高中数学苏教版必修4教案：第一章 三角函数 第9课时 1.3.1三角函数的周期性

第九课时 §1.3.1 三角函数的周期性
【教学目标】
一、知识与技能：
1.理解周期函数、最小正周期的定义；
2.会求正、余弦函数的最小正周期。

二、过程与方法
通过对周期的定义的理解，对熟悉正余弦函数的有关图象与性质有着重要作用
三、情感态度价值观：
通过周期定义的理解，使学生认识到事物之间的相互联系关系。

教学重点难点：函数的周期性、最小正周期的定义
【教学过程】
一、创设情景，提出问题
1．问题：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……
（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？
2．观察正（余）弦函数的图象总结规律：
正弦函数()sin f x x =性质如下：
–
–
π
2π 2π- 2π 5π
π- 2π- 5π- O x
y 1 1-
文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；
符号语言：当x 增加2k π（k Z ∈）时，总有(2)sin(2)sin ()f x k x k x f x ππ+=+==． 也即：（1）当自变量x 增加2k π时，正弦函数的值又重复出现；
（2）对于定义域内的任意x ，sin(2)sin x k x π+=恒成立。

余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。

二、新课讲解：
1．周期函数的定义：
对于函数()f x ，如果存在一个非零常数．．．．T ，使得当x 取定义域内的每一个值．．．．
时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

说明：（1）T 必须是常数，且不为零；
（2）对周期函数来说()()f x T f x +=必须对定义域内的任意x 都成立。

【思考】
（1）对于函数sin y x =，x R ∈有2sin()sin 636π
ππ+=，能否说23
π是它的周期？ （2） 正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，如果是，周期是多少？（2k π，k Z ∈且0k ≠）
（3）若函数()f x 的周期为T ，则kT ，*k Z ∈也是()f x 的周期吗？为什么？
（是，其原因为：()()(2)()f x f x T f x T f x kT =+=+=
=+）
2．最小正周期的定义： 对于一个周期函数()f x ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做()f x 的最小正周期。

说明：（1）我们现在谈到三角函数周期时，如果不加特别说明，一般都是指的最小正周期；
（2）从图象上可以看出sin y x =，x R ∈；cos y x =，x R ∈的最小正周期为2π；
（3）【判断】：是不是所有的周期函数都有最小正周期？ （()f x c =没有最小正周期）
三、例题分析：
例1：求下列函数周期：
（1）3cos y x =，x R ∈；
（2）sin 2y x =，x R ∈；
（3）12sin()26y x π=-
，x R ∈．
说明：（1）一般结论：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+，x R ∈（其中,,A ωϕ
为常数，且0A ≠，0ω>）的周期2T π
ω=；
（2）若0ω<，例如：①3cos()y x =-，x R ∈；
②sin(2)y x =-，x R ∈； ③12sin()26y x π=-
-，x R ∈． 则这三个函数的周期又是什么？
一般结论：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+，x R ∈的周期2||T πω=
． 例2、求下列函数的周期：
（1）sin(
)32y x ππ=-； （2）sin3y x =，x R ∈； （3）3sin 4
x y =，x R ∈；
（4）sin()10y x π=+
，x R ∈；（5）cos(2)3y x π=+，x R ∈； （6）1sin()24y x π=-，x R ∈．
（7）cos
3x y =，x R ∈；（8）cos 3x y =+1
例3、求下列函数的周期
（1）|sin |x y =，x R ∈ （2）|2cos |x y =，x R ∈
（3）|tan |x y =，z k k x ∈+
≠,2ππ （4）|2
1sin |+=x y ，x R ∈
四、课堂小结：1.周期函数、最小正周期的定义 2. sin()y A x ωϕ=+型函数的周期的求法
五、作业： 课课练 作业本相关作业。