结构力学—结构稳定计算与案例
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结构力学之结构的稳定计算
分支点失稳的特点：
原始平衡：平面弯曲 新平衡形式：斜弯曲加扭转
结构的变形产生了质的改变。即原来的平衡形式成为不稳定
而可能出现新的与原来平衡形式有质的区别的平衡形式，同时，
这种现象带有突然性。
7
11.1 稳定问题的基本概念
11.1.2 三类不同形式的失稳
极值点失稳(第二类失稳)：
当荷载较小时（曲线的OA段），Δ随荷载的 增大而非线性增长，当荷载达到某一个临界值FPcr 时，曲线出现一个极值点（图中A点），此时荷载 不但不能继续增加，而且如果稍加干扰，即便减 小荷载，杆件的挠度也仍要继续增长，如图中曲 线的AB段所示。
结构的变形在荷载达到临界值 后并不发生性质上的突变，只
是原有变形的迅速增长。
非完善体系
8
极值点失稳：
P
非完善体系出：现极极具承值值有受点点初偏失失曲心稳稳率荷的。的载特平压的点衡杆压：形杆非式完不善出体现系分 支现象，P-Δ曲线具有极值点。结构的
(小挠度理变论形) 形式并不发生质P 的改变，由P 于结
，FP-Δ曲线沿图中的路径2即弧线AB前进。
5
l/2
分支点失稳：
完善体系 （或理想体系）：
直杆（无初曲率）， 中心受压（无初偏心）。
P12<>PPccrr
P1<Pcr=
2E l2
I
原始平衡状态是
稳定的是唯一的
P2>Pcr
Δ
原始平衡状态是不
稳定的。存在两种
不同形式的平衡状
态(直线、弯曲）。
P2 Pcr P1
以下只讨论完善体系分支点失稳问题， 并由小挠度理论求临界荷载。
15
11.2 用静力法求临界荷载
10结构力学——结构的稳定计算
9 / 85
16 结构的稳定计算
稳定性分析有基于小变形的线性理论和基于大变 形的非线性理论。非线性理论考虑有限变形对平 衡的影响，分析结果与实验结果较吻合，但分析 过程复杂。不管是第一类稳定问题，还是第二类 稳定问题，它们都是一个变形问题，稳定计算都 必须根据其变形状态来进行，有时还要求研究超 过临界状态之后的后屈曲平衡状态。
哈工大 土木工程学院
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16 结构的稳定计算
扁平拱式结构的跳跃失稳的基本特征
当荷载、变形达到一定程度时，可能从凸形受压的结构 翻转成凹形的受拉结构，这种急跳现象本质上也属极值 点失稳（跳跃屈曲）。
FP
FP
Δ
f
FPcr
O
l
l
由极值点的失稳问题突然转化为受拉的强度问题
哈工大 土木工程学院
kl 2FP
FP
kl
FP 2FP
y1 y2
0 0
kl 2FP FP
FP 0 kl 2FP
kl FP1 3
y1 1 y2
1
FP2 kl
y1 1 y2
1
kl
FPcr min(FP1, FP2 ) 3
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16 结构的稳定计算
第一类失稳的基本特征
结构失稳前后平衡状态所对应的变形性质发生改变，分支
点处平衡形式具有两重性，分支点处的荷载即为临界荷载，
称分支点失稳。
FP
FP
FP < FPcr时，杆件仅产生压
缩变形。轻微侧扰，杆件微
16 结构的稳定计算
稳定性分析有基于小变形的线性理论和基于大变 形的非线性理论。非线性理论考虑有限变形对平 衡的影响，分析结果与实验结果较吻合，但分析 过程复杂。不管是第一类稳定问题，还是第二类 稳定问题，它们都是一个变形问题，稳定计算都 必须根据其变形状态来进行，有时还要求研究超 过临界状态之后的后屈曲平衡状态。
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16 结构的稳定计算
扁平拱式结构的跳跃失稳的基本特征
当荷载、变形达到一定程度时，可能从凸形受压的结构 翻转成凹形的受拉结构，这种急跳现象本质上也属极值 点失稳（跳跃屈曲）。
FP
FP
Δ
f
FPcr
O
l
l
由极值点的失稳问题突然转化为受拉的强度问题
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kl 2FP
FP
kl
FP 2FP
y1 y2
0 0
kl 2FP FP
FP 0 kl 2FP
kl FP1 3
y1 1 y2
1
FP2 kl
y1 1 y2
1
kl
FPcr min(FP1, FP2 ) 3
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16 结构的稳定计算
第一类失稳的基本特征
结构失稳前后平衡状态所对应的变形性质发生改变，分支
点处平衡形式具有两重性，分支点处的荷载即为临界荷载，
称分支点失稳。
FP
FP
FP < FPcr时，杆件仅产生压
缩变形。轻微侧扰，杆件微
建筑结构力学 结构稳定-2
I = 2Ar 2 π2 ≈ 27 并且, 并且,一般α 为 30o ~ 60o ,故可取 2 sin α cos α
并引入长细比
λ =l/r
27 A Aqλ2
µ =
1+
若采用换算长细比 λ h ,则有
A λh = = µλ = λ + 27 r Aq
2
µl
上式既是钢结构规范中推荐的缀条式组合压杆换算长细比的公式. 上式既是钢结构规范中推荐的缀条式组合压杆换算长细比的公式.
∑
i =1
i
i
将无限自由度化为有限自由度. 将无限自由度化为有限自由度. 结构势能则为 a1 , a 2 , L a n 的多 元函数, 元函数,求其极值即可求出临界 荷载. 荷载.
例:求图示体系的临界荷载. 求图示体系的临界荷载. 解: 1.设 1.设
y ( x) = a sin
πx
l
π 4 EI
边界条件 y (0) = 0
y (l ) = 0
d 2 y ( x) M κ d 2 M = − 2 dx EI GA dx 2
对于图示两端铰支的等截面杆,有 对于图示两端铰支的等截面杆 有
M = − Py, M ′′ = − Py′′
x
2
y′′(1 −
令
d y ( x) Py κP d y =− + 2 dx EI GA dx 2 P κP
γ
γ =
κ
Q
GA
缀条式
缀板式
一.缀条式组合压杆
δ 11
Q =1
γ = tan γ = δ 11 / d &
N12l δ 11 = ∑ EA
不计肢杆轴变. 不计肢杆轴变.
龙驭球《结构力学》笔记和课后习题(含真题)详解(结构的稳定计算)【圣才出品】
图 15-8
非完善体系的失稳形式是极值失稳。
（2）小扰度理论
设
，
，得平衡条件
解得
图 15-9 不大扰度相比，对于非完善体系，小扰度理论未能得出临界荷载会逐渐减小的结论。
3．几点认识 （1）一般来说，完善体系是分支点失稳，非完善体系是极值点失稳； （2）分支点特征是在交叉点出现平衡形式的二重性； （3）极值点失稳特征是只存在一个平衡路径，但平衡路径上出现极值点； （4）结构稳定问题只有根据大扰度理论才能得出精确的结论； （5）小扰度理论在分支点失稳问题中通常能得出临界荷载的正确值。
路径Ⅱ的平衡是丌稳定平衡，分支点 A 处的临界平衡状态也是丌稳定的。对于这类具
有丌稳定分支点的完善体系，在进行稳定验算时，按非完善体系进行。
（2）小扰度理论
若
，则倾斜位置的平衡条件为：
得
图 15-5 路径Ⅱ的平衡是随遇平衡。 小扰度理论能够得出临界荷载的正确结果，但丌能反映倾角较大时平衡路径Ⅱ的下降趋 势。
新平衡为的平衡条件
由
，得
图 15-10
2．能量法
在原始平衡路径之外寻找新的平衡路径，应用新平衡状态的势能驻值原理，求出临界荷
载。
弹簧应变能
，荷载势能
体系的势能为：
应用驻值条件
，得
取非零解，得 临界状态的能量特征：势能为驻值，且位秱有非零解。
6 / 41
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讨论势能
15-2 试用两种方法求图示结构的临界荷载 qcr。假定弹性支座的刚度系数为 k。
10 / 41
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题 15-2 图 解：（1）解法一，按大挠度理论计算 体系变形图，如图所示。
非完善体系的失稳形式是极值失稳。
（2）小扰度理论
设
，
，得平衡条件
解得
图 15-9 不大扰度相比，对于非完善体系，小扰度理论未能得出临界荷载会逐渐减小的结论。
3．几点认识 （1）一般来说，完善体系是分支点失稳，非完善体系是极值点失稳； （2）分支点特征是在交叉点出现平衡形式的二重性； （3）极值点失稳特征是只存在一个平衡路径，但平衡路径上出现极值点； （4）结构稳定问题只有根据大扰度理论才能得出精确的结论； （5）小扰度理论在分支点失稳问题中通常能得出临界荷载的正确值。
路径Ⅱ的平衡是丌稳定平衡，分支点 A 处的临界平衡状态也是丌稳定的。对于这类具
有丌稳定分支点的完善体系，在进行稳定验算时，按非完善体系进行。
（2）小扰度理论
若
，则倾斜位置的平衡条件为：
得
图 15-5 路径Ⅱ的平衡是随遇平衡。 小扰度理论能够得出临界荷载的正确结果，但丌能反映倾角较大时平衡路径Ⅱ的下降趋 势。
新平衡为的平衡条件
由
，得
图 15-10
2．能量法
在原始平衡路径之外寻找新的平衡路径，应用新平衡状态的势能驻值原理，求出临界荷
载。
弹簧应变能
，荷载势能
体系的势能为：
应用驻值条件
，得
取非零解，得 临界状态的能量特征：势能为驻值，且位秱有非零解。
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讨论势能
15-2 试用两种方法求图示结构的临界荷载 qcr。假定弹性支座的刚度系数为 k。
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题 15-2 图 解：（1）解法一，按大挠度理论计算 体系变形图，如图所示。
结构力学教学-11结构的稳定计算
y
稳定方程
k
k
脱离体，受 力分析
EI
y(x) n2 y
k
(l x)
1
0
k / FP
通解为
y(x)
A cos
nx
EI l B sin
nx
k
(l
x)
0 cos nl
n sin nl
(k / FPl 1) 0 0
边界条件 y(0) 0, y(0) P, ly(l) 0
A k 0
P
Bn ( k 1) 0
Pl
nl
tan nl
1 EI (nl)2
k l
解方程可得nl的 最小正根
FPcr n2EI
Acosnl Bsin nl 0
FP
FP
Q
l EI
y
x M
A y
k
k
nl
Q
tan nl
1 EI (nl)2
k l
解方程可得nl的 最小正根
FPcr n2EI
FP
若 k 0
tan nl 0
FP
l
l
l (1
cos
)
l
1
2
2
l
1 2
y2
l
y1
2
y2
y1 2
2l
,因而荷载所作的功为: W
FP
y2
y1 2
2l
l
(a) l
l (b)
B FP
B y2
FP B
例: 求图示结 构的临界 荷载.
FP k
l
k
l
FP y1
y2
EI
解: 应变能
结构力学课件 结构的稳定计算
如薄壁结构与厚壁结构相比高强度材料的结构与低强度材料的结构砖石结构混凝土结构相比主要受压的结构与主要受拉的结构相比容易丧失稳定稳定验算对这些结构显得更为重结构力学结构力学第十一章第十一章结构的稳定计算结构的稳定计算44一结构的三种平衡状态结构的三种平衡状态从稳定性角度考察
第十二章 结构的稳定计算
§12-1 两类稳定问题概述 §12-2 两类稳定问题计算简例 §12-3 有限自由度体系的稳定 有限自由度体系的稳定——静力法和能量法 静力法和能量法 无限自由度体系的稳定——静力法 §12-4 无限自由度体系的稳定 静力法 无限自由度体系的稳定——能量法 §12-5 无限自由度体系的稳定 能量法
即：在分支点B上 原始平衡路径I和新平 衡路径II同时并存，出 现平衡形式的二重性， 原始平衡路径I由稳定 平衡转为不稳定平衡， 出现稳定性的转变。
(b) FP I(不稳定) C D B D′ A I(稳定) O II(大挠度理论) II(小挠度理论)
FP1
∆
9
制作：周书敬 郭延华
《结构力学》第十一章 结构力学》
FP I(不稳定) C D B D′ A I(稳定) O II(大挠度理论) II(小挠度理论)
FP1
∆
制作：周书敬 郭延华
8
《结构力学》第十一章 结构力学》
结构的稳定计算
(4) 分支点 分支点：两条平衡路径I和II的交点称为分支点。 分支点的意义：分支点B将原始平衡路径I分为两段： OB段上的点属于稳定平衡。BC段上的点属于不稳定平 衡。
制作：周书敬 郭延华 7
FP1
《结构力学》第十一章 结构力学》
结构的稳定计算
与此相应，在图b中有两条不同的FP-∆ 曲线：原始 当FP2>FPcr=π2EI/l2时，原始的平衡形式不再是唯一 平衡路径I(BC)和第二条平衡路径II(根据大挠度理论， 的平衡形式，压杆既可处于直线形式的平衡状态，还可 处于弯曲形式的平衡状态。亦即是说：这时存在两种形 由曲线BD表示；如果采用小挠度理论进行近似计算， 则曲线BD退化为水平直线BD′)。 式的平衡状态。 所 以 ， 当 即：若压杆受到 可以看出：这时 (b) FP2>FPcr=π2EI/l2 时 ， 原始平衡状态(C点)是 干扰而弯曲，则当干 在原始的平衡路径I上， 扰消失后，压杆并不 不稳定的。 能回到C点的原始平 点C对应的平衡状态 衡状态，而是继续弯 是不稳定的。 曲，直到D点对应的 弯曲形式的平衡状态 为止。
第十二章 结构的稳定计算
§12-1 两类稳定问题概述 §12-2 两类稳定问题计算简例 §12-3 有限自由度体系的稳定 有限自由度体系的稳定——静力法和能量法 静力法和能量法 无限自由度体系的稳定——静力法 §12-4 无限自由度体系的稳定 静力法 无限自由度体系的稳定——能量法 §12-5 无限自由度体系的稳定 能量法
即：在分支点B上 原始平衡路径I和新平 衡路径II同时并存，出 现平衡形式的二重性， 原始平衡路径I由稳定 平衡转为不稳定平衡， 出现稳定性的转变。
(b) FP I(不稳定) C D B D′ A I(稳定) O II(大挠度理论) II(小挠度理论)
FP1
∆
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《结构力学》第十一章 结构力学》
FP I(不稳定) C D B D′ A I(稳定) O II(大挠度理论) II(小挠度理论)
FP1
∆
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8
《结构力学》第十一章 结构力学》
结构的稳定计算
(4) 分支点 分支点：两条平衡路径I和II的交点称为分支点。 分支点的意义：分支点B将原始平衡路径I分为两段： OB段上的点属于稳定平衡。BC段上的点属于不稳定平 衡。
制作：周书敬 郭延华 7
FP1
《结构力学》第十一章 结构力学》
结构的稳定计算
与此相应，在图b中有两条不同的FP-∆ 曲线：原始 当FP2>FPcr=π2EI/l2时，原始的平衡形式不再是唯一 平衡路径I(BC)和第二条平衡路径II(根据大挠度理论， 的平衡形式，压杆既可处于直线形式的平衡状态，还可 处于弯曲形式的平衡状态。亦即是说：这时存在两种形 由曲线BD表示；如果采用小挠度理论进行近似计算， 则曲线BD退化为水平直线BD′)。 式的平衡状态。 所 以 ， 当 即：若压杆受到 可以看出：这时 (b) FP2>FPcr=π2EI/l2 时 ， 原始平衡状态(C点)是 干扰而弯曲，则当干 在原始的平衡路径I上， 扰消失后，压杆并不 不稳定的。 能回到C点的原始平 点C对应的平衡状态 衡状态，而是继续弯 是不稳定的。 曲，直到D点对应的 弯曲形式的平衡状态 为止。
【2019年整理】10结构力学——结构的稳定计算
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一、静力法
结构的稳定计算
在原始平衡状态附近的新的位移状态上建立静力平衡方程， 并以新位移形态取得非零解的条件确定失稳的临界荷载。 1、单自由度完善体系的分支点失稳 FP FP FR MO 0 B B k k x F lsin θ F
EI1=
P
R
lcosθ 0
FR kΔ klsin θ
16
结构的稳定计算
HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY
结构力学
土木工程学院
工程力学学科组 李强
哈工大 土木工程学院
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16
结构的稳定计算
§16.1 两类稳定问题概述
结构中的某些受压杆件， 当荷载逐渐增大时，除 了可能发生强度破坏外， 还可能在材料抗力未得 到充分发挥之前就因变 形的迅速发展而丧失承 载能力，这种现象称失 稳破坏，其相应的荷载 称为结构的临界荷载。 压杆的实际承载能力应 为上述两种平衡荷载中 的最小者。
δE P 0 & δ2 EP 0
稳定平衡
δE P 0 & δ2 EP 0
随遇平衡
哈工大 土木工程学院
δE P 0 & δ2 EP 0
不稳定平衡
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16
变形体系势能：
结构的稳定计算
EP U U P
= 荷载势能 + 变形势能
EP EP (a1 , a2 ,, an )
d FP 0 d
FP/kl
1.00 0.695 0.536
sin ( θ) sin
2 3 FPcr 3 (1 sin ) 2 kl
1 3
结构力学——结构的稳定计算1 34页PPT文档
例:求图示刚的临界荷载.
P
PP
PP
P
I1 2I
lI
I
l
正对称失稳时
P
k
正对称失稳
k
1
P
k
2EI4EI/l l/2
反对称失稳
tannl nl 1 EI (nl)2 kl
nl 1 (nl)2 / 4
nl3.83 P crn2E I1.6 4E 7/lI2
例:求图示刚的临界荷载.
§4. 能量法
一. 势能原理
1.应变能
弯曲应变能
拉压应变能
Ve
P/2
1 2
l Mdx
0
Ve P/2
1 2
l Ndx
0
剪切应变能
Ve P/2
1 2
l Qdx
0
2.外力势能
外力从变形状态退回到无位移的 原始状态中所作的功.
y(x)A co n sxB sinn xQ (lx) P
由边界条件
cosnl sin nl 0 稳定方程
n cln o s lsn i n 0 l
y (0 ) 0 ,y (0 ) 0 ,y (l) 0
tanlnl
y
y(nl)nl y(n)ltanl
x
P
P
Q
Q
l
EI
§2. 静力法
一.一个自由度体系
P
l EI
A k
k
1
k
MA0
kPslin0
小挠度、小位移情况下：
sin
(k P)l0
0
k Pl0
----稳定方程（特征方程）
抗转弹簧
Pcr k /l ---临界荷载
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结构力学
—结构的稳定计算和案例
目录 (contents)
--------------------------------------------------------------
§ 14-1 两类稳定问题的概述
§ 14-2 两类稳定问题计算简例
§ 14-3 有限自由度体系的稳定—静力法和能量法
§ 14-4 无限自由度体系的稳定—静力法
3. 结构稳定问题只有根据大挠度理论才能得出精确 的结论，但从实用的观点看，小挠度理论也有其 优点，特别是在分支点失稳问题中通常也能得出 临界荷载的正确值。
2020/11/24
16
§ 14-3 有限自由度体系的稳定—静力法和能量法
确定临界荷载的基本方法有两类： ① 一类是根据临界状态的静力特征而提出的方 法，称为静力法； ② 另一类是根据临界状态的能量特征而提出的 方法，称为能量法。
P
P
P
EI
EI
1个自由度
2个自由度
无限自由度
2020/11/24
9
14-2-1 单自由度完善体系的分支点失稳
1. 按大挠度理论分析
平衡条件：
F P (lsin) F R (lc o s) 0
又弹簧反力：
FR klsin
即 (F Pklco s)lsin0
第一解： 0
第二解：FP klcos
2klP kl
1.618
k(k l lP ) P (2 l kp ) 0
P 23klP k2l20
P3 2
5kl02..3681kk28ll
2020/11/24
Pcr0.38k2l ---临界荷载
y2 1.618 ---失稳形式
y1
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14-3-2 能量法
弹簧应变能为：
荷载势能为：
FP看作重量
其中λ为B点的竖向位移，则
即 体系的势能为：
应用势能驻值条件 ，得
2020/11/24
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势能是正定的 稳定平衡状态
2020/11/24
势能是负定的 不稳定平衡状态
20
例 求图示结构的临界荷载.
解: 应变能
荷载势能 U12ky12 12ky22
U P
体系势能
P i iP [y 22 l2(y2 2ly1)2]
三种不同的平衡状态：稳定平衡状态、不稳定平衡状 态和中性平衡状态。
结构失稳的两种基本形式：分支点失稳和极值点失稳
2020/11/24
4
14-1-1 分支点失稳
完善体系或理想体系的简支压杆：杆件轴线是理想的
直线(没有初曲率，荷载FP是理想的中心受压荷载(没
有偏心)。
结构变形产生了
性质上的突变，
带有突然性。
结构稳定计算与强度计算的最大不同是计算要 在结构变形后的几何形状和位置上进行，其方法已 属于几何非线性范畴，叠加原理已不再适用、故本 章的讨论首先从变形状态开始。计算方法则静力法 （大挠度理论或小挠度理论）和能量法（小挠度理 论）并重，互为补充。
2020/11/24
3
§ 14-1 两类稳定问题的概述
§ 14-5 无限自由度体系的稳定—能量法
§ 14-6 组合杆的稳定
--------------------------------------------------------------
2020/11/24
2
在结构设计中，应当对结构进行强度验算和稳 定验算。其中强度验算是最基本的和必不可少的,而 稳定验算则在某些情况下显得很重要。例如，薄壁 结构与厚壁结构相比，高强度材料的结构(如钢结构) 与低强度材料的结构(如砖石结构、混凝土结构)相比， 主要受压的结构与主要受拉的结构相比，前者比较 容易丧失稳定，因而稳定验算显得更为重要。
虽不出现新的变形形 式，但结构原来的变 形将增大或材料的应 力超过其许可值，结 构不能正常工作。
2020/11/24
7
扁拱式结构失稳时可能伴随有“跳跃”现象。
2020/11/24
8
§ 14-2 两类稳定问题计算简例
一个体系产生弹性变形时．确定其变形状态所需 的独立几何参数的数目，称为稳定自由度。
2020/11/24
13
2. 按小挠度理论分析
设 1, 1则
FPklcos()[1sins(in )]
上式可简化为：
FP
kl
极值荷载：
FPcr kl
按小挠度理论 分析的结果
2020/11/24
14
具有弹性支座压杆的稳定
P
P
EI
EI
l
P
EI
EI
EI
l
l
2020/11/24
k
3EI l
k
k
1
3 EI
平衡方程：
F P ls in ( ) F R lc o s ( ) 0
弹簧反力：
F Rkl[sin ( ) sin]
解得：
FPklcos()[1sins(in )]
2020/11/24
12
令dFP 0, 得
d
FPklcos()[1sins(in )]
1
sin()sin3
相应极值荷载：
23
FPcr kl(1sin3)2
可见 FPcr kl
按大挠度理论 分析的结果
2020/11/24
10
2. 按小挠度理论分析
设 1则
FPlFRl 0 又 FR kl
(FPkl)l0
第二解：
FP kl
按小挠度理论 分析的结果
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11
14-2-2 单自由度非完善体系的极值点失稳
1. 按大挠度理论分析
如图所示单自由度非 完善体系杆AB有初倾 角ε，其余同前面。
临界状态的平衡形式具有二重性。
2020/11/24
5
2020/11/24
其他结构也可能 出现分支点失稳 现象。
6
14-1-2 极值点失稳
非完善体系的简支压杆：杆件轴 线是具有初曲率的压杆和承受偏 心荷载的压杆。
一般说来， 非完善体系的 失稳形式是极 值失稳。其特 征是平衡形式 不出现分支现 象， 而 FP 曲 线具有极值点。
k l3
P P
P k
EA
k
6 EI l
EI
EI l EI
k
15
结论
1. 结构的失稳存在两种基本形式。一般来说，完善 体系是分支点失稳，非完善体系是极值点失稳；
2. 分支点失稳形式的特征是存在不同平衡路径的交 叉，在交叉点处出现平衡路径，但 平衡路径上出现极值点；
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14-3-1 静力法
以2自由度体系为例
MB 0 k1y lP (y2y1)0 MA0 k2y l k1y 2 l P 1 y 0
(k lP )y1P2y 0
Pk
y1
ky 1
l EI kB
ky 2
l
A
y2
P1
(2 lk P )y1k2 l y0
k l P
P 0
----稳定方程
—结构的稳定计算和案例
目录 (contents)
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§ 14-1 两类稳定问题的概述
§ 14-2 两类稳定问题计算简例
§ 14-3 有限自由度体系的稳定—静力法和能量法
§ 14-4 无限自由度体系的稳定—静力法
3. 结构稳定问题只有根据大挠度理论才能得出精确 的结论，但从实用的观点看，小挠度理论也有其 优点，特别是在分支点失稳问题中通常也能得出 临界荷载的正确值。
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§ 14-3 有限自由度体系的稳定—静力法和能量法
确定临界荷载的基本方法有两类： ① 一类是根据临界状态的静力特征而提出的方 法，称为静力法； ② 另一类是根据临界状态的能量特征而提出的 方法，称为能量法。
P
P
P
EI
EI
1个自由度
2个自由度
无限自由度
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14-2-1 单自由度完善体系的分支点失稳
1. 按大挠度理论分析
平衡条件：
F P (lsin) F R (lc o s) 0
又弹簧反力：
FR klsin
即 (F Pklco s)lsin0
第一解： 0
第二解：FP klcos
2klP kl
1.618
k(k l lP ) P (2 l kp ) 0
P 23klP k2l20
P3 2
5kl02..3681kk28ll
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Pcr0.38k2l ---临界荷载
y2 1.618 ---失稳形式
y1
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14-3-2 能量法
弹簧应变能为：
荷载势能为：
FP看作重量
其中λ为B点的竖向位移，则
即 体系的势能为：
应用势能驻值条件 ，得
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势能是正定的 稳定平衡状态
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势能是负定的 不稳定平衡状态
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例 求图示结构的临界荷载.
解: 应变能
荷载势能 U12ky12 12ky22
U P
体系势能
P i iP [y 22 l2(y2 2ly1)2]
三种不同的平衡状态：稳定平衡状态、不稳定平衡状 态和中性平衡状态。
结构失稳的两种基本形式：分支点失稳和极值点失稳
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14-1-1 分支点失稳
完善体系或理想体系的简支压杆：杆件轴线是理想的
直线(没有初曲率，荷载FP是理想的中心受压荷载(没
有偏心)。
结构变形产生了
性质上的突变，
带有突然性。
结构稳定计算与强度计算的最大不同是计算要 在结构变形后的几何形状和位置上进行，其方法已 属于几何非线性范畴，叠加原理已不再适用、故本 章的讨论首先从变形状态开始。计算方法则静力法 （大挠度理论或小挠度理论）和能量法（小挠度理 论）并重，互为补充。
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§ 14-1 两类稳定问题的概述
§ 14-5 无限自由度体系的稳定—能量法
§ 14-6 组合杆的稳定
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在结构设计中，应当对结构进行强度验算和稳 定验算。其中强度验算是最基本的和必不可少的,而 稳定验算则在某些情况下显得很重要。例如，薄壁 结构与厚壁结构相比，高强度材料的结构(如钢结构) 与低强度材料的结构(如砖石结构、混凝土结构)相比， 主要受压的结构与主要受拉的结构相比，前者比较 容易丧失稳定，因而稳定验算显得更为重要。
虽不出现新的变形形 式，但结构原来的变 形将增大或材料的应 力超过其许可值，结 构不能正常工作。
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扁拱式结构失稳时可能伴随有“跳跃”现象。
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§ 14-2 两类稳定问题计算简例
一个体系产生弹性变形时．确定其变形状态所需 的独立几何参数的数目，称为稳定自由度。
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2. 按小挠度理论分析
设 1, 1则
FPklcos()[1sins(in )]
上式可简化为：
FP
kl
极值荷载：
FPcr kl
按小挠度理论 分析的结果
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具有弹性支座压杆的稳定
P
P
EI
EI
l
P
EI
EI
EI
l
l
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k
3EI l
k
k
1
3 EI
平衡方程：
F P ls in ( ) F R lc o s ( ) 0
弹簧反力：
F Rkl[sin ( ) sin]
解得：
FPklcos()[1sins(in )]
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令dFP 0, 得
d
FPklcos()[1sins(in )]
1
sin()sin3
相应极值荷载：
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FPcr kl(1sin3)2
可见 FPcr kl
按大挠度理论 分析的结果
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2. 按小挠度理论分析
设 1则
FPlFRl 0 又 FR kl
(FPkl)l0
第二解：
FP kl
按小挠度理论 分析的结果
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14-2-2 单自由度非完善体系的极值点失稳
1. 按大挠度理论分析
如图所示单自由度非 完善体系杆AB有初倾 角ε，其余同前面。
临界状态的平衡形式具有二重性。
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其他结构也可能 出现分支点失稳 现象。
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14-1-2 极值点失稳
非完善体系的简支压杆：杆件轴 线是具有初曲率的压杆和承受偏 心荷载的压杆。
一般说来， 非完善体系的 失稳形式是极 值失稳。其特 征是平衡形式 不出现分支现 象， 而 FP 曲 线具有极值点。
k l3
P P
P k
EA
k
6 EI l
EI
EI l EI
k
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结论
1. 结构的失稳存在两种基本形式。一般来说，完善 体系是分支点失稳，非完善体系是极值点失稳；
2. 分支点失稳形式的特征是存在不同平衡路径的交 叉，在交叉点处出现平衡路径，但 平衡路径上出现极值点；
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14-3-1 静力法
以2自由度体系为例
MB 0 k1y lP (y2y1)0 MA0 k2y l k1y 2 l P 1 y 0
(k lP )y1P2y 0
Pk
y1
ky 1
l EI kB
ky 2
l
A
y2
P1
(2 lk P )y1k2 l y0
k l P
P 0
----稳定方程