导数的计算——新知导学
导数的计算(共42张PPT)
2.函数 y=ax 与 y=ex 及 y=logax 与 ln x 的求导公式有何特点?
提示:(ax)'=axln a,(ex)'=exln e=ex,故函数 y=ex 可看作函数 y=ax 的特殊
1
1
1
情况;(logax)'=xlna,(ln x)'=xln = x ,故函数 y=ln x 也可看作函数 y=logax
=
2
4
x
4
x,∴y'=
3
4
2 x-n2 x
=cos
nx+x
1
2
1
1
2
x
2
1
1
1
+ 4 x '=-4sin x.
(6)∵y=xln x = xln x,
1
x
4
-2sin2 cos2 =1- sin2
∴y'=(cos x-sin x)'=-sin x-cos x.
1
课前预习导学
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
1.2
导数的计算
问题导学
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
(4)∵y= n
1
2
4
+
2
1-x 3 1
=4 + 4cos
2
=1-2·
2x
(5)∵y=nx+x
的特殊情况.
1.2
问题导学
导数的计算
课前预习导学
1.2导数的计算
[类题通法] 求简单函数的导函数有两种基本方法
(1)用导数的定义求导，运算比较繁杂； (2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难 度．解题时根据所给函数的特征，将题中函数的结构进行调 整，再选择合适的求导公式．
返回
• 例1．一个物体的运动方程为s(t)＝1－t＋t2， 其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体 在3秒末的瞬时速度是( )
返回
作业：1、已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c 通过点(1,1)，且在点(2，－1) 处的切线与直线 y＝x－3 平行，求 a、b、c 的值．
2、求下列函数的导数： (1)y＝xx2＋1x＋x13；(2)y＝coxs x； (3)y＝3xex－2x＋e.
3、已知函数 f(x)＝x3＋x－16.直线 l 为曲线 y＝f(x)的切线，且 经过原点，求直线 l 的方程及切点坐标．
返回
(3)法一：y′＝xx－ ＋11′ ＝x－1′x＋1x＋－1x2－1x＋1′ ＝x＋1x＋－1x2－1＝x＋2 12. 法二：∵y＝xx＋－11＝x＋x＋1－1 2＝1－x＋2 1， ∴y′＝1－x＋2 1′＝－x＋2 1′ ＝－2′x＋1x＋－122x＋1′＝x＋2 12.
返回
(4)y′ ＝ (x3)′ex ＋ x3(ex)′ ＝ 3x2ex ＋ x3ex ＝ x2(3 ＋ x)ex.
解析：f′(x)＝x＋1′sin
x－x＋1sin sin2x
x′
＝sin
x－x＋1cos sin2x
x，
则 f′π2＝sinπ2－siπ2n＋2π21cosπ2＝1. 答案：1
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求曲线的切线方程 [例 3] 若曲线 f(x)＝xsin x＋1 在 x＝π2处的切线与直线 ax＋2y＋1＝0 相互垂直，则实数 a＝________. [解] 因为 f′(x)＝sin x＋xcos x，所以 f′π2＝sinπ2＋π2 cosπ2＝1.又直线 ax＋2y＋1＝0 的斜率为－a2，所以根据题意 得 1×－a2＝－1，解得 a＝2. [答案] 2
计算导数课件
4x-y-2=0,求切点坐标.
求切点的步骤：
【解题关键】利用导数的几何意义.
（1）设切点坐标； （2）求切线斜率；
【解析】 设切点坐标为（x0，y0 ),
y＇ 4x切线的斜率k 4x0 ,
（3）列方程，解 x0； （4）解 y0.
又切线平行于4x-y-2=0，切线的斜率k 4,
x0 1,
y 0
(3)y＝5 x3； (4)y＝2x.
(3)y′＝(5 x3)′＝(x35)′＝35x－23＝553x2； (4)y′＝(2x)′＝2xln2.
例4.(2016·池州高二检测)抛物线x2=2y上点(2,2)
处的切线方程是
2x-y-.2=0
求切线方程的步骤: （1）求导数；
【解题关键】先根据导数求出切线斜率,（2）求切线斜率；
lim x0
y lim f (x0 x) f (x0 )
x
x0
x
3 、 求 y=f(x)在某点处的切线方程的步骤: (1) 导数； (2) 求切线斜率； (3) 求切点；
（4）写点斜式方程； （5）变为一般式。
y
O
x
高铁是一个目前非常受欢迎的交通工具,既低碳又 快捷.设一辆高速列车走过的路程s(单位:m)关于时间 t(单位:s)的函数s=f(t)=40t2,求它的瞬时速度.
思考2：函数在定义域内任意一点都有导数吗？
3(x x)2 (x x) (3x2 x) 3(x)2 6xx x.
当x趋于0时,可以得出导函数
f (x) lim f (x x) f (x) lim (3x 6x 1) 6x 1.
x0
x
x0
【变式练习】 解：
想一想:两个有相同导数的函数是否是同一个函数？ 提示:不一定.因为两个函数相差一个常数，则它们有 相同的导数，反之也成立，即 f′(x)=g′(x)⇔f(x)=g(x)+c(常数). 例如:f′(x)=g′(x)=3x2，则 f(x)=x3+m,g(x)=x3+n(m,n为常数),而m与n未必 相等.
导数的计算方法
导数的计算方法导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
通过计算导数，我们可以了解函数的斜率、最值以及函数的变化趋势等重要信息。
在计算导数时，我们可以采用多种方法。
一种常用的方法是使用极限的概念。
我们可以选择一个无穷小的自变量增量h，并计算函数在x点处的两个相邻点x和x+h处的函数值之差与h的比值。
当h趋近于0时，这个比值就是函数在x点处的导数。
另一种常用的方法是使用导数的定义公式。
我们可以根据导数的定义，计算函数在某一点处的导数。
例如，对于函数y=f(x)，其导数可以表示为f'(x)或dy/dx。
导数的定义公式为：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h在计算导数时，我们需要注意一些常见的导数规则。
例如，对于多项式函数，我们可以使用幂次法则来计算导数。
如果函数是由两个函数相加或相乘而成，我们可以使用和法则或积法则来计算导数。
此外，还有一些特殊函数的导数公式，如指数函数、对数函数和三角函数等。
在实际计算导数时，我们可以借助计算工具，如计算器或数学软件。
这些工具可以快速准确地计算函数的导数，并给出结果。
但我们也要理解导数的计算方法，以便更好地理解函数的性质和图像。
导数的计算方法是微积分中的重要内容。
通过计算导数，我们可以了解函数的变化率和性质，从而帮助我们解决实际问题。
在计算导数时，我们可以使用极限的概念或导数的定义公式，并根据函数的性质和规则进行计算。
无论是手工计算还是借助工具，掌握导数的计算方法对于学习和应用微积分都具有重要意义。
高中数学第三章几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式学案含解析新人教A版选修1_1
高中数学新人教A 版选修1_1：3.2 导数的计算3.2.1 几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式自主预习·探新知情景引入在17世纪60年代，牛顿就已经发现利用导数能解决数学和物理学科的许多问题．但是运用定义法求解导数运算太复杂，有时甚至无法完成．是否有更简单的求导方法呢？新知导学1．几个常用函数的导数 函数导数函数导数f (x )＝c f ′(x )＝__0__ f (x )＝x f ′(x )＝__1__ f (x )＝x 2f ′(x )＝__2x __f (x )＝1xf ′(x )＝__－1x2__2.基本初等函数的导数公式函数导数函数导数f (x )＝c f ′(x )＝__0__ f (x )＝a x f ′(x )＝__a x ln_a __(a >0)f (x )＝x α(α∈Q *)f ′(x )＝__αx α－1__f (x )＝e x f ′(x )＝__e x __ f (x )＝sin x f ′(x )＝__cos_x __ f (x )＝log a xf ′(x )＝__1x ln a__(a >0且a ≠1) f (x )＝cos x f ′(x )＝__－sin_x __f (x )＝ln xf ′(x )＝__1x__预习自测1．下列结论不正确的是( D ) A ．若y ＝0，则y ′＝0 B ．若y ＝5x ，则y ′＝5 C ．若y ＝x －1，则y ′＝－x －2D ．若y ＝x 12 ，则y ′＝12x 12[解析] 当y ＝x 12 时，y ′＝(x 12 )′＝(x )′＝12x ＝12x －12 .D 不正确．故应选D ．2．(2020·山东临沂高二检测)已知函数f (x )＝x ，则f ′(3)＝( A ) A ．36B ．0C ．12xD ．32[解析] ∵f ′(x )＝12x ，∴f ′(3)＝123＝36. 3．已知函数f (x )＝1x，则f ′(－2)＝( D )A ．4B ．14C ．－4D ．－14[解析] ∵f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x′＝－1x2，∴f ′(－2)＝－1x 2|x ＝－2＝－14.4．已知函数f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，若f ′(1)＝－1，则a ＝__1e__.[解析] ∵函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)， ∵f ′(1)＝－1，∴f ′(x )＝1x ·ln a，∴1ln a＝－1， ∴ln a ＝－1， ∴a ＝e －1＝1e.5．求下列函数的导数：(1)y ＝a 2(a 为常数)； (2)y ＝x 12； (3)y ＝x －4； (4)y ＝lg x .[解析] (1)∵a 为常数， ∴a 2为常数， ∴y ′＝(a 2)′＝0. (2)y ′＝(x 12)′＝12x 11. (3)y ′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x5.(4)y ′＝(lg x )′＝1x ln 10.互动探究·攻重难互动探究解疑 命题方向❶求基本初等函数的导数典例1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 13；(2)y ＝1x 3；(3)y ＝4x ；(4)y ＝15x2.[解析] (1)y ′＝(x 13)′＝13x 12. (2)y ′＝(1x3)′＝(x －3)′＝－3x －4.(3)y ′＝(4x )′＝(x 14 )′＝14x －34 .(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫15x 2′＝(x －25 )′＝－25x －75 . 『规律方法』 1.用导数的定义求导是求导数的基本方法，但运算较繁．利用常用函数的导数公式，可以简化求导过程，降低运算难度．2．利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式，将题中函数的结构进行调整．如将根式、分式转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导．┃┃跟踪练习1__■求下列函数的导数(1)y ＝1x2；(2)y ＝3x ；(3)y ＝2x；(4)y ＝log 3x .[解析] (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3.(2)y ′＝(3x )′＝(x 13 )′＝13x －23 .(3)y ′＝(2x)′＝2xln 2. (4)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3. 命题方向❷求某一点处的导数典例2 求函数f (x )＝1x在x ＝1处的导数．[解析] f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝(x －12)′＝－12x －12 －1＝－12x －32＝－12x 3， ∴f ′(1)＝－121＝－12，∴函数f (x )在x ＝1处的导数为－12.『规律方法』 求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是： (1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值． ┃┃跟踪练习2__■ 已知f (x )＝1n x，且f ′(1)＝－13，求n .[解析] f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n x ′＝(x －1n )′＝－1n x －1n －1＝－1nx －n ＋1n ，∴f ′(1)＝－1n，由f ′(1)＝－13得－1n ＝－13，得n ＝3.命题方向❸利用导数公式求切线方程典例3 求过曲线y ＝cos x 上点P ⎝⎛⎭⎪⎫π3，12且与在这点的切线垂直的直线方程．[解析] ∵y ＝cos x ，∴y ′＝－sin x ， 曲线在点P ⎝⎛⎭⎪⎫π3，12处的切线斜率是y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32. ∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为23， ∴所求的直线方程为y －12＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，即2x －3y －2π3＋32＝0. 『规律方法』 1.求切线方程的步骤： (1)利用导数公式求导数． (2)求斜率． (3)写出切线方程．注意导数为0和导数不存在的情形．2．(1)在应用(sin x )′＝cos x 与(cos x )′＝－sin x 时，一要注意函数的变化；二要注意符号的变化．(2)对于公式(a x)′＝a xln a 与(log a x )′＝1x ln a记忆较难，又易混淆，要注意区分公式的结构特征，既要从纵的方面(ln x )′与(log a x )′和(e x)′与(a x)′区分，又要从横的方面(log a x )′与(a x)′区分，找出差异记忆公式．┃┃跟踪练习3__■曲线y ＝ln x 在点(1,0)处的切线方程为__y ＝x －1__.[解析] 由y ＝ln x 得y ′＝1x，令x ＝1得y ′＝1即切线斜率为1，∴切线方程为y ＝x－1.学科核心素养导数的应用典例4 已知曲线方程y＝x2，求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程．[思路分析]由条件知B点不在曲线上，故解答本题需先设出切点坐标，再利用导数的几何意义求出斜率，进而求出切点坐标，得到切线的方程．[解析]由于点B(3,5)不在曲线上，所以点B不是切点，设切点坐标为(x0，y0)．∵y＝x2，∴y′＝2x，∴切线斜率为k＝2x0，∴切线方程为：y－x20＝2x0(x－x0)．∵B(3,5)在切线上，∴5－x20＝2x0(3－x0)，解之，得x0＝1或x0＝5.所以所求切线方程为y－1＝2(x－1)或y－25＝10(x－5)，即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.『规律方法』求过点P与曲线相切的直线方程的步骤：①设出切点坐标为(x0，y0)；②写出切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)；③代入点P的坐标，求出x0、y0.┃┃跟踪练习4__■已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程．[解析]由f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，令(2－x)取代x，得f(2－x)＝2f(x)－(2－x)2＋8(2－x)－8，即2f(x)－f(2－x)＝x2＋4x－4，联立f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，得f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，f′(2)＝4，即所求切线斜率为4，∴切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.易混易错警示准确应用公式典例5 求函数y＝2x在x＝1处的切线方程．[错解]∵y′＝(2x)′＝x·2x－1，∴y′|x＝1＝1，又x＝1时，y＝2，∴切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.[错解分析]y＝2x是指数函数，而不是幂函数，错解将幂函数y＝xα(α∈Q)与指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的导数公式记混用错．[正解]∵y′＝(2x)′＝2x ln 2，∴y′|x＝1＝2ln 2，又x＝1时，y＝2，∴切线方程为y－2＝2ln2 (x－1)，即2x ln 2－y－2ln 2＋2＝0.。
高等数学导数的计算教学ppt课件
25
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
三.隐函数与参数式函数的导数
（一）隐函数的导数
显函数：因变量可由自变量的某一分析式来表示 的函数称为显函数．例如：
y 1 sin3 x , z x2 y2 .
隐函数：由含x，y的方程F(x, y)=0给出的函数称 为隐函数.例如：
x2/ 3 y2/ 3 a2/ 3 , x3 y3 z3 3xy 0 .
32
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
(二)参数式函数的导数
由参数方程给出的函数：
x y
x(t) y(t )
t
确定了y与x的函数关系．其中函数x(t),y(t)可导，且
x (t)0, ，则函数y=f (x)可导且
f ( x) 1
( y)
或
dy dx
1 dx
.
dy
7
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
例5 求y=arcsinx的导数．
解：由于y=arcsinx，x(-1,1) 为x=siny，y (-/2, /2) 的反函数，且当y (-/2, /2)时，
(siny)=cosy>0． 所以
(arcsin x)' 1 1 1 1 (sin y)' cos y 1 sin2 y 1 x2
f
( x)
3
1
x2
1
x2
1
3
x2
2
2
例10 设y arcsin x 2 x x
解：
y
arcsin
x
3
2x4
，求 y ．
1
3
x
1 4
1 x2 2
导数的计算方法
导数的计算方法导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
在实际问题中，导数的计算方法可以帮助我们分析函数的特性，解决各种问题。
下面我们将介绍几种常见的导数计算方法。
一、基本导数公式。
1.1 导数的定义。
在介绍导数的计算方法之前，我们先来回顾一下导数的定义。
对于函数y=f(x)，它在点x处的导数可以定义为：f'(x) = lim (Δx→0) [f(x+Δx)-f(x)] / Δx。
其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
这个定义可以帮助我们理解导数的几何意义，即切线的斜率。
1.2 基本导数公式。
在实际计算中，我们经常会用到一些基本的导数公式。
这些公式可以帮助我们快速计算各种函数的导数，其中一些常见的导数公式包括：（1）常数函数的导数公式，若y=c，其中c为常数，则y'=0。
（2）幂函数的导数公式，若y=x^n，其中n为常数，则y'=nx^(n-1)。
（3）指数函数的导数公式，若y=a^x，其中a为常数且a>0且a≠1，则y'=a^x ln(a)。
（4）对数函数的导数公式，若y=log_a(x)，其中a为常数且a>0且a≠1，则y' = 1 / (x ln(a))。
（5）三角函数的导数公式，若y=sin(x)，则y'=cos(x)；若y=cos(x)，则y'=-sin(x)；若y=tan(x)，则y'=sec^2(x)。
以上是一些基本的导数公式，掌握这些公式可以帮助我们快速计算各种函数的导数。
二、导数的计算方法。
2.1 使用导数的定义。
在一些特殊情况下，我们可以使用导数的定义来计算函数的导数。
例如，对于一些复杂的函数或者无法直接套用基本导数公式的函数，我们可以利用导数的定义进行计算。
这种方法可能会比较繁琐，但在某些情况下是非常有效的。
2.2 利用导数的性质。
导数具有一些特性和性质，我们可以利用这些性质来简化导数的计算。
导数的运算法则 课件
(5)y′＝cos3x－π4·3x－π4′＝3cos3x－π4. (6)y′＝2cosx·(cosx)′＝－2cosx·sinx＝－sin2x.
[方法规律总结] 应用复合函数的导数公式求导时，应把 握好以下环节：
(1)选取恰当的中间变量，使构成复合函数的基本函数，符 合导数公式中的函数结构．
(2)从外到内，层层剥皮，依次求导． (3)把中间变量转换成自变量的表达式．
(8)y′＝2sinx(sinx)′＝2sinxcosx＝sin2x. (9)∵y＝sin2x－2sinx＋3，∴y′＝sin2x－2cosx. (10)y′＝cos2x′x·2x－cos2x＝－2xsinx2x2－cos2x ＝－xsin2x2＋x22cos2x.
典例探究学案
复合函数的导数
求下列函数的导数：
写出下列函数的导数：
(1)y＝lnsixnx，y′＝________________；
(2)y＝ 1－x x，y′＝________________；
(3)y＝sin2x1－2cos24x，y′＝________________.
[答案]
xcosx－sinx (1) xsinx
(2)12x－12(1－x)－32
1 x
(3)－
2
3 1－3x
(4)22xln2
(5)2e2x－ex
2lnx＋1 (6) x
sinx (7)cos2x
(8)sin2x (9)sin2x－2cosx
(10)－xsin2x2＋x22cos2x
[解析] (1)解法1：y′＝(sin2x)′＝(2sinxcosx)′ ＝2(sinx)′·cosx＋2sinx(cosx)′ ＝2cos2x－2sin2x＝2cos2x. 解法2：y′＝cos2x·(2x)′＝2cos2x. (2)解法1：∵y＝ln1－lnx＝－lnx， ∴y′＝－1x. 解法2：y′＝x·(1x)′＝－1x.
导数的计算方法与公式推导
导数的计算方法与公式推导导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点的切线斜率或者变化率。
它在许多数学和科学领域中都有广泛应用。
本文将介绍导数的计算方法和公式推导，帮助读者更好地理解这一概念。
一、导数的定义在介绍导数的计算方法和公式推导之前，我们首先来了解导数的定义。
设函数f(x)在点x=a处有定义，如果极限$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}$$存在，那么它的极限值就是函数f(x)在点x=a处的导数，记作f'(a)或者$\frac{df(x)}{dx}$。
二、导数的计算方法计算导数的方法有很多种，下面将介绍几种常见的方法。
1. 函数关系式法对于已知的基本函数，我们可以通过其关系式来计算导数。
例如，对于常数函数f(x)=c，其导数为0；对于幂函数f(x)=x^n，其中n为常数，其导数为nf(x^{n-1})。
2. 限定增量法通过限定增量$\Delta x$的大小，计算函数在某一点的近似导数。
具体步骤如下：a. 设定一个小增量$\Delta x$的值。
b. 计算函数在点x=a处的两个近邻点的函数值，即f(a)和f(a+$\Delta x$)。
c. 计算函数在点x=a处的近似导数，即$\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}$。
通过不断减小增量$\Delta x$的值，我们可以得到更准确的导数近似值。
3. 极限法利用导数的定义，通过极限运算来计算导数。
这种方法更加精确，但通常需要一定的数学功底。
通过代入定义式，化简表达式并进行极限运算，可以得到导数的具体值。
三、导数的公式推导导数的公式推导是根据函数的特性和运算法则，推导出一些常见函数的导数公式。
这些公式在实际计算中非常有用，可以简化计算过程。
下面列举几个常见函数的导数公式：1. 常数函数的导数对于常数函数f(x)=c，其中c为常数，其导数为0。
数学导数
第十章导数及其应用§10.1导数及其运算一、知识导学1.瞬时变化率：设函数在附近有定义，当自变量在附近改变量为时，函数值相应地改变，如果当趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数c（也就是说平均变化率与某个常数c的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数c称为函数在点的瞬时变化率。
2.导数：当趋近于零时，趋近于常数c。
可用符号“”记作：当时，或记作，符号“”读作“趋近于”。
函数在的瞬时变化率，通常称作在处的导数，并记作。
3.导函数：如果在开区间内每一点都是可导的，则称在区间可导。
这样，对开区间内每个值，都对应一个确定的导数。
于是，在区间内，构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数的导函数。
记为或（或）。
4.导数的四则运算法则：1）函数和（或差）的求导法则：设，是可导的，则即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差）。
2）函数积的求导法则：设，是可导的，则即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数。
3）函数的商的求导法则：设，是可导的，，则5.复合函数的导数:设函数在点处有导数 ,函数在点的对应点处有导数 ,则复合函数在点处有导数,且 .6.几种常见函数的导数：(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)二、疑难知识导析1.导数的实质是函数值相对于自变量的变化率2.运用复合函数的求导法则 ,应注意以下几点（1）利用复合函数求导法则求导后,要把中间变量换成自变量的函数,层层求导.(2) 要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导，不能混淆，一直计算到最后，常出现如下错误，如实际上应是。
(3) 求复合函数的导数，关键在于分清楚函数的复合关系，选好中间变量，如选成，计算起来就复杂了。
3.导数的几何意义与物理意义导数的几何意义，通常指曲线的切线斜率.导数的物理意义，通常是指物体运动的瞬时速度。
对导数的几何意义与物理意义的理解，有助于对抽象的导数定义的认识，应给予足够的重视。
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导数的计算——新知导学
根据导数的定义，求函数()y f x =的导数，就是求出当0x ∆→时，
y
x
∆∆所趋近的那个定值。
但是，通过定义求导，运算极其复杂，本文将和你一起学习导数的计算有关内容，感受导数在解决问题中的无穷魅力。
一、重点知识讲解 1．导数公式表
数学工作者为了方便并减少重复劳动，制作出了常用函数的求导公式表，供同学们练习时查阅，对下表同学们也应适当记忆。
说明：对于公式表中每一种函数所对应的导数公式，要正确记忆，并能灵活运用，努力做到“信手拈来”、“融会贯通”，这样才能在解决基本初等函数导数问题时，从容解答，应对自如。
2．导数的四则运算法则
（1）函数的和（或差）的求导法则
设()f x 、()g x 是可导的，则///[()()]()()f x g x f x g x ±=±。
文字描述为：两个函数和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差）。
说明：这个法则可推广到任意有限个可导函数的和（或差），即
[]/
///1212()()()()()()n n f x f x f x f x f x f x ±±+=±+
+。
（2）函数积的求导法则
设()f x 、()g x 是可导的，则[]/
//()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=+。
文字描述为：两个函数积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数。
说明：特别地[]/
/()()cf x cf x =，
即常数与函数积的导数，等于常数乘以函数的导数。
（3）函数商的求导法则
设()f x 、()g x 是可导的，且()0g x ≠，则[]
///2
()()()()()
[]()()f x f x g x f x g x g x g x -=。
文字描述为：两个函数商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方。
说明：特别地[]
//2
1()
[]()()g x g x g x -=。
二、应用举例
例1 求下列函数的导数 （1）2(23)(31)y x x =+-；
（2） 22)y =；
（3）sin cos 22
x x
y x =-。
分析：观察式子的具体特点，可以先化简再求导。
解析：（1）方法1：/2/2/(23)(31)(23)(31)y x x x x =+-++-
24(31)3(23)x x x =-++2184
9x x =-+。
方法2：∵2(23)(31)y x x =+-326293x x x =-+-， ∴/32/(6293)y x x x =-+-21849x x =-+。
（2）∵22)y =4x =-，
∴1
1/
/
/
/
221414122
y x x x --=-+=-⨯=-。
（3）∵sin cos 22
x x
y x =-1sin 2x x =-，
∴///11
(sin )1cos 22
y x x x =-=-。
评注：该例从形式上看，可用积的运算法则求导，但运算会比较繁琐，化简后可用加法法则求导，运算简便。
例2 （1）求曲线sin y x =
在点(,32
P π处切线的斜率；
（2）物体的运动方程为41
34
s t =-，求当5t =时物体的瞬时速度。
分析：该例具有导数应用的味道，必须从导数的概念、几何意义入手。
解析：（1）所求斜率为/3
3
1
cos 2
x x k y x ππ==
===。
（2）/
3
55
125t t v s t =====。
评注：在进行导数的有关计算时，不仅要熟记导数公式，还要正确理解导数的概念和几何意义。
例3 已知抛物线2y ax bx c =++通过点(1,1)，且在点(2,1)-处与直线3y x =-相切，求a 、b 、c 的值。
分析：该例涉及三个未知量，已知中有三个独立条件，因此，要通过解方程组来确定a 、b 、c 的值。
解析：∵2y ax bx c =++过点(1,1)，∴1a b c ++=。
∵/2y ax b =+，∴曲线过点(2,1)-的切线的斜率为41a b +=。
又∵曲线过点(2,1)-，∴421a b c ++=-。
由141421a b c a b a b c ++=⎧⎪+=⎨⎪++=-⎩解得3119a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩
，
故a 、b 、c 的值依次为3、11-、9。
评注：该例主要考查了导数的几何意义、导数的运算法则及运算能力。
例4 求满足下列条件的函数()f x 。
（1）()f x 是三次函数，且(0)3f =，/(0)0f =，/(1)3f =-，/(2)0f =； （2）/()f x 是一次函数，2/()(21)()1x f x x f x --=。
分析：（1）可设三次函数32()f x ax bx cx d =+++（0a ≠），由条件确定a 、b 、c 、d ；（2）由/()f x 是一次函数，可设2()f x ax bx c =++（0a ≠），然后利用条件确定()f x 。
解析：（1）设32()f x ax bx cx d =+++（0a ≠）， 则/2()32f x ax bx c =++， 由(0)3f =得3d =， 由/(0)0f =得0c =，
由/(1)3f =-，/(2)0f =可建立方程组3231240a b a b +=-⎧⎨+=⎩，
解得1
3
a b =⎧⎨=-⎩，∴32()33f x x x =-+。
（2）由/()f x 是一次函数可知()f x 为二次函数，设2()f x ax bx c =++（0a ≠），则/()2f x ax b =+。
把()f x 、/()f x 代入方程得22(2)(21)()1x ax b x ax bx c +--++=， 即2()(2)10a b x b c x c -+-+-=。
要使对任意x 方程都成立，则需a b =，2b c =，1c =， 解得2a =，2b =，1c =， ∴2()221f x x x =++。
评注：注意（2）用待定系数法确定二次函数的系数，认真体会所用的方法。