材料力学 弯曲变形PPT课件
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材料力学第六章 弯曲变形PPT课件
解： （1）求支座反力，列弯矩方程 y
Fb FA l AC段： M1(x)
FB Fl bx1
Fa l
(0x1a)
Fb
A
FA
a
Fb
x1
C
x2
l
CB段： M2(x)l x2F(x2a) (ax2l)
（2）列挠曲轴近似微分方程并积分
AC段：
w1
Fb EIl
x1
w1E1I(F2bl x12)C1
(a )
因此 0的截A 面 段 C在 。 内
令(e)式等于零，得 ：
y
F 6lb(l2b23x02)0
A
FA
x0
l2 b2 3
(k)
所以
|w|max9F 3EbI(l2b2)3
a
Fb
x1
A C B
x2
l
(l)
Bx
FB
例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁的转 角方程、挠曲线方程，并确定θmax和vmax。
例 已知：EI, l, F。求：挠曲轴方程及转角方程，|w|max、|θ| max
y
MA A
（1）求支座反力，列弯矩方程
FA F
MA Fl
xl
FA
F Bx
M (x ) M A F A x F F l x
（2）列挠曲轴近似微分方程并积分
积分得：
w 1 (Fl Fx) EI
w1(Flx1Fx2)C
m axA1x1016 1q E a I3
wmax
w2(x22a)
19qa4
8EI
用积分法计算梁的挠度和转角的一般步骤：
（1）求支反力 （2）写弯矩方程M(x) （3）建立挠曲轴近似微分方程 （4）积分并确定积分常数
材料力学课件ppt-6弯曲变形
L 6
(x
a)3 ]
4、求转角
x 0 代入得：
A
1
x0
Fb(L2 b2 ) 6LEI
x L代入得：
B
2
xL
Fab(L 6LEI
a)
目录
5、求 ymax 。
由 dy 0 求得 ymax 的位置值x。
dx
A
Fb(L2 b2 ) 6LEI
0,
C
1
xa
Fab(a b) 3LEI
0( a
例6-4 已知：q、l、 EI，求：yC ,B
目录
w w w
目录
弯曲变形/用叠加法求梁的变形 w
B1
ql3 24 EI
,
wC1
5ql 4 384 EI
w
B3
(ql2 ) l 3EI
ql3
3EI
,
wC 3
3ql 4 48 EI
w
B2
(ql) l2 16 EI
ql3 16 EI
,
wC 2
(ql )l 3 48 EI
则简支梁的转角方程和挠度方程为
AC段 (0 x a)
1(x)
Fb 6LEI
[3x2
(L2
b2
)],
y1 ( x)
Fb 6LEI
[x3
(L2
b2 )x],
BC段 (a x L)
2 ( x)
Fb 6LEI
[3x2
(L2
b2 )]
F(x 2
a)2
,
y2
(x)
Fb 6LEI
[x3
(L2
b2)x
目录
§6-4 用叠加法求弯曲变形 一、叠加法前提
材料力学第5章弯曲变形ppt课件
qL
4.22kNm
4.22kNm
M
max
32 M
max
76.4MPa
WZ
d 3
例题
20kN m
A
4m
FA
20kN m
A
MA
4m
试求图示梁的支反力
40kN
B
D
2m
2m
B
B1 FB
FB 40kN
B
D
B2
2m
2m
在小变形条件下,B点轴向力较小可忽略不
计,所以为一次超静定.
C
B1 B2
FBBBMF12AA2383qFEqELBqqLI84LI2LLZZ32F35BFF4FEFB83PBPLIEL7Z3L12IZ.218352.k75N5kFkN2PNmEL2IZ2
x
边界条件
A
L2
B
L2
C
y
连续条件
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
全梁仅一个挠曲线方程
C
q
EA
共有两个积分常数 边界条件
L1
A
x
B
EI Z
L
y
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问在列各梁 的挠曲线近似微分方程时应分几段;将分别出现几个 积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
q
a
B C LBC
B
2a
FN
B
q2a4
8EIZ
FN 2a3
3EIZ
C
FN
a
D
材料力学课件-6弯曲变形
对称截面形状
对称的截面可以减小弯曲变形和应力。
非对称截面形状
非对称的截面会导致不均匀的弯曲应力分布。
材料的弯曲变形特性
1 弯曲模量衡量材料的抗弯能力，源自 材料的刚度有关。2 弯曲强度
材料能够承受的最大弯曲 应力。
3 弯曲韧度
材料在弯曲变形下能够吸 收的能量。
测量材料的弯曲模量的方法
1
简支梁试验
通过在两个支点上加力，测量梁的挠度
梁的截面形状对弯曲变形的影响
形状对称性
对称的截面形状可以减小弯曲变形。
截面面积
较大的截面面积可降低弯曲应力和变形。
截面离心率
截面离心率越小，弯曲变形越小。
欧拉公式的介绍
欧拉公式描述了弯曲梁的变形和应力之间的关系。它是弯曲变形的经典理论基础，广泛应用于工程设计和结构 分析中。
对称性在弯曲变形中的应用
三点弯曲试验
2
来计算弯曲模量。
在梁的中间施加力，测量梁的挠度和应
力来计算弯曲模量。
3
四点弯曲试验
在梁的两端和中间分别施加力，测量梁 的挠度和应力来计算弯曲模量。
弯曲变形在工程设计中的应用
桥梁设计
弯曲变形是桥梁结构中常见的变形，需要考虑材料 的弯曲特性。
建筑设计
梁在建筑中承担重要的结构作用，需要考虑弯曲变 形。
材料力学课件ppt-6弯曲 变形
本节将介绍弯曲变形的定义和原理，讨论梁的截面形状对弯曲变形的影响， 以及欧拉公式的应用。还将探讨对称性在弯曲变形中的重要性，介绍材料的 弯曲变形特性，并介绍测量材料弯曲模量的方法。最后，我们将探讨弯曲变 形在工程设计中的应用。
弯曲变形的定义和原理
弯曲变形是指材料在承受外部力矩作用下产生的曲线形变。这种变形是由梁 的纵向拉伸和压缩引起的。
13+第七章+弯曲变形——材料力学课件PPT
x l
A
F
x l
(x)
(x)
w(x)
B
描述截面上任一点的位移: 1、形心轴的线位移 —— 挠度 w
2、截面绕形心轴的角位移 —— 转角 3、轴向位移可忽略
F 变弯后的梁轴——挠曲轴
F 挠度随坐标变化的方程——挠曲轴方程 w= w(x)
F 忽略剪切变形 + 梁的转角一般很小—— = ’ dw/dx
回顾拉压杆与扭转轴的变形描述
7
第七章 弯曲变形
x l
A
F
x l
(x)
(x)
w(x)
B
8
第七章 弯曲变形
§7-2 挠曲轴近似微分方程 方程推导
Q 中性层曲率表示的弯曲变形公式
1
M EI
（纯弯）
1 M ( x)（推广到非纯弯）
( x) EI
Q 由高等数学知识
1
w( x)
(x)
1 [w( x)]2
弯曲变形：怎样描述？
5
•弯曲变形的特点
第七章 弯曲变形
挠曲轴
轴线变为曲线，变弯后的梁轴，称为挠曲轴， 挠曲轴是一条连续、光滑曲线（可微）
对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线 对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计
因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交
6
第七章 弯曲变形
• 梁变形的描述：
31
一、 载荷叠加法
分解载荷 分别计算位移 求位移之和
19
第七章 弯曲变形
例: 已知EI , 建立该梁的挠曲轴方程
A
x
B M0
C
l/2
l/2
M0 /l
解: 计算约束反力，建立坐标系。
材料力学 弯曲变形ppt课件
由此可见，M
与
d 2w dx2
始终保持同号，（d）式左边取“+”号，即有
6.1 引 言
d2w dx2
M(x) EI
〔6－2〕
式(6－2)称为梁挠曲线的近似微分方程。根据这个近似 微分方程所得的解，在工程中，已足够准确。
对于等截面梁，抗弯刚度EI为常量，式(6－2)可改写为
d2w EI dx2
M(x)
CB段:
E(I x) Fx2 b F (x a )2 F(b b 2 l2)
2 l 2
6 l
(g) 〔h〕
〔i〕
E(I x) w Fx3 b F (x a )3 F(b b 2 l2)x 〔j〕
6 l 6
6 l
6.1 引 言 〔5〕求梁的最大转角与最大挠度。
将x=0代入式〔g〕可得梁左端面的转角为
6.1 引 言
〔3〕分段建立梁的挠曲线近似微分方程。写出挠曲线
的近似微分方程分别为
AC段:
d2w b
EI dx2
l
Fx
CB段:
EIdd2xw 2 bl FxF(xa)
6.1 引 言
〔4〕积分法求变形。分别积分两次，可得
AC段:
EIdwFbx2 dx 2l
C1
(a)
EIwF6lbx3C1xD1
(b)
图6－3
6.1 引 言
解 选取坐标系如图6－3所示。距梁左端为x处截面的弯
矩为
M x W l x W W x l
代入式〔6－3〕，得挠曲线的近似微分方程为
EIdd2xw2 WxWl
将式〔a〕积分一次，得
EIdwW2xWlxC dx 2
再积分一次，得 W3x Wl2x
材料力学第六章弯曲时的变形精品PPT课件
1
(x)
(1| ww2|)32
(1| ww2|)32
M(x) EI
在规定的坐标系中,x 轴水平向右 w
M
M
为正, w轴竖直向上为正.
x
O
曲线向下凸时: w 0M 0
M 0
曲线向上凸时, w 0M 0w
w 0
M
M
因此, w 与 M 的正负号相同
O M 0 w 0
x
w (1 w2)32
两段梁的挠曲线方程分别为：
1 ( 0 x a)
挠曲线方程 EIw1 M1Fbl x
转角方程
EIwFb l
x2 2
C1
挠度方程 EIw1Fb lx63C1xD 1
2 (axl )
挠曲线方程 E Iw 2 M 2F b lxF (xa)
转角方程 挠度方程
E Iw 2 'F b lx 2 2F (x 2 a)2C 2 E Iw 2 F b lx 6 3 F (x 6 a )3 C 2 x D 2
转角
B
x
w挠度（
B
3、挠曲线 :梁变形后的轴线称为挠曲线 . 挠曲线方程为:
w f(x)
式中,x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w 为该点的挠度. w
A
C
B
x
挠曲线
C'
w挠度（
B
转角
4、挠度与转角的关系：
tg w ' w '(x )
w
A
挠曲线
C C'
转角
B
x
w挠度
B
5、挠度和转角符号的规定
挠度:向上为正,向下为负.
转角:自x 转至切线方向,逆时针转为正,顺时针转为负.
材料力学-弯曲变形(内力)ppt课件
2021/4/23
任务一 计算梁的弯曲变形内力
❖ 知识目标 ❖ 能力目标 ❖ 任务描述 ❖ 任务分析 ❖ 相关知识 ❖ 任务实施 ❖ 任务拓展 ❖ 思考与练习
弯曲变形
3333
机械基础-材料力学-弯曲变形
20212/0241//42/233
任务拓展-做剪力图和弯矩图
弯曲变形
FRA
MO
a
b
A
C
x1
x2
桥梁
弯曲变形
55
机械基础-材料力学-弯曲变形
20212/0241//42/233
厂房吊运物料
弯曲变形
6
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/4/23
任务一 计算梁的弯曲变形内力
弯曲变形
❖ 知识目标 ❖ 能力目标 ❖ 任务描述 ❖ 任务分析 ❖ 相关知识 ❖ 任务实施 ❖ 任务拓展 ❖ 思考与练习
任务一 计算梁的弯曲变形内力
弯曲变形
❖ 知识目标 ❖ 能力目标 ❖ 任务描述 ❖ 任务分析 ❖ 相关知识 ❖ 任务实施 ❖ 任务拓展 ❖ 思考与练习
✓ 分析梁的变形。 ✓ 分析梁发生弯曲变形时受的内力。 ✓ 求出梁弯曲时的内力。
99
机械基础-材料力学-弯曲变形
20212/0241//42/233
相关知识
解：1、求支座反力
F x0, F A x0
MA0, FBF l a
MB0, FAyFb
l
弯曲变形
F
a
b
A
B
x
l
FAx
A FAy
F B
FB
21
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/4/23
相关知识-剪力和弯矩
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04.12.2020
8
w
d2w M dx 2 EI
M O
M x
d2w M dx2 EI
由于规定挠度向上为正，有
d 2w M dx2 EI
——挠曲线微分方程
仅适用于线弹性范围内的小变形的平面弯曲问题。
04.12.2020
9
§6-3 用积分法求弯曲变形
d2w dx2
M (x) EI
对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩
第六章 弯曲变形
基本要求
1．挠曲线、挠度和转角的概念，深刻理解梁挠 曲线近似微分方程的建立。
2．掌握计算梁变形的积分法和叠加法。 3．了解梁的刚度条件。
04.12.2020
1
§6-1 引 言
一．工程实际中的弯曲变形
04.12.2020
2
二．基本概念
1．挠曲线：梁在弯矩作用下发生弯曲变形。如果在弹
方程M(x)，代入上式后，分别对x作不定积分,得到包含积 分常数的挠度方程与转角方程：
(x)ddw xE MIdxC
——转角方程
w(x)(E Md I)x d xC xD——挠度方程
其中C、D为积分常数。
04.12.2020
10
积分常数C、D由边界条件和梁段间光滑连续条件或
中间绞链连续条件确定。
~~ ~
l
E2 I w F l x 6 b 2 3F(x2 6a)3C 2x2D 2
Bx
由连续和光滑条件： x 1 x 2 a 时 w 1 w 2 ， ,w 1 w 2
得：
C 1C 2, D 1D 2
由边界条件： x10时w ， 10 x2l时w ， 20
得：
D1D20 C1C2F 6lb (l2b2)
得： CD 0
04.12.2020
F Bx
14
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
Fx (x2l)
2EI w Fx2 (x3l)
6EI
y
A x l
最大转角和最大挠度分别为：
maxB
Fl2
2EI
wmaxvB
Fl3 3EI
04.12.2020
F Bx
15
例6-2 已知：简支梁受力如图示。F、EI、l、a、
最大转角：
A
Fab(lb) 6lEI
B
Fab(l 6lEI
a)
当a>b时，B为最大转角。
04.12.2020
19
AC段
16F lEb(lI2b23x12)
w16 FlE b1(lxI2b2x12)
y
A x1 a
F
C
x2 b
l
Bx
CB段 2 6 F lE [b l2 (I b 2 3 x 2 2) 3 b l(x 2 a )2]
04.12.2020
12
例6-1 已知：悬臂梁受力如图示，F、l、EI均为
已知。求：梁的挠曲线、转角方程及最大挠度和转角
y
A x l
F Bx
04.12.2020
13
y 解：
M (x)F(lx) A
x
Ew IF xFl
l
Ew IFx2FlxC 2
EIw Fx3Flx2C xD 62
由边界条件： x0 时 w ， 0 , w 0
Ew I2 F l x b 22 2F(x2 2a)2C2
04.12E .2020 2 I w F l x 6 b 2 3F(x2 6a)3C 2x2D 2
17
EIw1
Fbx12 l2
C1
EI1wFl bx613C1x1D1
y
F
A
C
x1 x2aຫໍສະໝຸດ bEw I2 F l x b 22 2F(x2 2a)2C2
= （x）
规定：向上的挠度为正，向下的挠度为负。 逆时针转角为正，顺时针转角为负。
挠度曲线在一点的曲率与这一点处横截面上的弯矩、
弯曲刚度之间存在下列关系：
1＝ M EI
04.12.2020
5
在Oxw坐标系中，挠度与转角存在下列关系：
dw tan
dx
y
在小变形条件下，挠曲
线较为平坦，即很小，因而 上式中tan。于是有
性范围内加载，梁的轴线在梁弯曲后变成一连续光滑曲
线。这一连续光滑曲线称为弹性曲线（elastic curve），
或挠度曲线（deflection curve），简称弹性线或挠曲线。
y
F
O
x
04.12.2020
3
2．挠度与转角
梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位 置的改变称为位移。梁的位移包括三部分：
横截面形心处的铅垂位移，称为挠度(deflection)，用w 表示； 变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的 角度，称为转角（slope） ，用 表示；
横截面形心沿水平方向 y
的位移，称为轴向位移或
水平位移。通常不予考虑。 O
x
w
04.12.2020
4
y
挠曲线方程：
w = w（x）
转角方程：
04.12.2020
18
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
AC段
16F lEb(lI2b23x12)
w16 FlE b1(lxI2b2x12)
y
F
A
C
x1 x2
a
b
l
Bx
CB段 2 6 F lE [b l2 (I b 2 3 x 2 2 ) 3 b l(x 2 a )2 ]
w 2 6 F lE [b l2 (I b 2 x 2 2 )x 2 b l(x 2 a )3 ]
~~ ~
~
~ ~
~ ~
~
~ ~~
~
~ ~ ~~
位移边界条件
AA
A
A
AA
A
A
A
A AA
wA 0
wA 0
A 0
光滑连续条件
A
A A AA
A
A AA A
A AA A
wA
－弹簧变形
wALwAR
ALAR
wALwAR
04.12.2020
11
积分法求解步骤
确定约束力,判断是否需要分段以及分几段 分段点：集中力、集中力偶、分布载荷起止点、EI不同 分段写出弯矩方程 分段建立挠度微分方程 微分方程的积分 利用约束条件和连续光滑条件确定积分常数 确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角
b均为已知。试：讨论这一梁的弯曲变形。
y
F
A
C
x1 x2
a
b
l
Bx
04.12.2020
16
解： AEC I段 w1： M Flb(xx11)Fl bx1
y A
x1
EIw1
Fbx12 l2
C1
EI1wFl bx613C1x1D1FRA
Fb l
a
F
C
x2 b
l
B
FRB
Fa l
x
C E段 w B I2 M F ： (lx2 b x)2 F F l(xx 2 b 2 aF )(x2a)
dw
dx
04.12.2020
6
§6-2 挠曲线的微分方程
力学中的曲率公式
1M EI
数学中的曲率公式
d2w
1
dx2
3
1
d
w
2
2
dx
04.12.2020
7
小挠度情形下
dw
2
1
dx
d2w
1
dx2
3
1
dw dx
2
2
d2w M
dx2 EI
弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号 与 w 坐标的取向有关。