九年级数学下册第2章圆课题三角形的内切圆学案新版湘教版
课题：三角形的内切圆
【学习目标】
1．理解三角形内切圆的定义，会求较特殊的三角形内切圆半径．
2．能用尺规作三角形内切圆．
【学习重点】
三角形内切圆的定义及有关计算．
【学习难点】
作三角形的内切圆及有关计算．
情景导入生成问题
旧知回顾：
1．切线长定理内容是什么？
答：切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
2．在一块三角形硬纸板上剪下一个面积最大的圆形纸板，应当怎样剪？
答：为了使圆形纸板面积最大，这个圆应当与三角形三边相切．
自学互研生成能力
知识模块一三角形的内切圆、内心及作图
阅读教材P72～P73，完成下列问题：
1．什么是三角形的内切圆？什么是三角形内心？
答：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心叫作三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形．
2．如何作三角形的内切圆？
答：以三角形任意两内角角平线交点为圆心，以这点到各边距离为半径作圆即得三角形内切圆．
【例1】如图，⊙O内切于△ABC，切点为D，E，F连接OE，OF，DE，DF，若∠A＝70°，∠EDF等于( B) A．45°B．55°C．65°D．70°
【变例1】关于三角形的内心：①到三边的距离相等；②到三顶点的距离相等；③是三边垂直平分线的交点；④是三内角平分线的交点．其中正确的说法有( B)
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变例2】若三角形的内心和外心重合，那么这个三角形是( D)
A．直角三角形B．等腰直角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
知识模块二三角形内切圆的计算与证明
【例2】等边三角形外接圆的半径为2，那么它内切圆的半径为__1__．
【变例1】如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数是( B)
A ．105°
B ．115°
C ．120°
D ．130°
(变例1图) (变例2图)
【变例2】 (泸州中考)如图所示，已知⊙O 是边长为2的等边△ABC 的内切圆，则⊙O 的面积为__π3__． 【例3】 △AB C 的内切圆⊙O 与BC ，CA ，AB 分别相切于点D ，E ，F ，且AB ＝18cm ，BC ＝28cm ，CA ＝26cm ，则AF ＝__8__cm ，BD ＝__10__cm ，CE ＝__18__cm .
【变例1】 (日照中考)如图，已知AC⊥BC 于点C ，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，下列选项中⊙O 的半径为ab a ＋b
的是( C ) ,A ) ,B ) ,C )
,D ) 【变例2】 在Rt △ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，∠C ＝90°，内切圆心为I ，外接圆心为O ，则OI ＝__5__．交
流展示 生成新知
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一 三角形的内切圆、内心及作图
知识模块二 三角形内切圆的计算与证明
检测反馈 达成目标
1．(滨州中考)若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为( B )
A . 2
B ．22－2
C ．2－ 2
D .2－2
2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ，则Rt △ABC 内切圆的半径为__1__cm .
3．如图所示，点I为△ABC的内心，点O为△A BC的外心，若∠BOC＝140°，则∠BIC的度数为__125°__．
课后反思查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________。
湘教版数学九年级下册《2.5.4三角形的内切圆》教学设计2
湘教版数学九年级下册《2.5.4三角形的内切圆》教学设计2一. 教材分析湘教版数学九年级下册《2.5.4三角形的内切圆》是初中数学的重要内容，主要让学生了解三角形的内切圆的概念，理解三角形的内切圆与角平分线、中线的性质，学会用三角形的内切圆解决一些几何问题。
本节课的内容对于学生来说比较抽象，需要通过具体的教学活动，让学生理解和掌握。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了三角形的角平分线、中线的性质，对几何图形的性质有一定的了解。
但是，对于三角形的内切圆这一概念，学生可能比较陌生，需要通过具体的教学活动，让学生理解和掌握。
三. 教学目标1.了解三角形的内切圆的概念，理解三角形的内切圆与角平分线、中线的性质。
2.学会用三角形的内切圆解决一些几何问题。
3.培养学生的空间想象能力，提高学生的几何思维能力。
四. 教学重难点1.三角形的内切圆的概念。
2.三角形的内切圆与角平分线、中线的性质。
3.用三角形的内切圆解决几何问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究三角形的内切圆的性质。
2.采用几何画板等软件，直观展示三角形的内切圆的性质，帮助学生理解。
3.通过具体的例题，让学生学会用三角形的内切圆解决几何问题。
六. 教学准备1.准备相关的几何画板软件。
2.准备相关的教学PPT。
3.准备一些具体的例题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习三角形的角平分线、中线的性质，引导学生思考：三角形的内切圆与角平分线、中线有什么关系？从而引出本节课的主题——三角形的内切圆。
2.呈现（10分钟）使用几何画板软件，展示三角形的内切圆的性质，让学生直观地感受三角形的内切圆与角平分线、中线的关系。
3.操练（10分钟）让学生通过观察几何画板软件中的图形，尝试总结出三角形的内切圆的性质。
教师在旁边引导，帮助学生归纳出三角形的内切圆的性质。
4.巩固（10分钟）让学生通过自主探究，尝试证明三角形的内切圆的性质。
湘教版三角形的内切圆教案
三角形的内切圆教学目标：知识与技能让学生掌握三角形的内切圆的性质与概念；过程与方法:经历画内切圆的方法探索内切圆的性质过程；情感态度与价值观：培养学生发散思维、推理能力。
教学重难点：重点：内切圆的概念与性质；难点：内切圆性质的运用。
教学过程：复习：1.切线的判定定理是什么？2.切线的性质定理是什么？新知：想在一块三角形硬纸板上剪下一个面积最大的圆形纸板，应当怎样剪？如图3-40，为了使圆形纸板的面积最大，这个圆应当与三角形的三条边都尽可能贴近.×√由此猜想：这个圆应当与三角形的三条边都相.与三角形的三条边都相切的圆存在吗？如果存在，那么如何画出这样的圆？（1）如果与△ABC的三条边都相切，那么圆心O到三条边的距离都等于，从而这些距离相等.我们已经知道，到一个角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，因此圆心O是∠A的与∠B的的点.（2）如何画一个圆与三角形的三条边都相切？已知△ABC.①作∠A，∠B的平分线AD，BE，它们相交于点O；②过点O作AB的垂线，垂足为M；图3-41③以点O为圆心，OM为半径作圆.（3）上面所作的圆O真的与△ABC的三条边都相切吗？由于圆心O到AB的距离等于OM的长，即等于半径，因此AB 与圆O相；由于圆心O在∠BAC的平分线上，因此圆心O到AC的距离与O 到AB的距离，从而也等于，所以AC与圆O相；类似地，BC与圆O相.（4）与△ABC的三条边都相切的圆有几个？结论：与三角形的三条边都相切的圆有且只有一个.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.由于AB，BC，AC都与圆O相切，因此圆心O到AB，BC，AC的距离都等于，从而圆心O在△ABC的每个内角的上.结论：三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点.例6 设△ABC的内切圆的半径为r，△ABC的周长为l，求△ABC 的面积S.解：略练习：P79 1 2 3 4 5题小结：1.内切圆的概念；2.内切圆的的性质；3.内切圆的画法。
九年级数学下册第2章圆课题切线的判定学案新版湘教版
课题：切线的判定【学习目标】1．理解并掌握圆的切线判定定理，能初步运用它解决有关问题．2．通过对圆的切线判定定理和判定方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力．【学习重点】圆的切线的判定定理．【学习难点】圆的切线的判定定理的应用．情景导入生成问题旧知回顾：1．直线与圆有哪几种位置关系？如何判定？解：有三种，设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，(1)直线l与⊙O相交⇔d<r，直线与圆有两个公共点；(2)直线l与⊙O相切⇔d＝r，直线与圆有唯一公共点；(3)直线l与⊙O相离⇔d>r，直线与圆没有公共点．2．什么是圆的切线？答：直线与圆只有一个公共点，这时称直线与圆相切．这条直线叫作圆的切线，这个公共点叫切点．自学互研生成能力知识模块切线的判定阅读教材P66～P67，完成下列问题：切线的判定是什么？答：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，这也是过圆上一点作圆的切线的方法．【例1】下列四个命题：①与圆有公共点的直线是圆的切线；②垂直于圆的半径的直线是圆的切线；③圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；④过直径的端点且垂直于此直径的直线是圆的切线；其中真命题有( C)A．①与②B．②与③C．③与④D．①与④【变例1】如图，点A，B，D在⊙O上，OD的延长线交直线BC于点C，且∠A＝25°，∠OCB＝40°，则∠DOB＝__50°__，所以∠OBC＝__90°__，所以直线BC与⊙O的位置关系为__相切__．【变例2】⊙O的圆心O到直线l的距离为d，⊙O的半径为R，若d，R是方程x2－4x＋m＝0的根，则直线l与⊙O相切时，m的值为__4__．【变例3】(遵义中考)如图，△OAC中，以O为圆心，OA为半径作⊙O，作OB⊥OC交⊙O于点B，连接AB 交OC于点D，∠CAD＝∠CDA.(1)判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(2)若OA＝5，OD＝1，求线段AC的长．解：(1)AC在⊙O相切．证明：∵点A，B在⊙O上，∴OB＝OA，∴∠OBA＝∠OAB，∵∠CAD＝∠CDA＝∠BD O，∴∠CAD＋∠OAB＝∠BDO＋∠OBA.∵BO⊥OC，∴∠CAD＋∠OAB＝90°，∴∠OAC＝90°，∴AC与⊙O相切；(2)设AC＝x，∵∠CAD＝∠CDA，∴CD＝AC＝x.∵∠OAC＝90°，∴在Rt△OAC中，OA2＋AC2＝OC2，即52＋x2＝(1＋x)2，解得x＝12，即线段AC的长为12.【例2】在平面直角坐标系中，过点A(4，0)，B(0，3)的直线与以坐标原点O为圆心，3为半径的⊙O的位置关系是( A)A．相交B．相切C．相离D．不能确定【变例1】已知：如下图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥A C于点E，求证：DE是⊙O的切线．证明：连接OD，∵AB＝AC，OB＝OD，∴∠B＝∠C，∠B＝∠BDO，∴∠BDO＝∠C，∴OD∥AC ∴∠ODE＝∠DEC.∵DE⊥AC，∠DEC＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE是⊙O的切线．【变例2】如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED ＝EA.(1)求证：ED是⊙O的切线；(2)当OA＝3，AE＝4时，求BC的长度．解：(1)连接OD，∵OD＝OA，DE＝AE，OE公用，∴△ODE≌△OAE.∴∠ODE＝∠OAE.又AC⊥AB，∴∠ODE＝∠OAE＝90°.∴ED是⊙O的切线；(2)∵AB为直径，∴∠ADC＝∠ADB＝90°.∴∠DAE＋∠C＝90°.又AE ＝DE ，∴∠DAE ＝∠ADE又∠ADE＋∠EDC＝90°，∴∠C ＝∠EDC. ∴ED ＝EC ＝AE.即E 为AC 中点． ∴OE 为△ABC 的中位线，∴BC ＝2OE. 又OA ＝3，AE ＝4，∴OE ＝5. ∴BC ＝2OE ＝10.交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块 切线的判定检测反馈 达成目标1．如图，点A 是⊙O 上一点，半径OC 的延长线与过点A 的直线交于点B ，OC ＝BC ，AC ＝12OB ，则AB__是__(选填“是”或“不是”)⊙O 的切线．2．(衡阳中考)如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 为半圆O 的三等分点，过点C 作CE⊥AD，交AD 的延长线于点E.(1)求证：CE 为⊙O 的切线；(2)判断四边形AOCD 是否为菱形？并说明理由． 解：(1)∵点C ，D 为半圆O 的三等分点，∴AD ︵＝DC ︵＝BC ︵，∴∠D AB ＝∠COB＝60°， ∴AE ∥CO.∴CE 为⊙O 的切线；(2)四边形AOCD 是菱形，理由如下：连接AC ，∵AD ︵＝BC ︵，∴∠1＝∠2， ∴DC ∥AO.又∵AD∥CO，∴四边形AOCD 是平行四边形． 又∵AO＝CO ，∴四边形AOCD 是菱形．课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________。
九年级数学下册第2章圆2.5直线与圆的位置关系2.5.4三角形的内切圆课件新版湘教版
2.5.4 三角形的内切圆
[解析] (1)如图，连接 OE，OF，OG.由⊙O 是△ABC 的内切圆，∠C＝90°， 得到四边形 CEOF 是正方形，根据切线长定理列方程得到结果；
(2)连接 OA，在 Rt△AOG 中，由锐角三角函数得到结果．
2.5.4 三角形的内切圆
解：(1)证明：如图，连接 OE，OF，OG. ∵⊙O 是△ABC 的内切圆，∠C＝90°， ∴易证四边形 CEOF 是正方形， ∴CE＝CF＝r. 由切线长定理知 AG＝AE＝3－r，BG＝BF＝4－r. ∵AG＋BG＝5， ∴(3－r)＋(4－r)＝5，解得 r＝1.
第2章 圆
2.5.4 三角形的内切圆
知识目标 目标突破 总结反思
2.5.4 三角形的内切圆
知识目标
1．经过观察、讨论、猜想教材“议一议”与“动脑筋”，理 解三角形的内切圆的概念及其作法． 2．结合方程思想，会求直角三角形内切圆的半径.
2.5.4 三角形的内切圆
目标突 破
目标一 掌握三角形的内心的性质与内切圆的画法
1
1
同理 S△OBC＝2ar，S△OAB＝2cr.
1 ∴S△ABC＝S△OAC＋S△OBC＋S△OAB＝2(a＋b＋c)r.
1
1
又∵S△ABC＝2AC·BC＝2ab，
∴12(a＋b＋c)r＝12ab，
∴r＝a＋abb＋c.
2.5.4 三角形的内切圆
【归纳总结】(1)内心是三角形三个内角平分线的交点，因此， ①内心与各顶点的连线一定平分该内角；②内心到各边的距离相等，这 个距离即是内切圆的半径．
(2)若在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c，内切 圆的半径为 r，由以上性质可推出 S△ABC＝12(a＋b＋c)r；
湘教版九年级数学下册《三角形的内切圆》精品教案
《三角形的内切圆》精品教案讲授新课一、三角形的内切圆【议一议】想在一块三角形硬纸板上剪下一个面积最大的圆形纸板，应当怎样剪？（出示课件5）回答：这个圆应当与三角形的三条边都相切。
【动脑筋】与三角形的三条边都相切的圆存在吗？若存在，如何画出这样的圆？（出示课件6）分析：1.如果圆与△ABC的三条边都相切，那么圆心O与三角形三边的距离应等于圆的半径，从而这些距离相等。
2.到一个角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，因此圆心O应是∠A与∠B的平分线的交点。
作法：（1）作∠A，∠B的平分线AD，BE，它们相交于点O；（2）过点O作AB的垂线，垂足为M；（3）以点O为圆心，OM为半径作圆．⊙O 就是所求作的圆。
师：请同学们总结一下画三角形的内切圆的步骤是什么呢？回答：画角平分线→定内心→定半径→画圆→结论师：这样的圆可以作出几个?为什么?思考并回答问题动手作图，画三角形的内切圆通过提问，让学生知道内切圆的概念通过动手操作，让学生知道怎样画三角形的内切圆通过提问，让学（出示课件8）∵直线BE和CF只有一个交点I，并且点I 到△ABC三边的距离相等∴和△ABC三边都相切的圆可以作出一个，并且只能作一个。
【内切圆的概念】（出示课件9）师：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心叫作三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形。
【三角形内心的性质】师：三角形内心的性质是什么呢？请同学们和同桌商量一下再回答。
回答：①三角形的内心是三角形角平分线的交点；②三角形的内心到三边的距离相等；③三角形的内心一定在三角形的内部。
【三角形内心与外心的区别与联系】师：请同学们完成下面的表格，可以和同桌商量。
师：关于三角形的内心和外心的理解，我们一起来看看几个题。
（出示课件12）1.如图1，△ABC是⊙O的内接三角形。
⊙O 是△ABC的外接圆，点O叫△ABC的外心，它是三角形三边垂直平分线的交点。
点O到△ABC的三个顶点距离相等。
2019-2020年湘教版九年级数学下册学案：2.5.4 三角形的内切圆
2.5.4 三角形的内切圆
学前温故
1．经过三角形三个顶点的圆叫做．外接圆的圆心叫做.这个三角形叫做.
2．三角形的外心到三角形的三个顶点距离.
新课早知
1．与三角形三边都相切的圆叫做，内切圆的圆心叫做.这个三角形叫做.
2．三角形的内心到三角形的三边距离.
三角形的内切圆
【例1】如图(1)，在△ABC中，⊙I是△ABC的内切圆，和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F.试猜想∠FDE与∠A的关系，并说明理由．
分析：∠FDE是圆周角，∠FIE是同弧所对的圆心角，要确定∠FDE与∠A的关系，可首先确定∠FIE与∠A 的关系．
解：
点拨：连接圆心和是常作的辅助线．
【例2】如图①，在△ABC中，∠C＝90°，它的三边分别为a、b、c，内切圆的半径为r，切点分别为D、
E、F.
(1)试用a、b、c表示内切圆的半径r；
(2)若a＝6，b＝8，求此三角形内切圆的面积．(用π表示)
分析：(1)切线长定理的灵活运用是解决此题的关键；(2)首先利用勾股定理求出斜边的长，然后根据(1)中得出的结论求内切圆的半径，最后利用面积公式计算面积．
解：
点拨：直角三角形内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半，这是计算直角三角形内切圆半径的常用方法．
1．等边三角形的外接圆的面积是内切圆面积的()．
A．2倍B．3倍C．4倍D．5倍
2．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠BAC＝50°，则∠BOC为________度．
3．如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠ACB＝90°，∠BOC＝105°，BC＝20(3＋1)，求⊙O的半径．。
2020年春湘教版九年级数学下册教案2.5.4 三角形的内切圆
2．5.4 三角形的内切圆1．了解有关三角形的内切圆和三角形内心的概念；(重点)2．能运用三角形内切圆、内心的知识进行有关的计算．(难点)一、情境导入 新农村建设中，张村计划在一块三角形场地中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．二、合作探究 探究点一：三角形的内切圆的相关计算 【类型一】 利用三角形的内切圆求角的度数如图，⊙O 内切于△ABC ，切点D ，E ，F 分别在BC ，AB ，AC 上．已知∠B ＝45°，∠C ＝65°，连接OE ，OF ，DE ，DF ，那么∠EDF 等于()A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°解析：∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∠B＝45°，∠C ＝65°，∴∠A ＝70°.∵⊙O 内切于△ABC ，切点分别为D 、E 、F ，∴∠OEA ＝∠OF A ＝90°，∴∠EOF ＝360°－∠A －∠OEA －∠OF A ＝110°，∴∠EDF ＝12∠EOF ＝55°.故选B. 方法总结：解决本题的关键是利用三角形内切圆的性质，求出∠EOF 的度数． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题【类型二】 求三角形的内切圆的半径如图，⊙O 是边长为2的等边△ABC 的内切圆，则⊙O 的半径为________．解析：如图，连接OD 、OC .由等边三角形的内切圆的圆心即为底边上的中线，底边上的高和顶角的平分线的交点，所以∠OCD ＝30°，OD ⊥BC ，所以CD ＝12BC ，OC ＝2OD .又由BC ＝2，则CD ＝1.在Rt △OCD 中，根据勾股定理得OD 2＋CD 2＝OC 2，所以OD 2＋12＝(2OD )2，所以OD ＝33.即⊙O 的半径为33.故答案为33. 方法总结：等边三角形的内切圆的圆心为等边三角形中线、高、角平分线的交点，它到等边三角形三边的距离相等．而在解直角三角形内切圆的相关问题时，经常要用到“圆心到切线的距离等于半径”这条性质．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题【类型三】求三角形的周长如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB、BC分别相切于点D、E，过劣弧DE︵(不包括端点D、E)上任一点P作⊙O的切线MN与AB、BC分别交于点M、N.若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为()A．r B.32r C．2r D.52r解析：连接OD，OE，∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，∴OD⊥AB，OE⊥BC.又∵MD，MP都是⊙O的切线，且D、P是切点，∴MD＝MP，同理可得NP＝NE，∴C Rt△MBN＝MB＋BN＋NM＝MB＋BN＋NP＋PM＝MB＋MD＋BN＋NE＝BD＋BE＝2r.故选C.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题探究点二：三角形的内心的相关证明与计算如图，已知E是△ABC的内心，∠A的平分线交BC于点F，且与△ABC的外接圆相交于点D.(1)求证：BD＝ED；(2)若AD＝8cm，DF∶F A＝1∶3.求DE的长．解析：(1)求证BD＝ED，可利用等角对等边证明．只要证明∠DBE＝∠DEB即可；(2)要求DE的长，可转化为求BD的长．利用△BDF∽△ADB，用比例式即可求解．(1)证明：∵E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD.又∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD.∴∠CBE＋∠CBD＝∠ABE＋∠BAD.即∠DBE＝∠DEB，故BD＝ED；(2)解：∵AD＝8cm，DF∶F A＝1∶3，∴DF＝14AD＝14×8＝2(cm)．∵∠CBD＝∠BAD，∠D＝∠D，∴△BDF∽△ADB，∴BDAD＝DFBD.∴BD2＝AD·DF＝8×2＝16，∴BD＝4cm，又∵BD＝DE，∴DE＝4cm.方法总结：(1)充分利用内心的意义以及三角形的外角、同弧所对的圆周角来证明角相等，最后利用等角对等边证明线段相等；(2)用相似三角形得比例式，由比例式求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题三、板书设计相等.。
湘教版九年级下册教学设计2-5-4
2.5.4 三角形的内切圆【教学目标】知识与技能:1.通过尺规作图的方法经历三角形的内切圆的产生过程,理解三角形的内切圆的概念.2.知道三角形的内心,并理解其性质.过程与方法:1.通过作图,经历三角形内切圆的产生过程,培养作图能力.2.类比三角形内切圆和三角形的外接圆,进一步理解三角形内心和外心所具有的性质.情感态度与价值观:通过探究三角形的内切圆知识,逐步培养学生研究问题的能力;培养学生解决实际问题的能力和应用数学的意识.【重点难点】重点:三角形内切圆的有关性质和探究作三角形内切圆的过程.难点:如何将实际问题转化成作三角形内切圆的问题.【教学过程】一、创设情境师:切线的特征是什么?角平分线有什么性质?生讨论回答.师:李明在一家木料厂上班,工作之余想对厂里的三角形废料进行加工:要在三角形木料上裁下一块圆形用料,且使圆的面积最大,他就找数学老师帮忙,同学们,你能帮他确定一下吗?这就涉及三角形的内切圆问题,(板书)我们这节课就从这个问题开始.设计意图:通过一个富有挑战性的问题,激发学生的学习兴趣.二、探索归纳1.过圆上的点作圆☉O的切线师:我们是如何过☉O上一点P作☉O的切线的?生画一画,并说,师多媒体演示,作法:(1)作直线OP;(2)过点P作OP的垂线;(3)这条垂线即为☉O的切线.2.作一个与已知角两边都相切的圆师:任意作一个∠AOB,如果在∠AOB内作圆,使其与两边OA,OB都相切,满足上述条件的圆是否可以作出?如果可以作出,能作多少个?所作出的圆的圆心的位置有什么特征?生用圆规、直尺画一画、再进行交流.生:满足上述条件的圆可以作出,并且可以作无数个,其中每个圆的圆心到∠AOB的两边的距离都分别相等,所以这些圆的圆心都在∠AOB的角平分线上.3.作三角形的内切圆.师:任意作一个△ABC,如果在△ABC内作圆,使其与各边都相切,满足上述条件的圆是否可以作出?如果可以作出,能作多少个?所作出的圆的圆心的位置有什么特征?生讨论,可能得不出结论.师:能不能退一步想,转化到刚才的情况?我们是如何确定三角形外心的?生讨论出:只要能在△ABC内作出一点,使它到各边的距离都相等,问题就可以解决了.生在教师的启发下能得出:作三角形内切圆的关键是确定圆心的位置,确定三角形内切圆圆心的方法与确定三角形外心的方法类似,先考虑圆心到三角形其中两边的距离相等,也就是它在这两边夹角的角平分线上;再考虑圆心到两边中的一边和第三边的距离相等,也就是它又在另一个角的角平分线上.因为两条角平分线只有一个交点,所以圆心的位置被唯一确定,即与三角形各边都相切的圆可以作出一个并且只可以作出一个.4.尺规作图师:请生上来作图,用尺规作一个圆,使它与△ABC的各边都相切.生做,教师多媒体演示.已知:△ABC.求作:☉I,使它与△ABC各边都相切.5.内切圆、内心等概念师:由刚才的讨论知:与三角形各边都相切的圆能作并且只能作出一个,我们称与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆,内切圆的圆心叫作三角形的内心,这个三角形叫作圆的外切三角形.(板书)师:请生回忆一下三角形的外接圆、外接圆的圆心、内接三角形的概念并对比.学生分组练习:分别作出已知的锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内切圆,并说明三角形的内心是否都在三角形内.强调:要将三角形的外心与内心区别开来,三角形的外心是三边垂直平分线的交点,三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等,三角形的外心可以在三角形的内部、外部和边上,而三角形的内心只能在三角形内部. 6.应用例:如图,☉O是△ABC的内切圆,∠A=70°,求∠BOC的度数.解:∵☉O是△ABC的内切圆,∴∠1=∠ABC,∠2=∠ACB.∵∠A=70°,∴∠ABC+∠ACB=110°.∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-×110°=125°.师:由三角形内心的定义,可联想什么?如何把要求的角的度数与已知角的度数联系起来.生讨论并解答.三、交流反思今天我们学习了三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形概念,以及作已知三角形内切圆的方法;在学习有关概念时,应注意区别“内”与“外”,“接”与“切”;还应注意“连接内心和三角形顶点”这一辅助线的添加和应用.四、检测反馈1.下面说法正确的是( )A.与三角形两边相切的圆一定是三角形的内切圆B.经过三角形的三个顶点的圆一定是三角形的内切圆C.任意一个三角形都有且只有一个内切圆D.任意一个三角形都有无数个内切圆2.如图所示,已知☉O是边长为2的等边△ABC的内切圆,则☉O的半径为___________.3.如图,点E为△ABC的内心,AE交△ABC的外接圆于点D,求证:BD=ED=CD.五、布置作业课本P74 练习第2,3题六、板书设计2.5.4 三角形的内切圆内切圆画法例………………………………七、教学反思本节课首先从一个生活中的具体问题,引出学生的学习兴趣,然后通过学生的动手画图,引出概念,然后探究三角形的内心的特点,研究三角形的内切圆问题,让学生经历从画到有关问题计算的过程,要强化对比,加强理解.在教学中,教师要让学生作为课堂教学的主体参与到课堂教学过程中来,充分展现自己的个性.优点:先复习角平分线的性质、作法,复习三角形外接圆的画图、概念,再提出问题,联系切线的性质来学习新的内容,最后运用内心等概念解决问题,学生学习效果较好.缺点:有关应用是一个难点,可以有针对性地补充一些例题,引导学生分析,才能提高.。
九年级数学下册 2.5.4 三角形的内切圆学案 湘教版(2021年整理)
2017春九年级数学下册2.5.4 三角形的内切圆学案（新版）湘教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017春九年级数学下册2.5.4 三角形的内切圆学案（新版）湘教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2.5.4 三角形的内切圆1.了解三角形的内切圆及内心的特点,会画三角形的内切圆。
2。
会进行三角形内切圆的相关计算.自学指导阅读教材第72至74页，完成下列问题.知识探究1。
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫作三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形2.三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点.自学反馈1.如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠A BC=50°，∠ACB=80°,则∠BOC=115°。
2.⊙O为△ABC的内切圆，D、E、F为切点，∠DOB=73°，∠DOE=120°，则∠DOF=146°,∠C=60°，∠A=86°。
3。
自学教材P74练习1、2、3。
活动小组讨论例1如图，已知⊙O是Rt△ABC(∠C=90°）的内切圆，切点分别为D、E、F.（1)求证：四边形ODCE是正方形。
（2)设BC=a，AC=b，AB=c，求⊙O的半径r.解:（1）证明略；（2)2a b c +-. 这里（2）的结论可记住作为公式来用.例2 如图所示，点I 是△ABC 的内心,∠A=70°，求∠BIC 的度数.解：125°.若I 为内心，∠BIC=90°+12∠A;若I 为外心,∠BIC=2∠A 。
2019-2020年湘教版九年级数学下册教案：2.5.4 三角形的内切圆
2．5.4 三角形的内切圆1．了解有关三角形的内切圆和三角形内心的概念；(重点)2．能运用三角形内切圆、内心的知识进行有关的计算．(难点)一、情境导入新农村建设中，张村计划在一块三角形场地中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．二、合作探究探究点一：三角形的内切圆的相关计算【类型一】 利用三角形的内切圆求角的度数如图，⊙O 内切于△ABC ，切点D ，E ，F分别在BC ，AB ，AC 上．已知∠B ＝45°，∠C ＝65°，连接OE ，OF ，DE ，DF ，那么∠EDF 等于()A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°解析：∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∠B ＝45°，∠C ＝65°，∴∠A ＝70°.∵⊙O 内切于△ABC ，切点分别为D 、E 、F ，∴∠OEA ＝∠OF A ＝90°，∴∠EOF ＝360°－∠A －∠OEA －∠OF A ＝110°，∴∠EDF ＝12∠EOF ＝55°.故选B. 方法总结：解决本题的关键是利用三角形内切圆的性质，求出∠EOF 的度数．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题【类型二】 求三角形的内切圆的半径如图，⊙O 是边长为2的等边△ABC 的内切圆，则⊙O 的半径为________．解析：如图，连接OD 、OC .由等边三角形的内切圆的圆心即为底边上的中线，底边上的高和顶角的平分线的交点，所以∠OCD ＝30°，OD ⊥BC ，所以CD ＝12BC ，OC ＝2OD .又由BC ＝2，则CD ＝1.在Rt △OCD 中，根据勾股定理得OD 2＋CD 2＝OC 2，所以OD 2＋12＝(2OD )2，所以OD ＝33.即⊙O 的半径为33.故答案为33. 方法总结：等边三角形的内切圆的圆心为等边三角形中线、高、角平分线的交点，它到等边三角形三边的距离相等．而在解直角三角形内切圆的相关问题时，经常要用到“圆心到切线的距离等于半径”这条性质．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题【类型三】求三角形的周长如图，Rt △ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB 、BC 分别相切于点D 、E ，过劣弧DE ︵(不包括端点D 、E )上任一点P 作⊙O 的切线MN 与AB 、BC 分别交于点M 、N .若⊙O 的半径为r ，则Rt △MBN 的周长为()A ．r B.32r C ．2r D.52r解析：连接OD ，OE ，∵⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∴OD ⊥AB ，OE ⊥BC .又∵MD ，MP 都是⊙O 的切线，且D 、P 是切点，∴MD ＝MP ，同理可得NP ＝NE ，∴C Rt △MBN ＝MB ＋BN ＋NM ＝MB ＋BN ＋NP ＋PM ＝MB ＋MD ＋BN ＋NE ＝BD ＋BE ＝2r .故选C.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题探究点二：三角形的内心的相关证明与计算如图，已知E是△ABC的内心，∠A的平分线交BC于点F，且与△ABC的外接圆相交于点D.(1)求证：BD＝ED；(2)若AD＝8cm，DF∶F A＝1∶3.求DE的长．解析：(1)求证BD＝ED，可利用等角对等边证明．只要证明∠DBE＝∠DEB即可；(2)要求DE的长，可转化为求BD的长．利用△BDF∽△ADB，用比例式即可求解．(1)证明：∵E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD.又∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD.∴∠CBE＋∠CBD＝∠ABE＋∠BAD.即∠DBE＝∠DEB，故BD＝ED；(2)解：∵AD＝8cm，DF∶F A＝1∶3，∴DF＝14AD＝14×8＝2(cm)．∵∠CBD＝∠BAD，∠D＝∠D，∴△BDF∽△ADB，∴BDAD＝DFBD.∴BD2＝AD·DF＝8×2＝16，∴BD＝4cm，又∵BD＝DE，∴DE＝4cm.方法总结：(1)充分利用内心的意义以及三角形的外角、同弧所对的圆周角来证明角相等，最后利用等角对等边证明线段相等；(2)用相似三角形得比例式，由比例式求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题三、板书设计教学过程中，注重引导学生理解和掌握三角形的内切圆和内心的概念和性质，并能进行灵活的运用．明确三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，到三角形三边的距离相等.。