04-8.1 挠曲线近似微分方程
北京交通大学材料力学 第六章 弯曲变形2
（2）对图b，C截面的挠度和转角分别为：
qa wCq 8 EI
4
Cq
qa3 6 EI
柯燎亮
北京交通大学工程力学研究所
§6-3 用叠加法求弯曲变形-例4 原外伸梁C端的挠度和转角也可按叠加原理求得，即：
wC wCq B a
所以：
C B Cq
qa4 1 qa3 5qa4 wC a （向下） 8EI 12 EI 24EI qa qa qa C 6 EI 12EI 4 EI
柯燎亮
w
B2
北京交通大学工程力学研究所
§6-3 用叠加法求弯曲变形-例3
对图a，可得C截面的挠度和转角为：
F
Fl wC1 3EI
Fl 2 C1 2 EI
3
3
(a)
wC1
C1
直线
C1 2l B1
wC1
wB1
由位移关系可得此时B截面的挠度和转角为：
Fl Fl 4 Fl wB1 wC1 C1 BC 2l （向下） 3EI 2 EI 3EI
ql 3l x 1 24
2
ql 3l EIw1 x1 C1 44 ql 3l EIw1 x 1 C1 x1 D1 12 4
3
CB段
M 1 ( x2 ) EIw2 q l 2 l x2 ( x2 l ) 2 2
MA
FA
M A 3ql 2 / 8
FA ql / 2
北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮
M A 3ql 2 / 8
选取如图所示的坐标系：
FA ql / 2
AC段
梁的挠曲线近似微分方程及其积分.
二、结构形式叠加（逐段刚化法）：
A a
P q
C a
P
a
a
q
a
a
+
=
例6－4-1 按叠加原理求A点转角 和C点挠度.
解、载荷分解如图
、由梁的简单载荷变形表，
查简单载荷引起的变形。
PA
Pa 2 4 EI
f ( x) M ( x) I0 M ( x)
EI ( x) I0
EI 0
EI 0 f ( x) M ( x)
M(x) M(x) I0
I(x)
：几何形状：长度不变，惯性矩变为I0 。
：实梁对应方程： EI0 f ( x) M ( x)
虚梁对应方程：
M (x) q(x)
：令：q(x) M ( x ) 依此建立虚梁上的分布载荷。
8
2
- q a2
a2
C
a
求虚梁B点的剪力和弯矩
x
13qa 3 RA 72
QB
13qa3 72
1 2
qa2 2
a
5 72
qa3
MB
13qa3 72
a
1 2
qa2 2
a
a 3
7 72
qa4
D
B
5qa 3 72EI
7qa4 f B 72EI
C点左右位移怎样？
四、变截面直梁的共轭梁法： ：将截面的变化折算到弯矩之中去。
梁的挠曲线微分:方E程 If ( x) M ( x) 梁的外载与内力的为关 : M系(x) q(x)
上二式形式相同，用类比法，将微分方程从形式上转化为 外载与内力的关系方程。从而把求挠度与转角的问题转化为求 弯矩与剪力的问题。
概述梁的挠曲线近似微分方程及其积分用积分
x 0 时， ， wA 0 A w A 0
当
求得：
C 0; D 0
y
L
P
B
B
wB
x
写出挠曲线方程并画出挠曲线的大致形状
Px 2 w( x) ( x 3L) 6EI
最大转角及最大挠度（绝对值最大）
max
PL2 B （ ） 2 EI
wmax
PL3 wB （ ） 3EI
C
x1
x2
AB段 (0 x1 a)
a
a
M1 Px1
BC段 (0 x2 a)
M 2 P(a x2 )
写出挠曲线微分方程并积分 AB段
M1 Px1 EIw1
P 2 EI1 x1 C1 EIw1 2 P 3 EIw x1 C1 x1 D1 6
1
y
M<0
d2w 0 2 dx
d2w M ( x) 2 EI dx
o
x
d 2 w M ( x) (2) 2 EI dx
式（2）就是挠曲线近似微分方程。
对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：
d w M ( x) 2 EI dx
二、求转角方程、挠曲线方程 1.微分方程的积分
最大挠度及最大转角
dw( x 2 ) Pa 2 ( x2 ) dx 2 2 EI
2
y
a
P
C
C
max C CB
wmax
Pa 2 2EI
L
B
x
wB
Pa 2 wB (3L a) 6EI
例2 求图示梁自由端的转角和挠度。
挠曲线方程
例7-3.图示一简支梁，在梁跨度中点C处作用一个集中力P。求 该跨中点C的挠度及支座A点处横截面的转角。
P
解：[分析]象这样类型习题的传统
解法是：以A点为原点,建立坐标系 A
B
，分AC段，CB段分别列出弯矩方程 RA x
及挠曲线方程，然后根据变形条件
L/2
L
RB
和连续条件确定积分方程。从而求
解，我们的书中用的就是这种解法，但是，我们只要稍微注意一
EIZ
y ''
RAx
q 2
x2
q 2
Lx
q 2
x2
EIZ
y'
q 4
Lx2
q 6
x3
C
EIZ
y
q 12
Lx3
q 24
x4
Cx
D
——（1） ——（2）
（3）利用边界条件确定积分常数C、D
x=0, y A 0 得：D=0
x=L, yB 0
得：C qL3
24
将C、D代入（1）（2）得：
EIZ EIZ
y' q Lx2 4
y q Lx3 12
q x3 qL3 6 24 q x4 qL3 24 24
x
（4） x
L 2
时，（将
x
L 2
代入（4）式得yC
）
EI Z yC
5 384
qL4
yC
5 384 EI Z
我们上面所讲的直接积分法是求梁变形的基本方法， 但在载荷复杂的情况下，要列多段弯矩方程，从而产生很 多的积分常数。运算非常复杂。现在我们将要介绍的叠加 法，基本上克服了这一缺点，为工程上常采用的较方便的 计算方法之一。
挠曲线近似微分方程及其积分
(x) 1 ( M(x)dx) cx D EI
2. 挠曲线近似微分方程及其积分
(2) 边界条件和连续条件 边界条件：梁在其支承处截面的挠度或转角是已知的，
这样的已知条件称为边界条件。
P D
固定端处 0 ， 0
P
A
C
B
铰支座处 0
M( x1 )
EI
x1
)
ql 2 8
EI ( x1 ) EI1 m( x1 )dx c1
ql 2 8
x1
c1
──── (1)
EI( x1）
EI1
M( x1)dx
dx
c1 x1
D1
ql 2 16
x12
c1 x1
D1
─ (2)
BC段： EI2
EI ( x2 )
d 2 M ( x)
dx2 EI
当y轴向上为正方向时，恒同号。
d 2
dx2
M(x) EI
——这个等式称为挠曲线近似微分方程。
2. 挠曲线近似微分方程及其积分
二、挠曲线近似微分方程的积分法
(1) 转角方程和挠度方程 对挠曲线的近似微分方程一次积分，得转角方程：
(x) d 1 ( M(x)dx c) dx EI
2. 挠曲线近似微分方程及其积分
连续条件：当弯矩方程需要分段建立时， 梁的挠曲线分段处满足的连续、光滑条件， 这样的已知条件称为连续条件。即在梁的 同一截面上应具有相同的挠度和转角。
2. 挠曲线近似微分方程及其积分
挠曲线近似微分方程
C1
Fb 6l
l2 b2
,
C2
Fab 6l
l
a
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材料力学 第六章 弯曲变形
四 积分法总结
❖ 优点：适用范围广、精确 ❖ 缺点：计算繁琐
五 刚度条件
w
max ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱax
w
练习：写边界条件和连续性条件
A
B
C
D
边界条件 wA 0; wB 0
连续性条件 wC wC;C C 或wC' wC' wD wD;D D 或wD' wD'
Mi EI wi" M EIw" M
w
wi
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材料力学 第六章 弯曲变形
例一：求图示简支梁C点挠度
y A
l/2
F
C l/2
x B
=
y
y
F
A
C
+ x
B
A
x
C
B
l/2
l/2
l/2
l/2
wC
wC q
wC F
5ql4 384EI
Fl 3 48EI
材料力学 第六章 弯曲变形
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材料力学 第六章 弯曲变形
练习（续）
y
a
x
b
l
边界条件 w 0; 0
x0
x0
连续性条件
w w ;
w w ;
xa
xa xa
xa
xb
xb xb
xb
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材料力学 第六章 弯曲变形
一 叠加§原理6.4 用叠加法求梁的变形
材料力学弯曲变形
第18页/共34页
三、提高梁的刚度的措 施 由梁在简单荷载作用下的变形表和前面的变形计算可看：
梁的挠度和转角除了与梁的支座和荷载有关外还取决于 下面三个因素：
材料——梁的位移与材料的弹性模量 E 成反比； 截面——梁的位移与截面的惯性矩 I 成反比； 跨长——梁的位移与跨长 L 的 n 次幂成正比。
1 3
(L2
b2 )
e) 跨中点挠度及两端端截面的转角
y
x=
L 2
=
Fb 48EI
(3L2
4b2 );
=
y
x=
L 2
=
Fb 24LEI
L2 4b2
两端支座处的转角——
A
=
Fab(L 6LEI
b)
;
B
=
Fab(L 6LEI
a)
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讨论：1、此梁的最大挠度和最大转角。
左 侧
1max y1 = 0 x1 = 0
等于各载荷单独作用下的弯矩的代数和。
M = M1 M2 M3 EIyi = M i (x)
EIy1 = M1( x) EIy2 = M 2 ( x) EIy3 = M 3 ( x)
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叠加法计算梁的变形
EIy = M (x)
y = y1 y2 y3 M (x) = M1 M 2 M3
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例：求图示悬臂梁自由端的挠度及转角( EI=常数）。
解：a) 建立坐标系并写出弯矩方程
M (x) = F(L x)
b) 写出微分方程并积分
EIy = M (x) = F(L x)
EIy
=
1 2
F
(L
挠曲线
主要内容及重点：计算弯曲变形的积分法、叠加法弯曲刚度计算梁的超静定问题1.弯曲变形工程中的弯曲变形问题2.1、挠曲线OB—平面弯曲时，梁变形后轴线。
在xoy 平面内的一条连续、光滑的弹性曲线。
PyxBA（梁弯曲变形的两个基本量）（1）挠度：梁变形后，横截面的形心在垂直于梁轴线（x 轴）方向上所产生的线位移，称为梁在截面的挠度。
一般情况下，不同横截面的挠度值不同。
横截面挠度随截面位置（x 轴）而改变的规律用挠曲线方程表示。
即：）（x f y =y AP x由梁弯曲的平面假设可知：梁的横截面变形前垂直于轴线，变形后仍垂直于挠曲线。
：曲线OAB 在A 点的切线与X 轴间的夹角θABAy AP xθA）挠度与转角的关系挠曲线切线的斜率：θtg dxdy=工程中θ极小：θθtg ≈)(x f dy′==θzEI M ＝ρ1zEI x M x )()(1＝ρOBPyxBPx23222])d d (1[d d )(1xw x w x +±＝ρz EI x M xw x w)(])d d (1d d 23222=+zEI x )(ρzEI x M x w )(d d 22＝±zEI x M x w )(d d 22＝±o>0d 2M>0d 2d 2<0oM<02d zEI Mx w ＝22d d －挠曲线近似微分方程线弹性范围适用对于等直梁)(x M x w EI z =22d d Cx x M xwEI x EI z z +=∫d )(d d )(＝θDCx x x x M x w EI z ++=∫∫d d )()(C 、D ：积分常数边界条件已知的挠度及转角光滑连续性PM(x)＝F P (L-x)xF L F x L x M xwP P 22))(d −=−=DCx x F x F ++−=3P 2P 6121)θA ＝0 x ＝0 时w A ＝0C=0 D=0)()(x L EI xF x z −22P ＝θ)3(6)(2P x L EI xF w z−＝θEI LF 22P max ＝θL F w 3P ＝Pmaxm a xθC x F Lx F x EI P Z +−==2P 21)(θmaxy maxB θ解：建立坐标、写弯矩方程）段：（20lx AC <≤）段：（l x lCB ≤<2BCL/2L/2xxPxx 21)(=)2(21)(lx P Px x M −−=Px1)=)(1)(lx P Px x y EI −−=′′一次：利用边界条件确定积分常数：12141C Px EI Z +=θ1131121D x C Px y EI Z ++=2222)2(241C l x P Px EI Z +−−=θ22332)2(6121D x C l x P Px y EI Z ++−−=⇒==右左右左，C C C C y y θθ2121DDC C ==2100D D y x A =⇒==，02Pl C C y l x B −==⇒==，maxy maxB θBCpL/2164Z 224EI Z )1612(23x Pl Px Z −]16)2(6121[12332x Pl l x P Px EI y Z −−−=max0θ，，l x ==ZEIPl 162max∓=θmax2y lx ，=ZEIPl y 483max−=maxy maxB θBCpx思考：在用积分法求梁的转角和位移过程中，何时需要考虑静力关系、物理关系、变形协调关系？静力关系：支反力、弯矩计算物理关系：挠曲线近似微分方程变形协调关系：积分运算及边界条件图示纯弯曲悬臂梁的挠曲线应为一圆弧线，而由积分法求得的梁挠曲线为二次抛物线为什么？近似微分方程获得的梁挠曲线近似解自由端B 处挠度的精确解：EIxM v e 22=()+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=−=43242!4!2cos 1lM l M v e e BBB θθρθρ1222211)()()(a x m x Lm x M x L mx M −−＝＝2a a 2a x2()2)(452)(2)(222222211a x q a x qa x q x M x q x M −+−+−−＝＝5.用叠加法求弯曲变形叠加法：当梁上同时作用几个荷载时，在小变形情况下，且梁内应力不超过比例极限，则每个荷载所引起的变形（挠度和转角）将不受其它荷载的影响。
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显然 ds2 dx2 dy2
ds dx2 dy2 dx2 1 y2 x 1 y2 xdx
所以
d ds
y x
3
1 y2 x 2
正负号的确定
y M>0
y M<0
M 与 w″同号
w″> 0
o
x
w″< 0
o
x
w"
M
挠曲线微分方程
1 w'2
3 2
EI
小变形：w′ 远小于 1, 或 w′≈ 0
y = f(x)
三、梁的位移
y
Fθ
w
x
x
1.挠度：截面形心在垂直于原轴线方向的线位移与 y 轴正向一致为正。挠度方程 w = w ( x )
2.转角：横截面的角位移。与自 x 轴正向转到 y 轴 正向一致为正。转角方程 θ = θ ( x )
3.水平线位移：平行于轴线方向的线位移忽略
四、挠度与转角的关系
F
F
x
dx
w"
x
1 w'2
3 2
w"
1 w'2
3 2
M EI
y
y(x)
M点处的平均曲率
M α+∆α
lim d
Байду номын сангаас
s0 s
ds
∆s
Mα
若y(x)存在一阶、二阶导数
y x tan
x
y x sec2 d
dx
则
d
y x
y x
y x
sec2 dx 1 tan2 dx 1 y2 x dx
材料力学
大连理工大学 王博
弯曲变形
梁的弯曲问题回顾 弯曲内力
弯曲应力
弯曲变形
弯矩 剪力
正应力 剪应力
挠度 转角
弯曲变形
一、 研究变形的目的
1. 建立刚度条件 2. 利用变形（缓冲，减震） 3. 解静不定问题（位移协调条件）
二、挠曲线
F
轴线
挠曲线
定义：梁变形后的轴线称为挠曲线 特点：
1. σ ≤ σp , 光滑连续，f 、 f′、 f″连续 2. 平面弯曲变形时为一条平面曲线
w" M EI
挠曲线近似微分方程
挠曲线方程讨论
w" M EI
注意事项—— 适用条件
1. 应采用右手坐标系 2. 忽略剪力 FS 的影响 3. 小变形，w′<< 1, 或 w′≈ 0 4. 材料服从胡克定律
yθ
θ
A
w
x
小变形θ≈tanθ= w′
dw
x
dx
五、约束处的挠度和转角
wA = 0 A
wB = 0 B
x l
wA = 0 A
θA= 0
x
l
B
x = 0, w = 0 x=l, w=0
x=0, w=0 θ=0
挠曲线近似微分方程
纯弯曲
1M
EI
横力弯曲
1 M(x) (x) EI
y a
ρ dθ
a
由高等数学知识，挠曲线曲率，即κ=1/ρ，为