勾股定理的实际应用习题

17.1勾股定理提升练习

1.如图18-29所示,有一块直角三角形纸片,两直角边AB=6,BC=8,将△ABC折叠,使AB落在斜边AC上,折痕为AD,则BD的长为( )

A.3

B.4

C.5

D.6

2.如图18-30所示,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为10 cm,正方形A的边长为6 cm,B的边长为5 cm,正方形C的边长为5 cm,则正方形D的边长为( )

A.14cm

B.4 cm

C.15cm

D.3 cm

3.如图18-31所示,把矩形纸条ABCD沿EF,GH同时折叠,B,C两点恰好落在AD边的P点处,若∠FPH=90°,PF=8,PH=6,则矩形ABCD的边BC的长为( )

A.20

B.22

C.24

D.30

4.如图18-32所示,四边形ABCD为长方形纸片,把纸片ABCD折叠,使点B恰好落在CD边的中点E处,折痕为AF.若CD=6,则AF等于( )

A.43

B.33

C.42

D.8

5.如图18-33所示,直线l是一条河,P,Q两地相距8千米,P,Q两地到l的距

离分别为2千米、5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P，Q

两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（如图18-34所示）( )

6.如图18-35所示,已知半圆A的面积是3，半圆B的面积是4，则半圆C的面积是.

7.若直角三角形的斜边长为25 cm，一条直角边的长为20 cm，则它的面积

为cm2,斜边上的高为cm.

8.若直角三角形的两条直角边长分别为8，15，则它的周长为.

9.如图18-36所示,P是△ABC内任意一点,PD⊥AB,垂足为D,PE⊥BC,垂足为E,PF⊥AC,垂足为F,则AD2+BE2+CF2=AF2+BD2+CE2成立么？说明理由.

10.一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行,另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行,则一个半小时后,两船相距多少海里?

11.将一根长24 cm的筷子置于底面直径为5 cm,高为12 cm的圆柱形透明玻璃杯中,如图18-37所示,设筷子露在杯子外面的长为h cm,求出h的取值范围.

12.如图18-38所示,探索n×n的正方形钉子板上(n是钉子板每边上的钉子数),连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数:当n=2时,钉子板上所连线段的不同长度值只有1与2,所以不同长度值的线段只有2种,若用S表示不同长度值的线段种数,则S=2;当n=3时,钉子板上所连线段的不同长度只有1, 2,2,5,22五种,比n=2时增加了3种,即S=2+3=5.

(1)观察图形,填写下表:

钉子数(n×n) S值

2×2 2

3×3 2+3

4×4 2+3+( )

5×5 ( )

(2)写出(n-1) ×(n-1)和n×n的两个钉子板上不同长度值的线段种数之间的关

系;(用式子或语言表述均可)

(3)对n×n的钉子板,写出用n表示S的代数式.

13.把一副三角板按如图18-39所示放置,其中∠ACB=∠DEC=90°,∠A=45°,∠D=30°,斜边AB=6 cm,DC=7 cm,把三角板DCE绕点C顺时钉旋转15°得到△D′CE′,如图18-40所示,这时AB与CD′相交于点O,D′E′与AB相交于点F.

（1）求∠OFE′的度数;

（2）求线段AD′的长;

（3）若把△D′CE′绕点C顺时钉再旋转30°得△D″CE″,这时点B在△D″CE″的内部、外部，还是边上？证明你的判断.

参考答案

1.A[提示：因为∠B =90°，AB =6，BC =8，所以AC 2=AB 2+BC 2=62+82=100，所以AC =10，又因为△ABD ≌△AED ，所以BD=DE ，∠AED=∠B =90°，AB=AE =6，设BD=DE=x ，则DC=BC-BD =(8-x ) 2,所以x =3.]

2.A[提示：设正方形D 的边长为x cm ，由图可知62+52+52+x 2=102,解得x =14.]

3.C

4.A[提示：由题意可知DE =3，AE=AB =6，在Rt △ADE 中，由勾股定理得AD =33，在Rt △EFC 中，设CF=x ,则BC=AD =33，EF=BF=33－x ,根据勾股定理得x =3,所以BF =33-x =23，在Rt △ABF 中，AB =6，BF =23，根据勾股定理得AF =43.故选A.]

5.A[提示：A 项：管道长为PM+PQ =2+8=10（千米），B 项：如图18-41所示，PM+QM=BQ =22AB AQ +，在Rt △PCQ 中， PC=22228(52)55PQ CQ -=--=，

∴BQ=22(55)(52)++=104≈10.2(千米)，C 项：如图18-42所示，∵PB+BQ ＞PQ ，∴PB+BQ ＞8，BM=P A =2，∴PB+BQ+BM ＞10，D 项：∵M 为直线l 上任意一点，∴PM+QM 要大于图18-41中的PM+MQ ，即铺设管道D 中的要大于B 中的. ∴管道最短的是A.]

6.7[提示：S 半圆C =S 半圆A +S 半圆B .]

7.150 12[提示：另一直角边长为222520-=15，∴

12×20×15=12×25 h ，∴h =12.]

8.40[提示：斜边长为22815+=17，∴周长为17+8+15=40.]

9.解：相等.现由如下:连接

AP ,BP ,CP ,由勾股定理,得

AD 2=AP 2-PD 2,BE 2=BP 2-PE 2,CF 2=CP 2-PF 2,所以

AD 2+BE 2+CF 2=AP 2-PD 2+BP 2-PE 2+CP 2-PF 2

=(AP 2-PF 2)+(BP 2-PD 2)+(CP 2-PE 2),而AP 2-PF 2=AF 2,BP 2-PD 2=BD 2,CP 2-PE 2=CE 2,所以AD 2+BE 2+CF 2=AF 2+BD 2+CE 2.

10.解:如图18-43所示,东南方向即南偏东45°,西南方向即南偏西

45°,故∠BOA =90°,又因为两船行驶 1.5 小时,则OA =16×1.5=24(海

里),OB =12×1.5=18(海里),连接AB ,在Rt △AOB 中,由勾股定理得

AB 2=OA 2+OB 2.所以AB 2=242+182=576+324=900,所以AB =30海里.答:

一个半小时后两船相距30海里.

11.解:当筷子竖起放置时,露在外面的最长,此时h =24-12=12(cm).设筷子斜放时,插入杯最大长度为x cm.由勾股定理得x 2=52+122=169, ∴x =13,此时h =24-13=11(cm). ∴11≤h ≤12.

12.解:(1)4 2+3+4+5(或14) (2)n×n 的钉子板比(n -1) ×(n -1)的钉子板上不同长度值的线段种数增加了n 种或分别用a,b 表示n×n 与(n -1) ×(n -1)的钉子板上不同长度值的线段种数,则a=b+n. (3)S =2+3+…+n .

13.解:(1)如图18-44所示,因为∠3=15°, ∠E ′=90°, ∠1=∠2,所以

∠1=75°,又因为∠B =45°,所以∠OFE ′=∠B +∠1=45°+75°=120°,

(2)因为∠OFE ′=120°,所以∠D′FO =60°,又因为∠CD′E′=30°,

所以∠4=90°,又因为AC=BC ,AB =6,所以OA=OB =3,因为∠ACB =90°,

所以CO =12AB =12

×6=3,又因为CD′=7,所以OD′=CD′-OC =7-3=4, 在Rt △AD′O 中,AD ′=222234OA OD +'=+=5(cm).

(2) 点B 在△D″CE ″的内部,理由下如:设BC (或延长线)交D″E″于点B′,因为

∠B′CE″=15°+30°=45°,在Rt △B′C E″中,CB ′=2CE ″=

722,又∵CB =32＜

722,即CB ＜CB ′,所以点B 在△D″CE″的内部.