(完整版)解三角形练习题及答案
第一章解三角形
一、选择题
1．己知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为（）．
A．90°B．120°C．135°D．150°
2．在△ABC中，下列等式正确的是（）．
A．a∶b＝∠A∶∠B B．a∶b＝sin A∶sin B
C．a∶b＝sin B∶sin A D．a sin A＝b sin B
3．若三角形的三个内角之比为1∶2∶3，则它们所对的边长之比为( )．
A．1∶2∶3 B．1∶3∶2
C．1∶4∶9 D．1∶2∶3
4．在△ABC中，a＝5，b＝15，∠A＝30°，则c等于( ）．
A．25B．5C．25或5D．10或5
5．已知△ABC中，∠A＝60°，a＝6，b＝4，那么满足条件的△ABC的形状大小 ( ）．
A．有一种情形B．有两种情形
C．不可求出D．有三种以上情形
6．在△ABC中，若a2＋b2－c2＜0,则△ABC是( ）．
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．形状不能确定
7．在△ABC中，若b＝3，c＝3，∠B＝30°,则a＝( )．
A．3B．23C．3或23D．2
8．在△ABC中,a,b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边．如果a，b，c成等差数列,∠B＝30°，△ABC的面积为
2
3，那么b＝（）．
A．
23
1+B．1＋
3C．
23
2+
D．2＋3
9．某人朝正东方向走了x km后，向左转150°,然后朝此方向走了3 km，结果他离出发点恰好3km，那么x的值是( )．
A．3B．23C．3或23D．3
10．有一电视塔，在其东南方A处看塔顶时仰角为45°，在其西南方B处看塔顶时仰角为60°,若AB
＝120米，则电视塔的高度为（ )．
A ．603米
B ．60米
C ．603米或60米
D ．30米 二、填空题
11．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝10，b ＝ ．
12．在△ABC 中，∠A ＝105°,∠B ＝45°，c ＝2，则b ＝ ．
13．在△ABC 中，∠A ＝60°,a ＝3，则
C B A c b a sin sin sin ++++＝ ． 14．在△ABC 中，若a 2＋b 2＜c 2，且sin C ＝
23，则∠C ＝ ． 15．平行四边形ABCD 中,AB ＝46，AC ＝43，∠BAC ＝45°,那么AD ＝ ．
16．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则最大角的余弦值＝ ．
三、解答题
17． 已知在△ABC 中,∠A ＝45°，a ＝2,c ＝6，解此三角形．
18．在△ABC 中,已知b ＝3，c ＝1,∠B ＝60°，求a 和∠A ，∠C ．
19． 根据所给条件，判断△ABC 的形状．
(1)a cos A ＝b cos B ;
（2)
A a cos ＝
B b cos ＝C
c cos ．
20．△ABC 中,己知∠A ＞∠B ＞∠C ，且∠A ＝2∠C ，b ＝4，a ＋c ＝8，求a ，c 的长．
第一章 解三角形
参考答案
一、选择题
1．B
解析：设三边分别为5k ,7k ，8k （k ＞0)，中间角为
， 由cos ＝k k k k k 85249－64＋25222⨯⨯＝21，得 ＝60°，
∴最大角和最小角之和为180°－60°＝120°．
2．B 3．B
4．C
5．C
6．C
7．C
8．B
解析：依题可得：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧︒︒30cos 2－＋＝23＝30sin 212＝＋222ac c a b ac b c a ⇒⎪⎩⎪⎨⎧ac ac c a b ac b c a 3－2－)＋(＝6＝2＝＋22 代入后消去a ,c ，得b 2＝4＋23，∴b ＝3＋1,故选B ．
9．C
10．A
二、填空题
11．56．
12．2．
13．23．
解析：设
A a sin ＝
B b sin ＝
C c sin ＝k ，则C B A c b a ＋sin ＋sin sin ＋＋＝k ＝A a sin ＝︒60sin 3＝23． 14．3
2π．
15．43．
16．－41．
三、解答题
17．解析:解三角形就是利用正弦定理与余弦定理求出三角形所有的边长与角的大小．
解法1:由正弦定理得sin C ＝
26sin 45°＝26·22＝23． ∵c sin A ＝6×2
2＝3，a ＝2，c ＝6,3＜2＜6， ∴本题有二解，即∠C ＝60°或∠C ＝120°,
∠B ＝180°－60°－45°＝75°或∠B ＝180°－120°－45°＝15°．
故b ＝A
a sin sin B ，所以
b ＝3＋1或b ＝3－1， ∴b ＝3+1,∠C ＝60°,∠B ＝75°或b ＝3－1，∠C ＝120°，∠B ＝15°．
解法2：由余弦定理得
b 2＋(6)2－26b cos 45°＝4,
∴b 2－23b ＋2＝0，解得b ＝3±1． 又（6）2＝b 2＋22－2×2b cos C ，得cos C ＝±21,∠C ＝60°或∠C ＝120°,
所以∠B ＝75°或∠B ＝15°．
∴b ＝3＋1，∠C ＝60°，∠B ＝75°或b ＝3－1，∠C ＝120°，∠B ＝15°．
18．解析:已知两边及其中一边的对角，可利用正弦定理求解． 解：∵
B b sin ＝C
c sin , ∴sin C ＝b B c sin ⋅＝360sin 1︒⋅＝21． ∵b ＞c ，∠B ＝60°,∴∠C ＜∠B ,∠C ＝30°，∴∠A ＝90°．
由勾股定理a ＝22＋c b ＝2，
即a ＝2，∠A ＝90°,∠C ＝30°．
19．解析:本题主要考查利用正、余弦定理判断三角形的形状．
(1)解法1：由余弦定理得
a cos A ＝
b cos B ⇒a ·（b
c a c b 2222-+)＝b ·（ac
c b a 2222+-）⇒a 2c 2－a 4－b 2c 2＋b 4＝0, ∴（a 2－b 2）（c 2－a 2－b 2
)＝0,
∴a 2－b 2＝0或c 2－a 2－b 2＝0，
∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2．
∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．
解法2:由正弦定理得
sin A cos A ＝sin B cos B
⇒sin 2A ＝sin 2B
⇒2∠A ＝2∠B 或2∠A ＝
－2∠B ，∠A ,∠B ∈（0，)
⇒∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝2π， ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．
（2）由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 代入已知等式，得
A A R cos sin 2＝B
B R cos sin 2＝
C C R cos sin 2， ∴A A cos sin ＝B B cos sin ＝C
C cos sin ， 即tan A ＝tan B ＝tan C ．
∵∠A ，∠B ,∠C ∈（0，π），
∴∠A ＝∠B ＝∠C,
∴△ABC 为等边三角形．
20．解析:利用正弦定理及∠A ＝2∠C 用a ，c 的代数式表示cos C ；再利用余弦定理,用a ,c 的代数式表示cos C ,这样可以建立a ，c 的等量关系;再由a ＋c ＝8，解方程组得a ,c ． 解：由正弦定理A a sin ＝C
c sin 及∠A ＝2∠C ,得 C a 2sin ＝C c sin ，即C C a cos sin 2⋅＝C
c sin ， ∴cos C ＝c
a 2． 由余弦定理cos C ＝ab
c b a 22
22-+， ∵b ＝4，a ＋c ＝8，
∴a ＋c ＝2b ,
∴cos C ＝)()(c a a c c a a ＋－4＋＋22
2＝)())((c a a c a c a ＋4＋3－5＝a c a 43－5， ∴c a 2＝a
c a 43－5， 整理得（2a －3c ）(a －c ）＝0，
∵a ≠c ，∴2a ＝3c ． 又∵a ＋c ＝8，
∴a ＝
524，c ＝5
16．
(完整版)解三角形测试题(附答案)
解三角形单元测试题 一、选择题： 1、在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（ ） A ． 30° B ．45° C ．60° D ．120° 2、在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于 （ ） A ．310+ B ．( ) 1310 - C ．13+ D ．310 3、在△ABC 中，a ＝32，b ＝22，B ＝45°，则A 等于（ ） A ．30° B ．60° C ．30°或120° D ． 30°或150° 4、在△ABC 中，a ＝12，b ＝13，C ＝60°，此三角形的解的情况是（ ） A ．无解 B ．一解 C ． 二解 D ．不能确定 5、在△ABC 中，已知bc c b a ++=2 2 2 ，则角A 为（ ） A ． 3 π B ． 6π C ．32π D ． 3 π或32π 6、在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形 7、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是（ ） A ．()10,8 B ． ( ) 10,8 C ． ( ) 10,8 D ． ()8,10 8、在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 9、△ABC 中，已知===B b x a ,2, 60°，如果△ABC 两组解，则x 的取值范围( ) A ．2>x B ．2 解三角形 一、选择题 1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ． A tan 1 3．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为0 60，则底边长为（ ） A ．2 B ． 2 3 C ．3 D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ） A ． 006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0 015030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．0 90 B ．0 120 C ．0 135 D ．0 150 二、填空题 1．在Rt △ABC 中，0 90C =，则B A s i n s i n 的最大值是_______________。 2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,2 2 2 _________。 3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,20 _________。 4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则 C =_____________。 5．在△ABC 中，,26-=AB 030C =，则A C B C +的最大值是 ________。 三、解答题 1.在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？ 2．在△ABC 中，求证： )cos cos (a A b B c a b b a -=- 3．在锐角△ABC 中，求证： C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++。 4．在△ABC 中，设,3 ,2π = -=+C A b c a 求B sin 的值。 解三角形 一、选择题 1．在△ABC 中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（ ） A ．1:2:3 B ．3:2:1 C ．2 D ． 2．在△ABC 中，若角B 为钝角，则sin sin B A -的值（ ） A ．大于零 B ．小于零 C ．等于零 D ．不能确定 3．在△ABC 中，若B A 2=，则a 等于（ ） A ．A b sin 2 B ．A b cos 2 C ．B b sin 2 D ．B b cos 2 4．在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．不能确定 D ．等腰三角形 5．在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = ( ) A ．0 90 B ．0 60 C ．0 135 D ．0 150 6．在△ABC 中，若14 13cos ,8,7= ==C b a ，则最大角的余弦是（ ） A ．51- B ．61- C ．7 1- D ．81- 7．在△ABC 中，若tan 2A B a b a b --=+，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角 形或直角三角形 二、填空题 第一章解三角形 一、选择题 1．己知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为（）． A．90°B．120°C．135°D．150° 2．在△ABC中，下列等式正确的是（）． A．a∶b＝∠A∶∠B B．a∶b＝sin A∶sin B C．a∶b＝sin B∶sin A D．a sin A＝b sin B 3．若三角形的三个内角之比为1∶2∶3，则它们所对的边长之比为( )． A．1∶2∶3 B．1∶3∶2 C．1∶4∶9 D．1∶2∶3 4．在△ABC中，a＝5，b＝15，∠A＝30°，则c等于( ）． A．25B．5C．25或5D．10或5 5．已知△ABC中，∠A＝60°，a＝6，b＝4，那么满足条件的△ABC的形状大小 ( ）． A．有一种情形B．有两种情形 C．不可求出D．有三种以上情形 6．在△ABC中，若a2＋b2－c2＜0,则△ABC是( ）． A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．形状不能确定 7．在△ABC中，若b＝3，c＝3，∠B＝30°,则a＝( )． A．3B．23C．3或23D．2 8．在△ABC中,a,b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边．如果a，b，c成等差数列,∠B＝30°，△ABC的面积为 2 3，那么b＝（）． A． 23 1+B．1＋ 3C． 23 2+ D．2＋3 9．某人朝正东方向走了x km后，向左转150°,然后朝此方向走了3 km，结果他离出发点恰好3km，那么x的值是( )． A．3B．23C．3或23D．3 10．有一电视塔，在其东南方A处看塔顶时仰角为45°，在其西南方B处看塔顶时仰角为60°,若AB 解三角形练习题及答案 1．△ABC中，D在边BC上，且BD＝2，DC＝1，∠B＝60o，∠ADC＝150o，求AC的长及△ABC的面积． 2．在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosB＋ccosC＝acosA，试判定△ABC的形状． 3. 如图，海中有一小岛，周围3.8海里内有暗礁。一军舰从A地动身由西向东航行，望见小岛B在北偏东75°，航行8海里到达C处，望见小岛B在北端东60°。若此舰不改变舰行的方向连续前进，问此舰有没有角礁的危险？ 4．如图，货轮在海上以35n mile/h的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水 平角)为152o的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为122o．半小 时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为32o．求现在货轮与灯塔之间的距离． 5. 航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10000m,速度为180km（千米）/h（小时）飞机先看到山顶的俯角为150，通过420s（秒）后又看到山顶的 俯角为450，求山顶的海拔高度（取2＝1.4,3＝1.7）． 图1 图2 A C 6． 在某海边都市邻近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于都市O （如图）的东偏南 )10 2 (cos = θθ方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范畴为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该都市开始受到台风的侵袭？受到台风的侵袭的时刻有多少小时？ O P θ 45° 东 西 北 东 解三角形练习题 一、选择题 1、在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（ ） A ． 30° B ．45° C ．60° D ．120° 2、在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于 （ ） A ．310+ B ．() 1310- C ．13+ D ．310 3、在△ABC 中，a ＝32，b ＝22，B ＝45°，则A 等于（ ） A ．30° B ．60° C ．60°或120° D ． 30°或150° 4、在△ABC 中，a ＝12，b ＝13，C ＝60°，此三角形的解的情况是（ ） A ．无解 B ．一解 C ． 二解 D ．不能确定 5、在△ABC 中，已知bc c b a ++=222，则角A 为（ ） A ． 3 π B ． 6π C ．32π D ． 3π或3 2π 6、在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形 7、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是（ ） A ．()10,8 B ． ()10,8 C ． ( ) 10,8 D ． ()8,10 8、在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 9、在△ABC 中，已知===B b x a ,2, 60°，如果△ABC 两组解，则x 的取值范围是( ) A ．2>x B ．2 （完整版）解三角形经典练习题集锦（附答案） 解三角形一、选择题1．在△ABC中，若0030,6,90BaC，则bc 等于（） A．1 B．1 C．32 D．32 2．若A为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（）A．Asin B．Acos C．Atan D．Atan1 3．在△ABC中，角,AB均为锐角，且,sincosBA则△ABC的形状是（）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（） A．2 B．23 C．3 D．32 5．在△ABC中，若Babsin2，则A等于（） A．006030或 B．006045或 C．0060120或 D．0015030或6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．090 B．0120 C．0135 D．0150 二、填空题 1．在Rt△ABC中，090C，则BAsinsin的最大值是_______________。 2．在△ABC中，若Acbcba 则,222_________。 3．在△ABC中，若aCBb则,135,30,200_________。4．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC7∶8∶13，则C_____________。5．在△ABC中，,26AB030C，则ACBC的最大值是________。三、解答题1.在△ABC中，若,coscoscosCcBbAa则△ABC的形状是什么？2．在△ABC中，求证：)coscos(aAbBcabba 3．在锐角△ABC中，求证：CBACBAcoscoscossinsinsin。4．在△ABC中，设,3,2CAbca求Bsin的值。解三角形一、选择题1．在△ABC中，::1:2:3ABC，则::abc等于（） A．1:2:3 B．3:2:1 C．1:3:2 D．2:3:1 2．在△ABC 中，若角B为钝角，则sinsinBA的值（）A．大于零B．小于零C．等于零D．不能确定3．在△ABC中，若BA2，则a等于（）A．Absin2 B．Abcos2 C．Bbsin2 D．Bbcos2 4．在△ABC中，若2lgsinlgcoslgsinlgCBA，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等边三角形C．不能确定D．等腰三角形5．在△ABC中，若,3))((bcacbcba则A ( ) A．090 B．060 C．0135 D．0150 6．在△ABC中，若1413cos,8,7Cba，则最大角的余弦是（） A．51 B．61 C．71 D．81 7．在△ABC中，若tan2ABabab，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或 解三角形高考试题及答案 高考数学题中，三角形相关的内容一直以来都是考点之一。解三角 形题目需要运用几何图形的性质和相关定理，是对学生综合运用知识 的考察。下面将通过几个常见的三角形题目，来分析解题的思路和方法。 题目一：已知三角形ABC，∠B=50°，∠C=70°，AB=5 cm，BC=3 cm，求AC的长度。 解题思路：根据三角形的内角和定理，得知∠A=180°-∠B-∠C=60°。通过已知的两边和一个夹角，我们可以运用正弦定理或余弦定理来求解。这里我们选择使用余弦定理。根据余弦定理，有：AC²=AB²+BC²- 2×AB×BC×cos∠A。将已知数值带入公式计算，得到AC≈5.98 cm。 题目二：已知三角形ABC，∠B=45°，AB=12 cm，BC=8 cm，求 ∠A和AC的长度。 解题思路：我们先通过已知条件来求∠A。根据三角形的内角和定理，有∠A+∠B+∠C=180°，即∠A+45°+∠C=180°，从而可以得出 ∠A=135°。然后，根据余弦定理，可以得到AC²=AB²+BC²- 2×AB×BC×cos∠A。代入已知数值，计算得到AC≈12.24 cm。 题目三：已知三角形ABC，AB=3 cm，BC=4 cm，AC=5 cm，求 ∠A、∠B和∠C的大小。 解题思路：根据余弦定理，我们可以得到cos∠A=（BC²+AC²-AB²）/（2×BC×AC），cos∠B=（AC²+AB²-BC²）/（2×AC×AB），cos∠C= （AB²+BC²-AC²）/（2×AB×BC）。将已知数据带入公式，计算得到 cos∠A=1/2，cos∠B=1，cos∠C=1/2。从而可以得到∠A=60°，∠B=0°，∠C=60°。 综上所述，解三角形的题目需要掌握三角形的基本性质和相关定理。根据已知条件运用相应的公式进行计算，最终得到所求的结果。在解 题过程中，需要认真分析，严谨计算，确保每一步的推导准确无误。 同时，通过练习更多的题目，可以提升对三角形知识的理解和运用能力，为高考数学考试做好充分准备。 最后，提醒广大考生，在考场上解三角形的题目时，一定要注意绘 制准确的图形，标明已知条件和所求部分的字母，以便于更好地理清 思路和计算过程。并且，需要注意单位的转换和小数点的保留，精确 到合适的位数，以免答案产生误差。 希望以上解三角形高考试题及答案的论述能够对广大考生在备考阶 段有所帮助，相信只要掌握好基础知识，熟练运用相关定理，并进行 多练习，就能够在考试中取得优异的成绩。祝愿所有考生都能够顺利 完成高考，实现人生的理想目标！ 一、选择题 1.在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2a sin B＝b，则角A等于() A． B． C． D． 2.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为() A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 二、填空题 3.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且 (2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)·sin C，则△ABC面积的最大值为________． 4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4sin2－cos 2C＝，且 a＋b＝5，c＝，则△ABC的面积为________． 5.如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________． 6.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝，cos2A－cos2B＝ sin A cos A－sin B cos B. (1)求角C的大小； (2)若sin A＝，求△ABC的面积． 7.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4sin2＋4sin A sin B＝2＋. (1)求角C的大小； (2)已知b＝4，△ABC的面积为6，求边长c的值． 8.在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且c＝－3bcosA，tanC＝. (1) 求tanB的值； (2) 若c＝2，求△ABC的面积． 9.在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a cos C＋c＝b. (1) 求角A的大小；(2) 若a＝，b＝4，求边c的大小． 10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝． （1）求角的值； （2）若角，边上的中线=，求的面积． 11.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos 2A－3cos(B＋C)＝1. (1)求角A的大小； (2)若△ABC的面积S＝5，b＝5，求sin B sin C的值． 12.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A＝，sin B＝cos C. (1)求tan C的值； (2)若a＝，求△ABC的面积． 13.如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝. (1)求sin∠BAD； (2)求BD，AC的长． 专题解三角形大题(含答案) 靠自己打拼出来的天下，才是最美的；靠自己获得的一切，才是最珍贵的。今天，你，做数学题了吗？ 1.在△ABC中，已知bcosA+a=c，求B的大小和△ABC 的面积。根据正弦定理和余弦定理，可以得到 sinBcosA+sinA=sinC和cosB=（c-a2-b2）/2ab。代入已知条件，解得B=π/3，S△ABC=absinB=√3/4. 2.在△ABC中，已知（b-a）sinB+asinA=csinC，且c=2， 求角C的度数和△ABC面积的最大值。同样利用正弦定理和 余弦定理，可以得到a2+b2-c2=ab和cosB=(c-a2-b2)/2ab。解得C=π/3，S△ABC=absinC=√3. 3.在△ABC中，已知a+b+c=2，求sinC和如果△ABC是 钝角三角形，求其面积。根据余弦定理，可以得到 cosC=(a2+b2-c2)/2ab。代入已知条件，解得sinC=√3/2，若 △ABC是钝角三角形，面积为0. 4.在△ABC中，已知2cosC（acosB+bcosA）=c，求角C 和如果c=2，求△ABC面积的最大值。根据余弦定理，可以 得到cosC=(a2+b2-c2)/2ab。代入已知条件，解得C=π/3， S△ABC=absinC=√3.当c=2时，代入面积公式，解得 S△ABC=√3. 5.在四边形ABCD中，已知∠D=2∠B，且AD=2，CD=6，cosB=1/3，求△ACD的面积和AB的长。根据余弦定理，可以得到AC2=40-24cosB=32，再根据海龙公式和正弦定理，可以 解得S△ACD=8√3和AB=2√7. 6.在△ABC中，已知bsin（A+C）=asinC，且a=2c，求sinB和△ABC的周长。代入正弦定理和已知条件，解得 sinB=1/2，周长为3c。 1.由$a^2+b^2-c^2=ab$，得到$ab+4=a^2+b^2$。由不等式$a^2+b^2\geq 2ab$，得到$ab+4\geq 2ab$，因此$ab\leq 4$。从而，当且仅当$a=b=2$时取等号。所以$\triangle ABC$面积的 最大值为$3$。 解三角形练习题及答案 一、解三角形练习题 1. 已知三角形ABC，AB=5cm，AC=8cm，BC=7cm，求角A的大小。 2. 已知三角形DEF，DE=6cm，EF=9cm，DF=12cm，求角D的大小。 3. 已知三角形GHI，GH=5cm，HI=5cm，GI=7cm，求角G的大小。 4. 已知三角形JKL，JK=8cm，KL=10cm，JL=12cm，求角K的大小。 5. 已知三角形MNO，MN=4cm，NO=6cm，MO=8cm，求角M的 大小。 二、解三角形练习题答案 1. 解题过程： 根据已知条件，我们可以使用余弦定理来求解角A的大小。余弦 定理公式为： cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2b*c) 其中，a、b、c分别表示三角形对应边的长度。代入已知条件可得： cos(A) = (7^2 + 8^2 - 5^2) / (2*7*8) = (49 + 64 - 25) / 112 = 88 / 112 ≈ 0.786 通过查表或计算器的反余弦函数，可以得到角A的近似值为38°。 2. 解题过程： 同样利用余弦定理，我们可以求解角D的大小。代入已知条件可得： cos(D) = (9^2 + 12^2 - 6^2) / (2*9*12) = (81 + 144 - 36) / 216 = 189 / 216 ≈ 0.875 通过反余弦函数，可以得到角D的近似值为 30°。 3. 解题过程： 同理，利用余弦定理求解角G的大小。代入已知条件可得： cos(G) = (5^2 + 7^2 - 5^2) / (2*5*7) = (25 + 49 - 25) / 70 = 49 / 70 ≈ 0.7 通过反余弦函数，可以得到角G的近似值为 45°。 4. 解题过程： 解三角形基础练习题(含答案) 解三角形基础练题（含答案） 一、选择题： 1.在△ABC中，已知a=8，B=60°，C=75°，则b的值为（C）32/3 2.在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（B）43/46 3.在△ABC中，a-c+b=ab，则C=（A）60° 4.在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=32，则AC=（B）23 5.已知△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c。若a=c=6+2且∠A=75°，则b=（D）6-2 6.若△ABC的内角A,B,C满足6sinA=4sinB=3sinC，则cosB=（D）11/16 7.在△ABC中，若sinA+sinB 12.在△ABC中，三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，若a+b-c+2ab=3π/4，则角C的大小为π/4（或45°）。 13.△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知a=2,b=3，则sinA/2=sin(A+C)/3. 14.若△ABC的面积为3，BC=2，C=60°，则边AB的长 度等于2. 解析：根据海伦公式，s=(a+b+c)/2，代入已知条件可得 s=3.再根据面积公式，S=1/2×b×c×sinA，代入已知条件可得 1/2×2×c×sin60°=3，解得c=4.由此可得边AB的长度为2. Ⅰ）将2sinBcosA sinAcosC cosAsinC化为 sin2B=sinA(sinC+cosC)，再利用正弦定理和余弦定理，得到：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为△ABC的外接圆半径） 代入sin2B=sinA(sinC+cosC)中，化简得cosA=1/2，即 A=π/3. Ⅱ）由余弦定理可得cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=1/2，代入b=2，c=1中得a=√3. 解三角形专题（高考题）练习【附答案】 1、在ABC ∆中，已知内角3 A π = ，边BC =.设内角B x =,面积为y . (1)求函数()y f x =的解析式和定义域； (2)求y 的最大值. 8、△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有sin2C+3cos （A+B ）=0，.当 13,4==c a ，求△ABC 的面积。 2、已知ABC ∆中，1||=AC ，0120=∠ABC ， θ=∠BAC ， … 记→ → •=BC AB f )(θ， （1）求)(θf 关于θ的表达式； （2）（2）求)(θf 的值域； 3、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，且.2 1 222ac b c a =-+ （1）求B C A 2cos 2 sin 2 ++的值； （2）若b =2，求△ABC 面积的最大值． 4、在ABC ∆中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量(2sin ,m B =， 2cos 2,2cos 12B n B ⎛ ⎫=- ⎪⎝ ⎭，且//m n 。 （I ）求锐角B 的大小； （II ）如果2b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值。 5、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cos B 的值； （II ）若2=⋅，且22=b ，求c a 和b 的值. 6、在ABC ∆中，cos A = cos 10 B =. — （Ⅰ）求角C ； （Ⅱ）设AB =，求ABC ∆的面积. 7、在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量(1,2sin )m A =， Ａ Ｂ Ｃ 120° θ 高中数学解三角形练习题及答案 解三角形 1.最大角与最小角的和为180°，因此答案为D．150°。 2.根据正弦定理，a/XXX，因此a∶b＝sinA∶sinB，答案 为B． 3.根据正弦定理，a/XXX，因此边长之比为 sin1∶sin2∶sin3，答案为B． 4.根据余弦定理，c²=a²+b²-2abcosC，代入已知数值，可得cosC=1/2，因此∠C=60°，c=√(a²+b²-2abcosC)= 5. 5.根据正弦定理，a/sinA=2R，代入已知数值可得R=3， 因此△ABC的形状大小是唯一的。 6.根据余弦定理，若a²+b²-c²<0，则△ABC是锐角三角形。 7.根据正弦定理，a/sinA=2R，代入已知数值可得R=3/√3，因此a=3√3. 8.根据余弦定理，a²=b²+c²-2bccosA，代入已知数值可得cosA=1/4，因此A=75°，B=45°，C=60°，b=2a/√3=2√3. 9.由题意可列方程x+3cos150°=3，解得x=3. 10.由题意可列方程AB/AC=tan45°=1，XXX√3，解得 AB=60米，BC=60√3米，因此电视塔的高度为AB/tan45°=60米。 11.根据正弦定理，b=10sin60°/sin45°=10√3. 12.根据余弦定理，b²=a²+c²-2accosB，代入已知数值可得cosB=1/2，因此B=60°，b=2sinB=2√3-2. 13.根据正弦定理，sinC=3sin60°/10=√3/5，代入反正弦函 数可得∠C=60°。 14.根据正弦定理，sinC=c/2R，代入已知数值可得 R=√(a²+b²-c²)/2sinC=√(20)/√3，因此△ABC的形状大小是唯一的。 15.根据正弦定理，AD=ACsinB=46sin45°/sin60°=23√3. 16.最大角的正弦值为4/9，因此最大角的余弦值为√(1-16/81)=5/9. 17.根据余弦定理，b²=a²+c²-2accosB，代入已知数值可得cosB=1/2，因此B=60°，b=√(c²+a²-2accosB)=√10. 在三角形ABC中，已知b=3，c=1，∠B=60°，求a和 ∠A，∠C。 根据正弦定理，有： XXX/c 代入已知条件，得： 初中数学专项练习《三角形》100道解 答题包含答案 一、解答题(共100题) 1、如图，已知△ABC中，点D、E在BC上，AB=AC，AD=AE。请说明BD=CE的理由。 2、如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是△ABC的角平分线。已知 ∠B=40°，∠C=70°.求∠DAE的度数. 3、如图，四边形ABCD中，AC为∠BAD的角平分线，AB=AD，E、F两点分别在AB、AD上，且AE=DF．请完整说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD的一半． 4、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，，点E是BC的中点，连接AE、BD．若EA⊥AB，BC＝26，DC＝12，求△ABD的面积. 5、如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF，求证： △ABE≌△BCF． 6、如图，在△ABC中，已知∠ABC=46°，∠ACB=80°，延长BC至D，使 CD=CA，连接AD，求∠BAD的度数． 7、如图，AD是△ABC的高，且AD平分∠BAC，请指出∠B与∠C的关系，并说明理由． 8、已知AB=AD，BC=DC．求证：AC平分∠BAD． 9、“三等分任意角”是数学史上一个著名问题，经过无数人探索，现在已经确信，仅用圆规直尺是不可能做出的.在探索过程中，我们发现，可以利用一些特殊的图形，把一个任意角三等分.如图：在∠MAN的边上任取一点B，过点B作 BC⊥AN于点C，并作BC的垂线BF，连接AF，E是AF上一点，当AB=BE=EF 时，有∠FAN= ∠MAN，请你证明. 10、已知：一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是几边形？ 11、如图，已知△ABD≌△ACE．求证：BE=CD． 12、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA向A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的速度为每秒1个单位长度，当运动时间t为多少秒时，以点C、B、D为顶点的三角形是等腰三角形？ 13、已知：如图，在中，，，，求 的长． 14、如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C， 求证：△AED≌△BFC． 解三角形练习题及答案 解三角形练习题及答案 解三角形，是指已知三角形的几个元素求其他元素的过程。一般地，把三角形的.三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素。一起看看下面的解三角形练习题及答案吧！ 1．有关正弦定理的叙述： ①正弦定理仅适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③正弦定理仅适用于钝角三角形；④在给定三角形中，各边与它的对角的正弦的比为定值；⑤在△ABC中，sinAsinBsinC＝abc。 其中正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 解析①②③不正确，④⑤正确． 答案 B 2．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝32，则AC＝（） A．43 B．23 C．3 D．32 解析由正弦定理，得ACsinB＝BCsinA，即AC＝BCsinBsinA＝32×sin45°sin60°＝23。 答案 B 3．在△ABC中，已知b＝2，c＝1，B＝45°，则a等于（） A．6－22 B．6＋22 C．2＋1 D．3－2 解析由正弦定理，得sinC＝csinBb＝sin45°2＝12，又b>c， ∴C＝30°，从而A＝180°－（B＋C）＝105°， ∴a＝bsinAsinB，得a＝6＋22。 答案 B 4．在△ABC中，已知3b＝23asinB，cosB＝cosC，则△ABC的形状是（） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 解析利用正弦定理及第一个等式，可得sinA＝32，A＝π3，或2π3，但由第二个等式及B与C的范围，知B＝C，故△ABC必为等腰三角形． 答案 B 5．在△ABC中，若3a＝2bsinA，则B等于（） A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120° 解析∵3a＝2bsinA， ∴3sinA＝2sinBsinA。 ∵sinA≠0，∴sinB＝32， 又0° 解三角形综合练习题 1. △ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且sin 2 B−C 2+sinBsinC =34. (1)求角A ； (2)若b+c =2，求△ABC 的周长的取值范围； (3)若c =4，且△ABC 为锐角三角形，求△ABC 面积的取值范围； (4)若a =4，且△ABC 为锐角三角形，求△ABC 面积的取值范围. 2. △ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且 b a+ c +sinC sinA+sinB =1. (1)求角A ； (2)若△ABC 的顶点在单位圆上，且b≥a ，求2b -c 的取值范围； (3)若BC =√7, AC =2，求AC 边上的高. 3. △ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c .且√3asinAcosB −bcos 2A +b =0. (1)求角B ； (2)若b =6，求BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值； (3)若b =2√3，求△ABC 面积的最大值. 4. △ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.且tanA+tanB=2sinC . cosA (1)求角B； (2)若b=√3，求a2+c2的取值范围; (3)若b=√3，求AC边中线BM长度的最大值. . 5. △ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.且acosB－bcosA=3c 5 (1)求tanA 的值； tanB (2)求tan(A－B)的最大值. =1的左、右焦点分别为F1、F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2 6.设双曲线x2−y2 3 为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是 解三角形习题及答案 一、选择题（每题5分，共40分） 1、己知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为( )． A ．90° B ．120° C ．135° D ．150° 2、在△ABC 中，下列等式正确的是( )． A ．a ∶b ＝∠A ∶∠B B ．a ∶b ＝sin A ∶sin B C ．a ∶b ＝sin B ∶sin A D ．a sin A ＝b sin B 3、若三角形的三个内角之比为1∶2∶3，则它们所对的边长之比为( )． A ．1∶2∶3 B ．1∶3∶2 C ．1∶4∶9 D ．1∶ 2∶3 4、在△ABC 中，a ＝5，b ＝15，∠A ＝30°，则c 等于( )． A ．2 5 B ．5 C ．25或5 D ． 10或5 5、已知△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝6，b ＝4，那么满足条件的△ABC 的 形状大小 ( )． A ．有一种情形 B ．有两种情形 C ．不可求出 D ．有三种以上情形 6、在△ABC 中，若a 2＋b 2－c 2＜0，则△ABC 是( )． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．形状不能确定 7、)( 37sin 83sin 37cos 7sin 的值为︒︒-︒︒ A.2 3 - B.21- C.21 D.23 8、化简 1tan15 1tan15 +-等于 （ ） A B C ．3 D ．1 二、填空题（每题5分，共20分） 9、已知cos α－cos β=2 1，sin α－sin β=3 1，则cos （α－β）=_______． 10、在△ABC 中，∠A ＝105°，∠B ＝45°，c ＝2，则b ＝ ． 11、在△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝3，则 C B A c b a sin sin sin ++++＝ ． 12、在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则最大角的余弦值等于 ． 班别： 姓名： 序号： 得分： 9、 10、 11、 12、 三、解答题 13、（12分）已知在△ABC 中，∠A ＝45°，a ＝2，c ＝6，解此三角形． .. 一、选择题 1、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、，若=，则△ABC的形状为（） A、正三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形或直角三角形 D、等腰直角三角形 2、已知中，，，则角等于 A． B． C． D． 3、在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若这样的△ABC有两个，则实数x的取值范围是（） A．(2，＋∞) B．(0，2) C．(2，) D．() 4、，则△ABC的面积等于 A． B． C．或 D．或 5、在中，，则角C的大小为 A.300 B.450 C.600 D.1200 6、的三个内角、、所对边长分别为、、，设向量 ，，若，则角的大小为 （） A． B． C． D． 7、若ΔABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足，则ab的值为（） A． B． C．1 D． 8、在中,若,且,则是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形,但不是等边三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形,但不是等腰三角形9、在中，所对的边分别是且满足，则 = A． B． C． D． 10、若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝，则这个三角形是( )． A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 11、在△中，，，，则此三角形的最大边长为（） A. B. C. D. 12、在△ABC中, 角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c2b2）tanB=ac，则角B=（） A． B． C．或 D．或 13、（2012年高考（天津理））在中,内角,,所对的边分别是,已知,,则 （） A． B． C． D． 14、已知△ABC中，=，=，B=60°，那么满足条件的三角形的个数为（） A、1 B、2 C、3 D、0 15、在钝角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则最大边c的取值范围是 ( ) （ A． B． C． D． 16、（2012年高考（上海理））在中,若,则的形状是（） A．锐角三角形. B．直角三角形. C．钝角三角形. D．不能确定. 17、在△ABC中，a=15，b=10, ∠A=，则（） A． B． C． D．解三角形经典练习题集锦(附答案)
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