第四章 3 岩石的蠕变
岩石材料的蠕变实验及本构模型研究
岩石材料的蠕变实验及本构模型研究蠕变是指材料在一定温度和应力条件下，随着时间的推移发生的持续变形。
在地质和工程领域，岩石是一种典型的蠕变材料。
岩石的蠕变行为对工程结构的长期稳定性和可靠性具有重要影响。
因此，对岩石材料的蠕变实验及本构模型研究具有重要的理论和实际意义。
岩石材料的蠕变实验主要分为应力松弛实验和恒定应力蠕变实验两种。
应力松弛实验是通过对材料施加一定的应力后，观察材料的应力随时间的变化，以及应变随时间的变化。
这种实验常常用来研究岩石材料的蠕变速率和蠕变变形的领导指数。
恒定应力蠕变实验则是在一定的应力水平下，观察材料的应变随时间的变化，并且通过实验数据拟合来得到本构模型。
岩石材料的蠕变行为可以通过多种本构模型来描述，其中最常用的是Norton、Burgers、Power-law以及Generalized Kelvin-Voigt模型。
这些模型可以通过实验数据进行参数拟合，从而得到对应的本构关系。
这些本构关系可以用来预测岩石材料在不同应力和温度下的蠕变行为。
此外，还可以通过拟合这些本构模型的参数，来研究岩石材料的蠕变机制。
研究表明，岩石材料的蠕变行为是由多种因素共同影响的，包括温度、应力水平、孔隙水压力、孔隙率等。
因此，在进行蠕变实验时，需要对这些因素进行控制和监测，以保证实验数据的可靠性。
同时，还需要考虑到实际工程环境中的应力和温度条件，从而得到更准确的本构关系。
总之，岩石材料的蠕变实验及本构模型研究对于预测岩石在地下工程中的蠕变行为具有重要的理论和实际意义。
通过研究岩石材料的蠕变行为及其本构关系，可以为地质和工程领域提供重要的科学依据，从而保证工程结构的长期稳定性和可靠性。
岩石材料的蠕变实验及本构模型研究
岩石材料的蠕变实验及本构模型研究引言：岩石是地球上最基础的构造材料之一，其性质的研究对于地质科学以及岩土工程领域具有重要意义。
岩石在地壳中扮演着起支撑与保护作用，因此了解岩石的变形行为以及蠕变性质对于地质灾害的预测与评估具有重要的指导意义。
本文将就岩石材料的蠕变实验及本构模型研究进行详细阐述。
一、岩石材料的蠕变实验蠕变是指物质在长时间内受到持续应力下的变形现象。
岩石材料由于具有多种类型的孔隙和裂隙，因此其蠕变行为比一般材料更为复杂。
蠕变实验是研究岩石材料蠕变性质的主要手段之一，其目的是了解岩石在不同应力、不同温度和不同时间下的蠕变特性。
1.实验设备蠕变实验一般需要使用蠕变试验机，该仪器能够提供连续加载并测量样品的应力和应变，同时控制温度。
实验所需的试样通常需要根据具体需要制备。
此外，还需要一些测量设备，如蠕变计和应变测量仪等。
2.实验过程蠕变实验的过程包括准备试样、加载试样、施加应力、保持应力和测量应变等步骤。
首先，需要根据实验要求制备符合标准的试样。
然后，将试样放置在蠕变试验机上，施加适当的负载并开始加载。
在加载过程中，需要保持恒定的应力并测量试样的应变，常用的应变测量方法有外部应变计和内部传感器等。
最后，根据实验结果绘制蠕变曲线，分析蠕变行为。
本构模型是描述材料力学性质的数学模型，通过建立岩石材料的本构模型，可以预测岩石的变形行为并进行力学仿真研究。
目前常用的岩石本构模型有线性弹性模型、弹塑性模型和粘弹性模型等。
1.线性弹性模型线性弹性模型是最简单的本构模型，它假设岩石材料的应力应变关系是线性的，即满足胡克定律。
这种模型适用于小应变范围内的岩石变形，但无法描述岩石的时间依赖性和非线性特性。
2.弹塑性模型弹塑性模型考虑了岩石在加载时的弹性变形和塑性变形，常用的模型有Mohr-Coulomb模型、Drucker-Prager模型等。
这些模型能够更准确地描述岩石的变形行为，但在蠕变时间很长的情况下，塑性本构模型可能会失效。
岩石蠕变的变形机制及其地质意义
岩石蠕变的变形机制及其地质意义岩石是地壳的主要组成部分，它们在地壳运动中起着重要的作用。
岩石的变形是地质活动的重要表现形式之一，而岩石蠕变则是岩石变形的一种重要机制。
本文将探讨岩石蠕变的变形机制及其在地质研究中的意义。
一、岩石蠕变的概念和表现形式岩石蠕变是指岩石在长期作用下出现持续缓慢变形的现象。
蠕变是一种时间依赖性的现象，其发生需要较长的时间。
岩石蠕变的主要表现形式有蠕变流动、蠕变滑动和蠕变脆性破裂等。
二、岩石蠕变的机制1. 组分改变岩石蠕变过程中，岩石的成分会发生改变。
矿物的晶体结构可能发生变化，新的矿物相形成。
不同的成分改变对蠕变的机制有着重要的影响。
2. 晶体结构变化岩石蠕变过程中晶体结构会发生变化，主要是晶界运动和晶粒内的位错运动。
晶界运动是指晶界的移动和重构，而位错运动是指晶粒内部位错的滑移和传播。
3. 矿物形态变化岩石蠕变过程中，矿物的形态和组织可能会发生变化。
有些矿物会发生晶界迁移和重构，形成新的结构。
这些变化会导致岩石整体的形态和结构发生变化。
三、岩石蠕变的意义岩石蠕变在地质研究中具有重要的意义。
1. 岩石蠕变是地震活动的重要前兆之一岩石蠕变的发生会伴随着能量的积累，当岩石受到足够的应力时，就会引发地震活动。
因此，研究岩石蠕变有助于预测地震的发生，为地震灾害的防范提供科学依据。
2. 岩石蠕变对巨型工程建设有重要影响岩石蠕变的发生会导致岩石的变形和破裂，对于巨型工程建设如水坝、隧道等有着重要的影响。
因此，在工程建设中对岩石蠕变进行充分的研究和评估，对保证工程安全具有重要意义。
3. 岩石蠕变对地质资源的勘查和开发有指导意义岩石蠕变对地质矿产资源的分布和形成有重要影响。
研究岩石蠕变可以了解地壳中不同岩石中矿物形态和组织的变化规律，为地质资源的勘查和开发提供科学依据。
4. 岩石蠕变对地形变的影响岩石蠕变是地壳运动的重要表现形式之一，它对地形变化有重要的影响。
通过研究岩石蠕变，可以了解地壳的变形规律，对地质灾害的预测和防范具有重要意义。
4.8 岩石的蠕变
弹性后效概念：
加载或卸载时，弹性应变滞后于应力的现象。
2. 影响蠕变的因素 岩性 应力 温度、湿度
长期强度概念：时间→∞的强度(σ∞)
/瞬时强度（σc ） σ∞/ σc ： 一般岩石为 0.4-0.8 中、软岩为 0.4-0.6 硬岩为 0.7-0.8
应力
时间
3. 蠕变模型及本构方程
（1）理想物体基本模型
4.8
岩石的蠕变
γ
2
蠕变模型
τ
（1）马克斯威尔(Maxwell)模型： 这种模型是用弹性单元和
γ
η
γ
粘性单元串联而成，见图4-11(a)。
当剪应力骤然施加并保持为常量时， τ 变形以常速率不断发展。这个模型用 两个常数G和来描述。
τ
b
γ
a b
a b
η
τ
η 1 图4-11 线性粘弹性模型及其蠕变曲线 c
弹性元件（弹簧）
粘性元件（阻尼器）
E
，如 G
塑性元件（摩擦片）
0 t
s时，＝0
s时，
4.8
岩石的蠕变
2 蠕变模型
2)粘性模型
或称粘性单元
这种模型完全服从牛顿粘性定律，它表示应力与 应变速率成比例，例如剪应力与剪应变速率的关系 为：
6
图3 试件P3剪切位移与剪切时间的关系曲
试件分别在0.3Mp、0.35Mp、0.45Mp剪切应力作用 下，剪切位移与剪切时间关系曲线发生转折点，由等 速蠕变转变为加速蠕变。因此，试件P1、P2、P3的长 期剪切蠕变强度分别为0.3Mp、0.35Mp、0.45Mp。
根据法向应力和对应的长期剪切蠕变强度的关系曲 线求出长期抗剪强度参数为71.2Kpa，为20.8。
岩石蠕变性能和徐变性能测试方法与分析
岩石蠕变性能和徐变性能测试方法与分析岩石是地壳中的基本构造材料，其性能对于地下工程的设计和施工起着至关重要的作用。
岩石的蠕变性能和徐变性能是研究岩石长期稳定性和变形特性的重要指标。
本文将对岩石蠕变性能和徐变性能的测试方法和分析进行介绍和探讨。
一、岩石蠕变性能的测试方法与分析1. 岩石蠕变性能的定义及重要性岩石蠕变性是指在恒定的应力条件下，岩石随时间的延续而发生的不可逆性变形。
蠕变性能是岩石长期稳定性的重要指标之一，对于地下工程的安全运营和设计起着至关重要的作用。
2. 岩石蠕变性能的测试方法（1）直接剪切试验法：通过对岩石样品施加恒定剪切应力，观察岩石的剪切应变随时间的变化，以评估岩石的蠕变性能。
（2）恒定应力压缩试验法：通过施加恒定应力对岩石样品进行压缩，观察岩石的应变随时间的变化，以评估岩石的蠕变性能。
（3）恒定应力拉伸试验法：通过施加恒定应力对岩石样品进行拉伸，观察岩石的应变随时间的变化，以评估岩石的蠕变性能。
3. 岩石蠕变性能的分析方法（1）蠕变曲线分析：根据岩石蠕变性能测试获得的实验数据，构建蠕变曲线，分析曲线的特征，如蠕变速率、蠕变应变等，以评估岩石的蠕变性能。
（2）蠕变模型分析：将蠕变性能的实验数据输入到合适的蠕变模型中，通过模型仿真分析，得到岩石的蠕变特性和变形规律，以评估岩石的蠕变性能。
二、岩石徐变性能的测试方法与分析1. 岩石徐变性能的定义及重要性岩石徐变性是指在恒定应力条件下，岩石随时间的延续而发生的可逆性变形。
徐变性能是评估岩石短期变形特性和应力松弛程度的指标。
2. 岩石徐变性能的测试方法（1）应力松弛试验法：通过施加恒定应力，观察岩石应变随时间的变化，以评估岩石的徐变性能。
（2）弛豫试验法：通过施加瞬时应力，观察岩石应变随时间的变化，再施加恒定应力，观察应变的进一步变化，以评估岩石的徐变性能。
3. 岩石徐变性能的分析方法（1）弛豫-徐变模型分析：根据弛豫试验与徐变试验的实验数据，将其输入到合适的模型中，通过模型分析得到岩石的徐变特性和变形规律，以评估岩石的徐变性能。
4.8 岩石的蠕变
1.0
0.35
0.4 0.45
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2
剪切位移（mm）
0.1Mpa 0.15Mpa 0.2Mpa 0.25Mpa 0.3Mpa
3 剪切历时t(d)
4
5
6
图1 试件P1剪切位移与剪切时间的关系曲线
9 8 7
剪切位移(mm)
6 5 4 3 2 1 0 0 1 2
弹性元件（弹簧）
粘性元件（阻尼器）
E
，如 G
塑性元件（摩擦片）
0 t
s时，＝0
s时，
4.8
岩石的蠕变
2 蠕变模型
2)粘性模型
或称粘性单元
这种模型完全服从牛顿粘性定律，它表示应力与 应变速率成比例，例如剪应力与剪应变速率的关系 为：
4.8
岩石的蠕变
γ
2
蠕变模型
τ
（1）马克斯威尔(Maxwell)模型： 这种模型是用弹性单元和
γ
η
γ
粘性单元串联而成，见图4-11(a)。
当剪应力骤然施加并保持为常量时， τ 变形以常速率不断发展。这个模型用 两个常数G和来描述。
τ
b
γ
a b
a b
η
τ
η 1 图4-11 线性粘弹性模型及其蠕变曲线 c
0.15Mpa 0.2Mpa 0.25Mpa 0.3Mpa 0.35Mpa
3 剪切历时t(d)
4
5
6
图2
14 12
试件P2剪切位移与剪切时间的关系曲线
0.25Mpa 0.3Mpa 0.35Mpa 0.4Mpa 0.45Mpa
岩石流变理论中的蠕变现象
Ｄａ ｍａ ｇ ｅ Ｍｏ ｄ ｅ ｌ ｆ ｏ ｒ Ｃｏ ｎ ｃ ｒ ｅ ｔ ｅ Ｍａ ｔ ｅ ｒ ｉ ａ ｌ ｓ ： Ｐ ａ ｒ ｔ Ｉ Ｉ －Ｉ ｍｐ ｌ ｅ ｍｅ ｎ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ
．
岩石蠕变现象通常通过蠕变试验 的曲线来 确定。图 １ 所 示 为某岩石进行 岩石 蠕变试验 的岩石蠕 变曲线示 意图。
［ ４ 】李春 旺， 孙 强． 几何相似体 应力一 应 变分布相 同时的载 荷 关 系Ⅱ 】 ． 空军工程大学 学报 （ 自然科 学版） ． ２ ０ １ １ （ ０ ２ ）
ａｎｄＡ ｐｐ１ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏｎ ｔ ｏ Ｃ ｏｎｃｒ ｅ ｔ ｅ ａｎｄ Ｒ ｅｉ ｎｆ ｏｒ ｃ ｅｄ Ｃ ｏｎｃｒ ｅｔ ｅ．
图 １ 石 蠕 变 曲线 示 意 图
Ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｎ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ｌ ａ ｏ ｆ Ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｕ ｒ ｌ ａ Ｃｈ ａ ｎ ｇ ｅ ｓ ｉ ｎ Ｓ ｏ ｌ ｉ ｄ ｓ — — Ｍｅ ｃ ｈ ａ ｎ ｉ ｃ ｓ
中 ，建 筑 的 土 地 基 的 变形 可 延 续 数 十年 之 久 。 地 下 隧道 竣 工 数 十 年 后 ，仍 可 出现 蠕 变 断 裂 。 因此 ， 土 流 变性 能 和 岩 石 流 变 性
能 的研 究 日益 受 到 重视 。
【 关键词 】 岩石 ；蠕 变；流 变理论
蠕变是指材料在恒定载荷作用下 ，变形 随时间而增大的 过程 。蠕变 是 由材料 的分子 和原 子结构 的重新调 整引起 的 ， 这一过程可用延滞时 间来表征 。当卸去 载荷 时 ，材料的变形 部 分地 回复或完全地 回复 到起始状态 ，这就 是结构重新调整 的另一现象 。 材料在 恒定 应变下 ，应力随着时间 的变化而减小至某个 有 限值 ，这一过程称 为应 力松弛。这是材料 的结构重新调整 的另一种现象 。
《岩石力学》期末试卷及答案
《岩石力学》期末试卷及答案姓名 学号 成绩一、 选择题(每题1分,共20分)1. 已知岩样的容重为γ，天然含水量为0w ，比重为s G ，40C 时水的容重为w γ，则该岩样的饱和容重m γ为( A ）A 。
()()w s s G w G γγ++-011 B. ()()w s s G w G γγ+++011 C 。
()()γγ++-s s w G w G 011 D. ()()w s s G w G γγ+--0112。
岩石中细微裂隙的发生和发展结果引起岩石的( A ）A ．脆性破坏B 。
塑性破坏C 。
弱面剪切破坏 D. 拉伸破坏3. 同一种岩石其单轴抗压强度为c R ，单轴抗拉强度t R ，抗剪强度f τ之间一般关系为（ C ）A 。
f c t R R τ<< B. f t c R R τ<< C 。
c f t R R <<τ D 。
t f c R R <<τ4。
岩石的蠕变是指（ D ）A 。
应力不变时，应变也不变；B 。
应力变化时,应变不变化；C. 应力变化时，应变呈线性随之变化;D. 应力不变时应变随时间而增长5。
模量比是指(A ）A ．岩石的单轴抗压强度和它的弹性模量之比B 。
岩石的 弹性模量和它的单轴抗压强度之比C ．岩体的 单轴抗压强度和它的弹性模量之比D ．岩体的 弹性模量和它的单轴抗压强度之比6。
对于均质岩体而言，下面岩体的那种应力状态是稳定状态（ A ） A.ϕϕσσσσsin 23131<++-cctg B.ϕϕσσσσsin 23131>++-cctg C 。
ϕϕσσσσsin 23131=++-cctg D.ϕϕσσσσsin 23131≤++-cctg 7. 用RMR 法对岩体进行分类时，需要首先确定RMR 的初始值,依据是（ D ）A ．完整岩石的声波速度、RQD 值、节理间距、节理状态与地下水状况B. 完整岩石的强度、RQD 值、节理间距、节理状态与不支护自稳时间C. 完整岩石的弹性模量、RQD 值、节理间距、节理状态与地下水状况D. 完整岩石的强度、RQD 值、节理间距、节理状态与地下水状况8。
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. . ... ..五、岩石的蠕变1、 蠕变特征① 岩石蠕变的概念在应力σ不变的情况下，岩石变形随时间t 而增长的现象。
即 dtd ε随时间而变化。
②岩石蠕变类型 有两种类型：稳定型蠕变 非稳定型蠕变. . ... ..a 、 稳定型蠕变应力作用下，随时间递减，零，即0=dtd ε域稳定。
一般在较小应力下或硬岩中。
b 、 非稳定型蠕变：岩石在恒定应力作用下，岩石变形随时间不断增长，直至破坏。
一般为软弱岩石或应力较大。
dt小。
属弹性变形。
Ⅱ阶段：等速蠕变。
应变－时间曲线近似直线，应变随时间呈近于等速增长。
出现塑性。
.. ... . ... ..Ⅲ阶段：加速蠕变。
应变－时间曲线向上弯曲，其应变速率加快直至破坏。
应指出，并非所有的蠕变都能出现等速蠕变阶段，只有蠕变过程中结构的软化和硬化达到动平衡，蠕变速率才能保持不变。
在Ⅰ阶段，如果应力骤降到零，则ε－t 曲线具有PQR 形式，曲线从P 点骤变到Q 点，PQ ＝e ε为瞬时弹性变形，而后随时间慢慢退到应变为零，这时无永久变形，材料仍保持弹性。
在Ⅱ阶段，如果把应力骤降到零，则会出现永久变形，其中TU ＝e ε。
. . ... ..有直接关系。
变速度变化缓慢，稳定。
率增大。
蠕变速率越大，反之愈小。
. . ... ..岩石长期强度：指 岩石由稳定蠕变转为非稳定蠕变时的应力分界值。
即，岩石在长期荷载作用下经蠕变破坏的最小应力值(∞σ或∞τ) 岩石极限长期强度：指长期荷载作用下岩石的强度。
2、 蠕变经验公式由于岩石蠕变包括瞬时弹性变形、初始蠕变、等速蠕变和加速蠕变，则在荷载长期作用下，岩石蠕变的变形ε可用经验公式表示为：ε＝e ε+)(t ε+t M +)(t T εe ε－瞬时变形；)(t ε－初始蠕变；t M －等速蠕变；)(t T ε－加速蠕变。
. . ... ..对于前两个阶段，目前的经验公式主要有三种： ①幂函数取n t A t ⋅=)(ε第一阶段：n e t A ⋅+=εε；第二阶段：)(11t t M t A n e -+⋅+=εε，t ＞1tA、n 是试验常数，其值取决于应力水平、材料特性以及温度条件。
②对数函数：t D t B t e ⋅+⋅+=log εεB 、D 是与应力有关的常数。
. . ... ..③指数函数)](exp 1[t f A -=ε，或 )]ex p(1[n t C B A ⋅--=ε A 为试验常数，)(t f 是时间t 的函数伊文思（Evans ）对花岗岩、砂岩和板岩的研究：n t C t f ⋅-=1)(，C 为试验常数，n=0.4;而哈迪(Hardy)给出经验方程，)]exp(1[Ct A --=ε， A 、C 为试验常数。
. . .3、蠕变理论模型(理论公式)（1）基本模型由于岩石材料具有弹性、刚性、粘性和塑性，目前采用简单的机械模型来模拟材料的某种性状。
将这些简单的机械模型进行不同的组合，就可以得到岩石的不同蠕变方程式，以模拟不同的岩石蠕变。
常用的简单模型有两种：一种是弹性模型，另一种是粘性模型。
.. ... . .① 弹性模型这种模型是线弹性的，这种模型可用刚度为G. . .② 粘性模型或称粘性单元，这种模型完全服从牛顿粘性定律，其应力与应变速率成正比，可表示为：η －粘滞系数(MPa 或2/cm s kg ⋅) 这种模型称为牛顿物质，它可用充满粘性液体的圆筒形容器的有孔活塞(称为缓冲壶)来表示。
. . .③塑性τ＜yτ时无应变；τ≥yτ时，产生应变(塑性)。
.. ... . ... ..④ 刚体. . .（2）组合模型由于大多数岩体都表现出瞬时变形(弹性变形)和随时间而增长的变形(粘性变形)，因此，可以说岩石是粘--弹性的。
将弹性模型和粘性模型用各种不同方式组合，就可以得到不同的蠕变模型。
串联：每个单元模型担负同一总荷载，其应变率之和等于总应变率。
并联：每个单元模型担负的荷载之和等于总荷载，而他们的应变率是相等的。
.. ... . ... ..① 马克斯韦尔(Maxwell)模型这种模型用弹性模型和粘性模型串联而成。
其特征是：当应力骤然施加并保持为常数时，变形以常速率不断发展。
这个模型用两个G 和 描述，. . ... ..由于串联，有：b a τττ== （1-1）且 b a γγγ+= （1-2）则 b a b a dtd dt d dt d γγγγγγ+=+== （1-3） 粘性模型 a a γητ =， 弹性模型 b bG γτ= （1-4）所以由（1-3）（1-5）. . ... ..得微分方程：（1-6）对上式微分方程求解可得到应变—时间关系式。
方程的通解是：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎰+=-t tGt Gdt eG C e0γτηη（1-7） 讨论 a 、对于单轴压缩，在t ＝0时，骤然施加轴向应力1σ(const ==τσ1)方程的解为：. . ... ..（1-8） 初期为瞬间弹性变形，后期为粘性变形。
其中， )21(3μ-=EK 为体积变形模量。
G 刚度系数。
. . ... ..b 、 当const =γ（松弛）：tGeG ηγτ-=0② 伏埃特(Voigt)模型(粘弹性固体)该模型又称凯尔文模型，它是由弹性和粘性模型并联而成。
特点：当骤然应力施加时，应变速率随时间递减，在t 增加到一定值. . ... ..时，应变趋于零。
这个模型用两个常数G 和η描述。
并联：d c τττ+= （2-1）d c γγγ== （2-2） 又 c c γητ = d d G γτ= 代入（2-1）式则（2-3）. . ... ..方程通解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰+==-t tGt G dt e C e1ηητηγ（2-4）对于单轴压缩，t ＝0时施加1σ，并保持不变，则蠕变曲线为：（2-5）在初期，粘性变形为主，后期弹性变形为主，反映了弹性后效现象。
. . ... ..③ 广义马克斯韦尔模型该模型由伏埃特模型与粘性单元串联而成，用三个常数G ，1η，2η述。
增长，－应变分别为：1τ，粘性单元为2τ，2γ. . ... ..因为21τττ== （3-1）由伏埃特模型（2-3）式，并联模型 1111γγητ⋅+⋅=G （3-2） 而粘性模型 22γητ = （3-3）21γγγ+=， （3-4）由（3-2） 11111γηητγG-=（3-5） 由（3-3） 222ητγ= (3-6). . ... ..（3-1）代入（3-5），（3-6），再由（3-4），有：21γγγ += 得2111ητγηητγ+-=G （3-7） 再由 21γγγ += 有 21γγγ +=（3-8） 对（3-5）、（3-6）式求导：121211111111111γητηητγηητηητγηητγG G G G G +-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-= （3-9）. . ... ..22ητγ= （3-10） （3-9）（3-10）代入（3-8）得到：21212211ητγητηητγ ++-=G G （3-11） （3-7）×1ηG+（3-11）得到：（3-12） 轴向应力－应变关系式：. . ... ..（3-13）. . ... ..④ 广义伏埃特模型该模型又伏埃特模型与弹性单元串联而成。
用三个常数1G 、2G 、1η特点：初始有瞬时应变i γ，随最终应变速率趋于零。
. . ... ..设：伏埃特模型应力－应变为1τ，1γ弹性单元应力－应变为2τ，2γ 因为串联，应力满足 21τττ==， 由伏埃特并联模型 τγγητ=⋅+⋅=11111G ，则 11111γητγ G G -=（4-1）又弹性模型 τγτ=⋅=222G ， 则 22G τγ=（4-2）. . ... ..22G τγ=（4-3）对于串联，其变形满足 21γγγ+= (4-4)对时间求导 21γγγ+= （4-5） 代入1γ、2γ 到（4-4） 有：21111G G G τγητγ+-=（4-6）又由（4-5）和（4-3） 221G τγγγγ-=-=. . ... ..将其代入式（4-6）有：τηγηττγηττγ 21111212121121G G G G G G G G G G G +-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+= 最后得：（4-7） 由100G t τγ==，则通解：02112111)(τγη⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=-t G e G G t （4-8）轴向应力－应变关系式(即在t ＝0时，施加轴向应力1σ保持不变). . ... ..（4-9）. . ... ..⑤鲍格斯(Burgers)模型该模型由伏埃特模型与马克斯韦尔模型串联而成（复合粘弹性模型），用四个常数1G 、2G 、1η、2η来描述。
增长，最后趋于不变速率增长。
. . ... ..设:伏埃特并联模型的应力应变为：1τ，1γ 马克斯韦尔串联模型的应力应变为：2τ，2γ由于两个模型为串联，总应变满足 21γγγ+= (5-1) 应力满足 21τττ== （5-2）由伏埃特的并联模型 τγγητ=+=1111G 有 11111γητγ G G -=（5-3）由马克斯韦尔的串联模型 2222222G G τηττητγ+=+= （5-4）. . ... ..由（5-1） 21γγγ-= 再求导 21γγγ -= （5-5）21γγγ -= （5-6） 由（5-3），对时间求导， 11111γητγG G -=（5-7） 由（5-4），对时间求导 222G τητγ+= （5-8） （5-8）代入（5-6）有：（5-9） （5-4）代入（5-5）有： 221G τητγγ --= （5-10）. . ... ..（5-9）、（5-10）代入（5-7）：τητηηγηττητγηττητγ 2112111112211122G G G G G G G G G ++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=--（5-11） 由于21γγγ+=，则利用已求得的伏埃特和马克斯韦尔得轴向应变解，可得鲍格斯的轴向应变关系为：（5-12）. . ... ... . ... ..4、粘弹性常数η和G 的测定（1）室测定从鲍格斯模型的公式中知，待求参数为：K 、G 1、G 2、1η、2η。
根据岩石长期单轴压缩试验，可得到)(1t ε曲线。
. . ... ..如果该曲线满足鲍格斯方程：t e G G G K t t G 21)/(11112111333392)(11ησσσσσεη+-++=⋅- 讨论：a) 体积模量假设与时间无关，根据测定的轴向应变1ε和侧向应变3ε来计算。
因为313212εεεεεε+=++=∆=V Vv 132131)(31σσσσσ=++=m. . ... ..所以，)2(3311εεσεσ+==v m K 对于分级荷载取1σ＝△1σb) 当t ＝0时，曲线在纵轴上的截距为瞬时弹性应变，它等于211392G K e σσε+=这部分应变与马克斯韦尔模型e ε可求得2G 。