勾股定理的实际应用习题
17.1勾股定理提升练习
1.如图18-29所示,有一块直角三角形纸片,两直角边AB=6,BC=8,将△ABC折叠,使AB落在斜边AC上,折痕为AD,则BD的长为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
2.如图18-30所示,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为10 cm,正方形A的边长为6 cm,B的边长为5 cm,正方形C的边长为5 cm,则正方形D的边长为( )
A.14cm
B.4 cm
C.15cm
D.3 cm
3.如图18-31所示,把矩形纸条ABCD沿EF,GH同时折叠,B,C两点恰好落在AD边的P点处,若∠FPH=90°,PF=8,PH=6,则矩形ABCD的边BC的长为( )
A.20
B.22
C.24
D.30
4.如图18-32所示,四边形ABCD为长方形纸片,把纸片ABCD折叠,使点B恰好落在CD边的中点E处,折痕为AF.若CD=6,则AF等于( )
A.43
B.33
C.42
D.8
5.如图18-33所示,直线l是一条河,P,Q两地相距8千米,P,Q两地到l的距
离分别为2千米、5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P，Q
两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（如图18-34所示）( )
6.如图18-35所示,已知半圆A的面积是3，半圆B的面积是4，则半圆C的面积是.
7.若直角三角形的斜边长为25 cm，一条直角边的长为20 cm，则它的面积
为cm2,斜边上的高为cm.
8.若直角三角形的两条直角边长分别为8，15，则它的周长为.
9.如图18-36所示,P是△ABC内任意一点,PD⊥AB,垂足为D,PE⊥BC,垂足为E,PF⊥AC,垂足为F,则AD2+BE2+CF2=AF2+BD2+CE2成立么？说明理由.
10.一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行,另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行,则一个半小时后,两船相距多少海里?
11.将一根长24 cm的筷子置于底面直径为5 cm,高为12 cm的圆柱形透明玻璃杯中,如图18-37所示,设筷子露在杯子外面的长为h cm,求出h的取值范围.
12.如图18-38所示,探索n×n的正方形钉子板上(n是钉子板每边上的钉子数),连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数:当n=2时,钉子板上所连线段的不同长度值只有12,所以不同长度值的线段只有2种,若用S表示不同长度值的线段种数,则S=2;当n=3时,钉子板上所连线段的不同长度只有1, 252五种,比n=2时增加了3种,即S=2+3=5.
(1)观察图形,填写下表:
钉子数(n×n) S值
2×2 2
3×3 2+3
4×4 2+3+( )
5×5 ( )
(2)写出(n-1) ×(n-1)和n×n的两个钉子板上不同长度值的线段种数之间的关
系;(用式子或语言表述均可)
(3)对n×n的钉子板,写出用n表示S的代数式.
13.把一副三角板按如图18-39所示放置,其中∠ACB=∠DEC=90°,∠A=45°,∠D=30°,斜边AB=6 cm,DC=7 cm,把三角板DCE绕点C顺时钉旋转15°得到△D′CE′,如图18-40所示,这时AB与CD′相交于点O,D′E′与AB相交于点F.
（1）求∠OFE′的度数;
（2）求线段AD′的长;
（3）若把△D′CE′绕点C顺时钉再旋转30°得△D″CE″,这时点B在△D″CE″的内部、外部，还是边上？证明你的判断.
参考答案
1.A[提示：因为∠B =90°，AB =6，BC =8，所以AC 2=AB 2+BC 2=62+82=100，所以AC =10，又因为△ABD ≌△AED ，所以BD=DE ，∠AED=∠B =90°，AB=AE =6，设BD=DE=x ，则DC=BC-BD =(8-x ) 2,所以x =3.]
2.A[提示：设正方形D 的边长为x cm ，由图可知62+52+52+x 2=102,解得x =14.]
3.C
4.A[提示：由题意可知DE =3，AE=AB =6，在Rt △ADE 中，由勾股定理得AD =33，在Rt △EFC 中，设CF=x ,则BC=AD =33，EF=BF=33－x ,根据勾股定理得x =3,所以BF =33-x =23，在Rt △ABF 中，AB =6，BF =23，根据勾股定理得AF =43.故选A.]
5.A[提示：A 项：管道长为PM+PQ =2+8=10（千米），B 项：如图18-41所示，PM+QM=BQ =22AB AQ +，在Rt △PCQ 中，
PC=22228(52)55PQ CQ -=--=，
∴BQ=22(55)(52)++=104≈10.2(千米)，C 项：如图18-42所示，∵PB+BQ ＞PQ ，∴PB+BQ ＞8，BM=P A =2，∴PB+BQ+BM ＞10，D 项：∵M 为直线l 上任意一点，∴PM+QM 要大于图18-41中的PM+MQ ，即铺设管道D 中的要大于B 中的. ∴管道最短的是A.]
6.7[提示：S 半圆C =S 半圆A +S 半圆B .]
7.150 12[提示：另一直角边长为222520-=15，∴
12×20×15=12×25 h ，∴h =12.]
8.40[22815+，∴周长为17+8+15=40.]
9.解：相等.现由如下:连接
AP ,BP ,CP ,由勾股定理,得
AD2=AP2-PD2,BE2=BP2-PE2,CF2=CP2-PF2,所以
AD2+BE2+CF2=AP2-PD2+BP2-PE2+CP2-PF2
=(AP2-PF2)+(BP2-PD2)+(CP2-PE2),而AP2-PF2=AF2,BP2-PD2=BD2,CP2-PE2=CE2,所以AD2+BE2+CF2=AF2+BD2+CE2.
10.解:如图18-43所示,东南方向即南偏东45°,西南方向即南偏西
45°,故∠BOA=90°,又因为两船行驶 1.5 小时,则OA=16×1.5=24(海
里),OB=12×1.5=18(海里),连接AB,在Rt△AOB中,由勾股定理得
AB2=OA2+OB2.所以AB2=242+182=576+324=900,所以AB=30海里.答:
一个半小时后两船相距30海里.
11.解:当筷子竖起放置时,露在外面的最长,此时h=24-12=12(cm).设筷子斜放时,插入杯最大长度为x cm.由勾股定理得x2=52+122=169, ∴x=13,此时h=24-13=11(cm). ∴11≤h≤12.
12.解:(1)4 2+3+4+5(或14) (2)n×n的钉子板比(n-1) ×(n-1)的钉子板上不同长度值的线段种数增加了n种或分别用a,b表示n×n与(n-1) ×(n-1)的钉子板上不同长度值的线段种数,则a=b+n.(3)S=2+3+…+n.
13.解:(1)如图18-44所示,因为∠3=15°, ∠E′=90°, ∠1=∠2,所以
∠1=75°,又因为∠B=45°,所以∠OFE′=∠B+∠1=45°+75°=120°,
(2)因为∠OFE′=120°,所以∠D′FO=60°,又因为∠CD′E′=30°,
所以∠4=90°,又因为AC=BC,AB=6,所以OA=OB=3,因为∠ACB=90°,
所以CO=1
2
AB=
1
2
×6=3,又因为CD′=7,所以OD′=CD′-OC=7-3=4,
在Rt△AD′O中,AD′=2222
34
OA OD
+'=+=5(cm).
(2)点B在△D″CE″的内部,理由下如:设BC(或延长线)交D″E″于点B′,因为
∠B′CE″=15°+30°=45°,在Rt△B′C E″中,CB′=2CE″=72
2
,又∵CB=32
＜72
2
,即CB＜CB′,所以点B在△D″CE″的内部.。
勾股定理的练习题(打印版)
勾股定理的练习题（打印版）# 勾股定理练习题## 一、选择题1. 勾股定理适用于哪种形状的三角形？- A. 直角三角形- B. 等边三角形- C. 等腰三角形- D. 任意三角形2. 直角三角形的两条直角边分别为3和4，斜边的长度是多少？- A. 5- B. 6- C. 7- D. 8## 二、填空题1. 如果直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么根据勾股定理，c的平方等于______。
2. 已知直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为5，另一条直角边的长度是______。
## 三、计算题1. 一个直角三角形的两条直角边分别为6厘米和8厘米，求斜边的长度。
2. 已知一个直角三角形的斜边长为10厘米，一条直角边长为6厘米，求另一条直角边的长度。
## 四、应用题1. 一个梯形的上底为3米，下底为5米，高为4米。
如果将这个梯形分成两个直角三角形，求这两个直角三角形的斜边长度。
2. 一个建筑物的高为50米，从地面到建筑物顶部的直线距离为60米。
求建筑物底部到直线投影点的水平距离。
## 五、证明题1. 证明在一个直角三角形中，斜边是最长的边。
2. 证明勾股定理在等腰直角三角形中同样适用。
注意：请在答题纸上作答，并确保书写清晰、整洁。
答案：一、选择题1. A2. A二、填空题1. a² + b²2. 12三、计算题1. 斜边长度= √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10厘米2. 另一条直角边长度= √(10² - 6²) = √(100 - 36) = √64 =8厘米四、应用题1. 两个直角三角形的斜边长度分别为：√(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5米2. 水平距离= √(60² - 50²) = √(3600 - 2500) = √1100 ≈ 33.1665米五、证明题1. 略2. 略请同学们认真审题，仔细作答，确保答案的准确性。
用勾股定理进行计算练习题
用勾股定理进行计算练习题勾股定理是高中数学中最基础而又重要的定理之一。
通过勾股定理，我们可以计算直角三角形中的各边长度，解决与三角形相关的复杂计算问题。
本文将通过一系列的计算练习题，帮助读者掌握勾股定理的运用。
1. 已知直角三角形的两个直角边分别为a=3cm，b=4cm，求斜边c的长度。
解答：根据勾股定理，有c²=a²+b²。
代入已知条件，可得c²=3²+4²=9+16=25。
因此，c的长度为√25=5cm。
2. 已知直角三角形的斜边c的长度为8cm，另一直角边为a=5cm，求另一直角边b的长度。
解答：根据勾股定理，有c²=a²+b²。
代入已知条件，可得8²=5²+b²。
解方程可得b²=64-25=39。
因此，b的长度为√39cm。
3. 已知直角三角形的两个直角边分别为a=7cm，b=24cm，求斜边c的长度。
解答：根据勾股定理，有c²=a²+b²。
代入已知条件，可得c²=7²+24²=49+576=625。
因此，c的长度为√625=25cm。
4. 已知直角三角形的斜边c的长度为10cm，另一直角边为a=6cm，求另一直角边b的长度。
解答：根据勾股定理，有c²=a²+b²。
代入已知条件，可得10²=6²+b²。
解方程可得b²=100-36=64。
因此，b的长度为√64=8cm。
通过以上练习题，我们可以看到勾股定理在计算直角三角形相关问题中的重要性。
只需要知道两个已知边的长度，我们就能快速计算出第三边的长度。
勾股定理是解决三角形问题的基础步骤，也是其他数学问题中的重要工具之一。
除了计算直角三角形的边长，勾股定理还可以应用于其他方面的计算。
例如，在测量地面距离时，我们可以利用勾股定理计算出两点之间的直线距离。
勾股定理综合应用习题精选
勾股定理综合应用习题精选1、在△ABC 中，∠C=30°，AC=4cm,AB=3cm ，求BC 的长.1题图 变式1变式1、在△ABC 中，∠B=120°，BC=4cm ，AB=6cm ，求AC 的长.变式2、在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝13cm ，BC=10cm,求△ABC 的面积和AC 边上的高.ABC 中，AB=26，BC=25，AC=17，求△ABC 的面积.2、已知：如图，∠B=∠D=90°,∠A=60°，AB=4，CD=2.求四边形ABCD 的面积.方法1方法2变式训练：如图，在平面直角坐标系中，点C 的坐标为（0，4），∠B=90°，∠BCO=60°，AB=2，求点B 的坐标.3、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ， AC=6cm ，BC=8cm ，（1）求线段CD 的长；（2）求△ABD 的面积.变式练习：如图，在直角坐标系中， △ABC 的顶点A 为（0，6），B 为（8，0），AD 平分∠BAC 交x 轴于点D ， DE ⊥AB 于E.（1）求△ABD 的面积；4AC=10cm ，BC=6cm,你能求出CE 的长吗？5、矩形ABCD 如图折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处，已知AB=8，BC=10，求折痕AE 的长。
6、Rt ΔABC 中,AB 比BC 多2,AC=6,如图折叠,使C 落到AB 上的E 处,求CD 的长度,8-x C8 E C ABD 10-x6 A C DEB CDE x7、三角形ABC 中,AB=10,AC=17，BC 边上的高线AD=8,求BC8、.将一根长24 cm 的筷子置于底面直径为5 cm,高为12 cm 的圆柱形水杯中,如图,设筷子露在杯子外面的长是h cm,则h 的取值范围是______________.9．（2011•济宁）去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A 和李村B 送水．经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O 为坐标原点，以河道所在的直线为x 轴建立直角坐标系（如图）．两村的坐标分别为A （2，3），B （12，7）．（1）若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥多远的地方可使所用输水管道最短？（2）水泵站建在距离大桥多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？10．（2011•呼伦贝尔）根据题意，解答问题：（1）如图①，已知直线y=2x+4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，求线段AB 的长．（2）如图②，类比（1）的解题过程，请你通过构造直角三角形的方法，求出点M （3，4）与点N （﹣2，﹣1）之间的距离．8 AB C118D1．已知：直线y=kx+b的图象过点A（﹣3，1）；B（﹣1，2），（1）求：k和b的值；（2）求：△AOB的面积（O为坐标原点）；（3）在x轴上有一动点C使得△ABC的周长最小，求C点坐标．2．（2005•双柏县）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米？3．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s=3.6km/h）4．有一根竹竿，不知道它有多长．把竹竿横放在一扇门前，竹竿长比门宽多4尺；把竹竿竖放在这扇门前，竹竿长比门的高度多2尺；把竹竿斜放，竹竿长正好和门的对角线等长．问竹竿长几尺？5．如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？6．有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m的一棵大树上，大树高14m，且巢离树顶部1m．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要多少时间才能赶回巢中？7．如图，有一块塑料矩形模板ABCD，长为8cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P 落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P：能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由．8．一只蚂蚁从长、宽都是30cm，高是80cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，求它所行的最短路线的长．9．如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B在棱CD上，CB=5cm．一只壁虎要沿长方休的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短路径是多少cm？10．如图，圆柱形玻璃容器高19cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1.5cm的点A处有一只蜘蛛，距蜘蛛正对面的圆柱形容器的上底1.5cm处的点B处有一只苍蝇，蜘蛛急于捕捉苍蝇充饥，请你帮蜘蛛计算它沿容器侧面爬行的最短长度．11．华罗庚爷爷说：数学是我国人民所擅长的学科．请同学们求解《九章算术》中的一个古代问题：“今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛长几何？”白话译文：如图，有圆柱形木棍直立地面，高20尺，圆柱底面周长3尺．葛藤生于圆柱底部A点，等距离缠绕圆柱七周，恰好子长到圆柱上底面的B点．问葛藤的长度是多少尺？11．（2007•聊城）（1）如图1是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式；（2）如图2，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B=∠D=90°，且B，C，D三点共线．试证明∠ACE=90°；（3）伽菲尔德（Garfield，1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（1876年4月1日，发表在《新英格兰教育日志》上），现请你尝试该证明过程．12.如图18－1－24，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以107千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域.（1）A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；（2）如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？。
勾股定理及应用 练习题(带答案
勾股定理及应用 题集一、勾股定理与逆定理A. B. C. D.1.如图所示的一块地，，，，，，这块地的面积为（ ）．【答案】B 【解析】连接，在中，，∴，∵，，，∴是直角三角形，．【标注】【知识点】勾股逆定理的应用2.如图，在四边形中，，，，．求的度数．【答案】．【解析】连接，在中，，，∴，∴，∴，∵，，∴．在中，，∴是直角三角形，即，∵，∴．【标注】【知识点】勾股定理的逆定理【知识点】勾股定理的证明A.尺B.尺C.尺D.尺3.如图，有一个水池，其底面是边长为尺的正方形，一根芦苇生长在它的正中央，高出水面部分的长为尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则这根芦苇的长是（ ）．【答案】C 【解析】苇长尺，则水深尺，∵尺，∴尺，∵中，．∴．【标注】【知识点】勾股定理与实际问题（1）（2）4.如图，一架云梯长米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面米．这个梯子底端离墙有多少米．如果梯子的顶端下滑米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了米吗？【答案】（1）（2）米．不是．【解析】（1）（2）由题意得此时米，米，根据，∴可求米．设滑动后梯子的底端到墙的距离为米，得方程，，解得，所以梯子向后滑动了米．综合得：如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底部在水平方向不是滑米．【标注】【知识点】勾股定理的综合应用A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形5.若的三边长，，满足，则是（ ）．【答案】D【解析】∵，∴或．∴或．∴为等腰三角形或直角三角形．【标注】【知识点】勾股逆定理的应用A. B. C. D.6.如图，已知在中，，分别以、为直径作半圆，面积分别记为、，则等于（ ）．【答案】A【解析】由勾股定理可知：．，，∴．【标注】【知识点】勾股定理与几何问题（1）（2）7.下表中给出的每行三个数、、满足，根据表中已有的数的规律填空：当时， ， ．用含字母的代数式分别表示、，，．【答案】（1）（2）;; 【解析】（1）（2）∵，∴，．∵，，；，，；，，；∴，．【标注】【知识点】勾股树（1）（2）（3）8.若一个直角三角形的两条直角边长为、，斜边为，斜边上的高为．求证：．．以、、为边构成的三角形是直角三角形．【答案】（1）（2）（3）证明见解析证明见解析证明见解析【解析】（1）（2）（3）∵，，∴，代入得，∴．由，，则，∴，即，∴略【标注】【知识点】解直角三角形的综合应用二、勾股定理的方程思想1.如图，已知等腰的底边，是腰上一点，且，，求的周长．【答案】．【解析】由勾股定理逆定理得，是直角三角形．在中，应用勾股定理，设，代入数值得，.所以的周长=．【标注】【知识点】方程思想在勾股定理的应用2.如图，在中，，平分，，，求的长．【答案】．【解析】过作，∵平分，∴，∵，∴由勾股定理得，设，则，在由勾股定理得：，解得，∴．【标注】【知识点】方程思想在勾股定理的应用（1）（2）3.如图，在中，，，，的平分线与相交于点，过点作，垂足为．求的长．求的长．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）∵平分，，，∴，在和中，（2），∴≌，∴．∵，，，∴在中，，∴，．设，则，，在中，，，解得，∴．【标注】【知识点】方程思想在勾股定理的应用4.如图，在中，，，，求边上的高．【答案】．【解析】设为，则，∵为的高，∴在中，，在中，，∴．即，解得：．∴．∴在中，．【标注】【知识点】方程思想在勾股定理的应用（1）（2）5.如图，在中，，，，点为边上的动点，点从点出发，沿边往运动，当运动到点时停止，设点运动的时间为秒，速度为每秒个单位长度．若是直角三角形，求的值．若是等腰三角形，求的值．【答案】（1）（2）或．，或．【解析】（1）（2）当时，是直角三角形，，，故．∵，∴，即，，．当时，是直角三角形，此时与重合，∴，，综上所述，或．当时，即，解得，当时，取中点，连接．∵，∴，∴，∴，∴，即．当时，过点作于点．∵，，，∴，在中，，即，综上所述，的值为，或．【标注】【知识点】方程思想在勾股定理的应用6.如图，是一张直角三角形纸片，，两直角边、，现将折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为 ．【答案】【解析】依题可知≌，∴．设，则，在中，，，∴，解得，，∴．【标注】【知识点】翻折问题与勾股定理7.如图，在中，，，，将折叠，使点恰好落在斜边上，与点重合，为折痕，则 ．【答案】 或【解析】在中，，∵将折叠得到，∴，，∴．设，则．在中，，∴，解得．∴．【标注】【知识点】解直角三角形的综合应用A. B. C. D.8.如图，在矩形中，，，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则线段的长为（ ）．【答案】A【解析】设，则，∵四边形为矩形，∴，，，∴，由题意得：，∴，∴，由勾股定理得，即，解得：，∴，∴．【标注】【知识点】其它翻折问题9.如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处．当为直角三角形时，的长为 ．【答案】或【解析】当为直角三角形时，有两种情况：图图①当点落在矩形内部时，如答图所示．连接，在中，，，，沿折叠，使点落在点处，，当为直角三角形时，只能得到，点、、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处，，，，设，则，，在中，，，解得，；②当点落在边上时，如答图所示．此时为正方形，．综上所述，的长为或．故答案为：或．【标注】【知识点】四边形与折叠问题三、勾股定理与最短路径问题A. B. C. D.1.如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是（ ）．【答案】B【解析】将长方体展开，连接、，根据两点之间线段最短，（）如图，，，由勾股定理得：．（）如图，，，由勾股定理得，．（）只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图：∵长方体的宽为，高为，点离点的距离是，∴，，在直角三角形中，根据勾股定理得：∴．由于，故最短距离为．【标注】【知识点】勾股定理与展开图最短路径问题2.如图所示，无盖玻璃容器，高，底面周长为，在外侧距下底的点处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口的处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度．【答案】最短路线长为．【解析】如下图可知，最短路线的长度为线段的长度，作于，则，，∵底面周长为，∴，∴．∴最短路线长为．【标注】【知识点】勾股定理与展开图最短路径问题。
勾股定理的应用(习题及答案).
勾股定理的应用（习题）➢例题示范例1：如图，在四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，AD=12，CD=13，求四边形ABCD 的面积．解：如图，连接AC，在Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，由勾股定理，得AB2+BC2=AC2，∴32+42=AC2．∴AC=5．在△ACD 中，AC=5，AD=12，CD=13，∵52+122=132，∴AC2+AD2=CD2．∴△ACD 是直角三角形，且∠CAD=90°．∴S四边形ABCD =S△ACD-S△ABC=1AD ⋅AC -1AB ⋅BC2 2=1⨯12 ⨯ 5 -1⨯ 3⨯ 42 2= 24 ．➢复习巩固1.已知甲、乙两人从同一地点出发，甲往东走了12 km，乙往南走了5 km，这时甲、乙两人之间的距离为．2.小明从家出发向正北方向走了150 m，接着向正东方向走到离家250 m 远的地方，则小明向正东方向走了m．3.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7 米，顶端距离地面2.4 米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2 米，则这条小巷的宽度为．第3 题图第4 题图4.如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面30 cm．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为60 cm，则水深是（）cm．A．35 B．40 C．50 D．455.11 世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望．一棵树高30 肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵树高20 肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50 肘尺．每棵树的树顶上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻以相同的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标．则这条鱼出现的地方与较高的棕榈树之间的距离为．6.如图，有两只猴子在一棵树CD 上高5 m 的点B 处，它们都要到A 处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树10 m 处的池塘A 处，另一只猴子爬到树顶D 后直线跃向池塘的A 处．如果两只猴子所经过的路程相等，那么这棵树高有多少米？7.男孩戴维是城里的飞盘冠军，戈里是城里踩高跷的人，两人约定一比高低．戴维直立肩高 1 m，他投飞盘很有力，但需要在13 m 内才有威力；戈里踩高跷时鼻子离地13 m，他的鼻子是他唯一的弱点．戴维要通过击中对方的鼻子获胜，需离戈里的最远距离为（）A．7 m B．8 m C．6 m D．5 m8.如图所示，小河的同一侧有A，B 两个村庄，它们到小河所在的直线的垂直距离分别为AA1=2 千米，BB1=5 千米，A1B1=24 千米，要在小河上修建一座小型发电站P，使它到A，B 两个村庄的电线之和最短，则这个最短距离是千米．9.如图是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5 m（踏板厚度忽略不计），右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B 位置时，点离地面垂直高度BC 为1 m，离秋千支柱AD 的水平距离BE 为1.5 m（不考虑支柱的直径），求秋千支柱AD 的高．10.如图，一块四边形菜地ABCD，已知∠B=90°，AB=9 m，BC=12 m，AD=8 m，CD=17 m．求这块菜地的面积．11.据说古埃及人曾用下面的方法得到直角：如图所示，他们用13 个等距的结把一根绳子分成等长的12 段，一个工匠同时握住绳子的第1 个结和13 个结，两个助手分别握住第4 个结和第8 个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4 个结处．你能说说其中的道理吗？➢思考小结1.观察图中的3 个图案，设△ABC 的三边长分别为a，b，c，请根据三角形的形状，猜测a2，b2，c2 满足的条件．（1）如果△ABC 是直角三角形，则a2+b2c2；（2）如果△ABC 是锐角三角形，则a2+b2c2；（3）如果△ABC 是钝角三角形，则a2+b2c2．【参考答案】➢复习巩固1. 13 km2. 2003. 2.2 m4. D5.20 肘尺6.树高7.5 米7. D8. 259.秋千支柱AD 的高为3 m10.这块菜地的面积为114 m211.此三角形是直角三角形，理由略➢思考小结1. （1）= （2）＞（3）＜。
勾股定理练习题(含答案)
勾股定理练习题(含答案)1.下列说法正确的是：C.若a、b、c是Rt△ABC的三边，A=90°，则a+b=c。
2.根据勾股定理，应该选B.a+b>c。
3.根据勾股定理，斜边长为√（k-1）²+（2k）²，即√（5k²-4）。
4.根据(a-b)(a+b-c)=0，可得a=b或a+b=c，所以它的形状为等腰三角形或直角三角形。
5.设另一直角边为x，则根据勾股定理得x²+9²=(x+1)²，解得x=40/9，周长为9+40/9+41/9=120/9=40/3，选C。
6.根据勾股定理得BC=√（13²-12²）=5，所以周长为15+13+5=33，选D。
7.根据勾股定理和中线长度公式得周长为2d+2√(d²-S)，选C。
8.根据勾股定理得OP的长度为√(3²+4²)=5，选C。
9.根据勾股定理和海伦公式得BC=√(26²-24²/25)=17，选A。
10.根据(a-6)+b-8+c-10²=0，可得a+b+c=24，所以它的形状为等边三角形。
11.根据勾股定理和面积公式得面积为(8*15)/2=60，选D。
12.根据等腰三角形的性质，顶角的平分线与底边中线重合，所以答案为底边中线，即6.5.13.根据勾股定理得斜边长为√200=10√2，选D。
14.根据三角形边长比的性质，10:8:6无法构成三角形，所以不是三角形。
15.一个三角形的三边比为5:12:13，周长为60，则其面积为多少？16.在直角三角形ABC中，斜边AB=4，则AB+BC+AC=多少？17.如图，已知直角三角形ABC中，∠C=90°，BA=15，AC=12，以直角边BC为直径作半圆，则该半圆的面积为多少？18.若三角形三个内角的比为1:2:3，最短边长为1cm，最长边长为2cm，则该三角形三个角度数分别为多少？另外一边的平方是多少？19.长方形的一边长为3cm，面积为12cm²，则其一条对角线长为多少？20.如图，一个高为4m、宽为3m的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求该木条的长度。
勾股定理初二练习题二十道
勾股定理初二练习题二十道1. 在直角三角形ABC中，角C=90°，AB=12cm，AC=5cm，求BC 的长度。
2. 在直角三角形DEF中，角D=90°，DE=8cm，DF=15cm，求EF 的长度。
3. 在直角三角形GHI中，角I=90°，GH=17cm，HI=8cm，求GI的长度。
4. 在直角三角形JKL中，角J=90°，KL=10cm，JL=6cm，求JK的长度。
5. 在直角三角形MNO中，角O=90°，MN=6cm，NO=10cm，求MO的长度。
6. 在直角三角形PQR中，角P=90°，PR=13cm，PQ=12cm，求QR 的长度。
7. 在直角三角形STU中，角T=90°，ST=21cm，TU=20cm，求SU 的长度。
8. 在直角三角形VWX中，角V=90°，VX=24cm，WX=7cm，求WV的长度。
9. 在直角三角形YZA中，角Z=90°，ZY=15cm，ZA=9cm，求YA 的长度。
BC的长度。
11. 在直角三角形EFG中，角E=90°，EG=7cm，FG=25cm，求EF 的长度。
12. 在直角三角形HIJ中，角H=90°，IJ=20cm，HJ=9cm，求HI的长度。
13. 在直角三角形KLM中，角K=90°，KL=16cm，LM=12cm，求KM的长度。
14. 在直角三角形NOP中，角N=90°，NO=5cm，OP=13cm，求NP 的长度。
15. 在直角三角形QRS中，角Q=90°，QR=30cm，RS=16cm，求QS的长度。
16. 在直角三角形TUV中，角T=90°，TV=25cm，UV=7cm，求TU 的长度。
17. 在直角三角形WXY中，角W=90°，WX=14cm，XY=9cm，求WY的长度。
18. 在直角三角形ZAB中，角Z=90°，ZA=11cm，AB=15cm，求ZB的长度。
勾股定理习题及答案
勾股定理习题及答案勾股定理习题及答案勾股定理是数学中的一条重要定理，它描述了直角三角形中三边之间的关系。
在数学教育中，勾股定理常常作为基础知识进行教学，并且在习题中广泛应用。
本文将介绍一些关于勾股定理的习题，并提供详细的解答。
1. 习题一：已知直角三角形的斜边长为5，一条直角边长为3，求另一条直角边的长度。
解答：根据勾股定理，斜边的平方等于两直角边平方和。
设另一条直角边长度为x，则有5^2 = 3^2 + x^2。
化简得25 = 9 + x^2，进一步得到x^2 = 16。
因此，x的取值可以是正负4。
但由于长度不能为负数，所以另一条直角边的长度为4。
2. 习题二：已知直角三角形的两条直角边分别为6和8，求斜边的长度。
解答：同样利用勾股定理，斜边的平方等于两直角边平方和。
设斜边长度为y，则有y^2 = 6^2 + 8^2。
计算得到y^2 = 36 + 64，进一步得到y^2 = 100。
因此，斜边的长度为10。
3. 习题三：已知直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。
解答：同样利用勾股定理，斜边的平方等于两直角边平方和。
设斜边长度为z，则有z^2 = 3^2 + 4^2。
计算得到z^2 = 9 + 16，进一步得到z^2 = 25。
因此，斜边的长度为5。
通过以上习题的解答，我们可以看到勾股定理在求解直角三角形问题中的应用。
它帮助我们确定了三角形的边长关系，从而解决了许多实际问题。
除了直角三角形，勾股定理还可以应用于其他几何形状。
例如，我们可以利用勾股定理计算矩形的对角线长度。
设矩形的长为a，宽为b，对角线的长度为c。
根据勾股定理，c^2 = a^2 + b^2。
这个公式可以帮助我们求解矩形的对角线长度，从而在实际问题中应用矩形的性质。
勾股定理的应用不仅限于几何学，它还可以在其他学科中发挥作用。
例如，物理学中的力学问题中，常常需要求解物体的速度、加速度等。
通过应用勾股定理，我们可以计算出物体在不同时间点的速度和加速度之间的关系，从而解决力学问题。
勾股定理练习题及答案
勾股定理练习题及答案1. 直角三角形1.1 已知直角三角形的两个直角边分别为3cm和4cm，求斜边的长度。
解答：根据勾股定理，斜边的长度可以通过以下公式计算：c = √(a^2 + b^2)其中，a和b分别为两个直角边的长度。
代入已知值，可以得到：c = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5cm所以，斜边的长度为5cm。
1.2 已知直角三角形的斜边长度为10cm，其中一条直角边的长度为6cm，求另一条直角边的长度。
解答：同样根据勾股定理，可以得到以下公式：c^2 = a^2 + b^2将已知值代入，可以得到：10^2 = 6^2 + b^2100 = 36 + b^2b^2 = 100 - 36b^2 = 64b = √64 = 8cm所以，另一条直角边的长度为8cm。
2. 直角三角形的应用2.1 一根长度为12cm的电话线在地面上拉出了一个直角三角形，其中一条直角边长为9cm，求另一条直角边和斜边的长度。
解答：根据勾股定理，可以得到以下公式：c^2 = a^2 + b^2已知直角边的长度为9cm，将已知值代入公式，可以得到：c^2 = 9^2 + b^2c^2 = 81 + b^2又已知三角形的斜边是长为12cm的电话线，所以可以得到另一个公式：c = 12将这两个公式结合，可以得到以下方程：81 + b^2 = 12^281 + b^2 = 144b^2 = 144 - 81b^2 = 63b = √63 ≈ 7.94cm所以，另一条直角边的长度约为7.94cm，斜边的长度为12cm。
2.2 一根高度为10m的电线杆倒在地面上形成了一个直角三角形，其中一条直角边长为8m，求另一条直角边和斜边的长度。
解答：同样根据勾股定理，可以得到以下公式：c^2 = a^2 + b^2已知直角边的长度为8m，将已知值代入公式，可以得到：c^2 = 8^2 + b^2c^2 = 64 + b^2又已知三角形的斜边是高度为10m的电线杆，所以可以得到另一个公式：c = 10将这两个公式结合，可以得到以下方程：64 + b^2 = 10^264 + b^2 = 100b^2 = 100 - 64b^2 = 36b = √36 = 6m所以，另一条直角边的长度为6m，斜边的长度为10m。
勾股定理练习题及答案
勾股定理练习题及答案一、选择题1、直角三角形的两直角边分别为 5 厘米、12 厘米，则斜边长是（）A 13 厘米B 14 厘米C 15 厘米D 16 厘米答案：A解析：根据勾股定理，直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
所以斜边的平方＝ 5²＋ 12²＝ 25 ＋ 144 ＝ 169，斜边长为 13 厘米。
2、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A 3，4，6B 5，12，13C 5，11，12D 2，3，4答案：B解析：对于选项 A，3²＋ 4²＝ 9 ＋ 16 ＝ 25，6²＝ 36，因为25 ≠ 36，所以不能组成直角三角形；对于选项 B，5²＋ 12²＝ 25 ＋ 144 ＝169，13²＝ 169，因为 169 ＝ 169，所以能组成直角三角形；对于选项C，5²＋ 11²＝ 25 ＋ 121 ＝ 146，12²＝ 144，因为146 ≠ 144，所以不能组成直角三角形；对于选项 D，2²＋ 3²＝ 4 ＋ 9 ＝ 13，4²＝ 16，因为13 ≠ 16，所以不能组成直角三角形。
3、一个直角三角形的三边长分别为 2，3，x，则 x 的值为（）A √13B √5C √13 或√5D 无法确定答案：C解析：当 x 为斜边时，x ＝√（2²＋ 3²) ＝√13；当 3 为斜边时，x ＝√（3² 2²) ＝√5。
所以 x 的值为√13 或√5 。
4、已知直角三角形的两条边长分别是 5 和 12，则第三边的长为（）A 13B √119C 13 或√119D 不能确定答案：C解析：当 12 为斜边时，第三边的长为√（12² 5²) ＝√119；当 5 和12 为直角边时，第三边的长为√（5²＋ 12²) ＝ 13。