热统4

i
j j
i
交换前
交换后
j ( q i1 , q i2 , , q ir , p i1 , p i2 , , p ir )
i ( q j1 , q j2 , , q , p j1 , p j2 , , p jr ) jr
2）描述方式：
用 μ 空间中N个点描述
例二、线性谐振子
圆频率为 的线性谐振子的能量可能值为
n (n
1 2 ) n 0 ,1, 2 ,
所有能级等间距。能级为非简并。
例三、转子

转子的能量 量子理论要求

M
2
M
2
2I
2
l (l 1)
l 0 ,1, 2 ,
M Z m , m l , l 1, , l
• ③物质的宏观性质是大量微观粒子的集体表 现，宏观物理量是相应微观量的统计平均值。
⒉ 统计物理的基本原理——等概率原理 （见§⒍4）
• 对于处在平衡状态的孤立系统，系统各个可能的 微观状态出现的概率相等。
• 它是平衡态统计物理的基本原理，平衡态统计规 律的建立以它为基础，不能用别的结论推导它。 • 适用于大量微观粒子组成的宏观系统且处于平衡 态。
广义坐标： q1 x q2 y q3 z
广义动量： p1 p x m x p2 p y my p3 p z m z
能量： 能量球

r
1 2m
( px py pz )
2 2 2
2m
例二、线性谐振子
自由度： 1 μ空间维数：2
质量为 m 的粒子在弹性力作用下,将在原点附近作圆 频率为ω 的简谐振动，称为线性谐振子。
l
• 满足的条件为
a
al
N
a
l l
l
E
a l a 1 a 2
• 数列
a l
， ，…， ，…称为1个分布
a l
（二）给定分布
下各种系统的微观状 a l 态数
（1）玻尔兹曼系统的微观状态数
一个粒子在某时刻的力学运动状态可以在 μ空间中用一个点表示，由N个全同粒子组成的 系统在某时刻的微观运动状态可以在μ空间中用 N个点表示，那么如果交换两个代表点在μ空间 的位置，相应的系统的微观状态是不同的。
对于Boltzmann系统可有9种不同的微观状态 量子态 量子态1 量子态 3 2 1 AB 2 AB 3 AB 4 A B 5 B A 6 A B 7 B A 8 A B

1 2I M 2I
( p
2 2
1 sin
2
p )
2
能量：

• 根据经典力学，在没有外力作用的情形下，转子 的总角动量 M r p 是一个守恒量，其大小 和时间都不随时间改变。由于 r 垂直于 M ，质 点的运动是在垂直于 M 的平面内运动。 如果选择轴 平行于 M ，质点的运动必在 xy 平面 z 上，这时 2, p 0
A A
A A
A A
对于费米系统，可以有3个不同的微观状态。
量子 量子 量子 态1 态2 态3 1 2 A A A A A A
狄拉克（P。DIRAC，1902-1984）英国 物理学家。1926年发表题为《量子力学》 的论文，1932到1969年，狄拉克任剑桥 大学卢卡斯数学教授（牛顿曾任此职务， 现任为霍金)。1933年狄拉克和薛定谔、 海森伯一起分享当年度诺贝尔物理学奖金。
3
V h
3

0

2
0
p sin dpd d
2
p dp
2
p
2
代入上式，得： 4 V h
3 d
2 V h
3
(2m )
3 2
1 2 d
p dp
2 m d ( 2 m ) 2
2 V h
3
(2m ) 2 2 d
表示单位能量间隔内粒子可能的 量子态数，称为态密度。如果粒 子的自旋不为零，以上量子态数 公式需乘以自旋自由度。
r
微观粒子的运动必须遵守测不准关系，不可 能同时具有确定的动量和坐标，所以量子态不能 用空间的一点来描述，如果硬要沿用广义坐标 和广义动量来描述量子态，那么一个状态必然对 应于 空间中的一个体积元，而不是一个点，这 个体积元称为量子相格。自由度为1的粒子，相 格大小为普朗克常数 qp h 如果自由度为 r 相格大小为
所以：
l
l ( l 1) 2I
2
l 0 ,1, 2 ,
基态非简并，激发态简并，简并度： 2 l 1
四、系统微观状态的量子描述
玻尔兹曼系统（经典系统）： 粒子可分辨，每个量子态
上的粒子数 不受限制的全 同粒子系统；满足玻尔兹曼— 麦克斯韦（B。M）统计；
量子系统：
1. 玻色系统：由玻色子（自旋为整数）构成的系统，粒 子不可识
1）可分辨 （可跟踪的经典轨道运动）
全同粒子是可以分辨的（因为经 典粒子的运动是轨道运动，原则上 是可以被跟踪的）。如果在含有多 个全同粒子的系统中，将两个粒子 的运动状态加以交换，交换前后， 系统的力学运动状态是不同的。
i ( q i1 , q i2 , , q ir , p i1 , p i2 , , p ir ) j ( q j1 , q j2 , , q , p j1 , p j2 , , p jr ) jr
3
六、 分布和微观状态
（一）分布
• 设系统总能量E、粒子数N、体积V，粒子能 级 l l 1, 2 , ，第 能级的简并度 l ，粒子数 ， l 即 al
•
• •
能级
1 2 ，
简并度 粒子数
1 ， 2，…，l ，…
l ，…， ，…
，
l
a 1 ， 2 ，…，l a a
2
2m

px py pz 2m
2
2 2

2
2
2
2
m
2

nx n y nz
2 2
2
L
2
3
对 于

m
nx ny nz 1
有六个量子态与之对应： （1，0，0），（0，1，0），（0，0，1） （-1，0，0），（0，-1，0），（0，0，-1）
所以该能级为六度简并，而基态为非简并。 在V=L3内，Px到Px+dPx， Py到Py+dPy，Pz到Pz+dPz间可能的Px， Py， Pz的量子态数： 3 x y z x y z
海森伯（ W.K.Heisenberg， 1901～1976）
矩阵力学的奠基人，1927年提出“不确定 性”，阐明了量子力学诠释的理论局限性 1929年，提出基本粒子中同位旋的概念1932 年获诺贝尔物理学奖。
电子波 （上） 与光波 （下） 的比较
微观粒子不可能同时有确定的动量和坐标，这生动 地说明微观粒子的运动不是轨道运动。 微观粒子的运动状态用波函数或量子数来描述的。 在量子力学中，微观粒子的运动状态称为量子态。 量子态由一组量子数来表征。这组量子数的数目等于 粒子的自由度数。 微观粒子的能量是不连续的,称为能级.如果一个能 级的量子态不止一个，该能级就称为简并的。一个能 级的量子态数称为该能级的简并度。如果一个能级只 有量子态，该能级称为非简并的。
二、粒子运动状态的经典描述
μ 空间和相轨道
• 认为粒子有确定位置和轨道并遵从牛顿定律
μ 空间：以 个广义坐标g1，…，gr为横轴， r个广义动量P1，…，Pr为纵轴构成的2r维 直角空间叫 μ 空间。 粒子运动状态变化时，代表点在μ 空间描 绘的轨道叫相轨道。
例一、自由粒子
自由度： 3 μ空间维数：6
dn dn dn (
L
2
) dp dp dp
采用球极坐标，用
dn ( p , , ) V h
3 2
p, ,
代替 p x , p y , p z
4 V h
3
p sin dpd d
令 : 0 , : 0 2 积分：
dn ( p )
将 4 V h
q1 q r p1 p r h
r
例一、三维自由粒子
考虑处于长度为 L 的三维容器中自由粒子的运动状 态。 假设此粒子限制在一个边长为L的方盒子中运动， 周期性边界条件要求粒子可能的运动状态，其德布罗意 波长 满足： L n , n 0 ,1, 2 , 2
对于玻色系统，可以有6种不同的微观状态。
量子 量子 量子 态1 态2 态3 1 2 3 4 5 6 AA AA AA
玻色〈Satyendra Nath Bose，18941974〉印度物理学家。1924年提出 玻色－爱因斯坦凝聚。 1995年6月， 两名美国科学家康奈尔、维曼以及德 国科学家克特勒分别在铷原子蒸气中 第一次直接观测到了玻爱凝聚态。这 三位科学家也因此而荣获2001年度 诺贝尔物理学奖。

能量简化为

p 2I
2

M
2
2I
三、 粒子运动状态的量子描述 微观粒子普遍具有波粒二象性（粒子性与波动性）
德布罗意关系：
px
p k
A B △X
O
x
测不准关系
qp h
△P
在相格中的A、B两 点是不可区分的
h 2 6 .626 10
34
J s
L
x
x
px
L 2 L 2 L
nx
又： k x kx 2 L