探索轴对称的性质 PPT
合集下载
数学北师大版一年级下册5.2探索轴对称的性质
A．4cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．16cm2
解析： 根据正方形的轴对称性，可得阴影部分的面积等于正方形ABCD面积的一半． ∵正方形ABCD的边长为4cm，
例3 如图，将矩形ABCD沿DE折叠，使A点落在BC 上的F处，若∠EFB＝60°，则∠CFD＝( B ) A．20° B．30° C．40° D．50°
45°,45°,90° .
3.如图所示的是轴对称图形,根据轴对称图形的性质,你
可以得到相等的线段是 AB=CD,BE=C E 是 ∠ABE=∠DCE . ,相等的角
4.如图所示,两个三角形关于直线l成轴对称,根据图中的数据,你
认为∠α的度数应是
20° .
5.如图所示,矩形纸片ABCD中,将其折叠,使点D与点B重合,折痕
如图：将一张长方形形的纸对折，然后 用笔尖扎出“14”这个数字，将纸打开 后铺平：
A C
1
C'
2
A'
3
4
D B E
F
F' E'
D' B'
打开
A
C
1
C'
2
A'
3
4
D B E
F
F' E'
D' B'
（1）两个“14”有什么关系？ （2）设折痕所在直线为l，连结点E和E′ 的线段和l有什么关系？点F和F′呢？ （3）线段AB与A′B′,CD与C′D′有什么 关系？ （4）∠1与∠2有什么关系？∠3与∠4呢？
随堂小结
• 通过这堂课的学习，你掌握了轴对 称的哪些性质？ • 1.对应点所连的线段被对称轴垂直 平分;
• 2.对应线段相等,对应角相等.
《轴对称现象》生活中的轴对称PPT赏析教学课件
第五章 生活中的轴对称
轴对称现象
目录导航
01 学 习 目 标 02 精 典 范 例 03 变 式 练 习 04 巩 固 训 练
学习目标
1.经历观察生活中的轴对称现象、探索轴对称现象共同特征 的过程,进一步积累数学活动经验和发展空间观念. 2.理解轴对称图形和成轴对称的图形的意义,能够识别这些图 形并能指出它们的对称轴.体会轴对称在现实生活中的广泛应 用和丰富的文化价值. 3.经历探索轴对称性质的过程,积累数学活动经验,发展空间观 念.
A
B
C
D
变式练习
1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中,是轴对 称图形的是A( )
A
B
C
D
2.下列“数字”图形中,有且仅有一条对称轴的是( A )
A
B
C
D
3.观察下图中的各组图形,其中成轴对称的有 ①② (填 序号).
①
②
③
巩固训练 4.如图所示的几个图案中,是轴对称图形的是( A )
12.下面四个图形中,哪些是轴对称图形?如果是轴对称图形, 各有几条对称轴?分别画出来.
解:(1)不是;(2)(3)(4)都是轴对称图形,其中(2)有 3 条对称轴;(3)有 2 条对称轴;(4)有 1 条对称轴,画图略.
13.(1)正三角形,(2)正四边形,(3)正五边形,(4)正六边形,(5)正八 边形,(6)正九边形都是轴对称图形,数一数它们的对称轴的条 数.观察后分析:正多边形对称轴的条数与边数n有什么关系? 根据你的分析结果回答,正十边形、正十六边形、正二十九边 形分别有几条对称轴?正五十边形呢?正一百边形呢?
(5)
(6)
(3)
(4)
(7) 英国
(8)
轴对称现象
目录导航
01 学 习 目 标 02 精 典 范 例 03 变 式 练 习 04 巩 固 训 练
学习目标
1.经历观察生活中的轴对称现象、探索轴对称现象共同特征 的过程,进一步积累数学活动经验和发展空间观念. 2.理解轴对称图形和成轴对称的图形的意义,能够识别这些图 形并能指出它们的对称轴.体会轴对称在现实生活中的广泛应 用和丰富的文化价值. 3.经历探索轴对称性质的过程,积累数学活动经验,发展空间观 念.
A
B
C
D
变式练习
1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中,是轴对 称图形的是A( )
A
B
C
D
2.下列“数字”图形中,有且仅有一条对称轴的是( A )
A
B
C
D
3.观察下图中的各组图形,其中成轴对称的有 ①② (填 序号).
①
②
③
巩固训练 4.如图所示的几个图案中,是轴对称图形的是( A )
12.下面四个图形中,哪些是轴对称图形?如果是轴对称图形, 各有几条对称轴?分别画出来.
解:(1)不是;(2)(3)(4)都是轴对称图形,其中(2)有 3 条对称轴;(3)有 2 条对称轴;(4)有 1 条对称轴,画图略.
13.(1)正三角形,(2)正四边形,(3)正五边形,(4)正六边形,(5)正八 边形,(6)正九边形都是轴对称图形,数一数它们的对称轴的条 数.观察后分析:正多边形对称轴的条数与边数n有什么关系? 根据你的分析结果回答,正十边形、正十六边形、正二十九边 形分别有几条对称轴?正五十边形呢?正一百边形呢?
(5)
(6)
(3)
(4)
(7) 英国
(8)
八年级数学上册13.1.1轴对称(共21张PPT)
课前准备：
正方形纸片、剪刀.
一、引出新知
二、探究新知
【问题1】如图，把一张纸对折，剪出一个图案（折 痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸，就得到 了美丽的窗花．观察得到的窗花，你能发现它们有什 么共同的特点吗？
（一）轴对称图形
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能 够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就 是它的对称轴. 这时，我们也说这个图形关于这条直线 (成轴）对称．
B
B'
C
C'
N
（四）两个图形成轴对称的性质
思考：如果将其中的“三角形”改为“四边形”“五边形”…
其他条件不变，前面的结论还成立吗？
M
l
l
A
A'
P
B C
B' C'
N
性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一 对对应点所连线段的垂直平分线．(即对称点所连线段被对称 轴垂直平分；对称轴垂直平分对称点所连线段.)
四边形ABCD是轴对称图形
B
3
30°
C
30°
A
3
D
∆ABC ∆ADC
AC垂直平分BD
轴对称图形
课堂小结
轴对称
重要内容 线段的垂直 平分线
概念 性质
两个图形 成轴对称
概念 性质
本节课知识点对应数学课本P58-60
课后作业
完成课本P64-65习题13.1第1、2、3、4、5题．
谢谢!
B
点C'是点C的对称点. 能成轴对称，
B′
那么它们是全
C
C′
等图形吗？
做一做
2.下列每副图形中两个图案是轴对称的吗？如果是，
北师大版七下《5.2 探索轴对称的性质》课件2
想一想: (1)图中折痕m两旁的图形有什么关系？
m A C C1 A1
B D
E
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
E1
D1
B1
(2)连结C、C′的线段与直线m有什么关系？ (3)线段AB与线段AB有什么位置关系和大小关系？ (4)∠D与∠ D1有什么关系？说说你的理由.
轴对称的性质： 1.对应点连线段被对称轴垂直平分. 2.对应线段相等，对应角相等.
练一练:
1、在下列图形中，找出轴对称图形，并找 出它的两组对应点.
2.在下面的每个图形中找到轴对称图形,并
找出它的两组对应线段.
实验一： 想一想：(1)点A与点B关于直线m有什 么样的位置关系? (2)连结AB，请同学们用量角器、刻度尺度量并 判断线段AB与直线m有什么关系？
m A B
实验二：
试一试：
如图，EFGH是矩形的台球桌面，有 两球分别位于A、B两点的位置，试问 怎样撞击A球，才能使A球先碰撞台 边EF反弹后再击中B球？
解：1．作点A关于EF 的对称点A′
H
A B
G
2．连结A′B交EF于 点C则沿AC撞击黑球A ，必沿CB反弹击中白 E 球B.
C
A′
F
思考题
如图，在俯南河L边的空地上，房屋开发商准备 建一个三角形住宅小区，A、B两幢建筑物恰好 建在三角形住宅小区的两个顶点处，现要求小 区大门C建在俯河边且小区周边最短.如果你是 这个项目的总设计师，请确定出小区大门C的最 佳位置.并在图中标出. A 提示 1．小区的周边，哪 B 一条边的长度是固 C 定不变的？ 2．要使小区周边最短，只需哪两边的和最短？
议一议
7 6
5
1
2 3 4
如图: 你能求出 这七个角 的和吗?
m A C C1 A1
B D
E
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
E1
D1
B1
(2)连结C、C′的线段与直线m有什么关系？ (3)线段AB与线段AB有什么位置关系和大小关系？ (4)∠D与∠ D1有什么关系？说说你的理由.
轴对称的性质： 1.对应点连线段被对称轴垂直平分. 2.对应线段相等，对应角相等.
练一练:
1、在下列图形中，找出轴对称图形，并找 出它的两组对应点.
2.在下面的每个图形中找到轴对称图形,并
找出它的两组对应线段.
实验一： 想一想：(1)点A与点B关于直线m有什 么样的位置关系? (2)连结AB，请同学们用量角器、刻度尺度量并 判断线段AB与直线m有什么关系？
m A B
实验二：
试一试：
如图，EFGH是矩形的台球桌面，有 两球分别位于A、B两点的位置，试问 怎样撞击A球，才能使A球先碰撞台 边EF反弹后再击中B球？
解：1．作点A关于EF 的对称点A′
H
A B
G
2．连结A′B交EF于 点C则沿AC撞击黑球A ，必沿CB反弹击中白 E 球B.
C
A′
F
思考题
如图，在俯南河L边的空地上，房屋开发商准备 建一个三角形住宅小区，A、B两幢建筑物恰好 建在三角形住宅小区的两个顶点处，现要求小 区大门C建在俯河边且小区周边最短.如果你是 这个项目的总设计师，请确定出小区大门C的最 佳位置.并在图中标出. A 提示 1．小区的周边，哪 B 一条边的长度是固 C 定不变的？ 2．要使小区周边最短，只需哪两边的和最短？
议一议
7 6
5
1
2 3 4
如图: 你能求出 这七个角 的和吗?
部编人教版八年级数学上册《13第十三章 轴对称【全章】》精品PPT优质课件
正方形ABCD面积的一半，∵正方形ABCD的边长为4cm， ∴S阴影＝42÷2＝8(cm2).故选B.
方法归纳：正方形是轴对称图形，在轴对称图形中 求不规则的阴影部分的面积时，一般可以利用轴对 称变换，将其转换为规则图形后再进行计算.
当堂练习
1.观察下列各种图形，判断是不是轴对称图形？
√
√
√
√
√
方法归纳：轴对称是一种全等变换，在轴对称图形中求角度 时，一般先根据轴对称的性质及已知条件，得出相关角的度 数，然后再结合多边形的内角和或三角形外角的性质求解.
例2 如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中 阴影部分的面积为( B )
A．4cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．16cm2
解析：根据正方形的轴对称性可得，阴影部分的面积等于
（1）
（2）
思考：如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称， 点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对称点，线段AA′， BB′，CC′与直线MN有什么关系？
A
AA′⊥MN，
M A′
BB′⊥MN，
B
B′
CC′⊥MN.
C
C′
N
知识要点
线段垂直平分线的定义
M
经过线段中点并且垂直于这条
线段的直线，叫做这条线段的
A
P
垂直平分线.
B
如图，MN⊥AA′， AP=A′P.
C
直线MN是线段AA ′的垂直平分线.
N
图形轴对称的性质
A'
B' C'
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任 何一对对应点所连线段的垂直平分线.
一个轴对称图形的对称轴是否也具有上述性质呢？ 请你自己找一些轴对称图形来检验吧！
方法归纳：正方形是轴对称图形，在轴对称图形中 求不规则的阴影部分的面积时，一般可以利用轴对 称变换，将其转换为规则图形后再进行计算.
当堂练习
1.观察下列各种图形，判断是不是轴对称图形？
√
√
√
√
√
方法归纳：轴对称是一种全等变换，在轴对称图形中求角度 时，一般先根据轴对称的性质及已知条件，得出相关角的度 数，然后再结合多边形的内角和或三角形外角的性质求解.
例2 如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中 阴影部分的面积为( B )
A．4cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．16cm2
解析：根据正方形的轴对称性可得，阴影部分的面积等于
（1）
（2）
思考：如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称， 点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对称点，线段AA′， BB′，CC′与直线MN有什么关系？
A
AA′⊥MN，
M A′
BB′⊥MN，
B
B′
CC′⊥MN.
C
C′
N
知识要点
线段垂直平分线的定义
M
经过线段中点并且垂直于这条
线段的直线，叫做这条线段的
A
P
垂直平分线.
B
如图，MN⊥AA′， AP=A′P.
C
直线MN是线段AA ′的垂直平分线.
N
图形轴对称的性质
A'
B' C'
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任 何一对对应点所连线段的垂直平分线.
一个轴对称图形的对称轴是否也具有上述性质呢？ 请你自己找一些轴对称图形来检验吧！
《轴对称完整》课件
对轴对称的未来展望
轴对称作为数学中的一个基础概念，仍有很大的研究和发展空间。随着数学和其 他学科的发展，轴对称的应用范围也将不断扩大。我们鼓励学生们在未来的学习 和研究中继续关注轴对称，探索它的更多应用和价值。
在《轴对称完整》ppt课件的最后，我们总结了轴对称的基本原理、方法和应用 ，并提出了进一步探索的问题和方向。我们希望学生们能够带着这些问题和思考 ，继续深入探索轴对称的奥秘，为未来的研究和应用打下坚实的基础。
轴对称是数学中的一个重要概念，它描述了一个图形通过某个直线折叠后与自身重合的性质。在《轴对称完整 》ppt课件中，我们深入探讨了轴对称的定义、性质和分类，帮助学生们更好地理解这一概念。
轴对称在几何学中有着广泛的应用，它不仅在平面几何中出现，还涉及到立体几何、解析几何等多个领域。通 过对轴对称的深入理解，学生们可以更好地掌握几何学的基本原理和方法。
05
轴对称的实践应用
在设计中的应用
对称美学的运用
设计作品中，轴对称的运用可以创造出平衡、和谐的感觉。例如，在服装设计中，设计师可以通过轴对称的裁 剪方式，使服装看起来更加优雅、庄重。
产品设计的指导
在产品设计中，轴对称的原理可以帮助设计师更好地布局产品的各个部分，使其更加符合人机工程学，提高使 用体验。
04
轴对称的意义
美学的意义
美学欣赏
轴对称的形状、图案和结 构常常被视为具有美感， 可以给人带来视觉上的享 受和满足感。
艺术创作
艺术家们经常利用轴对称 的原理来创作美丽的艺术 品，如建筑设计、绘画和 雕塑等。
平衡与和谐
轴对称能够给人带来平衡 和和谐的感觉，使整体效 果更加协调和完整。
科学的意义
自然界中的轴对称
5.2探索轴对称的性质课件(共13张PPT)
5.2 探索轴对称的性质
情境引入
做一做： （1）在练习纸上画一个△ABC，在三角形外画直线MN，
沿MN折纸，用钉子钉出点A、B、C的对应点A’、B’、C’，
展开后画出△A’B’C’，并连结AA’，BB’，CC’。
(2)度量BQ、B’Q、CS、C’S、∠BQP、
∠CSN。你有什么发现，与同学进行交流。
(3)△ABC与△A’B’C’关于MN对称 ，则 △ABC≌△A’B’C’因此对应边、对应，连结AA交MN于P，那么△ABC 与△A’B’C’沿MN折叠后 ，点A与A’重合，于是 有AP=AP’，∠MPA=∠MPA’=90°。 也就是MN垂直平分AA’。 现在你能描述轴对称 的性质吗？
做一做
观察图7-6的轴对称图形： (1)找出它的对称轴。 (2)连接点A与点A’的线段与对称轴有什么关系? 连接点B与点B’的线段呢?
(3)线段AD与线段A’D’有什么关系?线段BC与 线段B’C’呢?为什么? (4)∠1与∠2有什么关系?∠3与∠4呢?说说你 的理由。
在图中，沿对称轴对折后，点A与点A’重合， 称点A关于对称轴的对应点是点A’．类似地， 线段AD关于对称轴的对应线段是线段 A’D’，∠3关于对称轴的对应角是∠4。
对应点所连的线段被对称轴垂直平分。
对应线段相等，对应角相等。
课堂小结
轴对称的性质：
1、对应点所连的线段被对称轴垂直平分。
2、对应线段相等，对应角相等。
巩固训练 1、在下列图形中，找出轴对称图形，并找出 它的两组对应点。
2、下图是在方格纸上画出的一棵树的一半， 以树干为对称轴画出树的另一半。
3、用笔尖扎重叠的纸可以得到下面 的两个图案 。
成轴对称
(1)找出它的两对对应点、两条对应线段和两 个对应角。 (2)用测量的方法验证你找到的对应点所连线 段分别被对称轴垂直平分。
情境引入
做一做： （1）在练习纸上画一个△ABC，在三角形外画直线MN，
沿MN折纸，用钉子钉出点A、B、C的对应点A’、B’、C’，
展开后画出△A’B’C’，并连结AA’，BB’，CC’。
(2)度量BQ、B’Q、CS、C’S、∠BQP、
∠CSN。你有什么发现，与同学进行交流。
(3)△ABC与△A’B’C’关于MN对称 ，则 △ABC≌△A’B’C’因此对应边、对应，连结AA交MN于P，那么△ABC 与△A’B’C’沿MN折叠后 ，点A与A’重合，于是 有AP=AP’，∠MPA=∠MPA’=90°。 也就是MN垂直平分AA’。 现在你能描述轴对称 的性质吗？
做一做
观察图7-6的轴对称图形： (1)找出它的对称轴。 (2)连接点A与点A’的线段与对称轴有什么关系? 连接点B与点B’的线段呢?
(3)线段AD与线段A’D’有什么关系?线段BC与 线段B’C’呢?为什么? (4)∠1与∠2有什么关系?∠3与∠4呢?说说你 的理由。
在图中，沿对称轴对折后，点A与点A’重合， 称点A关于对称轴的对应点是点A’．类似地， 线段AD关于对称轴的对应线段是线段 A’D’，∠3关于对称轴的对应角是∠4。
对应点所连的线段被对称轴垂直平分。
对应线段相等，对应角相等。
课堂小结
轴对称的性质：
1、对应点所连的线段被对称轴垂直平分。
2、对应线段相等，对应角相等。
巩固训练 1、在下列图形中，找出轴对称图形，并找出 它的两组对应点。
2、下图是在方格纸上画出的一棵树的一半， 以树干为对称轴画出树的另一半。
3、用笔尖扎重叠的纸可以得到下面 的两个图案 。
成轴对称
(1)找出它的两对对应点、两条对应线段和两 个对应角。 (2)用测量的方法验证你找到的对应点所连线 段分别被对称轴垂直平分。
北师大版七年级数学下册 5.2 《探索轴对称的性质》教学课件(共31张ppt)
称轴垂直平分，对应线段相等课，对堂应小角相结等．
2．画轴对称图形的步骤： （1）确定对称轴； （2）根据对称轴确定关键点的对称位置； （3）将找到的对称点顺次连接起来．
再见
D'
B
E
E'
B'
活动2.右图是一个轴对称图形：
D
（1）你能找出它的对称轴吗?
3
（2）连接点A与点A1的线段探与对究称轴新有知A B
C
什么关系？连接点B与点B1的线段呢？
D1
4
A1
C1 B1
（3）线段AD与线段A1D1有什么关系？线 段BC与B1C1呢？为什么？
12
（4）∠1与∠2有什么关系? ∠ 3与∠4呢？说说你的理由？
纸打开后铺平．如图
A
D B
C
1
3
F
E
C'
2
4
F'
E'
A'
D' B'
A
C
1
C'
A'
2
问（题 轴对1：称两）个“14”有什探么关究系新？ 知B D
3
F
E
4
F'
E'
D' B'
问题2：在上面扎字的过程中，点E与点E′重合，点F与点F′重 合．设折痕所在直线为l，连接点E与点 E′的线段与l有什么关系？点F与 点F′呢？
6cm2
，
∴h＝4 ．
随堂练习
5.如图，已知牧马营地在M处，每天牧马人要 赶着马群先到河边饮水，再到草地吃草，然后
回到营地，试设计出最短的放牧路线．
随堂练习
解：以河为对称轴作M的对称点 ，过 作草地的 垂线，垂线和河的交点H就是所求的点．
2．画轴对称图形的步骤： （1）确定对称轴； （2）根据对称轴确定关键点的对称位置； （3）将找到的对称点顺次连接起来．
再见
D'
B
E
E'
B'
活动2.右图是一个轴对称图形：
D
（1）你能找出它的对称轴吗?
3
（2）连接点A与点A1的线段探与对究称轴新有知A B
C
什么关系？连接点B与点B1的线段呢？
D1
4
A1
C1 B1
（3）线段AD与线段A1D1有什么关系？线 段BC与B1C1呢？为什么？
12
（4）∠1与∠2有什么关系? ∠ 3与∠4呢？说说你的理由？
纸打开后铺平．如图
A
D B
C
1
3
F
E
C'
2
4
F'
E'
A'
D' B'
A
C
1
C'
A'
2
问（题 轴对1：称两）个“14”有什探么关究系新？ 知B D
3
F
E
4
F'
E'
D' B'
问题2：在上面扎字的过程中，点E与点E′重合，点F与点F′重 合．设折痕所在直线为l，连接点E与点 E′的线段与l有什么关系？点F与 点F′呢？
6cm2
，
∴h＝4 ．
随堂练习
5.如图，已知牧马营地在M处，每天牧马人要 赶着马群先到河边饮水，再到草地吃草，然后
回到营地，试设计出最短的放牧路线．
随堂练习
解：以河为对称轴作M的对称点 ，过 作草地的 垂线，垂线和河的交点H就是所求的点．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(D)正方形
【解析】选C.一般的三角形不一定是轴对称图形，只有轴对称
图形，才可以看成是由图形的一部分关于某直线进行对称变换
得到.
3.如图，两个三角形关于直线l成轴对称，则相等的对应线段 是______，相等的对应角是_______.
【解析】相等的线段有AB与DF，AC与DE，BC与FE，相等的对应 角是∠A与∠D，∠B与∠F，∠C与∠E. 答案：AB与DF，AC与DE，BC与FE∠A与∠D，∠B与∠F，∠C与 ∠E
4.如图是小明制作的风筝，为了平衡制成了轴对称图形，已知 OC是对称轴，∠A=35°，∠BCO=30°，那么∠AOB=_______.
【解析】因为图形关于OC对称， 所以△AOC≌△BOC， 所以∠A=∠B=35°， ∠BCO=∠ACO=30°， 所以∠AOC=∠BOC=180°-35°-30°=115°， 所以∠AOB=360°-∠AOC-∠BOC=130°. 答案：130°
(2)如图2，根据“两点之间线段最短”，画出点Ａ关于河岸EF 的对称点A′，连接A′B交EF于点Q，则点Q到A，B的距离和最 短.
【高手支招】轴对称的概念与性质在解决某些计算、作图、证 明等问题中有着重要的作用．我们在解轴对称问题时，应该仔 细分析题设条件，正确理解实际问题的理论依据，根据对应的 原理法则，灵活巧妙地建立相应的数学模型.利用所学知识解 决实际问题.
【跟踪训练】
1.如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在
的直线是它的对称轴，若∠AFC+∠BCF=150°，
则∠AFE+∠BCD的大小是( )
(A)150°
(B)300°
(C)210°
(D)330°
【解析】选B.由轴对称图形的性质得，∠AFC=∠EFC，
∠BCF=∠DCF，所以∠AFE+∠BCD=2(∠AFC+∠BCF)=
5.如图所示，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， 那么点E，F是否关于AD对称？若对称，请说明理由.
【解析】连接EF交AD于点O， 因为AD为∠BAC的平分线， 所以∠BAD=∠CAD. 又DE⊥AB，DF⊥AC， 所以∠AED=∠AFD=90°. 又AD=AD， 所以△AED≌△AFD， 所以AE=AF.
【归纳】(1)如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所 连的线段被_对__称__轴__垂直平分. (2)成轴对称的两个图形的_对__应__线__段__相等，_对__应__角__相等.
【预习思考】 轴对称图形的每对对应点的连线的位置关系如何？ 提示：平行或在同一条直线上.
知识点1 轴对称的性质及其应用 【例1】如图所示，△ABC与△DEF关于直线 MN对称，其中∠C=90°，AC=8 cm，DE=10 cm， BC=6 cm. (1)线段AD与MN的关系是什么？ (2)求∠F的度数. (3)求△ABC的周长和面积.
又AO=AO，∠BAD=∠CAD， 所以△AOE≌△AOF， 所以OE=OF，∠AOE=∠AOF， 又∠AOE+∠AOF=180°， 所以∠AOE=∠AOF=90°， 所以EF被AD垂直平分BF=45°.
知识点2 轴对称在实际中的应用 【例2】(6分)已知，如图所示，甲、乙、丙三个人做传球游戏， 游戏规则如下：甲将球传给乙，乙将球立刻传给丙，然后丙又 立刻将球传给甲.若甲站在∠AOB内的P点，乙站在OA上，丙站 在OB上，并且甲、乙、丙三人的传球速度相同.问乙和丙必须 站在何处，才能使球从甲到乙、乙到丙、最后丙到甲这一轮所 用的时间最少？
【互动探究】例题中BA与ED延长线的交点与MN的位置关系是什 么？ 提示：对应线段或其延长线的交点一定在对称轴上，故BA与ED 延长线的交点在MN上.
【规律总结】 轴对称性质应用的“三个关键”
(1)熟记性质：要熟记轴对称图形及轴对称的性质. (2)准确找点：根据题目条件和图形特征，准确地找出图中的 对称点. (3)确定对应：确定对应线段，对应角.
【互动探究】轴对称变换在解决问题中所起的作用是什么？ 提示：实现了线段长度的等量转化，将直线同侧两定点问题转 化为直线异侧两定点问题.将不共线的多条路径转化到一条直 线上.
【规律总结】 利用轴对称确定位置
利用轴对称，可以解决实际问题，如求最短距离、平面镜成像 问题．轴对称的作用是将线段在保证长度不变的情况下改变位 置．
2 探索轴对称的性质
探究：如图，将一张长方形纸对折，然后用笔尖扎出“14”这 个数字，将纸打开后铺平.
(1)图中，两个“14”的关系是_关__于__折__痕__对__称__.
(2)在上面扎字的过程中，点E与E′_重__合__，点F与点F′_重__合__， 设折痕所在的直线为l，连接点E和E′的线段被直线l _垂__直__平__分__、连接点F和点F′的线段被直线l_垂__直__平__分__. (3)线段AB_∥__A′B′，CE_∥__C′E′. (4)∠1_=_∠2，∠3_=_∠4.
【解题探究】(1)因为点A与点D的关系是一对_对__应__点__， 所以MN_垂__直__平__分__AD. 理由是：如果两个图形关于某条直线对称，那么任何一 对对应点所连线段被对称轴_垂__直__平__分__. (2)①△ABC与△DEF全等吗？为什么？ 答：_全__等__，__成__轴__对__称__的__两__个__图__形__全__等__.
3.如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB，CB均落在对角线BD 上，得折痕BE，BF，则∠EBF的大小为( )
(A)15°
(B)30°
(C)45°
(D)60°
【解析】选C.根据折叠对应角相等可得到∠ABE=∠DBE，
∠CBF=∠DBF，且∠ABE+∠DBE+∠CBF+∠DBF=90°，所以可求
1.如图，将一块正方形纸片沿对角线折叠一次，然后在得到的 三角形的三个角上各挖去一个圆洞，最后将正方形纸片展开， 得到的图案是图中的( )
【解析】选C.根据轴对称的性质进行判断或实际动手操作.
2.在以下各图形中，不一定能由其一部分关于某直线进行轴对
称变换得到的是( )
(A)圆
(B)扇形
(C)三角形
②由此你能得到哪些相等的线段，相等的角？ 答：相等的线段有：_A_B_=_D_E_，__B_C_=_E_F_，__A_C_=_D_F_， 相等的角有：_∠__A_=_∠__D_，__∠__B_=_∠__E_，__∠__C_=_∠__F_. ③所以∠F=__9_0_°. (3)根据(2)的结论，得到△ABC的周长为_2_4_cm，面积为_2_4_cm2.
【跟踪训练】 4.如图，现有一条地铁线路l，小区A，B在l的同侧，已知地铁 站两入口C，D间的长度为a米，现设计两条路AC，BD连接入口 和两小区. 地铁站入口C，D设计在何处，能使所修建的公路AC 与BD之和最短？
【解析】作点A关于l的对称点A1， 过点A1作AA1的垂线，在垂线上 截取A1A2=a，连接A2B，交l于点D， 沿点D向左截取DC=a，则C，D即为所求作的点.此时AC+BD最小.
2×150°=300°.
2.如图所示，将一个正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后 折叠的纸片沿虚线剪去一个三角形和一个形如“1”的图形， 将纸片展开，得到的图形是( )
【解析】选D.根据折叠和轴对称的性质，从折叠的方向和剪去 一个三角形的位置看，放开后是位于中间的正方形，故要在B， D两项中选择；从剪去的形如“1”的图形方向看箭头朝内.
5.如图，小河边有两个村庄A，B．要在河边建一自来水厂向A 村与B村供水． (1)若要使自来水厂到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？ (2)若要使自来水厂到A，B村的水管最省料，则自来水厂应建 在什么地方？
【解析】(1)如图1，根据“线段垂直平分线上的点到线段两端 点的距离相等”．画线段AB的垂直平分线，交EF于点P，则点P 到A，B的距离相等，所以自来水厂应建在图1中的P点处.
【规范解答】如图所示，
……………………………………3分 1.分别作点P关于OA，OB的_对__称__点__P1，P2. …………………4分 2.连接_P_1_P_2 ，与OA，OB分别相交于点M，N. ……………5分 因为乙站在OA上，丙站在OB上，所以乙必须站在OA上的M处， 丙必须站在OB上的N处时，才使所用时间最短. …………6分