2018版高考数学理科(全国通用)总复习：中档大题规范练4含解析
高考真题汇编理科数学解析版4：数列.doc
2018高考真题分类汇编：数列一、选择题1.【2018高考真题重庆理1】在等差数列}{n a 中，12=a ，54=a 则}{n a 的前5项和5S = A.7 B.15 C.20 D.25【答案】B【解析】因为12=a ，54=a ，所以64251=+=+a a a a ，所以数列的前5项和156252)(52)(542515=⨯=+=+=a a a a S ,选B. 2.【2018高考真题浙江理7】设n S 是公差为d （d ≠0）的无穷等差数列﹛a n ﹜的前n 项和，则下列命题错误的是A.若d ＜0，则数列﹛S n ﹜有最大项B.若数列﹛S n ﹜有最大项，则d ＜0C.若数列﹛S n ﹜是递增数列，则对任意*N n ∈，均有0>n S D. 若对任意*N n ∈，均有0>n S ，则数列﹛S n ﹜是递增数列【答案】C【解析】选项C 显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…．满足数列{S n }是递增数列，但是S n ＞0不成立．故选C 。
3.【2018高考真题新课标理5】已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7【答案】D【解析】因为}{n a 为等比数列，所以87465-==a a a a ，又274=+a a ，所以2474-==a a ，或4274=-=a a ，.若2474-==a a ，，解得18101=-=a a ，，7101-=+a a ；若4274=-=a a ，，解得18110=-=a a ，，仍有7101-=+a a ，综上选D.4.【2018高考真题上海理18】设25sin 1πn n a n =，n n a a a S +++= 21，在10021,,,S S S 中，正数的个数是（ ）A ．25B ．50C ．75D ．100【答案】D【解析】当1≤n ≤24时，n a ＞0，当26≤n ≤49时，n a ＜0，但其绝对值要小于1≤n ≤24时相应的值，当51≤n ≤74时，n a ＞0，当76≤n ≤99时，n a ＜0，但其绝对值要小于51≤n ≤74时相应的值，∴当1≤n ≤100时，均有n S ＞0。
2018版考前三个月高考数学理科(全国通用)总复习文档：中档大题规范练2 Word版含解析
2.数 列1.(2017·原创押题预测卷)已知S n ＝na 1＋(n －1)a 2＋…＋2a n －1＋a n ，n ∈N *. (1)若{a n }是等差数列，且S 1＝5，S 2＝18，求a n ； (2)若{a n }是等比数列，且S 1＝3，S 2＝15，求S n .解 (1)设{a n }的公差为d ，则S 1＝a 1＝5，S 2＝2a 1＋a 2＝10＋a 2＝18， 所以a 2＝8，d ＝a 2－a 1＝3，a n ＝5＋3(n －1)＝3n ＋2.(2)设{a n }的公比为q ，则S 1＝a 1＝3，S 2＝2a 1＋a 2＝6＋a 2＝15， 所以a 2＝9，q ＝a 2a 1＝3，a n ＝3×3n －1＝3n ，所以S n ＝n ×3＋(n －1)×32＋…＋2×3n －1＋3n ，① 3S n ＝n ×32＋(n －1)×33＋…＋2×3n ＋3n ＋1，②②－①，得2S n ＝－3n ＋(32＋33＋…＋3n )＋3n ＋1＝－3n ＋32(1－3n －1)1－3＋3n ＋1＝－3n －92＋3n ＋12＋3n ＋1＝3n ＋2－6n －92，所以S n ＝3n ＋2－6n －94.2.(2017届黑龙江虎林一中月考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＝5，S 3＝9. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }的前n 项和为T n ，若q >0且b 3＝a 5，T 3＝13，求T n ； (3)设c n ＝1a n a n ＋1，求数列{c n }的前n 项和S n .解 (1)⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1＋2d ＝5，S 3＝3a 1＋3×22d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.(2)由题意可知，b 3＝a 5＝9，T 3＝13，所以公比q ＝3， 从而b 1＝1，所以T n ＝b 1(1－q n )1－q ＝1×(1－3n )1－3＝12(3n－1).(3)由(1)知，a n ＝2n －1.所以c n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，所以S n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.3.(2017·广东七校联考)设数列{a n }的前n 项之积为T n ，且log 2T n ＝n (n －1)2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝λa n －1(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项之和为S n .若对任意的n ∈N *，总有S n ＋1>S n ，求实数λ的取值范围.解 (1)由log 2T n ＝n (n －1)2，n ∈N *，得T n ＝(1)22n n -，所以T n －1＝(1)(2)22n n --(n ∈N *，n ≥2)，所以a n ＝T nT n －1＝(1)(1)(1)(2)222(1)(2)2222n n n n n n n n -------=＝2n －1，n ∈N *，n ≥2.又a 1＝T 1＝20＝1，所以a n ＝2n －1，n ∈N *.(2)由b n ＝λa n －1＝λ2n －1－1，得S n ＝λ·1－2n 1－2－n ＝()2n－1λ－n ，所以S n ＋1>S n ⇔()2n ＋1－1λ－()n ＋1>()2n －1λ－n ⇔2n λ>1⇔λ>12n ，因为对任意的n ∈N *，12n ≤12，故所求的λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 4.(2017·湖北黄冈质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，向量a ＝(S n ，n )，b ＝(9n －7，2)，且a 与b 共线.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中落入区间(9m ，92m )内的项的个数记为b m ，求数列{b m }的前m项和T m .解 (1)a 与b 共线，S n ＝n (9n －7)2＝92n 2－72n ，a 1＝1，a n ＝S n －S n －1＝9n －8，n ≥2，所以a n ＝9n －8，n ∈N *. (2)对m ∈N *，若9m ＜a n ＜92m ， 则9m ＋8＜9n ＜92m ＋8. 因此9m －1＋1≤n ≤92m －1.故得b m ＝92m －1－9m －1.于是T m ＝b 1＋b 2＋…＋b m＝(9＋93＋…＋92m －1)－(1＋9＋…＋9m －1)＝9(1－81m )1－81－1－9m 1－9＝9×92m ＋1－10×9m80.5.(2017·原创押题预测卷)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ·3n3n －1(n ≥1，n ∈N *).(1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)求证：对任意的自然数n ∈N *，不等式a 1·a 2·…·a n ＜2·n ！成立. (1)解 将n ＝1，2，3代入可得a 1＝32，a 2＝94，a 3＝8126.(2)证明 由a n ＝n ·3n 3n －1＝n1－13n(n ≥1，n ∈N *)可得a 1·a 2·…·a n ＝n ！⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－132…⎝⎛⎭⎫1－13n ，因此欲证明不等式a 1·a 2·…·a n ＜2·n ！成立，只需要证明对任意非零自然数n ，不等式⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－132…⎝⎛⎭⎫1－13n ＞12恒成立即可，显然左端每个因式都为正数，因为1－⎝⎛⎭⎫13＋132＋…＋13n ＝1－13⎝⎛⎭⎫1－13n 1－13＝1－12⎝⎛⎭⎫1－13n ＞1－12＝12. 故只需证明对每个非零自然数，不等式⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－132…⎝⎛⎭⎫1－13n ≥1－⎝⎛⎭⎫13＋132＋…＋13n 恒成立即可.(*)下面用数学归纳法证明该不等式成立： ①显然当n ＝1时，不等式(*)恒成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时不等式(*)也成立，即不等式⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－132…⎝⎛⎭⎫1－13k ≥1－⎝⎛⎭⎫13＋132＋…＋13k 成立. 那么当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－132…⎝⎛⎭⎫1－13k ⎝⎛⎭⎫1－13k ＋1≥⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13＋132＋…＋13k ⎣⎡⎦⎤1－13k ＋1，即⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－132…⎝⎛⎭⎫1－13k ＋1≥1－⎝⎛⎭⎫13＋132＋…＋13k －13k ＋1＋13k ＋1⎝⎛⎭⎫13＋132＋…＋13k ，注意到13k ＋1⎝⎛⎭⎫13＋132＋…＋13k ＞0，所以⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－132…⎝⎛⎭⎫1－13k ＋1≥1－⎝⎛⎭⎫13＋132＋…＋13k ＋13k ＋1，这说明当n ＝k ＋1时，不等式(*)也成立.因此由数学归纳法可知，不等式(*)对任意非零自然数都成立，即⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－132…⎝⎛⎭⎫1－13n ≥1－⎝⎛⎭⎫13＋132＋…＋13n ＞12恒成立，故不等式a 1·a 2·…·a n ＜2·n ！对任意非零自然数都成立.6.(2017·北京)设{a n }和{b n }是两个等差数列，记c n ＝max{b 1－a 1n ，b 2－a 2n ，…，b n －a n n }(n ＝1，2，3，…)，其中max{x 1，x 2，…，x s }表示x 1，x 2，…，x s 这s 个数中最大的数. (1)若a n ＝n ，b n ＝2n －1，求c 1，c 2，c 3的值，并证明{c n }是等差数列；(2)证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n ≥m 时，c nn >M ；或者存在正整数m ，使得c m ，c m ＋1，c m ＋2，…是等差数列. (1)解 c 1＝b 1－a 1＝1－1＝0，c 2＝max{b 1－2a 1，b 2－2a 2}＝max{1－2×1，3－2×2}＝－1，c 3＝max{b 1－3a 1，b 2－3a 2，b 3－3a 3}＝max{1－3×1，3－3×2，5－3×3}＝－2. 当n ≥3时，(b k ＋1－na k ＋1)－(b k －na k )＝(b k ＋1－b k )－n (a k ＋1－a k )＝2－n ＜0， 所以b k －na k 在k ∈N *时单调递减.所以c n ＝max{b 1－a 1n ，b 2－a 2n ，…，b n －a n n }＝b 1－a 1n ＝1－n . 所以对任意n ≥1，c n ＝1－n ，于是c n ＋1－c n ＝－1， 所以{c n }是等差数列.(2)证明 设数列{a n }和{b n }的公差分别为d 1，d 2，则b k －na k ＝b 1＋(k －1)d 2－[a 1＋(k －1)d 1]n ＝b 1－a 1n ＋(d 2－nd 1)(k －1).所以c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b 1－a 1n ＋(n －1)(d 2－nd 1)，d 2＞nd 1，b 1－a 1n ，d 2≤nd 1.①当d 1＞0时，取正整数m ＞d 2d 1，则当n ≥m 时，nd 1＞d 2，因此，c n ＝b 1－a 1n ，此时，c m ，c m ＋1，c m ＋2，…是等差数列. ②当d 1＝0时，对任意n ≥1，n ∈N *，c n ＝b 1－a 1n ＋(n －1)max{d 2，0}＝b 1－a 1＋(n －1)(max{d 2，0}－a 1). 此时，c 1，c 2，c 3，…，c n ，…是等差数列. ③当d 1＜0时，当n ＞d 2d 1时，有nd 1＜d 2，所以c n n ＝b 1－a 1n ＋(n －1)(d 2－nd 1)n ＝n (－d 1)＋d 1－a 1＋d 2＋b 1－d 2n≥n (－d 1)＋d 1－a 1＋d 2－|b 1－d 2|. 对任意正数M ，取正整数m ＞max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫M ＋|b 1－d 2|＋a 1－d 1－d 2－d 1，d 2d 1， 故当n ≥m 时，c nn＞M .。
2018版考前三个月高考数学理科(全国通用)总复习文档：中档大题规范练5
5.坐标系与参数方程1.(2017·江苏)在平面直角坐标系中xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.解 直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0， 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2，22s )，从而点P 到直线的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|5＝|2(s －2)2＋4|5，当s ＝2时，d min ＝455. 因此当点P 的坐标为(4，4)时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值455.2.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝6sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(1，2)，求||P A ＋||PB 的最小值. 解 (1)由ρ＝6sin θ，得ρ2＝6ρsin θ， 化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝6y ， 即x 2＋(y －3)2＝9.(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得t 2＋2(cos α－sin α)t －7＝0， 由Δ＝(2cos α－2sin α)2＋4×7>0， 故可设t 1，t 2是上述方程的两根，所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝－2()cos α－sin α，t 1·t 2＝－7，又直线l 过点()1，2， 故结合t 的几何意义得||P A ＋||PB ＝||t 1||＋t 2||＝t 1－t 2＝()t 1＋t 22－4t 1t 2＝4()cos α－sin α2＋28＝32－4sin 2α≥32－4＝27， 所以||P A ＋||PB 的最小值为27.3.在直角坐标系xOy 中，已知点P ()0，3，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数).以原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ＝32cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6.(1)判断点P 与直线l 的位置关系并说明理由； (2)设直线l 与曲线C 的两个交点分别为A ， B ，求1||P A ＋1||PB 的值. 解 (1)点P 在直线上，理由如下： 直线l ：ρ＝32cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6，即2ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝3， 即3ρcos θ＋ρsin θ＝3，所以直线的直角坐标方程为3x ＋y ＝3，易知点P 在直线上.(2)由题意，可得直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－12t ，y ＝3＋32t ，(t 为参数)，曲线C 的普通方程为x 22＋y 24＝1，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程， 得2⎝⎛⎭⎫－12t 2＋⎝⎛⎭⎫3＋32t 2＝4， ∴5t 2＋12t －4＝0，两根为t 1， t 2， ∴t 1＋t 2＝－125，t 1t 2＝－45＜0，故t 1与t 2异号， ∴||P A ＋||PB ＝||t 1－t 2＝()t 1＋t 22－4t 1t 2＝4145， ∴||P A ||PB ＝|t 1||t 2|＝－t 1t 2＝45，∴1||P A ＋1||PB ＝||P A ＋||PB ||P A ||PB ＝14. 4.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数).以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ. (1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 3的极坐标方程为θ＝α(0＜α＜π，ρ∈R )，点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ， B 均异于原点O ，且||AB ＝42，求α的值.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ可得C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.∵ρ＝4sin θ， ∴ρ2＝4ρsin θ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 得曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4. (2)由(1)得曲线C 1：(x －2)2＋y 2＝4， 其极坐标方程为ρ＝4cos θ， 由题意设A (ρ1，α)， B (ρ2，α)， 则||AB ＝||ρ1－ρ2＝4||sin α－cos α＝42⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝42， ∴ sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝±1， ∴ α－π4＝π2＋k π(k ∈Z )，又 0＜α＜π， ∴ α＝3π4.5.已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，C 2：⎩⎨⎧x ＝－32t ，y ＝233＋t 2(t 为参数).(1)曲线C 1，C 2的交点为A ，B ，求||AB ；(2)以原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，过极点的直线l 1与曲线C 1交于O ， C 两点，与直线ρsin θ＝2交于点D ，求||OC ||OD 的最大值. 解 (1)方法一 曲线C 1：(x －1)2＋y 2＝1， 将C 2的参数方程代入，得⎝⎛⎭⎫－32t －12＋⎝⎛⎭⎫233＋t 22＝1，化简得，t 2＋533t ＋43＝0，所以||AB ＝||t 1－t 2＝()t 1＋t 22－4t 1t 2＝3.方法二 曲线C 2的直角坐标方程为y ＝－33x ＋233， 过点()2，0， C 1过点()2，0，不妨令A ()2，0， 则∠OBA ＝90°， ∠OAB ＝30°， 所以||AB ＝2×32＝ 3. (2)C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ， 令l 1的极角为α，则||OD ＝ρ1＝2sin α，||OC ＝ρ2＝2cos α，||OC ||OD ＝sin αcos α＝12sin 2α≤12，当α＝π4时取得最大值12.6.(2017·四川大联盟三诊)已知α∈[)0，π，在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)；在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 2的极坐标方程是ρcos ()θ－α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6. (1)求证：l 1⊥l 2；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3， P 为直线l 1， l 2的交点，求||OP ·||AP 的最大值. (1)证明 易知直线l 1的普通方程为x sin α－y cos α＝0. 又ρcos ()θ－α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6可变形为 ρcos θcos α＋ρsin θsin α ＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，即直线l 2的直角坐标方程为 x cos α＋y sin α－2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝0. 因为sin α·cos α＋()－cos αsin α＝0， 根据两直线垂直的条件可知， l 1⊥l 2. (2)解 当ρ＝2， θ＝π3时，ρcos ()θ－α＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6， 所以点A ⎝⎛⎭⎫2，π3在直线ρcos ()θ－α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6上. 设点P 到直线OA 的距离为d ，由l 1⊥l 2可知， d 的最大值为||OA 2＝1.于是||OP ·||AP ＝d ·||OA ＝2d ≤2， 所以||OP ·||AP 的最大值为2.。
2018届高考数学理科全国通用一轮总复习 规范答题-大题突破课三 精品
2Tn=2×22+5×23+…+(3n-1)×2n+1,
两式相减得-Tn=4+3×22+…+3×2n-(3n-1)×2n+1
12 1 2n1
4
3n 1 2n1
1 2
=-8-(3n-4)2n+1,
所以Tn=(3n-4)2n+1+8.
题型二 数列与函数、不等式综合
【真题示例】(12分)(2015·安徽高考)设n∈N*,xn是 曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标.
m
1 2n2
对于
n∈N*恒成立,求实数m的最大值.
【解析】(1)由S4=S2+12得S4-
S2=a3+a4=a2q+a2q2=12,
又a2=2,所以q2+q-6=0,
解得:q=2或q=-3(舍),x故any=21n-1,
n 1 n 2
因点(nTTnn11+1,TTnnn)在12，直线
上,
所以
故 {Tn是} 以 =T11为首项, 为1公差的等差数列,
21 210 1…1…0…10…………2分 得分点⑥
1 2
2
=(211-2)+55
=211+53=2101.………………………1分 得分点⑦
【得分细则·答题规则】 第(1)问踩点说明(针对得分点①②③): ①利用基本量关系列出方程组得2分; ②解对方程组求出首项和公差得2分; ③写对通项公式得2分.
15,
……………………………………………2分 得分点①
解得 ad1…13. …, …………………………2分 得分点② 所以an=a1+(n-1)d=n+2.………………2分 得分点③
2018届高三数学(理人教版)二轮复习高考大题专攻练： 4 Word版含解析
高考大题专攻练4.数列(B组)大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！1.数列{a n}的前n项和记为S n，a1=t，点(a n+1，S n)在直线y=x-1上，n∈N*. 世纪金榜导学号92494440(1)当实数t为何值时，数列{a n}是等比数列？并求数列{a n}的通项公式.(2)若f(x)=[x]([x]表示不超过x的最大整数)，在(1)的结论下，令b n=f(log3a n)+1，c n=a n+，求{c n}的前n项和T n.【解析】(1)由题意得S n=a n+1-1，所以S n-1=a n-1，两式相减得a n=a n+1-a n，即a n+1=3a n，所以当n≥2时，数列{a n}是等比数列，要使n≥1时，数列{a n}是等比数列，则只需要=3，因为a1=a2-1，所以a2=2a1+2，所以=3，解得t=2，所以实数t=2时，数列{a n}是等比数列，a n=2·3n-1.(2)因为b n=f(log3a n)+1=[log3(2×3n-1)]+1，因为3n-1<2×3n-1<3n，所以n-1<log3(2×3n-1)<n，所以b n=n-1+1=n，所以c n=a n+=2×3n-1+=2×3n-1+，因为{a n}的前n项和为=3n-1，的前n项和为(1-+-+…+-)==-，所以T n=3n-1+-=3n--.2.已知等比数列{a n}满足a n+1+a n=9·2n-1，n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)设b n=na n，数列{b n}的前n项和为S n，若不等式S n>ka n-1对一切n ∈N*恒成立，求实数k的取值范围.【解析】(1)设等比数列{a n}的公比为q，因为a n+1+a n=9·2n-1，所以a2+a1=9，a3+a2=18，所以q===2.又2a1+a1=9，所以a1=3，所以a n=3·2n-1，n∈N*.(2)b n=na n=3n·2n-1，所以S n=3×1×20+3×2×21+…+3(n-1)×2n-2+3n×2n-1，所以S n=1×20+2×21+…+(n-1)×2n-2+n×2n-1，所以S n=1×21+2×22+…+(n-1)×2n-1+n×2n，所以-S n=1+21+22+…+2n-1-n×2n=-n×2n=(1-n)2n-1，所以S n=3(n-1)2n+3，因为S n>ka n-1对一切n∈N*恒成立，所以k<==2(n-1)+，令f(n)=2(n-1)+，则f(n+1)-f(n)=2n+-=2+-=2-=>0，故f(n)随着n的增大而增大，所以f(x)min=f(1)=，所以实数k的取值范围是.关闭Word文档返回原板块。
2018届高考数学理科全国通用一轮总复习 阶段总结-热考题型强化课四 精品
(2)由(1)可知,△CDE为等腰直角三角形,∠DCE= ,
4
如图,
过点D作DF⊥CE于点F,易知DF=FC=FE=1,又已知EB=1,
故FB=2.
由∠ACB= ,得DF∥AC, DF FB, 2
2
AC BC 3
故AC=3 DF=3 .
2
2
以C为坐标原点,分别以 CA,CB,的,CP方向为x轴,y轴,z轴的
1.(2015·重庆高考)如图,三棱锥P-ABC中,PC⊥平面
ABC,PC=3,∠ACB= .点D,E分别为线段AB,BC上的点,且
2
CD=DE= 2 ,CE=2EB=2. (1)证明:DE⊥平面PCD.
(2)求二面角A-PD-C的余弦值.
【解析】(1)由PC⊥平面ABC,DE⊂平面ABC, 故PC⊥DE. 由CE=2,CD=DE2= 得△CDE为等腰直角三角形,故 CD⊥DE. 由PC∩CD=C,DE垂直于平面PCD内两条相交直线,故 DE⊥平面PCD.
【解析】选B.由三视图可知该几何体为
如图所示的一个三棱柱上方被截去一个
三棱锥得到的.
由三视图中的相关数据易知,表面积为
1 34 35 1 2 54 1 2 55 1 35
2
2
2
2
6 15 14 35 15 60. 22
2.(2014·辽宁高考)某几何体的三视图如图所示,则该 几何体的体积为 ( )
所以A1D=CD23= AB=3 ,
在Rt△AA1D中,AA1=A1D2 AD2 3 1 2，
所以FC=1
2
AA1= 2
2
,
故三棱锥F-AEC的体积V=1
3
S△AEC×FC=13
× 3×
2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含解析版)
2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）=（）A．i B．C．D．2．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9B．8C．5D．43．（5分）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．4．（5分）已知向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=（）A．4B．3C．2D．05．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x6．（5分）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4B．C．D．27．（5分）为计算S=1﹣+﹣+…+﹣，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（）A．i=i+1B．i=i+2C．i=i+3D．i=i+48．（5分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）A．B．CD．10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π11．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）A．﹣50B．0C．2D．5012．（5分）已知F1，F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A 且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标II卷)-附答案解析
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．
A． B． C． D．
2．已知集合 ，则 中元素的个数为
A．9B．8C．5D．4
3．函数 的图像大致为()
A． B．
C． D．
8．C
【解析】
分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.
详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有 种方法，因为 ，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为 ，选C.
（1）证明： 平面 ；
（2）若点 在棱 上，且二面角 为 ，求 与平面 所成角的正弦值．
21．已知函数 ．
（1）若 ，证明：当 时， ；
（2）若 在 只有一个零点，求 的值.
22．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的参数方程为 （ 为参数）.
（1）求 和 的直角坐标方程；
（2）若曲线 截直线 所得线段的中点坐标为 ，求 的斜率．
分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.
详解：因为
所以 ，选A.
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.
7．B
【解析】
分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项.
A． B． C． D．
9．在长方体 中， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为
2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题(1、2、3卷)参考答案
2502018年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）理科数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题（共60分） 1-12 CBABD ABDCA BA第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题（共20分）13．6 14．63- 15．16 16．2-三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17─21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．（本小题满分12分） 解：（1）在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠. 由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，∴sin =5ADB ∠.由题设知，90ADB ∠<︒，∴cos ADB ∠==.（2）由题设及（1）知，cos sin 5BDC ADB ∠=∠=. 在BCD ∆中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC=+-⋅∠25825255=+-⨯⨯=.∴5BC =.18．（本小题满分12分） 解：（1）由已知可得，BF ⊥PF ，BF ⊥EF ，∴BF ⊥平面PEF .又BF ⊂平面ABFD ， ∴平面PEF ⊥平面ABFD . （2）作PH ⊥EF ，垂足为H . 由（1）得，PH ⊥平面ABFD .以H 为坐标原点，HF 的方向为y 轴正方向，BF 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H −xyz .由（1）可得，DE ⊥PE .又DP =2，DE =1，∴PE.又PF =1，EF =2，∴PE ⊥PF .可得3,22PH EH ==，且3(0,0,0),(0,0,1,,0)22H P D -，3(1,22DP =．3(0,0,)2HP =为平面ABFD 的法向量．设DP 与平面ABFD 所成角为θ，则3sin 4HP DP HP DPθ⋅==⋅. ∴DP 与平面ABFD所成角的正弦值为4． 19．（本小题满分12分） 解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1. 由已知可得，点A的坐标为(1,)2或(1,2-． ∴AM 的方程为20x -=或20x --=．（2）当l 与x 轴重合时， 0OMA OMB ∠=∠=︒．当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，∴OMA OMB ∠=∠．251当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，且11(,)A x y ，22(,)B x y，则12x x MA ，MB 的斜率之和为121222MA MB y yk k x x +=+--． 由1122,y kx k y kx k =-=-得 []()()12121223()422MA MB k x x x x k k x x -+++=--．将(1)(0)y k x k =-≠代入2212x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=． ∴22121222422=,2121k k x x x x k k -+=++，∴[]121223()4k x x x x -++3332441284021k k k k k k --++==+． 从而0MA MB k k +=，∴MA ，MB 的倾斜角互补， ∴OMA OMB ∠=∠． 综上，OMA OMB ∠=∠． 20．（本小题满分12分） 解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为221820()(1)f p C p p =-，且 21821720()[2(1)18(1)]f p C p p p p '=---217202(110)(1)C p p p =--．令()0f p '=，得0.1p =． 当(0,0.1)p ∈时，()0f p '>； 当(0.1,1)p ∈时，()0f p '<． ∴()f p 的最大值点为0.1p =． （2）由（1）知，0.1p =．（i ）令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知(180,0.1)Y B ，202254025X Y Y =⨯+=+．∴(4025)4025490EX E Y EY =+=+=．（ii ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元． 由于400EX >，∴应该对余下的产品作检验． 21．（本小题满分12分）解:（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，且22211()1a x ax f x x x x -+'=--+=-．（i ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2,1a x ==时，()0f x '=， ∴()f x 在(0,)+∞单调递减.（ii ）若2a >，令()0f x '=得，2a x -=或2a x +=.当2a a x ⎛⎛⎫+∈+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '<；当x∈⎝⎭时，()0f x '>. ∴()f x 在⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减，在⎝⎭单调递增．（2）由（1）知，()f x 存在两个极值点时，当且仅当2a >．由于()f x 的两个极值点12,x x 满足21=0x a x -+，∴121x x =，不妨设12x x <，则21x >． 1212()()f x f x x x --121212ln ln 11x x a x x x x -=--+-1212ln ln 2x x a x x -=-+-2522222ln 21x ax x -=-+-，∴1212()()2f x f x a x x -<--等价于 22212ln 0x x x -+<． 设函数1()2ln g x x x x=-+，由（1）知，()g x 在(0,)+∞单调递减，又(1)=0g ，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <． ∴22212ln 0x x x -+<，即 1212()()2f x f x a x x -<--．（二）选考题：22. （本小题满分10分）[选修4—4：坐标系与参数方程]解:（1）由cos ,sin x y ρθρθ==得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=． （2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为2，2=，解得43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，2=，故0k =或43k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为423y x =-+．23．（本小题满分10分） [选修4—5：不等式选讲] 解：（1）当1a =时，()11f x x x =+--，即2(1),()2(11),2(1).x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩∴不等式()1f x >的解集为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭． （2）当(0,1)x ∈时11x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时1ax -<1成立． 若0a ≤，则当(0,1)x ∈时1ax -≥1； 若a >0，1ax -<1的解集为20x a<<，∴21a≥，∴02a <≤． 综上，a 的取值范围为(]0,2．2532018年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）理科数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题（共60分） 1-12 DABBA ABCCA CD第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题（共20分） 13．2y x = 14．9 15．12-16．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17─21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．（本小题满分12分）解：（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15． 由a 1=–7得d =2．∴{a n }的通项公式为a n =2n –9．（2）由（1）得S n =n 2–8n =（n –4）2–16．∴当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16．18．（本小题满分12分）解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =99+17.5×9=256.5（亿元）．（2）利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下：（i ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y =–30.4+13.5t 上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t 可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．（ii ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠． 以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． 19．（本小题满分12分）解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为为(1)(0)y k x k =-≠． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ．由2(1),4y k x y x =-⎧⎨=⎩得22222(2)0k x k x k -++=． ∴ 216160k ∆=+>，212224=k x x k++． ∴AB AF BF =+212244(1)(+1)=k x x k +=++．由题设知2244=8k k+，解得k =–1（舍去），k =1．∴l 的方程为y =x –1．（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），∴AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+． 设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则00220005,(1)(1)16,2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩ 解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩∴所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=． 20．（本小题满分12分） 解：（1）∵4AP CP AC ===，O 为AC 的中点，所以OP AC ⊥，且OP =254连结OB .因为2AB BC AC ==，所以ABC ∆为等腰直角三角形，且OB AC ⊥，122OB AC ==．由222OP OB PB +=知OP OB ⊥． 由OP OB ⊥，OP AC ⊥知 OP ⊥平面ABC ．（2）如图，以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -．由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0)O B A -，(0,2,0)C，(0,0,P ，(0,2,AP =．取平面P AC 的法向量(2,0,0)OB =． 设(,2,0)(02)M a a a -<≤，则(,4,0)AM a a =-．设平面P AM 的法向量为(,,)x y z m =．由0,0,AP AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m即20,(4)0y ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩得,).y a x z a ⎧=⎪⎨-=⎪⎩可取),,)a a -m =．所以cos OB <>=m,由已知得cos 2OB <>=m,．=． 解得4a =或4a=-（舍去）.∴4(,)333-m =．又∵(0,2,PC =-，∴3cos PC <>=m, ∴PC 与平面P AM 所成角的正弦值为4． 21．（本小题满分12分）解：（1）当a =1时，()1f x ≥等价于2(1)10x x e -+-≤．设函数2()(1)1xg x x e-=+-，则22()(21)(1)x x g x x x e x e --'=--+=--． 当1x ≠时，()0g x '<， ∴()g x 在(0,)+∞单调递减． 而(0)0g =，∴当0x ≥时，()0g x ≤，即()1f x ≥．（2）设函数2()1x h x ax e -=-．()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点．（i ）当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点；（ii ）当a >0时，()(2)x h x ax x e -'=-．当(0,2)x ∈时，()0h x '<；当(2,)x ∈+∞时，()0h x '>．∴()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增．∴2(2)14h ae -=-是()h x 在[0,)+∞的最小值．①若(2)0h >，即214a e <，()h x 在255(0,)+∞没有零点；②若(2)0h =，即214a e =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点；③若(2)0h <，即214a e >，由于(0)1h =，∴()h x 在(0,2)内有一个零点， 由（1）知，当0x >时，2x e x >，∴334221616(4)11()a a a a h a e e =-=-34161110(2)a a a>-=->．∴()h x 在(2,4)a 内有一个零点， ∴()h x 在(0,)+∞有两个零点．综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，214a e =．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）[选修4－4：坐标系与参数方程] 解：（1）曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=． 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为 (tan )2tan y x αα=+-． 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为x =1． （2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos t αα+++ sin )80t α-=．①∵曲线C 截直线所得线段的中点(1,2)在C 内，∴方程①有两个解12,t t ，且1224(2cos sin )13cos t t ααα++=-+． 由参数t 的几何意义得120t t +=．∴2cos sin 0αα+=，于是直线的斜率tan 2k α==-． 22．（本小题满分10分） [选修4—5：不等式选讲] 解：（1）当a =1时，24(1),()2(12),26(2).x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩当1x ≤-时，由()240f x x =+≥得2x ≥-，即21x -≤≤-；当12x -<≤时，()20f x =>； 当2x >时，由()260f x x =-+≥得 3x ≤，即23x <≤． 综上可得()0f x ≥的解集为[]2,3-． （2）()1f x ≤等价于24x a x ++-≥． 而22x a x a ++-≥+，且当x=2时等号成立．∴()1f x ≤等价于24a +≥． 由24a +≥可得6a ≤-或2a ≥． ∴a 的取值范围是(][),62,-∞-+∞．2562018年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅲ）理科数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题（共60分） 1-12 CDABC ADBCB CB第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题（共20分） 13．1214．3- 15．3 16．2 （一）必考题：共60分. 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合） 1．C解：∵{}[)101,A x x =-≥=+∞，{}012B =，，， ∴ {}1,2AB =，∴选C ．2．D解：∵()()212223i i i i i i +-=-+-=+， ∴选D ． 3．A解：选A ． 4．B解：由已知条件，得2217cos 212sin 1239αα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，∴选B ．5．C解：由已知条件，得 251031552()2rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令1034r -=，解得2r =， x 4的系数为22552240rr C C ==， ∴选C ．6．A解：由已知条件，得(2,0),(0,2)A B --，∴||AB == 圆22(2)2x y -+=的圆心为(2,0)，∴圆心到直线20x y ++=的距离为= ∴点P 到直线20x y ++=的距离的取值范围为d ≤≤+d ≤≤，∴1||[2,6]2ABP S AB d ∆=⋅∈.∴选A ． 7．D解：令0x =，得2y =，∴A,B 不能选. 令321424()02y x x x x '=-+=-->，得2x <-或02x <<，即函数在0⎛ ⎝⎭内单调递增， ∴选D ． 8．B解：由已知条件知，X ～B (10,p )，且 10p (1－p )=2.4，解得p =0.6或p =0.4． 又由P （X=4）< P （X=6）得，即4466641010(1)(1)C p p C p p -<-，0.5p >，∴p =0.6． ∴选B ． 9．C解：由已知条件，得2222cos 44ABC a b c ab CS ∆+-==cos 1sin 22ab C ab C ==，即tan 1C =，∴4C π=．∴选C ． 10．B解：如图，ABC ∆为等边三角形，点O 为,,,A B C D 外接球的球心，E 为ABC ∆的重心，点F 为边BC 的中点.当点D 在EO 的延长上，即DE ⊥面ABC 时，三棱锥D ABC -体积取得最大值．V =，5分，．1=2，x，且196π．257258当366x πππ≤+≤时有1个零点，3,629x x πππ+==；当326x πππ<+≤时有1个零点，343,629x x πππ+==； 当192366x πππ<+≤时有1个零点，573=,629x x πππ+=． ∴零点个数为3，∴填3． 16．2解：由已知条件知，抛物线C 的焦点为(1,0)F ． 设22121212(,),(,)()44y yA yB y y y ≠，则由A ,F ,B 三点共线，得221221(1)(1)44y y y y -=-，∴12=4y y -． ∵∠AMB =90º，∴221212(1,1)(1,1)44y y MA MB y y ⋅=+-⋅+-，221212(1)(1)(1)(1)44y y y y =+++-⋅-2121(2)04y y =+-=， ∴12=2y y +．∴212221124244y y k y y y y -===+-，∴填2． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17─21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17．（本小题满分12分） 解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，则由534a a =，得2534a q a ==，解得2q =±. ∴12n n a -=或1(2)n n a -=-.（2）由（1）知，122112nn n S -==--或1(2)1[1(2)]123n n n S +-==--+，∴2163mm S =-=或1[1(2)]633m m S =--=（舍）， ∴6m =.18．（本小题满分12分） 解：（1）第一种生产方式的平均数为184X =，第二种生产方式平均数为274.7X =，∴12X X >，∴第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种，即第二种生产方式的效率更高. （2）由茎叶图数据得到中位数80m =，∴列联表为（3）()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()24015155510 6.63520202020⨯-⨯==>⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异. 19．（本小题满分12分） 解：（1）由已知条件知，在正方形ABCD 中，AD CD ⊥.∵正方形ABCD ⊥半圆面CMD ，平面ABCD 半圆面CMD CD =， ∴AD ⊥半圆面CMD .∵CM 在平面CMD 内，∴AD CM ⊥，即CM AD ⊥.259OM (0,0,1)(0,-1,0)0)又∵M 是CD 上异于C ，D 的点， ∴CM MD ⊥.又∵AD DM D =， ∴CM ⊥平面AMD ， ∵CM 在平面BMC 内，∴平面AMD ⊥平面（2）由条件知，2ABC S ∆=是常数， ∴当点M 到平面ABCD 的距离.最大，即点M 为弧CD 的中点时，三棱锥M – ABC 体积最大.如图，以CD 中点O 为原点，过点O 且平行于AD 的直线为x 轴，OC ，OM 所在直线为y ,Z 轴建立空间直角坐标系O-xyz ,则由已知条件知，相关点的坐标为 A(2,-1,0),B(2,1,0),M(0,0,1) ，且(0,2,0)AB =，(2,1,1)MA =--.由（1）知，平面MCD 的法向量为(1,0,0)=m .令平面MXB 的法向量为(,,)x y z =n ，则(,,)(0,2,0)=20,(,,)(2,1,1)20AB x y z y MA x y z x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅--=--=⎪⎩，n n 即0,2y z x ==， ∴取(1,0,2)=n.∴cos ,⋅<>==⋅m nm n m n ，∴sin ,5<>=m n ，即面MAB 与MCD 所成二面角的正弦值.为5.20．（本小题满分12分）解：（1）设直线l 的方程为y kx t =+，则由22,143y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得222(43)84120k x ktx t +++-=，①由22226416(43)(3)0k t k t ∆=-+->，得2243t k <+．②设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,x x 是方程①的两个根，且122843ktx x k -+=+，121226()243ty y k x x t k +=++=+． ∵线段AB 的中点为()()10M m m >，， ∴1228243ktx x k -+==+，121226()2243ty y k x x t m k +=++==+． ∵0m >，∴0t >，0k <，且2434k t k+=-.③由②③得22243434k k k ⎛⎫+-<+ ⎪⎝⎭，解得12k >或12k <-.∵0k <，∴12k <-.（2）∵点()()10M m m >，是线段AB 的中点，且FP FA FB ++=0，∴2FP FM +=0，即2FP FM =-.④ 由已知条件知，()()10M m m >，，()10F ，.令(,)P x y ，则由④得：(1,)2(0,)x y m -=-，即1,2x y m ==-， ∴P 的坐标为(1,2)m -.由于点P 在椭圆上，得214143m +=，解得26034m =或34m =-（舍去），且3(1,)2P -.又222211221,14343x y x y +=+=， ∴两式相减，得2112211234y y x xx x y y -+=--+. 又12123=2,22x x y y m ++==，∴21122112314y y x xk x x y y -+==-=--+， 243744k t k +=-=，∴直线l 的方程为74y x =-+. 将71,4k t =-=代入方程①，得 2285610x x -+=，解得121,11414x x =-=+，1233414414y y =+=-.∴3(2FA x ==+， 32FP =,3(2FB x == ∴=2FA FB FP +，即,,FA FP FB 成等差数列，且该数列的公差28d =±． 另解：（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，则222211221,14343x y x y +=+=， 两式相减，得2112211234y y x xk x x y y -+==--+. ∵线段AB 的中点为()()10M m m >，， ∴122x x +=，122y y m +=，34k m=-． 由点()()10M m m >，在椭圆内得21143m +<，即302m <<． ∴12k <-.（2）由题设知(1,0)F .令(,)P x y ，则由FP FA FB ++=0得1122(1,)(1,)(1,)(0,0)x y x y x y -+-+-=，∴1212=3(),()x x x y y y -+=-+. 由得=1,2x y m =-<0. ∴P 的坐标为(1,2)m -.由于点P 在椭圆上，得214143m +=，解得34m =或34m =-（舍去），且3(1,)2P -，且32FP =. (FA x =122x=-，同理222xFB =-.∴12=2222x xFA FB +-+-124322x xFP +=-==，即,,FA FP FB 成等差数列．把34m =代入34k m =-得1k =-，且3(1,)4M∴直线l 的方程为74y x =-+. 把直线方程与椭圆方程联立，消去y 得：2285610x x -+=，于是有121212,28x x x x +==．设成等差数列的公差为d ，则26121122d FB FA x x =-=-==， d =±21．（本小题满分12分）解：由条件知，函数()f x 的定义域为(1,)-+∞．（1）若0a =，则函数()(2)ln(1)2f x x x x =++-，且1()ln(1)11f x x x'=++-+， 2211()1(1)(1)xf x x x x ''=-=+++． ∴(0)0f =，(0)0f '=，(0)0f ''=． ∴当10x -<<时，()0f x ''<，∴当10x -<<时，()f x '单调递减． ∴()(0)0f x f ''>=，∴当10x -<<时，()f x 单调递增， ∴()(0)0f x f <=，即()0f x <． 当x > 0时，()0f x ''>，∴当x > 0时， ()f x '单调递增．∴()(0)0f x f ''>=，∴当x > 0时，()f x 单调递增， ∴()(0)0f x f >=，即()0f x >． 综上可得，当10x -<<时，()f x <0； 当x > 0时，()0f x >． （2）（i ）若0a ≥，由（1）知，当x >0时，()(2)ln(1)20(0)f x x x x f ≥++->=，这与x=0是()f x 的极大值点矛盾．（ii ）若0a <，设函数2()()2f x g x x ax =++22ln(1)2xx x ax =+-++． 由于当min x ⎧⎪<⎨⎪⎩时，220x ax ++>， ∴()g x 与()f x 符号相同． 又(0)(0)0g f ==，∴0x =是()f x 的极大值点当且仅当0x =是()g x 的极大值点．22212(2)2(12)()12x ax x ax g x x x ax ++-+'=-+++（） 22222(461)(1)(2)x a x ax a x x ax +++=+++． 如果610a +>，则当6104a x a+<<-，且m i n 1,x ⎧⎪<⎨⎪⎩时，()0g x '>，∴0x =不是()g x 的极大值点．如果610a +<，则22461=0a x ax a +++存在根10x <．∴当1(,0)x x ∈，且m in 1,x ⎧⎪<⎨⎪⎩时，()0g x '<，∴0x =不是()g x 的极大值点． 如果61=0a +，则322(24)()(1)(612)x x g x x x x -'=+--．当(1,0)x ∈-时，()0g x '>； 当(0,1)x ∈时，()0g x '<. ∴0x =是()g x 的极大值点，从而0x =是()f x 的极大值点．综上，16a =-．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。
《全国通用-理科》2018届高考数学总复习创新设计-全高中知识点、考点、模拟试题、真题答案及解析一
单元卷一 集合与常用逻辑用语(A 级)（备：答案在最后）(时间：60分钟 满分：100分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1.(2016·江苏盐城模拟)若集合A ＝(－∞，m]，B ＝{x|－2＜x ≤2}，且B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________.2.(2015·福建厦门模拟)已知命题p ：∃x 0∈R ，sin x 0≥12，则綈p 是________. 3.(2015·山东日照一模)设集合U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，2，3}， B ＝{2，3，4}，则∁U (A ∩B)等于________.4.(2015·北京西城模拟)设函数f(x)＝3x ＋bcos x ，x ∈R ，则“b ＝0”是“函数f(x)为奇函数”的________(用“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要”填空).5.(2015·湖南三市模拟)已知集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x|x ＝2a ，a ∈A}，则A ∩B 中元素的个数为________.6.(2015·山东潍坊模拟)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|||x ＋1<1，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －2≥0，则A∩(∁R B)＝________.7.(2015·福建福州模拟)已知A B ，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的________条件(用“充分不必要、必要不充分充要、既不充分也不必要”填空).8.(2015·陕西西安模拟)已知命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________.9.(2015·江西省监测)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧y|y ＝x 2－32x ＋1， ⎭⎪⎬⎪⎫x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤34，2，B ＝{x|x ＋m 2≥1}，若A ⊆B ，则实数m 的取值范围是________.10.(2015·江苏无锡)已知p ：|x －a|＜4；q ：(x －2)(3－x)＞0，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a 的范围为________.11.(2015·成都市高三一诊)已知关于x 的不等式(x －a)·(x －a －2)≤0的解集为A ，集合B ＝{x|－2≤x ≤2}.若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________.12.(2015·山东菏泽模拟)下列4个命题：①“如果x ＋y ＝0，则x 、y 互为相反数”的逆命题②“如果x 2＋x －6≥0，则x>2”的否命题③在△ABC 中，“A>30°”是“sin A>12”的充分不必要条件 ④“函数f(x)＝tan (x ＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝k π(k ∈Z)” 其中真命题的序号是________.13.(2015·福建漳州模拟)设非空集合S ＝{x|m ≤x ≤n}满足：当x ∈S 时，有x 2∈S.给出如下三个命题中：①若m ＝1，则S ＝{1}；②若m ＝－12，则14≤n ≤1；③若n ＝12，则－22≤m ≤0.其中正确命题的序号是________.14.(2015·荆门市高三调研)已知函数f(x)＝x 2－x ＋1x －1(x ≥2)，g(x)＝a x (a ＞1，x ≥2).①若∃x 0∈[2，＋∞)，使f(x 0)＝m 成立，则实数m 的取值范围为________. ②∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2，＋∞)使得f(x 1)＝g(x 2)，则实数a 的取值范围为________.二、解答题(本大题共2小题，共30分)15.(本小题满分15分)(2015·山东省实验中学高三二诊)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ≠0，q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.16.(本小题满分15分)(2015·潍坊市高三检测)已知p ：不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0，对∀x ∈R 恒成立；q ：关于x 的方程x 2＋(a －1)x ＋1＝0，一根在(0，1)上，另一根在(1，2)上.若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围.单元卷一 集合与常用逻辑用语(B 级)(时间：60分钟 满分：100分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1.(2016·江苏盐城模拟)命题“∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，sin x ＜1”的否定是________命题(填“真”或“假”).2.(2015·柳州模拟)已知p ：x ≤1，q ：x 2－x ＞0，则p 是綈q 的________条件(用“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要”填空).3.(2015·河南高考适应性测试)已知集合A ＝{x|y ＝x 2－2x －3}，B ＝{y|y ＝3sin x －1}，则集合B ∩(∁RA)＝________.4.(2015·哈三中二模)已知A ，B 均为集合U ＝{1，3，5，7，9}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B)∩A ＝{9}，则A 等于________.5.(2015·江西三校联考)下列四个结论：①若x ＞0，则x ＞sin x 恒成立；②命题“若x －sin x ＝0，则x ＝0”的逆命题为“若x ≠0，则x －sin x ≠0”； ③“命题p ∨q 为真”是“命题p ∧q 为真”的充分不必要条件；④命题“∀x ∈R ，x －ln x ＞0”的否定是“∃x 0∈R ，x 0－ln x 0≤0”. 其中正确命题的序号是________.6.(2015·济南模拟)已知集合U ＝{2，3，a 2＋2a －3}，A ＝{|2a －1|，2}，∁U A ＝{5}，则实数a 的值为________.7.(2015·山西省二诊)已知p ：关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实数根，若綈p 是真命题，则实数m 的取值范围是________.8.(2015·浙江六校联考)若全集U ＝R ，集合A ＝{x|x 2＋x －2≤0}，B ＝{y|y ＝log 2(x ＋3)，x ∈A}，则集合A ∩(∁U B)＝________.9.(2016·江苏泰兴模拟)函数f(x)＝13x －1＋a(x ≠0)，则“f(－1)＝－1”是“函数f(x)为奇函数”的________条件(用“充分不必要、必要不充分、充要、既非充分又非必要”填写).10.(2015·烟台诊断)若条件p ：|x|≤2，条件q ：x ≤a ，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________.11.(2016·江苏泰兴模拟)已知命题p ：“若m ≤0，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆命题；命题q ：“若函数f(x)＝lg(x 2＋2x ＋a)的值域为R ，则a ＞1”.以下四个结论：①p 是真命题；②p ∧q 是假命题；③p ∨q 是假命题；④綈q 为假命题. 其中所有正确结论的序号为________.12.(2015·南通三调)给出下列三个命题：①“a ＞b ”是“3a ＞3b ”的充分不必要条件；②“α＞β”是“cos α＜cos β”的必要不充分条件；③“a ＝0”是“函数f(x)＝x 3＋ax 2(x ∈R)为奇函数”的充要条件.其中正确命题的序号为________.13.(2016·江苏常州模拟)设函数f(x)＝mx ＋2，g(x)＝x 2－2x ，∀x 0∈[－1，2]，∃x 1∈[－1，2]，使得f(x 0)＞g(x 1)，则实数m 的取值范围是________.14.(2015·江苏盐城模拟)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－|x 3－2x 2＋x|（x ＜1）ln x （x ≥1），若命题“∃t ∈R ，且t ≠0，使得f(t)≥kt ”是假命题，则实数k 的取值范围是________.二、解答题(本大题共2小题，共30分)15.(本小题满分15分)(2015·浙江绍兴模拟)已知命题p：x1，x2是方程x2－mx －2＝0的两个实根，不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1，1]恒成立；命题q：不等式ax2＋2x－1＞0有解.若命题p是真命题，命题q是假命题，求实数a的取值范围.16.(本小题满分15分)(2015·山西省二诊)已知函数f(x)＝mx＋nx2＋2(m≠0)是定义在R上的奇函数，(1)若m＞0，求f(x)在(－m，m)上递增的充要条件；(2)若f(x)≤sin θcos θ＋cos2x＋2－12对任意的实数θ和正实数x恒成立，求实数m的取值范围.单元卷二 函数与导数(A 级)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1.(2015·抚州市模拟)函数y ＝ln （1－x ）x ＋1＋1x 的定义域是________. 2.(2015·江苏苏北四市模拟)已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时f(x)＝log 2(2－x)，则f(0)＋f(2)的值为________.3.(2015·四川雅安模拟)曲线f(x)＝e xx －1在x ＝0处的切线方程为________. 4.(2015·江苏南通模拟)设定义在R 上的奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调递减函数，且f(x 2－3x)＋f(2)＞0，则实数x 的取值范围是________.5.(2015·豫南豫北十校模拟)已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx 6，0<x ≤8，log 2x ，x>8，则f(f(－16))＝________. 6.(2015·广东湛江模拟)已知幂函数f(x)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫18，24，P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)(x 1<x 2)是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：①x 1f(x 1)>x 2f(x 2)；②x 1f(x 2)<x 2f(x 1)；③f （x 1）x 1>f （x 2）x 2；④f （x 1）x 1<f （x 2）x 2其中正确结论的序号是________.7.(2015·江苏杨州模拟)已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x ＋3)＝f(x)，当x ∈(－2，0)时，f(x)＝2x ，则f(2 015)＋f(2 014)＋f(2 013)＝________.8.(2015·山东菏泽模拟)已知定义在R 上的函数y ＝f(x)满足以下三个条件：①对于任意x ∈R ，都有f(x ＋1)＝1f （x ）；②函数y ＝f(x ＋1)的图象关于y 轴对称；③对于任意的x 1，x 2∈[0，1]，且x 1<x 2，都有f(x 1)>f(x 2).则f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，f(2)，f(3)从小到大排列是________.9.(2015·邯郸市高三质检)下列三个数：a ＝ln 32－32，b ＝ln π－π，c ＝ln 3－3，大小顺序正确的是________.10.(2015·河北唐山模拟)已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x<1，ln x ，x ≥1.的值域为R ，那么a 的取值范围是________.11.(2015·郑州市一预)设函数y ＝f(x)的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1＋x 2＝2a 时，恒有f(x 1)＋f(x 2)＝2b ，则称点(a ，b)为函数y ＝f(x)图象的对称中心，研究函数f(x)＝x 3＋sin x ＋1图象的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f(－2 015)＋f(－2 014)＋f(－2 013)＋…＋f(2 014)＋f(2 015)＝________.12.(2015·赣州市十二县联考)若函数f(x)＝13x 3－a 2x 2＋(3－a)x ＋b 有三个不同的单调区间，则实数a 的取值范围是________.13.(2015·辽宁沈阳模拟)已知定义域为R 的奇函数y ＝f(x)的导函数为y ＝f ′(x)，当x ≠0时，f ′(x)＋f （x ）x ＞0，若a ＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，b ＝－2f(－2)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ln 12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ln 12，则a ，b ，c 的大小关系是________.14.(2015·山东潍坊模拟)设函数f(x)的定义域为D ，若存在非零实数h 使得对于任意x ∈M(M ⊆D)，有x ＋h ∈M ，有f(x ＋h)≥f(x)，则称f(x)为M 上的h 高调函数.现给出下列命题：①函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x 为R 上的1高调函数； ②函数f(x)＝sin 2x 为R 上的π高调函数；③若函数f(x)＝x 2为[－1，＋∞)上的m 高调函数，那么实数m 的取值范围是[2，＋∞).④函数f(x)＝lg(|x －2|＋1)为[1，＋∞)上的2高调函数.其中正确命题的序号是________(写出所有正确命题的序号).二、解答题(本大题共6小题，共90分)15.(本小题满分14分)(2015·济南模拟)已知函数f(x)＝e x ＋ax －a(a ∈R 且a ≠0).(1)若函数f(x)在x ＝0处取得极值，求实数a 的值，并求此时f(x)在[－2，1]上的最大值；(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a 的取值范围.16.(本小题满分14分)(2015·四川省统考)已知定义在正实数集上的函数f(x)＝3x 22＋ax ，g(x)＝4a 2ln x ＋b ，其中a ＞0，设两曲线y ＝f(x)与y ＝g(x)有公共点，且在公共点处的切线相同.(1)若a ＝1，求两曲线y ＝f(x)与y ＝g(x)在公共点的切线方程.(2)用a 表示b ，并求b 的最大值.17.(本小题满分14分)(2016·苏北四市模拟)如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米，观察者从距离墙x(x＞1)米，离地面高a(1≤a≤2)米的C 处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ.(1)若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？(2)若tan θ＝12，当a变化时，求x的取值范围.18.(本小题满分16分)(2015·江苏南通模拟)已知函数f(x)＝x(x－a)(x－b)，其中0＜a＜b.(1)设函数y＝f(x)在点A(s，f(s))，B(t，f(t))处取得极值，且s＜t，求证：①0＜s＜a＜t＜b；②线段AB的中点C在曲线y＝f(x)上；(2)若a＋b＜22，问：过原点且与曲线y＝f(x)相切的两条直线是否垂直，并说明理由.19.(本小题满分16分)(2015·昆明三中、玉溪一中高三期末)已知曲线f(x)＝a ＋ln xx 在点(1，f(1))处的切线与x 轴平行. (1)求实数a 的值及f(x)的极值；(2)如果对任意x 1，x 2∈[e 2，＋∞)，有|f(x 1)－f(x 2)|≥k ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x 1－1x 2，求实数k 的取值范围.20.(本小题满分16分)(2015·江苏南通云港模拟)设a ∈R ，函数f(x)＝x|x －a|－a.(1)若f(x)为奇函数，求a 的值；(2)若对任意的x ∈[2，3]，f(x)≥0恒成立，求a 的取值范围； (3)当a ＞4时，求函数y ＝f(f(x)＋a)零点的个数.单元卷二 函数与导数(B 级) (时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1.(2015·赣州摸底)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是________(填序号).①y ＝f(|x|)，②y ＝f(－x)，③y ＝xf(x)，④y ＝f(x)＋x2.(2016·江苏宿迁模拟)设f(x)＝x 2－3x ＋a.若函数f(x)在区间(1，3)内有零点，则实数a 的取值范围为________.3.(2015·江苏南通、连云港模拟)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ln x 在x ＝e(e 为自然对数的底数)处的切线与直线ax －y ＋3＝0垂直，则实数a 的值为________.4.(2016·江苏宿迁模拟)若f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ≥1，－x ＋3a ，x ＜1是R 上的单调函数，则实数a的取值范围为________.5.(2016·苏北四市模拟)函数f(x)＝－x 2＋2x ，则不等式f(log 2x)＜f(2)的解集为________.6.(2015·东北三校一联)若函数f(x)＝2x 3－3mx 2＋6x 在(2，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围是________.7.(2015·台州调研)若函数f(x)＝1ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c ∈R)的部分图象如图所示，则b ＝________.8.(2015·石家庄一检)已知函数f(x)＝asin x ＋bx 3＋4(a ∈R ，b ∈R)，f ′(x)为f(x)的导函数，则f(2 014)＋f(－2 014)＋f ′(2 015)－f ′(－2 015)＝________. 9.(2015·潍坊4月模拟)已知函数f(x)＝1＋x －x 22＋x 33－x 44＋…－x 2 0142 014＋x 2 0152 015，若函数f(x)的零点均在区间[a ，b](a ＜b ，a ，b ∈Z)内，则b －a 的最小值是________.10.(2015·邢台市高三摸底)已知定义在(－1，1)上的奇函数f(x)，其导函数为f ′(x)＝1＋cos x ，如果f(1－a)＋f(1－a 2)<0，则实数a 的取值范围为________. 11.(2015·南通三调)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋m ，0≤x ≤1，mx ＋5，x ＞1.若函数f(x)的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则实数m 的取值范围为________. 12.(2015·太原二模)已知f ′(x)＝a(x ＋1)(x －a)是函数f(x)的导函数，若f(x)在x ＝a 处取得极大值，则实数a 的取值范围是________.13.(2015·浙江六校联考)定义在R 上的奇函数f(x)，当x ≥0时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x x ＋1，x ∈[0，1），1－|x －3|，x ∈[1，＋∞），则函数F(x)＝f(x)－1π的所有零点之和为________.14.(2015·辽宁沈阳模拟)对于三次函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d(a ≠0)，定义：设f ″(x)是函数y ＝f(x)的导数y ＝f ′(x)的导数，若方程f ″(x)＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f(x 0))为函数y ＝f(x)的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心；且“拐点”就是对称中心.”请你根据这一发现，函数f(x)＝x 3－3x 2＋3x ＋1对称中心为________. 二、解答题(本大题共6小题，共90分)15.(本小题满分14分)(2015·郑州二检)已知函数f(x)＝ax －1＋ln x ，其中a 为常数.(1)当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－1e 时，若f(x)在区间(0，e)上的最大值为－4，求a 的值；(2)当a ＝－1e 时，若函数g(x)＝|f(x)|－ln x x －b2存在零点，求实数b 的取值范围.16.(本小题满分14分)(2015·山东潍坊模拟)已知函数f(x)＝x4＋ax－ln x－32，其中a∈R.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x，求a的值.(2)讨论函数f(x)的单调区间.17.(本小题满分14分)(2015·江苏苏州模拟)设函数f(x)＝x3＋b2x2＋cx(b，c∈R).(1)b＝2，c＝－1，求y＝|f(x)|的单调增区间；(2)b＝－6，g(x)＝|f(x)|，若g(x)≤kx对一切x∈[0，2]恒成立，求k的最小值h(c)的表达式.18.(本小题满分16分)(2016·江苏盐城模拟)如图，河的两岸分别有生活小区ABC和DEF，其中AB⊥BC，EF⊥DF，DF⊥AB，C，E，F三点共线，FD与BA的延长线交于点O ，测得AB ＝3 km ，BC ＝4 km ，DF ＝94 km ，FE ＝3 km ，EC ＝32 km ，若以OA ，OD 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系xOy ，则河岸DE 可看成是曲线y ＝x ＋b x ＋a(其中a ，b 为常数)的一部分，河岸AC 可看成是直线y ＝kx ＋m(其中k ，m 为常数)的一部分. (1)求a ，b ，k ，m 的值；(2)现准备建一座桥MN ，其中M ，N 分别在DE ，AC 上，且MN ⊥AC ，设点M 的横坐标为t.①请写出桥MN 的长l 关于t 的函数关系式l ＝f(t)，并注明定义域； ②当t 为何值时，l 取得最小值？最小值是多少？19.(本小题满分16分)(2015·江苏南京模拟)已知函数f(x)＝x 2－x ＋t ，t ≥0，g(x)＝ln x.(1)令h(x)＝f(x)＋g(x)，求证：h(x)是增函数；(2)直线l 与函数f(x)，g(x)的图象都相切，对于确定的正实数t ，讨论直线l 的条数，并说明理由.20.(本小题满分16分)(2015·江苏南通模拟)已知函数f(x)＝a －1x －ln x(a ∈R).(1)若a ＝2，求函数f(x)在(1，e 2)上的零点个数(e 为自然对数的底数)； (2)若f(x)恰有一个零点，求a 的取值集合；(3)若f(x)有两零点x 1，x 2(x 1＜x 2)，求证：2＜x 1＋x 2＜3e a －1－1.阶段滚动回扣卷(一) (时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1.(2015·辽宁五校模拟)设集合M ＝{x|x 2＋3x ＋2<0}，集合N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ≤4，则M ∪N ＝________.2.(2015·贵州七校模拟)以下四个命题中，真命题的是________(填序号).①“若a ＋b ≥2则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆命题； ②存在正实数a ，b ，使得lg(a ＋b)＝lg a ＋lg b ；③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”； ④在△ABC 中，a<b 是sin A<sin B 的充分不必要条件.3.(2015·北京东城模拟)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 13x ，x>0，2x，x ≤0，若f(a)>12，则实数a 的取值范围是________.4.(2015·江苏宿迁模拟)曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________.5.(2015·辽宁沈阳模拟)已知函数f(x)＝2x －12x ＋1，则不等式f(x －2)＋f(x 2－4)<0的解集为________.6.(2015·江苏滨海模拟)若函数f(x)＝mx 2＋ln x －2x 在定义域内为增函数，则实数m 的取值范围是________.7.(2015·河北邢台模拟)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1－21－x （x ≥1），x 3－3x ＋2 （x<1），则方程2f(x)＝1的根的个数为________.8.(2015·北京昌平区模拟)在2014年APEC 会议期间，北京某旅行社为某旅行团包机去旅游，其中旅行社的包机费为12 000元，旅行团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数在30人或30人以下，每张机票收费800元；若旅行团的人数多于30人，则给予优惠，每多1人，旅行团每张机票减少20元，但旅行团的人数最多不超过45人，当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数是________.9.(2015·北京西城区高三期末)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －a|，x ≤1，log 3x ，x ＞1.(1)如果f(1)＝3，那么实数a ＝________.(2)如果函数y ＝f(x)－2有且仅有两个零点，那么实数a 的取值范围是________. 10.(2015·绵阳市一诊)记函数f(x)＝13x 3－12x 2＋12在(0，＋∞)上的值域M ，g(x)＝(x ＋1)2＋a 在(－∞，＋∞)上的值域为N ，若N ⊆M ，则实数a 的取值范围是________.11.(2015·黑龙江绥化模拟)已知函数f(x)＝x n ＋1(x ∈N *)的图象与直线x ＝1交于点P ，若图象在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 013x 1＋log 2013x 2＋…＋log 2 013x 2 012的值为________.12.(2015·江苏无锡模拟)若函数f(x)＝14sin(πx)与函数g(x)＝x 3＋bx ＋c 的定义域为[0，2]，它们在同一点有相同的最小值，则b ＋c ＝________.13.(2015·江西三校联考)设函数y ＝f(x)在(a ，b)上的导函数为f ′(x)，f ′(x)在(a ，b)上的导函数为f ″(x)，若在(a ，b)上f ″(x)＜0恒成立，则称函数f(x)在(a ，b)上为“凸函数”.已知f(x)＝112x 4－m 6x 3－32x 2在(1，3)上为“凸函数”，则实数m 的取值范围是________. 14.(2015·江西省质检二)给出下列命题：①已知向量a ＝(1－sin θ，1)b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1＋sin θ，若命题p ：a ∥b ，命题q ：θ＝45°，则命题p 是q 的必要不充分条件；②命题“在△ABC 中，若AB →·BC →＜0，则△ABC 为钝角三角形”的否命题为真命题；③已知命题p ：任意▱ABCD ，有AB →＝DC →，q ：存在实数λ，μ，若λa ＝μb ，则a 与b 不共线，“p 且q ”为真命题；④已知向量a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，则“向量a 与向量b 的夹角为锐角”成立的充要条件是“λ的取值范围是λ＜－43或λ＞0”.其中错误命题是________.二、解答题(本大题共6小题，共90分)15.(本小题满分14分)(2016·江苏泰兴模拟)已知命题p ：实数m 满足：方程x 2m －3a ＋y 2m －4a ＝1(a ＞0)表示双曲线；命题q ：实数m 满足方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.16.(本小题满分14分)(2015·江苏启东模拟)已知函数f(x)＝12x 2＋aln x.(1)若a ＝－1，求函数f(x)的极值，并指出极大值还是极小值； (2)若a ＝1，求函数f(x)在[1，e]上的最值；(3)若a ＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在g(x)＝23x 3的图象下方.17.(本小题满分14分)(2015·山东泰安三模)已知函数f(x)＝e x ＋mx －2，g(x)＝mx ＋ln x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当m ＝－1时，试推断方程：|g(x)|＝ln x x ＋12是否有实数解.18.(本小题满分16分)(2015·江苏盐城模拟)某地拟建一座长为640米的大桥AB ，假设桥墩等距离分布，经设计部门测算，两端桥墩A ，B 造价总共为100万元，当相邻两个桥墩的距离为x 米时(其中64＜x ＜100).中间每个桥墩的平均造价为803x 万元，桥面每1米长的平均造价为⎝⎛⎭⎪⎪⎫2＋x x 640万元.(1)试将桥的总造价表示为x的函数f(x)；(2)为使桥的总造价最低，试问这座大桥中间(两端桥墩A，B除外)应建多少个桥墩？19.(本小题满分16分)(2015·北京西城模拟)设n∈N*，函数f(x)＝ln xx n，函数g(x)＝e xx n，x∈(0，＋∞).(1)当n＝1时，写出函数y＝f(x)－1零点个数，并说明理由；(2)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)分别位于直线l：y＝1的两侧，求n的所有可能取值.20.(本小题满分16分)(2015·山东青岛二模)已知函数f(x)＝1－a x ＋ln 1x (a 为实数).(1)当a ＝1时，求函数f(x)的图象在点⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12处的切线方程；(2)设函数h(a)＝3λa －2a 2(其中λ为常数)，若函数f(x)在区间(0，2)上不存在极值，且存在a 满足h(a)≥λ＋18，求λ的取值范围；(3)已知n ∈N *，求证：ln(n ＋1)＜1＋12＋13＋14＋15＋…＋1n.高考真题导向卷(一) (时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1.(2015·江苏)已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，4，5}，则集合A ∪B 中元素的个数为________.2.(2013·上海改编)设常数a ∈R ，集合A ＝{x|(x －1)(x －a)≥0}，B ＝{x|x ≥a －1}.若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为________.3.(2015·全国Ⅰ改编)设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n ，则綈p 为________.4.(2014·湖南改编)已知命题p ：若x>y ，则－x<－y ；命题q ：若x>y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q)；④(綈p)∨q 中，真命题是________(填序号).5.(2015·全国Ⅱ改编)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x ＜1，2x －1，x ≥1，则f(－2)＋f(log 212)＝________.6.(2015·福建)若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________.7.(2015·山东)若“∀x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________.8.(2014·新课标全国Ⅱ改编)函数f(x)在x ＝x 0处导数存在.若p ：f ′(x 0)＝0；q ：x ＝x 0是f(x)的极值点，则p 是q 的________条件(用“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要”填空).9.(2013·湖北改编)已知函数f(x)＝x(ln x －ax)有两个极值点，则实数a 的取值范围是________.10.(2013·江苏)已知f(x)是定义在R 的奇函数，当x ＞0时，f(x)＝x 2－4x ，则不等式f(x)＞x 的解集用区间表示为________.11.(2014·江苏)已知函数f(x)＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m 的取值范围是________.12.(2015·天津改编)已知定义在R 上的函数f(x)＝2|x －m|－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f(log 0.53)，b ＝(log 25)，c ＝f(2m)，则a ，b ，c 的大小关系为________. 13.(2015·全国Ⅱ改编)设函数f ′(x)是奇函数f(x)(x ∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf ′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是________. 14.(2015·江苏)已知函数f(x)＝|ln x|，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0＜x ≤1，|x 2－4|－2，x ＞1，则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为________. 二、解答题(本大题共6小题，共90分)15.(本小题满分14分)(2015·全国Ⅰ)设函数f(x)＝e 2x －aln x. (1)讨论f(x)的导函数f ′(x)零点的个数； (2)证明：当a ＞0时，f(x)≥2a ＋aln 2a .16.(本小题满分14分)(2015·全国Ⅱ)已知f(x)＝ln x＋a(1－x).(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围.17.(本小题满分14分)(2015·四川)已知函数f(x)＝－2xln x＋x2－2ax＋a2，其中a＞0.(1)设g(x)为f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；(2)证明：存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解.18.(本小题满分16分)(2014·江苏)已知函数f(x)＝e x＋e－x，其中e是自然对数的底数.(1)证明：f(x)是R上的偶函数；(2)若关于x的不等式mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；(3)已知正数a满足：存在x0∈[1，＋∞)，使得f(x0)<a(－x30＋3x0)成立.试比较e a－1与a e－1的大小，并证明你的结论.19.(本小题满分16分)(2015·江苏)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y＝ax2＋b(其中a，b为常数)模型.(1)求a，b的值；(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.20.(本小题满分16分)(2013·江苏)设函数f(x)＝ln x－ax，g(x)＝e x－ax，其中a为实数.(1)若f(x)在(1，＋∞)上是单调递减函数，且g(x)在(1，＋∞)上有最小值，求a 的取值范围；(2)若g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论.单元卷三 三角函数、解三角形(A 级) (时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1.(2015·济南一中高三期中)若点(4，a)在y ＝x 12的图象上，则tan a6π的值为________.2.(2015·河北正定模拟)已知角α的终边经过点P(m ，4)，且cos α＝－35，则m＝________.3.(2015·厦门市质检)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，sin(π－α)＝35，则tan α＝________.4.(2015·成都市一诊)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π2＋α＝35，－π2＜α＜0，则sin 2α的值是________.5.(2015·蚌埠市模拟)设a ＝tan 130°，b ＝cos(cos 0°)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋120，则a ，b ，c 的大小关系是________.6.(2015·甘肃模拟)定义行列式运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3.若将函数f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－sin x cos x 1 －3的图象向左平移m(m>0)个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m 的最小值是________.7.(2016·江苏泰州模拟)将函数f(x)＝cos x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得到的图象向右平移π3个单位长度得到函数g(x)，则g(x)＝________.8.(2015·江西师大模拟)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2且tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝3，则lg(sin α＋2cos α)－lg(3sin α＋cos α)＝________.9.(2015·巴蜀中学一模)已知sin αcos α1－cos 2α＝12，tan(α－β)＝12，则tan β＝________.10.(2015·山东省实验中学三诊)在△ABC 中，若(a 2＋b 2)·sin(A －B)＝(a 2－b 2)sin C ，则△ABC 的形状是________.11.(2015·河南六市一联)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝2，S △ABC ＝2，则b 的值为________.12.(2015·江苏南通连云港模拟)如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝4，点D 在边BC 上，∠BAD ＝45°，则tan ∠CAD 的值为________.13.(2015·广东茂名模拟)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝3，C ＝120°，△ABC 的面积S ＝1534，则c 为________.14.(2015·甘肃二诊)关于函数f(x)＝cos ⎝ ⎭⎪⎪2x －4有以下命题：①若f(x 1)＝f(x 2)＝0，则x 1－x 2＝k π(k ∈Z)； ②函数f(x)在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π8，5π8上是减函数；③将函数f(x)的图象向左平移π8个单位，得到的图象关于原点对称；④函数f(x)的图象与函数g(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4的图象相同.其中正确命题为__________(填上所有正确命题的序号). 二、解答题(本大题共6小题，共90分)15.(本小题满分14分)(2015·南京市调研)已知函数f(x)＝2sin (2x ＋φ)(0＜φ＜2π)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，－2.(1)求φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2＝65，－π2＜α＜0，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2α－π6的值.16. (本小题满分14分)(2015·江苏苏州模拟)已知函数f(x)＝ Asin(ωx ＋φ)＋B(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若g(x)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π3，求函数g(x)在区间[0，π]上的单调减区间.17.(本小题满分14分)(2015·四川雅安模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若(2a －c)cos B ＝bcos C. (1)求角B 的大小； (2)若a ＝3，△ABC 的面积为332，求BA→·AC →的值.18.(本小题满分16分)(2015·邯郸市质检)已知f(x)＝32sin 2x ＋cos 2x －32.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2时，方程f(x)－m ＝0有实数解，求实数m 的取值范围.19.(本小题满分16分)(2015·杭州七校联考)已知函数f(x)＝2asin ωxcos ωx ＋ 23cos 2ωx －3(a ＞0，ω＞0)的最大值为2，x 1，x 2是集合M ＝{x ∈R|f(x)＝0}中的任意两个元素，且|x 1－x 2|的最小值为π2.(1)求函数f(x)的解析式及其对称轴； (2)若f(α)＝43，求sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫4α＋π6的值.20.(本小题满分16分)(2015·锦州市高三期末)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫3sin x4，1，n＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos x 4，cos 2x 4，记f(x)＝m ·n.(1)若f(x)＝1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π3－x 的值；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c)cos B ＝bcos C ，求函数f(A)的取值范围.单元卷三 三角函数、解三角形(B 级) (时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1.(2015·南充市第一次适应性考试)已知角α的终边经过点P(2，－1)，则sin α－cos αsin α＋cos α＝________.2.(2015·江西省质检三)已知sin(α－π)＝log 814，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－3π2，－π2，则tan(－α)的值为________.3.(2015·河南省实验中学质检)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝17，那么sin α＋cos α的值为______.4.(2015·长春三模)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为________.5.(2015·朝阳区模拟)如图，某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝Asin(ωx ＋φ)＋b(其中ω>0，π2<φ<π)，则估计中午12时的温度近似为________.6.(2015·江苏苏锡常镇四市模拟)函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4的图象向左平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0＜φ＜π2个单位后，所得函数图象关于原点成中心对称，则φ＝________.7.(2015·东北三省四市一模)已知tan(3π－x)＝2，则2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x＝________.8.(2015·潍坊市质检)某中学举行升旗仪式，如图所示，在坡度为15°的看台上，从正对旗杆的一列的第一排到最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离AB ＝10 6 m ，则旗杆CD 的高度为________m.9.(2016·江苏泰州模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，sin B ＝32，C ＝π6，则b ＝________.10.(2015·贵州适应性考试)△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，且cos 2B ＋3cos(A ＋C)＋2＝0，b ＝3，则c ∶sin C 等于________.11.(2015·苏锡常镇一调)设函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)＋3cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且满足f(－x)＝f(x)，则函数f(x)的单调增区间为________.12.(2015·烟台诊断)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值是________.13.(2015·衡水中学二模)已知函数f(x)＝sin(2x ＋φ)，其中φ∈(0，2π)，若f(x)≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＜f(π)，则f(x)的单调递增区间是________. 14.(2015·东北三校二联)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且a ，b ，c 成等比数列，若sin B ＝513，cos B ＝12ac ，则a ＋c 的值为________.二、解答题(本大题共6小题，共90分)15.(本小题满分14分)(2015·江苏南京模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知acos C ＋ccos A ＝2bcos A. (1)求角A 的值；(2)求sin B ＋sin C 的取值范围.16.(本小题满分14分)(2015·山东烟台模拟)已知函数f(x)＝ [sin （π＋x ）－3cos x]sin 2x2cos （π－x ）－12.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2)当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2时，求f(x)的最大值，并求此时对应的x 的值.17.(本小题满分14分)(2015·河北邯郸模拟)已知f(x)＝32sin 2x ＋cos 2x －32. (1)求函数f(x)的最小正周期及在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上的最大值；(2)在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，a ＝2，f(A)＝－12，求△ABC 周长L 的最大值.18.(本小题满分16分)(2015·河南洛阳模拟)如图，△ABC 中， ∠ABC ＝90°，点D 在BC 边上，点E 在AD 上. (1)若点D 是CB 的中点，∠CED ＝30°，DE ＝1，CE ＝3，求△ACE 的面积；(2)若AE ＝2CD ，∠CAE ＝15°，∠CED ＝45°，求∠DAB 的余弦值.19.(本小题满分16分)(2015·河南天一大联考)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫3sin x4，1，n＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos x 4，cos 2x 4，记ƒ(x)＝m ·n.(1)若ƒ(α)＝32，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π3－α的值；(2)将函数y ＝ƒ(x)的图象向右平移2π3个单位得到y ＝g(x)的图象，若函数y ＝g(x)－k 在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，7π3上有零点，求实数k 的取值范围.20.(本小题满分16分)(2015·潍坊模拟)已知向量m ＝(3sin ωx ，－cos 2ωx)，n ＝(cos ωx ，1)(ω＞0)，把函数f(x)＝m ·n ＋12化简为f(x)＝Asin (ωx ＋φ)＋B 的形式后，利用“五点法”画y ＝f(x)在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表所示：x π12 712π ①ωx ＋φ 0 π232π2πf(x)0 1 0 －1 0(1)请直接写出①处应填的值，并求ω的值及函数f(x)在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2，π6上的值域；(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A 2＋π6＝1，c ＝2，a ＝7，求BA→·BC →.单元卷四 平面向量(A 级) (时间：60分钟 满分：100分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1.(2015·惠州市二调)已知向量AB →＝(3，7)，BC →＝(－2，3)，则－12AC →＝________.2.(2015·山西四校联考)如图，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF→等于________. 3.(2015·江西省质检三)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D满足BD→＝4DC →，则AD →等于________. 4.(2015·云南师大附中检测)设x ∈R ，向量a ＝(1，x)，b ＝(2，－4)，且a ∥b ，则a ·b ＝________.5.(2015·朝阳区模拟)设a ，b 是两个非零的平面向量，下列说法正确的是________.(填命题的序号)①若a ·b ＝0，则有|a ＋b|＝|a －b|； ②|a ·b|＝|a||b|；③若存在实数λ，使得a ＝λb ，则|a ＋b|＝|a|＋|b|； ④若|a ＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a ＝λb. 6.(2015·吉林长春模拟)已知平面向量a ，b 满足|a|＝3，|b|＝2，a ·b ＝－3，则|a ＋2b|＝________.7.(2015·山东省实验中学三诊)已知|a|＝1，|b|＝6，a ·(b －a)＝2，则向量a 与b 的夹角为________.8.(2015·江苏启东模拟)已知平面上四个互异的点A 、B 、C 、D 满足：(AB →－AC→)·(2AD →－BD →－CD →)＝0，则△ABC 的形状是________. 9.(2015·天津六校联考)在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP→·CB →＋CP →·CA →＝________.10.(2015·北京东城区高三期末)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(m ，2m －3)，平面上任意向量c 都可以唯一地表示为c ＝λa ＋μb(λ，μ∈R)，则实数m 的取值范围是________.11.(2015·荆门市调研)在平面直角坐标平面上，OA→＝(1，4)，OB →＝(－3，1)，且OA →与OB →在直线l 的方向向量上的投影的长度相等，则直线l 的斜率为________.12.(2015·江西省质检三)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a ·b ＝(a 1b 1，a 2b 2)，已知向量m ＝(1，2)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6，0，点A(x ，y)在函数y ＝cosx 的图象上运动，B 是函数y ＝f(x)图象上的点，且满足OB →＝m ·OA →＋n(其中O为坐标原点)，则函数y ＝f(x)的值域是________. 13.(2015·山东济宁模拟)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE→·BF →的值是________.14.(2015·山西省三诊)已知点O 为△ABC 内一点，且OA →＋2OB →＋ 3OC→＝0，则△AOB ，△AOC ，△BOC 的面积之比等于________. 二、解答题(本大题共2小题，共30分)15.(本小题满分15分)(2015·江苏四市模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设向量。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4.概率与统计
1.某学校甲、乙两个班各派10名同学参加英语口语比赛，并记录他们的成绩，得到如图所示的茎叶图.现拟定在各班中分数超过本班平均分的同学为“口语王”.
(1)记甲班“口语王”人数为m，乙班“口语王”人数为n，比较m，n的大小；
(2)随机从“口语王”中选取2人，记X为来自甲班“口语王”的人数，求X 的分布列和期望.
解(1)因为x
甲＝
60＋72＋75＋77＋80＋80＋84＋88＋91＋93
10
＝80，所以m
＝4，
x
乙＝
61＋64＋70＋72＋73＋85＋86＋88＋94＋97
10
＝79，所以n＝5，所以m
＜n.
(2)X取0，1，2，
所以P(X＝0)＝C0
4
C2
5
C2
9
＝
5
18
，
P(X＝1)＝C1
4
C1
5
C2
9
＝
5
9
，
P(X＝2)＝C2
4
C0
5
C2
9
＝
1
6
，
所以X的分布列为
所以E(X)＝0×
5
18
＋1×
9
＋2×
6
＝
9
.
2.(2017届重庆市第一中学月考)为了解我校2017级本部和大学城校区的学生是否愿意参加自主招生培训的情况，对全年级2 000名高三学生进行了问卷调
查，统计结果如下表：
(1)15人，则大学城校区应抽取几人；
(2)现对愿意参加自主招生的同学组织摸底考试，考试共有5道题，每题20分，对于这5道题，考生“如花姐”完全会答的有3题，不完全会的有2道，不完全会的每道题她得分S 的概率满足：P(S ＝6k)＝4－k
6
，k ＝1，2，3，假设解答各题之间没有影响，
①对于一道不完全会的题，求“如花姐”得分的期望E(S)； ②试求“如花姐”在本次摸底考试中总得分的期望. 解 (1)大学城校区应抽取15×80220＋80
＝4(人).
(2)①由题知：对一道不完全会的题，“如花姐”得分的分布列为P(S ＝6k)＝
4－k
6
，k ＝1，2，3，即 E(S)＝6×12＋12×13＋18×1
6
＝10.
②记ξ为“如花姐”做2道不完全会的题的得分总和， 则ξ＝12，18，24，30，36， P(ξ＝12)＝12×12＝1
4
；。