矩阵分解的研究[开题报告]

毕业论文开题报告
数学与应用数学
矩阵分解的研究
一、选题的背景、意义
数学作为一种创造性活动不仅拥有真理，而且拥有至高无上的美.矩阵是数学中的重要组成部分,因此对矩阵的研究具有重大的意义。

在近代数学、工程技术、经济理论管理科学中，大量涉及到矩阵理论的知识。

因此，矩阵理论自然就是学习和研究上述学科必不可少的基础之一。

矩阵理论发展到今天，已经形成了一整套的理论和方法，内容非常丰富。

矩阵分解对矩阵理论及近代计算数学的发展起了关键的作用。

寻求矩阵在各种意义下的分解形式，是对与矩阵有关的数值计算和理论都有着极为重要的意义。

因为这些分解式的特殊形式，一是能明显的反映出原矩阵的某些特征；二是分解的方法与过程提供了某些有效的数值计算方法和理论分析根据。

这些分解在数值代数和最优化问题的解决中都有着十分重要的角色以及在其他领域方面也起着必不可少的作用。

二、研究的基本内容与拟解决的主要问题
本文简单的介绍了矩阵的定义，通过矩阵的定义，由m n ⨯个数(1,2,,,1,2,,)ij a K i m j n ∈==K K 排成的m 行、n 列的长方形表
111212122
212n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
K K M M O M K (1) 称为数域K 上的一个m n ⨯矩阵。

其中的ij a 称为这个矩阵的元。

两个矩阵相等就是它们对应位置的元全相等[1]。

矩阵通常用一个大写拉丁字母表示。

如（1）的矩阵可以被记为A .如果矩阵的行数m 与列数n 相等，则称它为n 阶方阵。

数域K 上所有m n ⨯矩阵的集合记为(),m n M K ,所有n 阶方阵的集合记为()n M K ，元全为0的矩阵称为零矩阵，记
为0.矩阵A 的位于第i 行、第j 列的元简称为A 的(),i j 元，记为(),A i j 。

如果矩阵A 的(),i j 元是(1,2,,,1,2,,)ij a i m j n ==K K ，则可以写成()ij A a =。

为了说明这
个矩阵是m 行n 列的，也可写成()ij m n A a ⨯=或m n A ⨯。

当m n =时又记为()ij n A a =[2]。

通过上面矩阵的定义，来解决矩阵分解的几种类型，如满秩分解、奇异值分解、三角分解、和式分解、QR 分解等常用的几种分解。

矩阵分解的各种形式及方法归纳如下：
矩阵的满秩分解：
设m n r A R ⨯∈（r>0）,即A 的秩是r ,如果存在矩阵,m r r n r r F R G R ⨯⨯∈∈,使得
A FG = (2)
则称式（2）是矩阵A 的满秩分解[3].
定理1[4] 设m n r A R ⨯∈,则A 有满秩分解式(2).
定理 2 若11A BC B C ==均为A 的满秩分解,则:
(1) 存在r r r D R ⨯∈,满足111,B B D C D C -==.
(2) ()()()()1111
111111T T T T T T T T C CC B B B C C C B B B ----=. 为了引入矩阵的奇异值,先介绍两个引理[5]
引理 1 对于任何一个矩阵A 都有
rank ()H AA =rank ()H A A =rank A
引理 2 对于任何一个矩阵A 都有H A A 与H AA 是半正定Hermite 矩阵. 定理 3 设m n r A C ⨯∈,则 0i i λμ=≥ ()1,2,,i r =L
设m n r A C ⨯∈,H AA 的正特征值i λ,H A A 的正特征值i μ,称
i α==()1,2,,i r =L
是A 的正奇异值,简称奇异值[6].
定理 4 若A 是正规矩阵,则A 的奇异值是A 的非零特征值的绝对值.
定理 5 若m n r A C ⨯∈,12r δδδ≥≥≥L 是A 的r 个正奇异值，则存在m 阶酉矩阵U 和n 阶酉矩阵V ,满足
000H H A UDV U V ∆⎡⎤==⎢⎥⎣⎦
其中，()12,,,r diag δδδ∆=L ，U 满足H H U AA U 是对角矩阵，V 满足H H V A AV 时对角矩阵.
设给定的矩阵n n A R ⨯∈,将方阵A 分解成一个下三角矩阵L 和一个上三角矩阵U 的乘积的分解称为A 的三角分解或LU 分解[7].
定理6[8] 给定矩阵n n A R ⨯∈,主元(1),1,,i ii
a i k -=L 均不为零的充分必要条件是A 的顺序主子式,1,,i i k ∆=L 都不为零.
定理7[9] 设ij A a ⎡⎤=⎣⎦是n 阶矩阵，A 可以唯一地分解为单位下三角矩阵L 和上三角矩阵U 的乘积当且仅当A 的前1n -个顺序主子式0,1,,1i i n ∆≠=-L
一个矩阵的QR 分解是指将矩阵A 分解为A QR =，其中Q 是正交矩阵，R 是上三角阵，因此，QR 分解有时也称为正交三角分解[10].
定理8[11] (QR 分解的唯一性) 若n n A R ⨯∈是非奇异的,则存在唯一正交矩阵n n Q R ⨯∈和主对角线元素全为正的上三角矩阵n n R R ⨯∈,使得A QR =.
矩阵的和式分解是指将一个矩阵分解为两个或两个以上特征矩阵(如单位矩阵,对称矩阵)的和的形式[12].
定理 9 任何一个n 阶矩阵都可以表示成一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和
定理 10 秩为r 的实对称矩阵A 可表示成r 个秩为1的对称矩阵之和,其组合系数为A 的特征值.
定理11[13] 实非奇异矩阵A 能够化成正交矩阵Q 和实非奇异上三角矩阵R 的乘积,即
A QR = (3)
称式(3)为A 的QR 分解
定理12[14] 给矩阵A 的任意一列乘以一个常数k,其对应的新矩阵的QR 分
解形式中Q不变,而R的对应列乘以常数K,其他列不变。

定理13[15]A是n 阶非奇异矩阵, 则A总可经过一对行和列的初等变换分解为A QR
的形式,其中Q为正交矩阵,R为非奇异的上三角矩阵。

有关矩阵的分解还可参见外文文献[16]-[17].
三、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标
研究的方法主要有类比法、归纳法、举例法。

技术路线：通过图书馆以及因特网查找相关领域的最新理论、收集资料，对矩阵分解的各种形式在数学发展中的重要作用有较全面、综合的认识，通过老师的指导，同学之间的交流和沟通，收集整理文献，反复讨论研究问题，界定相关概念，阐述理论基础，实施研究方法，得出研究结论，总结研究启示。

四、论文详细工作进度和安排
第七学期第9周至第12周：收集相关资料，阅读相关文献。

第七学期第13周至第15周：在广泛阅读相关材料的基础上，深入分析问题，建
立研究和解决问题的基本方案和技术路线，完成文
献综述、开题报告，外文翻译。

第八学期第1周至第3周：全面开展课题研究，在导师的指导下，按照研究方
案和路线撰写论文，完成论文初稿。

第八学期第4周至第10周：在导师的指导下，对论文进行第一次修改。

第八学期第11周至第12周：对论文进行第二次修改，并完善定稿。

第八学期第13周至第14周: 做好毕业论文答辩准备事项，进行答辩。

五、主要参考文献：
[1] 陈志杰.高等代数与解析几何[M].高等教育出版社,2007.
[2] 黄廷祝、钟守铭、李正良.矩阵理论[M].高等教育出版社,2004.
[3] 王文娟.矩阵分解的原理及其应用[J].高校理科研究,2010,(2):96-97.
[4] 靳全勤.初等变换的一个应用:矩阵的满秩分解[J].大学数学,2009，
(5):195-197.
[5] 俞丽彬,彭振赟.一类广义中心(反)对称矩阵奇异值分解及其算法[J].桂林
电子科技大学学报,2010,(4):343-345.
[6] 史荣昌、魏丰.矩阵分析[M].北京理工大学出版社,2005.
[7] 黄明游、刘播、徐涛.数值计算方法[M].科学出版社,2005.
[8] 索朗.浅析对称M 矩阵的不完全LU 分解算法[J].西藏大学学报,2007，(2):112-115.
[9] 胡茂林.矩阵计算与应用[M].科学出版社，2008.
[10] 沈忱.矩阵的三角分解及其应用研究[J].湖南农机,2010，(3):94-97.
[11] 徐晓飞、曹祥玉、姚旭、陈盼.一种基于Doolittle LU 分解的线性方程组
并行求解方法[J].电子信息学报,2010，(8):2019-2021.
[12] 王瑜.矩阵的和式分解与应用[J].消费导刊,2010，(4)：239.
[13] 许成锋、刘智秉、王侃民、陈剑军.广义延拓矩阵的QR分解[J].九江学院
学报,2009，(6):78-80.
[14] 和斌涛.初等变换与矩阵的QR分解的关系[J].科学技术与工程,2009，
(21):6484-6485
[15] 袁晖坪.实行(列)对称矩阵的QR分解[J].哈尔滨工业大学学报,2009，
(9):238-240.
[16] David y. Linear algebra and its application [M].电子工业出版社,2004.
[17] Michael Artin. Algebra[M].机械工业出版社,2009。