上海交通大学物理竞赛试题解答

第八届上海交通大学大学生物理竞赛

试题及参考答案

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第一试

1，一雨滴的初始质量为0m ，在重力的影响下，由静止开始降落。假定此雨滴从云中得到质量，其质量的增长率正比于它的瞬时质量和瞬时速度的乘积：

kmv dt

dm

= 式中k 为常量。试证明雨滴的速率实际上最后成为常量，并给出终极速率的表达式。忽略空气的阻力。

答：由变质量的运动方程：

()()m dm v dv mv udm mgdt ++--=，此处0u =

2

2kv g dt dv mg

dt

dv

m kmv kmv dt

dm mg dt dv m v dt dm -=∴=+∴==+∴

速度增加到右边为0时，加速度为0，速度不再变化。

2，考虑一个平面，一条直线把平面分为左右两边，质点在两边的势能分别为l U 和r U ，当一个质点以速率v 斜入射并通过这条直线时，方向如何变化？

答：设左右两边分界线为直线l ，粒子运动速度与l 的法线夹角为l θ。当粒子经过l 后，速度为r v ，与法线夹角r θ。 平行于界面动量不变：

sin sin l r r mv mv θθ=

机械能守恒：

2211

22

l r r mv U mv U +=+ 由此解出：

2)

(2v m

U U v r l r +-=

))

(2sin arcsin(

2

2v m

U U v r l l +-=θθ

3，一个理想成像的薄凸透镜，一个直的傍轴物体，与主光轴有一定倾斜角，它的像是直的还是弯的？

（1） 请回答此问题并根据成像公式给出严格的数学证明。（只需在平面坐标下

证明）

（2） 你能从物理角度给出一个非常简洁的的证明么？

答：（1）设y 轴为凸透镜，焦距f ，物所在直线方程为y=kx+b (x<0)。由成像公

式：f

v u 1

11=+，且物处于y 轴左侧，有

b

x f

b

k y x f x b k y x x b kx x x y y x

x y y f x x +-=∴-+=∴+=?=∴--==+-')(''

)1

'1((''

)(''''1'11

所以，像所在曲线方程b x f

b

k y +-

=')('仍为直线，所以成像是直的。 （2）假设一束光通过此物体所有点，即沿着此物体传播，那么此光线的折射光线仍然要沿着像上个点传播。由于折射后光仍是直线传播，所以成像必须是直的。

4，已知哈雷彗星的周期为76年，试估计其轨道的长半轴。

答：由开普勒第三定律：行星轨道半长轴的三次方与周期平方成正比。 用a,T 表示哈雷彗星轨道的半长轴和周期，用00,T a 表示地球轨道的半长轴和周期。则：

m

a m Au Au a a year

years

a T a T a 12110

3

203

231067.21049.1194.17176?=∴?==∴?=∴=

本题只要估计合理即可。

如果了解光从太阳射到地球大概要8分钟，对Au 的数量级估计是不会错的。

5，一质点在xy 平面运动，受力

θe r

C F =

其中r 为离开原点的距离，θe 为横向（垂直于位移矢量r

）单位矢量。试分析此

力对质点的做功情况，这个力是保守力还是非保守力？

答：在平面极坐标下：

θ??0r c r += θθ??rd r

dr d += 做功W ：

θθ?=+=?=?c cd s d F W l

此力做功仅和角度有关，θ?为路径绕过原点的角度。

沿一条包围原点的闭合路径做功，则02≠?=c W π,所以F 不能沿任何闭合路径

做功为零，所以F 不是保守力。

6，水的定压比热容为4.186)/(K kg kJ ?，可近似看成与温度无关。（a ）在恒压条件下，C o 0的1.0kg 水突然与C o 100的热库接触，当水达到C o 100时，求水和热库的总熵变。（b ）在恒压条件下，如果C o 0的1.0kg 水先与C o 50的热库接触，平衡后再与C o 100的热库接触，求整个系统的熵变。

附注：熵的定义：熵是一个状态函数，记作S ，它在状态1、2之间的差值定义为：

)(2

1

12沿可逆过程?

=-=?T

dQ

S S S

答：(a)对水:)(0T T C Q p -=

K

kJ mC dT T mC S T

dT mC T dQ dS p p p /306.1)273373

ln(373

273

===?=

=? 对热库:T=373K

K kJ T

T T mC S p /122.1)

(0-=--=

?

总熵变：0.184 kJ/K

(b)对水：熵变仍为1.306kJ/K 对热库1：

K kJ T T T mC S p /648.0)

(1

011-=--=

?

对热库2：

K kJ T T T mC S p /561.0)

(2

122-=--=

?

总熵变：

K kJ S /097.0561.0648.0306.1=--=?

7，求解如图所示用一根细线悬挂圆规时，圆规张开多大的角度可以使其旋转点

（即两臂连接处）抬升得更高，假定圆规两臂的长度相等。假定圆规臂上质量分布均匀。

答：

arccos(1/3)

如图，A为悬挂点，0为旋转点，B为另一脚端点。可知，两脚的重心为它们的中点E、C，整个圆规重心在EC中点F，悬挂时绳的延长线肯定过F，做OH垂直于AF，则AH代表了O的高度，想让O最高，则使AH最短。

在直角三角形AHO中，AH=AOcos(A), 这样就仅需求出角A的最大值。

因为OE=OC,F为CE中点，所以OF垂直于EC，所以无论B点如何变动，角OFC总为直角，这样，F的轨迹为圆，CO为此圆直径，如上图。

当AF与此圆O’相切时，角A最大，如下图。

FO ’垂直于AF ，且AO ’=3FO ’,所以cos(FO ’A)=1/3。因为F 、O ’为CE ，CO 中点，所以FO ’平行于EO ，所以角FO ’C=角EOA,即圆规的张角。 这样，想让圆规旋转点最高，要使张角为arccos(1/3)。

8，两块平行的导电平板，面积均为S ，两者内壁相距0L ，它们由一个导电弹簧连接，该弹簧的松弛长度为0L ，劲度系数为k ，整个系统是电中性的。最初弹簧处于松弛状态，且0L 远小于平板尺度。现将此系统置于一方向和导电平板垂直的均匀电场0中，则两板之间的平衡距离为L 。试求L 作为0，0L ，k 和S 的函数关系。

答：因为两块极板被导电弹簧连接，所以两极板等电势，两板间电场强度为0，仅在两块导体外侧存在感应电荷。

由于0L 远小于平板尺度，导体板可以看作无限大带电平面。由对称性，两极板面电荷密度大小相等，设带正电的极板面电荷密度为σ。曲一个直圆柱形高斯面，包围一小块极板外表面，两底平行于极板，底面积为S ’。由高斯定理：

000'''

E S E S d E S s εσεσ=∴=?=??

另一块极板在此极板处产生场强：E ’

002

1

21'E E -=-

=εσ 外界产生的总场强E ：

002

1

'E E E E =

+= 此极板受电场力F ：

S E F dS

E F S 20002

1

21

εσ=

?=??

由胡克定律：

)(0l l k F -=

所以l 为：

02002l k

S

E l +=

ε

本题也可以用虚功原理求极板受的电场力。

9，如本题图，以刚性杆的固有长度恰好与栅栏的间隔相等。杆与栅栏保持平行，向前高速运动，同时具有一个向栅栏靠拢的微小横向速度。当杆飞临栅栏所在的平面时，正好对准了一个空档。因洛仑兹收缩效应，它此刻的长度比栅栏间隔略小，竟未受任何阻碍而顺利通过。如果我们变换到杆的静止参考系类去看问题，则发现栅栏的间隔因洛仑兹收缩而变得比钢杆的长度小些，杆还通的过吗？

答：

如果选v 方向为x 轴，那么长度收缩只发生在x 方向，y 方向长度不会发生变化。设在不发生相对论效应时，杆的倾斜方向与速度方向成角θ。杆和栅栏在y 方向的长度（即高度）均为θsin l ，刚好通过。所以，当发生相对论效应是，无论以谁为参照系，无论x 方向长度收缩多少，两者在y 方向的分量相同，杆均可以顺利通过栅栏间的空间。下面具体分析。

假设杆相对于栅栏速度为v ，取v 方向为x 方向，栅栏与x 轴夹角为θ，栅栏间距l 。在栅栏参照系下，观察到一根杆长度为l 的杆，以倾角θ沿x 轴，以速度v 通过栅栏。

设栅栏两端为a,b;杆两端为a ’,b ’.在栅栏参照系下，a,a ’重合与b,b ’重合是同时发生的。一个高度为θsin l 的杆通过一个高度θsin l 的栅栏，理所当然；从长度角度看，一个长为l 的杆通过一个宽为l 的栅栏，也是理所当然。 这时，可以计算杆的固有长度

l l l >+=θγ2220cos sin

固有长度分量：

θ

θγsin cos 00l l l l y x ==

可以看出，它与x 轴夹角并不是θ，而是比θ小，设为1θ。 在杆的参照系下，栅栏的长度也发生了变化，如下：

θ

γ

θ

γ

θ

sin 'cos 'cos sin '2

22

l l l l l l l y x ==

<+=

栅栏间距变小了，与x 轴夹角却变大了，设为2θ。这样，在杆参照系下，b,b ’先重合，a,a ’后重合，这两个事件不是同时的，所以它是斜着穿过栅栏的。从y 方向看，一个高度为θsin l 的杆通过一个高度θsin l 的栅栏，理所当然；从长度角度看，虽然栅栏间距比杆小，但杆是斜着穿过的，也是理所当然的。 所以，无论从哪个参照系下看此事件，都不违背任何物理规律。

10，在基于物理学的杂技表演中，同样密度、半径分别为r 和R=2r 的两个圆柱，被放置在一个质量为M=6kg 的小车上，小圆柱的质量为m=1kg ，两圆柱之间以及圆柱与小车之间的静摩擦系数达到足以保证两者之间保持为无滑滚动，在初始状态下，大圆柱的轴线位于小车的中间位置，并且三者相对静止。小车受到一个水平拉力F ，方向如图所示，运动过程中两圆柱的轴连线与水平方向成固定 60=?。

（1）求外力F 的大小； （2）要维持这种状态1秒钟，小车至少要多长；

（3）?角有等于0度的可能吗？试分析。

答：由两个圆柱的体积关系，可得大圆柱的质量为4m 。由已知，小车质量M=6m 。 设小圆柱和大圆柱的角加速度为21,αα，两圆柱共同的水平方向线加速度为1a ，小车的加速度为2a 。当两圆柱以及大圆柱与小车均作无滑的无粘滞阻力的滚动时，我们有

122a a R -=α和12ααr R = 由于r R 2=，因此

r

a a 1

2212-=

=αα（1） 大小两圆柱的转动惯量分别为22282/4mr R I ==和2/21mr I =。 受力分析如图。

有如下动力学方程：

)

8(cos sin R R )7(,sin cos )6(,)5(,)4(,4m )3(,04m )

2(,6m .221211*********α??α??I R N N F I r N r N ma N mg N a N F N N g a F F fr fr fr =-+=-===-=-+=-转动方程：

对大圆柱水平方向：对小圆柱竖直方向：对大圆柱水平方向对大圆柱竖直方向：对小车：平动方程：

由（4），（6）

)9(54111ma ma ma F fr =+=

由（5），（6），（7），（8），（9）：

)

11(4cos 2sin 210)

10(,2

sin cos .22111

212α??α??mr mgr r ma r ma mr r ma N mgr =-+=-

两式相除，又由（1），可解出：

3

2sin 1cos 1+=+=

g

g a ??

把此结果代回（10），可解出：

r

g

r g )32(2)sin 1(cos 21+=+=

??α

把以上两结果代回（1），可解出：

r

g

g a )32(3sin 1cos 32+=+=

??

把以上结果和式（9）代回（2），可解出：

)

32(23sin 1cos 23+=+=

g

mg F ??

由已知，初始时圆柱位于小车中点，要维持一秒，则小车长l 满足：

3

22sin 1cos 2)(2

1

2212+=

+≥-≥g g l t a a l ??

若0=?，则：

;

5,5;,23;2,2,21121mg N mg F mg N N mg F r

g g a g a fr ======

==α 一切加速度，角加速度，力都是有意义的，所以可以实现0=?。

因为题中给出条件，接触表面绝对粗糙，保证无相对滑动，所以无须考虑摩擦力与正压力的关系。如果考虑到实际情况，想达到0=?时的平衡，必须要使静摩擦系数s μ大于1。

第二试

1：设粒子在一无穷深势阱中运动，势能为

{

时

当时

当a x x a x V ><∞<<=

,0,0,0 （1）求粒子的能级和波函数；

（2）处于第n 个能级的粒子，求其位置平均值的和涨落；

（3）求出经典力学下的x 和2)(x x -并与（2）中的结果比较；

（4）计算粒子处在区间[0，a 2

1

]内的量子概率和经典概率，比较其结果；

（5）若在t=0时，粒子处在状态

012

3

21ψψψ-

= 求位置 x 和动量p 随时间的演化。

（6）下面给出了氢原子电子在n=2,l=1状态下的波函数（n 为主量子数，l 为角量

子数，m 为磁量子数）。表达式为求坐标下的表达式。

)

(053.0)()21(31)(:1,2)sin(83

),(:1,1)

cos(43

),(:0,1)(),(),,(1212/31

1,21,10,1,,1

nm e

r r R l n e Y m l Y m l r R Y r r

i l n m l =====

±======ψ-±±αααθπ

φθθπφθφθφθα?

请定性描述这种状态下的各种可能电子云形状，并通过一些简单的计算支持你的观点。

（答题字数：500以上，前五问要给出尽量详细的计算过程）

答：（1）薛定谔方程

t

i V x m ?ψ

?=ψ+?ψ?- 02

222 把波函数方程的解写为

/)()()(),(i E t e

x t T x t x -==ψψψ

求解定态的薛定谔方程

ψψE x V m

=+?-)](2[2

2 对于势阱内部0=V ，方程转化为

022

22=+ψψ

E dx d m 求解此微分方程有

)s i n (δψ+=kx A

考虑边界条件，波函数在a x ,0=处为零，即得常数0=δ，且有量子化条件 ,...2,1,==n n ka π 于是定态的波函数解为

...

2,1,8s i n

)(2

2

2

===n ma h n E a

x n A x n n πψ

作归一化处理

a A /2= 粒子波函数为

,...,

2,10,s i n /2),(/=≤≤=ψ-n a

x e a

x

n a t x t iE n n π （2）对于第n 能级，位置平均值和涨落

)

61(12)2()(2

/222

*220

*

πn a dx a x x x a dx x x a n n a

n n -=ψ?-?ψ=-=ψ??ψ=??

(3)在经典力学下，粒子在陷阱中任一处都是等概率的即a P /1=，所以

12)2()(2

/2

220

a

dx a x P x x a xdx P x a a

=

-?=-=?=??

可以看到，由量子力学解出的位置平均值和经典力学下的结果是一样的，这是由对称性决定的。而量子力学解出的涨落在取∞→n 的极限就是经典力学下的解，可见经典力学下的解不过是量子力学在取量子数趋向于无穷大的极限，这一点对位置平均值也是适用的。这恰好反映了波尔的对应原理。 (4)由对称性，其结果显然都为1/2。

(5) 对于012

3

21ψψψ-

=，它并不是一个新的状态。若粒子的波函数满足以上等式，我们能肯定的只是粒子在任一时刻要么处在1ψ，要么处在0ψ，且二者必居其一。这实际上是粒子在不同能级间跃迁时所处的状态。考虑波函数的时间部分

)

s i n 232s i n 21(/223

21//0112 t iE t iE e a

x

e a x a ---=ψ-ψ=

ψππ

据此求解粒子位移和速度与时间的关系

)

c o s ()(s i n 2s i n 43s i n 432s i n 4120/)(/)(220

*

2121t B A dx e e a x a x a x a x x a dx

x x a

t E E i t E E i a

n n ωππππ+=???

? ??+-+?=ψ??ψ=??---

其中A ，B 为常数， /)(12E E -=ω。

由上式可见，粒子位置的平均值是随时间变化的，且形式为简谐振子。由电磁辐射原理，若此粒子为电子，它会发出频率为h E E /)(12-的光子，其能量恰好为12E E -。

dx t E E i a x

a x t E E i a x a x a x a a x a a i dx e a

x a e a x a e a x e a x a i dx x

i p a

a

t iE t iE t iE t iE a

n n ???-----+-=---=ψ??

-?ψ=--*021210////0]})(exp[cos 2sin ])(exp[2cos sin 2sin 834sin 4{2)cos 232cos 221)(sin 232sin 21(2)(1212

ππππππππππππππ

t D F t F t D C i t

E E i i

F t E E i iD iC ωωωsin )()cos cos (]

)(ex p[]][ex p[

2121-+++=--+-+=

其中C ，D ，F 为常数。取实部，可见其动量平均值亦符合简谐振子的运动形式，角速度 /)(21E E -=ω

（6）根据计算可以得到p 能态电子云应该是绕z 轴旋转对称的，经计算，m=0的电子云主要分布在z 轴附近，形状类似于一个哑铃，m=1或m=-1的电子云分布在xy 平面，形状如同中间薄边缘厚的饼或面包圈。

注：对应原理。波尔认为，在原子范畴内的现象与宏观范围内的现象可以各自遵循本范围内的规律，但当把微观范围内的规律延伸到经典范围内时，则它所得到的数值结果应该与经典规律所得到的相一致。

2：（1）如果一个物理过程在自然界中发生，它是满足某一个物理规律。如果有一面镜子，那么你在镜子中将看到一个与这个过程“对称”的过程在镜子中发生。请问：在镜子中的那个物理过程是否也满足同一个物理规律？

（2）把一块牛排放在镜子旁，在镜子中会出现一个虚像。如果在现实生活中存在一块与那个虚像全等．．的牛排，那么你吃下这块牛排，将会对你造成什么影响？ （3）如图：一根直导线旁边放一个磁针，那么磁针会在磁场的作用下旋转。在这个系统旁边放一块镜子，那么镜子中的那个直导线产生的磁场和原来的磁场时相同的，但你看到镜子中的磁针却像另一个方向偏转。这是否说明在我们这个世界中适用的物理规律在镜子中的那个“世界”是不适用的呢？请详细分析。

（4）放开你的眼界，你能否找到一个现象，说明在我们这个世界中适用的规律在镜子中的世界不适用。 （5）谈谈你对对称性的理解 （答题字数：500以上）

3：（1）电影《黑客帝国》描述了未来人类与机器人发生战争的情景。人类为了战胜机器，就引爆核弹，让激起的尘埃遮蔽天空，以为没有了太阳能，机器就失去了能源从而失去动力。可是机器却俘虏大量人类，利用人的新陈代谢释放的能量给他们提供电能，死去的人就被分解后给其他人提供营养。就这样，利用这个巨大的“人体电池”，机器把人类逼到了地下生活，并利用“Matrix ”来控制用来提供电能的人类俘虏的思维，在他们的大脑里构造出一个今天我们生活的世界。人类进行了1900多年的战争仍没有取得胜利。请问：电影里所描述的那种情形会存在么？请从热力学角度进行解释。

（2）请从热力学角度通过计算估计地球能够承担的人口上限。 （答题字数：500以上）

I

M

I’