9.3等腰三角形的识别
等腰三角形的判定
等腰三角形的判定等腰三角形是指具有至少两条边相等的三角形，它有着特殊的特征和性质。
在几何学中，我们常常需要判定给定的三角形是否为等腰三角形。
本文将介绍几种判定等腰三角形的方法，并详细解释每种方法的原理和应用场景。
一、平面几何判定法在平面几何中，我们可以通过比较给定三角形的三条边是否相等来判断是否为等腰三角形。
假设三角形的三条边分别为AB、BC和AC，我们可以使用以下方法进行判定：1. 通过测量边长判断：通过使用直尺和量角器等绘图工具，我们可以测量三角形的各边的长度，并比较它们的大小。
如果发现其中两条边的长度相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
2. 通过测量角度判断：使用量角器等工具可以测量三角形的各个内角，并比较它们的大小。
如果发现其中两个内角的度数相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
二、解析几何判定法在解析几何中，通过使用坐标系可以简化等腰三角形的判定。
假设三角形的三个顶点的坐标分别为A(x1, y1), B(x2, y2)和C(x3, y3)，我们可以使用以下方法进行判定：1. 通过计算边长判断：首先，我们可以计算出三角形的AB，BC和AC的边长。
然后，通过比较边长是否相等来判断是否为等腰三角形。
AB的长度：√[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]BC的长度：√[(x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2]AC的长度：√[(x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2]如果发现其中两条边的长度相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
2. 通过计算角度判断：首先，我们可以计算出三角形的两个内角的度数。
然后，通过比较角度是否相等来判断是否为等腰三角形。
内角A的度数：arctan[(y2 - y1) / (x2 - x1)]内角B的度数：arctan[(y3 - y2) / (x3 - x2)]如果发现其中两个内角的度数相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
三、等腰三角形应用举例等腰三角形的判定对于几何学的研究以及实际生活中的应用具有重要意义。
等腰三角形的判定（课件ppt）
∵∠A=∠B =∠C ＝60° ，
∴△ABC 是等边三角形． B
C
新知讲解
练习2：已知：如图，CD平分∠ACB，AE//DC，AE交BC的 延长线于点E，且∠ACE= 60°. 求证：△ACE是等边三角形.
证明： ∵CD平分∠ACB， ∴ ∠ACD =∠DCB， ∵∠ACE=60°， ∴ ∠ACD=∠DCB=60°， ∵ AE∥DC， ∴ ∠BCD=∠E=60°， ∴ ∠CAE= 180°- ∠E -∠ACE =60 ° ∴ ∠CAE = ∠ACE=∠E=60° ∴△ACE是等边三角形.
已知：在△ABC 中， ∠A =∠B =∠C =60°． 求证：△ABC是等边三角形．
证明： ∵∠C=∠B =60°，
A
∴AB =AC ，
同理可证： AB＝BC，AC＝BC，
∴AB=BC =AC．
∴△ABC 是等边三角形．
B
C
新知讲解
等边三角形的判定1
三个角都是60°的三角形是等边三角形.
A 几何语言：在△ABC中，
相交于点O. 求证：△OBC为等腰三角形.
证明: ∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ ∠DBC= 1 ABC，∠ECB= 1 ACB
A
2
2
又∵ △ABC是等腰三角形，
E
D
∴ ∠ABC =∠ACB， ∴ ∠DBC =∠ECB，
O
B
C
∴ △OBC是等腰三角形.
新知讲解
思考1：三个角都是60°的三角形是等边三角形吗？
等的三角形是等腰三角形吗？
现了什么！
如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB与AC之间有什么AB 与AC 相等.
新知讲解
等腰三角形的性质，等腰三角形的判定
等腰三角形的性质，等腰三角形的判定◎ 等腰三角形的性质，等腰三角形的判定的定义定义：有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
◎ 等腰三角形的性质，等腰三角形的判定的知识扩展1、定义：有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
2、性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）；（2）等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。
即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
3、判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。
这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
◎ 等腰三角形的性质，等腰三角形的判定的特性等腰三角形的性质：1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方9.等腰三角形中腰大于高10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)◎ 等腰三角形的性质，等腰三角形的判定的知识点拨等腰三角形的判定：1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
等腰三角形判定教案5篇
等腰三角形判定教案5篇等腰三角形判定教案5篇本节内容的重点是三角形三边关系定理及推论.这个定理与推论不仅给出了三角形的三边之间的大小关系，更重要的是提供了判断三条线段能否组成三角形的标准;下面是小编给大家整理的等腰三角形判定教案5篇，希望大家能有所收获!等腰三角形判定教案1一、教学目标：1.使学生掌握等腰三角形的判定定理及其推论;2.掌握等腰三角形判定定理的运用;3.通过例题的学习，提高学生的逻辑思维能力及分析问题解决问题的能力;4.通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受;5.通过知识的纵横迁移感受数学的辩证特征.二、教学重点：等腰三角形的判定定理三、教学难点性质与判定的区别四、教学流程1、新课背景知识复习(1)请同学们说出互逆命题和互逆定理的概念估计学生能用自己的语言说出，这里重点复习怎样分清题设和结论。
(2)等腰三角形的性质定理的内容是什么?并检验它的逆命题是否为真命题?启发学生用自己的语言叙述上述结论，教师稍加整理后给出规范叙述：1.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.(简称“等角对等边”).由学生说出已知、求证，使学生进一步熟悉文字转化为数学语言的方法.已知：如图，△ABC中，∠B=∠C.求证：AB=AC.教师可引导学生分析：联想证有关线段相等的知识知道，先需构成以AB、AC为对应边的全等三角形.因为已知∠B=∠C，没有对应相等边，所以需添辅助线为两个三角形的公共边，因此辅助线应从A点引起.再让学生回想等腰三角形中常添的辅助线，学生可找出作∠BAC的平分线AD或作BC边上的高AD等证三角形全等的不同方法，从而推出AB=AC.注意：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆.(2)不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形.(3)判定定理得到的结论是三角形是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边边和角角关系.2.推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形. 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.要让学生自己推证这两条推论.小结：证明三角形是等腰三角形的方法：①等腰三角形定义;②等腰三角形判定定理.证明三角形是等边三角形的方法：①等边三角形定义;②推论1;③推论2.3.应用举例例1.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.分析:让学生画图，写出已知求证，启发学生遇到已知中有外角时，常常考虑应用外角的两个特性①它与相邻的内角互补;②它等于与它不相邻的两个内角的和.要证AB=AC，可先证明∠B=∠C，因为已知∠1=∠2，所以可以设法找出∠B、∠C与∠1、∠2的关系.已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC.求证：AB=AC.证明：(略)由学生板演即可.补充例题：(投影展示)1.已知：如图，AB=AD，∠B=∠D.求证：CB=CD.分析：解具体问题时要突出边角转换环节，要证CB=CD，需构造一个以 CB、CD 为腰的等腰三角形，连结BD，需证∠CBD=∠CDB，但已知∠B=∠D，由AB=AD可证∠ABD=∠ADB，从而证得∠CDB=∠CBD，推出CB=CD.证明：连结BD，在中，(已知)(等边对等角)(已知)即(等角对等边)小结：求线段相等一般在三角形中求解，添加适当的辅助线构造三角形，找出边角关系.2.已知，在中，的平分线与的外角平分线交于D，过D作DE//BC交AC与F，交AB于E，求证：EF=BE-CF. 分析：对于三个线段间关系，尽量转化为等量关系，由于本题有两个角平分线和平行线，可以通过角找边的关系，BE=DE,DF=CF即可证明结论.证明： DE//BC(已知)，BE=DE,同理DF=CF. EF=DE-DF EF=BE-CF 小结：(1)等腰三角形判定定理及推论.(2)等腰三角形和等边三角形的证法.七.练习教材 P.75中1、2、3.八.作业教材 P.83 中 1.1)、2)、3);2、3、4、5.五、板书设计等腰三角形判定教案2§12.3.1.2 等腰三角形判定教学目标(一)教学知识点探索等腰三角形的判定定理.(二)能力训练要求通过探索等腰三角形的判定定理及其例题的学习，提高学生的逻辑思维能力及分析问题解决问题的能力;(三)情感与价值观要求通过对等腰三角形的判定定理的探索，让学生体会探索学习的乐趣，并通过等腰三角形的判定定理的简单应用，加深对定理的理解.从而培养学生利用已有知识解决实际问题的能力.教学重点等腰三角形的判定定理的探索和应用。
等腰三角形的五个判定
等腰三角形的五个判定一、等腰三角形的五个判定1、两条边相等：等腰三角形最典型的特点就是它的三条边长度都相等。
所以当我们有一个三角形，只需要找出它的三个边中有两个边长度相等的时候，就可以判定这个三角形为等腰三角形。
2、直角三角形：这个判定方式更为复杂，对于等腰三角形即解释为直角三角形，验证直角三角形充分必要条件是通过直角符号在三个角上标出一个直角，此时另外两边的斜边相等，即可判定这个三角形为等腰三角形。
3、边分两廓：另一种判定等腰三角形的方式也很常见，就是将一个等腰三角形从其中的一条边中间分成两块，然后另外两个边就会构成两个等边三角形，这种方式判定最为快捷。
4、两直角三角形：等腰三角形与两个直角三角形联系紧密，也就是一旦可以在等腰三角形中找到两个直角三角形，那么就可以判断这个三角形是等腰三角形。
5、其他外角相等：对于等腰三角形，可以判定它的其他外角是相等的，如果其他外角相等的话，那就可以判断这个三角形为等腰三角形。
二、等腰三角形的重要性等腰三角形既有美学价值又被广泛的应用于很多领域，它的出现让我们更加意识到规律性与美的存在，令我们对自然有更深刻的理解。
在运筹学中，等腰三角形被应用在路线规划中，不仅可以帮助人们快速计算出单位距离经过时间，还能帮助准确计算出距离，从而为物流事业或外出旅游带来便利。
此外，等腰三角形也是建筑工程中不可或缺的结构形式，能把结构力学中的重力集中起来支撑起桥梁和大楼，是以节省材料的形式帮助我们构筑物理环境的重要部分。
综上所述，可见等腰三角形的重要性不言而喻。
并且，由于各种判断等腰三角形的方法有了相应的技术支持，等腰三角形的应用在日益广泛，即使在精密的科技测量中也能。
等腰三角形的判定课件(共21张PPT)
等腰三角形的性质定理
1、从边看：等腰三角形的两腰相等。 （定义）
2、从角看：等腰三角形的两底角相等。 （性质定理1）
3、从重要线段看：等腰三角形的顶角平分线、 底边上的中线和底边上的高三线合一。 （性质定理2）
如何判定一个三角形是等腰三角形？
定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。
还有其他方法吗？
A
B
D C
例2：已知：AD交BC于点O，AB∥CD，OA=OB
求证：OC=OD
问题：
1、若已知AB∥ CD，OC=OD，能
A
否证明OA=OB？
2、若已知OA=OB，OC=OD，能否
证明AB ∥ CD？
C
B O
D
规律：
AB ∥ CD，OA=OB，OC=OD中已知任两 个可推出第三个。
例3、如图，在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中,
已知：△ABC中，∠B=∠CBAC的平分线AD
A
在△ BAD和△ CAD中， 1 2
∠B=∠C，
∠1=∠2，
B
AD=AD
C
D
∴ △ BAD≌ △ CAD（AAS）
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）
思考:作底边上的高可以吗?作底边中线呢?
等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个 角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)
∠ABC= ∠A’B’C’=90°，
AB=A’B’,AC=A’C’，
区别:条件和结论互换。
3、已知：ED ∥ OB，EO=ED
求证：Rt△ABC≌Rt△A’B’C’ 求证：OD平分 AOB。
例1 :已知：如图，∠CAE是△ABC的外角∠1=∠2，
《等腰三角形的判定》课件
A O
B DE C
A
FG
D
B
C
E
开启 智慧
By 杜小二
已知:如图,在△ABC中，BF、CF分别平∠DBC、 ∠ECB并交于点F,过F作 DE∥BC求证:DE=BD+CE
A
B
C
D
F
E
试一试
By 杜小二
已知:如图,在△ABC中，BO、CO分 别平分∠ABC、∠ACB并交于点O, 过点O作 OD∥AB, OE∥AC,BC=16, 求: △ODE的周长
Ａ
By 杜小二
1.如图:ΔABC中,已知AB=AC,
Ｂ
Ｃ
∠B=∠C．在三角形中等边对等角．
２、反过来：在ΔABC中，∠B=∠C， AB=AC成立吗？
By 杜小二
归纳总结
如果一个三角形有两个角相等，
By 杜小二
那么这个三角形是等腰三角形。
用符号语言表示为：
A
在△ABC中，
∵∠B=∠C (已知 )
By 杜小二
等腰三角形的判定
By 杜小二
温故而知新
等腰三角形有哪些特征呢？ 1.等腰三角形的两腰相等；
By 杜小二
A
2.等腰三角形的两个底角相等, （简称“等边对等角”）；
3.等腰三角形顶角的平分线、
底边上的中线和底边上的高互 B
C
相重合。（简称“三线合一”）
4.等腰三角形是轴对称图形,对称轴 是顶角的平分线所在的直线。
∴ AC=AB.
(在一个三角形中，等角对等边)
B
C
这又是一个判定两条线段相等根据之一.
已知：在△ABC中，∠B＝∠C。 By 杜小二
求证：AB＝AC A A
《等腰三角形的判定》PPT课件
求证:DE=BD+CE
A
B
C
D
F
E
试一试
:如图,在△ABC中，BO、CO分别 平分∠ABC、∠ACB并交于点O,过 点O作 OD∥AB, OE∥AC,BC=16,
求: △ODE的周长
A O
B DE
C
开启 智慧
请把这个三角形纸片折成两个 等腰三角形！
C 110°
A 20°
50° B
〔分类讨论〕
1、对∠A进展讨论
(在∴同A一C=个AB三. 角形中，等角对等边 ) B
C
这又是一个判定两条线段相等根据之一.
问：如图,以下推理正确吗?
A
C
12
D
B
DC
∵∠1=∠2
∴ BD=DC
〔等角对等边〕
1
A2
B
∵∠1=∠2
∴ DC=BC
〔等角对等边〕
错，因为都不是在同一个三角形中。
练一练
12.在.：△如A图BC，中∠, 已A∠= ∠A=D4B0C°,∠=3B6=07，0°∠,判C断=7△20A。BC计是算 什∠么1和三∠角2形，,为并什说么明?图中有哪些等腰三角形？
2.等边对等角, 2.等角对等边, 3. 三线合一。 4.是轴对称图形.
思考探究：在△ABC中, AB =AABC≠,ABCO平分 ∠ABC,CO平分∠ACB.过点O作直线EF//BC交 AB于E,交AC于F.
〔1〕请问图中有多少个等腰三角形?说明理由.
〔2〕线段EF和线段EB,FC之间有没有关系?假设有 ，是什么关系?
C
上的中线和底边上的高互相重合。
〔简称“等腰三角形三线合一〞〕
4.等腰三角形是轴对称图形,对称轴
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∵
B C
∠B=∠C
∴ AB＝AC
例题讲评
例.在△ABC中,已知∠ A=400, 0 ∠B=70 .判断△ABC是什么三角 形.为什么?
解:∵ ∠C=180°－ ∠ A－ ∠B
=180°－40°－70°
=70°
∴
∠C= ∠B
因此△ABC是等腰三角形.
思考: (1)三个角都是60°的三角形 是等边三角形吗?请说明理由.
当堂训练二
△ABC是等腰直角三角形， ∠ACB＝90°，CD是底边上的 高，那么图9.3.6中共有哪几个 等腰直角三角形？
1. 解:有三个:△ABC , △CBD ,△ADC
图 9.3.6
2.如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°， ∠C＝90°，延长BC到D，使BD=BA， 连结AD （1）判断△AB
在半透明纸上画一线段BC，然后 以BC为始边，分别以点B和点C 为顶点画两个相等的角（使用量 角器），如图所示，两角终边的 交点为点A 那么在△ABC中，∠B＝∠C. 用刻度尺找出边BC的中点D， 连接AD，然后沿AD对折， 观察边AB与AC是否重合.
结论：
如果一个三角形有两个角相 等，那么这两个角所对的边也相 等．（简写成“等角对等边”） 用数学语言表示为 A
(2)有一个角是60°的等腰三 角形是等边三角形吗?为什么? (3)等腰直角三角形的各角分 别是多少度?
三个角都是６０°的三角形是 等边三角形．
有一个角是60°的等腰三角形 是等边三角形.
顶角是直角的等腰三角形是等 腰直角三角形
当堂训练一
１．有一个三角形有两个内角分 别是８０°，５０°，那么这 等腰 个三角形是＿＿＿三角形． ２．若一个三角形有两个角都是 ６０°，那么这个三角形是 等边 ＿＿三角形． ３. 底角等于顶角一半的等腰三 等腰直角 三角形. 角形是__________
（3）对于Rt△ABC，当 ∠A=30°,∠C=90°， 30°所对的直 ∠A所对的直角边 与斜边有什么关系？
1 BD 1 AB BC CD ____ ____ 2 2
角边等于斜边 的一半
当堂训练三
1.如图，在等腰△ABC中，两底角的平分 线BE和CD相交于O点，那么△OBC是 什么三角形？为什么？ 解: △OBC是等腰三角形
2.取一张长方形的纸,沿相对的角顶将纸对折,
如图所示,问重叠的部分是一个什么三角形?
并说明理由. △OAC是一个等腰三角形 解： O ∵长方形ABCD中， AB∥DC ∴∠2=∠3 ∵△ACB′与 △ACB 是对折图形 ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠3 ∴OA=OC D
1 2
B’ C
3
A
B
∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB ∵ BE和CD是∠ABC,
∠ACB的平分线 1 ∴∠OBC=∠OCB= ∠ABC 2 ∴OB=OC
2. 如图，已知AB＝AC，BD＝BC，图中 与∠C相等的角有哪几个？请简单说明 原因.
解: ∠ABC=∠BDC=∠C
在三角形ABC中 ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C 在三角形DBC中 ∵ BD=BC ∴∠C=∠BDC
学习目标
1.能利用“等角对等边”这一 性质解决简单实际问题 2.明确“等角对等边”与“等 边对等角”用法的不同
自学指导
自学课本P97~98的内容，完成下面问题. 1、你能用折纸的方法说明两个角相等 的三角形是等腰三角形吗？ 2、 “等角对等边”的具体内容是什么？ 你是 怎样理解“等角对等边”的？ 3、“等边对等角”与“等角对等边” 这两个性质在用法上有什么不同？ 4、如何识别等边三角形、等腰直角三 角形？
∴∠ABC=∠BDC=∠C
当堂训练三
1.船从A处出发，以每小时15海里的速度向 正北航行，10时到达B处，从A、B望灯塔 C，测得∠NAC＝42°，∠NBC=84°。 求从B处到灯塔C的距离。 解: ∵∠CBN=840是△ABC 的外角
∴∠C=∠CBN－∠A
=840－420=420 ∴∠A=∠C ∴BC=AB=10×15=150 答: B处到灯塔C的距离是150海里