边界元法课件
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有限元和边界元方法 共33页
√
泊松方程的有限元方法(6/11)
有限元方程(关于 um 的线性方程组)
, j：电荷和电流密度，u,A：标势和磁矢
d：体积元
电磁学的作用量是时间积分
S t2 Ldt t1
运动方程由泛函的的极小值决定(即 S 0 )
√
物理问题的变分原理(3/3)
例：静电场的泊松方程
第一类边界条件
x 2u 2 y 2u 2f(x,y), u(x,y)u0(x,y) 等价的变分问题为求解泛函的极值问题
计算物理
有限元和边界元方法
125.217.162.13/lesson/ComputationalPhysics
有限元和边界元方法
物理问题的变分原理 泊松方程的有限元方法 扩散方程的有限元方法 波动方程的有限元方法 边界积分方程 边界元近似 单一边界下的边界元法 两种介质的边界元方法
n
等价的变分问题为求解泛函的极值问题
J ( u ){ 1 [ u ( ) 2 ( u ) 2 ] f} d x u d y ( 12 u ) u d s
2 x பைடு நூலகம்y
2
边界条件包含泛函中：自然边界条件 √
泊松方程的有限元方法(1/11)
B
静电场中二维泊松方程的有限元方法
√
物理问题的变分原理(1/3)
有限元方法
基于变分原理的离散化方法——部分逼近地离散化 划分整体区域为有限个基本块(单元) 在单元上插值逼近，得到结构简单的函数集(有限元空 间，是泛函 J(y) 的定义域的子集)
将边值问题转化为泛函的极值问题 在有限元空间中寻找泛函 J(y) 的极小值，作为近似解
06有限体积法、有限元法、边界元法.ppt [修复的]
![06有限体积法、有限元法、边界元法.ppt [修复的]](https://img.taocdn.com/s3/m/22cb5fcc9ec3d5bbfd0a74dc.png)
设
t t
t
0 TP dt fTP 1 f TP dt
f 0,1 权系数
则
a PTP a E fTE 1 f
0 aP
1 f a E
a fT 1 f a T
0 TE W W 0 P
W
1 f
q wds
j j 1 j
n
引入记号
w n ds j H ij w ds c i n j
j i j i
Gij
j
wds
则
H u G q
ij j ij j 1 j 1
n
n
j
或写成矩阵形式
a.常数单元（1节点）
取单元中点为节点,则
u const q const
b.线性单元（2节点） 取单元两端点为节点,则
j 1 1 j1
2 j 1 1 j2 2 u j u1j1 u 2j 2
q j q1j1 q 2j 2
令
Ke Kw aE , aW x E x w a P a E aW , b S x
则
a PTP a E TE aW TW b d
或
aPTP
a
nbT
b d
足标nb表示相邻节点.
d 或d 标准形式
将分成j 1,2,..., n个直线段称为单元。 u 设待求函数u及导数q 的逼近函数为 n
u q x y
j j
ji ui
j j j
边界元法1_275007510
Zheng Xiaoping 2014
1. 引言
1.5 参考资料
郑小平：《边界元方法》PPT课件. 姚振汉：边界元法，高等教育出版社，2010. 杜庆华等：边界积分方程边界元法， 高等教育出版社，1989. 稽醒等： 边界元进展及通用程序，同济大学出版社，1997. Aliabadi MH. The Boundary Element Method, Vol. 2, Applications in Solids and Structures. Wiley, NY, USA, 2002.
对于椭圆问题，边界积分方程被公认为是达到了数学 形式的最高境界。
Zheng Xiaoping 2014
1. 引言
1.2 边界积分方程发展过程
间接边界积分方程方法：求解的边界未知量并不是 原问题未知场变量的边界值，而是为求解而引进的辅 助变量，例如对于位势问题引进的单层势和双层势。 间接边界积分方程方法的早期工作： 位势问题：A. M. O. Smith & J. Pierce (1958), J. L. Hess (1962), M. A. Jaswon (1963), G. T. Symm (1963), M. A. Jaswon & A. R. Ponter (1963。 弹性力学问题：M. A. Jaswon (1963), C. E. Massonet (1965), E. R. A. Oliveira (1968), G. Rieder (1968), R. Butterfield & P. K. Bannerjee(1970等。
1. 引言
1.1 边界元方法概述
边界元法： 首先将对应的数学物理问题转化为边界积分方程 形式，然后采用边界单元离散和分片插值技术将 边界离散为边界单元，将边界积分方程离散为代 数方程组，再采用数值方法求解得到原问题边界 积分方程的数值解。它是求解工程与科学问题的 常用数值分析方法之一。
边界元
0
xp
1
d 2u s EA 2 x, x p 0 dx
（1-9）
xp 为源点，x 为场点。 位移解为： a
a xp a x 2 EAa s u x, x p a xp a x 2 EAa x x p ,a
（1-10）
Q Q
（1-2）
1-21
1.2 边界积分方程方法简例
2.预备知识: 基本解
基本解在边界元方法中起着重要的作用. 在数学上, 把满足微分方程:
L u* P, Q P, Q 0
u * P, Q 定义为方程
L u* P, Q 0
（1-3）
（1-4）
的基本解. 其中L为线性微分算子, P和Q为域内的任一两点. 基本解可以这样 理解为: 在P点存在单位强度“源”时， 对域内任一点Q产生的影响。
1-3
1.1 边界元方法的发展及其特点
1976年, Lachat JC 和 Waston JO 提出了有效的3D弹性力学的边界元数值方
法(Int. J. Numer. Meth. Engng 1976; 10:991-1005).
一些专集也相继出现, 促进了边界元方法的发展. 比较有名的有: • Cruse A. 和 Rizzo FJ. (1975) 出版了边界元专集. • Banerjee PK (1979-1986) 出版了边界元专集I-IV. • 目前, 有许多国际期刊刊登边界元方面的文章, 如:
u 0 Tu s x,0
aa l a2 1 1 T l T 0 u l u 0 2 EAa 2 EAa 2 2 a l a 1 1 T l T 0 u l u 0 2 EA 2 EA 2 2
11_边界元法
u1 u U 2 un
q1 q Q 2 qn
=
(2.38)
8
2012/10/22
以细线为参考，导入下列部分矩阵
H11 H H1 = 21 H n1 H12 H1l H 22 H 2l H n 2 H nl
2012/10/22
按积分中值公式 θ 其中的 α (2.22)
等号右边的第二项 lim
→ ∗ ∗
, , Γ
Γ (2.25)
为圆弧上某一点。又因为 lim ln
→
1
0
(2.23)
等号右边的第四项 lim
→ ∗
所以 lim
→ ∗
,
Γ Γ (2.26)
, ln 1 α
Γ 0 (2.24)
lim
→
1 lim → 2
0 P Q ， P=Q
(1.3)
它的值由 (观察点)和 (源点)两点的相对位置决 定，所以叫做二点函数。二维、三维场合，拉克 函数的性质可以写成 =1
一维狄拉克 函数如图所示， 点(观察点)和 点(源 点)的坐标分别以 和 表示。它具有下列性质：
(1.6) (1.7)
在区域 内 不在区域 内 二维时为面积分，三维时为体积分。
lim
→
1 1 ln 2 1 1 ln 2
和 的方向相同，有 1 所以， lim
→ ∗
等号右边的第五项 lim
→ ∗
, ,
Γ Γ
(2.28)
, 1
Γ
lim
→
∗
lim
→
1 2 1 2 ′ α
把上述结果代入式（2.20），得 (2.27)
岩石力学-边界元法
第三节 边界元法
边界元法有直接法和间接法两种，直接 边界元法是以互等功原理为基础建立起来的， 而间接边界元法是以叠பைடு நூலகம்原理为基础建立基 本方程。
1、直接边界元法基本方程 2、间接边界元法基本方程 3、边界元法求解平面问题的步骤
①在所求解问题的边界上划分边界单元，不考 虑无穷远处的边界。
②将各单元的原岩应力反向作用于面单元（平 面或曲面）。
③用边界元法基本方程求解各边界单元上 的作 用力及位移，所得位移为边界点的真实位移。
④内点应力与位移求解。
返回
边界元法有直接法和间接法两种，直接 边界元法是以互等功原理为基础建立起来的， 而间接边界元法是以叠பைடு நூலகம்原理为基础建立基 本方程。
1、直接边界元法基本方程 2、间接边界元法基本方程 3、边界元法求解平面问题的步骤
①在所求解问题的边界上划分边界单元，不考 虑无穷远处的边界。
②将各单元的原岩应力反向作用于面单元（平 面或曲面）。
③用边界元法基本方程求解各边界单元上 的作 用力及位移，所得位移为边界点的真实位移。
④内点应力与位移求解。
返回
边界元法
表 量曲E面外(外r)其 n它，电且荷为产已生知的量电。位(5移.9矢)式量把在边曲界面面上上的的法未向分知
电荷之间的关系以及与其它已知电荷之间的关系联系在
一起。
(先r)用的边分界 布，元再法取解积T＝分l方的程(5式.8()5式.9计)，算求区得域面V'电内荷的密场度。
如果考查区内只有带电导体而无其它电荷分布，应去
( yi ( yi ( yi ( yi
y j ) yi y j )2
y j ) yi y j )2
, ,
x
i
a cos
i
0.5
N
,
yi
a sin
i
0.5 ,
N
(5.13)
(5.12)式的这 8 个线性代数方程是齐次的，必有一个方程是不独
立的。我们还差一个方程。把(5.10)式在 r=0 处作相似的离散处
r V ' S'
得：T (r )
1
4
V'
(r') dV '
R
1
4
S'
(r' )n'
R R3
1 R
(r' )
n'
dS'
(6)
当r V '时T 1的这个公式在电动力学教科书中都能找到。(6) 式 场就(r是)与与边泊界松上方的程场对应(r的')及格林(函r'数) 联积系分在形一式起解。。它把区域内的
T (r)
1
4
V '
有限元法与边界元法ppt
⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪⎭
=
⎪⎪3 f ⎪⎨3 f ⎪⎩
+ 6g + 6g
U
+ 6U ⎪⎪
+
6U
⎬ ⎪
⎪⎭
解得 u2 = u3 = U + g + f/2 与解析解及例5.3计算结果完全相同
问题：区域边界形状复杂时，寻找满足需要的插值基函数十分困难。
思路：将求解区域划分为形状规则的小区域，进行分片插值 →有限单元法的思想。
2
，则 u2 = u(1) = U + g + f/2
17
∑ 如何使近似解
u~ =
n
j=1 α j φ j 满足第一类边界条件 u Γ1
=u
？
如果区域边界形状规则，可在区域上选择n个结点，以结 点函数值构成插值函数作为近似解：
∑ u~ = n u jφ j （uj代替了αj） j =1
例5.3 用伽辽金法求解一维泊松方程
13
∫ ∫ 1 0
⎜⎜⎝⎛
−
d 2u dx 2
−
f
⎟⎟⎠⎞ δudx = −δu
du dx
1 0
+
1 ⎜⎛ du dδu − fδu ⎟⎞dx = 0
0 ⎝ dx dx
⎠
∫ ∫ ∫ 1 ⎜⎛ du dδu ⎟⎞dx =
1 fδudx + δu du 1 =
1
fδudx + δu(1)g
0 ⎝ dx dx ⎠
Ω
∇
•
(δu∇u )dΩ
=
∫
Γ
δu
∂u dS ∂n
所以
( ) ∫ ∫ ∫ δu − ∇ 2u dΩ = ∇u • ∇δudΩ − δu ∂u dS
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模拟算例
耦合轧制接触模型－边界元法
陈一鸣在肖宏和黄庆学等人基础上 给出3维弹塑性摩擦接触边界元法及滚动轧
制FORTRAN源程序 将板带的弹塑性变形同轧辊弹性变形耦联
起来，“同时”、“并行”模拟轧制过 程 给出了9组不同轧制参数、宽厚比为200板 带冷轧过程数值模拟结果 带材边部出现了明显的“猫耳”形凸峰
弹塑性BEM
陈政清博士给出弹塑性大变形边界元法 完成了拉伸试件颈缩定量数值模拟
肖宏博士建立三维弹塑性有限形变边界元 法和轧制过程模拟边界元法源程序
给出板带轧制过程变形－面力－应力场 很好的处理奇异问题
规模局限性
典型边界元法计算结构（边界积分方程－影响系 数数值积分－矩阵方程及消去法求解）局限性
系数积分计算和方程组的求解时间长，占用大量 的计算机内存和主机CPU的时间
裂纹的生成及扩展 流体运动 骨骼生长
接触问题等研究领域
Байду номын сангаас
国内简史
在国内，1978年起步 杜庆华院士
率先推动工程中边界元法
冯康、胡海昌、何广乾院士等 加入到边界元法的研究者行列
我国边界元法研究得到了迅速的发展
研究起点和热点
我国大部分工程中边界元法 固体力学方面开始
后迅速转入非线性问题领域 出版自然边界元法1993
户泽－石川轧制模型
柳本－木内轧制模型
20世纪90年代初 柳本潤和木内学给出拉格朗日乘数3维刚塑性有
限元法和流线速度接触弹性有限元法耦合计算 宽厚比为15和238 给出变形区内三维6个应力分量分布 单位轧制压力分布图中看到 “猫耳”形凸峰趋
势 显出变形区入口和出口单位轧制压力不等于零 （刚塑性有限元法模拟带钢变形的结果）
1）分域法 2）网络并行法 3）多极展开法
2. 多极边界元法
多极展开法
（Fast Multipole Methods，简称FMM方法） 求和项的近似计算方法
计算的近似程度和展开的项数密切相关 直接计算的计算量和n2成正比 上世纪80年代后期
Greengard等 提出快速多极展开法，基于球谐函 数在空间中的多级展开，采用递归算法结构使 计算量级降为一阶
式适用于2维弹性问题边界元法中，模拟了复合 材料不同粒子变形－应力场 燕山大学申光宪教授课题组将域多极展开法扩展 至边界展开法，给出3维弹塑性摩擦接触多极边 界元法，完成四辊轧机板带轧制模拟计算
3. 轧制工程中边界元法
轧制理论
板带和轧辊耦合轧制理论
重要的研究方向－轧制过程数值模拟
有限差分法 主要的方法有：有限元法
抵消边界元法降维特性
对单一三维弹性体静力学问题，当离散网格节点 数超过2000时，因计算时间过长而失去可行性
工程接触问题的矛盾更加突出，如果再叠加弹塑 性和摩擦非线性，在微机上将无法得到收敛解
研究热点与方向
边界元法发展至关重要问题 扩大运算规模提高计算效率 普遍注意到边界元法求解过程 运算量主要集中在两个方面 影响系数计算和方程组求解法
最近，Greengard and Rokhlin提出了三维多极 展开法，并且将其运算等价点降为 n O(10 2 )
多极边界元法简史
G. etal给出二维双调和方程的多极边界元法 Peirce and Napier给出二维线弹性Navier方程
多极边界元法，计算效率较差 Sangani and Mo对三维低雷诺数方程（Stokes’s
轧制压力分布
接触区表面摩擦力分布
Contact zone L/mm
7
6
5
4
3
2
0
20
40
60
80 100 120 140 160
Distance from center B/mm
压下率与轧制压力关系（横向）
压下率与轧制压力关系（纵向）
耦合轧制理论动态
边界元法
板带和轧辊轧制理论回顾
起始于20世纪40年代
Hitchcock给出轧辊弹性压扁公式
20世纪50年代
Stone提出平板压缩与Hitchcock压扁公式相结合 的二维薄带轧制耦合理论、轧制力公式及最少 可轧厚度公式
20世纪80年代
户泽康寿与石川孝司首次用有限差分法求解3维 轧制控制方程，给出了轧制变形区三维变形场 和应力、面力场
弹塑性BEM
弹塑性问题的边界元法
Swedlow Cruse 和Mendelson上世纪70年代初分 别给出二维弹塑性问题的边界积分方程
Mukherje和Kumar提出平面问题公式中的错误并 作了修正
Tells和Brebbia给出了边界应力的计算方法和奇 异积分的数值处理方案。
岑章志博士采用初应力形式给出三维弹塑性问题 边界元法，取得奇异积分的计算法及加速收敛 方法
边界元法
Boundary Element Method
第一章 绪 论
工程中边界元法
边界积分方程＋离散法
当代三大数值解法之一
边界元法特征
奇异降维数值解法
2阶微分方程－转换－边界积分方程
降维 降阶 奇异
矩阵非对称 满阵
边界元法发展史
始于1978年
Brebbia [1] C. A.等（英国南安普敦大学）
方程）的积分方程适应多极展开法，或者使多 极展开法适应积分方程，上述适应变换是繁琐 而往往使问题特殊化，因为刚性质点，不能扩 展到三维线弹性问题 Greenbaum etal的多极边界元法方法不能扩展到 三维问题
国内多极边界元法
近几年在国内 银燕等将多极展开法用于无网格等离子体静电模
粒子的模拟 王浩刚对多极展开法中不变项的计算进行了优化 清华大学姚振汉教授课题组率先将泰勒级数展开
1999年底 清华大学的姚振汉教授在国内介绍了 多极展开法在边界元法的应用
多极展开法
FMM法来源于计算电荷集中各个电荷间相互作用 力的方法，如二维静电模等离子体粒子模拟
Rokhlin将多极展开法用于Laplace’s边界积分 方程的迭代求解
在二维问题中运算等价点是 n O(10 2 ) 三维椭圆边值问题中等价点是 n O(10 3 10 4 )
《边界元法的基础和应用》
跻身于 当代计算力学数值解析理论与工具 （有限差分法、有限元法、边界元法）之林
应用领域
土木建筑工程 机械工程 海洋工程 航天工程 环境工程
强、弱电工程 生物工程
推动各工程理论解析和创新技术的发展 发挥了巨大作用
1.简史
边界元法有了迅速的发展
（高性能、大容量微机出现）
大型和非线性科学工程 结构静力学