x → 1 −1
原式 = lim e
1 ln x 1− x
= e −1 .
15
南京航空航天大学 理学院 数学系 马儒宁
例11 求 lim+ (cot x )
0 型 0 ∞ 型 ∞
令y = f 取对数
g
0⋅∞ 型
f ⋅g= f 1g
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系 马儒宁
21ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
思考题
f ( x) f ′( x ) 设 lim 是不定型极限，如果 的极 g( x ) g ′( x ) f ( x) 限不存在，是否 的极限也一定不存在？ g( x )
3 x2 − 3 6x 3 解 原式 = lim 2 = lim = . 1 x→ 3 x − 2 x − 1 x →1 6 x − 2 2
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 马儒宁 7
ln sin ax . 例3 求 lim x → 0 ln sin bx
∞ ( ) ∞
a cos ax ⋅ sin bx cos bx 解 原式 = lim = lim = 1. x → 0 b cos bx ⋅ sin ax x → 0 cos ax
洛必达法则
赞洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
再设(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。
当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
比如利用泰勒公式求解。
②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 泰勒公式（Taylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.) /n!*(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
洛必达法则在极限计算中的应用
洛必达法则在极限计算中的应用在数学领域中，洛必达法则是一种用于计算极限的重要工具。
它是由法国数学家洛必达于1696年提出的，可以解决一些复杂极限的计算问题。
本文将探讨洛必达法则在极限计算中的应用。
1. 洛必达法则的基本原理洛必达法则使用了导数的概念。
当我们计算一个极限时，如果直接代入极限值得到的结果是无法确定的，我们可以使用洛必达法则来求解。
具体原理如下：假设有两个函数f(x)和g(x)，在某个点a处，它们的极限都存在，且g'(a)不等于0。
如果f(x)和g(x)在点a处的极限都为0，或者同时趋于正无穷或负无穷，那么f(x)/g(x)的极限等于f'(x)/g'(x)，即lim (x→a) f(x)/g(x) = lim (x→a) f'(x)/g'(x)此公式就是洛必达法则的基本原理。
2. 洛必达法则的应用示例接下来，我们将通过几个具体的示例来展示洛必达法则在极限计算中的应用。
示例一：求极限lim (x→0) (sin(x)/x)解：直接代入0得到的结果是未定的，无法确定极限的值。
我们可以使用洛必达法则：令 f(x) = sin(x)，g(x) = x，则f(0) = 0，g(0) = 0，并且在0点处f(x)和g(x)的极限都存在。
对f'(x)和g'(x)分别求导得到 f'(x) = cos(x)，g'(x) = 1。
再代入洛必达法则公式，得到：lim (x→0) (sin(x)/x) = lim (x→0) (cos(x)/1) = cos(0) = 1所以，极限lim (x→0) (sin(x)/x) 的值为1。
示例二：求极限lim (x→∞) (e^x/x^n)，其中n为正整数。
解：当x趋于无穷时，分子e^x是以指数形式增长，而分母x^n是以幂函数形式增长。
根据洛必达法则，我们可以先对分子和分母同时求导。
令 f(x) = e^x，g(x) = x^n，则f'(x) = e^x，g'(x) = nx^(n-1)。
数学罗比特法则
设
(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；
(2)在点a的去心邻域内，(x)≠0；
(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么
③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等.
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：
①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型，否则滥用洛必达法则会出错。当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。比如利用泰勒公式求解。
②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
再设
(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于无穷；
(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；
(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么
x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
洛必达_L_Hospital_法则在求_1_型极限中的应用_邓雪
第22卷第4期大 学 数 学V ol.22,№.4 2006年8月COLLEGE M A TH EM A TICS Aug.2006洛必达(L'Hospital)法则在求[1∞]型极限中的应用邓 雪1, 赵俊峰2(1.华南理工大学数学科学学院,广州510640; 2.广东工贸职业技术学院,广州510510) [摘 要]给出了求不定式[1∞]型极限的一个定理,同时通过历年考研试题的应用,说明此定理是有效的、简单的.[关键词]洛必达法则;无穷小;两个重要极限;等价无穷小[中图分类号]O172.1 [文献标识码]C [文章编号]1672-1454(2006)04-0158-031 引 言在求不定式[1∞]型极限时,本文应用洛必达法则、两个重要极限和等价无穷小的知识,给出一种比较简洁的求法从而省去了繁琐的计算.2 主要结果定理 对于求极限lim u(x)v(x)(u(x)※1,v(x)※∞;x※∞,+∞,-∞,a,a+,a-),可看作[1∞]型极限,那么lim u(x)v(x)=e lim[(u(x)-1)·v(x)].证 lim u(x)v(x)=lim[1+u(x)-1]1u(x)-1(u(x)-1)·v(x)=e lim[(u(x)-1)·v(x)].其中(u(x)-1)·v(x)为[0·∞]型,可转换成0或∞∞型,再应用洛必达法则.下面以历年考研试题中的[1∞]型极限为例,直接运用此定理结果,再结合等价无穷小的应用,计算更简便.3 具体例子例1(1990.I.II.) 设a为非零常数,则limx※∞x+ax-ax=.解 原式=exp limx※∞x+a-x+ax-a·x=e2a.例2(1995.I.II.) 求limx※0(1+3x)2sin x.解 原式=exp limx※03x·2sin x=e6.例3(1996.I.II.) 设limx※∞x+2ax-ax=8,则a=.解 原式=exp limx※∞x+2a-x+ax-a·x=ex p limx※∞3axx-a=e3a,e3a=8,3a=ln8,a=ln2. [收稿日期]2005-06-26例4(2003.I .) lim x ※0(co s x )1ln (1+x 2)=.解 原式=exp lim x ※0(co s x -1)·1ln (1+x 2)=ex p lim x ※0-x22x2=e-12.例5(1989.III .) 求lim x ※0(2sin x +cos x )1x.解 原式=exp lim x ※0(2sin x +co s x -1)·1x=exp lim x ※02sin x x -x22x =e 2.例6(1991.I .III .) 求lim x ※+0(cos x )πx.解 原式=exp lim x ※+0(co s x -1)·πx=ex p lim x ※+0-x 2·πx=e -π2.例7(1993.I .II .) 求lim x ※∞sin 2x +cos 1x x.解 原式=exp lim x ※∞sin2x +cos 1x-1·x 1x=t ex p lim t ※0sin2t +cos t -1t=exp lim t ※02sin2t 2t -t 22t=e 2.例8(2000.IV .) 若a >0,b >0均为常数,则lim x ※0a x +b x23x=.解法1 原式=ex p lim x ※0a x +b x -22·3x=exp lim x ※032·a x ln a +b x ln b1=ex p 32ln ab=(ab )32.解法2 原式=ex p lim x ※0a x -1+b x-12·3xexp lim x ※032·a x -1x +b x -1x=ex p 32(ln a +ln b )=(ab )32.例9(2003.IV .) 极限lim x ※0[1+ln (1+x )]2x=.解 原式=exp lim x ※0(1+ln (1+x )-1)·2x=ex p lim x ※0x ·2x=e 2.例10(1987.IV .) 求极限lim x ※0(1+x e x)1x.解 原式=exp lim x ※0(1+x e x -1)·1x=e xp {lim x ※0e x}=e .例11(1991.IV .) 求极限lim x ※0e x +e 2x +…+e nxn1x,其中n 是给定的自然数.解 原式=exp lim x ※0(e x-1)+(e 2x-1)+…+(e nx-1)n ·1x=exp lim x ※0x +2x +…+nx n ·1x=en +12.例12(1998.IV .) 求lim n ※∞n tan 1nn 2 (n 为自然数).解 这是[1∞]型未定式,因为n 是自然数,不是连续变量,故不能直接运用洛必达法则,先将n 换成连续变量x ,求得函数极限.再根据海涅定理,知函数极限即为数列极限.因为159第4期 邓雪,等:洛必达(L 'H o spital )法则在求[1∞]型极限中的应用所以limn※∞n tan1nn2=e13.同理,我们可计算:(i)limn※∞tanπ4-1n2n2=e-2;(ii)limn※∞tanπ4+1nn=e2;(iii)limn※∞tanπ4+2nn=e4. (1994.III)通过上面历年考研试题的应用,说明对于求[1∞]型的极限,本文给出的定理是有效的,计算是简洁的.[参 考 文 献][1] 同济大学应用数学系.高等数学(上册)(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2003.[2] 黄光谷等.考研数学题典(全国历年考研统考数学试题分类全解与指导)[M].武汉:华中科技大学出版社,2002.[3] 《大学数学》编辑部编.硕士研究生入学考试数学试题精解[M].合肥:合肥工业大学出版社,2003.The Applications of L'Hospital Law on the Limit of the Type of[1∞]D E NG X ue1, ZH AO J un-f eng2(1.Scho ol of M athematical Sciences,South China Unive rsity of T echno lo gy,G uangzhou510510,China;2.Guangdong V o ca tional Institute of I ndust ry and Economic,Guangzhou510510,China)A bstract:T he purpo se o f this pa per is to present the theo rem of solving the limit of the type of[1∞].A nd a t the same time,the applications of example s in annual G raduate P rog ram T est sho w that this theorem is effective and simple.Key words:L'Ho spital law;infinitesimal;tw o im po rtant limits;infinitesimal equivalence160大 学 数 学 第22卷。
4-2洛必达法则1211
例
tan x ∞ . ( ) 求 lim π ∞ x → tan 3 x
2
sin x ⋅ cos 3 x 原式 = lim π x → cos x ⋅ sin 3 x
2
sec2 x 解 原式 = lim π 3 sec 2 3 x x→
2
cos 3 x 0 = −lim ( ) π cos x 0 x→
15
二、其它未定式
1. 0 ⋅ ∞, ∞ − ∞型未定式
0 ∞ 型 关键 将其化为洛必达法则可解决的 , 0 ∞ ∞ 1 0⋅ ∞ 型 0⋅ ∞ ⇒ ⋅ ∞ ⇒ 或 0⋅ ∞ ⇒0⋅ 1 ⇒ 0 ⋅ 0 ∞ ∞ 0
求 lim x − 2e x . ( 0 ⋅ ∞ ) 例
x → +∞
ex ∞ ex ∞ 解 原式 = lim 2 ( ) = lim ( ) x → +∞ 2 x ∞ x → +∞ x ∞ ex = lim = +∞ . x → +∞ 2 16
例 求 lim x(
x → +∞
π
2
− arctan x ). ( ∞⋅ 0 )
π
解 原式 = lim 2
x → +∞
− arctan x
1 x 1 − 2 2 x = lim 1 + x = lim 2 =1 x → +∞ 1 x → +∞ 1 + x − 2 x
0 ( ) 0
17
∞−∞ 型
1 1 0 0− 0 ∞− ∞⇒ − ⇒ ⇒ 0 0 0⋅ 0 0
∞ ln sin ax 例 求 lim ( ) . x→0 ln sin bx → ∞ a cos ax ⋅ sin bx a sin bx 解 原式 = lim = lim x →0 b cos bx ⋅ sin ax x →0 b sin ax
4.3.2 待定式极限
例1 解
tan x 求 lim . x →0 x
0 ( ) 0
(tan x )′ sec2 x = 1. 原式 = lim = lim x →0 x →0 ( x )′ 1
例2
arcsin x 求 lim . x →0 x
1
2 1 − x 原式 = lim =1 x →0 1
0 ( ) 0
解
5
注意：
15
,
− ( 1 + ) e x 例14 求 lim x →0 x
1 x
(
1 x
0 ) 0
ln( 1 + x ) x
− [(1 + x ) ]′ 解：原式 = lim = − lim[e x →0 x →0 1
1 ln(1 + x ) ] = − lim exp[ − x →0 x 1+ x
]′
1 = − exp{ lim[ − ln(1 + x )]} = − e x →0 x + 1
16
注意：洛必达法则的使用条件．
x + cos x 例15 求 lim . x →∞ x 1 − sin x = lim (1 − sin x ). 解 原式 = lim x →∞ x →∞ 1 极限不存在 洛必达法则失效。 1 原式 = lim (1 + cos x ) = 1. x →∞ x
17
举例说明.
19
思考题解答
不一定． 例 f ( x ) = x + sin x ,
g( x ) = x
f ′( x ) 1 + cos x 显然 lim = lim 极限不存在． x → ∞ g ′( x ) x →∞ 1 f ( x) x + sin x 但 lim = lim 极限存在． = 1 x →∞ g ( x ) x →∞ x
4-2洛比达法则
∞ “ ” 型或 ∞
除此之外,下列类型也是未定式 除此之外 下列类型也是未定式: 型. 下列类型也是未定式 ∞−∞” “0·∞”, “∞−∞ ∞ 取 ∞−∞ ∞−∞”型 “0·∞”型,“∞−∞ 型. ∞ 型 ∞−∞ 对 “1∞”型,“00”型,“∞0”型. 型 型 ∞ 型
数 法
0 “ 0
∞ “ ∞
2
极
又如
失效之二 循环
x→ +∞
lim
x 1+ x2
1+ x2 x = lim = lim x→ x→ +∞ +∞ x 1+ x2
解：原极限= lim 原极限
1 1+(1/ x )
2
x→ +∞
=1
春风得意洛 春风得意洛必塔 一招遍摘极限花 可叹英雄亦失手 莫忘前章有妙法
练习
x +sinx lim x→ x −sinx ∞
sinx co 3x s −3sin3x = lim lim = − lim =3 x→ / 2sin3x x→ / 2 ⋅ co x x→ / 2 −sinx π π π s
lnx lim α (α > 0) 例7.求 求 ∞ x→ +∞ x “∞ ”型. 1/ x 1 原极限= 解：原极限 lim 0 α−1 = lim α= x→ α +∞ x x→ α +∞ x ex ex ex 原极限= 例8.计算 lim 2 解：原极限 lim 计算 = lim = +∞ x→ x +∞ x→ 2x x→ +∞ +∞ 2
2 等价无穷小) 等价无穷小 ta 2 x (等价无穷小 n x = lim = lim 0 1− o x→ 1−c s x x→ 1 0 → x2 2 lnx +1− x 例4.计算极限 lim 计算极限
洛必达法则及其应用
洛必达法则及其应用洛必达法则，又称为L'Hopital法则，是微积分中一个重要的计算极限的方法。
它的优点在于可以化繁为简，使我们不用进行繁琐的代数计算就能求出许多复杂的极限值。
在本文中，我们将讨论其定义、应用以及常见的注意事项。
一、洛必达法则的定义洛必达法则是指在求取例如$\lim\limits_{x \rightarrow a}{f(x)\over g(x)}$的值时，若函数$f(x)$和$g(x)$在$x=a$附近的某个去心邻域内都可导，且在该去心邻域内$g'(x)$不为0，那么对于该极限，有以下成立：$$\lim_{x \rightarrow a}{f(x) \over g(x)}=\lim_{x \rightarrowa}{f'(x) \over g'(x)}$$二、洛必达法则的应用1. 未定形式$\frac{0}{0}$首先，我们探讨一般情况下，当$\lim\limits_{x \rightarrowa}{f(x) \over g(x)}$的分子和分母都为零时，如何利用洛必达法则进行破除，即使用法则后，极限值能够变得更简单。
例如，求$\lim\limits_{x \rightarrow 0}{\sin x \over x} $，这里$f(x) = \sin x, g(x) = x$，我们给出解法如下：$$\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow 0}{\sin x \over x}&=\lim_{x \rightarrow 0}{\cos x \over 1} (\text{由洛必达法则})\\ &=1\end{aligned}$$显然，我们可以发现，直接求极限值需要调用三角函数的极限表，虽然对于高手也许不会太困难，但对于初学者而言，光靠极限表是很难掌握的，而使用洛必达法则，我们只需要求导数，就能简单明了地求解。
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大!学!数!学
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