第一章 1.3 1.3.1 函数的单调性与导数

立．
因为－1＜x＜1，所以3x2＜3，所以a≥3. 即当a≥3时，f(x)在(－1,1)上为减函数．
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(4)f(x)不变，若f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求a的取值 范围． 3a 3a 解：由例题可知，f(x)的单调递减区间为－ ， ， 3 3
3a ∴ ＝1，即 a＝3. 3 (5)f(x)不变，若f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值 范围．
1 答案：－∞，2
1 的取值范围是－∞，2.
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1 2 5．已知函数 f(x)＝ln x，g(x)＝ ax ＋2x，a≠0. 2 若函数 h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减， 求 a 的取值范围．
1 1 解：h(x)＝ln x－ ax2－2x，x∈(0，＋∞)，所以 h′(x)＝ －ax－2. x 2 因为 h(x)在[1,4]上单调递减， 1 所以 x∈[1,4]时，h′(x)＝ －ax－2≤0 恒成立， x 1 2 即 a≥ 2－x恒成立， x 所以 因为
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[类题通法] 利用导数判断函数 f(x)在(a，b)内的单调性的步骤 (1)求 f′(x)； (2)确定 f′(x)在(a，b)内的符号； (3)得出结论．
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[活学活用] ln x 试证明：函数 f(x)＝ x 在区间(0,2)上是单调递增函数． 1 x－ln x 1－ln x x· ln x 证明：由于 f(x)＝ x ，所以 f′(x)＝ ＝ ，由 x2 x2 1－ln x 于 0＜x＜2，所以 ln x＜ln 2＜1，故 f′(x)＝ ＞0，即 x2 ln x 函数 f(x)＝ x 在区间(0,2)上是单调递增函数.
在 －
3a 3a 上为减函数． ， 3 3
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[多维探究] 1． 讨论含有参数的函数的单调性， 通常归结为求含参不等式 的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论， 但要始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准． 2．此题是对含参数的函数的单调性进行了讨论，另外，已知 函数的单调性确定参数问题更是各类考试的重点，应注意掌握， 如更换本题的条件，可得如下问题：
知，只有选项 D 符合．
[答案] (1)D (2)D 返回
[类题通法] 研究函数与导函数图像之间关系的方法 研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关系时， 注意 抓住各自的关键要素， 对于原函数， 要注意其图像在哪个区间 内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注 意其函数值在哪个区间内大于零， 在哪个区间内小于零， 并分 析这些区间与原函数的单调区间是否一致．
2
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问题1：试结合图像指出以上三个函数的单调性．
提示：函数 y1＝x 在 R 上为增函数，y2＝x2 在(－∞，0) 1 上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，y3＝x在(－∞，0)，(0， ＋∞)上为减函数．
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提示：y1′＝1 在 R 上为正，y2′＝2x，在(－∞，0)上 1 为负，在(0，＋∞)上为正，y3′＝－ 2在 (－∞，0)及(0， x ＋∞)上均为负．
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解析：∵函数 f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，∴当 x＞0 时，f′(x)＜0，当 x＜0 时，f′(x)＜0.
答案：D
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2．已知函数 f(x)＝ x＋ln x，则有 A．f(2)＜f(e)＜f(3) C．f(3)＜f(e)＜f(2)
(
)
B．f(e)＜f(2)＜f(3) D．f(e)＜f(3)＜f(2)
1.3 1.3.1 函 数 的 单 调 性 与 导 数
1 理解教 材新知
知识点
第 一 章
2 突破常 考题型 3 跨越高 分障碍
题型一 题型二
题型三
4 应用落 实体验
随堂即时演练
课时达标检测
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_1.3
1.3.1
导数在研究函数中的应用
函数的单调性与导数
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[提出问题] 1 已知函数 y1＝x，y2＝x ，y3＝x的图像如图所示．
答案：(1,2)
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ax＋1 4．已知函数 f(x)＝ 在(－2，＋∞)内单调递减，则实数 a x＋2 的取值范围为________．
2a－1 解析：f′(x)＝ ，由题意得 f′(x)≤0 在(－2，＋∞)内 x＋22 1 1 恒成立， ∴解不等式得 a≤ ， 但当 a＝ 时， f′(x)＝0 恒成立， 2 2 不合题意，应舍去，所以 a
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(1)f(x)不变， 若 f(x)为单调递增函数， 求实数 a 的取值范围．
解：由已知得 f′(x)＝3x2－a， 因为 f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数， 所以 f′(x)＝3x2－a≥0 在(－∞，＋∞)上恒成立， 即 a≤3x2 对 x∈R 恒成立．因为 3x2≥0，所以只需 a≤0. 又因为 a＝0 时，f′(x)＝3x2≥0， f(x)＝x3－1 在 R 上是增函数，所以 a≤0.
解：∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a， 3a 由 f′(x)＝0，得 x＝± (a≥0)， 3 ∵f(x)在区间(－1,1)上不单调， 3a ∴0＜ ＜1，即 0＜a＜3. 3
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[随堂即时演练]
1． 函数 y＝f(x)的图像如图所示， 则导函数 y＝f′(x)的图像可能是 ( )
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[例 3]
求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x－x3；(2)f(x)＝x2－ln x.
[解] (1)f′(x)＝1－3x2 3 3 ＜x＜ . 3 3
令 1－3x2＞0，解得－
3 3 因此，函数 ， . 3 3 3 3 2 令 1－3x ＜0，解得 x＜－ 或 x＞ . 3 3 因此，函数 f(x)的单调减区间为
问题3：结合问题1、2探讨，函数的单调性与其导函数正 负有什么关系？ 提示： 当 f′(x)>0 时， f(x) 为增函数；当 f′(x)<0 时， f(x) 为
减函数．
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[导入新知] 函数的单调性与其导数正负的关系
一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下
关系： 导数 f′(x)＞0 f′(x)＜0 函数的单调性 单调递增 ____ 单调递减 ____
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因此
－
f(x)在 －∞，－
3a 3a ， ，＋ ∞ 3 上为增函数， f(x) 在 3
3a 3a 上为减函数． ， 3 3 综上可知，当 a≤0 时，f(x)在 R 上为增函数． 当 a＞ 0
时，f(x)在 －∞，－ 3a 3a ， ，＋ ∞ 上为增函数， 3 3
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[活学活用] (浙江高考)已知函数 y＝f(x)的图像是下列 四个图像之一，且其导函数 y＝f′(x)的图 像如图所示，则该函数的图像是( )
解析：由函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图像自左至右是先增后减， 可知函数y＝f(x)图像的切线的斜率自左至右选增大后减小. 答案：B
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[例 2]
[答案]
B
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(2)[证明]
由于 f(x)＝ex－x－1，
所以 f′(x)＝ex－1， 当 x∈(0，＋∞)时，ex＞1，即 f′(x)＝ex－1＞0. 故函数 f(x)在(0，＋∞)内为增函数， 当 x∈(－∞，0)时，ex＜1，即 f′(x)＝ex－1＜0. 故函数 f(x)在(－∞，0)内为减函数．
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2.与参数有关的函数单调性问题
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[典例]
已知函数 f(x)＝x3－ax－1.讨论 f(x)的单调区间．
[解]
f′(x)＝3x2－a.
(1)当 a≤0 时，f′(x)≥0，所以 f(x)在(－∞，＋∞)上 为增函数． 3a (2)当 a＞0 时，令 3x －a＝0 得 x＝± 3
2
3a 3a 当 x＞ 或 x＜－ 时，f′(x)＞0； 3 3 3a 3a 当－ ＜x＜ 时，f′(x)＜0. 3 3
导数始终为正；当 x＞0 时，函数先增后减再增，即导数先正后 负再正，对照选项，应选 D. (2)从
a＋b f′(x)的图像可以看出，在区间a， 内，导数单 2
a＋b 调递增；在区间 ，b内，导数单调递减．即函数 2
f(x)的图
a＋b a＋ b 像在a， 内越来越陡，在 ，b内越来越平缓，由此可 2 2
f(x)的单调递增区间为 2 ，＋∞；由 f′(x)＜0，解 2
2 得 x＜ ，又 x∈(0，＋∞)，所以函数 f(x)的单调递减区间为 2
0，
2 . 2
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[类题通法] 利用导数求函数单调区间的步骤 (1)确定函数 f(x)的定义域； (2)求导数 f′(x)； (3)由 f′(x)＞0(或 f′(x)＜0)， 解出相应的 x 的范围． 当 f′(x) ＞0 时，f(x)在相应的区间上是增函数；当 f′(x)＜0 时，f(x)在 相应区间上是减函数． (4)结合定义域写出单调区间．
1
1 解析：因为在定义域(0，＋∞)上 f′(x)＝ ＋x＞0，所以 f(x) 2 x 在(0，＋∞)上是增函数，所以有 f(2)＜f(e)＜f(3)．故选 A.
答案：A
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3．函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调减区间是________．
解析：f′(x)＝6x2－18x＋12，令f′(x)＜0，即6x2－18x ＋ 12＜0，解得1＜x＜2.
－∞，－ 3 3 ， ，＋∞. 3 3
f(x)的单调增区间为－
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(2)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)． 1 2x－1 2x＋1 f′(x)＝2x－x＝ . x 2 因为 x＞0，所以 2x＋1＞0，由 f′(x)＞0，解得 x＞ ， 2 所以函数