(新课标)2017春高中数学章末整合提升2新人教A版必修5资料
高中数学 人教A版必修五全册电子教案(含课程纲要))
（1）课内即时评价：对学生个体与群体的课堂纪律、学习态度、 参与程度、方法效果等方面的表现随堂作出及时评价，学段末综合每 个学生的表现，按等级 A、B、C 作出定性评价。 （2）课后自主学习与作业评价：对学生个体课后学习的主动自觉 性、完成学习任务的程度、书面作业的数量和质量、单元达标测试等 及时反馈评价，学段末综合每个学生的表现，按等级 A、B、C 作出定 性评价。 3、 研究性学习评价：按学校评价办法执行。 （四） 学分授予： 1、 原则：有以下三种情况之一者，不授予学分 （1） 出勤率不足百分之九十； （2） 学习状态评定等级为 C； （3） 学段末达标测试成绩达不到合格线。 2、学段末学科成绩以定性与定量两种方式告知本人和家长。 （五） 学段末教学达标测评 1、 量标测试重点： （1） 实际问题的建模与求解能力； （2） 推理运算能力； （3） 方程与数形结合的思想方法； （4） 正弦定理、余弦定理、等差数列、等比数列、一元二次不等 式的解法，二元一次不等式组表示平面区域的画法、线形规划的基本 思想方法。 2、 量标测试命题双向细目表
第 4 页，共 10 页 郑州市第二中学
11
简单线形规划
理解（操作、会、初步应 用）
6
12
基本不等式
理解（探索、会、初步应 用）
5
13 14
学段末复习
理解、掌握、应用 课时合计
6 54
（二）重点、难点分析 1、 解三角形 （1） 重点： (a) 正弦定理、余弦定理及三角形的度量； (b) 测量和计算实际问题。 （2） 难点： (a) 探索正弦定理、余弦定理； (b) 正弦定理、余弦定理的灵活应用和实际应用。 2、 数列 （1） 重点： (a) 等差、等比数列的概念、通项公式、求和公式； (b) 概念、公式、性质的应用。 （2） 难点： (a) 探求等差、等比数列前 n 项和公式； (b) 有关知识的灵活应用； (c) 数列建摸。 3、 不等式
新课标2017春高中数学章末整合提升3课件新人教A版必修5
『规律总结』
对有关复合函数的问题，我们往往采用“化复合函数为基
本函数”的办法，使之一步步转化为我们熟知的题型．此题就是把一个复合函
数求范围的问题转化为不等式恒成立的问题．
专题三 ⇨简单的线性规划问题
(1)求平面区域的面积 通过“直线定界，特殊点定域”准确确定平面区域形状及分界点是解题关 键，割补计算是主要方法．
[解析] ∵x＋y－3xy＋5＝0 ∴3xy＝x＋y＋5≥2 xy＋5，∴3xy－2 xy－5≥0， 5 25 ∴( xy＋1)(3 xy－5)≥0，∴ xy≥ ，即 xy≥ ， 3 9 5 25 等号成立的条件是 x＝y＝ ，故 xy 的最小值是 . 3 9
专题五 ⇨不等式与函数、方程的问题
设 a∈R，关于 x 的一元二次方程 7x2－(a＋13)x＋a2－a－2＝0 有两 个实根 x1、x2，且 0<x1<1<x2<2，求 a 的取值范围. 导学号 54742883
∵g(x)＝x2＋2x 在[1，＋∞)上是单调递增的， ∴g(x)min＝g(1)＝3. ∴a2－2a<3，解此一元二次不等式可得－1<a<3. ∴实数 a 的取值范围是－1<a<3.
『规律总结』 等价转化思想解不等式问题的步骤：(1)观察原式的特点，
根据已知和待求，确定转化方向；(2)解转化后的不等式问题，一般是解一元二 次不等式(组)或转化为求函数值域；(3)给出结论．
综上，当 a＝0，或 a＝1 时，原不等式的解集为 ∅； 当 0<a<1 时，原不等式解集为(a2，a)； 当 a<0，或 a>1 时，原不等式的解集为(a，a2)．
『规律总结』 解含参数不等式需分类的情况：(1)二次项系数为字母且没
(新课标)高中数学 章末整合提升1 新人教A版必修5(2021年最新整理)
（新课标）2017春高中数学章末整合提升1 新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（新课标）2017春高中数学章末整合提升1 新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2017春高中数学章末整合提升1 新人教A版必修5基础巩固一、选择题1．(2016·北京丰台区二模)已知a，b，c分别是△ABC三个内角A,B，C的对边，b＝错误!,c ＝错误!,B＝错误!，那么a等于错误!( C )A．1 B．2C．4 D．1或4[解析］在△ABC中，b＝7，c＝3，cos B＝错误!,由余弦定理有b2＝a2＋c2－2ac cos B，即7＝a2＋3－3a，解得a＝4或a＝－1（舍去）．故a的值为4。
2．在△ABC中,内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a2－b2＝3bc，sin C＝2错误!sin B，则A＝错误!（ A )A．30°B．60°C．120°D．150°［解析]由余弦定理得：cos A＝错误!，由题知b2－a2＝－错误!bc，c2＝2错误!bc，则cos A ＝错误!，又A∈(0°，180°）,∴A＝30°，故选A．3．三角形两边之差为2，夹角的余弦值为错误!,面积为14，那么这个三角形的此两边长分别是错误!( D ）A．3和5 B．4和6C．6和8 D．5和7[解析]设夹角为A，∵cos A＝35，∴sin A＝错误!,S＝错误!bc sin A＝14,∴bc＝35,又b－c＝2，∴b＝7，c＝5。
2017-2018学年高二数学人教A版必修5课件：本章整合2
专题一
专题二
专题三
例 1 根据下面数列的前几项,写出数列的一个通项公式. (1)1,1,7 , 15 , 31,…; (2)2,22,222,2 222,…; (3)3,0,-3,0,3,…. 解 (1)数列即为1 , 3 , 7 , 15 , 31,…,由于分子是等差数列{2n-1}的 各项,分母是数列{2 -1}的各项,故
⑦a,A,b 成等差数列
⇔A=
数 列
特殊数列
������+������ 2 公式: ⑧ ������(������1 +������������ ) 等差数列的前������项和 ⑧ S n= 基本运算——性质 2 ������(������-1) 定义: ⑨ =na1+ d 2 ������������ 公式: ⑩ ⑨ =q(n≥2) 通项公式 ������������-1
∴数列{an}的通项公式为 an= ������ − ������-1(n∈N*).
专题一
专题二
专题三
3.已知递推关系求通项公式 (一)累加法 适用于由形如an+1-an=f(n)型的递推公式求通项公式, (1)当f(n)=d(常数)时,{an}为等差数列,则an=a1+(n-1)d; (2)当f(n)为关于n的函数时,用累加法. 方法如下,由an+1-an=f(n)得 当n≥2时,an-an-1=f(n-1), an-1-an-2=f(n-2), ……
1
由已知可求得 S1=a1=1. 2 ∴数列{������������ }是等差数列,且公差为 1,首项为 1. 2 ∴������������ =1+(n-1)· 1=n. ∵an>0,∴Sn>0.∴Sn= ������.
人教新课标版数学高二-人教A必修5学案 第一章 解三角形 章末复习提升
1．三角形解的个数的确定已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理．(1)利用正弦定理讨论：若已知a 、b 、A ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin Aa .若sin B >1，无解；若sin B ＝1，一解；若sin B <1，两解．(2)利用余弦定理讨论：已知a 、b 、A .由余弦定理a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ，即c 2－(2b cos A )c ＋b 2－a 2＝0，这是关于c 的一元二次方程．若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形一解；若方程有两不同正数解，则三角形有两解． 2．三角形形状的判定方法判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如：a ＝2R sin A ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角恒等式所体现的角之间的关系．如：sin A ＝sin B ⇔A ＝B ；sin(A －B )＝0⇔A ＝B ；sin 2A ＝sin 2B ⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2等；二是利用正弦定理、余弦定理化角为边，如：sin A ＝a2R (R 为△ABC 外接圆半径)，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc 等，通过代数恒等变换求出三条边之间的关系进行判断． 3．解三角形应用题的基本思路解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题来解决．其基本解题思路是：首先分析此题属于哪种类型的问题(如：测量距离、高度、角度等)，然后依题意画出示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，哪个定理求解，并进行作答．解题时还要注意近似计算的要求.题型一 利用正、余弦定理解三角形 解三角形的一般方法：(1)已知两角和一边，如已知A 、B 和c ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，由正弦定理求a 、b . (2)已知两边和这两边的夹角，如已知a 、b 和C ，应先用余弦定理求c ，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A ＋B ＋C ＝π，求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a 、b 和A ，应先用正弦定理求B ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c ，要注意解可能有多种情况． (4)已知三边a 、b 、c ，可应用余弦定理求A 、B 、C .例1 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，设a ，b ，c 满足条件b 2＋c 2－bc ＝a 2和c b ＝12＋3，求A 和tan B 的值．解 由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，A ∈(0°，180°)．因此A ＝60°.在△ABC 中，C ＝180°－A －B ＝120°－B .由已知条件，应用正弦定理12＋3＝c b ＝sin C sin B ＝sin (120°－B )sin B ＝sin 120°cos B －cos 120°sin Bsin B ＝32tan B ＋12，从而tan B ＝12.跟踪演练1 如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，求AD 的长度．解 在△ABC 中，∵AB ＝AC ＝2，BC ＝23，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32，∴sinC ＝12；在△ADC 中，由正弦定理得，AD sin C ＝AC sin ∠ADC ，∴AD ＝222×12＝ 2.题型二 与解三角形有关的综合问题该类问题以三角形为载体，在已知条件中设计了三角形的一些边角关系，由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式，通过定理的运用能够实现边角互化，在边角互化时，经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等．例2 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －b )cos C ＝c ·cos B ，△ABC 的面积S ＝103，c ＝7. (1)求角C ；(2)求a ，b 的值． 解 (1)∵(2a －b )cos C ＝c cos B ， ∴(2sin A －sin B )cos C ＝sin C cos B ， 2sin A cos C －sin B cos C ＝cos B sin C ， 即2sin A cos C ＝sin(B ＋C )，∴2sin A cos C ＝sin A ．∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0， ∴cos C ＝12，∴C ＝π3.(2)由S ＝12ab sin C ＝103，C ＝π3，得ab ＝40.①由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 即c 2＝(a ＋b )2－2ab (1＋cos π3)，∴72＝(a ＋b )2－2×40×⎝⎛⎭⎫1＋12.∴a ＋b ＝13.② 由①②得a ＝8，b ＝5或a ＝5，b ＝8.跟踪演练2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cosB 2＝255， 求△ABC 的面积S .解 因为cos B ＝2cos 2B 2 －1＝35，所以sin B ＝45.所以sin A ＝sin(π－B －C )＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4－B ＝sin 3π4cos B －cos 3π4sin B ＝7210.由正弦定理，得c ＝a sin C sin A ＝107，所以S ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87.题型三 正、余弦定理在实际中的应用 应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解； (4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案． 例3 如图，a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a 上点A 处有一个水声监测点，另两个监测点B ，C 分别在A 的正东方20 km 和54 km 处．某时刻，监测点B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8 s 后监测点A,20 s 后监测点C 相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1)设A 到P 的距离为x km ，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值； (2)求静止目标P 到海防警戒线a 的距离(精确到0.01 km)．解 (1)由题意得P A －PB ＝1.5×8＝12(km)，PC －PB ＝1.5×20＝30(km)． ∴PB ＝(x －12)(km)，PC ＝(18＋x )(km)．在△P AB 中，AB ＝20 km ，cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22P A ·AB ＝x 2＋202－(x －12)22x ·20＝3x ＋325x .同理cos ∠P AC ＝72－x3x .∵cos ∠P AB ＝cos ∠P AC ，∴3x ＋325x ＝72－x 3x ，解得x ＝1327(km)． (2)作PD ⊥a 于D ，在Rt △PDA 中 ，PD ＝P A cos ∠APD ＝P A cos ∠P AB ＝x ·3x ＋325x ＝3×1327＋325≈17.71(km)．所以静止目标P 到海防警戒线a 的距离为17.71 km.跟踪演练3 甲船在A 处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B 处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A 处向北偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？解 设甲、乙两船经t 小时后相距最近，且分别到达P 、Q 两处，因乙船到达A 处需2小时．图(1) 图(2)①当0≤t ＜2时，如图(1)在△APQ 中，AP ＝8t ，AQ ＝20－10t ， 所以PQ ＝AQ 2＋AP 2－2AQ ·AP cos 120°＝ (20－10t )2＋(8t )2－2(20－10t )×8t ×⎝⎛⎭⎫－12 ＝84t 2－240t ＋400＝221t 2－60t ＋100.②当t ＝2时，PQ ＝8×2＝16.③当t >2时，如图(2)在△APQ 中，AP ＝8t ，AQ ＝10t －20， ∴PQ ＝AQ 2＋AP 2－2AQ ·AP cos 60°＝221t 2－60t ＋100.综合①②③知，PQ ＝221t 2－60t ＋100 (t ≥0)．当且仅当t ＝3021＝107时，PQ 最小．答 甲、乙两船行驶107小时后，相距最近．题型四 函数与方程思想的应用与函数思想相联系的就是方程思想．所谓方程思想，就是在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题所涉及的各量间的制约关系，列出方程(组)，从而求出未知数及各量的值，使问题获得解决，所设的未知数沟通了变量之间的联系．方程可以看做未知量与已知量相互制约的条件，它架设了由已知探索未知的桥梁．本章在利用正、余弦定理求角或边长时，往往渗透着函数与方程思想．例4 在△ABC 中，已知A >B >C ，且A ＝2C ，b ＝4，a ＋c ＝8，求a ，c 的长．解 由正弦定理得a sin A ＝c sin C ，∵A ＝2C ，∴a sin 2C ＝csin C ，∴a ＝2c cos C ．又∵a ＋c ＝8，∴cos C ＝8－c2c，①由余弦定理及a ＋c ＝8，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋42－c 28a ＝(8－c )2＋42－c 28(8－c )＝10－2c8－c .②由①②知8－c 2c ＝10－2c8－c ，整理得5c 2－36c ＋64＝0.∴c ＝165或c ＝4(舍去)．∴a ＝8－c ＝245.故a ＝245，c ＝165.跟踪演练4 已知函数f (x )＝32sin 2x －1＋cos 2x 2－12，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小值和最小正周期；(2)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且c ＝3，f (C )＝0，若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求a ，b 的值． 解 (1)∵f (x )＝32sin 2x －1＋cos 2x 2－12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1，∴函数f (x )的最小值是－2， 最小正周期是T ＝2π2＝π.(2)由题意得f (C )＝sin(2C －π6)－1＝0，∴sin(2C －π6)＝1，∵0<C <π，∴－π6<2C －π6<116π，∴2C －π6＝π2，∴C ＝π3，∵m ∥n ，∴12＝sin A sin B ，由正弦定理得，a b ＝12，①由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即3＝a 2＋b 2－ab ，② 由①②解得a ＝1，b ＝2.1.在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B等价于a＞b等价于sin A＞sin B.2．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．3．正弦定理是一个关于边角关系的连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用．运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．。
高中数学人教A版必修5章末复习提升课01(35张)课件
3.解读判断三角形形状的两种方法 判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，此
类题目一般采用以下两种方法求解： (1)利用正弦定理化边为角，通过三角运算判断三角形的形
状； (2)利用余弦定理化角为边，通过代数运算判断三角形的形
状． 注意：根据余弦定理判断三角形形状时，当 a2＋b2<c2，b2
2
2 2
＝6，
3
所以在△BDC 中，由余弦定理得
BC2＝BD2＋CD2－2BD·CD·cos∠BDC＝32，
所以 a＝4 2.
方法归纳
(1)对于三角形面积公式 S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA，一 般是已知哪一个角就使用含有那个角正弦的面积公式．
(2)在涉及三角形面积时，常常借助正弦定理或余弦定理进 行边和角的转化．
解析：根据题图知，AC＝100 2 m. 在△MAC 中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理得siAn4C5°＝siAn6M0°⇒AM＝100 3 m. 在△AMN 中，MAMN＝sin60°，
所以 MN＝100 3× 23＝150(m)． 答案：150
专题三 与三角形面积有关的问题 [例 3] (山东烟台高二期中)在△ABC 中，角 A，B，C 的对 边分别为 a，b，c，且三角形的面积为 S＝12bccosA. (1)求角 A 的大小； (2)若 c＝8，点 D 在 AC 边上，且 CD＝2，cos∠ADB＝－13， 求 a 的值．
(2)余弦定理；三角形中任何一边的平方等于其他两边的平 方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即：
a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－
2abcosC. 余弦定理的推论：cosA＝b2＋2cb2c－a2，cosB＝a2＋2ca2c－b2，cosC
(新课标)高中数学 章末整合提升2 新人教A版必修5(2021年最新整理)
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2017春高中数学章末整合提升2 新人教A版必修5基础巩固一、选择题1．在等差数列｛a n｝中，a2＝1,a4＝5,则｛a n}的前5项和S5＝导学号 54742532( B ) A．7 B．15C．20 D．25［解析]a1＝1，a4＝5⇒S5＝错误!×5＝错误!×5＝15.2．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2＋n,那么它的通项公式a n＝错误!（ B )A．n B．2nC．2n＋1 D．n＋1［解析]当n＝1时,a1＝S1＝2,排除A，C；当n＝2时,a2＝S2－S1＝6－2＝4,排除D，故选B．3．已知数列｛a n}的通项公式a n＝3n－50，则前n项和S n的最小值为错误!（ B )A．－784 B．－392C．－389 D．－368［解析］由3n－50≥0及n∈N*知n≥17，∴n≤16时，a n〈0，a17〉0，∴S16最小，S16＝16a1＋错误!d＝16×(－47)＋120×3＝－392。
4．(2016·山西四校联考）已知等比数列｛a n}中，各项都是正数，且a1,错误!a3，2a2成等差数列,则错误!＝错误!（ C )A．1＋错误!B．1－错误!C．3＋2 2 D．3－2错误!［解析］设等比数列{a n}的公比为q，由数列中各项均为正数,可知a1>0，q〉0。
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2017春高中数学章末整合提升3 新人教A版必修5基础巩固一、选择题1．（2015·四川理，1）设集合A＝{x｜(x＋1）（x－2）<0}，集合B＝{x｜1〈x<3}，则A ∪B＝错误!（ A )A．{x｜－1<x〈3} B．{x|－1〈x〈1｝C．{x|1〈x<2} D．｛x｜2<x〈3}［分析］考查集合的基本运算和一元二次不等式的解法．解答本题先解不等式求出A，再按并集的意义求解．[解析]A＝｛x|－1<x<2}，B＝{x｜1<x〈3｝，∴A∪B＝｛x|－1<x〈3｝，选A．2．已知a＋b>0，ab〈0，那么下列不等式一定成立的是错误!( D )A．错误!<错误!B．a2〈b2C．|a|〉｜b｜D．错误!〈1［解析]∵a＋b〉0，ab〈0，∴a与b一正一负，且正数的绝对值较大，由于a与b哪一个为正不能确定，故A，B,C都错．而错误!〈0<1，故选D．3．不等式（x＋5)(3－2x）≥6的解集是导学号 54742892（ D )A．错误!B．错误!C．错误!D．错误![解析］解法1:取x＝1检验，满足排除A;取x＝4检验，不满足排除B，C;∴选D．解法2：化为：2x2＋7x－9≤0，即(x－1）（2x＋9)≤0，∴－错误!≤x≤1，选D．4．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是错误!（ D )A．[0,2] B．［－2，0]C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2］[解析]∵2x＋2y≥22x＋y，∴2错误!≤1，∴2x＋y≤错误!＝2－2,∴x＋y≤－2，故选D．5．x , y满足约束条件错误!若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为错误!( D ）A．错误!或－1 B．2或错误!C．2或1 D．2或－1［解析]如图,z＝y－ax的最大值的最优解不唯一，即直线y＝ax＋z与直线2x－y＋2＝0或x＋y－2＝0重合,∴a＝2或－1。
高中数学人教A版必修5课件：章末复习提升课02(40张)
所以 S15＝32k，故 S15∶S5＝3∶4.
方法归纳
解决与等差、等比数列性质有关的问题的注意事项 (1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用； (2)对于计算解答题注意基本量及方程思想的运用； (3)注重问题的转化，由非等差数列、非等比数列构造出新 的等差数列或等比数列，以便利用其公式和性质解题．
(3)在数列{an}中，若 a1＝1，an＋1＝2an＋3(n≥1)，则该数列 的通项公式 an＝_2_n＋_1_－__3__.
【解析】 (1)因为 3S1,2S2，S3 成等差数列，所以 4S2＝3S1
＋S3，即 4(a1＋a2)＝3a1＋a1＋a2＋a3.化简，得aa32＝3，即等比数 列{an}的公比 q＝3，故 an＝1×3n－1＝3n－1.
(3)通项公式法：an＝an＋b(a，b 是常数)⇔{an}是等差数列； an＝c·qn(c，q 为非零常数)⇔{an}是等比数列．
(4)前 n 项和公式法：Sn＝an2＋bn(a，b 为常数，n∈N*)⇔{an} 是等差数列；Sn＝aqn－a(a，q 为常数，且 a≠0，q≠0，q≠1，n∈N*) ⇔{an}是等比数列．
等比数列
注意 在解答题中证明一个数列是等比(或等差)数列通常 用定义法和中项公式法，通项公式法和前 n 项和公式法常在小题 或分析题意时应用．
能力挑战 1 已知等比数列{an}的公比 q＝－12.
(1)若 a3＝14，求数列{an}的前 n 项和； (2)证明：对任意 k∈N*，ak，ak＋2，ak＋1 成等差数列．
知能整合提升
1.了解数列的概念及表示方法 (1)定义：按照一定顺序排列着的一列数． (2)表示方法：列表法、图象法、通项公式法和递推公式法． (3)分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列； 按项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列
数学必修Ⅴ人教新课标A版第二章数列整合提升
(1)求b2，b3，b4的值；
(2)求{bn}的通项公式；
(3)求b2＋b4＋b6＋…＋b2n的值．
[解析](1)b2＝ S1＝ b1＝ ，b3＝ S2＝ (b1＋b2)＝ ，b4＝ S3＝ (b1＋b2＋b3)＝ .
(2)
①－②解bn＋1－bn＝ bn，∴bn＋1＝ bn，
A． B．
C．20D．110
[解析]由题意知：S奇＝a1·a3·…·a2n＋1＝100，
S偶＝a2·a4·…·a2n＝120，
∴ ＝ ·a1＝a1·qn＝an＋1，
∴an＋1＝ ＝ .
12．等差数列{an}中，a1>0，a10·a11<0，若此数列前10项和S10＝36，前18项和S18＝12，则数列{|an|}的前18项和T18的值是 (C)
(2)设bn＝n·an，求数列{bn}的前n项和Tn.
[解析](1)当n＝1时a2＝S1＋2＝4＝2a1，
当n≥2时 ⇒an＋1＝2an，
数列{an}满足an＋1＝2an(n∈N*)，且a1＝2，∴an＝2n(n∈N*)．
(2)bn＝n·an＝n·2n
Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n
4．(2016·山西四校联考)已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1， a3,2a2成等差数列，则 ＝ (C)
A．1＋ B．1－
C．3＋2 D．3－2
[解析]设等比数列{an}的公比为q，由数列中各项均为正数，可知a1>0，q>0.由题意，得a3＝a1＋2a2，即q2＝1＋2q.解得q＝1＋ (负值舍去)，因此 ＝q2＝3＋2 .故选C．
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2017春高中数学 章末整合提升2 新人教A 版必修5基 础 巩 固一、选择题1．在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝5，则{a n }的前5项和S 5＝导学号 54742532( B ) A ．7 B ．15 C ．20D ．25[解析] a 1＝1，a 4＝5⇒S 5＝a 1＋a 52×5＝a 2＋a 42×5＝15.2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，那么它的通项公式a n ＝导学号 54742533( B )A ．nB ．2nC ．2n ＋1D ．n ＋1[解析] 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，排除A ，C ；当n ＝2时，a 2＝S 2－S 1＝6－2＝4，排除D ，故选B ．3．已知数列{a n }的通项公式a n ＝3n －50，则前n 项和S n 的最小值为导学号 54742534( B )A ．－784B ．－392C ．－389D ．－368[解析] 由3n －50≥0及n ∈N *知n ≥17，∴n ≤16时，a n <0，a 17>0，∴S 16最小，S 16＝16a 1＋16×152d ＝16×(－47)＋120×3＝－392.4．(2016·山西四校联考)已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝导学号 54742535( C ) A ．1＋ 2 B ．1－ 2 C ．3＋2 2D ．3－2 2[解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，由数列中各项均为正数，可知a 1>0，q >0.由题意，得a 3＝a 1＋2a 2，即q 2＝1＋2q .解得q ＝1＋2(负值舍去)，因此a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2＝3＋2 2.故选C ． 5．已知数列{a n }的首项a 1＝2，且a n ＝4a n －1＋1(n ≥2)，则a 4为导学号 54742536( B )A ．148B ．149C ．150D ．151[解析] ∵a 1＝2，a n ＝4a n －1＋1(n ≥2)，∴a 2＝4a 1＋1＝4×2＋1＝9，a 3＝4a 2＋1＝4×9＋1＝37，a 4＝4a 3＋1＝4×37＋1＝149.6．(2015·乌鲁木齐三诊)等比数列{a n }满足a 2＋8a 5＝0，设S n 是数列{1a n}的前n 项和，则S 5S 2＝导学号 54742537( A )A ．－11B ．－8C ．5D ．11[解析] 由a 2＋8a 5＝0得a 1q ＋8a 1q 4＝0，解得q ＝－12.易知{1a n}是等比数列，公比为－2，首项为1a 1，所以S 2＝1a 1[1－ －2 2]1－ －2 ＝－1a 1，S 5＝1a 1[1－ －2 5]1－ －2 ＝11a 1，所以S 5S 2＝－11，故选A ．二、填空题7．等差数列{a n }前n 项和S n ，若S 10＝S 20，则S 30＝0.导学号 54742538 [解析] ∵S 10＝S 20，∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，∴2a 1＝－29d .∴S 30＝30a 1＋30×292d ＝15×(－29d )＋15×29d ＝0.8．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是4.导学号 54742539[解析] 设公比为q ，因为a 2＝1，则由a 8＝a 6＋2a 4得q 6＝q 4＋2q 2，所以q 4－q 2－2＝0，解得q 2＝2，所以a 6＝a 2q 4＝4.三、解答题9．已知数列{b n }前n 项和为S n ，且b 1＝1，b n ＋1＝13S n .导学号 54742540(1)求b 2，b 3，b 4的值； (2)求{b n }的通项公式； (3)求b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n 的值．[解析] (1)b 2＝13S 1＝13b 1＝13，b 3＝13S 2＝13(b 1＋b 2)＝49，b 4＝13S 3＝13(b 1＋b 2＋b 3)＝1627.(2)⎩⎪⎨⎪⎧b n ＋1＝13S n①b n＝13S n －1②①－②解b n ＋1－b n ＝13b n ，∴b n ＋1＝43b n ，∵b 2＝13，∴b n ＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －2(n ≥2)∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n ＝1 13·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －2n ≥2 .(3)b 2，b 4，b 6，…，b 2n 是首项为13，公比⎝ ⎛⎭⎪⎫432的等比数列，∴b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n ＝13[1－ 432n]1－⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝37[(43)2n－1]． 10．(2015·东北三校二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n ＋1＝S n ＋2，n ∈N *.导学号 54742541(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . [解析] (1)当n ＝1时a 2＝S 1＋2＝4＝2a 1， 当n ≥2时⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋1＝S n ＋2a n ＝S n －1＋2⇒a n ＋1＝2a n ，数列{a n }满足a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，且a 1＝2，∴a n ＝2n (n ∈N *)． (2)b n ＝n ·a n ＝n ·2nT n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n2T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1两式相减，得－T n ＝21＋22＋23＋…＋2n －1＋2n －n ·2n ＋1＝2 1－2n1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1T n ＝2＋(n －1)·2n ＋1(n ∈N *)．能 力 提 升一、选择题11．等比数列{a n }共有2n ＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则a n ＋1等于导学号 54742542( B )A ．65B ．56C ．20D ．110[解析] 由题意知：S 奇＝a 1·a 3·…·a 2n ＋1＝100，S 偶＝a 2·a 4·…·a 2n ＝120，∴S 奇S 偶＝a 3·a 5·…·a 2n ＋1a 2·a 4·…·a 2n·a 1＝a 1·q n＝a n ＋1， ∴a n ＋1＝100120＝56.12．等差数列{a n }中，a 1>0，a 10·a 11<0，若此数列前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是导学号 54742543( C )A ．24B ．48C ．60D ．84[解析] 由a 1>0，a 10·a 11<0知d <0，且a 10>0，a 11<0， ∴T 18＝a 1＋a 2＋…＋a 10－a 11－a 12－…－a 18 ＝2S 10－S 18＝60.13．(2015·兰州市诊断)若数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝23，2a n －1a n ＋1＝a n a n ＋1＋a n －1a n (n ≥2)，则a n ＝导学号 54742544( A )A ．2n ＋1B ．2n ＋2C ．(23)nD ．(23)n －1[解析] 由2a n －1a n ＋1＝a n a n ＋1＋a n －1a n 得， 2a n＝a n －1＋a n ＋1a n －1a n ＋1＝1a n －1＋1a n ＋1，∴1a n －1a n －1＝1a n ＋1－1a n，令b n ＝1a n ，则{b n }为等差数列，b 1＝1a 1＝1，b 2＝1a 2＝32，公差d ＝b 2－b 1＝12，∴b n ＝b 1＋(n －1)d ＝1＋12(n －1)＝12(n ＋1)．∴a n ＝2n ＋1.故选A ．14．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f (n )＝12n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是导学号 54742545( C )A ．5年B ．6年C ．7年D ．8年[解析] 由已知可得第n 年的产量a n ＝f (n )－f (n －1)＝3n 2.当n ＝1时也适合，据题意令a n ≥150⇒n ≥52，即数列从第8项开始超过150，即这条生产线最多生产7年．二、填空题15．已知a ，b ，c 成等比数列，如果a ，x ，b 和b ，y ，c 都成等差数列，则a x ＋cy＝2.导学号 54742546[解析] 赋值法．如令a ，b ，c 分别为2,4,8，可求出x ＝a ＋b2＝3，y ＝b ＋c2＝6，a x ＋c y＝2.16．(2015·聊城模拟)已知首项为正数的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1 006和a 1 007是方程x 2－2 012x －2 011＝0的两根，则使S n >0成立的正整数n 的最大值是2_012. 导学号 54742547[解析] 由题意知，a 1 006＋a 1 007＝2 012>0，a 1 006·a 1 007＝－2 011<0，又因为{a n }首项为正且为等差数列，所以a 1 006>0，a 1 007<0,2a 1 006＝a 1＋a 2 011>0,2a 1 007＝a 1＋a 2 013<0，即S 2 011>0，S 2 013<0，又因S n ＝n a 1＋a n2.∴S 2 012＝2 012× a 1＋a 2 012 2＝2 012× a 1 006＋a 1 0072＞0，∴所求n 的值是2 012. 三、解答题17．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝35，a 5和a 7的等差中项为13.导学号 54742548(1)求a n 及S n ； (2)令b n ＝4a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n . [解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 因为S 5＝5a 3＝35，a 5＋a 7＝26，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2，所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，S n ＝3n ＋n n －1 2×2＝n 2＋2n .(2)由(1)知a n ＝2n ＋1， 所以b n ＝4a 2n －1＝1n n ＋1 ＝1n －1n ＋1， 所以T n ＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 18．已知公差不为零的等差数列{a n }的前4项和为10，且a 2，a 3，a 7成等比数列.导学号 54742549(1)求通项公式a n ；(2)设b n ＝2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .[解析] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝10，a 1＋2d 2＝ a 1＋d a 1＋6d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝3，所以a n ＝3n －5(n ∈N *)．(2)∵b n ＝2a n ＝23n －5＝14×8n －1，∴数列{b n }是首项为14，公比为8的等比数列，所以S n ＝14 1－8n1－8＝8n －128.。