数学文化与数学教学(汪晓勤)
数学史在小学数学教学中的应用现状调查和分析
摘要：结合数学史进行数学教学（HPM）是近些年国内数学教学研究的热点之一。
为了全面了解数学史融入小学数学教学的情况，笔者以苏州工业园区为例，从教师层面分析目前本地区数学史融于数学课堂的现状，并提出一些改进措施。
自20世纪90年代数学史融入数学课堂的理念从欧洲传入我国以来，华东师范大学张奠宙和汪晓勤教授带领的团队进行了大量的理论研究和探索，证实了数学史在数学知识的建构、文化素养的提升和数学兴趣的培养等方面都有积极作用。
《新课标》（2011版）也在“教材编写建议”中提出：“每一学段都要有介绍有关数学背景的知识。
”为全面了解数学史在小学数学课堂融入的实际情况，我于2019年4月在苏州工业园区的8所小学内发放并收集问卷58份，其中有效问卷55份。
问卷内容共分两部分，第一部分为研究者的背景资料调查，主要涉及年龄、教龄、学历、职称、性别和任教年级。
第二部分为问卷的主体部分，主要是教师对教材中数学史的掌握情况，教师对数学史的态度，教师开展数学史教学的情况等。
具体调查数据和分析如下：一、现状调查1.教师对教材中出现的数学史料的掌握情况调查本调查中涉及的数学史内容为：《九章算术》、圆周率、函数思想、杨辉三角。
这四个知识点均来自苏教版教材，难度不高。
数据显示，教师们对《九章算术》和圆周率的内容掌握得最好，正确率都超过了90%，对函数思想的掌握情况次之，而对杨辉三角的掌握情况最差，正确率仅有56.36%。
55名教师中有26%的教师将杨辉三角和裴波那契数列混淆。
总的来说，教师对这些内容的平均掌握率为80.45%，对于不同内容的掌握成不均衡的趋势。
所有教师对教材中出现频率较高的《九章算术》、圆周率掌握得非常扎实，对于出现频率较低的杨辉三角的掌握还有待提高。
2. 教师的数学史知识来源情况调查教师们获取数学史知识的途径非常丰富，如：大学时期专业课的学习、入职前后的专业培训、数学教材中涉及的内容、专业书籍的阅读、网络碎片化阅读等。
数学文化与数学教学(汪晓勤)教学提纲
案例 2 昔非今比
• Josse Verniers（1584） 士兵问题：一座房子里有14 个房间，每个房间有里14张 床，每张床上躺着14个士兵， 每个士兵有14支枪，每支枪 里有14颗子弹。问：共有床、 士兵、枪、子弹各多少。
案例 2 昔非今比
• Kamp（1877）
妇女问题：有12个妇女，每人带 有12根棍子，每根棍子上绑有12 根绳子，每根绳子上系有12个袋 子，每个袋子里装有12个盒子， 每个盒子里含有12先令。问：共 有多少先令？
案例 2 昔非今比
七兄弟分财产，最小的 兄弟得2，后一个比前一 个多得1/6，问所分财产 共有多少？
数学泥版MS 1844 （约公元前2050年）
案例 2 昔非今比
数学泥版 M 7857 （古巴比伦时期）
649539 大麦 72171 麦穗 8019 蚂蚁
891 鸟 99 人
案例 2 昔非今比
数学文化与数学教学
汪晓勤 石家庄 2011-10-12
数学文化与数学教学
一座宝藏
一条进路 一缕书香 一种视角
案例 1 跨越时空
希腊几何学的鼻祖泰勒斯发现了角 边角定理。普罗克拉斯（Proclus, 5 世纪）告诉我们：“欧得姆斯在其 《几何史》中将该定理归于泰勒斯。 因为他说，泰勒斯证明了如何求出 海上轮船到海岸的距离，其方法中 必须用到该定理。”
案例 1 跨越时空
T1: 这样的课教师和学生都很感兴趣，很生动，学生的积极 性完全调动起来，是数学与实际结合最好的范例。 T2: 最好能资源共享，多展示几节这样的课，让学生更好地 体会数学与生活紧密相关，让学生发现生活中的数学问题， 并用学过的知识解决它。如果所有的课都能以这种形式来上， 那么学生一定都会喜欢数学课!
数学文化融入数学教学的若干案例
数学文化融入数学教学的若干案例朱卫平;汪晓勤【期刊名称】《中学数学月刊》【年(卷),期】2013(000)001【总页数】3页(P50-52)【作者】朱卫平;汪晓勤【作者单位】浙江省台州学院教师教育学院 317000;华东师大数学系 200241【正文语种】中文早在半个多世纪以前，数学家克莱因（M.Kline，1908－1992）即提出数学课程的文化原理：“知识是一个整体，数学是这个整体的一部分.每一个时代的数学都是这个时代更广阔的文化运动的一部分.我们必须将数学与历史、科学、哲学、社会科学、艺术、音乐、文学、逻辑学以及与所讲主题相关的别的学科联系起来.我们必须尽可能地组织材料，使数学的发展与我们的文明和文化的发展联系起来.”今天，我国《普通高中数学课程标准》将“体现数学的文化价值”作为课程的基本理念之一，数学文化日益受到人们的关注.师范院校数学文化课程建设如火如荼，中学数学文化校本课程悄然诞生.然而，数学文化的主要载体是数学课程，而非数学文化课程；数学文化传播的主阵地是数学课堂，而非数学文化课堂.因此，人们最关注的还是如何在数学课堂教学中融入数学文化知识的问题.图1 数学文化融入数学教学的一般过程图1 给出了“数学文化融入数学教学的一般过程”［1］，从中可见，数学文化材料的搜集是数学文化传播的基础，没有足够的素材，就会陷入“巧妇难为无米之炊”的境地，数学文化融入数学教学也就成了一句空话.本文通过几个具体的案例，展示数学文化素材的来源.1 跨越鸿沟数学和文学之间有着千丝万缕的联系.历史上，许多文学作品中包含了数学主题，卡洛儿的《爱丽丝漫游奇境记》是其中之一.美国Prentice Hall数学教材《几何》“推理与证明”一章利用该书中爱丽丝和帽子匠、兔子之间的对话来引导学生思考原命题与逆命题之间的关系.爱丽丝：“至少——至少我说的就是我心里想的——反正是一码事，你知道了吧！”帽子匠：“你还不如说：‘我看见我吃的东西’跟‘我吃我看见的东西’也是一码事呢！”兔子：“你也不如说：‘我喜欢我得到的东西’和‘我得到我喜欢的东西’也是一码事！”这里，为什么帽子匠和兔子说得不对呢？如果我们把帽子匠和兔子的说法表达成命题，那么帽子匠将原命题“如果我吃一样东西，那么我会看见它”和逆命题“如果我看见一样东西，那么我会吃它”等价起来；兔子则将原命题“如果我得到一样东西，那么我就喜欢它”和逆命题“如果我喜欢一样东西，那么我就得到它”等价起来.原命题和逆命题不一定同时成立，帽子匠和兔子的话成了有趣的反例.科幻小说之父凡尔纳（J.Verne，1828－1905）在《神秘岛》中则巧妙地使用了等比数列，当哈伯在衣服夹层里找到一颗麦粒时，工程师史密斯如是说：“如果我们种下这粒麦子，那么第一次我们将收获八百粒麦子；种下这八百粒麦子，第二次将收获六十四万粒；第三次是五亿一千二百万粒；第四次将是四千多亿了.比例就是这样.……这就是大自然繁殖力的算术级数.……算他十三万粒一斗，就是三百万斗以上.”这里，作者误将几何级数说成算数级数.无疑，这是数列课堂上很好的素材. 历史上许多文学家曾为数学教育做出过贡献.19世纪苏格兰文学家和历史学家卡莱尔（Thomas Carlyle，1795－1881）在数学上因翻译勒让德《几何基础》而著称，学生时代的他酷爱数学，“多年来，几何学作为所有科学中最崇高的学科在我面前熠熠生辉，在所有最佳时光里和最佳心情下，我学的都是这门学科.”卡莱尔大学时代所给出的一元二次方程的新颖解法是我们今天解析几何教学的理想素材：已知一元二次方程x2－bx＋c＝0，在直角坐标系中作出点A（b，c）和点B（0，1），连结AB，以AB为直径作圆C（图2），则C与x轴的交点横坐标即为方程的根.我们可以设计如下问题：（1）求圆C的方程；（2）当x2－bx＋c＝0有两个不同实根、两个重根、没有实根时，分别判定圆C和x轴的位置关系；（3）若C和x轴相交，求交点坐标.这样，卡莱尔的方法在初、高中数学知识之间架起了桥梁.图2 一元二次方程的几何解法2 海岛奇迹数学与人类文明进步息息相关，科学史家萨顿（G.Sarton，1884－1956）甚至断言，数学史乃是整个人类文化史的核心.古希腊历史学家希罗多德（Herodotus，前5世纪）描述了毕达哥拉斯的故乡、萨莫斯岛上的一条约建于公元前530年、用于从爱琴海引水的穿山隧道，设计者为工程师欧帕里诺斯（Eupalinos）.这个隧道后来被人遗忘，直到19世纪末，它才被考古工作者重新发现.20世纪70年代，考古工作者对隧道进行了全面的发掘.隧道全长1 036m，宽1.8m，高1.8m.两个工程队从山的南北两侧同时往里挖掘，最后在山底某处会合，考古发现，会合处误差极小.欧帕里诺斯到底是用什么方法来确保两个工程队在彼此看不见的情况下沿同一条直线向里挖的？在欧帕里诺斯600年后，希腊数学家海伦在一本介绍测量方法的小书《Dioptra》中给出一种在山两侧的两个已知出口之间挖掘直线隧道的方法，人们相信：这正是欧帕里诺斯当年用过的方法.如图3所示，要在两侧山脚的两个入口A和B之间挖一条直线隧道.从B处出发任作一直线段BC，过C作BC的垂线CD，然后，依次作垂线DE，EF，FG，GH，直到接近A点.在每一条线段的一个端点处能看到另一个端点.在最后一条垂线段GH上选取点J，使得JA垂直于GH.设AK为CB的垂线，K 为垂足，则AK＝CD －EF－GJ，BK＝DE＋FG－BC－AJ.现在BC和AJ上分别取点L和N，过点L和N分别作BC和AJ之垂线，在两垂线上分别取点M 和P，使得于是，Rt△BLM，Rt△BKA，Rt△ANP 为相似三角形.因此，点P，A，B，M 共线.故只需保证在隧道挖掘过程中，工人始终能看见P，M 处的标志即可.在古希腊水利工程奇迹的背后，几何学扮演了关键的角色.图3 海伦所介绍的隧道挖掘法3 古堡探幽图4 阿皮里亚山城建筑与数学的关系可以上溯到古埃及时代，建筑需要美，美需要和谐，而和谐需要通过数学来实现.意大利南部Apulia山城（约建于公元1240年，图4）被建筑史家誉为中世纪“建筑上无与伦比的纪念碑”，其内外墙均为正八棱柱，外墙边长是内墙边长的2倍.各角上分别建有一个小正八棱柱.内八边形相应八角星的每个顶点恰好位于角八边形的中心；而角八边形朝内的顶点恰为外八边形的一个顶点（图5）.美国 Prentice Hall数学教材《几何》“面积”一章中，即用该建筑来设题.我们可以设计如下问题：（1）给出城堡设计方法；（2）求内八边形和角八边形边长之比；（3）已知内八边形半径为16m，求内八边形面积、角八边形的边长和面积.（4）按同样的方法在角八边形外作更小的八边形，记内八边形面积为S0，以后每次所作的每一个八边形面积分别为S1＋…＋Sn－1）.图5 阿皮拉山城的设计这些问题涉及几何、三角、数列与极限知识，建筑中的数学真切地展现在我们面前.4 天外来客仰望星空，时有流星划过天际，令我们感叹生命的短暂，而那璀璨夺目的流星雨，又深深震撼着我们凡俗的心灵.流星是什么？从古到今，人们作过无数种猜测.古希腊哲学家亚里士多德说，那是地球上的蒸发物.近代有人进一步认为，那是地球上的磷火升空后的燃烧现象.10世纪阿拉伯著名数学家阿尔·库希（al－Kuhi）设计出一种方案，通过两个观测者异地同时观测同一颗流星，来测定其发射点的高度.18－19世纪之交，德国天文学家本森伯格（J.Benzenberg，1777－1846）和布兰蒂斯（H.W.Brandes，1777－1834）独立采用了同样的方法.如图6，设有两个观测者在地球上A，B两地同时观察到一颗流星因地球半径R＝6 371km，故得从而得AB＝499.872km.设AD，BD为地平线，两个观测者的仰角分别为∠SAD＝α＝23.2°，∠SBD＝β＝44.3°，则∠ASB＝γ＝180°－（α＋θ）－（β＋θ）＝108.004°.由正弦定理得，故得AS＝381.566km.再由余弦定理得最后得到流星发射点的高度为h＝159.74km.须知，云层最高不超过15km，因此可以断定，流星不是地球蒸发物，它一定是天外来客！正是三角学上的两个定理帮助人类迈出正确认识流星的第一步！图6 流星高度的测量5 牛刀小试公元1世纪左右，古希腊数学家海伦已经发现光的反射定律.当光从一种介质进入另一种介质发生折射，入射角和折射角之间的关系又如何？天文学家托勒密（C.Ptolemy，公元85－165）分别就空气和水、水和玻璃、玻璃和空气，对光的入射角和折射角进行测量，得出入射角与折射角成正比的错误结论.阿拉伯数学家阿尔·海赛姆（Al－Haitham，公元965－1038）制作仪器，测量入射角和折射角，发现托勒密的结论是错误的，但他自己未能发现折射定律.之后，波兰物理学家、自然哲学家和数学家维特罗（Witelo，约公元1230－1300）在阿尔·海森的基础上进一步研究折射现象，同样未能发现折射定律.1611年，德国天文学家开普勒（J.Kepler，公元1571－1630）在《折光》中给出：对于两种固定的媒质，当入射角（i）较小时，入射角和折射角（r）之间的关系是i＝nr（n为常数）.当光线从空气进入玻璃时，n＝3／2.英国数学家哈里奥特（T.Harriot，公元1560－1621）和荷兰数学家斯内尔（W.Snell，公元1591－1626）相继通过实验得出折射定律，但未能给出理论推导.1637年，法国哲学家和数学家笛卡儿（R.Descartes，公元1596－1650）在《折光》（《方法论》之附录）中发表了折射定律，但遗憾的是，他的证明却是错误的！同时代数学家费马（P.Fermat，公元1601－1665）因此对笛卡儿的折射定律进行了攻击.直到24年后的1661年，费马才利用他的最小时间原理才导出了折射定律.1684年，微积分发明者莱布尼茨（G.W.Leibniz，公元1646－1716）在他的第一篇微积分论文中，小试牛刀，给出了微分的一个应用：在两种媒质中分别有点P 和Q，光从P出发到达Q，界面上入射点O 位于何处，光用时最短？如图7，建立直角坐标系，设光在两种媒质中的传播速度分别为v1和v2，光从P 到Q所需时间为有了微积分，一个具有1 500年漫长历史的古老光学问题，轻而易举得到了解决.莱布尼茨惊叹：“熟悉微积分的人能够如此魔术般地处理的一些问题，曾使其他高明的学者百思而不得其解！”以上数学文化案例分别来自文学史和科学史（水利工程史、建筑史、天文学史和物理学史），它们都揭示了数学与人类其他知识领域之间的密切联系，将数学从“孤岛”中解放出来，充分体现了新课程的理念.我们有理由相信，文学史和科学史是数学文化的宝藏，其中更多适合于课堂教学的案例有待于我们去挖掘、整理和改造. 图7 折射定律的推导参考文献【相关文献】［1］Furinghetti，F.The long tradition of history in mathematics teaching：an old Italian case.In V.Katz（Ed.），Using History to Teach Mathematics：An International Perspective.Washington：The Mathematical Association of America，2000.49－58.。
基于中华优秀传统数学文化的高中数学留白创造式教学初探
基于中华优秀传统数学文化的高中数学留白创造式教学初探作者：汪晓勤邹佳晨来源：《中小学课堂教学研究》2023年第09期【摘要】中国传统数学的历史是中华优秀传统文化最重要的组成部分，要让中华优秀传统文化进入数学课程和教学，教师首先需要充分利用中国传统数学的历史资源。
研究者从《九章算术》中“等差数列问题”“阳马和鳖臑问题”出发，设计留白创造式教学的系列任务，并提出基于中华优秀传统数学文化的若干留白策略：古名今辩，留陈述之白；古题今解，留方法之白；古术今推，留论证之白；古法今用，留发现之白；古问今编，留问题之白；古算今思，留超越之白。
【关键词】中算史；等差数列；鳖臑；阳马；留白创造式一、引言自2021年教育部颁布《中华优秀传统文化进中小学课程教材指南》以来，如何将中华优秀传统文化融入学科教学，成了学术界和一线教师十分关注的课题。
就数学学科而言，中国传统数学的历史（以下简称中算史）是中华优秀传统文化的重要组成部分之一，要让中华优秀传统文化进入数学课程和教学，教师首先需要充分利用中算史的资源。
中国传统数学有着悠久的历史、辉煌的成就和丰富的内容，中算史既是数学教学的目标，也是数学教学的工具，其潜在的教育价值有待于人们去挖掘。
如果仅仅将中算史视为数学教学的目标，那么教师可能仅仅会采用附加式进行教学，如介绍中国古代数学成就、数学家及其数学著作；但如果将中算史视为数学教学的工具，那么教师就需要采用更多的方式去运用有关素材，包括概念、问题、命题、法则、思想方法等，具体方式有复制式、顺应式甚至重构式。
数学史告诉我们，前人留白，后人创新，留白是创新的必要条件［1-2］。
类似地，在数学课堂上，教师只有留白，方能引发学生的创新，这正是留白创造式教学［3］的要义。
由于古今数学表达方式、思想方法迥然不同，原原本本运用中算史料必然是远远不够、甚至是没有必要的。
在留白创造式教学中，教师需要以中算史料为出发点设计问题，为学生提供广阔的思维空间和足够的探究机会，以培养创新能力，落实学科德育，从而充分发挥中算史的多元教育价值。
第四届新青年数学教师论坛 汪晓勤：HPM从实践到理论
分割方案之二
分割方案之三
案例2 三角形中位线定理
• 刘徽和欧几 里得的转化 思想
重构式
复制式
顺应式
• 古巴比伦土 地分割问题
数学史的运用方式
重构式
复制式
• 原原本本运 用历史上的 数学问题、 思想方法或 其他素材
顺应式
附加式 • 数学家的故 事等 • 改编历史上 的问题或思 想方法
案例3 数系的扩充与复数的引入
9 8 7 6 5 10 1 2 3 4
案例1 数列的概念
知识拓展：数列与谷神星的发现
行 星 Bode 距离 4 7 10 16 28 52 100 196 388 772 实际距离（单位: 天文单位/10） 3.9 7.2 10.0 15.2 27.6 （G. Piazzi，1801年） 52.0 95.3 192（Herschel，1781年） 301 396
案例4 三角形内角和
等腰三角形拼图方案
案例4 三角形内角和
不等边三角形拼图方案
案例4 三角形内角和
案例4 三角形内角和
三角形内角和的说理 [教师让学生在图中锁定某一 个三角形，通过添加辅助线 来说理。按位置，六个三角 形分别称为上左、上中、上 右、下左、下中和下右三角 形。各小组经过讨论之后， 产生了多种方案。]
HPM：从实践到理论
汪晓勤 华东师范教师教育学院 2017-07-29
第四届全国新青年数学教师发展论坛 暨数学史与数学教育（HPM）暑期学校
HPM的先驱者
F·克莱因 (1849-1925)
卡约黎 (1859-1930)
史密斯 (1860-1944)
波利亚 (1887-1985)
弗赖登塔尔 (1905-1990)
高中数学与文化
数学之美的大门。‛
数学与文化
•―对于数学，我只有死做题目的份：高中 实在出于无奈，要不是老师的‘严刑逼 迫’，我才不会去做那高难度的‘一课 一练’。教育学家、命题学家把一道道 仅有一种答案的题目给我们整整做了12 年，可是我们真的就是数学强人了吗？ 非也。眼下，周围有许多同学也参加了
数学与文化
数学与文化
一座宝藏 一条进路
一缕书香
一座桥梁
案例1 海岛奇迹
案例1 海岛奇迹
案例1 海岛奇迹
案例1 海岛奇迹
隧道全长 1036米， 宽1.8米，高1.8米。 设计者：欧帕里诺斯
案例1 海岛奇迹
萨莫斯岛上的穿山隧道(前530年)
E F ENTRANCE A D G P N K J H
就是——有一套固定模式可循、会套
做题目即可的学科。就这样，学数学 就成了一件很痛苦的事。‛
数学与文化
随着年龄的增长，学习的深入，在 我对数学的兴趣中渐渐渗入了一种
叫做‘恐惧与无助’的滋味。……
在经过了无数场机械化的操练、在
经历无数场考试、在做遍千万份试
卷后，数学对我而言，终于成为了 一项任务，还有一些厌恶。
数学与文化
汪晓勤 华东师大数学系 上大附中·2011-03-30
数学与文化
Heppel (1893)
如果又一场洪水爆发 请飞到这里来避一下 即使整个世界被淹没
这本书依然会干巴巴
数学与文化
W. J. Loche (1863-1930)《Marcus Ordeyne的道德》(1906)
探寻数学语言的奇妙——基于数学史及数学文化的视角
探寻数学语言的奇妙——基于数学史及数学文化的视角邵贵明
【期刊名称】《湖北教育（教育教学）》
【年(卷),期】2017(000)007
【摘要】数学女王的形象应是光彩夺目、艳丽照人的,然而在现实教学中,学生更多感受到的是数学形式抽象、内容复杂、逻辑严谨,让人下意识地“敬而远之”。
众多教育者已经在致力于还原女王原有面貌,甚至展示其更优雅的一面。
其中研究数学语言的表现形式,就是一种很好的途径。
数学语言不仅是数学的美丽外衣,还是数学重要的“血液循环系统”。
【总页数】2页(P57-58)
【作者】邵贵明
【作者单位】黄冈师范学院数理学院
【正文语种】中文
【相关文献】
1.基于数学史教育的高校数学文化育人功能研究 [J], 邱仰聪;陈建华
2.基于课堂教学视角的小学生数学语言训练 [J], 李飞
3.基于数学史的数学文化内涵实证研究 [J], 余庆纯;汪晓勤
4.基于数学史的数学文化课例研究 [J], 余庆纯;汪晓勤
5.基于数学史视角的“弧度制”概念教学设计 [J], 韩婧
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基于数学史的数学文化课例研究
ʌ课堂研究·特设专栏：ＨＰＭ课例研究（之二十四）ɔ编者按：随着新一轮数学课程改革的发展，数学文化逐渐融入数学教育教学，日益受到师生的关注㊂为推动基于数学史的数学文化课例教学的实证研究，２０２１年，本刊将继续特邀华东师范大学汪晓勤教授及其ＨＰＭ研究团队分享基础教育阶段数学文化课例教学的实证研究，旨在让大家更好地认识数学本质㊁洞见数学价值㊁品味数学文化，促进教师专业发展，落实数学学科立德树人的教育任务㊂基于数学史的数学文化课例研究余庆纯１，汪晓勤２（１ 华东师范大学数学科学学院，上海㊀２００２４１；２ 华东师范大学教师教育学院，上海㊀２０００６２）ʌ摘㊀要ɔ基于数学史的数学文化课例研究聚焦数学的知识源流㊁学科联系㊁社会角色㊁审美娱乐与多元文化五个维度，彰显数学四大价值㊂数学文化课例研究强调数学史内容㊁实证方法与技术融合㊂ 互联网＋教育 时代，数学文化课例研究要不断深挖数学史素材，扎根实证教学，融合信息技术，促进文化育师，落实立德树人的根本任务㊂ʌ关键词ɔ数学史；数学文化；课例研究；实证方法；技术融合ʌ作者简介ɔ余庆纯，华东师范大学数学科学学院在读博士研究生，主要从事数学史与数学教育研究；汪晓勤，华东师范大学教师教育学院教授㊁博士生导师，主要从事数学史与数学教育研究㊂ʌ基金项目ɔ上海高校 立德树人 人文社会科学重点研究基地之数学教育教学研究基地研究项目 数学课程与教学中落实立德树人根本任务的研究（Ａ８）什么是数学文化？有研究者基于国内数学文化研究，分别从数学学科㊁文化㊁数学共同体㊁数学活动等多元角度阐释数学文化的内涵，即数学文化是指一群人（数学家），当他们从事数学活动时，遵循共同的数学规则，经过长期的㊁历史的沉淀，形成了关于数学知识㊁精神㊁思想方法㊁思维方式等的共同约定的总和［１］㊂‘普通高中数学课程标准（２０１７年版）“（以下简称‘标准“）提出，数学文化不仅是指数学的思想㊁精神㊁语言㊁方法㊁观点以及它们的形成和发展，还包括数学在人类生活㊁科学技术㊁社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动［２］㊂其中，数学史是数学文化的有机组成部分，不仅展现了数学概念公式㊁定理命题㊁问题解决㊁思想方法等的演进过程，而且展现了多元文化背景下数学的学科联系㊁社会角色与人文活动㊂课程改革以来，我国全面深化新时代教师队伍改革，强调教师要树立正确的历史观㊁民族观㊁国家观㊁文化观，开展中小学教师活动，促进教师终身学习与专业发展［３］㊂因此，如何在数学课程中提升数学教师的专业发展，促进数学文化的教学实践，已然成为新时代数学教师队伍改革普遍关注的热点问题之一㊂有研究表明，学科教学是教师专业发展的核心，课例研究是教师专业发展的有效抓手㊂早在２１世纪初，顾泠沅教授便开展了基于数学学科的课例教学研究，依据行动研究的实证范式，总结数学教师教学特征与实践智慧，推进新世纪数学教师队伍的专业发展［４］㊂ＨＰＭ（数学史与数学教育之间的关系）是数学教育的重要研究领域之一，其以喜闻乐见的形式呈现数学知识的来龙去脉，在科学严谨的数学逻辑体系中渗透丰富多彩的数学文化㊂从２１世纪初至今，在ＨＰＭ与教师专业发展研究中，课例研究不仅提升了数学教师个体的专业知识㊁教学能力与人文情怀，而且帮助一线数学教师㊁教研员与高校数学教育研究者共同组建教师专业学习共同体（ｐｒｏ⁃ｆｅｓｓｉｏｎａｌｌｅａｒｎｉｎｇｃｏｍｍｕｎｉｔｙ，简称ＰＬＣ）㊂其中，在课例教学环节里，已有实证研究表明，教育取向的数学史在不同程度上彰显知识之谐㊁方法之美㊁探究之乐㊁能力之助㊁文化之魅㊁德育之效等教育价值［５］㊂然而，在ＨＰＭ教学实践中依旧存在 高评价㊁低运用 的现象㊂为了突破这一教学实践困境，教师专业学习共同体基于‘标准“中数学文化的概念内涵与数学四类价值，提出基于数学史的数学文化理论框架［６－７］，借鉴该理论框架，在基础教育阶段开展一系列的数学文化课例实践，旨在推动数学文化走进课堂㊁助教学㊁促成长㊂鉴于此，本研究主要阐述基于数学史的数学文化内涵与理论框架，介绍基于数学史的数学文化课例研究的基本要素㊁实证方法㊁技术融合等内容，为促进文化育师，落实立德树人的根本任务提供理论支撑与实践参考㊂一㊁数学文化内涵扎根于西方学者总结的数学史教育价值，结合‘标准“提出的课程目标㊁教学建议等内容，构建基于数学史的数学文化的概念内涵与理论框架，将其分成知识源流㊁学科联系㊁社会角色㊁审美娱乐与多元文化五个维度（见表１），指向数学的科学价值㊁应用价值㊁文化价值㊁审美价值四类价值（见表２），进一步基于德尔菲法㊁文本分析法对该理论框架进行修正与论证，且以初中和高中ＨＰＭ课例实证该理论框架的普适性（如图１）［８］㊂表１㊀基于数学史的数学文化内涵的五个维度五个维度具体内涵知识源流在某个知识点的历史演进过程中，涉及的人物与事件㊁概念与术语㊁问题与求解㊁命题与证明等学科联系数学与其他学科之间的密切联系社会角色数学在人类生活㊁科学技术㊁社会发展中的价值㊁贡献与意义审美娱乐数学美（包括对称美㊁奇异美㊁简洁美㊁统一美等）与趣味数学，展现出人类对美学标准㊁智力好奇㊁趣味娱乐的追求多元文化不同时期㊁不同地域的数学家在同一数学课题上的贡献，以及与数学相关的人文活动表２㊀数学的四类价值四类价值价值内涵科学价值数学是自然科学的基础，不仅是运算和推理的工具，而且是表达和交流的语言，帮助人们理解和表达现实世界中事物的本质㊁关系与规律应用价值数学与人类社会生活紧密关联，数学应用渗透到现代社会及人们日常生活的各个方面；数学助力现代科学技术的发展，推动社会生产力的发展，为社会创造价值文化价值数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分㊂数学相关的人文活动展现科学主义与人文主义的丰富底蕴，彰显数学的人文内涵审美价值数学能陶冶情操，让人从感性走向理性，提升审美情趣和审美能力；数学改善思维品质，在形象思维的基础上增强理性思维能力图１㊀基于数学史的数学文化理论框架随着新一轮基础教育改革的不断推进，基于数学史的数学文化理论逐渐走进一线教学实践，分别在基础教育阶段开展实证性的课例研究，旨在探寻数学学科文化育人的本质内涵，更加深刻地揭示数学文化的核心教育价值，促进数学学科立德树人的有效落实㊂二㊁数学文化课例研究（一）研究内容基于数学史的数学文化课例研究，是指教师专业学习共同体（ＰＬＣ）围绕某一特定的数学概念术语㊁公式定理㊁问题解决等内容，借助线上线下融合式研修的形式，携手开展主题课例的系列研修活动，如资料习得㊁教学设计㊁交流研讨㊁实践教学㊁反馈评价㊁反思整理㊁课例记录等㊂基于数学史的数学文化课例研究，其主要流程有五个基本环节（如图２）㊂图２㊀基于数学史的数学文化课例研究流程（１）确定课例主题㊂数学文化课例研究强调数学史内容，聚焦某一特定的数学概念术语㊁公式定理㊁问题解决等内容，进行教育取向的数学史料研究，且基于数学史的数学文化五个维度展开分析㊂（２）规划教学设计㊂聚焦该主题的数学文化㊁课标要求㊁教材比较㊁教学实况㊁学情基础等相关内容，综合考虑 历史发生序 数理逻辑序 心理认知序 三个序列的有机统一，经历数学文化课例主题的教学设计㊁共同研讨㊁优化设计等过程㊂现以 锐角三角比的意义 课例主题为例，进行阐述说明㊂①知识源流：借鉴２０世纪上㊁中叶英美教科书中的锐角三角函数的引入方式，选择性地进行教学重构，以校园生活为背景，引导学生基于不同实际情境，探究系列 不可测问题 的解决方法，在分析问题㊁解决问题的过程中掌握锐角三角比的概念定义，学会根据直角三角形中两边的长求解锐角三角比的值，揭示学习锐角三角比的重要性㊁必要性，为学生在高中学习三角函数奠定基础㊂②学科联系：在跨学科联系中，锐角三角比是天文学㊁航海学的重要内容之一㊂③社会角色： 日晷 作为古代计时工具，凝结着锐角三角比在社会生活中的实际运用，展现出数学源于生活㊁服务于生活的重要角色㊂④审美娱乐：正切和余切等锐角三角比有着密切关系，体现了数学的简洁美㊁统一美㊂⑤多元文化：基于２０世纪早期英美教科书，将数学家们探索 锐角三角比的意义 的过程转化为校园生活中 不可测问题 的活动探究㊂通过古今对照，表现出不同时期㊁不同文化下数学家们对 锐角三角比 研究的贡献，展现多元的数学文化㊂（３）实施课堂教研㊂开展数学文化课例教学与研究，要聚焦课堂教学的自然生成㊁数理人文的和谐统一；同时要注意收集学生反馈㊁同行评议等实证数据㊂（４）反思课例教学㊂反思主题课例教学中数学史文化素材的运用与教育价值的达成㊁教师自身专业知能的发展㊁教师专业学习共同体的合作等，有助于进一步优化课例㊂（５）撰写课例记录㊂基于数学史的数学文化课例研究流程，记录课例研究过程的实践智慧㊁心得体会与专业成长，进一步聚焦数学文化课例的教学与评价，为今后开展主题的数学文化课例提供参考㊂（二）研究主体数学文化课例研究的主体是由一线数学教师㊁教研员与高校ＨＰＭ研究者共同组成，形成教师专业学习共同体（ＰＬＣ）㊂近年来，其从个体化学习转向合作式学习，聚焦特定的课例主题，开展自主学习＋合作学习的行动研究，在设计 教学 观察 反思中螺旋式地优化数学文化课例研究㊂教师学习（ｔｅａｃｈｅｒｌｅａｒｎｉｎｇ）是教师专业发展的必经之路［９］，教师主体角色从教学者向学习者转变㊂对于数学文化课例研究的教师专业学习共同体来说，需要树立共享学习的价值观，充分发挥各自的专业优势，如一线数学教师㊁教研员扎根于基础教育实践，提供本土化的教学智慧；高校ＨＰＭ研究者立足数学文化课例研究等教育理论，聚焦国际化的教育洞见㊂这将打通基础教育阶段与高等教育阶段之间的教育鸿沟，形成 中小学 大学 合作机制（ｓｃｈｏｏｌａｎｄｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙｐａｒｔｎｅｒｓｈｉｐｍｅｃｈａｎｉｓｍ，简称ＳＵＰＭ）㊂（三）研究形式数学文化课例研究主要有以下四种形式㊂（１）专家引导㊂采用专家讲座的方式，自上而下对数学史㊁数学文化㊁课例研究等相关内容进行专业性的引导㊂（２）自主学习㊂学习基于数学史的数学文化等ＨＰＭ相关理论，阅读相关主题的数学史素材，分析数学文化内涵不同维度的分布情况，比较不同版本的课标㊁教材之间的异同等㊂（３）合作学习㊂聚焦某一课例主题，以线上线下融合的方式进行小组合作学习，开展基于数学史的数学文化课例主题汇报㊂同时，教师专业学习共同体基于理论或实践视角，对该课例汇报内容进行反馈与评价㊂（４）实践应用㊂融合数学文化素材，开展课例教学，收集学生反馈㊁同行评价等数据，不断优化数学文化课例实践㊂（四）实证方法一般而言，教育研究分为思辨研究和实证研究两类㊂思辨研究主要解决 应然 问题，注重概念㊁理论与观点等内容的构建，通过逻辑推理来回答概念性㊁规范性的问题，而实证研究主要关注 实然 问题，基于收集与分析数据信息得出研究结果㊂实证研究又分为质性研究㊁量化研究与混合研究㊂长期以来，在传统的思辨研究范式主导下，理论研究常常具有较大的争议性㊁不确定性㊂近年来，随着对科学化㊁规范化研究方法的不断探索，数学教育研究逐渐摆脱思辨研究的束缚，开展了实证研究新范式㊂在数学文化课例研究中，教师专业学习共同体主要基于行动研究范式，开展课例设计 教学 观察 反思，这与２１世纪初顾泠沅教授开展的课例研究有相似之处㊂在数学文化课例研究的不同环节，呈现出不同的教育实证研究方法，其中较具有代表性的为以下几个方面㊂（１）在教育取向的数学史研究中，高校研究者往往采用历史研究法，按照历史演进的时间顺序㊁数学文化内涵的分类维度等，对不同主题的数学史料进行解析㊂（２）在数学文化课例教学中，教师经常采用问卷调查㊁深度访谈㊁视频分析等方法，对学生反馈㊁同行评议㊁教师反思等方面的实证数据进行收集，基于理论与实践的角度，共同评价数学文化课例的教学质量㊂其中，问卷调查聚焦课例教学前后学生认知水平的变化情况㊁数学文化的感知异同与情感信念的转变发展；深度访谈关注学生在教学前后转变的深层动因；视频分析常运用于课例教学，通过分析教学片段中的师生互动㊁生生互动，深度解析数学文化融入教学的分布状况与价值彰显，助力教师改进教学，促进其专业化发展㊂（五）技术融合在 互联网＋教育 时代，技术在数学文化课例的研究过程中扮演着重要的角色，线上线下融合式的课例研究成为主流㊂基于在线网络平台开展数学文化课例研究，常采用线上形式进行资料共享㊁主题汇报㊁交流研讨，线下形式进行自主学习㊁教学设计㊁实践教学㊁观察反思等，助力教师专业学习共同体的多元发展㊂其中，线上课例研讨可借助腾讯会议㊁钉钉㊁Ｃｌａｓｓｉｎ㊁微信等在线网络平台搭建网络学习社区，运用腾讯文档㊁思维导图等技术工具呈现教学设计，开展在线编辑；在课例教学中，教师可结合几何画板㊁ＧｅｏＧｅｂｒａ㊁希沃白板㊁流转笔记等信息化工具，再现数学家探寻概念公式㊁命题定理等过程，揭示化曲为直㊁以直代曲㊁数形结合等方法的本质；基于ＰＰＴ㊁数位板㊁白板等演示工具制作的ＨＰＭ微视频㊁微课，生动地展示数学知识的来龙去脉㊁数学思想的古今传承，彰显不同时期㊁不同国家数学文化的历史性㊁人文性㊂三㊁结语基于数学史的数学文化课例研究聚焦数学的知识源流㊁学科联系㊁社会角色㊁审美娱乐与多元文化五个维度，彰显数学四大价值㊂数学文化课例研究强调数学史内容㊁实证方法与技术融合㊂在 互联网＋教育 时代，为进一步提升数学文化课例研究的数理人文，教师专业学习共同体需做好以下三个方面的工作㊂（１）深挖数学史素材㊂数学文化课例扎根于数学史研究，为数学教学提供丰富的教学素材与思想养料，然而在教学实证研究中，笔者发现数学文化内涵的五个维度运用却不均衡，因此教师专业学习共同体需要进一步深挖数学史素材，梳理数学知识的来龙去脉与文化维度的分布情况，寻找数学与其他学科之间的密切联系，发现数学在社会生活中的重要运用，品味数学奇趣之美，揭示东西方数学文化的互融互通㊂（２）扎根实证教学㊂基于数学史的数学文化课例研究，承载了发展学生数学学科核心素养的理性知能与人文情怀，支撑了教师专业学习共同体的合作学习与专业发展㊂可见，数学文化课例教学不仅要聚焦教学实践，而且要注重教育实证方法㊂基于问卷调查㊁深度访谈㊁视频分析等实证方法，还原数学文化课堂的自然生成，揭示数学的教育价值㊂（３）融合信息技术㊂信息技术为数学文化课例研究插上腾飞的翅膀，优化教学内容，提高教学效率，提升教学水平，推动信息化课例研修的历史性嬗变㊂数学教师借助信息技术开展基于数学文化的章节起始课㊁基于问题解决的探究重构课㊁基于历史命题的单元复习课，巧妙地融入翻转课堂㊁同步课堂㊁云课堂等多元教学形式，借助电子学习单㊁流转笔记㊁电子档案袋等形式，开展以学生为本的数学阅读㊁数学写作等活动，助力 互联网＋教育 时代数学文化课例的实践㊂参考文献：［１］杨豫晖，吴姣，宋乃庆．中国数学文化研究述评［Ｊ］．数学教育学报，２０１５（１）：８７－９０．［２］中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（２０１７年版）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０１８．［３］张侨平，陈敏．课例研究的缘起和流变：回顾与前瞻［Ｊ］．全球教育展望，２０２０（８）：７５－９１．［４］顾泠沅，王洁．教师在教育行动中成长：以课例为载体的教师教育模式研究［Ｊ］．全球教育展望，２００３（１）：４４－４９．［５］ＷＡＮＧＸＱ，ＷＡＮＧＫ．Ａｃａｔｅｇｏｒｉｚａｔｉｏｎｍｏｄｅｌｆｏｒｅｄｕｃａ⁃ｔｉｏｎａｌｖａｌｕｅｓｏｆｈｉｓｔｏｒｙｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ：ａｎｅｍｐｉｒｉｃａｌｓｔｕｄｙ［Ｊ］．Ｓｃｉ⁃ｅｎｃｅ＆Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ，２０１７（２６）：１０２９－１０５２．［６］汪晓勤．基于数学史的数学文化内涵课例分析［Ｊ］．上海课程教学研究，２０１９（２）：３７－４３．［７］余庆纯，汪晓勤．基于数学史的数学文化内涵实证研究［Ｊ］．数学教育学报，２０２０（３）：６８－７４．［８］林庄燕，汪晓勤．初中ＨＰＭ课例中的数学文化内涵分析［Ｊ］．教育研究与评论（中学教育教学），２０１９（１）：５７－６３．［９］桑国元．教师作为学习者：教师学习研究的进展与趋势［Ｊ］．首都师范大学学报（社会科学版），２０１７（１）：１４２－１４８．（责任编辑：陆顺演）（上接第４页）本技能和基础性核心素养的落实㊂在此前提下，教学还要关注学生学习的差异性㊂不同区域㊁不同家庭背景㊁不同学生的个性特征，对教学目标的设立㊁教学内容的选择㊁教学方法的运用㊁教学评价的指标都有所不同㊂当然，教学的差异应该统一在一个课程标准㊁一本语文教材中，即无论何时何地的教学，都应该努力实现课程标准和语文教材所设立的基准，以基准为轴心并在基准上，向左右拓展㊁向纵深发展，形成丰富多彩的差异化㊁风格化教学㊂（三）高标期求与底线坚守语文教材为学生的语文知识学习和能力获得提供了基本资源，也提出了基本的达标要求㊂但是，作为 语文要素 和 人文主题 双线并进的语文教材，没有明确的人文达标的标准和具体要求，这一问题不仅表现在教材中，也表现在‘课程标准（２０１１）“中，或许正是‘课程标准（２０１１）“对人文素养语焉不详以致语文教材无从做实做细㊂这就给语文教育中的人文教育带来了难题㊂在语文教学中，人文教育时常 天马行空 ，不仅内容上空疏高远而不切实际，而且在目标与程度上也混乱模糊㊂有些语文教学热衷于在人文主题教育上往高处飘㊁往大处行㊁往空里谈㊂况且，语文教材中涉及人文教育的内容，一般是宏大叙事㊁英雄典范㊁道德楷模㊁君子圣贤，有些教学更是喜欢对此拔高渲染，要求学生与之看齐，自以为这样做可以收到感动㊁震动的效果㊂殊不知，这样过高过大的道德教育不仅没有实效，反而适得其反，会导致学生道德的低能感和挫败感㊂因为，我们的孩子往往终归平凡㊂事实上，基础教育阶段就是平凡的教学教平凡的人㊂语文教学中关于人文教育的着力点主要是底线教育㊁准则教育，引导学生坚守道德底线，在日常生活中恪守准则，这便是基础教育基础性的人文要义，也是基础教育阶段人文教育的重心所在㊂如何处理好人文理想教育与道德底线教育关系，是当代语文教育迫切需要解决的重大课题㊂参考文献：［１］叶圣陶．叶圣陶语文教育论集［Ｍ］．北京：教育科学出版社，２０１５．（责任编辑：罗小荧）。
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2 一条进路
斯蒂菲尔（M. Stifel, 1487～1567）《整数算术》（1544） 0 1 1 2 2 4 3 8 4 16 5 32 6 64 7 128 8 … 256 …
• 等差数列中的加法对应于等比数列中的乘法； • 等差数列中的减法对应于等比数列中的除法； • 等差数列中的简单乘法对应于等比数列中的乘方； • 等差数列中的除法对应于等比数列中的开方。
受到拿破仑的嘉奖。因此，从
古希腊开始，角边角定理在测
量中一直扮演者重要角色。
案例 1 跨越时空
在抗美援朝战争 中，一名志愿军 战士利用泰勒斯
的方法测量敌营
的距离。
案例 1 跨越时空
学生在课上演示泰勒斯的方法
案例 1 跨越时空
A
A
A
B D
C
B
E
C D
B
C D
学生在课上给出的测量全等三角形方案
案例 1 跨越时空
• 佛陀年轻时代的故事 7原子=1极微尘 7极微尘=1微尘 7微尘=1尘， …………………… 1里长度中共有717个原子
案例 2 昔非今比
• 《佛本行集经》卷12：
悉达多太子讲授“微尘数”的算法：“凡七微尘，
成一窗尘；合七窗尘，成一兔尘；合七兔尘，成 一羊尘；合七羊尘，成一牛尘；合七牛尘，成于
一虮；合于七虮，成于一虱；合于七虱，成一芥
案例 1 跨越时空
上述测量方法广泛使用于 文艺复兴时期。右图是16 世纪意大利数学家贝里 （S. Belli, ?～1575）出版 于1565年的测量著作中的
插图，图中所示的方法与
泰勒斯所用方法相同。
案例 1 跨越时空
有一个故事说，拿破仑军队在 行军途中为一河流所阻，一名 随军工程师用运用泰勒斯的方 法迅速测得河流的宽度，因而
案例 1 跨越时空
T1: 这样的课教师和学生都很感兴趣，很生动，学生的积极 性完全调动起来，是数学与实际结合最好的范例。 T2: 最好能资源共享，多展示几节这样的课，让学生更好地 体会数学与生活紧密相关，让学生发现生活中的数学问题， 并用学过的知识解决它。如果所有的课都能以这种形式来上， 那么学生一定都会喜欢数学课!
2 一条进路
为什么要将圆周分成360度？（即，为什么在角度 制里，要将圆周的1/360作为度量角的单位？）为 什么 1 ？
为什么平面直角坐标系将平面所分成的四个部分
叫“象限”？
为什么将幂指数称为“对数”？
为什么某些函数被称为“奇函数”和“偶函数”？ 为什么称未知数为“元”？
度，每1度分成60小部分（分），每一 以色列马赛克：黄道十二宫图 （6世纪） 小部分再分为60个小部分（秒），等等。
2 一条进路
阿拉伯译文 1 first small parts 60 1 second small parts 2 60 拉丁译文 partes minutae primae partes minutae secundae 今天 minute second
行了攻击。错误的推导怎么
会得出正确的结论呢？直到 24年后的1661年，费马才利 用他的最小时间原理才导出 了折射定律。 P. Fermat (1601-1665)
案例 3 牛刀小试
莱布尼茨（1684） 莱布尼茨在他的第一篇微积分 论文中，小试牛刀，给出了微
分的一个应用：在两种媒质中
分别有点P和Q，光从P出发到
积七兔毛尘为羊毛尘量，
积羊毛尘七为一牛毛尘， 积七牛毛尘为隙游尘量，
隙尘七为虮，
七虮为一虱， 七虱为穬麦，
七麦为指节……
《俱舍论》卷12（玄奘译）
案例 2 昔非今比
• 斐波纳契《计算之书》（1202） “7翁去罗马，每个人牵着7匹骡 子，每匹骡子负7只麻袋，每只袋 子装7块面包，每块面包配有7把 小刀，每把刀配有7个刀鞘，问老 翁、骡子、面包、刀、鞘的总数 是多少。”
数学文化与数学教学
汪晓勤 石家庄 2011-10-12
数学文化与数学教学
一座宝藏
一条进路 一缕书香 一种视角
案例 1 跨越时空
希腊几何学的鼻祖泰勒斯发现了角
边角定理。普罗克拉斯（Proclus, 5
世纪）告诉我们：“欧得姆斯在其
《几何史》中将该定理归于泰勒斯。
因为他说，泰勒斯证明了如何求出 海上轮船到海岸的距离，其方法中 Thales （前6世纪） 必须用到该定理。”
2 一条进路
施雷伯（H. Schreyber, 1495～1525）《艺术新作》（1521） 0 1 1 2 2 4 3 8 4 16 5 32 … 16
… 65536
• 第二个数列中两数的乘积对应于第一个数列中两数的和。 • 第二个数列中三数的乘积对应于第一个数列中三数的和。 • 第二个数列中平方数的开方对应于第一个数列中偶数除以2。 • 第二个数列中某数开立方对应于第一个数列中某数除以3。
S1: 所有的话题都让学生感兴趣，提高了上课的效率，多年 之后故事会永远留在头脑中。
S2: 不会影响学习成绩，更不会影响学习时间。这样的课在
我们理论的基础上多一种知识的了解，而且这个了解不是 可有可无的而是有多有少的。在正课当中，无论从哪个角 度讲解都会让我们对知识印象更深，增加对知识的理解，
当然一定要以正课为主。
莱布尼茨：“熟悉微积分的人能够如此魔术般地
处理的一些问题，曾使其他高明的学者百思而不 得其解！”
案例4 史海拾贝
洛必达：《无穷小分析》中的问题
f ( x) c b 2 x 2 a 2 b 2 2ax
数学文化与数学教学
一座宝藏 一条进路
一缕书香
一种视角
2 一条进路
达Q，界面上入射点O 位于何
处，光用时最短？
G. W. Leibniz(1646-1716)
案例 3 牛刀小试
y P
f x
b d x a x v1 v2
2 2 2
2
a i A x O r b Q d-x B x
sin i v1 sin r v2 f x 1 dx 1 0 2 2 v 2 v 2 a x 1 b d x 2 x
案例 3 牛刀小试
维特罗（ca. 1270）
波兰物理学家、自然哲
学家和数学家维特罗在阿
尔· 海森的基础上进一步
研究折射现象，但他仍然 Witelo (ca.1230- ca.1300)
同样未能发现折射定律。
案例 3 牛刀小试
开普勒（1611） 开普勒在《折光》（1611）中给 出：对于两种固定的媒质，当 入射角（i）较小时，入射角和 折射角（r）之间的关系是i = nr，
莱因得纸草上的等比数列问题
案例 2 昔非今比
S5 7 49 343 2301 16807 7 1 7 49 343 2301 7 2801 19607
Sn a aq aq 2 aq n 1
1 2 \4 \8 12 7 14 28 56 84
W. Snell(1591-1626)
案例 3 牛刀小试
笛卡儿（1637） 笛卡儿在《折光》（《方法 论》之附录）中发表了折射 定律，但遗憾的是，他的证 明却是错误的！笛卡儿是否 抄袭了斯内尔，学术界尚有 R. Descartes (1596-1650) 争议。
案例 3 牛刀小试
费马
费马对笛卡儿的折射定律进
a q aq aq 2 aq n 2
a qSn 1
a q Sn aq n 1 a aq n Sn q 1 1 q
埃及乘法127
案例 2 昔非今比
《几何原本》第 9 卷命题 35
an 1 a2 a3 a1 a2 an an 1 an a2 a1 a3 a2 a1 a2 an an 1 a1 a2 a1 q 1 a1 a2 an a1 Sn a1 q n 1 q 1
案例 2 昔非今比
七兄弟分财产，最小的 兄弟得2，后一个比前一 个多得1/6，问所分财产 共有多少？
数学泥版MS 1844
（约公元前2050年）
案例 2 昔非今比
649539 72171 8019 891 99 数学泥版 M 7857 大麦 麦穗 蚂蚁 鸟 人
（古巴比伦时期）
案例 2 昔非今比
子；合七芥子，成一大麦；合七大麦，成一指节； 累七指节，成于半尺。合两半尺，成于一尺，二
尺一肘，四肘一弓，五弓一杖。其二十杖，名为
一息；其八十息，名拘卢奢；八拘卢奢，名一由 旬。于此众中，有谁能知，几许微尘成一由旬？
案例 2 昔非今比
七极微为一微量， 积微至七为一金尘， 积七金尘为水尘量， 水尘积至七为一兔毛尘，
案例 2 昔非今比
• Josse Verniers（1584）
士兵问题：一座房子里有14
个房间，每个房间有里14张
床，每张床上躺着14个士兵，
每个士兵有14支枪，每支枪 里有14颗子弹。问：共有床、 士兵、枪、子弹各多少。
案例 2 昔非今比
• Kamp（1877）
妇女问题：有12个妇女，每人带 有12根棍子，每根棍子上绑有12 根绳子，每根绳子上系有12个袋 子，每个袋子里装有12个盒子， 每个盒子里含有12先令。问：共 有多少先令？
在数学教学中，我们总是在不断地回答“为什么”。 为什么等腰三角形两底角相等？（驴桥定理） 为什么 2 是无理数？（不可公度量的发现）
ab 为什么 ab a 0, b 0 2
？（均值不等式）
为什么正整数和（正）偶数是一样多的？（实无穷）
为什么函数 f x ln x 1 x2 是奇函数？