第九章理论力学

C R
B
o
θ
ω
8.2 点的速度合成定理 动点： 凸轮上M点 动点： 凸轮上 点 动系： 固结于顶杆AB上 动系： 固结于顶杆 上 相对运 动轨迹: 动轨迹
A
顶杆上M点 顶杆上 点 固结于凸轮上
凸轮的圆心C 凸轮的圆心 固结于顶杆AB上 固结于顶杆 上
∥顶杆 平底的 直线
？
？
A
A
y’ B M
C R
x’
Ｍ２ Ｂ Ｂ’ Ｍ’
r r va vr
Ｍ
r ve
Ｍ１ Ａ Ａ’
MM ′ MM1 M1M ′ lim ∆t = lim ∆t + lim ∆t ∆t →0 ∆t →0 ∆t →0
MM ′ r lim ∆t = va ∆t →0
MM 1 r lim ∆t = ve ∆t → 0
由速度定义， 由速度定义，
三、三种速度、加速度 三种速度、
绝对速度、加速度： 绝对速度、加速度：
r r 动点相对于静系的速度、加速度， 动点相对于静系的速度、加速度，表示为 va aa
r r 动点相对于动系的速度、加速度， 动点相对于动系的速度、加速度，表示为 vr a r
相对速度、加速度： 相对速度、加速度：
牵连速度、加速度： 牵连速度、加速度：
ω=
R
=
3600 ×150
= 0.083rad / s
ω
R
ve = 180 × 0.083 = 15m / s = 54km / s
A r 2B vr 2
α
vr 2 =
2 v B + v e2 = 80 . 72 km / h
ve 54 sin α 2 = = = 0.669 vr 2 80.72
α 2 = 42o
THEORY MECHANICS
电子教案
第八章 点的合成运动
太原理工大学理学院 王晓君
第八章 点的合成运动
8.1 绝对运动 相对运动 牵连运动的概念 8.2 点的速度合成定理 8.3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理 8.4 牵连运动为转动时点的加速度合成定理
8.1
运动
运动
运动的
运动的分解和合成 的运动（ 点P的运动（复杂） 的运动 复杂）
r r 牵连点相对于静系的速度、 牵连点相对于静系的速度、加速度表示为 ve ae
①某瞬时 ②位于动系上的点 ③与动点位置重合
8.1 绝对运动 相对运动 牵连运动的概念
r r 绝对 va aa
动点
r r a 相对 vr r
静系
牵连运动 刚体） （刚体）
动系
某瞬时， 某瞬时，动 系上与动点 相重合的点
r v0
A
O ϕ
8.2 点的速度合成定理 动点： 动点：杆AB上A点 上 点 静系： 静系：固结于地面 动系： 动系：固结于凸轮 相对运动轨迹: 相对运动轨迹
B
动点：凸轮的圆心 动点：凸轮的圆心O 静系： 静系：固结于地面 动系：固结于杆AB上 动系：固结于杆 上
B
y’
y
r v0
x
y’
A
x’
y
O ϕ
B
y’ M
C R
B
x’
C R
y’
o
θ
ω
o

ω
8.2 点的速度合成定理 解：以凸轮圆心C为动点，动系 取在顶杆上，动点的速度合成矢 量图如图。 据速度合成定理： 由图可得：
A
r r r va = ve + vr
r r va v e r vr C R
o
θ
B
ω
2 ve = va cosα = eω cos 45 = eω 2
分 解 成 合
点P的 的
的运动 的运动
8.1 绝对运动 相对运动 牵连运动的概念
一、两种坐标系
静系： 静系：固结在地球表面的坐标系 动系： 动系：固结于相对于地球表面运动的物体上的参考系 注意：坐标系是可以无限延伸的 注意：
二、三种运动
绝对运动： 绝对运动：动点相对于静系的运动 相对运动： 相对运动：动点相对于动系的运动 牵连运动： 牵连运动：动系相对于静系的运动 点的运动 刚体的运动
8.1 绝对运动 相对运动 牵连运动的概念
轮缘上一点M 轮缘上一点M
M的运动轨迹： 的运动轨迹： 旋轮线— ①旋轮线—绝对运动 ②圆—相对运动 动系的运动：水平平动— 动系的运动：水平平动—牵连运动
o
y
M
y′
x′
x
8.1 绝对运动 相对运动 牵连运动的概念
工厂车间里的桥式起重机
8.1 绝对运动 相对运动 牵连运动的概念
− ve1 cos α + vr1 sin α = −ve 2
1 1 即： vr1 = (v1 cosα − v2 ) (ve1 cosα − ve2 ) = sinα sinα
可得：v = v = v 2 + v 2 M a e1 r1
1 1 2 2 = v + 2 (v1 cosα − v2 ) = v12 + v2 − 2v1v2 cosα sin α sin α
v y' 0' x'
y
A1 v1 A' A v1 x
重物A→ 重物 →A'
A点的运动轨迹: 点的运动轨迹: 曲线运动—绝对运动 ①AA1曲线运动 绝对运动 －地面观察者 竖直向上—相对运动 ②竖直向上 相对运动 －车上观察者 动系的运动： 动系的运动： 水平平动—牵连运动 水平平动 牵连运动
0
8.1 绝对运动 相对运动 牵连运动的概念
r ve
8.1 绝对运动 相对运动 牵连运动的概念 例3 如图杆长l，绕O轴以角速度ω
转动，圆盘半径为r，绕o′轴以角速度
r ve 2
M2
ω ′ 转动。求圆盘边缘 M 1 和 M 2 点的
牵连速度和加速度。 解：静系取在地面上，动系取在杆上，则
r r ae 2 ve1
ω′
o′
M1
r ω ae1
o
ve1 = (l − r )ω
r vr
牵连运动： 牵连运动：竖直平动 牵连点： 牵连点： AB上与 重合的点 上与O重合的点 上与
8.1 绝对运动 相对运动 牵连运动的概念 例2
B
动点：凸轮的圆心 动点：凸轮的圆心O 动系：固结于杆 上 动系：固结于杆AB上
A
O
r v0
相对运动： ∥AB的直线 相对运动： 的直线 牵连点： 上与O重合的点 牵连点： AB上与 重合的点 上与
M 1M ′ MM 2 r = lim lim ∆t ∆t →0 ∆t = vr ∆t →0
8.2 点的速度合成定理 于是可得到： 于是可得到：
r r r v a = ve + v r
即：动点在某一瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度 与相对速度的矢量和。这就是点的速度合成定理。 与相对速度的矢量和。这就是点的速度合成定理。 点的速度合成定理 说明: 说明 瞬时关系式 适用于牵连运动为任何形式的点的合成运动
2 1
8.2 点的速度合成定理
小结: 小结
动点不能选 在动系上 动点动系 选取原则 尽量使相对 运动简单 如果接触点位置相对于某构 件不变，选此构件上的接触 点为动点，另一构件为动系 如果接触点位置相对于两构 件都变，选轮心为动点，另 一构件为动系
8.3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理 如图， 为平动参考系，动点M相对 如图，设 O′x′y′z ′ 为平动参考系，动点 相对 则动点M 于动系的相对坐标为 x′ 、 y′ 、z ′ ，则动点 的相对速度和加速度为
r ve1
r v2
r r r va = ve1 + vr1
（1）
M vr1
r va rα
r v2 r D v 1 B
r v2
C
r v1 A
r ve 2
以小环M为动点，动系取在CD杆上， 动点的速度合成矢量图如图。 于是有：
r va
M
r r r va = ve 2 + ve1
（2）
r v2
r vr 2 α
r 矢量关系， 必须位于对角线上； 矢量关系， a 必须位于对角线上； v
任知其中４个量可以求知另外２ 任知其中４个量可以求知另外２个量
8.2 点的速度合成定理
例1
右图为凸轮顶杆机构。 右图为凸轮顶杆机构。凸轮
r 的半径为Ｒ， Ｒ，以等速度 的半径为Ｒ，以等速度v0
B
沿水平线向右运动，带动 沿水平线向右运动， 从动杆AB沿铅直方向上升。 从动杆AB沿铅直方向上升。 AB沿铅直方向上升 求图示瞬时，杆AB的速度。 的速度。 求图示瞬时， AB的速度
r D v 1 B
C
8.2 点的速度合成定理 比较（1）、（2）式，可得：
r v1 A r r v2 r r rve1 var D v1 ve 2 αvr 2 B r vr 1 M
ξ
r r r r ve1 + vr1 = ve 2 + vr 2
建立如图的投影轴，将上式投影到 ξ 轴 得：
r v2
C
O ϕ
8.1 绝对运动 相对运动 牵连运动的概念 例1：凸轮顶杆机构 ：
B
y’
动点：凸轮的圆心 动点：凸轮的圆心O 动系：固结于杆 上 动系：固结于杆AB上
y
r v0
x
r O ϕ va
r ve
A
x’
绝对运动： 绝对运动：水平直线 相对运动： 相对运动：以A为圆心，OA为 为圆心， 为 为圆心 半径的圆弧
牵连点
牵连
r r ve ae
8.1 绝对运动 相对运动 牵连运动的概念 例1：凸轮顶杆机构 ： 动点： 动点：杆AB上A点 上 点