湖南省怀化市高三数学下学期第三次质量监测试题理

怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷 2015年高三第三次模考 理科数学试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上. 1．已知集合},3,1{2m A =，},1{m B =．若A B ⊆，则m 的值为 A ．0 B ．1或3 C ．0或3 D ．0或1或3 2．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的侧面积是 A ．π12 B ．π15 C ．π24 D ．π30 3．下列函数中，既是奇函数，又在),(+∞-∞上为增函数的是A. xy 3= B. xy 1=C. 3y x = D.x y tan = 4．某医疗研究所为了检验某种血清能起到预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，利用2×2列联表计算得918.32≈k 。

A. %95B. %5C. %5.97D.%5.2 5．设函数)32sin()(π+=x x f 的图象为M ，下面结论中正确的是A.图象M 可由x y 2sin =的图象向左平移6π个单位得到 B ．函数()f x 的最小正周期是π4 C ．图像M 关于直线3π=x 对称D ．函数)(x f y =在区间)6,65(ππ-上是增函数6. 有下列四个命题,其中正确命题的个数是①.“2x ∀≥，2320x x -+≥”的否定．．是“20<∃x ，使023020<+-x x ”. ②. 已知0>a 且1≠a ，则“0log >b a ”是“0)1)(1(>--b a ”的充要条件. ③. 采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，若已知学号为5,16,38,49的同学被选出，则被选出的另一个同学的学号为27.④.某学校决定从高三800名学生中利用随机数表法抽取50人进行调研，先将800人按001,002，…,800进行编号；如果从第8行第7列的数开始从左向右读，则最先抽取到的两个人的编号依次为165,538（下面摘取了随机数表中第7行至第9行）8442 1753 3157 2455 0688 7704 7447 6721 7633 5026 8392（第2题图）6301 5316 5916 9275 3862 9821 5071 7512 8673 5807 44391326 3321 1342 7864 1607 8252 0744 3815 0324 4299 7931A. 1个B. 2个C. 3个D.4个7. 北京某小学组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有A．2465A A⨯种 B.246A5⨯种 C.2465C A⨯种 D.246C5⨯8.ABC∆的外接圆圆心为O,半径为2，=++,OA AB=,CBCA方向上的投影为A.3- B.3- C.3 D.39.执行如右图所示的程序框图，输出的S值为A．252(41)3- B．262(41)3-C．5021- D．5121-10．已知函数34)(2+-=xxxf,集合{}0)()(),(≤+=yfxfyxM，集合{}0)()(),(≥-=yfxfyxN，则集合M N的面积为A.4πB.2πC. πD.23π第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题:本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡上的相应横线上.（一）选作题（请考生在11、12、13三题中任选2题作答，如果全做，则按前2题记分）11. 如图，ABC∆内接于⊙O，点D在OC的延长线上，AD与⊙O相切，割线DM与⊙O相交于点M、N，若30=∠B，1=AC，则DNDM⨯= .12. 函数)0(1213)(2>++=xxxxf的最小值为 .13. 在极坐标系中，直线sin(24πρθ+=被圆=4ρ截得的弦长为 .（二）必做题（14~16题）14.复数iiz++=142，则||z= .15. 如图，在平面直角坐标系xoy中，将直线2xy=与直线1x=及x轴所围成的图形（阴影部分）绕x轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积12()2xV dx=⎰π圆锥31.1212x==ππ据此类比：将曲线2(0)y x x=≥与直线2y=及y轴所围成的图形（阴影部分）绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V = .16.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧<≥=0,0,3x e x x f x x ，若对任意的[]12,31--∈a a x ，不等式[]≥-+x x a f )1([]a x f )(恒成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点11(,)P x y ，将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转2π后与单位圆交于点22(,)Q x y .记12()f y y α=+.(Ⅰ)求函数()f α的值域；(Ⅱ)设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()f C=，且a =1c =，求b .18．（本小题满分12分）某省气象部门为了有效缓解近期的持续高温天气，拟进行人工降雨，为了达到理想效果，首先在电脑上进行人工降雨模拟试验，准备用,,A B C 三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，其试验数据统计如下： 方式 实施地点 大雨 中雨 小雨 模拟试验总次数 A 甲 4次 6次 2次 12次 B 乙 3次 6次 3次 12次 C 丙 2次 2次 8次 12次 假设甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响. （Ⅰ）求甲、乙两地恰为中雨且丙为小雨的概率；（Ⅱ）考虑到旱情和水土流失，如果甲恰需中雨即能达到理想状态，乙必须是大雨才能达到理想状态，丙是小雨或中雨就能达到理想状态，求降雨量达到理想状态的地方个数的概率分布与期望.19. （本小题满分12分） 如图，直角梯形ABCD 中，CD AB //，BC AB ⊥，1=AB ，2=BC ，21+=CD ，过A 作CD AE ⊥，垂足为E ；F 、G 分别是CE 、AD 的中点. 现将ADE ∆沿AE 折起，使二面角C AE D --的平面角为135． （Ⅰ）求证：平面⊥DCE 平面ABCE ；（Ⅱ）求直线FG 与面DCE 所成角的正弦值．DCEFG ∙∙20. （本小题满分13分）设),(11y x A ，),(22y x B 是函数xx x f -+=1log 21)(2的图象上任意两点，P 是AB 中点，且P 的横坐标为21． （Ⅰ）求证：P 点的纵坐标为定值； （Ⅱ）若n S ＝1()2(1(nn f nf nf -+⋯++，*∈N n ，且n ≥2，求n S ．21. (本小题满分13分)已知椭圆222:1x y aγ+=（常数1a >）的左顶点为R ，点(,1),(,1)A a B a -，O 为坐标原点．（Ⅰ）若P 是椭圆γ上任意一点，OP mOA nOB =+，求22m n +的值； （Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y 是椭圆γ上的两个动点，满足OMON OA OB k k k k ⋅=⋅，试探究OMN ∆的面积是否为定值，说明理由．22. (本小题满分13分)已知a R ∈，函数()ln 1af x x x=+-，()(ln 1)x g x x e x =-+． （Ⅰ）求函数()f x 在区间(0,]e 上的最小值；（Ⅱ）是否存在实数0(0,]x e ∈，使曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直？若存在，求出0x 的值，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求证：*11111(1)ln[(1)(2)]()ln ()234!n n k e k k k n n N n n =++++⋅++>-⋅∈∑怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷 2015年高三三模 理科数学参考答案一、选择题二、填空题11、3； 12、10； 13、34； 14、10； 15、π2； 16、⎥⎦⎤⎝⎛1,52.三、解答题17解：（Ⅰ）由题意，得12sin ,sin()cos 2y y πααα==+= ………………3分 所以()sin cos )4f παααα=+=+ ………………5分因为(0,)2πα∈，所以3(,)444πππα+∈，故()f α∈ ………7分 （Ⅱ）因为()sin()4f C C π=+=(0,)2C π∈，所以4C π= ……9分在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-， 即212b =+-， 解得1b = ……………12分 18解:（Ⅰ）记“甲、乙两地恰为中雨且丙为小雨”为事件A ，则P （A ）=61128126126=⨯⨯ ………………5分故甲、乙两地恰为中雨且丙为小雨的概率为.61 ………………6分 （Ⅱ）甲、乙、丙三地能达到理想状态的概率分别为65,41,21。

记降雨量达到理想状态的的地方个数为ξ,则ξ可能的取值为0,1,2,3. 分布列如下： ……………7分………………10分故ξ的期望为1219485348212481914830)(=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ……………12分 19（Ⅰ）证明：DE ⊥AE ，CE ⊥AE ，,DE CE E DE CE CDE ⋂=⊂，平面，∴ AE ⊥平面CDE ……………3分 AE ⊂平面ABCE ，∴平面⊥DCE 平面ABCE ……………5分（Ⅱ）（方法一）以E 为原点，EA 、EC 分别为,x y 轴，建立空间直角坐标系………6分DE ⊥AE ，CE ⊥AE∴DEC ∠是二面角C AE D --的平面角，即DEC ∠=0135…………7分 1=AB ，2=BC ，21+=CD ， ∴A （2，0，0），B （2,1,0），C （0,1,0），E （0,0,0），D （0，1-,1）F 、G 分别是CE 、AD 的中点，∴F 1（0，，0）2，G -11（1，，）22……………8分∴FG =-11（1，，）2,AE =（-2，0，0） ………………………9分由⑴知AE 是平面DCE 的法向量， ……………10分设直线FG 与面DCE 所成角02παα≤≤（），则22sin 3322FG AE FG AEα⋅-===⨯， 故求直线FG 与面DCE 所成角的正弦值为23……………12分 （方法二）作AE GH //，与DE 相交于H ，连接FH ………………6分由（Ⅰ）知AE ⊥平面CDE ，所以⊥GH 平面CDE ， GFH ∠是直线FG 与平面DCE 所成角，G 是AD 的中点，GH 是ADE ∆的中位线，1=GH ，22=EH ……………7分 因为DE ⊥AE ，CE ⊥AE ，所以DEC ∠是二面角C AE D --的平面角，即DEC ∠=0135……………………8分在EFH ∆中，由余弦定理得，FEH EH EF EH EF FH ∠⨯⨯⨯-+=cos 222245)22(222122141=-⨯⨯⨯-+=（或25=FH ）……………………10分 ⊥GH 平面CDE ，所以FH GH ⊥，在GFH Rt ∆中，2322=+=FH GH GF …………………………11分所以直线FG 与面DCE 所成角的正弦值为32sin ==∠GF GH GFH ……………12分20 （Ⅰ）证明：∵P 是AB 的中点．设P 点的坐标为（x ，y ），由21（x 1＋x 2）＝x ＝21，得x 1＋x 2＝1，则x 1＝1－x 2或x 2＝1－x 1……………2分 而y ＝21（y 1＋y 2）＝ 21［f （x 1）＋f （x 2）］ ＝21（21＋log 2)1log 21122211x x x x -++-＝21（1＋log 2)1log 1221x x x x -+- ＝21（1＋log 2)1·121x x x x -- 121212 S n ＝f （),1()2()1n n f n f n -+⋯++ S n ＝f （)1()2()1nf n n f n n +⋯+-+-， 两式相加，得2S n ＝［f （)1()1n f -+）＋［f （)2()2n f -+）＋…＋［f （)1()1f n +-）221解：（Ⅰ）(),OP mOA nOB ma na m n =+=-+，得(),P ma na m n -+…………2分将P 代入椭圆1222=+y ax 得1)()(2222=++-n m a n m a 化简得2212m n +=……………………5分 （Ⅱ）法一：①当MN 的斜率不存在时，不妨设),(11y x M ，),(11y x N -且01>x ，01>y由221211ak k x y k k OB OA ONOM -=⋅=-=⋅ 化简得 21221x a x =，联立椭圆方程解得)22,22(a M ，)22,22(-a N故222221221a a y x S OMN =⋅⋅=⋅⋅=∆（为定值）……………………6分 ②当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx t =+由()()22222222211210x y a k x kta x a t a y kx t ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩由1122(,),(,)M x y N x y ，可得()2221212222212,11a t kta x x x x a k a k--+==++…………7分 ()()()2222212121212221t a k y y kx t kx t k x x kt x x x t a k-=++=+++=+ 又 122121OM ON y y k k x x a⋅==-，可得22221t a k =+ ……………………9分因为12MN x x =-， 点O 到直线MN的距离d =………………………………10分12122OMNt S MN d x x ∆=⋅⋅=⋅-2t =22t a==综上：OMN ∆的面积为定值2a………………………………13分 解法二：由条件得，122121y y x x a=- ……………………6分 平方得224222222121212()()x x a y y a x a x ==--, 即22212x x a += …………7分122112OMN S x y x y ∆=-………………………………8分 =2a==………………………………12分 故OMN ∆的面积为定值2a………………………………13分22解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞∵ ()ln 1a f x x x =+- ∴2()x a f x x -'= 令2()0x af x x a x-'==⇒= ① 若0a ≤，则()0f x '>，()f x 在区间(0,]e 上单调递增，此时，()f x 无最小值； ② 若0a e <<，则当(0,)x a ∈时，()0f x '<，当[,]x a e ∈时，()0f x '>， ∴()f x 在区间(0,]a 上单调递减，在区间(,]a e 上单调递增， ∴当x a =时，()f x 有最小值ln a ；③ 若a e ≥，则()0f x '≤，()f x 在区间(0,]e 上单调递减，∴当x e =时，()f x 有最小值ae．综上：()00min a f x lna ,a e a ,a e e⎧⎪≤⎪=<<⎨⎪⎪≥⎩不存在，…………4分（Ⅱ） ∵ ()(ln 1)x g x x e x =-+ ∴ 1()(ln 1)1xg x x e x'=+-⋅+由（Ⅰ）可知：当1a =时，1()ln 1f x x x=+-在区间(0,]e 上有最小值ln10=∴1()ln 10f x x x =+-≥∴当0(0,]x e ∈时，00001()(ln 1)10xg x x e x '=+-⋅+>∵曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直等价于：方程0()0g x '=有实数解， 而 0()0g x '> 即方程0()0g x '=无实数解，故不存在实数0(0,]x e ∈，使曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直……8分 （Ⅲ）由（1）可知：当1a =时，1()ln 10f x x x=+-≥ 对[0,)x ∀∈+∞恒成立， 即 当1x ≥时，恒有11ln x x ≥- ．．．．．．．．（＊） 取*()x n n N =∈，得11ln n n≥-∴()()1111123!23!ne n ln ln ln lnn n ln n ln n n ++++≥-++++=-=故111123!n e ln n n ++++≥(n ∈*N ) …………………………10分又 在（*）式中，取()()12x k k k =++(k ∈*N )，得：()()()()()()()11111211121122ln k k k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤++≥-=--⋅⎢⎥⎣⎦+++++⎣⎦∴11111ln[(1)(2)][]()22(1)(2)4nk k k k n n n n =++≥-⋅->-++∑ 故()()11111112234n n k e ln k k k n ln n n!=⎛⎫⎛⎫⎡⎤++++⋅++>-⋅ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭∑(n ∈*N )………13分或：又 在（＊）式中，取*(1)(2)()x k k k k N =++∈， 得：ln[(1)(2)]ln 6ln 1k k k e ++≥>= ∴11ln[(1)(2)]()4nk k k k n n =++≥>-∑ 故11111(1)ln[(1)(2)]()ln 234!nn k e k k k n n n =++++⋅++>-⋅∑(n ∈*N )…………13分。