课时12二次函数
课时12．二次函数
【课前热身】
1. （2020·镇江）点
在以 轴为对称轴的二次函数 的图像上，则
的最大值等于( ) A ． B ．4 C ． D ．
2.（2020·株洲）二次函数2y ax bx c =++，若0ab <，20a b ->，
点()11,A x y ，()22,B x y 在该二次函数的图象上，其中12x x <，120x x +=，则（ ）
A. 12y y =-
B. 12y y >
C. 12y y <
D. 1y 、2y 的大小无法确定
3. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. a ＞0，b ＜0，c ＞0
B. a ＜0，b ＜0，c ＞0
C. a ＜0，b ＞0，c ＜0
D. a ＜0，b ＞0，c ＞0
第3题图 第5题图
4. （2020·宿迁）将二次函数y ＝(x －1)2＋2的图像向上平移3个单位，得到的图像对应的函数表达式是（ ）
A ．y ＝(x ＋2)2＋2
B ．y ＝(x －4)2＋2
C ．y ＝(x －1)2－1
D ．y ＝(x －1)2＋5
5. 如图所示的抛物线是二次函数4322-+-=a x ax y 的图象，那么a 的值是_ ___.
6. 二次函数x x y 22+=的顶点坐标为______ ___，对称轴是直线___ ___．
【例题讲解】
例1如图，观察二次函数c bx ax y ++=2 (a ≠0)的图象，下列结
论：①0>++c b a ；②02>+b a ；③042
>-ac b ；④0>ac .
其中正确的是( )
A.①②
B.①④
C.②③
D.③④
例2如图，直线m x y +=和抛物线c bx x y ++=2都经过点A(1，0)，B(3，2).
(1)求m 的值和抛物线的解析式；
(2)求不等式m x c bx x +>++2的解集.(直接写出答案)
例3已知二次函数m x x y ++-=22．
(1)如果二次函数的图象与x 轴有两个交点，求m 的取值范围；
(2)如图，二次函数的图象过点A(3，0)，与y 轴交于点B ，直线AB 与这个二次函数图象的对称轴交于点P ，求点P 的坐标．
例4如图，某足球运动员站在点O 处练习射门，将足球从离地面0.5m 的A 处正对球门踢出(点A 在y 轴上)，足球的飞行高度y (单位:m)与飞行时间t (单位:s)之间满足函数关系c t at y ++=52，已知足球飞行0.8s 时，离地面的高度为3.5m ．
(1)足球飞行的时间是多少时，离地面最高？最大高度是多少？
(2)若足球飞行的水平距离x (单位:m)与飞行时间t (单位:s)之间具有函数关系t x 10=，已知球门的高度为2.44m ，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m ，他能否将球直接射入球门？
【中考演练】
1. 抛物线122
+-=x y 的开口向__ __，对称轴是____ __. 2. 抛物线()22+=x y 的顶点坐标是__ ______.
3. 将抛物线22x y =先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，最后所得的抛物线的解析式为________ ____.
4. 函数32++=bx x y 的图象经过点(-1，0)，则b =___ _.
5. 二次函数()232++=x y ，当x =____时，y 有最小值.
6. 函数()3422
--=x y ，当x _ ___时，函数值y 随x 的增大而增大. 7. 将642+-=x x y 化成()k h x a y +-=2
的形式，则y =____ ____. 8. 若点A(2，m )在函数12-=x y 的图象上，则A 点的坐标是___ ____.
9. 抛物线4322
-+=x x y 与y 轴的交点坐标是____ ___.
10. 若抛物线c x ax y ++=2与x 轴交点的横坐标为-1，则_______=+c a .
11．无论x 取何值，抛物线()3212-++=x x k y 的函数值恒为负，则k 的取值范围是___ _. 12. 若抛物线m x x y +--=22的顶点在x 轴上，那么m =___ _.
13. 二次函数522-+=x x y 的最小值为_ ___.
14. 已知二次函数m x x y ++-=22的部分图象如右图所示，则关于x 的
一元二次方程022=++-m x x 的解为_____ _______.
15.已知函数()222-+=m x m y 是二次函数，则m 等于( )
A. ±2
B. 2
C. -2
D. ±2
16．苹果熟了，从树上落下所经过的路程s 与下落时间t 满足关系：2gt s =(g =9.8)，则s 与t 的函数图象大致是( )
17. 抛物线2
x y -=不具有的性质是( )
A.开口向下
B.对称轴是y 轴
C.与y 轴不相交
D.最高点是原点
18. 函数2ax y =与b ax y += (a ＞0，b ＞0)在同一坐标系中的大致图象是( )
19. 已知函数222
--=x x y 的图象如下图所示，根据其中提供的信息，可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是( )
A.-1≤x ≤3
B.-3≤x ≤1
C. x ≥-3
D. x ≤-1或x ≥3
20. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线 x x y 42+-= (单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )
A.4米
B.3米
C.2米
D.1米
21. 已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( )
A.a ＞0
B.b ＜0
C.c ＜0
D.0>++c b a
第19题 第20题 第21题
22. 华联商场以每件120元购进一种商品，试销售中发现每天的销售量y (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数200+-=x y ；
(1)写出商场每天的销售利润w (元)与每件的销售价x (元)的函数关系式；
(2)如果商场要想获得最大利润，每件商品的销售价定为多少元时最合适？最大销售利润为多少？
23. 已知：二次函数 32-+=bx x y 的图像经过点P(-2，5).
(1)求b 的值，并写出当1＜x ≤3时y 的取值范围；
(2)设点P 1(m ，y 1)、P 2(m +1，y 2)、P 3(m +2，y 3)在这个二次函数的图像上．
①当m =4时，y 1、y 2、y 3能否作为同一个三角形的三边的长？请说明理由；
②当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长.请说明理由．
二次函数答案
【课前热身】
1. C
2. D
3. B
4. D
5. -2、
6. （-1，-1） x=-1
【例题讲解】
例1 C
例2 232+-=x x y
X ＜1或x ＞3
例3 （1）m ＞-1 y=-x 2+2x+3（2）P （1,2）
例4（1）21
51625
2++-=t t y
（2）能
【中考演练】
1. 下 y 轴
2. (-2,0)
3. y=2(x —+3）2-2
4. 4
5. -3
6. >4
7. （x-2）2+2
8. （2,3）
9. （0，-4）
10. 1
11. k 34
-<
12. -1
13. -6
14. x 1=3,x 2=-1
15. B
16. B
17. C
18. C
19. D
20. A
21. D
22. (1)W=-x 2+320x-24000
(2)160元，1600元
23. （1）-2 -4<y<0
（2）不能能。
二十二-二次函数复习课PPT课件
一般式： 解： 设所求的二次函数为 y=a(x＋1)(x－1）
y=ax2+bx+c
由条件得：
y
两根式： y=a(x-x1)(x-x2)
点M( 0,1 )在抛物线上
所以：a(0+1)(0-1)=1
x o
顶点式： y=a(x-h)2+k
得： a=-1 故所求的抛物线解析式为 y=- (x＋1)(x-1)
.
23
4.求抛物线解析式的三种方法
例题精讲
例1.已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、
（1,4）、（2,7）三点，求这个函数的解析式？
一般式： 解： 设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c
y=ax2+bx+c
两根式： y=a(x-x1)(x-x2)
由条件得： a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7
有两个相等的
解
x1=x2=
b 2a
没有实数根
O
x
19
基础练习:
1.不与x轴相交的抛物线是(D )
A y=2x2 – 3
B y= - 2 x2 + 3
C y= - x2 – 3x D y=-2(x+1)2 - 3
2.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x
轴交点情况是( C )
（1）抛物线经过（2，0）（0，-2）（-1，0）三
点。
yx2 x2
（2）抛物线的顶点坐标是（6，-2），且与X轴
的一个交点的横坐标是8。
y1(x6 )221x26x 1 6
第十二课时建立二次函数模型
第十二课时教学内容:建立二次函数模型(P21-22)教学目标1、通过探索得出二次函数的概念。
2、熟练地把二次函数化成一般式，并分清二次项、一次项及其系数和常数。
教学重点和难点教学重点：二次函数的概念。
教学难点：二次函数y＝ax2＋bx＋c中的隐含条件a≠0的应用。
教学方法启发式。
教学手段投影仪、投影片。
教学过程一、创设问题情境，探索建立二次函数模型。
（出示投影1）动脑筋：问题一：植物园的面积随着砌法的不同怎样变化？学校准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形植物园，如图2—1所示，现在已备足可以砌100m长的墙的材料，大家来讨论对应于不同的砌法，植物园的面积会发生什么样的变化。
有没有一种统一的以包括一切可能砌法的探讨方法呢？学生独立思考上述问题，并把结果与同伴交流。
教师针对学生存在的问题予以指正并板书：设与围墙相邻的每一面墙的长度为xm，则与围墙相对的一面墙的长度为（100－2x）m，于是矩形植物园的面积s为s＝x（100－2x），0＜x＜50，即 s＝－2x2＋100x，0＜x＜50，①有了公式①，我们对植物园的面积s随着砌法的不同而变化的情况就了如指掌了。
（出示投影2）动脑筋：电脑的价格。
一种型号的电脑两年前的销售价为6000元，现在的售价为y元，如果每年的平均降价率为x，那么降价率变化时，电脑的售价怎样变化呢？学生独立思考上述问题，并把结果与同伴交流。
教师针对学生存在的问题予以指正并边讲边在黑板上板书：y＝6000（1－x）2，0＜x＜1即y＝6000x2－12000x＋6000，0＜x＜1。
②教师引入：在上面的两个例子吕，矩形植物园的面积s与相邻于围墙面的每一面墙的长度x的关系式①，电脑价格y与平均降价率x的关系式②有什么共同点？像关系式①、②那样，如果函数的解析式是自变量的二次多项式，那么这样的函数称为二次函数，它的一般形式是：y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0），其中a、b、c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项。
九年级数学中考一轮复习教学案：第12课时 二次函数的图像与性质(一)
第12课时 二次函数的图像与性质（一）【复习目标】1．通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义．2．会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质．3．会用配方法将数字系数的二次函数的解析式化为y ＝a(x －h)2＋k 的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，知道图象的开口方向，会画出图象的对称轴，知道二次函数的增减性，并掌握二次函数图象的平移规律．【知识梳理】1．一般地，形如_______的函数叫做二次函数，当a_______ ，b________时，是一次函数． 2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象是_______，对称轴是_______，顶点坐标是_______． 3．抛物线的开口方向由a 确定，当a>0时，开口_______；当a<0时，开口_______；越大，开口越_______．4．抛物线与y 轴的交点坐标为_______．当c>0时，与y 轴的_______半轴有交点；当c<0时，与y 轴的_______半轴有交点；当c ＝0时，抛物线过________． 5．若a_______0，当x ＝2ba -时，y 有最小值，为_______； 若a_______0，当x ＝2ba-时，y 有最大值，为_______．6．当a>0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而_______，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而_______；当a<0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而_______，在对称轴的右侧．y 随x 的增大而_______．7．当m>0时，二次函数y ＝ax 2的图象向_______平移_______个单位得到二次函数y ＝a （x ＋m)2的图象；当k>0时，二次函数y ＝ax 2的图象向_______平移_______个单位得到二次函数y ＝ax 2＋k 的图象．平移的口诀：左“＋”右 “－”；上“＋”下“－”．【考点例析】考点一 二次函数的有关概念例1已知二次函数y ＝x 2－4x ＋5的顶点坐标为 ( ) A ．(－2，－1) B ．(2，1) C ．(2，－ 1)D （－2，1）提示由配方可得y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1，从而求得抛物线的顶点坐标．考点二抛物线的平移例2 将抛物线y＝3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为 ( )A．y＝3(x＋2)2＋3 B．y＝3(x－2)2＋3C．y＝3(x＋2)2－3 D．y＝3(x－2)2－3提示由平移规律“上加下减．左加右减”，根据抛物线y＝3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到平移后抛物线的解析式．考点三同一坐标系下二次函数与其他函数图象的共存问题例 3 在同一坐标系中°一次函数y＝ax＋1与二次函数y＝x2＋a的图象可能是( )提示本题主要考查一次函数和二次函数图象位置的确定，由一次函数y＝ax＋1可知其图象经过(0，1)，与y轴交于正半轴．又二次函数y＝x2＋a．当a>0时，一次函数经过第一、二、三象限，二次函数图象的开口向上，顶点在y轴正半轴上，没有选项符合；当a<0时，一次函数的图象经过第一、二、四象限．二次函数开口向上，顶点在y轴负半轴上，从而确定正确选项．考点四利用二次函数的增减性比较坐标大小例4设A（－2，y1)，B(1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝－(x＋1)2＋m上的三点，则y1、y2、y3的大小关系为 ( )A．y1>y2>y3B．y1>y3>y2C．y3>y2>y1D．y2>y1>y3提示本题根据二次函数图象在对称轴两边的增减性解题，要注意所有点必须先放在对称轴同一侧，然后进行比较．【反馈练习】1．抛物线y＝－2x2＋1的对称轴是 ( )A．直线y＝12B．直线x＝－12C．y轴D．直线x＝22．已知二次函数y＝2(x－3)2＋1，下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝－3；③其图象的顶点坐标为（3，－1）；④当x<3时，y随x的增大而减小．其中说法正确的有 ( )A．1个B．2个C．3个D．4个3．抛物线y＝(x＋2)2－3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是 ( ) A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位4．（2012．上海）将抛物线y＝x2＋x向下平移2个单位．所得新抛物线的解析式是________．5．已知点A(x1，y1)、B（x2，y2）在二次函数y＝（x－1)2＋1的图象上，若x1>x2>1，则y1_______y2．6．已知二次函数y＝－12x2－x＋32．(1)在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；(2)根据图象，写出当y<0时，x的取值范围；(3)若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．。
人教版九年级上册数学课件 第二十二章 二次函数 第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质 (2)
y＝ 3x－3， 析式为 y＝ 3 x－3.联立直线 DC 与抛物线的解析式可得y＝13x2－3， 解得
x1＝0， y1＝－3，
yx22＝＝63，3，
所以 M1(3
3 ，6)；
②如图，若点 M2 在点 B 下方，设 M2C 交 x 轴于点 E，易得∠OEC＝45 °－15°＝30°，易得 OE＝3 3 .
15．(10分)(云南中考)已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称 轴是y轴，并且与x轴有两个交点．
(1)求k的值； (2)若点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且P到y轴的距离是2，求点P 的坐标． 解：(1)∵抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，∴k2＋k－6＝0， 解得k1＝－3，k2＝2，又∵抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k与x轴有两个交点， ∴3k＜0，∴k＝－3 (2)∵点P在抛物线y＝x2－9上，且P到y轴的距离是2，∴点P的横坐标为2或 －2，当x＝2时，y＝－5，当x＝－2时，y＝－5.∴P(2，－5)或P(－2，－5)
(1)求m的值； (2)求函数y＝ax2＋b(a≠0)的解析式； (3)抛物线上是否存在点M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出点M的坐 标；若不存在，请说明理由．
解：(1)将(0，－3)代入y＝x＋m，可得m＝－3
(2)将 y＝0 代入 y＝x－3 得 x＝3，所以点 B 的坐标为(3，0).
将(0，－3)，(3，0)代入
人教版
第二十二章 二次函数
22．1 二次函数的图象和性质
22．1.3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 第1课时 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
1．(3分)抛物线y＝x2＋1的图象大致是( C )
人教版九上数学教学课件 第二十二章 二次函数 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
答：这个喷水池的直径 AB 是 20 m。
Thank you!
y
hO k
x
y=ax2
y=a(x-h)2+k
例4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管， 在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池 中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离 池中心3m，水管应多长.
解：如图,以水管与地面交点为原点，原点
3
与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直
随堂测试
基础巩固 1.抛物线y＝(x＋2)2－1可以由抛物线y＝x2平移得到，下列平 移方法中正确的是( B ) A．先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度
3 4 m 处达到最高，高度为 6 m，之后落在水池边缘，求这个喷水池的直径 AB 的值．
解：设 y 轴右侧抛物线的解析式为 y＝a(x－4)2＋6，将(0，10 )代入得 3
16a＋6＝10 ，解得 a＝－1 ，∴抛物线的解析式为 y＝－1 (x－4)2＋6，令 y
3
6
6
＝0 得－1 6
(x－4)2＋6＝0，x1＝10，x2＝－2(舍) ∴AB＝10－(－10)＝20(m).
R·九年级上册
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图像和性质 22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
新课导入
问题：说说抛物线y=ax2的平移规律.
y=ax2
y=ax2+k
2020 最新中考数学复习 第12讲第1课时 二次函数的图象与性质
第12讲 二次函数第1课时 二次函数的图象与性质知识点1 二次函数的概念1．关于x 的函数y ＝(m ＋1)x 2＋(m －1)x ＋m ，当m ＝0时，它是二次函数；当m ＝－1时，它是一次函数．知识点2 二次函数的图象与性质2．已知h 与t 的函数关系式为h ＝12gt 2(g 为常数，t 为时间)，则函数图象为(A )3．抛物线y ＝12x 2，y ＝x 2，y ＝－x 2的共同性质是：①都是开口向上；②都以(0，0)为顶点；③都以y 轴为对称轴；④都关于x 轴对称．其中正确的个数有(B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，抛物线顶点坐标是P(1，3)，则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是(C )A ．x ＞3B ．x ＜3C ．x ＞1D ．x ＜15．二次函数y ＝x 2－2x －3的最小值是－4．知识点3 二次函数图象的平移6．抛物线y ＝(x ＋2)2－3由抛物线y ＝x 2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到．7．将抛物线y ＝2(x －1)2＋2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，那么得到的抛物线的表达式为y ＝2(x ＋2)2－2．知识点4 确定二次函数的解析式8．已知二次函数的图象如图，则其解析式为(B)A．y＝x2－2x＋3B．y＝x2－2x－3C．y＝x2＋2x－3D．y＝x2＋2x＋39．若抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则抛物线的函数关系式为y＝－x2＋4x－3．知识点5二次函数与方程、不等式10．抛物线y＝x2＋2x＋m－1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是(A)A．m＜2 B．m＞2C．0＜m≤2 D．m＜－211．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是(A)A．－1＜x＜3B．x＞3C．x＜－1D．x＞3或x＜－1重难点1二次函数的图象和性质(2017·枣庄)已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是(D)A．当a＝1时，函数图象经过点(－1，1)B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＜0，函数图象的顶点始终在x轴的下方D．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大【思路点拨】(1)将a＝1代入原函数解析式，令x＝－1求出y值，由此得出A选项不符合题意；(2)将a＝2代入原函数解析式，令y＝0，根据根的判别式Δ＝8＞0，可得出当a＝－2时，函数图象与x轴有两个不同的交点，即B选项不符合题意；(3)利用配方法找出二次函数图象的顶点坐标，令其纵坐标小于零，可得出a的取值范围，由此可得出C选项不符合题意；(4)利用配方法找出二次函数图象的对称轴，结合二次函数的性质，即可得出D选项符合题意．【变式训练1】(2016·兰州)点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(D)A．y3>y2>y1B．y3>y1＝y2C．y1>y2>y3D．y1＝y2>y3【变式训练2】(2017·泰安)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：x －1 0 1 3y －3 1 3 1下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x ＝1；③当x<1时，函数值y 随x 的增大而增大；④方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根大于4.其中正确的结论有(B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个,方法指导解决二次函数图象和性质相关题，首先需明确二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标等与解析式中相关字母的关系，若确定解析式，也可通过将解析式配方，得出函数的对称轴，顶点坐标，函数图象与坐标轴的交点等，从而画出函数大致图象，再利用数形结合思想解题．方法指导比较抛物线上点的纵坐标大小的基本方法有以下三种：(1)利用抛物线上对称点的纵坐标相等，把各点转化到对称轴的同侧，再利用二次函数的增减性进行比较； (2)当已知抛物线的解析式及相应点的横坐标时，可先求出相应点的纵坐标，然后比较大小；(3)利用“开口向上，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越小，开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越大”比较大小．重难点2 同一坐标系中的函数图象共存问题(2016·毕节)一次函数y ＝ax ＋c(a ≠0)与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)在同一个坐标系中的图象可能是(D )【变式训练3】 函数y ＝kx与y ＝－kx 2＋k(k ≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是(B )方法指导解决函数图象共存问题主要有以下三种方法：(1)排除法：根据已知条件中得出的结论直接排除某选项，如：本例由已知条件可知两个函数的常数项都是c ，说明两个函数图象与y 轴交于同一个点，所以排除A 选项；(2)同一法：一般可以先假定其中一种函数的图象(如：一次函数，反比例函数)，再根据函数图象得到该函数解析式中字母的范围，去判断另一个函数图象是否正确．如：本例B 选项，若一次函数图象正确，则a<0，c<0，这与抛物线开口向上相矛盾．故B 选项错误．重难点3 二次函数图象与字母系数的关系(2016·随州)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的部分图象如图所示，图象过点(－1，0)，对称轴为直线x＝2，下列结论：(1)4a ＋b ＝0；(2)9a ＋c>3b ；(3)8a ＋7b ＋2c>0；(4)若点A(－3，y 1)，点B(－12，y 2)、点C(72，y 3)在该函数图象上，则y 1<y 3<y 2；(5)若方程a(x ＋1)(x －5)＝－3的两根为x 1和x 2，且x 1<x 2，则x 1<－1<5<x 2.其中正确的结论有(B )A．2个B．3个C．4个D．5个【思路点拨】(1)利用对称轴公式判别；(2)观察形式发现当x＝－3时，y＝9a－3b＋c＜0，可得9a＋c＜3b；(3)根据对称轴为x＝2，得b＝－4a，则8a＋7b＋2c＝－20a＋2c，由a＜0，c>0，可得－20a＋2c>0；(4)抛物线的开口向下，距离对称轴越远，纵坐标越小；(5)方程a(x＋1)(x－5)＝－3的两根x1和x2为直线y＝－3与抛物线y＝a(x ＋1)(x－5)的两个交点的横坐标，这两个交点在抛物线y＝a(x＋1)(x－5)与x轴两交点的两侧，因此x1<－1<5<x2.【变式训练4】(2017·荆门)在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的大致图象如图所示，则下列结论正确的是(D)A．a<0，b<0，c>0B．－b2a＝1C．a＋b＋c<0D．关于x的方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根变式训练4图变式训练5图【变式训练5】(2017·广安)如图所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B(－1，3)，与x轴的交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，以下结论：①b2－4ac＝0；②a＋b＋c>0；③2a－b＝0；④c－a＝3，其中正确的有(B)A．1个B．2个C．3个D．4个方法指导解答二次函数的图象信息问题，通常先抓住抛物线的对称轴和顶点坐标，再依据图象与字母系数之间的关系求解．常考的一些式子的判断方法如下：(1)判断2a＋b与0的关系，需比较对称轴与1的大小；判断2a－b与0的关系，需比较对称轴与－1的大小；(2)判断a＋b＋c与0的关系，需看x＝1时的纵坐标，即比较x＝1时函数值与0的大小；判断a－b＋c与0的关系，需看x＝－1时的纵坐标，即比较x＝－1时函数值与0的大小；(3)判断4a＋2b＋c与0的关系，需看x＝2时的纵坐标，即比较x＝2时函数值与0的大小；判断4a－2b＋c与0的关系，需看x＝－2时的纵坐标，即比较x＝－2时函数值与0的大小．1．(人教九上教材P37练习的变式题)(2017·长沙)抛物线y＝2(x－3)2＋4的顶点坐标是(A)A．(3，4) B．(－3，4)C．(3，－4) D．(2，4)。
初中九年级数学上册《第二十二章 二次函数》大单元整体课时教学设计
初中九年级数学上册《第二十二章二次函数》大单元跨学科教学课时教学设计[2022课标]一、教学目标1.会用数学的眼光观察现实世界：通过本章《第二十二章二次函数》的学习，学生能够运用二次函数的知识观察体育与物理现象中的运动轨迹和变化规律，如铅球投掷的抛物线轨迹、竖直上抛运动中小球的高度变化等，从而发现数学与现实生活及学科的紧密联系。
2.会用数学的思维思考现实世界：学生能够运用二次函数的性质（如开口方向、顶点坐标、对称轴等）和解析式，分析体育和物理问题中的量化关系，如通过调整参数来优化运动效果或模拟实验现象，培养逻辑思维和问题解决能力。
3.会用数学的语言表达现实世界：学生能够将体育和物理中的问题抽象成二次函数模型，建立相应的数学表达式，并通过计算、推导和论证，用准确的数学语言描述和解释这些现象，最终得出科学结论。
二、教学内容分析本章主要探讨二次函数的定义、图象、性质以及应用，是初中数学知识体系中的重要组成部分。
从学科内部来看，二次函数的学习是在一次函数基础上的深化和拓展，通过本章的学习，学生能够理解并掌握二次函数的基本概念、图象特征以及增减性，为后续学习一元二次方程、二次不等式等内容打下坚实基础。
从跨学科角度来看，二次函数在体育、物理等领域有着广泛的应用。
在体育项目中，如投掷、跳跃等，运动员的运动轨迹往往可以抽象为二次函数图象，通过二次函数的解析式可以精确描述运动员的运动状态，为训练提供科学依据。
在物理学中，二次函数模型被广泛应用于描述抛体运动、振动等自然现象，有助于学生理解自然界中复杂运动的本质规律。
在本章的教学过程中，教师应注重引导学生将二次函数知识与实际问题相结合，通过跨学科的教学活动，激发学生的学习兴趣，培养学生的应用意识和实践能力。
结合体育、物理等学科的实例，让学生深刻体会到数学知识在解决实际问题中的重要作用，提升数学学习的价值和意义。
三、教学重点1.理解并掌握二次函数的定义、图像及基本性质。
初中数学人教九年级上册(2023年新编)第二十二章 二次函数二次函数y3
第2课时 二次函数y ＝a(x －h)2的图象和性质01 教学目标1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y ＝a(x －h)2的图象． 2．能正确说出y ＝a(x －h)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 3．掌握抛物线y ＝a(x －h)2的平移规律． 02 教学重点、难点：重点： 二次函数y ＝a(x －h)2的图象和性质难点：把抛物线y ＝ax 2通过平移后得到抛物线y ＝a(x －h)2确定平移的方向和距离。
03 预习反馈阅读教材P 33～35，自学“探究”和两个“思考”，掌握y ＝a(x －h)2与y ＝ax 2之间的关系，理解并掌握y ＝a(x －h)2的相关性质，完成下列内容．1．抛物线y ＝ax 2向左平移h 个单位长度得抛物线y ＝a(x ＋h)2(h>0)，抛物线y ＝ax 2向右平移h 个单位长度得抛物线y ＝a(x －h)2(h>0)．【点拨】 注意y ＝a(x －h)2中h 常表示非负数．2．抛物线y ＝a(x －h)2的顶点坐标为(h ，0)，对称轴为直线x ＝h__．3．抛物线y ＝－12(x －1)2的开口向下__，顶点坐标是(1，0)，对称轴是直线__x ＝1，通过向左平移1个单位长度后，得到抛物线y ＝－12x 2.4．画出二次函数y ＝－2(x －1)2的图象，观察图象后填空：当x<1时，y 随x 的增大而增大；当x>1时，y 随x 的增大而减小．04 例1 (教材P33探究)在同一直角坐标系中，画出二次函数y ＝－12(x ＋1)2，y ＝－12(x －1)2的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点．【解答】 先分别列表：x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 … y ＝－12(x ＋1)2…－－2－－－2－…x … －2 －1 0 1 2 3 4 … y ＝－12(x －1)2…－－2－－－2－…然后描点、连线，得二次函数y ＝－12(x ＋1)2，y ＝－12(x －1)2的图象，如图．由图象可以看出，抛物线y ＝－12(x ＋1)2的开口向下，对称轴是经过点(－1，0)且与x 轴垂直的直线，把它记作直线x ＝－1，顶点是(－1，0)；抛物线y ＝－12(x －1)2的开口向下，对称轴是直线x ＝1，顶点是(1，0)．思考：例1中两条抛物线y ＝－12(x ＋1)2，y ＝－12(x －1)2与抛物线y ＝－12x 2有什么关系？【点拨】 观察图象移动过程，要特别注意特殊点(如顶点)的移动情况． 思考：抛物线y ＝a (x －h )2与抛物线y ＝ax 2有什么关系？ 总结：y ＝ax 2――→当h >0时，向右平移|h |个单位长度当h <0时，向左平移|h |个单位长度y ＝a (x －h )2【跟踪训练1】 (《名校课堂》第2课时习题，教材P35练习的变式)在同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝x 2，y ＝(x ＋2)2，y ＝(x －2)2的图象，并写出对称轴及顶点坐标．解：图象如图：抛物线y ＝x 2的对称轴是直线x ＝0，顶点坐标为(0，0)．抛物线y ＝(x ＋2)2的对称轴是直线x ＝－2，顶点坐标为(－2，0)． 抛物线y ＝(x －2)2的对称轴是直线x ＝2，顶点坐标为(2，0)．例2 (补充例题)在直角坐标系中画出函数y ＝12(x ＋3)2的图象．(1)指出函数图象的对称轴和顶点坐标；(2)根据图象回答：当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？ (3)怎样平移函数y ＝12x 2的图象得到函数y ＝12(x ＋3)2的图象？【解答】 (1)如图所示，函数图象的对称轴是直线x ＝－3，顶点坐标为(－3，0)． (2)当x <－3时，y 随x 的增大而减小；当x >－3时，y 随x 的增大而增大．(3)将函数y ＝12x 2的图象沿x 轴向左平移3个单位长度得到函数y ＝12(x ＋3)2的图象．【点拨】 二次函数的增减性以对称轴为分界，画图象取点时以顶点为分界对称取点．【跟踪训练2】 将抛物线y ＝－23(x －4)2向左平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为y ＝－23(x －2)2，新抛物线的开口方向向下，对称轴为x ＝2__，顶点为(2，0)__，为抛物线的最__高__点；当x__<2__时，y随x 的增大而增大，当x>2时，y 随x 的增大而减小. 05 巩固训练1．若抛物线y ＝a(x －h)2的顶点是(－3，0)，且它是由抛物线y ＝－2x 2通过平移而得到的，则a ＝－2，h ＝－3．2．指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标： (1)y ＝2(x －3)2－5；(2)y ＝－(x ＋1)2；(3)y ＝－34x 2－1；(4)y ＝2(x －2)2＋5.解：(1)开口向上，对称轴是直线x ＝3，顶点坐标(3，－5)． (2)开口向下，对称轴是直线x ＝－1，顶点坐标(－1，0)． (3)开口向下，对称轴是y 轴，顶点坐标(0，－1)(4)开口向上，对称轴是直线x ＝2，顶点坐标(2，5)．3．不画图象，回答下列问题．(1)函数y ＝2(x ＋1)2的图象可以看成是由函数y ＝2x 2的图象作怎样的平移得到的？ (2)说出函数y ＝2(x ＋1)2的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标； (3)函数y ＝2(x ＋1)2有哪些性质？(4)若将函数y ＝2(x ＋1)2的图象向左平移3个单位长度得到哪个函数图象？ 解：(1)向左平移1个单位长度．(2)开口向上，对称轴是直线x ＝－1，顶点坐标为(－1，0)．(3)当x>－1时，y 随x 的增大而增大；当x<－1时，y 随x 的增大而减小． (4)y ＝2(x ＋4)2. 06 课堂小结1．抛物线y ＝ax 2与y ＝ax 2＋c 和抛物线y ＝ax 2与y ＝a(x －h)2有哪些共同点，又有哪些不同点？ 2．将抛物线y ＝ax 2上下平移与左右平移所得到的表达式在形式上有何区别？。
九年级数学下册 12 二次函数yax h2的图象与性质(第3课时)教案 (新版)湘教版 教案
第3课时二次函数y=a(x-h)2的图象与性质【知识与技能】1.能够画出y=a(x-h)2的图象，并能够理解它与y=ax2的图象的关系，理解a,h对二次函数图象的影响.2.能正确说出y=a(x-h)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.【过程与方法】经历探索二次函数y=a(x-h)2的图象的作法和性质的过程，进一步领会数形结合的思想. 【情感态度】1.在小组活动中体会合作与交流的重要性.2.进一步丰富数学学习的成功体验,认识到数学是解决实际问题的重要工具,初步形成积极参与数学活动的意识.【教学重点】掌握y=a(x-h)2的图象及性质.【教学难点】理解y=a(x-h)2与y=ax2图象之间的位置关系，理解a,h对二次函数图象的影响.一、情境导入，初步认识1.在同一坐标系中画出y=12x2与y=12(x-1)2的图象，完成下表.2.二次函数y=12(x-1)2的图象与y=12x2的图象有什么关系？12(x-1)2,当x取何值时，y的值随x值的增大而增大？当x取何值时，y的值随x值的增大而减小?二、思考探究，获取新知归纳二次函数y=a(x-h)2的图象与性质并完成下表.三、典例精析，掌握新知例1 教材P12例3.【教学说明】二次函数y=ax2与y=a(x-h)2是有关系的，即左、右平移时“左加右减”. 例如y=ax2向左平移1个单位得到y=a(x+1)2,y=ax2向右平移2个单位得到y=a(x-2)2的图象. 例2 已知直线y=x+1与x轴交于点A，抛物线y=-2x2平移后的顶点与点A重合.①水平移后的抛物线l的解析式；②若点B（x1,y1),C(x2,y2)在抛物线l上，且-12＜x1＜x2，试比较y1,y2的大小.解:①∵y=x+1,∴令y=0，则x=-1,∴A（-1,0)，即抛物线l的顶点坐标为（-1，0），又∵抛物线l是由抛物线y=-2x2平移得到的，∴抛物线l的解析式为y=-2(x+1)2.②由①可知，抛物线l的对称轴为x=-1,∵a=-2＜0,∴当x＞-1时，y随x的增大而减小，又-12＜x1＜x2,∴y1＞y2.【教学说明】二次函数的增减性以对称轴为分界，画图象取点时以顶点为分界对称取点.四、运用新知，深化理解1.二次函数y=15(x-1)2的最小值是（）2.抛物线y=-3(x+1)2不经过的象限是（）A.第一、二象限B.第二、四象限C.第三、四象限D.第二、三象限3.在反比例函数y=kx中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数y=k(x-1)2的图象大致是（）4.（1）抛物线y=13x2向平移个单位得抛物线y=13(x+1)2;(2)抛物线向右平移2个单位得抛物线y=-2(x-2)2.5.（某某某某中考）已知抛物线y=a(x-h)2的对称轴为x=-2,且过点（1，-3）.(1)求抛物线的解析式;(2)画出函数的大致图象;(3)从图象上观察,当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，函数有最大值（或最小值）？【教学说明】学生自主完成，教师巡视解疑.【答案】1.C 2.A 3.B 4.(1)左,1 (2)y=-2x25.解：(1)y=-13(x+2)2 (2)略（3）当x＜-2时，y随x增大而增大；当x=-2时，y有最大值0.五、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?2.在学生回答的基础上,教师点评:(1)y=a(x-h)2的图象与性质；（2）y=a(x-h)2与y=ax2的图象的关系.12第1、2题.2.完成同步练习册中本课时的练习.通过本节学习使学生认识到y=a(x-h)2的图象是由y=ax2的图象左右平移得到的，初步认识到a,h对y=a(x-h)2位置的影响，a的符号决定抛物线方向，|a|决定抛物线开口的大小，h 决定向左右平移；从中领会数形结合的数学思想.。
第十二课时二次函数(一)
已知点A（-3，y1）、B（-1，y2)、C（2，y3）都在抛物线y=a(x-1)2+c(a
＜0）上，则y1、y2、y3的大小关系是
（用＜连接）
在下列函数图象上任取不同两点 P1（x1，y1）、P2（x2，y2），一定能使
＜0 成立的是
（） A．y＝3x﹣1（x＜0） C．y＝﹣ （x＞0）
B．y＝﹣x2+2x﹣1（x＞0） D．y＝x2﹣4x﹣1（x＜0）
(2019·温州中考)已知二次函数y＝x2－4x＋2，关于该函数在－1≤x≤3的取
值范围内，下列说法正确的是(
)
A. 有最大值－1，有最小值－2 B. 有最大值0，有最小值－1
C. 有最大值7，有最小值－1
D. 有最大值7，有最小值－2
知识点4 二次函数图象的平移
1. 二次函数一般式平移：
平移前的 解析式
第12课时 二次函数的图象和性 质(一)
课时目标
1. 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义． 2. 会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质． 3. 会用配方法将二次函数的解析式化为y＝a(x－h)2＋k的形式，并能由此得到 二次函数图象的顶点坐标，知道图象的开口方向，会画出图象的对称轴，知道 二次函数的增减性，并掌握二次函数图象的平移规律.
考点六 二次函数与几何的综合运用 例6 (2019·玉林中考改编)已知抛物线C：y＝12(x－1)2－1，顶点为D，将C沿水平
方向向右(或向左)平移m个单位长度，得到抛物线C1，顶点为D1，C与C1相交 于点Q.若∠DQD1＝60°，求m的值．
[方法归纳] 本题是抛物线的平移、中点坐标公式、等边三角形的判定、平面直角坐标系中 两点间距离公式的综合运用，用含m的代数式表示出点D，D1，Q的坐标是解题的关键．