2020届高考数学复习 第81课时 第九章 直线、平面、简单几何体-棱柱、棱锥名师精品教案

第81课时：第九章 直线、平面、简单几何体——棱柱、棱锥
课题：棱柱、棱锥
一．复习目标：
了解棱柱和棱锥的概念，周围棱柱、正棱锥的有关性质，能进行有关角和距离的运算。

二．知识要点：
1． 叫棱柱 2．正棱柱的性质有 3． 叫正棱锥 4．正棱锥的性质有
P ={四棱柱}，Q ={平行六面体}，R ={长方体}，M ={正方体}，N ={正四棱
柱},S ={直平行六面体}，这六个集合之间的关系是 三．课前预习： 1．给出下列命题：
①底面是正多边形的棱锥是正棱锥； ②侧棱都相等的棱锥是正棱锥；
③侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥；
④侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥， 其中正确命题的个数是( A )
()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 3
2．如果三棱锥S ABC -的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S 在底面的射影O 在ABC ∆内，那么O 是ABC ∆的(
D )
()A 垂心 ()B 重心 ()C 外心 ()D 内心
3．
已知三棱锥D ABC -的三个侧面与底面全等，且AB AC ==，2BC =，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小是( C )
()
A 4π ()
B 3π ()
C 2
π
()D 32π
4．已知长方体ABCD A B C D ''''-中，棱5AA '=，12AB =，那么直线B C ''和平面A BCD ''的距离是
60
13 .
5．三棱柱111ABC A B C -，侧棱1BB 在下底面上的射影平行于AC ，如果侧棱1BB 与底面
G F E D C 1
B 1
A 1
C
B
A 所成的角为0
30，160B BC ∠=o ，则ACB ∠的余弦为
33 四．例题分析：
例1．正四棱锥S ABCD -中，高26SO =，两相邻侧面所成角为γ ，23
tan 2
γ
=
, (1)求侧棱与底面所成的角。

(2)求侧棱 长、底面边长和斜高(见图)。

解：（1） 作CF SB ⊥于F ，连结AF ，则CFB ABF ∆≅∆且AF SB ⊥，故AFC ∠是相邻侧面所成二面角的平面角，连结OF ，则AFC γ∠=， 2
OFC γ
∠=
，在Rt OFC ∆与
Rt OBF ∆中， tan
2
γ＝
OF OC ＝α
sin 1
=
OF OB (其中SBO ∠为SB 与底面所成的角，设为α) 故 3
sin ,602
αα==o 。

（2）在 Rt SOB ∆中，侧棱sin SO
SB a
==42，cot OB SO α=⋅2=2， ∴边长24BC OB =
⋅=；取BC 的中点E ，连结SE ，则SE 是正四棱锥的斜高，
在Rt SEB ∆中，斜高222SE SB SE =
-=7；
例2．如图正三棱锥111ABC A B C -中，底面边长为a ，侧棱长为
2
2
a ，若经过对角线1AB 且与对角线1BC 平行的平面交上底面于1DB 。

（1）试确定D 点的位置，并证明你的结论；（2）求平面1AB D 与侧面1AB 所成的角及平面1AB D 与底面所成的角；（3）求1A 到平面1AB D 的距离。

解：（1）D 为11A C 的中点。

连结1A B 与1AB 交于E ，则E 为1A B 的中点，DE 为平面1AB D 与平面11A BC 的交线，∵1BC //平面1AB D
∴1BC //DE ，∴D 为11A C 的中点。

（2）过D 作11DF A B ⊥于F ，由正三棱锥的性质，1,AA DF DF ⊥∴⊥平面1AB ，连结
DG ，则DGF ∠为平面1AB D 与侧面1AB
所成的角的平面角，可求得4
DF =
， 由111B FG B AA ∆∆:
，得4FG a =
，∴4
DGF π∠= ∵D 为11A C 的中点，∴111B D AC ⊥，由正三棱锥的性质，11AA B D ⊥，∴1B D ⊥平面1A C ∴1B D ⊥AD ，∴1A DA ∠是平面1AB D 与上底面所成的角的平面角，可求得
1tan A DA ∠=1A DA
∠=（3）过1A 作1A M AD ⊥，∵1B D ⊥平面1A C ，∴1B D ⊥1A M ，∴1A M ⊥平面1AB D 即1A M 是1A 到平面1AB D
的距离，AD =
，∴1A
M = 例3．如图，已知三棱锥P ABC -的侧面PAC 是底角为0
45的等腰三角形，PA PC =，
且该侧面垂直于底面，90ACB ∠=o
，10,6AB BC ==，113B C =，
(1)求证：二面角A PB C --是直二面角； (2)求二面角P AB C --的正切值；
(3)若该三棱锥被平行于底面的平面所截，得到一个几何体
111ABC A B C -，求几何体111ABC A B C -的侧面积．
证 (1) 如图，在三棱锥P ABC -中，取AC 的中点D ． 由题设知PAC ∆是等腰直角三角形，且PA PC ⊥． ∴ PD AC ⊥ ． ∵ 平面11A ACC ⊥平面ABC ，∴PD ⊥平面ABC ， ∵AC BC ⊥∴PA BC ⊥，∴PA ⊥平面PBC ， ∵PA ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PBC ， 即二面角A PB C --是直二面角．
解 (2)作DE AB ⊥，E 为垂足，则 PE AB ⊥．∴PED ∠是二面角P AB C --的平面角．在Rt ABC ∆中，
10,6AB BC ==，则8,4AC PD ==
由Rt ADE Rt ABC ∆∆:，得
BC AD DE AB
⋅=
＝1046⨯＝512
，
∴ 所求正切为tan PD PED DE ∠=
＝3
5
． 图31—3
P
C 1 C
B A A 1 B 1
图31－31
P
C 1
C B
A
E
A 1
B 1
D
(3) ∵11
32
B C BC == ∴111,,A B C 分别是,,PA PB PC 的中点． ∴184162PAC S ∆=⨯⨯=，
1
62
PBC S ∆=⨯⨯=．
∵PE =
2514416+
＝3454
，1102PAB S ∆=⨯=344． ∴S
棱锥侧16PAB PBC PCA S S S ∆∆∆=++=，∴几何体111ABC A B C -的侧面积
3
S 124
S ==几何体棱锥侧
五．课后作业：
1．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为( )
()
A ()
B ()
C 3 ()
D 2
2．正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1DD 的中点，O 为底面正方形ABCD 的中心，P 为棱11A B 上任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角为 ( )
()
A 4π ()
B 3π ()
C 2
π
()D 与P 点的位置有关 3．正三棱锥V ABC -中，1AB =，侧棱,,VA VB VC 两两互相垂直，则底面中心到侧面的距离为 （ ）
()
A 2 ()
B 3 ()
C 6 ()
D 6
4．一个长方体全面积是20cm 2
，所有棱长的和是24cm ，则长方体的对角线长为 4
5．三棱锥A BCD -
的高AH =，且H 是底面BCD ∆的垂心，若AB AC =，二面
角A BC D --为60o ，G 为ABC ∆的重心，则HG 的长为
6．如图，已知斜三棱柱111ABC A B C -的底面边长分别是
10AB AC cm ==，12BC cm =，侧棱113AA cm =，顶点
1A 与下底面各个顶点的距离相等，求这个棱柱的全面积．
A 1
C 1
B 1
A
B
C
图31—5
7．如图，已知PO 为正三棱锥P ABC -的高，AB a =，侧面与底面成α角，过O 点作平面平行于PC 和AB ，得截面EFGH ．(1)求证：PC AB ⊥；(2)截面EFGH 的面积．
8．如图正三棱锥111ABC A B C -中，底面边长为a ，在侧棱1BB 上截取2
a
BD =，在侧棱1CC 上截取CE a =，过,,A D E 作棱柱的截面，（1）求证：截面ADE ⊥侧面11ACC A ；（2）求截面ADE 与底面ABC 所成的角。

A
B E P
G H F C。