第七章 刚体的基本运动

减速箱的齿轮Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ的转轴 在同一水平线上。各齿轮的齿数分别为z1 = 36、 z2= 112、z3 = 32 和 z4 = 128。主动轮Ⅰ的转速n1 = 1450 r/min，求从动轮Ⅳ的转速 n4 。
Ⅱ
例7-2
Ⅰ
n1
Ⅲ
Ⅳ
Ⅱ
z1 = 36、z2= 112、z3 = 32 和 z4 = 128； n1 = 1450 r/min
ds dt R d dt
R s M B
即：v = R

可知，点的速度方向总是垂直 于点到转轴的垂线； 速度按线性分布。


转动刚体内各点的加速度
a
an
d s dt 2 v
R
2
2
R
d
2 2



dt 2 ( R )
R
a R
an R
2
与同号，刚体加速转动； 反之，减速转动。
第七章
刚体的基本运动
§7-1
刚体的平行移动
刚体是无数点组成的,点与点之间没有相对
的位移。
如果在刚体内任意取一条直线，在运动过 程中这条直线始终与它的最初位置平行，这 种运动称为平行移动，简称平动。
又有人根据刚体在空间中的运动轨迹的形 状将平动分成曲线平动和直线平动。

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a d dt (ω r )
dω dt
dω dt
r ω
dr dt
dr dt
z an R v
M
已知 ： ε
， v
于是得： a = r + v
a = r ; a n= v r 与 M点的速度方向同， a n方向同。
v

r
O
a
2 = vE / CE = 0， 2 = aE / CE = - l b 2 / r
§7-5 以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度
构成绕定轴转动的刚体的角 速度的要素—— 大小、转向 和转轴 用一个矢量来描述角速度： 矢量的模反映角速度的大小、 从矢量的末端看刚体逆时针 旋转反映角速度转向、矢量 与转轴重合。
B
B1 B 2
y
刚体平动时，线段AB的长 x 度和方向都不改变， 所以， BA 是恒矢量，即只要将B点的运动轨迹搬移 一段必与A点运动轨迹重合。 对上面的等式等号两边同时对 t 求导 得： vA = vB ， aA = aB 刚体平动时，在每一瞬时，各点的速度相同、加速 度也相同。
§7-2
刚体的定轴转动
r
v 即垂直v 又垂直 z 轴，显然与
| r | = | | | r | sin = | | R = |a | ; | v | = | v | = | a n |
本 章 小
结
1、刚体的平行移动 刚体内任意取一条直线，在运动过程中这条直线始 终与它的最初位置平行，这种运动称为平行移动。 刚体平动时，刚体内各点的轨迹形状完全相同。 根据刚体在空间中的运动轨迹的形状将平动分成曲 线平动和直线平动。 刚体平动时，在每一瞬时，各点的速度相同、加速 度也相同。
刚体在运动时，其上有两点保持不动，这种运动称为 刚体绕定轴转动。通过两点的一条不动直线称为转轴。

定轴转动理论
A
z
作两个通过转轴 z 的 平面 A、B。 平面 A 固定，平面 B与 刚体固结。两平面间的 夹角
— 称为刚体的转角，

是一个代数量，正负按 右手法则。 是时间 t 的单值连续函数，即 =f(t) —— 刚体的转动运动方程。 完全确定了刚体的位置，这样的刚体称它具有一个 自由度。
匀变速转动： = 常量， 1 = 0 + t ； = 0 + t + 2
60
30
t
2
§7-3
转动刚体内各点的速度和加速度
O

设刚体绕定轴O由A转动 A 到B，转角 O’ 刚体上任一点O’运动到M 点，以固定点O’作弧坐标 （+） s 的原点，正向如图 于是 s=R R为点运动轨迹曲线半径 将上等式两边对 t 求导，得：
B

刚体的角速度和角加速度
转角 对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角 速度, 即 = d /d t 角速度 对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时 角加速度, 即 = d /d t = d2 /d t2 与 同号，则转动加速，反之，减速。 两种特殊情况： 匀速转动： = 常量， = 0 + t 机器中转动的快慢往往用每分钟多少转 n 来 2 n n 表示， 与 n 的关系是
即： i12
1 2

R2 R1

z2 z1
或： i12
1 2

R2 R1

z2 z1
正号反映主动轮与从动轮转向同，负号反映转向相反。

皮带轮传动 vA’ v A’ A
A
1
r1
2
r2
B’ vB’ B vB
1轮
2轮
如果不考虑皮带的厚度，并假定皮带与皮带轮 间无相对滑动，由 vA = vA’ = vB’ = vB 得： r1 1 = r2 2 于是皮带的传动比公式为 1 r2 i1 2 2 r1
2、刚体绕定轴转动 刚体在运动时，其上有两点保持不动，这种运动称为 刚体绕定轴转动。通过两点的一条不动直线称为转轴。 =f(t) —— 刚体的转动运动方程 = d /dt —— 刚体的瞬时角速度 = d /dt = d /dt2 —— 刚体的瞬时角速度
角速度和角加速度可以用矢量表示 =k = k， v=r a=r+v 传动比
Ⅰ
应用传动比公式，得
i12 n1 n2 z2 z1 i34 n3 n4 z4 z3
n1
Ⅲ
n1 n 3 n2 n4
Ⅳ


z2 z4 z1 z 3
因为 n2= n3，所以可得齿轮Ⅰ到齿轮Ⅳ的传动比：
i14 n1 n4 z2 z4 z1 z 3
i14 112 128 36 32 12 . 4
a


a

在每一瞬时，转动刚体内所有各点的加速度与 半径间的夹角都有相同值。

一点注意
一当你遇到速度、加速度，你就应该问： 这是哪一个瞬时的速度、加速度； 这是哪一个 点 的速度、加速度。 一当你遇到角速度、角加速度，你就应该问： 这是哪一个瞬时的角速度、角加速度； 这是哪一个 刚体 的角速度、角加速度。 一般来说：速度、加速度是对点而言，而角速 度、角加速度是对刚体（图形）而言。
a a a
2
2
2 n

4
( R ) ( R )
2 2
2


R
a
R R
2
O

tan
a an



2
a
ana

n
a v
a

分析加速度表达式的结果
由加速度的表达式得知： 在每一瞬时，转动刚体内所有各点的加速度的 大小，分别与这些点到轴线的垂距成正比。加 速度也是线性分布。
D
A B 1轮
例7-3
O
C
2轮
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D
A 1 2 E
O
分析表明 AD 杆连同 1 轮作平动，1、2轮之间 没有相对摩擦，设啮轮合点为 E 。
a A
vA
A
aE

D
1轮 B
vE
C
E
2轮
O
解：画出A点和E点的速度和切向加速度 （ = b sin t） OA = d /dt = b cos t， OA = d2 /dt2 = - b2 sin t vE = v A = l OA = l b cost a E = a A = l OA = - l b 2 sin t t = /(2) s时， v E = 0， a E = - l b 2
例7-1
图示机构O1A = O2B = a，O1O2 = AB = 2R， 半圆轮半径为R 。试问图示瞬时，轮上M点的速度为 ① ；M点的轨迹曲率半径为 ② 。
M A

R O
60 °
B O2
(c) a sin 60° (c) a+R
O1
① ② (a) R (a) a
(b) a (b) R
平动实例（1）
平动实例（2）
平动实例（3）
实例告诉我们，平动刚体中每一点有相 同的运动轨迹，那么每一点的速度、加速 度间又有什么关系呢？

刚体平动理论
在空间内任选两点A 和B，令点 A、B的矢 径为 rA 和 rB
r A rB BA
z
rA O rB
A
A1 A A1 A 2 2
最后求得齿轮Ⅳ的转速：
n4
n1 i14

1450 12 . 4
117
r / min

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传动实例
图示机构，OA = CB = l，AB = OC， 曲柄 OA 按规律 = b sin t 绕 O 轴转动。齿轮1 固结在连杆AD上，带动半径为 r 的齿轮 2 绕 C 轴 转动。试求在 t = /( 2 ) 秒时，齿轮 2 的角速度 和角加速度。
矢的起点可在转轴线上任意 选定——滑移矢

以矢量表示角速度和角加速度
z

z



k
= d /d t 为代数量