公开课直线的参数方程 2

例2：已知直线 l:xy10与抛物线
y x2 交于A,B两点， 点M(-1,2)在直线AB上，
（1）求线段AB的长；
（2）求点M(-1,2)到A , B两点的距离之积；
（3）求AB的中点P的坐标。
弦长|AB|= |t1 t2 |
中点P
t t1 t2
2
练习： 求直线
x
2
1t 2 (t为参数
预备知识： 1.向量共线的条件
b//a(a0) ba
2.直线l的方向向量是指： 与直线l平行的非零向量
经过点M(x0,y0),倾斜角为 的直线l的
普通方程是_y __ __y __0_ ___t__a___n (__x_ ___x_0_);
如何建立直线l的参数方程呢？
M0M(x,y)(x0,y0) y
例 2 .经 过 点 M2,1作 直 线 L,交 椭 圆 x2y21 于 A ,B 两 点 。
16 4 如 果 点 M 恰 好 为 线 段 A B 的 中 点 ， 求 直 线 L 的 方 程 。
解 ： 设 过 点 M 2,1的 直 线 L的 参 数 方 程 为
l
y B
O
x y 1 2 ttscio ns ,t为 参 数 代 入 椭 圆 方 程 为
其它情况不能用。
((21)若直线的参数方程为
x y
1 2t 2 3t
t为参数，
则直线的斜率为 （ D）
A、2 B、- 2
3
3
C、3 D、- 3
2
2
((32)) 若
直
线
L的
参
数
方
程
为
x y
a b
t t
t为
参
数
，
L上
的
点
P对 1
应
的
参
数
是
t， 1
则
点
P与 1
P
a
,
b
之
间
的
距
离
是 （ C）
(xx0, yy0)
e(cos,sin)
0
l
M(x, y)
e
M0(x0, y0)
x
经过点M(x0,y0),倾斜角为 的直线l的
参数方程： xyxy00ttcsoins (t为参)数
参数t的几何意义是什么？
y
| t || M0M|
l
M(x, y)
若t 0,则M0M方向向上
若t 0,则M0M方向向下
3 y12(x2)
) 被双曲线
y
3t 2
x2-y2=1截得的弦长|AB|.
x2 y2
例3.经过点M(2,1)作直线l ,交椭圆16 4 1 于A，B两点，如果点M恰好为线段AB的 中点，求直线l的方程.
弦的中点对应的参数为 t1 t 2 2
4
练习：已知经过点P(2,0)，斜率为 3 的直线 和抛物线y2=2x相交于A，B两点，设线段AB 的中点为M，求点M的坐标 .
b a
|MM0||t| a2b2
1.直线参数方程
探究:直线的
xy=x0y0 tctossin(t是参参式数 数 是一） 方 不的程 是形 唯
2.利用直线参数方程中参数t的几何意义,
简化求直线上两点当间的a2距 b离2 . 1时，
xx0 at y y0 bt
(t为 t才参 具数 有|此） t|几=|何M意0M义|
例例 11.已 知 直 线 l:xy10与 抛 物 线 yx2交 于
A,B两 点 ， 求 线 段 AB的 长 度 和 点 M(-1,2)到 A,B
两 点 的 距 离 之 积 。
分析: 1.用普通方程去解还 是用参数方程去解;
y
A
M(-1,2)
2.分别如何解. 3.点M是否在直线上
B
O
x
解 ： x y y x 21 由 0 得 x 2 ： x 10
A 、t1
B 、2 t1
C 、 2 t1
D、 2 2
t1
例1.设直线l过点A(2,-4),倾斜角为 (1)求l的参数方程；
5
6
(2)设直线l与直线x-y+1=0交于点B，求
线段yAB的x长y.10
y
l
l
| t | M(x, y)
O
B| t |
x
A
M0(x0, y0)
0
x
直线上的点M与参数t的值是一一对应的
(*)
由韦达 x1 定 x2 1 理 ， x1x 得 2 1：
A B 1 k 2( x 1 x 2 ) 2 4 x 1 x 22 5 10
由 (* 解 ) x 得 11： 25， x21 25 y1325， y2325
记直线与坐 抛 A (标 1 物 5,线 35 的 )， B ( 交 15 点 ,35)
lB y
O Ax
解：设M 过 (2,1点 )的直l的 线参数方程为
{xy21ttcsions(t为参)代 数入椭圆方程得
( 3 s2 i n 1 ) t2 4 (c 2 o si s ) t n 8 0
由 t 的 几 何 意 义 知 M A t 1 ,M B t 2 , 因 为 点
M在椭圆内，这个有方两程个必实根，所
22
22
则 M M A ( 1 B 1 5 ) 2 ( 2 3 5 ) 2 ( 1 1 5 ) 2 ( 2 3 5 ) 2
2
2
2
2
35 3542
（ 1 ） 如 何 写 出 直 线 l的 参 数 方 程 ？
①
（ 2 ） 如 何 求 出 交 点 A ， B 所 对 应 的 参 数 t 1 ， t 2 ? ① （ 3 ） A B 、 M A M B 与 t1 ， t2 有 什 么 关 系 ？
t1t24(3 cs oi2 n s2 s1in) t1t2 3sin28 1
因为M 点为线A段B的三等分点，
t1 2t2 t1t24 (3 c sio 2 n 2 s1 in ) t2(1 )
t1t23si 2n 812t2 2(2)
(1)平方 （2）得
ktan2，因此 l的 直方 线程为
3sin2 1 t24co s2sint 80
则 A M t1,M Btwenku.baidu.com.M 在 椭 圆 内 所 以
A
x 4cos2sin
t1t2 3sin21
因为M为AB的中点
所以t1t2 0,cos2sin0,ktan1
2
2
直线l的方程是：y-1=1x2即x2y40
2
思考： 例2还有别的解方法吗？ 思考： 例2的解法对一般圆锥曲线适用吗？把“中 点”改为“三等分点”，直线的方程怎样求？
若t
0,则点M与M
重合
0
e
M0(x0, y0)
0
x
3.弦长公式 ：
（ 1 ） M 1M 2t1t2
（2）t t1 t2
2
x
1
1 2
t
(t是参数
)
y
1
3t 2
x 1t
(t是参数 )
y 1 3t
若直线的参数方程为：
x y
x0 y0
at bt
(t为参数)
则直线经过点M0(x0 , y0),斜率为k