高考数学专题九复数与导数第74练函数的极值与最值练习

【步步高】（浙江专用）2017年高考数学 专题九 复数与导数 第74
练 函数的极值与最值练习
一、选择题
1．“可导函数y ＝f (x )在一点的导数值为0”是“函数y ＝f (x )在这点取得极值”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 2．函数y ＝ln x x
的最大值为( ) A.1e B ．e C ．e 2 D.103
3．设三次函数f (x )的导函数为f ′(x )，函数y ＝x ·f ′(x )的图象的一部分如图所示，则下列说法正确的是( )
A ．f (x )的极大值为f (3)，极小值为f (－3)
B ．f (x )的极大值为f (－3)，极小值为f (3)
C ．f (x )的极大值为f (－3)，极小值为f (3)
D ．f (x )的极大值为f (3)，极小值为f (－3)
4．设函数g (x )＝x (x 2
－1)，则g (x )在区间[0,1]上的最小值为( ) A ．－1 B ．0 C ．－239 D.33
5．(2015·宜昌模拟)已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12
)，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值等于( )
A.14
B.13
C.12
D ．1 6．(2015·河北保定第一中学模拟)已知f (x )＝ax 3，g (x )＝9x 2＋3x －1，当x ∈[1,2]时，f (x )≥g (x )恒成立，则a 的取值范围为( )
A ．a ≥11
B ．a ≤11
C ．a ≥418
D ．a ≤418
7．(2015·唐山一模)直线y ＝a 分别与曲线y ＝2(x ＋1)，y ＝x ＋ln x 交于点A ，B ，则|AB |的最小值为( )
A ．3
B ．2 C.324 D.32
8．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，0)
B ．(0，12)
C ．(0,1)
D ．(0，＋∞)
二、填空题
9．已知直线y ＝a 与函数y ＝x 3－3x 的图象有三个相异的交点，则a 的取值范围是________．
10．(2014·温州十校联考)若f (x )＝－12
x 2＋b ln(x ＋2)在[－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________．
11．已知f (x )＝x 2＋a ln x (a ∈R )．若存在x ∈[1，e]，使得f (x )≤(a ＋2)x 成立，则实数a 的取值范围是______．
12．定义在D 上的函数f (x )，如果满足：对任意x ∈D ，存在常数M >0，都有|f (x )|≤M 成立，
则称f (x )是D 上的有界函数，其中M 称为函数f (x )的上界，已知函数f (x )＝1＋a ·(12)x ＋(14)x ，若函数f (x )在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，则实数a 的取值范围是______．
答案解析
1．B [对于f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2，f ′(0)＝0，
不能推出f (x )在x ＝0处取极值，反之成立．故选B.]
2．A [令y ′＝1－ln x x 2＝0(x >0)，解得x ＝e.当x >e 时，y ′<0；当0<x <e 时，y ′>0，所以y 极大值＝f (e)＝1e ，在定义域内只有一个极值，所以y max ＝1e .]
3．D [观察图象知，当x <－3时，y ＝x ·f ′(x )>0，
∴f ′(x )<0；当－3<x <0时，y ＝x ·f ′(x )<0，∴f ′(x )>0，∴f (x )的极小值为f (－3)．当0<x <3时，y ＝x ·f ′(x )>0，∴f ′(x )>0；当x >3时，y ＝x ·f ′(x )<0，
∴f ′(x )<0.∴f (x )的极大值为f (3)．]
4．C [g (x )＝x 3－x ；g ′(x )＝3x 2－1，
令g ′(x )＝0，即3x 2－1＝0，
得x ＝33或x ＝－33
(舍去)， 又g (0)＝0，g (1)＝0，g (
33)＝－239. 所以g (x )的最小值为－239
.故选C.] 5．D [由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1.
令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a
， 当0<x <1a
时，f ′(x )>0； 当x >1a
时，f ′(x )<0. ∴f (x )max ＝f (1a
)＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1.] 6．A [f (x )≥g (x )恒成立，即ax 3≥9x 2＋3x －1.
∵x ∈[1,2]，∴a ≥9x ＋3x 2－1x 3. 令1x ＝t ，则当t ∈[12
，1]时，a ≥9t ＋3t 2－t 3. 令h (t )＝9t ＋3t 2－t 3，h ′(t )＝9＋6t －3t 2＝－3(t －1)2
＋12.
∴h ′(t )在[12
，1]上是增函数． ∴h ′(x )min ＝h ′(12)＝－34
＋12>0. ∴h (t )在[12
，1]上是增函数． ∴a ≥h (1)＝11，故选A.]
7．D [令2(x ＋1)＝a ，解得x ＝a 2
－1.设方程x ＋ln x ＝a 的根为t (x ≥0，t >0)，即t ＋ln t ＝a ，则|AB |＝|t －a 2＋1|＝|t －t ＋ln t 2＋1|＝|t 2－ln t 2＋1|.设g (t )＝t 2－ln t 2
＋1(t >0)，则g ′(t )＝12－12t ＝t －12t
，令g ′(t )＝0，得t ＝1，当t ∈(0,1)时，g ′(t )<0；当t ∈(1，＋∞)时，g ′(t )>0，所以g (t )min ＝g (1)＝32，所以|AB |≥32，所以|AB |的最小值为32
.] 8．B [函数f (x )＝x (ln x －ax )(x >0)，则f ′(x )＝ln x －ax ＋x (1x
－a )＝ln x －2ax ＋1.令f ′(x )＝ln x －2ax ＋1＝0，得ln x ＝2ax －1.函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，等价于f ′(x )＝ln x －2ax ＋1有两个零点，等价于函数y ＝ln x 与y ＝2ax －1的图象有两个交点．在同一个坐标系中作出它们的图象(如图)．
当a ＝12
时，直线y ＝2ax －1与y ＝ln x 的图象相切， 由图可知，当0<a <12
时，y ＝ln x 与y ＝2ax －1的图象有两个交点． 则实数a 的取值范围是(0，12
)．] 9．－2<a <2
解析 f ′(x )＝3x 2－3.
令f ′(x )＝0可以得到x ＝1或x ＝－1，
∵f (1)＝－2，f (－1)＝2，∴－2<a <2.
10．(－∞，－1]
解析 转化为f ′(x )＝－x ＋b
x ＋2≤0在[－1，＋∞)上恒成立，
即b ≤x (x ＋2)在[－1，＋∞)上恒成立，
令g (x )＝x (x ＋2)＝(x ＋1)2
－1，
所以g (x )min ＝－1，则b 的取值范围是(－∞，－1]．
11．[－1，＋∞)
解析 不等式f (x )≤(a ＋2)x ，
可化为a (x －ln x )≥x 2－2x .
因为x ∈[1，e]，所以ln x ≤1≤x 且等号不能同时取到，
所以ln x <x ，即x －ln x >0， 因而a ≥x 2－2x x －ln x
(x ∈[1，e])． 令g (x )＝x 2－2x x －ln x
(x ∈[1，e])， 又g ′(x )＝(x －1)(x ＋2－2ln x )(x －ln x )2， 当x ∈[1，e]时，x －1≥0，ln x ≤1，x ＋2－2ln x >0，
从而g ′(x )≥0(仅当x ＝1时取等号)，
所以g (x )在[1，e]上为增函数，
故g (x )的最小值为g (1)＝－1，
所以a 的取值范围是[－1，＋∞)．
12．[－5,1]
解析 由题意知，|f (x )|≤3在[0，＋∞)上恒成立，
即－3≤f (x )≤3，
所以－4·2x －(12)x ≤a ≤2·2x －(12
)x 在[0，＋∞)上恒成立， 所以[－4·2x －(12)x ]max ≤a ≤[2·2x －(12
)x ]min . 设2x ＝t ，h (t )＝－4t －1t
， p (t )＝2t －1t
， 由x ∈[0，＋∞)得t ≥1.
因为h ′(t )＝－4＋1t 2，p ′(t )＝2＋1t 2. 又由1t 2－4<0知t >12
， 故t ≥1时，h ′(t )<0，
所以h (t )在[1，＋∞)上单调递减，又p (t )在[1，＋∞)上单调递增，故h (t )在[1，＋∞)上
的最大值为h(1)＝－5，p(t)在[1，＋∞)上的最小值为p(1)＝1，所以实数a的取值范围为[－5,1]．。