2018—2019学年湘教版八年级数学下册第1章《直角三角形》

2018—2019学年湘教版八年级数学下册第1章《直角三角形》学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在RtΔABC 中，∠ACB =90∘，CD ⊥AB 于D ，CE 平分∠ACD 交AB 于E ，则下列结论一定成立的是（ ）A ．BC =ECB ．EC =BE C ．BC =BED ．AE =EC2．具备下列条件的ABC ∆中，不是直角三角形的是（ ）A ．ABC ∠+∠=∠B ．A BC ∠-∠=∠ C ．::1:2:3A B C ∠∠∠=D ．3A B C ∠=∠=∠3．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠C =30°，AB ⊥AD ，AD =4，则BC 的长为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．164．如图在ΔABC 中，CF ⊥AB 于F ，BE ⊥AC 于E ，M 为BC 的中点，EF =5，ΔEFM 的周长为13，则BC 的长是( )A ．6B ．8C ．10D ．125．把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置，如果135∠=︒，则2∠的度数为( )A ．35︒B ．10︒C ．20︒D ．15︒6．下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）A ．斜边和一直角边对应相等B ．两个锐角对应相等C ．一锐角和斜边对应相等D ．两条直角边对应相等7．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 是CAB ∠的平分线，DE AB ⊥于点E ，DE 平分ADB ∠，则B 等于（ ）A ．22．5°B ．30°C ．25°D ．40°8．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，则下列四个结论中：①AB 上任一点与AC 上任一点到D 的距离相等；②AD 上任一点到AB ，AC 的距离相等；③∠BDE ＝∠CDF ；④∠1＝∠2；其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图所示，AB ∥CD ，O 为∠BAC 、∠ACD 的平分线交点，OE ⊥AC 于E ，若OE ＝2，则AB 与CD 之间的距离是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．810．如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么两个直角三角形全等的依据是( )A ．AASB ．SASC ．HLD ．SSS二、填空题11．如图：B C ∠=∠，DE BC ⊥于E ，EF AB ⊥于F ，ADE ∠等于140︒，FED ∠=__．12．如图，ΔABC 为等边三角形，DC//AB ，AD ⊥CD 于D ，若CD =2，则AB 的长度为__．13．如图，在Rt △BAC 和Rt △BDC 中，∠BAC ＝∠BDC ＝90°，O 是BC 的中点，连接AO 、DO ．若AO ＝3，则DO 的长为_____．14．如图，在Rt △ABC 中，AB=BC=1，∠ABC=90°，点A ，B 在数轴上对应的数分别为1，2．以点A 为圈心，AC 长为半径画弧，交数轴的负半轴于点D ，则与点D 对应的数是_____．15．如图，在Rt ΔABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =4，D 是BC 的中点，点E 在BA 的延长线上，连接ED ，若AE =2，则DE 的长为__．16．如图，12AB =，CA AB ⊥于A ，DB AB ⊥于B ，且4AC m =，P 点从B 向A 运动，每分钟走1m ，Q 点从B 向D 运动，每分钟走2m ，P 、Q 两点同时出发，运动___分钟后CAP ∆与PQB ∆全等．17．如图，在ABC ∆中，10AB cm =，6AC cm =，8BC cm =，点D 、E 分别在AC 、AB 上，且BCD ∆和BED ∆关于BD 对称，则ADE ∆的周长为__cm ．18．如图，在等腰Rt ΔOAA 1中，∠OAA 1=90°，OA =1，以OA 1为直角边作等腰Rt△OA 1A 2，以OA 2为直角边作等腰Rt△OA 2A 3，…则OA 8的长度为__．三、解答题19．已知：如图，在△ABC 中，AB=13，AC=20，AD=12，且AD ⊥BC ，垂足为点D ，求BC 的长．20．如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，CE 平分ACB ∠交AB 于E ，EF AB ⊥交CB 于F ．（1）求证：//CD EF ；（2）若70A ∠=︒，求FEC ∠的度数．21．如图，直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，12AC cm =，5BC cm =，13AB cm =，过点C 作CD AB ⊥于点D ．（1）找出图中相等的锐角，并说明理由．（2）求出点A 到直线BC 的距离以及点C 到直线AB 的距离．解：（1）CD AB ⊥（已知）， 90CDA ∴∠=︒，190A ∴∠+∠=︒，1∠+ 90=︒，A ∴∠= ( )．同理可证，1∴∠= ．（2）点A 到直线BC 的距离= cm ．C 到直线AB 的距离为线段 的长度．12ABC S ∆= ⨯ 12= ⨯ （填线段名称）． 12AC ，5BC =，13AB =，代入上式，解得CD = cm ．22．如图,四边形ABCD 中，∠B=90°, AB//CD ，M 为BC 边上的一点，AM 平分∠BAD ，DM 平分∠ADC ，求证:(1) AM ⊥DM;(2) M 为BC 的中点.23．如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米．（1）此时梯子顶端离地面多少米？（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？24．如图，在ΔABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD=CE．求证：AB⊥AC；（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），且AD=CE，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．参考答案1．C【解析】分析：根据同角的余角相等可得出∠BCD=∠A ，根据角平分线的定义可得出∠ACE=∠DCE ，再结合∠BEC=∠A+∠ACE 、∠BCE=∠BCD+∠DCE 即可得出∠BEC=∠BCE ，利用等角对等边即可得出BC=BE ，此题得解．详解：∵∠ACB=90°，CD ⊥AB ，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°，∴∠BCD=∠A ．∵CE 平分∠ACD ，∴∠ACE=∠DCE ．又∵∠BEC=∠A+∠ACE ，∠BCE=∠BCD+∠DCE ，∴∠BEC=∠BCE ，∴BC=BE ．故选C ．点睛：本题考查了直角三角形的性质、三角形外角的性质、余角、角平分线的定义以及等腰三角形的判定，通过角的计算找出∠BEC=∠BCE 是解题的关键．2．D【分析】根据三角形的内角和定理和直角三角形的定义逐项判断即可．【详解】A 、由180ABC ∠+∠+∠=和A B C ∠+∠=∠可得：∠C=90°，是直角三角形，此选项不符合题意；B 、由A BC ∠-∠=∠得A B C =+∠∠∠，又180A B C ∠+∠+∠=，则∠A=90°，是直角三角形，此选项不符合题意；C 、由题意，318090123C ∠=⨯=++，是直角三角形，此选项不符合题意；D 、由180A B C ∠+∠+∠=得3∠C+3∠C+∠C=180°，解得：1807C ∠=，则∠A=∠B=5407≠90°，不是直角三角形，此选项符合题意，【点睛】本题考查三角形的内角和定理、直角三角形的定义，会判定三角形是直角三角形是解答的关键．3．C【分析】已知AB=AC，根据等腰三角形的性质可得∠B的度数，再求出∠DAC的度数，然后根据30°角直角三角形的性质求得BD的长，再根据等角对等边可得到CD的长，即可求得BC的长．【详解】∵AB=AC，∠C=30°，∴∠B=∠C=30°，∴∠BAC=120°，∵AB⊥AD，AD=4，∴∠BAD=90°，BD=2AD=8，∴∠DAC=120°-90°=30°，∴∠DAC =∠C=30°，∴AD=CD=4，∴CB=DB+CD=12．故选C.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质及30°角直角三角形的性质，熟练运用等腰三角形的性质及30°角直角三角形的性质是解决问题的关键.4．B【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出BC=2MF=2EM，所以MF=EM，然后列式整理得到△EFM的周长=BC+EF，代入数据进行计算即可．【详解】解：∵在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，∴BC=2MF，BC=2EM．∴△EFM的周长=MF+EM+EF=BC+EF．∵EF=5，△EFM的周长为13，∴BC=13-5=8．故选：B．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟练掌握性质是解题的关键．5．B【分析】由平行线及等腰直角三角形的性质，可得出∠1=∠3、∠2=∠4、∠3+∠4=45°，进而即可求出∠2的度数．【详解】解：∵∠1=∠3，∠2=∠4，∠3+∠4=45°，∴∠2=45°-∠1=10°．故选B．【点睛】本题考查了等腰直角三角形以及平行线的性质，利用“两直线平行，同位角相等”找出∠1=∠3、∠2=∠4是解题的关键．6．B【分析】根据直角三角形全等的判定方法：HL，SAS，ASA，AAS，SSS，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证即可．【详解】A．符合判定HL，故此选项正确，不符合题意；B．全等三角形的判定必须有边的参与，故此选项错误，符合题意；C．符合判定AAS，故此选项正确，不符合题意；D ．符合判定SAS ，故此选项正确，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定定理，熟记直角三角形的判定定理是解题的关键，注意判定全等一定有一组边对应相等的．7．B【分析】利用全等直角三角形的判定定理HL 证得Rt △ACD ≌Rt △AED ，则对应角∠ADC=∠ADE ；然后根据已知条件“DE 平分∠ADB”、平角的定义证得∠ADC=∠ADE=∠EDB=60°；最后由直角三角形的两个锐角互余的性质求得∠B=30°．【详解】∵在△ABC 中，∠C=90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，∴CD=ED ．在Rt △ACD 和Rt △AED 中，AD AD CD ED⎧⎨⎩＝＝ ， ∴Rt △ACD ≌Rt △AED （HL ），∴∠ADC=∠ADE （全等三角形的对应角相等）．∵∠ADC+∠ADE+∠EDB=180°，DE 平分∠ADB ，∴∠ADC=∠ADE=∠EDB=60°．∴∠B+∠EDB=90°，∴∠B=30°．故选：B ．【点睛】此题考查角平分线的性质．解题关键在于掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．8．C【解析】试题分析：根据等腰三角形的三线合一定理可得：∠1=∠2，∠BDE=∠CDF ，根据角平分线的性质可知：AD 上任一点到AB 、AC 的距离相等，故正确的有3个，选C ．9．B【分析】过点O作MN，MN⊥AB于M，求出MN⊥CD，则MN的长度是AB和CD之间的距离；然后根据角平分线的性质，分别求出OM、ON的长度是多少，再把它们求和即可．【详解】如图，过点O作MN，MN⊥AB于M，交CD于N，∵AB∥CD，∴MN⊥CD，∵AO是∠BAC的平分线，OM⊥AB，OE⊥AC，OE=2，∴OM=OE=2，∵CO是∠ACD的平分线，OE⊥AC，ON⊥CD，∴ON=OE=2，∴MN=OM+ON=4，即AB与CD之间的距离是4．故选B．【点睛】此题主要考查了角平分线的性质和平行线之间的距离；熟练掌握角平分线的性质定理是解决问题的关键．10．B【解析】【分析】两条直角边对应相等,且夹角是直角，所以两个直角三角形全等的依据是SAS.【详解】两条直角边对应相等,且夹角是直角，即相等，所以根据SAS，两个直角三角形全等.故选：B【点睛】本题考核知识点：全等三角形的判定. 解题关键点：熟记全等三角形的判定.11．50°【解析】【分析】根据三角形的外角的性质得到∠C=∠ADE-∠DEC=50°，得出∠B=∠C=50°，在根据 ，EF AB和平角的定义计算即可．【详解】解：∵DE⊥BC，∴∠DEC=90°，由三角形的外角的性质可知，∠C=∠ADE-∠DEC=50°，∴∠B=∠C=50°，∵EF⊥AB，∴∠EFB=90°，∴∠FEB=90°-50°=40°，则∠FED=180°-40°-90°=50°，故答案为50°．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握三角形内角和定理是解题的关键．12．4【解析】【分析】根据等边三角形的性质求出AC=AB，∠BAC=60°，再根据两直线平行，内错角相等可得∠ACD=∠BAC，然后根据直角三角形两锐角互余，求出∠CAD=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AB=2CD．【详解】解：∵△ABC为等边三角形，∴AC=AB，∠BAC=60°，∵DC∥AB，∴∠ACD=∠BAC=60°，∵AD⊥CD，∴∠CAD=90°-60°=30°，∴AB=AC=2CD=4故答案为：4．【点睛】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等边三角形的性质，熟记各性质是解题的关键．13．3【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可.【详解】∵在Rt△BAC和Rt△BDC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，O是BC的中点，∴12AO BC=,12DO BC=,∴DO=AO=3.故答案为3.【点睛】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解答本题的关键.14．-√2+1【解析】【分析】根据勾股定理求出AC长，再结合数轴即可得出结论．【详解】∵在Rt△ABC中，BC=1，AB=1，∴AC=√12+12=√2，∵以A为圆心，以AC为半径画弧，交数轴的负半轴于点D，∴AD=AC=√2，∴点D表示的实数是﹣√2+1，故答案为：﹣√2+1.【点睛】本题考查的是实数与数轴以及复杂作图，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．15．2√5【解析】【分析】过点E作EF⊥BC于F，根据已知条件得到△BEF是等腰直角三角形，求得BE=AB+AE=6，根据勾股定理得到BF=EF=3√2，求得DF=BF-BD=√2，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：过点E作EF⊥BC于F，∴∠BFE=90°，∵∠BAC=90°，AB=AC=4，∴∠B=∠C=45°，BC=4√2，∴△BEF是等腰直角三角形，∵BE=AB+AE=6，∴BF=EF=3√2，∵D是BC的中点，∴BD=2√2，∴DF=BF-BD=√2，∴DE=√DF2+EF2=√(3√2)2+(√2)2=2√5．故答案为：2√5．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．16．4【分析】设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；则BP=xm，BQ=2xm，则AP=（12-x）m，分两种情况：①若BP=AC，则x=4，此时AP=BQ，△CAP≌△PBQ；②若BP=AP，则12-x=x，得出x=6，BQ=12≠AC，即可得出结果．【详解】解：∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，∴∠A=∠B=90°，设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；则BP=xm，BQ=2xm，则AP=（12-x）m，分两种情况：①若BP=AC，则x=4，AP=12-4=8，BQ=8，AP=BQ，∴△CAP≌△PBQ；②若BP=AP，则12-x=x，解得：x=6，BQ=12≠AC，此时△CAP与△PQB不全等；综上所述：运动4分钟后△CAP与△PQB全等；故答案为4．【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定方法、解方程等知识；本题难度适中，需要进行分类讨论．17．8【解析】【分析】先根据△BCD和△BED关于BD对称，得出△BCD≌△BED，故BE=BC，由此可得出AE的长，由△ADE的周长=AE+AD+DE=AE+AC即可得出结论．【详解】解：∵△BCD和△BED关于BD对称，∴△BCD≌△BED，∴BE=BC=8cm，∴AE=10-8=2cm，∴△ADE的周长=AE+AD+DE=AE+AC=2+6=8cm．故答案为8．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，轴对称，熟练掌握相关知识是解题的关键．18．16【解析】【分析】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，进而得出答案．【详解】解：∵△OAA1为等腰直角三角形，OA=1，∴AA1=OA=1，OA1=√2OA=√2；∵△OA1A2为等腰直角三角形，∴A1A2=OA1=√2，OA2=√2OA1=2；∵△OA2A3为等腰直角三角形，∴A2A3=OA2=2，OA3=√2OA2=2√2；∵△OA3A4为等腰直角三角形，∴A3A4=OA3=2√2，OA4=√2OA3=4．∵△OA4A5为等腰直角三角形，∴A4A5=OA4=4，OA5=√2OA4=4√2．∵△OA5A6为等腰直角三角形，∴A5A6=OA5=4√2，OA6=√2OA5=8．∴OA8的长度为√28=16．故答案为：16．【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理得出是解题关键．19．21【解析】【分析】依据勾股定理，即可得到BD和CD的长，进而得出BC=BD+CD=21．∵AB=13，AC=20，AD=12，AD⊥BC，∴Rt△ABD中，，Rt△ACD中，，∴BC=BD+CD=5+16=21．【点睛】本题主要考查勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理公式a2+b2=c2及其变形．20．见详解【解析】试题分析：（1）根据垂线的定义得∠CDB=∠FEB=90°，后根据同位角相等，两直线平行，可以得到EF∥CD；（2）先根据角平分线的定义得∠ACE=45°，再利用互余计算出∠ACD=90°-∠A=20°，则∠ECD=∠ACE-∠ACD=25°，然后根据平行线的性质求解．试题解析：（1）证明：∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴∠CDB=∠FEB=90°，∴EF∥CD；（2）解：∵∠ACB=90°，CE平分∠ACB交AB于E，∴∠ACE=45°，∵∠A=70°，∴∠ACD=90°﹣70°=20°，∴∠ECD=∠ACE﹣∠ACD=25°，∵EF∥CD，∴∠FEC=∠ECD=25°．考点：垂直的意义，角平分线，平行线判定21．(1) ∠2；∠2；同角的余角相等；∠B； (2)12；CD；AC；BC；AB；CD；60 13．【分析】（1）由于在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，故得出有关相等的角；（2）根据直角三角形的面积计算CD的长．（1）CD⊥AB（已知），∴∠CDA=90º∴∠A+∠1=90º，∵∠1+∠2=90º，∴∠A=∠2 同角的余角相等）．同理可证，∴∠1=∠B．故答案为∠2；∠2；同角的余角相等；∠B；（2）点A到直线BC的距离=12cm．C到直线AB的距离为线段CD的长度．S△ABC=12AC×BC=12AB×CD．∵AC=12,BC=5,AB=13,代入上式，解得CD=6013cm．故答案为5；CD；AC；BC；AB；CD；．60 13【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质及其面积公式解答．22．（1）详见解析；（2）详见解析【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BAD＋∠ADC＝180°，根据角平分线的定义得到∠MAD＋∠ADM＝90°，求出∠AMD＝90°，根据垂直的定义得到答案；（2）作MN⊥AD，根据角平分线的性质得到BM＝MN，MN＝CM，等量代换可得结论．【详解】证明：（1）∵AB∥CD，∴∠BAD＋∠ADC＝180°，∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴2∠MAD＋2∠ADM＝180°，∴∠MAD＋∠ADM＝90°，∴∠AMD＝90°，即AM⊥DM；（2）作MN⊥AD交AD于N，∵∠B＝90°，AB∥CD，∴BM⊥AB，CM⊥CD，∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴BM＝MN，MN＝CM，∴BM＝CM，即M为BC的中点．【点睛】本题考查的是平行线的性质、三角形内角和定理以及角平分线的性质，掌握平行线的性质和角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．23．（1）梯子顶端离地面24米（2）梯子底端将向左滑动了8米【解析】试题分析：（1）构建数学模型，根据勾股定理可求解出梯子顶端离地面的距离；（2）构建直角三角形，然后根据购股定理列方程求解即可.试题解析：（1）如图，∵AB=25米，BE=7米，梯子距离地面的高度米．答：此时梯子顶端离地面24米；（2）∵梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度CE=（24﹣4）=20米，∴，∴DE=15﹣7=8（米），即下端滑行了8米．答：梯子底端将向左滑动了8米．24．(1)见解析;(2)见解析.【解析】【分析】（1）由已知条件，证明ABD≌△CAE，再利用角与角之间的关系求证∠BAD+∠CAE=90°，即可证明AB⊥AC；（2）同（1），先证ABD≌△CAE，再利用角与角之间的关系求证∠BAD+∠CAE=90°，即可证明AB⊥AC．【详解】（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠ADB=∠ABC=∠90º，在Rt△ABD和Rt△CAE中，∵{AB=ACAD=CE，∴Rt△ABD≌Rt△CAE．∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠ACE．∵∠DAB+∠DBA=90º，∠EAC+∠ACE=90º，∴∠BAD+∠CAE=90º．∠BAC=180º-(∠BAD+∠CAE)=90º．∴AB⊥AC．（2）AB⊥AC．理由如下：同（1）一样可证得Rt△ABD=Rt△ACE．∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC，∵∠CAE+∠ECA=90°，∴∠CAE+∠BAD=90º，即∠BAC=90°，∴AB⊥AC．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，借助全等三角形的性质得到相等的角，然后证明垂直是经常使用的方法，注意掌握和应用．。