高二数学复习考点知识与题型专题讲解11---圆的方程
高中数学圆的方程知识点题型归纳
高中数学圆的方程知识点题型归纳第一讲圆的方程一、知识清单一）圆的定义及方程圆的定义是平面内距离定点距离相等的点的轨迹。
圆的标准方程为 (y-b)2=r2，一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0，其中圆心为 (a,b)，半径为 r。
标准方程和一般方程可以互相转化。
二）点与圆的位置关系点 M(x,y) 与圆 (x-a)2+(y-b)2=r2 的位置关系有三种情况：在圆外、在圆上和在圆内。
三）温馨提示求圆的方程时，可以利用圆的几何性质简化运算，如圆心在过切点且与切线垂直的直线上、圆心在任一弦的中垂线上、两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。
此外，中点坐标公式也是常用的计算方法。
二、典例归纳本讲内容主要是圆的方程和点与圆的位置关系。
在求圆的方程时，需要注意利用圆的几何性质简化运算。
同时，中点坐标公式也是常用的计算方法。
在实际问题中，需要根据具体情况选择合适的方法来解决问题。
且圆心在直线2x+y=0上，求该圆的方程。
变式3】已知圆C的方程为x2+y2-4x-6y+9=0，直线l的方程为2x+3y-6=0，求圆C与直线l的交点坐标。
变式4】已知圆C的方程为x2+y2-2x+4y-4=0，直线l的方程为x-y+2=0，求圆C与直线l的交点坐标。
方法总结：1.对于一般的圆方程，可以通过平移变换将其化为标准方程，然后根据圆的几何性质求出圆心和半径，进而写出标准方程。
2.对于已知圆心和半径的问题，可以利用圆的几何性质直接写出标准方程。
3.对于圆与直线的交点问题，可以将直线方程代入圆方程中解方程，或者将圆方程代入直线方程中解方程，求出交点坐标。
变式3】给定四个点A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(-1,2)，判断它们能否在同一个圆上，并说明原因。
这题可以通过计算四边形ABCD的两条对角线的中垂线是否相交来判断四个点是否在同一个圆上。
首先可以计算出AC的中点坐标为M(1.5.2.5)，斜率为-3/2，所以AC的中垂线的方程为y-2.5 = 2/3(x-1.5)。
高二数学下册《圆的方程》知识点复习
高二数学下册《圆的方程》知识点复习圆的方程定义：圆的标准方程2+2=r2中，有三个参数a、b、r，即圆心坐标为，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。
直线和圆的位置关系：直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点,即把圆的方程和直线的方程联立成方程组,利用判别式Δ来讨论位置关系.①Δ＞0,直线和圆相交.②Δ=0,直线和圆相切.③Δ＜0,直线和圆相离.方法二是几何的观点,即把圆心到直线的距离d和半径R 的大小加以比较.①d＜R,直线和圆相交.②d=R,直线和圆相切.③d＞R,直线和圆相离.直线和圆相切,这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率或已知直线上一点两种情况,而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.直线和圆相交,这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.切线的性质⑴圆心到切线的距离等于圆的半径；⑵过切点的半径垂直于切线；⑶经过圆心,与切线垂直的直线必经过切点；⑷经过切点,与切线垂直的直线必经过圆心；当一条直线满足过圆心；过切点；垂直于切线三个性质中的两个时,第三个性质也满足.切线的判定定理经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线长定理从圆外一点作圆的两条切线,两切线长相等,圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角．圆锥曲线性质：一、圆锥曲线的定义椭圆：到两个定点的距离之和等于定长的动点的轨迹叫做椭圆.双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值的动点轨迹叫做双曲线.即.圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线.当01时为双曲线.二、圆锥曲线的方程椭圆：+=1或+=1双曲线：-=1或-=1抛物线：y2=±2px,x2=±2py三、圆锥曲线的性质椭圆：+=1范围：|x|≤a,|y|≤b顶点：,焦点：离心率：e=∈准线：x=±双曲线：-=1范围：|x|≥a,y∈R顶点：焦点：离心率：e=∈准线：x=±渐近线：y=±x抛物线：y2=2px范围：x≥0,y∈R顶点：焦点：离心率：e=1准线：x=-练习题：若圆2+2=r2过原点，则A.a2-b2=0B.a2+b2=r2c.a2+b2+r2=0D.a=0，b=0【解析】选B.因为圆过原点，所以满足方程，即2+2=r2，所以a2+b2=r2.已知定点A，o为坐标原点，以oA为直径的圆c的方程是A.2+y2=4B.2+y2=16c.x2+2=4D.x2+2=16【解析】选c.由题意知，圆心坐标为，半径r=2，其方程为x2+2=4.圆2+y2=5关于原点对称的圆的方程是A.2+y2=5B.x2+2=5c.2+2=25D.x2+2=25【解析】选A.圆心关于原点对称的点为，所以所求圆的方程为2+y2=5.。
高中数学圆与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析)
高中数学圆与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析) 知识点：4.1.1 圆的标准方程1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程2、点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外（2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上（3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内4.1.2 圆的一般方程1、圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x ，圆心为半径为2、圆的一般方程的特点：(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．②没有xy 这样的二次项．(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
4.2.1 圆与圆的位置关系1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2,2(E D --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当r d >时，直线l 与圆C 相离；（2）当r d =时，直线l 与圆C 相切；（3）当r d <时，直线l 与圆C 相交；直线、圆的位置关系注意：1.直线与圆的位置关系 直线与圆相交，有两个公共点d R ⇔<⇔方程组有两组不同实数解(0)∆> 直线与圆相切，只有一个公共点d R ⇔=⇔方程组有唯一实数解(0)∆=直线与圆相离，没有公共点d R ⇔>⇔方程组无实数解(0)∆<2.求两圆公共弦所在直线方程的方法：将两圆方程相减。
高二数学必修：高二数学圆的方程知识点讲解_知识点总结
高二数学必修：高二数学圆的方程知识点讲解_知识点总结
一、知识要求
1、掌握圆的标准方程和一般方程，了解圆的参数方程，能根据已知条件求出圆的方程；
2、会判定点和圆、直线和圆、圆和圆之间的位置关系，会根据比较简单的已知条件求出圆的切线方程，能解决与圆有关的简单的实际问题；
3、主要考核形数结合能力及简单实际应用能力。
二、知识精讲
1、圆的三种方程形式
（1）圆的标准方程：__________，圆心为________，半径为___________ ，当圆心为________，半径为_____时，圆的标准方程为：_____________ 。
（2）圆的一般方程：_________________，圆心为____________，半径为_____________，特别，当_________时，表示点________ ；当_________时，无轨迹。
（3）圆的参数方程：
圆______________所对应的参数方程为_________________：。
2024年新高二数学提升精品讲义圆的一般方程(思维导图+3知识点+6考点+过关检测)(原卷版)
2024年新高二数学提升精品讲义圆的一般方程（原卷版）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解圆的一般方程及其特点；2．掌握圆的一般方程和标准方程的互化；3．会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题.知识点1圆的一般方程1、圆的一般方程：当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程．其中,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，为半径．2、圆的一般方程的形式特点（1）22,x y 项的系数相同且不等于0（2x 和2y 的系数如果是不为1的非零常数，只需在方程两边同时除以这个常数即可）；（2）不含xy 项；（3）2240D E F +->．3、一般方程与标准方程关系：对方程220x y Dx Ey F ++++=的左边配方，并将常数移项到右边，得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据圆的标准方程可知：（1）当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-.它表示一个点,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．（2）当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．（3）当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，知识点2圆的一般方程判断点和圆的位置关系已知点()00,M x y ，和圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->）则知识点3轨迹与轨迹方程1、轨迹方程和轨迹的定义已知平面上一动点(,)M x y ，点M 的轨迹方程是指点M 的坐标(,)x y 满足的关系式。
轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形，在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）.2、“轨迹”与“轨迹方程”有区别：（1）“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小（范围）等特征；（2）“轨迹方程”是方程，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围．3、坐标法求轨迹方程的步骤（1）建系：建立适当的平面直角坐标系；（2）设点：用(,)x y 表示轨迹（曲线）上任意一点的M 的坐标；（3）列式：列出关于.x y 的方程；（4）化简：把方程化为最简形式；（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．考点一：二元二次方程与圆例1．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知圆22:4650O x y x y +-++=，则圆心O 和半径r 分别为（）A ．()2,3,O r -=B ．()2,3,O r -=C ．()2,3,O r -=D ．()2,3,O r -=【变式1-1】（23-24高二上·福建厦门·期中）若32,1,0,,14a ⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭，则方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示的圆的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式1-2】（23-24高二上·广东江门·期末）方程22210x y x m ++--=表示一个圆，则实数m 的取值范围是（）A ．(),1-∞-B ．()1,-+∞C ．(),2-∞-D ．()2,-+∞【变式1-3】（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）（多选）已知方程()()2224232141690x y m x m y m +-++-++=表示一个圆，则实数m 可能的取值为（）A ．－1B ．0C ．12D ．1考点二：求圆的一般方程例2.（23-24高二上·内蒙古·期末）已知圆C 经过点()1,1-和点()1,3B ，且圆心在y 轴上，则圆C的方程为（）A ．()2222x y ++=B ．()22210x y -+=C ．()2222x y +-=D ．()22210x y ++=【变式2-1】（23-24高二上·江苏·假期作业）过坐标原点，且在x 轴和y 轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（）A ．22230x y x y +--=B ．22230x y x y ++-=C ．22230x y x y +-+=D ．22230x y x y +++=【变式2-2】（23-24高二下·重庆铜梁·开学考试）已知(2,0)A ，(4,2)B ，O 为原点，则AOB 的外接圆方程为.【变式2-3】（23-24高二上·安徽·月考）已知在ABC 中，AB 边所在直线的方程为360x y --=，AC 边所在直线的方程为20x y --=，AC 边上的中线所在直线的方程为20x y +-=．(1)求C 点的坐标；(2)求ABC 的外接圆方程．考点三：点与圆的位置关系例3.（22-23高二上·天津和平·月考）已知圆C ：22220x y x y +--=，则点(3,1)P 在（）A ．圆外B ．圆上C ．圆内D ．以上情况均有可能【变式3-1】（23-24高二上·内蒙古·期中）若点()2,1在圆220x y x y a +-++=的外部，则a 的取值范围是（）A ．(4,)-+∞B ．1,2⎛⎫-∞ ⎝C ．14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1(,4),2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭【变式3-2】（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知圆C 的方程为222245330x y mx my m m +-++-+=，若点(1,2)m -在圆外，则m 的取值范围是（）A ．(,1)(4,)-∞+∞B ．(1,)+∞C ．(1,4)D ．(4,)+∞【变式3-3】（23-24高二上·全国·课后作业）若点()1,1a a +-在圆22240x y ay +--=的内部，则a 的取值范围是（）.A ．1a >B ．01a <<C ．115a -<<D ．1a <考点四：与圆有关的轨迹问题例4.（23-24高二上·北京·期末）已知点(2,0)B 和点(2,4)C ，直角ABC 以BC 为斜边，求直角顶点A 的轨迹方程.【变式4-1】（23-24高二上·上海青浦·月考）已知两点(5,0)A -，(5,0)B ，动点P 到点A 的距离是它到点B 的距离的3倍，则点P 的轨迹方程是．【变式4-2】（23-24高二上·山东威海·期末）（多选）已知A ，B 是平面内两个定点，且||6AB =，则满足下列条件的动点P 的轨迹为圆的是（）A ．||||6PA PB +=B ．1PA PB ⋅=-C ．||2||PA PB =D ．22||||18PA PB +=【变式4-3】（22-23高二上·云南昆明·期中）已知点(6,0)A ，O 为坐标原点，若动点(,)P x y 满足2OP PA =．(1)试求动点P 的轨迹方程；(2)过点P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程．考点五：圆过定点问题例5.（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆:²²250C x y ax ay ++--=恒过的定点为（）A ．()()2,1,2,1--B ．()()1,2,2,1--C ．()()1,2,1,2--D ．()()2,1,2,1--【变式5-1】（23-24高二上·全国·专题练习）点(),P x y 是直线250x y +-=上任意一点，O 是坐标原点，则以OP 为直径的圆经过定点（A ．()0,0和()1,1B ．()0,0和()2,2C ．()0,0和()1,2D ．()0,0和()2,1【变式5-2】（23-24高二上·全国·专题练习）对任意实数m ，圆2236920x y mx my m +--+-=恒过定点，则定点坐标为．【变式5-3】（23-24高二上·河南信阳·期中）圆2220x y mx y m ++--=恒过的定点是.考点六：与圆有关的实际问题例6.（23-24高二上·河南洛阳·期中）如图，一座圆拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽12米，则当水面下降1米后，水面宽为（）A B C ．米D ．【变式6-1】（23-24高二上·广东佛山·期中）如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度20AB =米，拱高4OP =米，建适时每间隔4米需要用一根支柱支撑，则支柱22A P 的高度为米．（精确到0.01米，参考数据：33 5.744≈）【变式6-2】（23-24高二上·北京丰台·期中）赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有1400多年的历史，是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量．2023年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为16m ，拱高为4m ，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系．(1)求这座圆拱桥的拱圆的方程；(2)若该景区游船宽10m ，水面以上高3m ，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由.(3 1.732)≈一、单选题1．（23-24高二上·陕西汉中·期末）圆222440x y x y +-+-=的圆心和半径分别为（）A ．()1,2,3B ．()1,2,3-C ．()1,2,2-D ．()1,2,3-2．（23-24高二上·四川成都·月考）过三点()()()4,2,1,1,14A B C --,的圆的一般方程为（）A ．227320x y x y ++-+=B ．227320x y x y ++++=C ．227320x y x y +-++=D ．227320x y x y +--+=3．（2024·河北沧州·二模）若点()2,1A 在圆222250x y mx y +--+=（m 为常数）外，则实数m 的取值范围为（）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．(),2-∞-D ．()2,-+∞4．（23-24高二上·湖北武汉·期中）“4k >”是“方程22(2)50x y kx k y +++-+=表示圆的方程”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（23-24高二上·辽宁抚顺·期中）已知圆22224590x y ax ay a +-++-=上所有点都在第二象限，则a 的取值范围（）A ．(),3-∞-B ．(],3-∞-C ．33,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭6．（23-24高二上·四川绵阳·期中）阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A ，B ，则所有满足PA PBλ=（0λ>，且1λ≠）的点P 的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点(1,0)P ，(1,0)Q -，动点M 满足MP =，记M 的轨迹为C ，则轨迹C 围成图形的面积是（）A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π二、多选题7．（23-24高二上·重庆万州·期中）若()2,1，()4,2，()3,4，()1,m 四点共圆，则m 的值为（）A ．2B C ．12+D ．38．（23-24高二上·河北邢台·222:240C ax ay x a y +-+=，下列结论正确的是（）A ．当0a =时，曲线C 是一条直线B ．当0a ≠时，曲线C 是一个圆C ．当曲线C 是圆时，它的面积的最小值为2πD ．当曲线C 是面积为5π的圆时，1=a 三、填空题9．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知圆2264120x y x y +-++=与圆22142140x y x y +--+=，则两圆心之间的距离为.10．（23-24高二上·四川泸州·期末）若圆22:220C x y mx y ++-=被直线210x y ++=平分，则圆C 的半径为．11．（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知点()0,5A ，()1,2B -，()3,4C --，()2,D a 四点共圆，则=a .四、解答题12．（23-24高二上·全国·专题练习）已知曲线C ：()()2211480a x a y x ay +++-+=．(1)当a 取何值时，方程表示圆？(2)求证：不论a 为何值，曲线C 必过两定点．13．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知直线12:20,:0l x y l x y ++=+=，直线l 过点()10,4-且与1l 垂直.(1)求直线l 的方程；(2)设l 分别与12,l l 交于点A ，B ，O 为坐标原点，求过三点A ，B ，O 的圆的方程.。
圆的一般方程-高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义(解析版)
2.4.2 圆的一般方程1 圆的一般方程x 2+y 2+D x +E y +F =0 (D 2+E 2−4 F >0)解释(1) 直线方程有一般式方程，圆也有一般方程！它主要是把轨迹转化为关于x,y 的二元方程f(x,y)，统一起来，到下章学的圆锥曲线一样，这也更好了解圆系方程的相关内容； (2) 圆的标准方程(x −a)2+(y −b)2=r 2可变形为x 2+y 2+D x +E y +F =0， 比如 圆(x −1)2+(y −2)2=1变形为x 2+y 2−2x −4y +4=0； 但形如x 2+y 2+D x +E y +F =0的方程不一定能表示为圆，比如 x 2+y 2−2x +2y +3=0，对其配方得(x −1)2+(y +1)2=−1，其中r 2=−1<0. (3) D,E,F 要满足什么条件方程才能表示圆呢？ 证明 x 2+y 2+D x +E y +F =0， 对其左边进行配方得(x +D 2)2+(y +E 2)2=D 2+E 2−4F4，当D 2+E 2−4 F >0时，它可以表示以(−D2,−E2)为圆心，12√D 2+E 2−4F 为半径的圆； 当D 2+E 2−4 F =0时，方程只有一组实数解{x =−D2y =−E 2，它表示一个点(−D 2,−E2)； 当D 2+E 2−4 F <0时，方程没有实数解，它不表示任何图形.【例】方程x 2+y 2−2x +6y +3=0能表示圆么？若能，说出圆心与半径；若不能请说明理由.解 x 2+y 2−2x +6y +3=0进行配方得(x −1)2+(y +3)2=13，其表示以(1,−3)为圆心，√13为半径的圆. 2 求圆方程的方法 (1) 待定系数法先设后求.确定一个圆需要三个独立条件，若利用一般方程，需要求出D ,E ,F ； (2) 直接法直接把圆心和半径求出.要注意多利用圆的几何性质，如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置. 3 求轨迹方程 (1)曲线方程的理解若动点P(x,y)的横坐标x ，纵坐标y 满足方程f (x,y )=0，则在直角坐标系中，动点P 的轨迹为由方程f (x,y )=0确定的曲线.(2) 求轨迹方程的方法①代数法，建立动点的横、纵坐标x,y的方程；②几何法，通过题中已知条件确定动点符合的几何图形，再求轨迹方程.(3) 代数法求轨迹方程的一般步骤①设动点的坐标(x,y)，②根据已知条件得到与动点相关的等量关系，进而得到关于x,y的方程；③化简方程得到动点的轨迹方程．【例】到两个点A(−1,2)，B(3,−4)的距离相等的点的轨迹方程是________．解方法1 代数法设动点P(x,y)，又因为PA=PB，由两点距离公式可得√(x+1)2+(y−2)2=√(x−3)2+(y+4)2，化简得2x−3y−5=0，即所求轨迹方程为2x−3y−5=0.方法二几何法所求动点的轨迹即线段AB的垂直平分线，，A,B中点为(1,−1)，而k AB=−32(x−1)，即2x−3y−5=0.则所求轨迹方程为y+1=23【题型1】对圆的一般方程的理解【典题1】判断方程x2+y2−4mx+2my+20m−20=0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．解析方法一：由方程x2+y2−4mx+2my+20m−20=0可知D=－4m，E=2m，F=20m－20，∴D2+E2−4F=16m2+4m2−80m+80=20(m−2)2．因此，当m=2时，它表示一个点；当m≠2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为(2m,−m)，√D2+E2−4F=√5|m−2|．半径为r=12方法二：原方程可化为(x−2m)2+(y+m)2=5(m−2)2，因此，当m=2时，它表示一个点；当m≠2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为(2m,−m)，半径为r=√5|m−2|．点拨对于圆的一般方程，一般通过配方法化为标准方程会更好地判断其方程是否是圆，若是也更容易得到其圆心与半径，故提倡用方法2.【典题2】(多选)已知圆M的一般方程为x2+y2−8x+6y=0，则下列说法正确的是() A．圆M的圆心为(4,−3)B．圆M被x轴截得的弦长为8C．圆M的半径为5D．圆M被y轴截得的弦长为6解析圆M的一般方程为x2+y2－8x+6y=0，即(x−4)2+(y+3)2=25，故该圆的半径为5，圆心为(4,－3)，令x=0，得y2+6y=0，解得y1=0，y2=−6，即圆与y轴的交点纵坐标为0,−6，所以圆M被y轴截得的弦长为0−(−6)=6，令y=0，得x2−8x=0，解得x1=0，x2=8，即圆与x轴的交点纵坐标为0,8所以圆M被x轴截得的弦长为8−0=8，故选项ABCD都正确，故选：ABCD．【巩固练习】1.下列方程能表示圆的是( )．A．x2+y2+2x+1=0；B．x2+y2+2ay−1=0；C．x2+y2+20x+80=0；D．x2+y2+2ax=0．答案D2. 已知圆的一般方程为x2+y2−2x+4y+3=0，则圆心C的坐标与半径分别是() A．(1,−2),r=2B．(1,−2),r=√2C．(−1,2),r=2D．(−1,2)，r=√2答案B解析由x2+y2−2x+4y+3=0，配方得(x−1)2+(y+2)2=2．∴圆的圆心坐标为C(1,−2)，半径为√2，故选：B．3. 将圆x2+y2−2x−4y+1=0平分的直线是()A．x+y－1=0B．x+y+3=0C．x−y+1=0D．x－y+3=0答案C解析x2+y2−2x−4y+1=0化为标准方程为(x−1)2+(y−2)2=4，其圆心为(1,2)，依题意可知直线必过圆心，故选C.4.如果圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为 . 答案(0,−1)解析 化为标准方程为(x +k 2)2+(y +1)2=1−3k 24，圆的面积要最大，即1−3k 24取到最大值，即k =0时取到，则圆心为(0,−1).5.若圆x 2+y 2−4x −2y +c =0与y 轴相交于A 、B 两点，圆心为P ，若∠APB =90°，则c 的值为 . 答案 −3解析 圆x 2+y 2−4x −2y +c =0 即 (x −2)2+(y −1)2=5−c ，显然它的圆心为P(2,1)，半径为√5−c ．再根据∠APB =90°，可得圆心到y 轴的距离为2，正好等于弦长的一半， 故半径为√22+22=2√2， 即 √5−c =2√2，求得c =−3.【题型2】求圆的方程【典题1】 已知A(−1 ,0)，B(3 ,2)，C(0 ,−2)，则过这三点的圆方程为 . 解析 方法一 待定系数法设圆的一般方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0， 又由圆过A(−1 ,0)，B(3 ,2)，C(0 ,−2)三点，则有{1−D +F =013+3D +2E +F =04−2E +F =0，解得D =−3，E =0，F =−4，则圆的标准方程为x 2+y 2−3x −4=0，即(x −32)2+y 2=254.方法二 几何法圆心是直线AB 、AC 的垂直平分线的交点，(根据外心的定义) 易得直线AB 、AC 的垂直平分线分别为y =−2x +3，y =12x −34，由{y =−2x +3y =12x −34，解得{x =32 y =0，即圆心O(32,0)，半径r =OC =√(32−0)2+(0+2)2=52，(半径为圆心到任一点的距离)故圆的标准方程为(x －32)2+y 2=254.点拨 求三角形外接圆的方程，可用待定系数法，也可以用三边的中垂线求解. 待定系数法的想法简单但计算量较大.【巩固练习】1.已知A(1,0)，B(−1,2)，C(0,−2)，求过这三点的圆方程. 答案 x 2+y 2+73x +13y −103=0解析设圆的标准方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，又由圆过A(1,0)，B(−1,2)，C(0,−2)三点，则有{1+D+F=05−D+2E+F=04−2E+F=0，解可得：D=73,E=13,F=−103，则圆的标准方程为：x2+y2+73x+13y−103=0.【题型3】求轨迹方程【典题1】已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半．(1)求动点M的轨迹方程；(2)若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．解析(1)设动点M的坐标为(x,y)，∵A(2,0)，B(8,0)，|MA|=12|MB|，∴(x−2)2+y2=14[(x−8)2+y2]．化简得x2+y2=16，即动点M的轨迹方程为x2+y2=16．(2)设点N的坐标为(x,y)，∵A(2,0)，N为线段AM的中点，∴点M的坐标为(2x－2,2y)．又点M在圆x2+y2=16上，∴(2x−2)2+4y2=16，即(x−1)2+y2=4．∴点N的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆．点拨1 求轨迹方程的方法①代数法，建立动点的横、纵坐标x,y的方程；②几何法，通过题中已知条件确定动点符合的几何图形，再求轨迹方程.2 代数法求轨迹方程的一般步骤①设动点的坐标(x,y)，②根据已知条件得到与动点相关的等量关系，进而得到关于x,y的方程；③化简方程得到动点的轨迹方程．【巩固练习】1.若A(1,2)，B(2,3)，求线段AB的垂直平分线的方程.答案x+y−4=0解析设P(x,y)所求直线上的任意一点，则由PA=PB得√(x−1)2+(y−2)2=√(x−2)2+(y−3)2，化简得x+y−4=0，即所求直线方程为x+y−4=0.2.已知线段AB的长为4，且端点A，B分别在x轴与y轴上，求线段AB的中点M的轨迹方程．答案x2+y2=4解析由几何知识可知，线段AB的中点M到原点的距离OM=12AB=2，则点M的轨迹是以原点为圆心，半径为2的圆，其方程为x2+y2=4.3.自A(4,0)引圆x2+y2=4的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程．答案x2+y2−4x=0(在已知圆内的部分)解析设P(x,y)，O为原点，连接OP，当x≠0时，OP⊥AP，即k OP⋅k AP=−1，∴yx⋅yx−4=−1，即x2+y2−4x=0．①当x=0时，P点坐标(0,0)是方程①的解，∴BC中点P的轨迹方程为x2+y2−4x=0(在已知圆内的部分)．【A组---基础题】1.若圆C：x2+y2−2x+4y=0上存在两点A,B关于直线l：y=kx−1对称，则k的值为()A．−1B．−32C．−52D．−3答案解析圆C：x2+y2−2x+4y=0的圆心(1,−2)，若圆C：x2+y2−2x+4y=0上存在两点A,B关于直线l：y=kx−1对称，可知直线经过圆的圆心，可得−2=k−1，解得k=−1．故选：A．2.点M(0,1)与圆x2+y2−2x=0上的动点P之间的最近距离为()A．√2B．2C．√2+1D．√2−1答案D解析圆x2+y2－2x=0可化为(x−1)2+y2=1，圆心为C(1,0)，半径为r=1；所以|MC|=√(1−0)2+(0−1)2=√2，所以点M与圆上的动点P之间的最近距离为|MC|−r=√2−1．故选：D．3.已知圆x2+y2+ax+by+1=0关于直线x+y=1对称的圆的方程为x2+y2=1，则a +b ＝( ) A ．−2 B ．±2 C ．−4 D ．±4答案 C解析 圆x 2+y 2=1的圆心是原点(0,0)，半径为1，设(0,0)关于直线x +y =1的对称点为(m,n)，则{m 2+n2=1mn=1，解得{m =1n =1，则点(0,0)关于直线x +y =1对称的点的坐标为(1,1)，所以圆x 2+y 2=1关于直线x +y =1对称的圆的方程为(x −1)2+(y −1)2=1， 化为一般式为x 2+y 2－2x －2y +1=0， 所以a =b =−2，即a +b =−4． 故选：C ．4.已知点P 是直线3x +4y +5=0上的动点，点Q 为圆(x −2)2+(y −2)2=4上的动点，则|PQ|的最小值为( ) A ．195B ．95C ．59D ．295答案 B解析 由圆的标准方程(x −2)2+(y −2)2=4得圆心坐标为C(2,2)，半径R =2，圆心到直线的距离d =√32+42=195，在|PQ|的最小值为d −R =195−2=95，故选：B ．5.圆x 2+y 2−2x +6y +8=0的周长为 答案 2√2π解析 方程化为标准方程为(x −1)2+(y +3)2=2，则半径为√2，所以周长为2√2π. 6.圆x 2+y 2−2kx −4=0关于直线2x −y +3=0对称，则k 等于 答案 −32解析 依题意得圆心(k,0)在直线2x −y +3=0上，则2k +3=0，解得k =−32.7.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x −a )2+(y −a +2)2=1，点A(0,−3)，若圆C 上存在点M ，满足|AM|=2|MO|，则实数a 的取值范围是 ． 答案 [0,3]解析 设点M(x,y)，由|AM|=2|MO|，得√x 2+(y +3)2=2√x 2+y 2，即x 2+y 2－2y －3=0，∴点M 在圆心为D(0,1)，半径为2的圆上． 又点M 在圆C 上，∴圆C 与圆D 有公共点，∴1≤|CD|≤3，∴1≤√(a−0)2+(a−3)2≤3，解得0≤a≤3．即实数a的取值范围是[0,3]．故答案为：[0,3]．8.到两个点A(−1,2)，B(3,−4)的距离相等的点的轨迹方程是________．答案解析设动点P(x,y)，依题意得√(x+1)2+(y−2)2=√(x−3)2+(y+4)2，化简得2x－3y－5=0.9.若方程x2+y2+2mx−2y+m2+5m=0表示圆，求实数m的取值范围及圆心坐标和半径．答案实数m的取值范围是(−∞,15)，圆心坐标为(−m,1)，半径r=√1−5m．解析将方程x2+y2+2mx−2y+m2+5m=0写成标准方程为(x+m)2+(y−1)2=1−5m，由1－5m>0得m<15．所以实数m的取值范围是(−∞,15)，圆心坐标为(−m,1)，半径r=√1−5m．10.△ABC的三个顶点分别为A(−1,5)，B(−2,−2)，C(5,5)，求其外接圆的方程．答案x2+y2−4x−2y−20=0解析方法一：设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．则由题意{−D+5E+F+26=0−2D−2E+F+8=05D+5E+F+50=0解得{D=−4E=−2F=−20故所求的圆的方程为x2+y2−4x−2y−20=0．方法二：由题意可求得AC的中垂线方程为x=2，BC的中垂线方程为x+y−3=0．∴圆心P是两条中垂线的交点(2,1)．∴半径r=|AP|=√(2+1)2+(1−5)2=5．∴所求的圆的方程为(x−2)2+(y−1)2=25，即x2+y2−4x−2y−20=0．11.如图，已知圆O：x2+y2=16，A,B是圆O上两个动点，点P(2,0)，求矩形PACB的顶点C 的轨迹方程．答案 28解析 设点C( x,y)，点P(2,0)，则AB 和CP 的交点为M(2+x 2,y 2)为矩形PACB 的中心，且OM ⊥AB ，∴OB 2=OM 2+MB 2=OM 2+MP 2， 即 16=[(2+x 2)2+(y 2)2]+[(2+x 2−2)2+(y2)2]，即 64=[x 2+4x +4+y 2]+[x 2－4x +4+y 2]，即x 2+y 2=28， 故答案为：x 2+y 2=28．【B 组---提高题】1.若x 、y 满足x 2+y 2－2x +4y －20=0,则x 2+y 2的最小值是( ) A ．√5－5 B ．5−√5 C ．30−10√5 D ．无法确定答案 C解析 把圆的方程化为标准方程得：(x −1)2+(y +2)2=25，则圆心A 坐标为(1,－2)，圆的半径r =5， 设圆上一点的坐标为(x,y)，原点O 坐标为(0,0)，则|AO|=√5，|AB|=r =5，所以|BO |=|AB |－|OA |=5−√5． 则x 2+y 2的最小值为(5−√5)2=30−10√5． 故选C ．2.过点P(0,3)作直线l ：(m +n )x +(2n −4m )y −6n =0的垂线，垂足为点Q ，则点Q 到直线x −2y −8=0的距离的最小值为 ． 答案 √5解析 直线l ：(m +n )x +(2n −4m )y −6n =0，化为m(x −4y)+n(x +2y −6)=0， 联立{x −4y =0x +2y −6=0，解得x =4，y =1．∴直线l 经过定点M(4,1)．线段PM 的中点G(2,2)． ∵PQ ⊥l ．∴点Q在以点G为圆心，以|PG|=√5为半径的圆上．其圆的标准方程为：(x−2)2+(y−2)2=5．圆心G到直线x−2y−8=0点距离d=√5=2√5．∴点Q到直线x−2y−8=0的距离的最小值为√5．故答案为：√5．【C组---拓展题】1.在平面直角坐标系xOy中，已知点P(0,1)在圆C：x2+y2+2mx－2y+m2－4m+1=0内，若存在过点P的直线交圆C于A、B两点，且△PBC的面积是△PAC的面积的2倍，则实数m的取值范围为．答案(49,4)解析点P(0,1)在圆C：x2+y2+2mx－2y+m2－4m+1=0内，∴1－2+m2－4m+1<0，解得0<m<4；又圆C化为标准方程是(x+m)2+(y−1)2=4m，圆心C(－m,1)；∵△PBC的面积是△PAC的面积的2倍，∴PB=2PA，设直线l的方程为：y=kx+1．圆心C到直线l的距离d=|−km−1+1|√1+k2=|km|√1+k2．∴√4m−d2=3√m2−d2，可得：9m2－4m=8d2=8×k2m21+k2，∴9−4m =8k21+k2∈(0,8)，解得：49≤m<4．当m=49时，四点共线没有三角形，∴实数m的取值范围为(49,4)．2.直线l：x−2y+2=0，动直线l1：ax−y=0，动直线l2：x+ay+2a−4=0．设直线l与两坐标轴分别交于A,B两点，动直线l1与l2交于点P，则△PAB的面积最大值.答案112解析由x−2y+2=0，取y=0，得x=−2，则A(−2,0)，取x=0，得y=1，则B(0,1)，直线l1：ax−y=0过原点O(0,0)，直线l2：x+ay+2a−4=0过M(4,−2)，∵a×1+(−1)×a=0，∴直线l1与直线l2垂直，∴动直线l1与l2交于点P在以OM为直径的圆上，∵OM的中点坐标为(2,－1)，|OM|=√42+(−2)2=2√5，∴动点P的轨迹方程为(x−2)2+(y+1)2=5，∵(2,−1)到直线x－2y+2=0的距离为d=√5=6√55>√5，∴P到直线x−2y+2=0的距离的最大值为11√55，而|AB|=√5，∴△PAB的面积最大值为12×√5×11√55=112.。
2024年新高二数学提升精品讲义圆的标准方程(思维导图+4知识点+4考点+过关检测)(原卷版)
2024年新高二数学提升精品讲义圆的标准方程（原卷版）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．会用定义推导圆的标准方程，并掌握圆的标准方程的特征；2．能根据所给条件求圆的标准方程；3．掌握点与圆的位置关系并能解决相关问题.知识点1圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．如图，在平面直角坐标系中，⊙A 的圆心A 的坐标为(,)a b ，半径为r ，(,)M x y 为圆上任意一点，⊙A 就是集合{}P M MA r ==．定义中，定点指的是圆心，定长指的是圆的半径．知识点2圆的标准方程1、圆的标准方程：我们把()()222-+-=x a y b r 称为圆心为(),A a b ，半径长为r 的圆的标准方程．【注意】（1）所谓标准方程，是指方程的形式．圆的标准方程体现了圆的集合性质，突出了圆的几何意义：圆心位置和半径．（2）圆的标准方程的右端20r >，当方程右端小于或等于0时，对应方程不是圆的标准方程．2、圆的标准方程的推导过程（1）建系设点：建立坐标系时，原点在圆心是特殊情况，就一般情况来说，因为A 是定点，设(),A a b ，半径为r ，且设圆上任意一点M 的坐标为(,)x y ．（2）写点集：根据定义，圆就是集合{}P M MA r ==．（3r =．（4）化简方程：将上式两边平方得222()()x a y b r -+-=．3、几种特殊位置的圆的标准方程知识点3点与圆的位置关系1、几何法：点()00,M x y ，圆心(),A a b ，圆的半径r ，设M 与点A 间的距离MA d =，d r >⇔点M 在圆A 外；d r <⇔点M 在圆A 内；d r =⇔点M 在圆A 上．2、代数法：将点()00,M x y 直接代入圆的标准方程()()222-+-=x a y b r 进行判断，即若点()00,M x y 在圆外，则()()22200->+-x a y b r ；若点()00,M x y 在圆内，则()()22200x a y b r +-<-；若点()00,M x y 在圆上，则()()22200x a y b r +-=-．知识点4圆上的点到定点的最大、最小距离设圆心A 到定点C 的距离为d ，圆的半径为r ，圆上的动点为点P ．（1）若点C 在圆外时，max PC d r =+，min PC d r =-；（2）若点C 在圆上时，max 2PC r =，min 0PC =；（2）若点C 在圆内时，max PC d r =+，min PC r d =-．综上：max PC d r =+，min PC d r =-．考点一：求圆的标准方程例1．（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）已知圆的圆心在(3,4)-，半径为5，则它的方程为（）A ．()()22345x y -+-=B ．()()223425x y +++=C ．22(3)(4)25x y ++-=D ．()()22345x y ++-=【变式1-1】（23-24高二上·山西太原·期末）已知圆C 的一条直径的两个端点坐标分别为()4,1-，()2,3，则圆C 的方程是.【变式1-2】（22-23高二上·广东东莞·期中）求经过点(2,0),(2,2)--且圆心在直线:0l x y +=上的圆的标准方程为.【变式1-3】（23-24高二下·云南玉溪·期中）过三点()()()120,01,33,1O M M ---､､的圆的标准方程是.考点二：点与圆的位置关系例2.（23-24高二上·安徽亳州·月考）（多选）已知()14,9P ，()26,3P 两点，以线段12PP为直径的圆为圆P ，则（）A ．()6,9M 在圆P 上B ．()3,3N 在圆P 内C ．()5,3Q 在圆P 内D ．()2,7R 在圆P 外【变式2-1】（23-24高二上·江苏·专题练习）已知点(,10)P a ，圆的标准方程为()()221112x y -+-=，则点P （）A ．在圆内B ．在圆上C ．在圆外D ．与a 的取值有关【变式2-2】（23-24高二上·重庆·期中）若点(),3A a 在圆()22:15C x y +-=外，则实数a 的取值范围是（）A ．(),1-∞-B ．(),1-∞C ．()(),11,-∞-⋃+∞D ．()1,1-【变式2-3】（23-24高二上·广西·期末）已知两直线2y x k =+与y x =-的交点在圆228x y +=的内部，则实数k 的取值范围是（）A ．11k -<<B ．2<<2k -C ．33k -<<D ．k <考点三：与圆有关的最值问题例3.（23-24高二上·湖北·期中）已知半径为2的圆经过点()3,4，则其圆心到原点的距离的最大值为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【变式3-1】（23-24高二上·浙江湖州·月考）若实数x y ，满足221x y +=，则()()2234x y -+-的最大值是（）A ．5B ．6C ．25D ．36【变式3-2】（23-24高二上·上海·期末）已知P 为圆22(3)(4)4x y -+-=上一点，Q 为圆221x y +=上一点，则点Q 到点P 的距离的最大值为.【变式3-3】（23-24高二上·天津武清·月考）已知圆C :()()22124x y ++-=，点()2,0A -，()2,0B .设P 是圆C 上的动点，令22d PA PB =+，则d 的最小值为．考点四：与圆有关的对称问题例4.（23-24高二上·河南周口·期末）若曲线()()22124x y -+-=上相异两点P 、Q 关于直线20kx y --=对称，则k 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式4-1】（23-24高二上·云南昆明·月考）已知圆()()22124x y +++=关于直线10ax by ++=（0a >，0b >）对称，则12a b+的最小值为（）A ．52B ．9C ．4D ．8【变式4-2】（23-24高二上·河北·期中）已知圆M ：()2211x y ++=与圆N ：()()22231x y -+-=关于直线l 对称，则l 的方程为（）A ．210x y --=B ．210x y -+=C ．230x y +-=D ．230x y +-=【变式4-3】（23-24高二上·四川成都·期末）圆()()22:112C x y -+-=关于直线:1l y x =-对称后的方程为（）A ．()2222x y -+=B ．()2222x y ++=C ．()2222x y +-=D ．()2212x y ++=一、单选题1．（23-24高二上·广东湛江·期中）在平面直角坐标系中，圆心为()1,0，半径为2的圆的方程是（）A ．()2212x y -+=B ．()2212x y ++=C ．()2214x y -+=D ．()2214x y ++=2．（23-24高二上·河南开封·期末）已知圆M 经过点()()0,20,4,，且圆心M 在直线210x y --=上，则圆M 的面积为（）A ．2πB 5πC ．4πD ．5π3．（23-24高二上·安徽黄山·期末）圆22:(2)(1)1M x y -+-=与圆N 关于直线0x y -=对称，则圆N 的方程为（）A ．22(1)(2)1x y +++=B ．22(2)(1)1x y -++=C ．22(2)(1)1x y +++=D ．22(1)(2)1x y -+-=4．（23-24高二上·广东惠州·期中）点(,3)P m 与圆()()22212x y -+-=的位置关系为（）A ．点在圆外B ．点在圆内C ．点在圆上D ．与m 的值无关5．（2023高二上·全国·专题练习）点(1,1)--在圆22()()4x a y a ++-=的内部，则a 的取值范围是（）A ．11a -<<B ．01a <<C ．1a <-或1a >D ．1a =±6．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知半径为2的圆经过点()3,4，则其圆心到原点的距离最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题7．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知圆C 经过点()0,0A 、()2,0B ，ABC 为直角三角形，则圆C 的方程为（）A ．()()22114x y -+-=B ．()()22112x y -++=C ．()()22112x y -+-=D ．()()22125x y -+-=8．（23-24高二上·重庆九龙坡·月考）若有一组圆k C ：()()()224R x k y k k -+-=∈，下列命题正确的是（）A ．所有圆k C 的半径均为2B ．所有的圆kC 的圆心恒在直线y x =上C ．当2k =时，点()3,0在圆k C 上D ．经过点()2,2的圆k C 有且只有一个三、填空题9．（23-24高二上·贵州毕节·期末）与圆222430x y x y +-++=有相同圆心，且过点()4,2-的圆的标准方程是.10．（22-23高二下·四川凉山·月考）若圆221:(1)9C x y -+=和圆222:(3)(2)9C x y +++=关于直线l 对称，则直线l 的方程是11．（23-24高二上·全国·专题练习）已知,x y 满足22(1)(2)16x y -+-=，则22x y +的取值范围是.四、解答题12．（23-24高二上·福建福州·期末）已知A 关于直线y x =对称，点()0,0O ，()4,0N 都在A 上.(1)求线段ON 垂直平分线的方程；(2)求A 的标准方程13．（23-24高二上·山东济南·期末）已知圆心为C 的圆经过()0,0O ，(0,A 两点，且圆心C 在直线:l y =上．(1)求圆C 的标准方程；(2)点P 在圆C 上运动，求22PO PA +的取值范围．。
高中数学-圆与方程
高二数学 第2讲 圆与方程第一节 圆的方程知识点一 圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径.要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是222x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时：||||a b r ==；过原点：222a b r +=(2)圆的标准方程222()()x a y b r -+-=⇔圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点. (3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.知识点二 点和圆的位置关系如果圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有(1)若点()00M x y ，在圆上()()22200||CM r x a y b r ⇔=⇔-+-= (2)若点()00M x y ，在圆外()()22200||CM r x a y b r ⇔>⇔-+-> (3)若点()00M x y ，在圆内()()22200||CM r x a y b r ⇔<⇔-+-<知识点三 圆的一般方程当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，. 要点诠释：由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-.它表示一个点(,)22D E--. (2)当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3)当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径的圆. 知识点四 几种特殊位置的圆的方程知识点五 用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程.(2)根据已知条件，建立关于a b r 、、或D E F 、、的方程组.(3)解方程组，求出a b r 、、或D E F 、、的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.知识点六 轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量,x y 之间的方程．1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3．求轨迹方程的步骤：（1）建立适当的直角坐标系，用(,)x y 表示轨迹（曲线）上任一点M 的坐标； （2）列出关于,x y 的方程； （3）把方程化为最简形式；（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答．【典型例题】 类型一 圆的标准方程[例1]求满足下列条件的各圆的方程： (1)圆心在原点，半径是3；(2)已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上； (3)经过点()5,1P ，圆心在点()8,3C -．[变式1]圆心是（4，-1），且过点（5，2）的圆的标准方程是（ ）A ．(x ―4)2+(y+1)2=10B ．(x+4)2+(y―1)2=10C ．(x ―4)2+(y+1)2=100D ．22(4)(1)x y -++=[例2]求圆心在直线2x -y -3=0上，且过点（5，2）和（3，-2）的圆的方程．[例3]与x 轴相切，圆心在直线30x y -=上，且被直线0x y -=截得的弦长为[变式2]求圆心在直线y =-x 上，且过两点A （2，0），B （0，-4）的圆的方程．类型二 圆的一般方程[例1]下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．（1）2x 2+y 2-7y +5=0；（2）x 2-xy +y 2+6x +7y =0；（3）x 2+y 2-2x -4y +10=0；（4）2x 2+2y 2-5x =0．[变式1]下列方程各表示什么图形；①x 2+y 2-4x -2y +5=0；②x 2+y 2-2x +4y -4=0；③220x y ax ++=．[例2]已知直线x 2+y 2-2(t +3)x +2(1-4t 2)y +16t 4+9=0表示一个圆．（1）求t 的取值范围； （2）求这个圆的圆心和半径；（3）求该圆半径r 的最大值及此时圆的标准方程．[变式2]下判断方程ax 2+ay 2-4(a -1)x +4y =0（a ≠0）是否表示圆，若表示圆，写出圆心和半径长．[变式3]已知方程0916)41(2)3(22222=++-++-+m y m x m y x 表示一个圆．（1）求实数m 的取值范围； （2）*求圆心C 的轨迹方程．[变式4]方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆，则a 的取值范围是( ) A ．2a <-或23a >B ．203a -<<C ．20a -<<D ．223a -<< [例3]△ABC 的三个顶点分别为A （-1，5），B （-2，-2），C （5，5），求其外接圆的方程.[变式5]如图，等边△ABC 的边长为2，求这个三角形的外接圆的方程，并写出圆心坐标和半径长．类型三点与圆的位置关系[例]判断点M（6，9），N（3，3），Q（5，3）与圆(x-5)2+(y-6)2=10的位置关系．[变式]已知两点P1（3，8）和P2（5，4），求以线段P1P2为直径的圆的方程，并判断点M（5，3）、N（3，4）、P（3，5）是在此圆上、在圆内、还是在圆外？类型三轨迹方程[例1]已知一曲线是与两个定点O（0，0），A（3，0）距离的比为12的点的轨迹，求这条曲线的方程，并画出曲线．[变式1]如下图，过第一象限的定点C（a，b）作互相垂直的两直线CA、CB，分别交于x轴、y轴的正半轴于A、B两点，试求线段AB的中点M的轨迹方程．[例2]等腰△ABC的底边一个端点B(1，-3)，顶点A(0，6)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明轨迹的形状．[例3]已知定点A（4，0），P点是圆x2+y2=4上一动点，Q点是AP的中点，求Q点的轨迹方程．[变式2]已知定点A（2，0），点Q是圆x2+y2=1上的动点，∠AOQ的平分线交AQ于M，当Q点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程．【轨迹方程求法示题】1.（2016•平凉校级模拟）已知点G（5，4），圆C1：（x-1）2+（y-4）2=25，过点G的动直线l与圆C1相交于E、F两点，线段EF的中点为C．求点C的轨迹C2的方程；2.（2016•河北模拟）如图，已知P是以F1（1，0），以4为半径的圆上的动点，P与F2（1，0）所连线段的垂直平分线与线段PF1交于点M．求点M的轨迹C的方程；3.（2016•湖南校级模拟）已知点C（1，0），点A，B是⊙O：x2+y2=9上任意两个不同的点，且满足AC，设M为弦AB的中点．求点M的轨迹T的方程；⋅BC=-），4.（2016•自贡校级模拟）已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（0，3，（0，3且AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0）．求顶点C的轨迹M的方程，并判断轨迹M 为何种曲线.5.（2016春•成都校级月考）设Q、G分别为△ABC的外心和重心，已知A（-1，0），B（1，0），QG∥AB．求点C的轨迹E．6.（2016•成都模拟）已知一动圆经过点M（2，0），且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点N（1，0）任意作相互垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于不同的两点A，B和不同的两点D，E．设线段AB，DE的中点分别为P，Q．①求证：直线PQ过定点R，并求出定点R的坐标；②求|PQ|的最小值．7.（2015秋•遂宁期末）已知平面直角坐标系上一动点P（x，y）到点A（-2，0）的距离是点P到点B（1，0）的距离的2倍．（1）求点P的轨迹方程；（2）过点A的直线l与点P的轨迹C相交于E，F两点，点M（2，0），则是否存在直线l，使S△EFM取得最大值，若存在，求出此时l的方程，若不存在，请说明理由．第二节 直线与圆的位置关系知识点一 直线与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：(1)直线与圆相交，有两个公共点； (2)直线与圆相切，只有一个公共点； (3)直线与圆相离，没有公共点. 2.直线与圆的位置关系的判定：(1)代数法：判断直线l 与圆C 的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线l 与圆C 有公共点. 有两组实数解时，直线l 与圆C 相交； 有一组实数解时，直线l 与圆C 相切； 无实数解时，直线l 与圆C 相离. (2)几何法：由圆C 的圆心到直线l 的距离d 与圆的半径r 的关系判断： 当d r <时，直线l 与圆C 相交； 当d r =时，直线l 与圆C 相切； 当d r >时，直线l 与圆C 相离. 要点诠释：(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决.知识点二 圆的切线方程的求法1．点M 在圆上，如图．法一：利用切线的斜率l k 与圆心和该点连线的斜率OM k 的乘积等于1-，即1OM l k k ⋅=-． 法二：圆心O 到直线l 的距离等于半径r ．2．点()00,x y 在圆外，则设切线方程：00()y y k x x -=-，变成一般式：000kx y y kx -+-=，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k ．要点诠释：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．常见圆的切线方程：（1）过圆222x y r +=上一点()00,P x y 的切线方程是200x x y y r +=；（2）过圆()()222x a y b r -+-=上一点()00,P x y 的切线方程是()()()()200x a x a y b y b r --+--=.知识点三 求直线被圆截得的弦长的方法1．应用圆中直角三角形：半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 具有的关系2222l r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，这也是求弦长最常用的方法．2．利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．3．利用弦长公式：设直线:l y kx b =+，与圆的两交点()()1122,,,x y x y ，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：12|l x x =-．知识点四 圆与圆的位置关系1.圆与圆的位置关系：(1)圆与圆相交，有两个公共点；(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点.2.圆与圆的位置关系的判定：(1)代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解.有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离. (2)几何法：设1O 的半径为1r ，2O 的半径为2r ，两圆的圆心距为d . 当1212r r d r r -<<+时，两圆相交； 当12r r d +=时，两圆外切； 当12r r d +<时，两圆外离； 当12r r d -=时，两圆内切； 当12r r d ->时，两圆内含. 要点诠释：判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小.也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定.因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法.3.两圆公共弦长的求法有两种：方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 4．两圆公切线的条数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 知识点五 圆系方程1．过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=2．以(),a b 为圆心的同心圆系方程是：()()222(0)x a y b λλ-+-=≠；3．与圆220x y Dx Ey F ++++=同心的圆系方程是220x y Dx Ey λ++++=；4．过同一定点(),a b 的圆系方程是()()2212()()0x a y b x a y b λλ-+-+-+-=．【典型例题】类型一 直线与圆的位置关系[例1]已知直线y =2x +1和圆x 2+y 2=4，试判断直线和圆的位置关系.[例2]求实数m 的范围，使直线30x my -+=与圆22650x y x +-+=分别满足： （1）相交；（2）相切；（3）相离．[变式1]已知直线方程mx -y-m -1=0，圆的方程x 2+y 2-4x -2y +1=0．当m 为何值时，圆与直线 （1）有两个公共点； （2）只有一个公共点； （3）没有公共点．[变式2]已知直线:430--+=l kx y k 与曲线22:68210+--+=C x y x y . （1）求证:不论k 为何值,直线l 和曲线C 恒有两个交点；（2）求当直线l 被曲线C 所截的线段最短时此线段所在的直线的方程.类型二 切线问题[例]过点(7,1)P 作圆2225x y +=的切线,求切线的方程.[变式]（1）求圆x 2+y 2=10的切线方程，使得它经过点M ； （2）求圆x 2+y 2=4的切线方程，使得它经过点Q （3，0）．类型三 弦长问题[例1]直线l 经过点P （5，5）并且与圆C ：x 2+y 2=25相交截得的弦长为l 的方程．[变式1]求经过点P （6，-4），且被定圆x 2+y 2=20截得弦长为的直线的方程．[例2]圆心C在直线l：x+2y=0上，圆C过点M（2，-3），且截直线m：x-y-1=0所得弦长为C 的方程．[例3]已知圆C1：x2+y2+2x-6y+1=0，圆C2：x2+y2-4x+2y-11=0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．[变式2]已知圆C1：x2+y2+2x+6y+9＝0和圆C2：x2+y2−4x+2y−4＝0.（1）判断两圆的位置关系；（2）求两圆的公共弦所在直线的方程；（3）求两圆公切线所在直线的方程．类型四 圆与圆的位置关系[例1]已知圆C 1：x 2+y 2-2mx +4y +m 2-5=0，圆C 2：x 2+y 2+2x -2my +m 2-3=0，问：m 为何值时，（1）圆C 1和圆C 2相外切？（2）圆C 1与圆C 2内含？[变式1]当a 为何值时，圆C 1：x 2+y 2-2ax +4y +(a 2-5)=0和圆C 2：x 2+y 2+2x -2ay +(a 2-3)=0相交．[例2]若圆C 1的方程是x 2+y 2-4x -4y +7=0，圆C 2的方程为x 2+y 2-4x -10y +13=0，则两圆的公切线有_____条.[例3]坐标平面内有两个圆x 2+y 2=16和x 2+y 2-6x +8y +24=0，这两个圆的内公切线的方程是________.[变式2]圆C 1：x 2+y 2+2x +2y -2=0与圆C 2：x 2+y 2-6x +2y +6=0的公切线有且只有_____条. [变式3]两圆4)1()2(22=-+-y x 与9)2()1(22=-++y x 的公切线有（ ）条． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4类型五 圆系问题[例1]求过直线2x +y +4=0和圆x 2+y 2+2x -4y +1=0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程：（1）过原点；（2）有最小面积．[变式1]求过两圆x 2+y 2+6x -4=0和x 2+y 2+6y -28=0的交点，且圆心在直线x -y -4=0上的圆的方程．[例2]已知曲线C ：x 2+y 2+2kx +（4k +10）y +10k +20=0，其中k ≠-1，则C 过定点_____. [变式2]对于任意实数λ，曲线(1+λ)x 2+(1+λ)y 2+(6-4λ)x -16-6λ=0恒过定点_____.类型六 最值问题[例1]已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2-4x +1=0，求：（1）yx的最大值；（2）y -x 的最小值；（3）22y x +.[例2]已知点P （x ，y ）是圆(x -3)2+(y -3)2=4上任意一点，求点P 到直线2x +y +6=0的最大距离和最小距离．[变式1]已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2-4x +1=0，求：（1）5-x y的最大值；（2）x y 2-的最小值；（3）22)3()1(++-y x .。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高二数学复习考点知识与题型专题讲解2.4 圆的方程【题型归纳】考点一圆的标准方程(1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r.(2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是x2＋y2＝r2.考点二点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法考点三圆的一般方程1．圆的一般方程当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程．2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形【题型归纳】题型一：求圆的标准方程1．（2022·全国·高二）与圆C ：224690x y x y ++-+=关于直线10x y -+=对称的圆的方程为（ ）A ．()()22214x y -+-=B ．()()22324x y -++= C ．()()22214x y -++=D ．()()22324x y ++-=2．（2022·江苏·高二课时练习）与直线y =切于点A ，且经过点B 的圆的方程为（ ）A ．22(3)(24x y ++=B ．22((1)16x y ++=C ．22((1)16x y +-=D ．22((2)4x y -+-=3．（2022·江苏·高二课时练习）经过三个点00()(02)()0A B C -,,,,的圆的方程为（ ）A ．(()2212x y ++=B ．(()2212x y +-=C ．(()2214x y ++=D ．(()2214x y +-=题型二、圆的一般方程4．（2022·全国·高二课时练习）与圆222430x y x y +-++=同圆心，且过点()1,1-的圆的方程是（ ）A ．222440x y x y +-+-=B ．222440x y x y +-++=C ．222440x y x y ++--=D ．222440x y x y ++-+=5．（2022·全国·高二专题练习）ABC 三个顶点的坐标分别是()1,1A ，()4,2B ，()3,0C ，则ABC 外接圆方程是（ ）A ．223560x y x y +--+=B ．225360x y x y +--+=C ．223560x y x y +---=D ．225360x y x y +---=6．（2022·全国·高二专题练习）已知圆C 经过两点(0,2)A ，(4,6)B ，且圆心C 在直线:230l x y --=上，则圆C 的方程为（ ）A ．2266160x y x y +---=B ．222280x y x y +-+-=C ．226680x y x y +--+=D ．2222560x y x y +-+-=题型三：二元二次方程表示曲线与圆问题（参数）7．（2022·全国·高二）已知“m t ≤”是“220x y m +++=”表示圆的必要不充分条件，则实数t 的取值范围是（ ） A ．()1,-+∞B ．[)1,+∞C ．(),1-∞D ．(),1-∞-8．（2022·江苏·高二课时练习）若曲线C ：2224100x y ax ay a ++--=表示圆，则实数a的取值范围为（ ） A ．()2,0-B ．()(),20,-∞-⋃+∞ C ．[]2,0-D ．(][),20,-∞-+∞9．（2022·全国·高二专题练习）若方程224250+-++=x y x y k 表示圆，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(1,)+∞B ．(,1)-∞C ．[1,)+∞D ．(,1]-∞题型四：圆过定点问题10．（2022·江苏·高二课时练习）点(),P x y 是直线250x y +-=上任意一点，O 是坐标原点，则以OP 为直径的圆经过定点（ ） A ．()0,0和()1,1B ．()0,0和()2,2C ．()0,0和()1,2D ．()0,0和()2,1 11．（2021·辽宁·渤海大学附属高级中学高二阶段练习）若圆()()22222320C x y m x m y m m +--+-+-+=：过坐标原点，则实数m 的值为（ ）A ．1B ．2C ．2或1D ．－2或－112．（2022·江苏·高二课时练习）已知点()2,3P --和以 Q 为圆心的圆()()22134x m y m -++-=.（1）求证：圆心 Q 在过点P 的定直线上， （2）当 m 为何值时，以P Q 、为直径的圆过原点．题型五：圆的对称问题13．（2021·江苏连云港·高二期中）已知圆22:220E x ax y y -+--=关于直线:0l x y -=对称，则=a （ ）A ．0B ．1C ．2D ．414．（2022·江苏·高二课时练习）圆222440x y x y +-+-=关于直线10x y +-=对称的圆的方程是（ ）A ．22(3)16x y -+=B ．22(3)9x y +-=C ．22(3)16x y +-=D ．22(3)9x y -+=15．（2022·江苏·高二课时练习）点M ，N 是圆2224x y kx y +++-＝0上的不同两点，且点M ，N 关于直线x －y ＋1＝0对称，则该圆的半径等于（ ）A ． ．3D ．9题型六：圆的方程综合性问题16．（2022·江苏·高二）分别根据下列条件，求圆的方程： (1)过点()2,2P -，圆心为()3,0C ；(2)与两坐标轴都相切，且圆心在直线2350x y -+=上； (3)过点(3,5)A ，()3,7B -，且圆心在x 轴上； (4)过点()4,0A -，()0,2B 和原点．17．（2022·江苏·高二）已知圆C 的圆心在直线:2780l x y -+=上，且过()6,0A 和()1,5B 两点.(1)求圆C 的标准方程；(2)过点()0,1P 的直线l 与圆C 交于,M N 两点，求弦MN 中点Q 的轨迹方程.18．（2021·广东·佛山一中高二）已知C ：222440x y x y +--+=. (1)若直线1l ：20x y -+=与圆C 交于A ，B 两点，求ACB ∠的值； (2)若直线2l ：()30,0ax by a b +-=>平分圆C ，求12a b+的最小值.【双基达标】一、单选题19．（2022·江苏省郑梁梅高级中学高二阶段练习）以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是（ ） A ．222x y +=B ．224x y +=C ．()()22228x y -+-=D ．22x y +=20．（2022·全国·高二课时练习）若圆()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->关于直线y x =对称，则（ ）．A ．0D E ⋅=B ．0F =F ＝0C ．DE =D ．D E =-21．（2022·全国·高二课时练习）与圆224630x y x y +-++=同圆心，且过点()1,1-的圆的方程是（ ）A ．224680x y x y +-+-=B ．224680x y x y +-++=C ．224680x y x y ++--=D ．224640x y x y +---=22．（2022·江苏·高二课时练习）已知圆()()22124x y +++=关于直线10ax by ++=（0a >，0b >）对称，则12a b+的最小值为（ ） A ．52B ．9C ．4D ．823．（2022·江苏·高二课时练习）已知从点()5,3-发出的一束光线，经x 轴反射后，反射光线恰好平分圆：()()22115x y -+-=的圆周，则反射光线所在的直线方程为（ ）A ．2310x y -+=B ．2310x y --=C ．3210x y -+=D ．3210x y --=24．（2022·江苏·高二课时练习）已知A ，B 为圆22:2430C x y x y +--+=上的两个动点，P 为弦AB 的中点，若90ACB ∠=︒，则点P 的轨迹方程为（） A ．221(1)(2)4x y -+-=B ．22(1)(2)1x y -+-= C ．221(1)(2)4x y +++=D ．22(1)(2)1x y +++=25．（2022·江苏·）求满足下列条件的圆的标准方程． (1)圆心在x 轴上，半径为5，且过点()2,3A -； (2)经过点()4,5A --、()6,1B -，且以线段AB 为直径； (3)圆心在直线y =-2x 上，且与直线y =1-x 相切于点()2,1-； (4)圆心在直线x -2y -3=0上，且过点()2,3A -，()2,5B --．26．（2021·全国·高二）圆C 过点()60A ，，()1,5B ，且圆心在直线:2780l x y -+=上. （1）求圆C 的方程；（2）P 为圆C 上的任意一点，定点()8,0Q ，求线段PQ 中点M 的轨迹方程.【高分突破】一：单选题27．（2022·吉林·吉化第一高级中学校高二期末）若曲线22220x y x my ++++=表示圆，则m 的取值范围是（ ） A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．()(),22,∞∞--⋃+D ．(][),22,-∞-+∞28．（2022·全国·高二课时练习）已知圆C 关于直线10x y -+=对称的圆的方程()()22111x y -+-=，则圆C 的方程为（ ）A ．()2221x y ++=B ．()2221x y -+= C ．()2221x y +-=D ．()22+21x y +=29．（2022·全国·高二专题练习）若AOB 的三个顶点坐标分别为()2,0A ，()0,4B -，()0,0O ，则AOB 外接圆的圆心坐标为（ ）A ．()1,1-B ．()1,2--C ．()1,2-D ．()2,1-30．（2021·山东潍坊·高二期中）圆 C 上的点 ()1,2 关于直线 0x y += 的对称点仍在圆 C 上， 且该圆的半径为 则圆 C 的方程为（ ） A ．225x y +=B ．22(1)(1)5x y ++-=C ．225x y += 或 22(1)(1)5x y -++=D ．225x y += 或 22(1)(1)5x y ++-=31．（2022·全国·高二课时练习）已知圆()()221:111C x y -++=，圆()()222:459C x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，点P 为x 轴上的动点，则PN PM-的最大值是（ ）A ．4B ．9C ．7D ．232．（2022·全国·高二课时练习）已知M ，N 分别是曲线222212:4470,:20C x y x y C x y x +--+=+-=上的两个动点，P 为直线10x y ++=上的一个动点，则PM PN ＋的最小值为 A．2D ．333．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）已知圆22:22440()C x y x my m m ++---=∈R ，则当圆C 的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（ ）A ．6C 1D 134．（2022·全国·高二课时练习）点(),M x y 在曲线22:4210C x x y -+-=上运动，22+1212150t x y x y a =+---，且t 的最大值为b ，若a ，b R +∈，则111a b++的最小值为 A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题35．（2021·全国·高二专题练习）已知圆M 的一般方程为22860x y x y +-+=，则下列说法正确的是（ ）A ．圆M 的圆心为()4,3-B ．圆M 被x 轴截得的弦长为8C ．圆M 的半径为5D ．圆M 被y 轴截得的弦长为636．（2022·全国·高二）设有一组圆22:()()4()k C x k y k k R -+-=∈，下列命题正确的是（ ）．A ．不论k 如何变化，圆心C 始终在一条直线上B ．所有圆kC 均不经过点(3,0) C ．经过点(2,2)的圆k C 有且只有一个D ．所有圆的面积均为4π37．（2022·江苏·高二课时练习）关于曲线C ：2222x y x y +=+，下列说法正确的是（ ）A ．曲线C 围成图形的面积为48π+B ．曲线C 所表示的图形有且仅有2条对称轴 C ．曲线C 所表示的图形是中心对称图形D ．曲线C 是以()1,1为圆心，2为半径的圆38．（2022·江苏·高二课时练习）方程()()2222220x y x x y y λμ+-++-=（λ，μ不全为零），下列说法中正确的是（ ） A ．当0λμ=时为圆B ．当0λμ≠时不可能为直线C ．当方程为圆时，λ，μ满足0λμ+≠D ．当方程为直线时，直线方程y x =39．（2021·全国·高二专题练习）已知ABC 的三个顶点的坐标分别为(2)A -，3、()21B --，、(61)C -，，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为（ ） A ．221x y +=B ．22165x y +=C ．224x y +=D ．2237x y +=三、填空题40．（2022·山东·济南外国语学校高二期中）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．41．（2021·四川·雅安中学高二阶段练习）圆22(2)(12)4x y ++-=关于直线80-+=x y 对称的圆的方程为________42．（2022·全国·高二课时练习）已知a R ∈，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______．43．（2021·天津市第四十七中学高二阶段练习）已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，且圆心到直线20x y -=，若点(M 在圆C 上，则圆C 的方程为______________________．44．（2020·内蒙古·宁城县蒙古族中学高二阶段练习（理））已知两定点()()1,0,1,0A B -，如果平面内动点C 满足条件CA ，则ABC S ∆的最大值是_____四、解答题45．（2022·全国·高二）已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 于A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆.（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()4,2P -，求直线l 与圆M 的方程.46．（2021·广西·宾阳中学高二）已知圆221240C x y x y m ++=：－－， （1）求实数m 的取值范围；（2）若直线240l x y +=：－与圆C 相交于M N 、两点，且OM ON ⊥，求m 的值.47．（2021·山西·天镇县实验中学高二期中）已知圆N 经过点(3,1)A ，(1,3)B -，且它的圆心在直线320x y --=上.（1）求圆N 关于直线30x y -+=对称的圆的方程；（2）若点D 为圆N 上任意一点，且点()3,0C ，求线段CD 的中点M 的轨迹方程.48．（2021·山东枣庄·高二期中）已知圆C 的圆心为(1，1)，直线40x y +-=与圆C 相切.（1）求圆C 的标准方程；（2）若直线过点(2，3)，且被圆C 所截得的弦长为2，求直线的方程.49．（2022·江苏·高二课时练习）已知圆22:(1)(2)25C x y -+-=，直线:(21)(1)740()l m x m y m m R +++--=∈．(1)证明：不论m 取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点；(2)求直线被圆C 截得的弦长最小时 l 的方程．【答案详解】1．C【分析】先求出圆的圆心和半径，再根据对称时对应点的连线与对称轴垂直和其中点再对称轴上列出方程求出圆心坐标即可.【详解】圆C ：224690x y x y ++-+=的圆心()2,3C -，半径2r =．设点()2,3C -关于直线10x y -+=的对称点为00'(,)C x y ， 则00000311221231022y xx y x y -⎧⨯=-⎪=⎧+⎪⇒⎨⎨=--+⎩⎪-+=⎪⎩，所以圆C 关于直线10x y -+=的对称圆的方程为()()22214x y -++=，故选:C ．2．D【分析】设圆的方程为222()()x a y b r -+-=，根据题意列出方程组，求得2,,a b r ，即可得出答案.【详解】解：设圆的方程为222()()x a y b r -+-=，根据题意可得)()()()22222231a b r a b r ⎧+-=⎪⎪⎪+-=⎨⎪=，解得224ab r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以该圆的方程为22((2)4x y -+-=.故选：D.3．C【分析】根据三点在坐标系的位置，确定出ABC 是直角三角形，其中BC 是斜边，则有过三点的圆的半径为BC 的一半，圆心坐标为BC 的中点，进而根据圆的标准方程求解.【详解】由已知得，00()(02)()0A B C -,,,,分别在原点、x 轴、y 轴上， ∴AB AC ⊥，∴经过三点圆的半径为122r BC ===，圆心坐标为BC 的中点022⎫-⎪⎪⎝⎭，即)1-，∴圆的标准方程为(()2214x y ++=. 故选：C.4．B【分析】根据同圆心,可设圆的一般式方程为22240+-++=x y x y m ,代入点即可求解.【详解】设所求圆的方程为22240+-++=x y x y m ，由该圆过点()1,1-，得m ＝4， 所以所求圆的方程为222440x y x y +-++=.故选：B5．B【分析】利用待定系数法进行求解即可.【详解】设圆的一般方程为2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，，因为()1,1A ，()4,2B ，()3,0C 在这个圆上，所以有222222110542420330306D E F D D E F E D F F ⎧++++==-⎧⎪⎪++++=⇒=-⎨⎨⎪⎪+++==⎩⎩， 故选：B6．C【分析】求出线段AB 的垂直平分线的方程，与直线l 联立，即可求出圆心，再求出半径即可得出圆的方程.【详解】线段AB 的中点坐标为(2,4)，直线AB 的斜率62140AB k -==-， 则线段AB 的垂直平分线的方程为4(2)y x -=--，即60x y +-=.由60230x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得33x y =⎧⎨=⎩. 所以圆C 的圆心为(3,3)，半径r ==所以圆C 的方程为22(3)(3)10x y -+-=，即226680x y x y +--+=.故选：C.7．B【分析】求出220x y m +++=表示圆的充要条件，然后可判断出答案.【详解】若表示圆，则22(40+->m ，解得1m <.“m t ≤”是“220x y m +++=”表示圆的必要不充分条件，所以实数t 的取值范围是[1,)+∞.故选：B8．B【分析】根据圆的一般式变形为标准式，进而可得参数范围.【详解】由2224100x y ax ay a ++--=，得()()2222510x a y a a a ++-=+，由该曲线表示圆，可知25100a a +>，解得0a >或2a <-，故选：B.9．B【分析】根据圆的一般式方程需满足的条件即可直接求出答案.【详解】因为方程224250+-++=x y x y k 表示圆，所以()2242450k -+-⨯>，解得1k <. 故选：B.10．D【分析】设点(),52P t t -，求出以OP 为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标.【详解】设点(),52P t t -，则线段OP 的中点为52,22t t M -⎛⎫ ⎪⎝⎭，圆M 的半径为OM =， 所以，以OP 为直径为圆的方程为2225252025224t t t t x y --+⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即()22250x y tx t y +-+-=，即()()22520x y y t y x +-+-=，由222050y x x y y -=⎧⎨+-=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=⎩， 因此，以OP 为直径的圆经过定点坐标为()0,0、()2,1.故选：D.11．A【分析】把坐标(0,0)代入圆方程求解．注意检验，方程表示圆．【详解】将()0,0代入圆方程，得230m m -=，解得3m =或0，当3m =时，22360y x x y -++=，满足题意；当0m =时，220x y +=，不满足题意.故选：C ．12．（1）证明见解析；（2）211m =． 【分析】（1）圆心 Q 的坐标为()1,3m m -，则圆心 Q 在过点P 的定直线33y x =+上；（2）以P Q 、为直径的圆过原点，则OP OQ ⊥利用斜率计算即可．【详解】（1）由题可知圆心 Q 的坐标为()1,3m m -，令13x m y m =-⎧⎨=⎩消去 m ，得33y x =+. ∵直线33y x =+过点()2,3P --.∴圆心 Q 在过点P 的定直线33y x =+上.（2）∵以P Q 、为直径的圆过原点，∴OP OQ ⊥. ∴33121m m ⋅=--， ∴211m =. 即当211m =时，以P Q 、为直径的圆过原点． 13．C【分析】由题得圆心的坐标为(,1)2a ，解方程102a -=即得解. 【详解】解：由题得圆心的坐标为(,1)2a，因为已知圆22:220E x ax y y -+--=关于直线:0l x y -=对称， 所以10,22a a -=∴=.故选：C14．D【分析】先求得圆222440x y x y +-+-=关于直线10x y +-=对称的圆的圆心坐标，进而即可得到该圆的方程.【详解】圆222440x y x y +-+-=的圆心坐标为(1,2)-，半径为3设点(1,2)-关于直线10x y +-=的对称点为(,)m n ， 则211121022n m m n +⎧=⎪⎪-⎨+-⎪+-=⎪⎩ ，解之得30m n =⎧⎨=⎩ 则圆222440x y x y +-+-=关于直线10x y +-=对称的圆的圆心坐标为(3,0)则该圆的方程为22(3)9x y -+=，故选：D ．15．C【分析】根据题意可得：直线l ：x －y ＋1＝0经过圆心（－2k ，－1），代入运算解得k＝4，再代入r = 【详解】圆2224x y kx y +++-＝0的标准方程为（x ＋2k ）2＋（y ＋1）2＝5＋24k ，则圆心坐标为（－2k ，－1），半径为r =因为点M ，N 在圆2224x y kx y +++-＝0上，且点M ，N 关于直线l ：x －y ＋1＝0对称， 所以直线l ：x －y ＋1＝0经过圆心， 所以－2k ＋1＋1＝0，k ＝4．所以圆的方程为：22424x y x y +++-＝0，圆的半径r = 3. 故选：C ．16．(1)22(3)29x y -+=(2)22(5)(5)25x y -+-=或22(1)(1)1x y ++-=.(3)22(2)50x y ++=(4)22420x y x y +--=【分析】根据已知条件和圆的标准方程、圆的一般方程的特征，利用待定系数法，即可求解.(1)解：由题意，圆过点()2,2P -，圆心为()3,0C ，可得半径r =22(3)29x y -+=.(2)解：由题意，圆与两坐标轴都相切，且圆心在直线2350x y -+=上， 可设圆心为25,3a C a +⎛⎫ ⎪⎝⎭，则253a a +=，解得5a =或1a =-， 若5a =，则圆心为(5,5)C ，半径为=5r ，圆的方程为22(5)(5)25x y -+-=；若1a =-，则圆心为()1,1C -，半径为1r =，圆的方程为22(1)(1)1x y ++-=，所以圆的方程为22(5)(5)25x y -+-=或22(1)(1)1x y ++-=.(3)解：由题意，圆过点(3,5)A ，()3,7B -，且圆心在x 轴上可设圆心为(,0)C a ， 由CA CB =，可得2222(3)5(3)7a a -+=++，解得2a =-，即圆心坐标为(2,0)C -，半径为r CA ==，所以圆的方程为22(2)50x y ++=.(4)解：由题意，圆过点()4,0A -，()0,2B 和原点，设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，由160404200D FEF F +-+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得4,2,0D E F ==-=， 所以圆的方程为22420x y x y +--=.17．(1)()()223213x y -+-=(2)223320x y x y +--+=【分析】（1）假设圆心坐标，利用AC BC r ==可构造方程求得圆心和半径，由此可得圆C 方程；（2）设(),Q x y ，根据CQ PQ ⊥，由0CQ PQ ⋅=即可得到所求的轨迹方程.（1）设圆心28,7t C t +⎛⎫ ⎪⎝⎭，则AC BC r ==，3t =，r ∴=()3,2C ，∴圆C 的标准方程为()()223213x y -+-=；（2）Q 为弦MN 中点，CQ MN∴⊥，即CQ PQ ⊥，设(),Q x y ，则()3,2CQ x y =--，(),1PQ x y =-，()()()223123320CQ PQ x x y y x y x y ∴⋅=-+--=+--+=，即点Q 的轨迹方程为：223320x y x y +--+=. 18．(1)90ACB ∠=︒ (2)3【分析】（1）首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，从而求出圆心角；（2）依题意可得230a b +-=，再利用基本不等式计算可得； (1)解：∵圆C ：222440x y x y +--+=，即C ：()()22121x y -+-=，圆心为()1,2C ，半径1r =，所以圆C 的圆心()1,2到直线20x y -+==sin CBA ∠=∴45CBA CAB ∠=∠=︒，∴90ACB ∠=︒； (2)解：∵直线30ax by +-=平分圆C ，即圆心在直线30ax by +-=上，∴230a b +-=，又,0a b >，∴()()12112122125543333b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当且仅当22a b b a=即1a b ==时等号成立.∴12a b +的最小值为3.19．B【分析】根据题意直接写出圆的标准方程即可.【详解】以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程为224x y +=. 故选：B 20．C【分析】先由标准方程得出圆心,22DE ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，圆关于直线对称则直线过圆心，将圆心代入直线即得结果 【详解】由题，圆心为,22DE ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，圆关于直线y x =对称，则直线过圆心，即22E D -=-，所以D E =. 故选：C 21．B【分析】设所求圆的方程为22460x y x y m +-++=，利用点()1,1-求得m ，从而确定正确答案.【详解】依题意，设所求圆的方程为22460x y x y m +-++=， 由于所求圆过点()1,1-，所以11460m +--+=， 解得8m =，所以所求圆的方程为224680x y x y +-++=． 故选：B 22．B【分析】由题可得()210,0a b a b +=>>，然后利用基本不等式即得.【详解】圆()()22124x y +++=的圆心为()1,2--，依题意，点()1,2--在直线10ax by ++=上，因此210a b --+=，即()210,0a b a b +=>>，∴()1212222559baa b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭， 当且仅当22b a a b =，即13a b ==时取“=”， 所以12ab+的最小值为9. 故选：B. 23．A【分析】根据反射性质，结合圆的性质、直线斜率公式进行求解即可. 【详解】设点A 的坐标为()5,3-，圆()()22115x y -+-=的圆心坐标为(1,1)B ，设(,0)C x 是x 轴上一点，因为反射光线恰好平分圆()()22115x y -+-=的圆周， 所以反射光线经过点(1,1)B ， 由反射的性质可知：3010100512AC BC k k x x x --+=⇒+=⇒=----， 于是102131()2BC k -==--，所以反射光线所在的直线方程为： 21()231032y x x y =+⇒-+=， 故选：A 24．B【分析】在直角三角形中利用几何关系即可获解【详解】圆C 即22(1)(2)2x y -+-=,半径r =因为CA CB ⊥,所以22AB r == 又P 是AB 的中点,所以112CP AB == 所以点P 的轨迹方程为22(1)(2)1x y -+-= 故选：B25．(1)()22225x y ++=或()22625x y -+= (2)()()221329x y -++= (3)()()22122x y -+=+ (4)()()221210x y +++=【分析】利用待定系数法分别求出（1）、（2）、（3）、（4）的圆的标准方程. （1）设圆的标准方程为()2225x a y -+=．因为点()2,3A -在圆上，所以()()222325a -+-=，解得a =-2或a =6，所以所求圆的标准方程为()22225x y ++=或()22625x y -+=． （2）设圆的标准方程为()()()2220x a y b r r -+-=>，由题意得4612a -+==，5132b --==-；又因为点()6,1-在圆上，所以()()222611329r =-+-+=．所以所求圆的标准方程为()()221329x y -++=． （3）设圆心为(),2a a -．因为圆与直线y =1-x 相切于点()2,1-=解得a =1．所以所求圆的圆心为()1,2-，半径r = 所以所求圆的方程为()()22122x y -+=+． （4）设点C 为圆心，因为点C 在直线230x y --=上，故可设点C 的坐标为()23,a a +． 又该圆经过A 、B 两点，所以CA CB =．a =-2，所以圆心坐标为()1,2C --，半径r = 故所求圆的标准方程为()()221210x y +++=．26．（1）22(3)(2)13x y -+-=；（2）221113(1)24x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭.【分析】（1）求得线段AB 垂直平分线的方程，与直线l 方程联立，求得圆心C 的坐标，由CA 求得半径，由此求得圆C 的方程.（2）设出M 点坐标，由此求得P 点坐标，将P 点的坐标代入圆C 的方程，化简求得M 点的轨迹方程.【详解】（1）直线AB 的斜率50116k -==--，所以AB 的垂直平分线m 的斜率为1.AB 的中点的横坐标和纵坐标分别为61722x +==，95522y +==. 因此，直线m 的方程为57122y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.即10x y --=.又圆心在直线l 上，所以圆心是直线m 与直线l 的交点.联立方程组102780x y x y --=⎧⎨-+=⎩， 解得32x y =⎧⎨=⎩所以圆心坐标为()3,2C，又半径r CA = 则所求圆的方程是22(3)(2)13x y -+-=. （2）设线段PQ 的中点(),M x y ，()00,P x yM 为线段PQ 的中点，则008202x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得00282x x y y=-⎧⎨=⎩()28,2P x y -代入圆C 中得22(283)(22)13x y --+-=，即线段PQ 中点M 的轨迹方程为221113(1)24x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭.【点睛】本小题主要考查圆的方程的求法，考查动点轨迹方程的求法，属于中档题. 27．C【分析】按照圆的一般方程满足的条件2240D E F +->求解即可. 【详解】22280,2m m +-><-或2m >.故选：C. 28．C【分析】根据圆关于直线对称，求出圆C 的圆心即可求解，由点关于直线对称列出方程即可.【详解】因为圆()()22111x y -+-=的圆心为(1,1)， 设(1,1)关于10x y -+=的对称点(,)C x y ，则1111111022y x x y -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪-+=⎪⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩，即圆C 的圆心为(0,2)，半径为1， 所以方程为()2221x y +-=. 故选：C 29．C【分析】求出线段AB 的中点的坐标即得解.【详解】解：由题得AOB 是直角三角形，且AOB 90∠=. 所以AOB 的外接圆的圆心就是线段AB 的中点， 由中点坐标公式得20041,222x y +-====-. 故选：C 30．D【分析】先判断圆心在直线0x y +=上，设圆心的坐标为(,)a a -，由半径，列出方程，求出a 的值，即可得到答案．【详解】解：因为圆C 上的点(1,2)关于直线0x y +=的对称点仍在圆C 上，所以圆心在直线0x y +=上， 设圆心的坐标为(,)C a a -，解得0a =或1a =-， 所以圆心C 为(0,0)或(1,1)-，则圆C 的方程为225x y +=或22(1)(1)5x y ++-=． 故选：D ． 31．B【分析】分析可知()21max4PN PMPC PC -=-+，设点()24,5C 关于x 轴的对称点为()24,5C '-，可得出22PC PC '=，求出21PC PC '-的最大值，即可得解.【详解】圆()()221:111C x y -++=的圆心为()11,1C -，半径为1，圆()()222:459C x y -+-=的圆心为()24,5C ，半径为3．()max minmaxPN PM PN PM-=-，又2max 3PN PC =+，1min 1PM PC =-，()()()2121max314PN PMPC PC PC PC ∴-=+--=-+．点()24,5C 关于x 轴的对称点为()24,5C '-，2121125PC PC PC PC C C ''-=-≤，所以，()max 549PN PM -=+=， 故选：B ．32．D【分析】求出圆心2(1,0)C 关于10x y ++=的对称点为2(-1,2)C '-，则||||PM PN +的最小值是1212C C R R --'． 【详解】解：圆221:4470C x y x y +--+=的圆心1(2,2)C ，半径为11R = ，圆222:20C x y x +-=，圆心2(1,0)C ，半径为21R =，圆心2(1,0)C 关于10x y ++=的对称点为2(x,y)C '， x+1y+0++1=022y-0=1x-1⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 解得x=-1y=-2⎧⎨⎩故2(-1,2)C '- ()()221122212212223PM PN PC R PC R C C '∴+≥-+-≥-=+++=．故选D ．【点睛】本题考查圆的方程，考查点线对称，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 33．D【分析】配方，由半径的最小值得参数m 值，然后求出圆心到原点距离，再加半径可得. 【详解】根据题意，圆22:22440()C x y x my m m ++---=∈R ， 变形可得222(1)()45x y m m m ++-=++．其圆心为(1,)m -，半径为r ，则22245(2)1r m m m =++=++， 当圆C 的面积最小时，必有2m =-，此时21r =． 圆C 的方程为22(1)(2)1x y +++=， 圆心C 到原点为距离d ，则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为1d r +=． 故选：D ． 34．A【分析】由题意曲线C 为圆，22(6)(6)222t x y a =++---，且22(6)(6)x y ++-表示曲线C 上的点M 到点()6,6N -的距离的平方，结合圆的特征可得点()6,3M -，由此可得22max (66)(36)222t a b =++----=，于是3a b +=，故()14a b ++=，以此为基础并由基本不等式可得所求的最小值．【详解】曲线22:4210C x x y -+-=可化为()22225x y -+=，表示圆心为()2,0A ，半径为5的圆．2222+1212150(6)(6)222t x y x y a x y a =+---=++---，22(6)(6)x y ++-可以看作点M 到点()6,6N -的距离的平方，圆C 上一点M 到N 的距离的最大值为5AN +，即点M 是直线AN 与圆C 的离点N 最远的交点，所以直线AN 的方程为()324y x =--， 由()()22324225y x x y ⎧=--⎪⎨⎪-+=⎩，解得1163x y =⎧⎨=-⎩或2223x y =-⎧⎨=⎩（舍去）， ∴当63x y =⎧⎨=-⎩时，t 取得最大值，且22max (66)(36)222t a b =++----=， ∴3a b +=，∴()14a b ++=， ∴()111111112114141b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫⎡⎤+=+++=++≥ ⎪ ⎪⎣⎦+++⎝⎭⎝⎭， 当且仅当11b a a b +=+，且3a b +=，即1,2a b ==时等号成立． 故选A ．【点睛】（1）解题时要注意几何法的合理利用，同时还要注意转化方法的运用，如本题中将22(6)(6)x y ++-转化为两点间距离的平方，圆上的点到圆外一点的距离的最大值为圆心到该点的距离加上半径等．（2）利用基本不等式求最值时，若不等式不满足定值的形式，则需要通过“拼凑”的方式，将不等式转化为适合利用基本不等式的形式，然后再根据不等式求出最值．35．ABCD【分析】将圆M 一般方程化为标准方程，可求得圆心和半径，即可判断AC 是否正确，再令0x =和0y =，算出弦长可判断BD 是否正确.【详解】由圆M 的一般方程为22860x y x y +-+=，则圆222:(4)(3)5M x y -++=， 故圆心为(4,3)-，半径为5，则AC 正确；令0x =，得0y =或6y =-，弦长为6，故D 正确；令0y =，得0x =或8x =，弦长为8，故B 正确.故选：ABCD.【点睛】本题考查了圆的一般方程与标准方程的互化，圆被x 轴，y 轴所截的弦长问题，属于基础题.36．ABD【分析】求出圆心坐标和半径后可判断A 、D 的正误，将B 、C 选项中的点代入圆的方程得到关于k 的方程，通过方程的有解与否可判断B 、C 的正误，【详解】圆心坐标为(,)k k ，在直线y x =上，A 正确；令22(3)(0)4k k -+-=，化简得22650k k -+=，∵364040∆=-=-<，∴22650k k -+=，无实数根，∴B 正确；由22(2)()42k k -+=-，化简得2420k k -+=，∵16880∆=-=>，有两不等实根，∴经过点(2,2)的圆k C 有两个，C 错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D 正确．故选：ABD ．【点睛】本题考查动圆的性质，注意动圆中隐含的确定关系，另外判断动圆是否过确定的点，可转化为方程是否有解来讨论，本题属于中档题.37．AC【分析】根据曲线解析式特征画出图形，逐一判断各选项即可.【详解】曲线C ：2222x y x y +=+如图所示：对于A ：图形在各个象限的面积相等，在第一象限中的图形，是以()1,12径的圆的一半加一个直角三角形所得，2111222222S ππ⎡⎤=⨯+⨯⨯=+⎢⎥⎣⎦，所以曲线C 围成图形的面积为1448S S π==+,故A 正确；对于B ，由图可知，曲线C 所表示的图形对称轴有x 轴，y 轴，直线y x =，直线y x =-四条，故B 错误；对于C ，由图可知，曲线C 所表示的图形是关于原点对称的中心对称图形，故C 正确； 对于D ，曲线C 的图形不是一个圆，故D 错误.故选：AC38．ACD【分析】对于A 、B 、D 可直接代值确定，对于C ，展开化简，根据圆的方程的特点判断.【详解】对于A ，由题可得00λμ=⎧⎨≠⎩ 或00λμ≠⎧⎨=⎩，代入得2220x y y +-=或2220x y x +-=，都是圆，故A 对；对于B ，当1,1λμ==-时，化简得y x =是直线，故B 错；对于C ，原式可化为22(+)(+)220x y x y λμλμλμ+--=，要表示圆，则必有0λμ+≠，故C 对；对于D ，只有0λμ+=时，方程表示直线y x =，故D 对.故选：ACD.39．AD【解析】根据三角形的三点坐标，确定坐标原点到三边的距离，以及到三个顶点的距离，结合题中条件，即可确定圆的半径，从而可得圆的方程.【详解】依题意，直线AC 的方程为163126y x +-=+--，化为一般式方程：240x y +-=， 点O 到直线240x y +-=的距离1d =>， 又直线AB 的方程为2x =-，直线BC 的方程为1y =-，因此点O 到直线AB 的距离为2，到直线BC 的距离为1，当以原点为圆心的圆与直线BC 相切时，能满足圆与此三角形有唯一公共点； 此时圆的半径为1，所以圆的方程为221x y +=；又OA ==OB ==OC =由以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，可得圆可以与三角形交于点(61)C -，，2237x y +=.故选：AD.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于，根据三角形与圆的交点个数，分圆与三角形一边相切，或圆过三角形的一点这两种情况进行讨论，即可求出结果.40．2220x y x +-=【详解】分析：由题意利用待定系数法求解圆的方程即可.详解：设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则：01104020F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪+++=⎩，解得：200D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，则圆的方程为2220x y x +-=. 点睛：求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．41．22(4)(6)4x y -+-=【分析】求出22(2)(12)4x y ++-=的圆心关于直线80-+=x y 的对称点可得对称圆的圆心，又两圆的半径相等，由此可得所求圆的方程.【详解】圆22(2)(12)4C x y ++-=的圆心为()2,12C -，半径为2，设()2,12C -关于直线80-+=x y 的对称点为(,)C x y '''， 则21280221212x y y x '-'+⎧-+=⎪⎪⎨'-⎪=-⎪'+⎩，解得46x y '=⎧⎨'=⎩. ()4,6C ∴'，则圆C 关于直线l 对称的圆的方程为22(4)(6)4x y -+-=.故答案为：22(4)(6)4x y -+-=.【点睛】本题考查了求圆关于直线对称的圆的方程，属于基础题.42． (2,4)--； 5．【详解】试题分析：由题意，知22a a =+，12a =-或，当1a =-时，方程为224850x y x y +++-=，即22(2)(4)25x y +++=，圆心为(2,4)--，半径为5，当2a =时，方程为224448100x y x y ++++=，2215()(1)24x y +++=-不表示圆． 圆的标准方程.由方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆可得a 的方程，解得a 的值，一定要注意检验a 的值是否符合题意，否则很容易出现错误．43．()2214x y -+=【解析】先由题意，设圆C 的圆心为()(),00C a a >，由点到直线距离求出圆心坐标，再由圆上的点求出半径，进而可求出圆的方程.【详解】由题意，设圆C 的圆心为()(),00C a a >，因为圆心到直线20x y -=，5=，解得1a =，即圆心坐标为()1,0；又点(M 在圆C 上，所以半径为2r =， 因此圆C 的方程为()2214x y -+=.故答案为：()2214x y -+=. 44【解析】设动点C 坐标，再由几何条件CA ，可得C 轨迹方程，进一步可得所求解.【详解】设(),C x y ，由CA ，=整理得: 22410x y x +-+=，即()2223x y -+=所以12ABC AB S AB h ∆=⨯⨯（AB h 表示ABC 中AB 边上的高），显然()max AB h =ABC S ∆故答案为【点睛】本题为用轨迹的方法求三角形面积最大值，属于难题.常用求轨迹的方法：①定义法：根据题目所给的几何条件判断动点满足哪类常见轨迹，确定相应基本量得出方程；②参数法：找出动点纵横坐标与第三变量的关系，消参后得出方程；③转译法：找出动点与相关点的坐标关系，利用相关点的方程得出动点的轨迹方程； ④几何法：建系设点，由题设所给出的几何等式，转化为代数等式，整理可得方程.45．(1)证明见解析；(2) 20x y --=， ()()223110x y -+-=或240x y +-=，2291854216x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【详解】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，:2l x my =+.由22,2x my y x=+⎧⎨=⎩ 可得2240y my --=，则124y y =-. 又221212,22y y x x ==，故()2121244y y x x ==. 因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为1212414y y x x -⋅==-，所以OA OB ⊥. 故坐标原点O 在圆M 上. （2）由（1）可得()21212122,424y y m x x m y y m +=+=++=+.故圆心M 的坐标为()22,m m +，圆M 的半径r =由于圆M 过点()4,2P -，因此0AP BP ⋅=，故()()()()121244220x x y y --+++=， 即()()1212121242200x x x x y y y y -+++++=，由（1）可得12124,4y y x x =-=.所以2210m m --=，解得1m =或12m =-.当1m =时，直线l 的方程为20x y --=，圆心M 的坐标为()3,1，圆M ，圆M 的方程为()()223110x y -+-=.当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91,42⎛⎫- ⎪⎝⎭，圆M ，圆M 的方程为2291854216x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【名师点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证0∆>或说明中点在曲线内部.46．（1）5m <；（2）85【分析】（1）将圆配凑成标准方程，利用20R >，解出即可．（2）设出直线，联立方程，利用韦达定理求出12y y ，再计算出12x x ，由OM ON ⊥，即12120x x y y +=，解出即可． 【详解】解：（1）配方得22(1)(2)5x y m -+-=-,所以50m ->,即5m <.（2）设()()1122,,M x y N x y 、，OM ON ⊥，所以12120x x y y +=，由22240240x y x y x y m +-=⎧⎨+--+=⎩得251680y y m -++=，因为直线与圆相交于M N 、两点,所以()2162080m ∆=-+>,即245m <. 易得1212168,55m y y y y ++==， ()()12124242x x y y ∴=-⋅-()12121684y y y y =-++，从而由12120x x y y +=得8416055m m +-+=， 解得85m =，满足5m <且245m <，所以m 的值为85. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理及运算能力，属于基础题．47．（1）22(1)(5)10x y -+-=；（2）2255(2)22x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭. 【分析】（1）设出圆N 的圆心坐标，然后题意列出方程，解出圆的半径r ，得到圆N 的方程；再解出点N 关于直线30x y -+=的对称点坐标，写出对称圆的方程.（2）利用相关点法，设点(,)M x y ，()11,D x y ，设法用含,x y 的式子表示点D 的坐标，然后将点D 代入圆N 方程即可得到点(,)M x y 的轨迹方程.【详解】解析（1）由已知可设圆心(,32)N a a -，又由已知得||||NA NB =，=2a =，所以圆N 的圆心为(2,4)N ，半径r =所以圆N 的方程为22(2)(4)10x y -+-=，圆心关于30x y -+=的对称点为(1,5)，所以圆N 关于直线30x y -+=对称的圆的方程为22(1)(5)10x y -+-=.（2）设(,)M x y ，()11,D x y ，则由()3,0C 及M 为线段CD 的中点得，113202x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得11232x x y y =-⎧⎨=⎩. 又点D 在圆22:(2)(4)10N x y -+-=上，所以22(232)(24)10x y --+-=，即225(2)2x y ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭52=， 故所求的轨迹方程为:2255(2)22x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查圆的方程求解，圆关于直线的对称圆以及点的轨迹方程问题，其中轨迹方程问题难度稍大，注意相关点法的运用.48．（1）22(1)(1)2x y -+-=；（2）3460x y -+=或2x =．【解析】（1）利用点到直线的距离可得：圆心(1,1)C 到直线40x y +-=的距离d ．根据直线40x y +-=与圆C 相切，可得r d =．即可得出圆的标准方程．（2）①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程：3(2)y k x -=-，即：320kx y k -+-=，可得圆心到直线l 的距离d ，又212d +=，可得：k ．即可得出直线l 的方程．②当l 的斜率不存在时，2x =，代入圆的方程可得：2(1)1y -=，解得y 可得弦长，即可验证是否满足条件．【详解】（1）圆心(1,1)C 到直线40x y +-=的距离d 直线40x y +-=与圆C相切，r d ∴==∴圆的标准方程为：22(1)(1)2x y -+-=． （2）①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程：3(2)y k x -=-，即：320kx y k -+-=，d =212d +=，1d ∴=．。