高中数学第四章定积分4.3定积分的简单应用课件北师大版选修2_2

2.函数f(x),x∈[a,b]的图像围绕x轴旋转一周,所得到的几何体的体 积V= ������ π[f(x)]2dx .
������
名师点拨
Hale Waihona Puke ������ ������
f(x)dx,
������ ������
|f(x)|dx 与
������ ������
������ ������
������(������) d������ 的异同.
B.V=π D.V=π
1 0 1 0
[12-(x2)2]dx (12-x2)dx
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在题后的括号内画“√”,错误的画 “×”. (1)任何曲线 y=f(x)及 x=a,x=b 与 x 轴围成的平面图形的面积都 可 ������ 以表示为 ������ f(x)dx. ( × )
直线y=x-4与x轴的交点为(4,0), 因此,所求图形的面积为S=S1+S2
8 4 8 = 0 √2������ dx+ 4 √2������d������- (������-4) d������ 4 2√2 3 4 2√2 3 8 1 40 = ������ 2 |0 + ������ 2 |4 − (x-4)2|8 = . 4 3 3 2 3
§4.3 定积分的简单应用
学 习 目 标 思 维 1.能用求定积分的方法 求 由已知曲线所围成的 平面图形的面积. 2.能用 求定积分的方法 求简单的几何体的体积. 3.注意 平面图形的面积 及几何体的体积与定积 分的内在联系与区别. 4.要学会 使用数形结合 和转化思想解决问题.


1.一般地,设由曲线 y=f(x),y=g(x)以及直线 x=a,x=b 所围成的平面 ������ ������ 图形(如图)的面积为 S,则 S= ������ f(x)dx- ������ g(x)dx.
������ ������
������(������) d������ 则是
������ ������
f(x)dx 的绝
【做一做 1】 积为( )
1 1 由直线 x= ,x=2,曲线 y= 以及 x 轴所围成图形的面 2 ������
A.
15 4
B.
17 4
C. ln 2
1 2
D.2ln 2
1 2
解析:如图所示,所围成图形的面积为 S=
1 =ln 2-ln =2ln 2. 2
2 1
������
dx=ln
x|
2
1 2
答案:D
【做一做2】 由y=x2,x=0和y=1所围成的平面图形绕x轴旋转一 周所得的几何体的体积可以表示为( )
A.V=π C.V=π
答案:B
1 0 1 0
( ������)2dx (x2)2dx
f (x)d������ . ( × ) ������
������
探究一
探究二
思维辨析
利用定积分求平面图形的面积 【例1】 计算由直线y=x-4,曲线y= √2������以及x轴所围成的图形的 面积. 分析:先作出草图,由图形的形状确定求面积的方法.
探究一
探究二
思维辨析
解 :(方法一)作出直线 y=x-4,曲线 y=√2������ 的草图,如图所示. ������ = √2������ , 解方程组 ������ = ������-4, 得直线 y=x-4 与曲线 y=√2������ 的交点坐标为(8,4),
探究一
探究二
思维辨析
变式训练 1 由直线 x=0,x= ,y=0 与曲线 y=2sin x 所围成的图形 的面积为( )
3 B. 2
2π 3
2π 3
A.3
C.1
0
2π 3
1 D. 2
解析:所求图形的面积 S= =-2cos x |0 =-2
答案:A
1 - -1 2
2sin x dx
=3.
探究一
探究二
(2)曲线 y= 1-������ 2 与 x 轴围成的区域绕 x 轴旋转一周所得几何体的 体积是 . ( √ ) 3
(3)曲线y=sin x,x∈[0,π]与x轴围成的平面图形和曲线y=cos x,x∈[0,π]与x轴围成的平面图形面积相等. ( √ )

(4)
������ ������
|f(x)|dx=
对于在区间 [a,b]上的连续函数 f(x)来 说,
������ ������
f(x)dx,
������ ������
|f(x)|dx,
������(������) d������ 的几何意义一般是不同的,由于被
积函数 y=f(x)在区间 [a,b]上可正可负 ,也就是说其图像可以在 x 轴上 ������ 方 ,也可以在 x 轴下方 ,还可以在 x 轴的上、下两侧,所以 ������ f(x)dx 表 示由 x 轴、曲线 f(x)及直线 x=a,x=b 之间的各部分面积的代数和 ,而 ������ 被积函数 y=|f(x)|是非负的 ,所以 ������ |f(x)|dx 表示在区间 [a,b]上所有以 y=|f(x)|为曲边的曲边梯形的面积,而 对值 .
思维辨析
变式训练 2
1 求曲线 y=√������ ,y=2-x,y=- x 所围成图形的面积. 3
������ = √������, ������ = √������ , 解 :画出图形 ,如图所示 .解方程组 1 ������ = ������, ������ = 2-������, 3 ������ = 2-������, 及 1 得交点分别为 (1,1),(0,0),(3,-1). ������ = - ������, 所以 S= =
1 0
2 3 1 2 1 1 2 2 = ������ + ������ |0 + 2������- ������ 3 6 3 2 1 1 1 13 = + +6- ×9-2+ = . 3 6 3 3 6
(方法二)把 y 看作积分变量,则 S=
4 0
������ +
1 2 4- ������ 2
dy=
1 2 ������ 2
+
1 3 4������- ������ 6
|4 0
=
40 . 3
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟求由两条曲线所围成图形的面积的步骤 (1)画出图形,确定图形的范围,即借助几何直观将所求图形的面 积问题转化为求曲边梯形的面积问题. (2)确定积分上限和积分下限,即通过解方程组求出交点的横坐标 确定积分上限和积分下限. (3)确定被积函数,特别要注意分清被积函数的上、下位置. (4)写出平面图形的定积分表达式,运用微积分基本定理计算积分, 从而求出平面图形的面积.
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高中数学 第四章 定积分 4.3.1 平面图形的面积课件 北师大版选修2-2

高中数学 第四章 定积分 4.3.1 平面图形的面积课件 北师大版选修2-2

10
2.曲线y=x2-1与x轴所围成图形的面积等于 ( )
A .1B .2C .1 D .4
33
3
11
【解析】选D.函数y=x2-1与x轴的交点为(-1,0),
(1,0),且函数图像关于y轴对称,所以所求面积为
S=
(11-x2)dx=2 1
(1-x 210)dx=2
2× 2 4 .
33
=
(x
1 3
7
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)曲线y=sin x,x∈ [与 ,x3轴 ]围成的图形的面积
22
3
为 2
sin xdx.
(
)
2
(2)曲线y=x3与直线x+y=2,y=0围成的图形的面积为
1 0
x3dx+
(22 -x)dx. 1
(
)
8
(3)曲线y=3-x2与直线y=-1围成的图形的面积为
24
【习练·破】 (2019·衡阳高二检测)如图,阴影部分的面积是( )
25
A.32
B.16
C. 3 2
D. 8
3
3
26
【解析】选C.由已知,阴影部分的面积
S=
1
3(3-x2-2x)dx=(3x13x3x2)|13332.
27
【加练·固】 若函数f(x)=Asin ( (Ax >0,) ω>0)的图像如图所示,则图
所以S=
1 0
(x2+1)dx+
3 1
(3-x)dx
( x 3 3 x ) |1 0 ( 3 x x 2 2 ) |1 3 1 3 1 ( 9 9 2 ) ( 3 1 2 ) 1 3 0 .

高中数学第四章定积分本章整合课件北师大版选修22

高中数学第四章定积分本章整合课件北师大版选修22

2(������-1) ������
,
2������ ������
(������
= 1,2, …,n),每个小区间的长度为 Δx=xi-xi-1=
2������.
②近似代替,求和:取
ξi=
2������ ������
(������
=
1,2,
…,n),
������
则 S1= ∑ ������
������=1S=Fra bibliotek������ ������
[������2(������) − ������1(������)]d������.
专题一 专题二 专题三
应用1 将一根弹簧从自然长度压缩x cm,需要用4x N的力,将它从
自然长度压缩5 cm,需要做多少功?
提示先由公式F(x)=kx求出力 F(x),再求力F(x)所做的功.
专题一 专题二 专题三
解:如图,由
������ ������
= =
3, ������,

������ = 3, ������ = 3.

������ = 3, ������������ = 1,

1 ������ = 3 ,
������ = 3.

������������ = 1, ������ = ������,

μi=
2(������-1) ������
(������
=
1,2,
…,n),
������
则 s1= ∑ ������
������=1
2(������-1) ������
������
Δ������ = ∑
������=1

高中数学复习课件-北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的概念

高中数学复习课件-北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的概念

如果 Dx 无限接近于 0(亦即 n )时,上述和式 Sn
无限趋近于常数 S ,那么称该常数 S 为函数 f (x) 在区
间[a,b] 上的定积分。记为: S =
b
f (x)dx
a
定积分的定义:

b a
f
( x)dx
=
lim
n
n i=1
b-a n
f
(xi )
定积分的相关名称:
———叫做积分号,
学习目 标:
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系.
学习目 标:
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系.
学习目 标:
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系.
学习目 标:
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系.
f
(xi
)
b
n
a
如果当n∞时,S 的无限接近某个常数,
这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分,记作
b a
f
(x)dx,即 b b aa
ff
n
((xx))ddxx==limlim n 0 i=1i
n
f
=1
b(x-ni)aDxfi。(xi
)
定积分的概念
一般地,设函数 f (x) 在区间[a,b] 上连续,用分点
(3)取极限:,所求曲边梯形的
面积S为
n
S
= lim n i=1
f (xi )Dx
Oa
xi xi xi+1
b
x
Dx
(一)、定积分的定义

北师大版数学【选修2-2】《定积分的概念》ppt课件

北师大版数学【选修2-2】《定积分的概念》ppt课件
������ ������
������ (������)������������,即
积分号 上限
������ ������ (������)������������ ������
= ������.其中 叫作
下限
. .
,������叫作积分的 ,������(������)叫作
,������叫作积分的 .
第四章 定积分
.. 导. 学 固思
知识点
新课程标准的要求 层次要求 领域目标要求 通过定积分概念的 形成过程,理解现实中的 抽象概况,体会数学中的
定积分的概念与 了解定积分的实际背景,基本思想 计算 微积分基本定理 及应用 定积分的实际意 及概念 了解微积分基本定理的含义
化曲为直,化复杂为简单
初步涉及定积分的应用 的处理问题的方法
5.了解定积分的概念,会通过四步曲求连续函数的定积分.
6.了解定积分的几何意义及性质.
.. 导. 学 固思
我们学过正方形、长方形、三角形和梯形等平面“ 直边图形”的面积,在物理中,我们知道了匀速直线运动的 时间、速度与路程的关系等.在数学和物理中,我们经常会 遇到计算平面曲线所围成的平面“曲边图形”的面积、
������ ������
������ (������)������������
(������为常数);
������ [ ������1 (������) ������
± ������2 (������)]������������ =
������ ������
������1 (������)������������ ±
1
把区间[1,3]等分n份,所得n个小区间的长度均为(
A.
1 ������

北师大数学选修2-2配套课件:第四章 定积分 §2

北师大数学选修2-2配套课件:第四章 定积分 §2
a
通常称 F(x)是 f(x)的一个_原__函__数___.
(2)在计算定积分时,常常用符号 F(x)|ba来表示 F(b)-F(a),牛顿—莱布尼茨 公式也可写作bf(x)dx=F(x)|ba=___F_(_b_)-__F__(a_)__.
a
(3)微积分基本定理表明,计算定积分bf(x)dx 的关键是找出满足 F′(x)=f(x) a
•“曲边梯形”面积的计算转化为“直边梯 形”面积的计
•算,能否利用匀速直线运动的知识解决变
1.微积分基本定理的内容 设 f(x)在区间[a,b]上连续,且 F(x)是它在该区间上的一个原函数,则有bf(x)dx
a
=__F_(_b_)_-__F_(_a_)_. 2.牛顿—莱布尼茨公式 (1)bf(x)dx=F(b)-F(a)=F(x)|ba.
(cos x+ex)dx.
0
1
• [思路分析] 根据微积分基本定理,关键求 相[解析应] 被(1)∵积(x2函+3x数)′=的2x一+3,个原函数.
∴1(2x+3)dx=(x2+3x)|10=1+3=4. 0
(2)∵(t-t44)′=1-t3,
1
∴-2
(1-t3)dt=(t-t44)|-1 2
=1-14-[-2--424]=7-14=247.
(4)1x的原函数=____l_n_|x_|_+__c_____ (x≠0);
(5)ex 的原函数=__e_x_+__c__;
• (6)ax的原函lanxa数+c=_______;
• (7)cosx的原函sin数x+c= ________ ;
• (8)sinx的原函-co数sx+=c __________. • 4.求定积分的方法主要有:定①义利用定积分 几何的意_义_____;微积②分基利本定用理定积分的_________;③

北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的简单应用(三)利用定积分求简单几何体的体积 课件

北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的简单应用(三)利用定积分求简单几何体的体积 课件



五、教后反思:
2013-4-2
2013-4-2
∴所求“冰激凌”的体积为:
12 1 4 224 2 2 (2 x ) dx ( x 6) dx (cm) 3 4 2 3 0
2013-4-2
变式引申:某电厂冷却塔外形如图所示,双曲线的一部分绕 其中轴(双曲线的虚轴)旋转所成的曲面,其中A,A’是双曲 线的顶点,C,C’是冷却塔上口直径的两个端点,B,B’ 是 下底直径的两个端点,已知 AA’=14m,CC’=18m,BB’=22m,塔高20m.
x
2013-4-2
分析:解此题的关键是如何建立数学模型。将 其轴载面按下图位置放置,并建立坐标系。则 A,B坐标可得,再求出直线AB和抛物线方程, “冰激凌”可看成是由抛物线弧OB和线段AB 绕X轴旋转一周形成的。
解:将其轴载面按下图位置放
置,并建立如图的坐标系。则 A(12,0), (4,4) B
(1)建立坐标系,并写出该曲线方程. (2)求冷却塔的容积(精确到10m3塔壁厚度不计, 取3.14) 2 2 x y (1) 1 49 98
8 2 8
C’ A’ A

1 2 ( 2)V x dy ( y 49)dy 12 12 2 B’ 2013-4-2

S侧 2 f ( x) 1 [ f ' ( x)]2 dx
V f
a
b
2
x dx,即可求旋转体体积的值。
(三)、课堂小结:求体积的过程就是对定 积分概念的进一步理解过程,总结求旋转体 体积公式步骤如下:1.先求出 y f x b 的表达式;2.代入公式 V f 2 x dx a ,即可求旋转体体积的值。 (四)、作业布置:课本P90页练习题中2;习题 4-3中6、7

高中数学北师大版选修2-2第4章《定积分的简单应用》(第3课时)ppt参考课件

定积分的简单应用 (三)
利用定积分求简单几何体的体积
一、教学目标 1、理解定积分概念形成过程的思想; 2、会根据该思想求简单旋转体的体积问题。
二、 学法指导 本节内容在学习了平面图形面积计算之后的更深层次的研究,
关键是对定积分思想的理解及灵活运用, 建立起正确的数学模型,根据定积分的概念解决体积问题。 三、教学重难点:
x

6
∴所求“冰激凌”的体积为:


4 0
(2
x )2 dx
12
(
4
1 2
x

6) 2 dx

224
3
(cm)3
变式引申:某电厂冷却塔外形如图所示,双曲线的一
部分绕其中轴(双曲线的虚轴)旋转所成的曲面,其中
A,A’是双曲线的顶点,C,C’是冷却塔上口直径的两个
端点,B,B’ 是下底直径的两个端点,已知
AA’=14m,CC’=18m,BB’=22m,塔高20m.
(1)建立坐标系,并写出该曲线方程.
(2)求冷却塔的容积(精确到10m3塔壁厚度不计,
取3.14)
(1) x2 y2 1 49 98
C’ A’
C A
(2)V 8 x2dy 8 ( 1 y2 49)dy
b

,f 2即 x可d求x 旋转体体积的
a
值。
编后语
老师上课都有一定的思路,抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路,这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题,有的要求回答,有的则是自问自答。一般来说,老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键,若能抓住老师提出的问题深入思考,就可以抓住老师的思路。

定积分的简单应用课件1优质公开课北师大选修22


不能合理分割致误
由 y 轴,直线 x=2 和曲线 y=2-x2 及 y=x 围成的图
形的面积为( )
2 A.3
B.-23
【错解】 画出草图,知
C.3
D.-3
面积 S=2(2-x2-x)dx 0 =(2x-13x3-12x2)|02
=4-83-2=-23.故选 A.
【答案】 A 【错因分析】 本题解答没有利用 y=x 和 y=2-x2 的 交点合理分割,从而导致被积函数及相应积分区间错误.
●教学建议 本节内容是应用定积分求比较复杂的平面图形的面积、 求简单旋转几何体的体积.解决这些问题的关键是将它们化 归为定积分问题,前者主要是分割,而后者则要经历一个积 分过程,需要学生通过思考、分析、归纳后结合定积分的定 义求解.故本节课宜采用探究式课堂教学模式,即在具体问 题的导引下,学生通过独立探究、合作交流,揭示规律,形 成方法.
所以 S=1[
x-(-13x)]dx+3[(2-x)-(-13x)]dx
0
1
=1(
x+13x)dx+3(2-x+13x)dx
0
1
=(23x32+16x2)|10+(2x-12x2+16x2)|31 =23+16+(2x-13x2)|13 =56+6-13×9-2+13=163.
1.正确画出图形,合理分割图形是解决本题的关键. 2.求所围成的图形的面积时,先画出草图,确定所求 面积是哪部分;其次是求解方程组得到交点的横坐标,从而 确定积分上、下限.其中,有些所求面积可以分成两部分面 积的差(和)的形式,要视情况而定.
【防范措施】 解答这类问题时,严格按照“画草图→ 求交点坐标→定被积函数、积分区间→求定积分 ”的步骤 执行.
【正解】 画出草图,由yy==x2,-x2 得 A(1,1).

高中数学第四章定积分4.3.2简单几何体的体积课件1北师大版选修22


0
= πa3-π3y3a0=πa3-3πa3=23πa3.
题型二 求组合型几何体的体积
【例2】 如图,求由抛物线y2=8x(y>0)与直线x+y-6=0 及y=0所围成的图形绕x轴旋转一周所得几何体的体积.
[思路探索] 解答本题可先由解析式求出交点坐标.把组 合体分开来求体积.
解 解方程yx2+=y8-x6y=>00,, 得yx==42., 所以 y2=8x 与直线 x+y-6=0 的交点坐标为(2,4).
a
题型一 求简单几何体的体积
【例1】 给定一个边长为a的正方形,绕其一边旋转一周, 得到一个几何体,求它的体积. [思路探索] 由旋转体体积的求法可知,先建立平面直角坐 标系,写出正方形旋转轴对边的方程,确定积分上、下 限,确定被积函数即可求出体积.
解 以正方形的一个顶点为原点,两边
所在的直线为 x,y 轴建立如图所示的
Δxi的小圆片,如图乙所示.当Δxi很小时,第i个小圆片近似于底 面半径为yi=f(xi)的小圆柱,因此,第i个小圆台的体积Vi近似为V i=πf2(xi)Δxi. 该几何体的体积V等于所有小圆柱的体积和
V≈π[f2(x1)Δx1+f2(x2)Δx2+…+f2(xi)Δxi+…+f2(xn)Δxn]. 这个问题是积分问题,则有
所求几何体的体积 V=2π( 8x)2dx+6π(6-x)2dx


0
2
=8π2xdx+π6(x-6)2dx


0
2
=8π·12x2
20+π·13x-6362=16π+643π=1132π. 解决组合体的体积问题,关键是对其构造进
行剖析,分解成几个简单几何体体积的和或差,然后,分
平面直角坐标系,如图 BC:y=a.则该

北师大版高中数学选修2-2课件3定积分的简单应用课件


求抛物线y2=2px(p>0)与直线x=
1 2
p及x轴所围成的图形
绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.
[答案] 被积函数是f 2(x),积分变量为x,而旋转体是由 抛物线y2=2px旋转而成,注意积分范围x∈[0,p2].
[解析] 因为 y2=2px(p>0), 所以 f 2(x)=2px, x∈[0,p2].
=3-x2所围成的阴影部分的面积是( )
35
A. 3
B.2 2
C.2- 3
32 D. 3
[答案] D
[解析]
S=1
(3-x2-2x)dx=332,故选D.
-3
2.由直线x=
1 2
,x=2,曲线y=
1 x
以及x轴所围图形的面
积为( )
15
17
A. 4
B. 4
1 C.2ln2
D.2ln2
[答案] D [分析] 正确画出图形,利用定积分的几何意义求解.
[解析] 设乙出发x s后两人相遇,
则相遇时甲走过的路程是s1=∫
x+5 0
2tdt=(x+5)2,乙走过
的路程是s2=x
16(t+5)2dt=118[(x+5)3-53].
0
由s1=s2,得(x+5)2=118[(x+5)3-53].
整理,得x3-3x2-105x-450=0.
• 设f(x)=x3-3x2-105x-450,则f(10)<0, f(14)>0.
我们把y=f(x)(a≤x≤b)所对应的曲边梯形分割成许多垂直 于x轴的小长条,设第i个小长条的宽为Δxi,这个小长条绕着x 轴旋转转一周就得到一个厚度是Δxi的小圆片,当Δxi很小时, 每个小圆片近似于底面半径为f(xi)的小圆柱,因此,小圆片的 体积近似为Vi≈π·[f(xi)]2Δxi,旋转体的体积等于所有小圆片的体 积和,用定积分表示为:V=bπ[f(x)]2dx.
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