66 微分方程稳定性理论简介 一阶方程的平衡点及稳定性
李敖:與大陸軍備競賽會拖垮台灣 2005-6-23 【大公網訊】 無黨籍「立委」李敖 23 日表示，台灣 與大陸軍備競賽是三輪車追汽車，越追越 遠，還未與大陸開戰，台灣的經濟就會被 拖垮，如同前蘇聯與美國軍備競賽，因經 濟崩潰而解體，因此不應購買愛國者三型 飛彈等三項軍購。
2
将f(x)在x0点作Taylor展开，只取一次项， 方程(1)近似为 & (t ) = f ′( x0 )( x − x0 ), x (4) (4)称为(1)的近似线性方程，x0也是方程(4)的 平衡点. 关于x0点稳定性有如下结论： 若f '(x0) < 0，则x0对于方程(4)和(1)都是 稳定的; 若f '(x0) > 0，则x0对于方程(4)和(1)都是 不稳定的.
6.6 微分方程稳定性理论简介 一阶方程的平衡点及稳定性 设有微分方程
& (t ) = f ( x ), x
(1)
右端不含字变量t，称为自治方程. 代数方程 f(x) = 0 (2) 的实根x = x0称为方程(1)的平衡点(或奇点). 它 也是(1)的解(奇解).
1
如果存在某个邻域，使方程(1)的解x(t) 从这个邻域内的某个x(0)出发，满足 lim x (t ) = x0 , (3) t →∞ 则称平衡点x0是稳定的(稳定性理论中称渐进 稳定); 否则，称x0是不稳定的(不渐进稳定). 判断平衡点x0是否稳定通常有两种方法. 利用定义即(3)式称间接法. 不求方程(1)的解 x(t)，因而不利用(3)式的方法称直接法. 下 面介绍直接法.
⎪ ⎨ p = −( a1 + b2 ) . ⎪ q = det A ⎩
(13)
将特征根记作λ1, λ2，则 1 λ1 , λ2 = ( − p ± p 2 − 4q ). 2
(14)
8
方程(9)的一般解具有形式 或
c1e + c2 e
λ1t λ1t λ2 t
(λ1 ≠ λ2 )
c1e +ຫໍສະໝຸດ c2 te (λ1 = λ2 ),
10
6.2 军备竞赛 两个国家或国家集团之间由于相互不 信任和各种矛盾的存在、发展而不断增加 自己的军事力量，防御对方可能发动的战 争. 本节介绍L. F. Richardson1939年提出的 一个模型.
11
军备竞赛
(arms race)
军事大国为了实行对外扩张，争夺世界霸权，竞 相增加、提高军事装备的数量和质量，并向高技术领 域发展的特有过程。第一次世界大战以前，主要在英 国和德国之间进行海军竞赛。第二次世界大战以后主 要在美国、苏联两国之间进行，可分为下列几个阶段： ①常规武器竞赛。战后美、苏在冷战中大规模加强常 规军备。双方不断更新各种武器装备和发展现代技术， 以服务于军事、政治目的。②核武器竞赛。20世纪70 年代，美、苏核武器竞争激烈，结果双方拥有世界核 弹头库存总数的97％，同时双方在核武器运载工具、 多弹头分导等高技术领域的研制投入大量人力和物力。 ③太空武器竞赛。
λ1t
c1, c2为任意常数. (注意：课本p199是否误为 λt −λ t c1e + c2te (λ1 = λ2 ) )
1 1
9
按照稳定性的定义(8)式可知，当λ1, λ2 均为负数或均有负实部时P0(0, 0)是稳定平 衡点; 而当λ1, λ2有一个为正数或有正实部 时P0(0, 0)是不稳定平衡点. 在条件(11)下λ1, λ2均不为零. 按上述理论可得根据特征方程的系数p, q的正负来判断平衡点稳定性的准则： 若 p > 0, q > 0，则平衡点稳定; 若 p < 0, q < 0，则平衡点不稳定. 对一般的非线性方程(6)，仍可在平衡 点作一次Taylor展开，得常系数的近似线性 方程来讨论.
12
军事分析家平可夫: 中日军备竞赛由隐形转向有形 /letter/ 加入日期 2005-5-24 9:02:37 点击次数： 3 防卫厅消息来源声称过去一年以来，航空自卫 队在日本排他经济水域周围监视中国军用飞机的次 数明显增多。它们大半是侦察机。在海上，中国海 军的最新型俄式 “ 现代 ” 导弹驱逐舰的活动也比较频 繁。冷战时代苏联海军太平洋舰队的 “现代”级导弹 驱逐舰经常航行在东海海域，目前中国出现的频率 超过了俄罗斯海军。
3
注: x0点对方程(4)稳定性很容易由定义 (3)证明：记f '(x0) = a，则(4)的一般解为 x(t) = ceat + x0 (5) 其中常数c由初始条件确定，显然，a < 0时 (3)式成立.
4
二阶方程的平衡点和稳定性 二阶方程可用两个一阶方程表为
&1 (t ) = f ( x1 , x2 ) ⎧x , ⎨ & 2 (t ) = g ( x1 , x2 ) ⎩x
(9)
(非齐次方程组，可用平移的方法(x1= u1+c1, x2 = u2+c2)化为齐次方程组) 系数矩阵记作
⎛ a1 A=⎜ ⎜b ⎝ 1 a2 ⎞ ⎟ , ⎟ b2 ⎠
(10)
为研究方程(9)的唯一平衡点P0(0, 0)的稳定 性，假定A的行列式 detA ≠ 0 . (11)
7
P0(0, 0)的稳定性由(9)的特征方程 det(A − λI) = 0 (12) 的根λ(特征根)决定. 方程(12)可以写成更加明晰 的形式 ⎧λ2 + pλ + q = 0
(6)
右端不显含t，是自治方程. 代数方程组
⎧ f ( x1 , x2 ) = 0 ⎨ ⎩ g ( x1 , x2 ) = 0
(7)
的实根x1 = x10, x2 = x20称为方程(6)的平衡点， 记作P0(x10, x20).
5
如果存在某个邻域，使方程 (6) 的解 x1(t), x2(t)从这个邻域内的某个(x1(0), x2(0)) 出发，满足
lim x1 (t ) = x10
t →∞ t →∞
lim x2 (t ) = x
0 2
,
(8)
则称平衡点P0是稳定的(渐进稳定); 否则， 称P0是不稳定的(不渐进稳定).
6
先看线性常系数方程
&1 (t ) = a1 x1 + a2 x2 ⎧x , ⎨ & 2 (t ) = b1 x1 + b2 x2 ⎩x
微分方程稳定性
det A 0
P0 (0, 0 )的 稳 定 性 由 (9 ) 的 特 征 方 程
det( A I ) 0
(11)
(12)
的根（特征根）决定。方程（12）可写为
2 p q 0 p ( a1 b 2 ) q d et A (1 3)
则特征根为
（ 即 a 0 或 p , q 0） 得到的。在临界情况下 即 a = 0 或 p , q = 0） （
（1）平衡点和稳定性的概念只是对自治方程(1)(6)而言才有意义。
二者可以不一致。 (3) 在讨论平衡点稳定性时，对初始点的要求是存在一个邻 域，这是局部稳定的定义。如果要求对任意的初始点 (3)(8)式成立，成为全局稳定。对于线性方程，局部稳定 和全局稳定是等价的，对于非线性方程，二者不同。 (4) 对于临界情况，和非线性方程的全局稳定，可以用相 轨线分析方法讨论。
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结束
建模与求解：设地球半径为 R ，质量为M ；卫星轨 道半径为r ，卫星质量为m 。
根据假设（ii）和（iii），卫星只受到地球的引力，由牛 顿万有引力定律可知其引力大小为
F= GMm r
2
(1)
其中G 为引力常数。 为消去常数G ，把卫星放在地球表面，则由（1）式得
mg = GMm R
1 k
( 此处 mg k v 0 )
利用初始条件, 得 C ln ( mg ) 代入上式后化简, 得特解 v
mg k
机动 目录
t 足够大时
k m t
v
)
上页 下页
mg k
(1 e
微分方程稳定性理论
一阶方程的平衡点及稳定性 dx/dt=f(x)---------自治方程
t
f(x)=0 的实根 x=x0------为平衡点
如果 lim x (t ) x0 则称 x0 是稳定,否则 x0 是不稳定的
f ( x0 ) 0 f ( x0 ) 0
则称 x0 是稳定 则称 x0 是不稳定的
fx A 1 g x1 f x2 g x2
q=detA
0 0 p0 ( x1 , x2 )
P ( f X1 g x2 ) P0 平衡点的稳定性判定与上一样
表四
1，2
p, q
平衡点类型
稳定性
1 2 0
p 0, q 0, p 2 4q p 0, q 0, p 2 4q
p0
稳定结点 不稳定结点 鞍点 稳定退化结点 不稳定退化结点 稳定焦点 不稳定焦点 中心
稳定 不稳定 不稳定 稳定 不稳定 稳定 不稳定 不稳定
1 2 0
1 0 2
1 2 0
1 2 0
p 0, q 0, p 2 4q p 0, q 0, p 2 4q p 0, q 0, p 2 4q p 0, q 0, p 2 4q
p 0, q 0
1,2 i, 0
1,2 i, 0 1,2 i, 0
二阶方程的平衡点及稳定性
dx1 dt f ( x1 , x2 ) dx 2 g ( x1 , x2 ) dt
f ( x1 , x2 ) 0 0 0 0 0 的解 x1 x1 -----为平衡点,记为 p0 ( x1 , x2 x2 , x2 ) g ( x1 , x2 ) 0
微分方程中的稳定性理论研究
微分方程中的稳定性理论研究稳定性是微分方程理论中一个重要的概念，它描述了系统在时间和空间上的变化趋势。
稳定性理论研究的是系统的长期行为，即系统是否会趋向于一个确定的状态，或者是否会出现周期性的振荡。
本文将介绍微分方程中的稳定性理论及其应用。
一、基本概念稳定性理论研究的是微分方程的解在初始条件或参数变化下的行为。
稳定性可以分为局部稳定性和全局稳定性两种情况。
局部稳定性指的是系统在某一特定状态附近的解的行为，即如果系统的初始状态足够接近这个特定状态，那么系统的解将会趋近于这个特定状态。
全局稳定性则要求系统的解在整个定义域内都趋近于一个特定的状态，不管初始状态是如何选择的。
二、线性稳定性分析对于线性微分方程，可以通过判断系统的特征根来研究其稳定性。
考虑形如 $\frac{{dx}}{{dt}}=Ax$ 的线性微分方程，其中 $A$ 是一个常数矩阵。
方程的解可以表示为 $x(t)=e^{At}x_0$，其中 $x_0$ 是初始条件。
系统的稳定性取决于矩阵 $A$ 的特征根的实部。
如果所有特征根的实部都小于零，则系统是局部稳定的；如果所有特征根的实部都小于等于零，则系统是渐近稳定的；如果存在特征根的实部大于零，则系统是不稳定的。
三、非线性稳定性分析对于非线性微分方程，稳定性的分析就更加复杂。
一般情况下，无法直接得到解析解，需要借助数值方法或近似方法进行研究。
一种常用的方法是线性化法，即将非线性方程在某一特定点附近进行线性近似。
通过线性化后的方程，可以通过判断线性化方程的稳定性来推断原方程的稳定性。
此外，还可以使用Lyapunov稳定性理论来研究非线性系统的稳定性。
Lyapunov函数是一个标量函数，通过判断其导数的符号来推断系统的稳定性。
如果导数小于零，则系统是局部稳定的；如果导数小于等于零，则系统是渐近稳定的。
四、应用稳定性理论在物理学、工程学、生物学等领域具有广泛的应用。
在控制系统中，稳定性是设计控制器的一个重要指标。
微分方程的平衡点及稳定性分析
者 可 以不 一致 ， 比如 说 ， 线性 近 似方 程 的平衡 点 为 中心 时 ， 用其 它 的方 法来判 断（ ） 要 ４ 式平 衡 点 的稳
１２ 判 定 平 衡 点 稳 定 性 的 方 法 ．
① 间接法 ： 定义３ 的方法称为间接法。 ②直接法 ： 不求方程式（ 的解 ） １ ） ０的方法 ， 称
为直接法。 方法： 在 将 ） 。 处作泰勒展开， 只取一
次项 ， 有微 分方 程 （ ） 近似 为 １可
变化规律 ， 预测它的未来形态时 ， 要建立对象 的动 态模 型 ， 常 要用到 微分方 程模 型 。 通 而稳 定性 模 型 的对象仍是动态过程 ，而建模 的目的是研究时间 充分 长 以后 过程 的变 化趋 势— — 平衡 状 态是 否 稳 定。 稳定性模型不求解微分方程 ， 而是用微分方程
） ） （） １
①羞 ０ ０则称 ）， ＜ 。 为方程（和（的稳定的 １ ３ ） ） 平
衡点。
ｏ 则称 为方 程（） ３的不稳 定 的平 ， １和（） 衡点。
定义２ 代数方程 ） 的实根 。 ： ＝ ０ 称为微分方
程（） １的平衡 点 。 定 义 ３从 某 领 域 的任 意 值 出发 ， 方 程 （ ） ： 使 １
。 ｏ 作 泰勒 展 开 ， ，） ｙ处 只取 一 次项 ， （在 Ｐ 。 。 得 ４ ） ０ ，） Ｙ
的线 性近 似方 程 为 ：
贝 ） 却 ｒ０ 则根据定理 １ｘ Ｏ Ｉ ＝＞ ， ， 是不稳定的平衡 ＝
点 ． Ｉ 一ｒＯ 是稳定的平衡点。 厂） ＜，
分 析 ： 平衡 点 的稳 定性 来 看 ， 从 随着 时 间 的推 移 ， 口的增 长在 人 处 趋于 稳定 ， 也就 是人 口达
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（1） （2）
（3）
（4）
（5）
其中 C 是由初始条件决定的常数。
二、 二阶（平面）方程的平衡点和稳定性
方程的一般形式可用两个一阶方程表示为
dx1 (t ) dt
dx2 (t) dt
右端不显含 t，代数方程组
f g
( x1 , ( x1 ,
x2 x2
) )
f (x1, g ( x1 ,
渐近稳定）。 为了用直接法讨论方法方程（6）的平衡点的稳定性，先看线性常系数方程
系数矩阵记作
dx1 (t ) dt
dx2 (t) dt
A
a1 a2
a1x1
a2 x1
b1
Байду номын сангаас
b2
b1x2
b2 x2
并假定 A 的行列式 det A 0 于是原点 P0 (0, 0) 是方程（9）的唯一平衡点，它的稳定性由的特征方程
第五节 微分方程稳定性理论简介
这里简单介绍下面将要用到的有关内容：
一、 一阶方程的平衡点及稳定性
设有微分方程 dx f (x) dt
右端不显含自变量 t，代数方程
f (x) 0
的实根 x x0 称为方程（1）的平衡点（或奇点），它也是方程（1）的解（奇解）
如果从所有可能的初始条件出发，方程（1）的解 x(t) 都满足
x20 )(x1
f x1
gx1
x10 )
x2 P0 ( x10 , x20 )
gf x2
由上表可以看出，根据特征方程的系数 p, q 的正负很容易判断平衡点的稳定
一阶微分方程的平衡点及其稳定性(精)
F(x)=0的根x0 ~微分方程的平衡点
xx 0 x x0 x
0
设x(t)是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发，
都有
lim x ( t ) x , 称x0是方程(1)的稳定平衡点 0 t
产量模型
稳定性判断
F ( x0 ) E r, F ( x0 ) 0, F ( x1 ) 0
E r F ( x0 ) 0, F ( x1 ) 0
E~捕捞强度
x0稳定, x1不稳定
x0不稳定, x1稳定
r~固有增长率
F ( x0 )(x x0 ) (2) x
不求x(t), 判断x0稳定性的方法——直接法 (1)的近似线性方程
F ( x0 ) 0 x0稳定(对(2), (1)) F ( x0 ) 0 x0不稳定(对(2), (1))
6.1
背景
捕鱼业的持续收获
• 再生资源（渔业、林业等）与 非再生资源（矿业等） • 再生资源应适度开发——在持续稳 产前提下实现最大产量或最佳效益。
• 鱼销售价格p
• 单位捕捞强度费用c 收入 T = ph(x) = pEx 支出 S = cE
单位时间利润
R T S pEx cE
E R( E ) T ( E ) S ( E ) pNE(1 ) cE r r c r E ( 1 ) E* 求E使R(E)最大 R 2 pN 2 2 rN c 渔场 x N (1 E R ) N c hR (1 2 2 ) R 4 p N 2 2p 鱼量 r
建模
捕捞情况下 渔场鱼量满足
(完整word版)稳定性理论
微分方程的稳定性理论简介一阶方程的平衡点及稳定性设有微分方程()()t f x x •= （1）右端方程不显含自变量t ，称为自治方程。
代数方程()0f x =的实根0x x =称为方程（1）的平衡点（或齐点）它也是方程（1）的解（齐解）。
如果存在某个邻域，使方程（1）的解()x t 从这个邻域内的某个(0)x 出发，满足0lim ()t x t x →∞= （3）则称平衡点0x 是稳定的（稳定性理论中称渐近稳定）；否则，称0x 是不稳定的(不渐近稳定)判断平衡点0x 是否稳定点通常有两种方法。
利用定义即（3）式称间接法。
不求方程（1）的解()x t ，因而不利用（3）式的方法称直接法。
下面介绍直接法。
将()f x 在0x 点做Taylor 展开，只取一次项，方程（1）近似为'00()x t f x x x •=-（）（） （4） （4）称为（1）的近似方程，0x 也是方程（4）的平衡点。
关于0x 点稳定性有如下结论：若'0f x （）<0, 则0x 对于方程（4）和（1）都是稳定的； 若'0f x （）>0，则0x 对于方程（4）和（1）都是不稳定的。
0x 对于方程（4）的稳定性很容易由定义（3）式证明，因为若记'0()f x a =，则（4）的一般解是0()at x t ce x =+其中c 是由初始条件决定的常数，显然，当0a <时（3）式成立。
二阶方程的平衡点和稳定性二阶方程可用两个一阶方程表示为112212()(,)()(,)x t f x x x t g x x ⎧=⎪⎨⎪=⎩gg（6）右端不显含t ，是自治方程。
代数方程组 1212(,)0(,)0f x xg x x =⎧⎨=⎩ （7）的实根011x x =，022x x =称为方程（6）的平衡点，记做00012(,)P x x 。
如果存在某个邻域，使方程（6）的解1()x t ，2()x t 从这个邻域内的某个12((0),(0))x x 出发，满足011lim ()t x t x →∞= ，022lim ()t x t x →∞= （8）则称平衡点0P 是稳定的（渐近稳定）；否则，称0P 是不稳定的（不渐近稳定）。
微分方程的稳定性理论
微分方程的稳定性理论微分方程的稳定性理论是研究微分方程解的行为随参数变化而产生的稳定性问题的数学分支。
在许多实际问题中，人们常常需要分析微分方程在不同参数下的解的性质，以便更好地理解系统的行为和动态特性。
稳定性的概念稳定性是指微分方程解在初始条件或参数扰动下的响应行为。
在微分方程中，对解的稳定性主要分为几种类型：1.渐近稳定：解会收敛到一个稳定的状态。
2.指数稳定：解在某稳定状态附近呈指数形式衰减或增长。
3.李雅普诺夫稳定：指解相对于初始值的具体指数速度趋于稳定。
4.中立稳定：解在稳定状态周围有振荡。
稳定性分析方法微分方程的稳定性理论为研究者提供了一些方法来分析解的稳定性：李雅普诺夫方法李雅普诺夫方法是一种常用的稳定性分析方法，通过构造一个李雅普诺夫函数来研究解的收敛性。
这种方法适用于线性和非线性系统，并且可以用来证明解的全局稳定性。
极限环方法极限环方法是另一种常用的稳定性分析方法，通过将微分方程线性化为极限环系统，探索极限环周围解的动态特性来确定系统的稳定性。
这种方法对周期解和周期性解的稳定性问题有很好的应用。
拉普拉斯变换方法拉普拉斯变换方法是用于求解线性微分方程的一种方法，可以将微分方程转化为代数方程，从而快速得到解的稳定性特性。
这种方法适用于线性系统和光滑函数的稳定性分析。
应用领域微分方程的稳定性理论在许多领域都有着广泛的应用，例如控制理论、动力系统和生态学等。
通过稳定性分析，研究者可以更好地理解系统的稳定性特性和动态行为，为实际问题的解决提供理论支持。
结论微分方程的稳定性理论是微分方程研究中一个重要而深刻的领域，它为研究者提供了丰富的稳定性分析方法和技术工具。
通过深入研究微分方程的稳定性问题，我们可以更好地理解系统的动态特性，为科学研究和工程实践提供理论支持。
微分方程稳定性理论简介
第五节 微分方程稳定性理论简介这里简单介绍下面将要用到的有关内容：一、 一阶方程的平衡点及稳定性设有微分方程()dxf x dt= （1） 右端不显含自变量t ，代数方程()0f x = （2）的实根0x x =称为方程（1）的平衡点（或奇点），它也是方程（1）的解（奇解）如果从所有可能的初始条件出发，方程（1）的解()x t 都满足0lim ()t x t x →∞= （3）则称平衡点0x 是稳定的（稳定性理论中称渐近稳定）；否则，称0x 是不稳定的（不渐近稳定）。
判断平衡点0x 是否稳定通常有两种方法，利用定义即（3）式称间接法，不求方程（1）的解()x t ，因而不利用（3）式的方法称直接法，下面介绍直接法。
将()f x 在0x 做泰勒展开，只取一次项，则方程（1）近似为：0'()()dxf x x x dt=- （4） （4）称为（1）的近似线性方程。
0x 也是（4）的平衡点。
关于平衡点0x 的稳定性有如下的结论：若0'()0f x <，则0x 是方程（1）、（4）的稳定的平衡点。
若0'()0f x >，则0x 不是方程（1）、（4）的稳定的平衡点0x 对于方程（4）的稳定性很容易由定义（3）证明，因为（4）的一般解是0'()0()f x t x t ce x =+ （5）其中C 是由初始条件决定的常数。
二、 二阶（平面）方程的平衡点和稳定性方程的一般形式可用两个一阶方程表示为112212()(,)()(,)dx t f x x dtdx t g x x dt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （6）右端不显含t ，代数方程组1212(,)0(,)0f x x g x x =⎧⎨=⎩ （7） 的实根0012(,)x x 称为方程（6）的平衡点。
记为00012(,)P x x 如果从所有可能的初始条件出发，方程（6）的解12(),()x t x t 都满足101lim ()t x t x →∞= 202lim ()t x t x →∞= （8） 则称平衡点00012(,)P x x 是稳定的（渐近稳定）；否则，称P 0是不稳定的（不渐近稳定）。
微分方程稳定性定理
微分方程稳定性定理微分方程是数学中的一种基础工具，它描述了自然界中的许多现象，例如物理学中的运动、力学、电路等等。
那么如何判断一个微分方程解的稳定性呢？这就需要用到微分方程稳定性定理。
微分方程稳定性定理是微分方程理论中的一个基础定理，通过研究微分方程的解的奇点的性质，可以判断微分方程的解的稳定性。
微分方程的解的稳定性与它的初值条件和参数有关。
下面我们来详细介绍微分方程稳定性定理。
首先，我们来看一个简单的微分方程的例子：$y'=-y$这个微分方程的解为$y=Ce^{-x}$，其中$C$为常数，在不同的初值条件下，这个微分方程的解会发生不同的情况。
如果初值条件为$y(0)>0$，那么解曲线将呈现出一种渐近逼近某个值的趋势，也就是我们所说的稳定性；如果初值条件为$y(0)<0$，那么解曲线将呈现出一种指数增长的趋势，也就是我们所说的不稳定性。
对于一个一阶微分方程$\frac{dy}{dx} = f(x,y)$，如果它的所有解在某一点$(x_0,y_0)$处存在且唯一，而且$f(x_0,y_0)=0$，那么称这个点$(x_0,y_0)$为微分方程的一个奇点。
奇点可以分为以下三类：1.鞍点若在$(x_0,y_0)$附近的任意一个点$(x,y)$，都有$f(x,y)\neq0$，那么$(x_0,y_0)$就是鞍点，这个点是微分方程的不稳定平衡点。
2.稳定平衡点若在$(x_0,y_0)$附近的所有点$(x,y)$，都有$f(x,y)$的符号相同，那么$(x_0,y_0)$就是稳定平衡点，这个点是微分方程的稳定平衡点。
3.不稳定平衡点若在$(x_0,y_0)$附近的所有点$(x,y)$，都有$f(x,y)$的符号不同，那么$(x_0,y_0)$就是不稳定平衡点，这个点是微分方程的不稳定平衡点。
接下来我们来介绍微分方程稳定性定理，微分方程稳定性定理包含了两个基本的结论：稳定性定理和不稳定性定理。