西藏山南市第二高级中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题含答案解析
专题13 平面向量-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅲ专版)(原卷版)
【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=c a ，则cos ,=a c ___________． 【答案】23【解析】因为2=c a ，0⋅=a b ，所以22⋅=⋅a c a b 2=，222||4||5||9=-⋅+=c a b b ，所以||3=c ，所以cos ,=a c22133⋅==⨯⋅a c a c ．故答案为：23． 【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷理数】已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=___________．【答案】12【解析】由题可得()24,2+=a b ，()2Q ∥c a +b ，()=1,λc ，420λ∴-=，即12λ=，故答案为：12． 【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．解题时，由两向量共线的坐标关系计算即可．【母题原题3】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的最大值为A ．3B ．专题13 平面向量CD ．2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系．设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ，易得圆的半径r =，即圆C 的方程是()22425x y -+=，()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=u u u r u u u r u u u r ，若满足AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+，设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上， 所以圆心(20),到直线102xy z -+-=的距离d r ≤≤，解得13z ≤≤， 所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A ．【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【命题意图】主要考查考生的直观想象能力、数学运算能力和方程思想、数形结合思想的运用．【命题规律】在高考中的命题重点有平面向量的线性运算、共线向量定理、平面向量基本定理及向量的坐标运算，主要以选择题和填空题的形式呈现，难度不大． 【答题模板】1．向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．2．解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解． 3．两平面向量共线的充要条件有两种形式：（1）若a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0； （2）若a ∥b （a ≠0），则b ＝λa ，应视题目条件灵活选择． 【知识总结】 1．向量的有关概念向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫作向量．以A 为起点、B 为终点的向量记作 AB u u u r，也可用黑体的单个小写字母a ，b ，c ，…来表示向量．向量的长度（模）：向量AB u u u r 的大小即向量AB u u u r 的长度（模），记为|AB u u u r|．（1）向量不同于数量，向量不仅有大小，而且还有方向． （2）任意向量a 的模都是非负实数，即|a |≥0．（3）向量不能比较大小，但|a |是实数（正数或0），所以向量的模可以比较大小． 2．几种特殊向量 特殊向量 定义备注零向量 长度为0的向量 零向量记作0，其方向是任意的． 单位向量长度等于1个单位的向量 单位向量记作a 0，a 0=||aa ． 平行向量方向相同或相反的非零向量（也叫共线向量）0与任意向量共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量． 相反向量长度相等且方向相反的两个向量若a ，b 为相反向量，则a =–b ．说明：（1）要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|=0；（2）单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；（3）任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫作共线向量； （4）与向量a 平行的单位向量有两个，即向量||a a 和–||a a ． 3．平面向量运算的坐标表示运算坐标表示和（差） 已知a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a +b =（x 1+x 2，y 1+y 2），a –b =（x 1–x 2，y 1–y 2）． 数乘 已知a =（x 1，y 1），则λa =（λx 1，λy 1），其中λ是实数．任一向量的坐标已知A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则 AB u u u r=（x 2–x 1，y 2–y 1）．说明：（1）相等的向量坐标相同；（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的端点无关，只与其相对位置有关． 4．平面向量共线的坐标表示（1）如果a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ∥b 的充要条件为x 1y 2–x 2y 1=0．（2）A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）三点共线的充要条件为（x 2–x 1）（y 3–y 1）–（x 3–x 1）（y 2–y 1）=0，或（x 2–x 1）（y 3–y 2）=（x 3–x 2）（y 2–y 1），或（x 3–x 1）（y 3–y 2）=（x 3–x 2）（y 3–y 1）． 5．向量的数量积（1）平面向量数量积的定义已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b =|a ||b |cos θ．规定：零向量与任一向量的数量积为零． （2）向量数量积的性质设a ，b 为非零向量，它们的夹角为θ，则①设e 是单位向量，且e 与a 的夹角为θ，则e ·a =a ·e =|a |cos θ； ②a ⊥b ⇔a ·b =0；③当a 与b 同向时，a ·b =|a ||b |；当a ，b 反向时，a ·b =–|a ||b |．特别地，a ·a =a 2=|a |2或|a ④|a ·b |≤|a ||b |，当且仅当a 与b 共线，即a ∥b 时等号成立；⑤cos θ=·||||a ba b ． （3）向量数量积的运算律 ①交换律：a ·b =b ·a ；②数乘结合律：（λa ）·b =λ（a ·b ）=a ·（λb ）； ③分配律：（a +b ）·c =a ·c +b ·c ． （4）平面向量数量积的几何意义 ①一个向量在另一个向量方向上的投影设θ是a ，b 的夹角，则|b |cos θ叫作向量b 在向量a 的方向上的投影，|a |cos θ叫作向量a 在向量b 的方向上的投影． ②a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 注意：投影和两向量的数量积都是数量，不是向量． 设两个非零向量a 与b 的夹角为θ，则 ①θ为锐角⇔a ·b >0且向量a ，b 不共线； ②θ为钝角⇔a ·b <0且向量a ，b 不共线；③当a ·b >0时，cos θ>0，则θ是锐角或θ=0°（此时cos θ=1）； ④当a ·b <0时，cos θ<0，则θ是钝角或θ=180°（此时cos θ=–1）． 【方法总结】1．只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用． （1）基底e 1，e 2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底； （2）基底给定，同一向量的分解形式唯一；（3）如果对于一组基底e 1，e 2，有a =λ1e 1+λ2e 2=μ1e 1+μ2e 2，则可以得到1122,.λμλμ=⎧⎨=⎩2．平面向量的线性运算的求解策略：（1）进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．（2）除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．3．向量的线性运算（1）向量的线性运算集中体现在三角形中，可构造三角形，利用向量加减法的三角形法则表示相关的向量，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，得出含相关向量的关系式． （2）向量线性运算的常用结论：①在△AB C 中，若D 是BC 的中点，则AD u u u r =12（AC u u u r +AB u u u r）；②O 为△ABC 的重心的充要条件是OA u u u r +OB uuu r +OC u u u r=0；③四边形ABCD 中，若E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，则AB u u u r +DC u u u r =2EF u u u r．4．利用共线向量定理解题的策略（1）a ∥b ⇔a =λb （b ≠0）是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用． （2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．即A ，B ，C 三点共线⇔,AB AC u u u r u u u r共线．（3）若a 与b 不共线且λa =μb ，则λ=μ=0．（4）OA u u u r =λOB uuu r +μOC u u u r（λ，μ为实数），若A ，B ，C 三点共线，则λ+μ=1．5．利用平面向量基本定理解题的策略（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式．注意：（1）若a ，b 为非零向量，且a ∥b ，则a ，b 的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错．（2）零向量和共线向量不能作基底，基底通常选取确定整个几何图形的从同一结点出发的两边所对应的向量．6．向量坐标运算问题的一般思路（1）向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算． （2）巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．（3）妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数．7．求向量模长利用数量积求模是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：（1）a2=a·a=|a|2或|a（2）|a±b；（3）若a=（x，y），则|a8．求向量模的最值（范围）的方法（1）代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；（2）几何法（数形结合法），弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解；（3）利用绝对值三角不等式||a|–|b||≤|a±b|≤|a|+|b|求模的取值范围．9．求向量夹角问题的方法（1）定义法：当a，b是非坐标形式，求a与b的夹角θ时，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cos θ=·||||a ba b求得；（2）坐标法：若已知a=（x1，y1）与b=（x2，y2），则cos<a，b，<a，b>∈[0，π]．10．用向量法解决平面（解析）几何问题的两种方法：（1）几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；（2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法．11．平面向量常与几何问题、三角函数、解三角形等问题综合起来考查，解题关键是把向量关系转化为向量的有关运算，进一步转化为实数运算，进而利用相关知识求解．1．【广西南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】若向量()2,3=a ，()1,2=-b ，则·(2)-=a a b A ．5 B ．6 C ．7D ．82．【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】若向量()2,3=a ，(),2x =b 且·(2)3-=a a b ，则实数x 的值为A ．12-B ．12C ．3-D ．33．【广西钦州市2019届高三4月综合能力测试（三模）数学】已知平面向量,AB AC u u u r u u u r的模都为2，,90AB AC =ouu u r uuu r ，若()0BM MC λλ=≠u u u u v u u u u v ，则()AM AB AC +=uuu r uu u r uuu r gA ．4B ．2C D ．04．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】已知菱形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，120ABC =o ∠，则DE AC ⋅u u u v u u u v的值为 A ．4 B ．–3C D ．5．【四川省百校2019届高三模拟冲刺卷数学】已知向量()()2,1,1,λ=-=a b ，若()()22+-∥a b a b ，则实数λ= A ．2 B ．-2 C ．12 D ．1-26．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第四次模拟考试数学】已知向量(2,1),(1,7)=-=a b ，则下列结论正确的是 A ．⊥a b B ．∥a b C ．()⊥-a a bD ．()⊥+a a b7．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】已知ABC △是边长为a 的正三角形，且AM AB λ=u u u u r u u u r ，(1)()AN AC R λλ=-∈u u ur u u u r ，设()f BN CM λ=⋅u u u r u u u u r ，当函数()f λ的最大值为–2时，a =A ．3 B ．C D ．8．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷二》数学】已知向量()1,2=a ，()2,m =b ，且⊥a b ，则m = A ．4 B ．1 C ．1-D ．4-9．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第七次模拟考试数学】已知向量=a b ,a b 间的夹角为34π，则2-=a bA BC D 10．【西藏拉萨市2019届高三第三次模拟考试数学】已知向量,a b 的夹角为2π，且()2,1=-a ，2=b ，则2+=a bA ．B ．3C D11．【云南省2019届高三第一次高中毕业生复习统一检测数学】设向量(1,)x x =-a ，(1,2)=-b ，若∥a b ，则x =A ．32- B ．–1 C ．23 D ．3212．【云南省保山市2019年普通高中毕业生市级统一检测数学】已知向量,a b 满足()+=⊥+a a b a a b ，则a 与b 的夹角是A ．56π B ．23π C ．π3D ．6π13．【云南省红河州2018届高三复习统一检测数学】在ABC △中，2CM MB =u u u u r u u u r ，AN CN =+0u u u r u u u r，则A ．2136MN AB AC =+u u u u r u u u r u u u rB ．2376MN AB AC =+u u u u r u u u r u u u rC ．1263MN AC AB =-u u u u r u u u r u u u rD ．7263MN AC AB =-u u u u r u u u r u u u r14．【四川省高2019届高三第一次诊断性测试数学】已知向量()1,1=-a ，()8,k =b ，若∥a b ，则实数k =__________．15．【广西柳州高级中学2017–2018学年高三5月模拟考试数学】已知向量()2,3=a ，(),6m =-b ，若⊥a b ，则|2|+=a b __________．16．【四川省峨眉山市2019届高三高考适应性考试数学】已知向量=a ，(,6)m =-b ，若⊥a b ，则m =__________．17．【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学】已知向量()1,5=a ，()2,1=-b ，(),3m =c ．若()⊥+b a c ，则m =__________．18．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】设向量(,1),(4,2)x ==a b ，且∥a b ，则实数x 的值是__________．19．【广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学】在正方形ABCD 中，E 为线段AD 的中点，若EC AD AB λμ=+u u u v u u u v u u u v，则λμ+=__________．20．【广西桂林市、贺州市、崇左市2019届高三下学期3月联合调研考试数学】已知1=b ，2⋅=a b ，则向量(2)-⋅=a b b __________．21．【四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试数学】在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，若点P 满足PA PB PC ++=0u u u v u u u v u u u v ，则||OP uuu v ＝__________．22．【四川省绵阳市2019届高三下学期第三次诊断性考试数学】已知向量a =（sin2α，1），b =（cos α，1），若∥a b ，π02α<<，则=α__________． 23．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学】如图，已知AB 为圆C 的一条弦，且2AB AC ⋅=u u u r u u u r，则AB u u u r =______．24．【四川省百校2019年高三模拟冲刺卷数学】已知向量()()2,1,1,λ=-=a b ，若()()22+-∥a b a b ，则实数λ=__________．25．【四川省乐山市高中2019届高三第三次调查研究考试数学】在ABC △中，4AB =，O 为三角形的外接圆的圆心，若AO x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r (),x y ∈R ，且21x y +=，则ABC △的面积的最大值为_____．26．【四川省乐山市高中2019届高三第三次调查研究考试数学】已知O 为原点，点()2,3A ，()1,5B ，(),3C m ，若AB OC ⊥u u u r u u u r ，则实数m =__________．27．【贵州省贵阳市2019届高三5月适应性考试（二）数学】直线230x y +-=与圆22220x y x y +--=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则||OA OB +=u u u r u u u r__________．28．【贵州省遵义市绥阳中学2019届高三模拟卷（二）数学】已知向量()()1,1,,2m =-=a b ，若5-=a b ，则实数m =__________． 29．【云南省昆明市2019届高三1月复习诊断测试数学】已知向量()1,3=-a ，()1,t =b ，若()2-⊥a b a ，则t =__________．30．【云南省昆明市2019届高三高考模拟（第四次统测）数学】在边长为6的等边三角形ABC 中，23BD BC =u u u r u u u r ．则AB AD ⋅=u u u r u u u r __________． 31．【西藏山南市第二高级中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学】已知向量()(),1,3,2x ==-a b ，a b，则x __________．若∥。
西藏山南市第二高级中学2019届高三下第一次(一模)模拟考试物理试卷(答案+解析)
西藏山南市第二高级中学2019届高三下第一次模拟考试1.在微观世界，我们常见的粒子有：质子、中子、α粒子、β粒子，下列对四种粒子的符号书写全都正确的是：（）A. 、、、B. 、、、C. 、、、D. 、、、【答案】B【解析】【详解】质子是中子是α粒子是β粒子是电子即故B正确，ACD错误。
2.为了观测地球表面的植被覆盖情况，中国发射了一颗人造卫星，卫星的轨道半径约为地球同步卫星轨道半径的1/4，那么这个卫星绕地球一圈需要多长时间：（）A. 12小时B. 1小时C. 6小时D. 3小时【答案】D【解析】【详解】地球同步卫星的周期为24小时，根据开普勒第三定律：，代入数据可得：T卫=3小时，故D正确，ABC错误。
3.把如图所示的交变电流通过定值电阻R，经过一个周期T，产生的热量是多少：（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】根据电流的热效应可得交变电流通过定值电阻R，经过一个周期T，产生的热量是：，故A正确，BCD错误。
4.在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和v/2的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上。
甲、乙两球落到斜面上时速度与水平方向的夹角之比为：（）A. 2:1B. 1:2C. 1:1D. 条件不足，无法确定【答案】C【解析】【详解】设小球落在斜面上时，速度与水平方向的夹角为α，则，因为小球落在斜面上时，位移与水平方向的夹角为定值，可知，甲、乙两球落到斜面上时速度与水平方向的夹角之比为1:1，故C正确，ABD错误。
5.如图所示，甲、乙、丙、丁四个小车的运动图像，由图可知，下列说法中哪些是正确的：（）A. t1时刻甲乙相遇B. t2时刻丙丁相遇C. 甲和丙都是匀速D. 甲和丁都是匀速【答案】AD【解析】【详解】t1时刻，二者位于同一位置，即相遇，故A正确；t2时刻丁的位移大于丙的位移，若它们从同一地点出发，则丁在丙的前方，没有相遇，故B错误；甲图线的斜率恒定不变，故甲做匀速直线运动，乙表示静止，速度图象倾斜的直线表示匀变速直线运动，即丙表示匀加速，丁表示匀速，故C错误，D正确。
《高考真题》专题14 等差数列-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅲ专版)(解析版)
【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________． 【答案】4【解析】因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，所以105S S =11111091010024542552a d a a a d⨯+==⨯+． 【名师点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．【母题原题2】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．24- B ．3- C ．3 D ．8【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由a 2，a 3，a 6成等比数列可得2326a a a =，即()()()212115d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-，故{}n a 前6项的和为()()()6166166166122422S a d ⨯-⨯-=+=⨯+⨯-=-．故选A ．专题14 等差数列【名师点睛】（1）等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．（2）数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．【命题意图】主要考查考生的数学运算能力和逻辑推理能力,以及考生对函数与方程思想的应用.要求： 1．熟练掌握等差的通项公式、前n 项和公式． 2．掌握与等差数列有关的数列的求和的常见方法． 3．了解等差数列与一次函数的关系．【命题规律】等差数列是高考的考查热点，主要考查等差数列的基本运算和性质，等差数列的通项公式和前n 项和公式，尤其要注意以数学文化为背景的数列题，题型既有选择题、填空题，也有解答题． 【答题模板】求数列的通项、求和问题时，第一步：根据题意求通项．注意等差数列通项形如关于n 的一次函数的形式． 第二步：利用函数性质研究数列的性质，例如周期、单调性等． 第三步：利用函嫩、数列的交汇性质来综合求解问题．第四步：查看关键点、易错点及解题规范，例如错位相减去的计算量较大，注意检验． 【知识总结】1．等差数列的常用性质（1）通项公式的推广：a n =a m +（n –m ）d （n ，m ∈N *）．（2）若{a n }是等差数列，且k+l=m+n （k ，l ，m ，n ∈N *），则a k +a l =a m +a n ；反之，不一定成立． （3）若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d ． （4）若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n +qb n }（p ，q ∈N *）也是等差数列．（5）若{a n }是等差数列，则a k ，a k+m ，a k+2m ，…（k ，m ∈N *）组成公差为md 的等差数列． 2．与等差数列各项的和有关的性质（1）若S m =n ，S n =m ，则S m+n =–（m+n ）；若S m =S n ，则S m+n =0． （2）若{a n }是等差数列，则{n S n}也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差的12．（3）若{a n }是等差数列，S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m –S m ，S 3m –S 2m 成等差数列．（4）关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 ①若项数为2n ，则S 偶–S 奇=nd ，S S 奇偶=1nn a a +； ②若项数为2n –1，则S 偶=（n –1）a n ，S 奇=na n ，S 奇–S 偶=a n ，S S 奇偶=-1nn ．（5）两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为2-12-1n n S T =nna b ． 【方法总结】 （一）等差数列1．等差数列的判定与证明方法有以下四种：（1）定义法：a n+1–a n =d （常数）（n ∈N *）或a n –a n –1=d （n ∈N *，n ≥2）⇔{a n }为等差数列． （2）等差中项法：2a n+1=a n +a n+2（n ∈N *）⇔{a n }为等差数列． （3）通项公式法：a n =an+b （a ，b 是常数，n ∈N *）⇔{a n }为等差数列． （4）前n 项和公式法：S n =an 2+bn （a ，b 为常数）⇔{a n }为等差数列．若要判定一个数列不是等差数列，则只需找出三项a n ，a n+1，a n+2，使得这三项不满足2a n+1=a n +a n+2即可．判断一个数列是否为等差数列时，应该根据已知条件灵活选用不同的方法，一般优先考虑定义法，即先表示出a n +1–a n ，然后验证其是否为一个与n 无关的常数．也可根据已知条件求出一些项，根据求解过程寻找具体的解题思路．注意常数列{a n }的通项公式为a n =a （a 为常数），它是一个首项为a ，公差为0的等差数列．2．等差数列基本运算的常见类型及解题策略：（1）求公差d 或项数n ．在求解时，一般要运用方程思想． （2）求通项．a 1和d 是等差数列的两个基本元素．（3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．（4）求前n 项和．利用等差数列的前n 项和公式直接求解，或利用等差中项间接求解． 3．求数列前n 项和的最值的方法：（1）通项法：①若a 1>0，d<0，则S n 必有最大值，其n 可用不等式组100n n a a +≥⎧⎨≤⎩，来确定；②若a 1<0，d>0，则S n 必有最小值，其n 可用不等式组100n n a a +≤⎧⎨≥⎩，来确定．（2）二次函数法：等差数列{a n }中，由于S n =na 1+–12n n （）d=2d n 2+（a 1–2d）n ，可用求函数最值的方法来求前n 项和的最值，这里应由n ∈N *及二次函数图象的对称性来确定n 的值． （3）不等式组法：借助S n 最大时，有–11n n nn S S S S +≥⎧⎨≥⎩，（n ≥2，n ∈N *），解此不等式组确定n 的范围，进而确定n 的值和对应S n 的值（即S n 的最值）． （二）其他数列1．求数列前n 项和的常用方法 （1）分组求和法分组转化法求和的常见类型①若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和．②通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论． （2）裂项相消法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项． 如：是公差为的等差数列，求解：由∴ （3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加．{}n a d 111nk k k a a =+∑()()11111110k k k k k k d a a a a d d a a ++⎛⎫==-≠ ⎪+⎝⎭·11111223111*********nnk k k k k k n n a a d a a d a a a a a a ==+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑……11111n d a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭相加2．数列与函数综合（1）数列与函数的综合问题主要有以下两类：①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．（2）解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常用解法有助于该类问题的解决． 3．数列与不等式综合与数列有关的不等式的命题常用的方法有：比较法（作差作商）、放缩法、利用函数的单调性、数学归纳法证明，其中利用不等式放缩证明是一个热点，常常出现在高考的压轴题中，是历年命题的热点．利用放缩法解决“数列+不等式”问题通常有两条途径：一是先放缩再求和，二是先求和再放缩． 4．以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用函数的单调性求解； 5．以数列为背景的不等式证明问题，多与数列求和有关，有时利用放缩法证明．1．【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学】在数列{}n a 中，35a =，()120n n a a n ++--=∈N ，若25n S =，则n =A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】因为()120n n a a n ++--=∈N ，所以1=2n n a a +-=d ，所以数列{}n a 是等差数列，121121n n n n n n S a a a a S a a a a --=++++⎫⎬=++++⎭…………()()()12112n n n n S a a a a a a -=++++++……所以()11145 ,1,512252a a n n n na +=⎧⎪∴==⎨-+⋅=⎪⎩．故选C ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列性质的判定，考查等差数列的通项和前n 项和的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．2．【广西桂林市2019届高三4月综合能力检测（一模）数学】等差数列{}n a 中，27a =，623a =，则4a = A ．11 B ．13 C ．15 D ．17【答案】C【解析】等差数列{}n a 中，27a =，623a =，62423744,a a d d d =+⇒=+⇒= 根据等差数列的通项公式得到42215.a a d =+=故选C ．【名师点睛】这个题目考查了等差数列的概念以及通项公式的应用属于基础题． 3．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】等差数列{}n a 中，若46131520a a a a +++=，则101215a a -的值是A ．4B ．5C ．6D ．8【答案】A【解析】∵()461315415220a a a a a a +++=+=，∴41510a a +=， ∴()1012101211555a a a a -=-()891011121215a a a a a a =++++- ()89101115a a a a =+++()41525a a =+4=．故选A ． 【名师点睛】本题考查等差数列中下标和性质的应用，解题的关键是进行适当的变形，以得到能运用性质的形式．本题也可转化为等差数列的首项和公差后进行求解，属于基础题．4．【广西桂林市、贺州市、崇左市2019届高三下学期3月联合调研考试数学】设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若21016a a +=，714S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．3C ．6D ．2【答案】B【解析】方法一：设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为1777()142a a S +==，得174a a +=①， 因为21016a a +=，所以11116a a +=②，②–①得，11712a a -=，即412d =，所以3d =，故选B ．方法二：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为21016a a +=，714S =，所以112101672114a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得173a d =-⎧⎨=⎩，故选B ．【名师点睛】本题主要考查了等差数列基本量求解，属于基础题．等差数列基本量求解的通法是方程组法，利用等差数列的通项公式、求和公式将条件转化为关于1a 和d 的方程组，进而求解；另外也可以运用性质法，即利用等差数列的相关性质公式以及通项公式、求和公式直接求出基本量．5．【四川省峨眉山市2019届高三高考适应性考试数学】在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于 A ．66 B ．132 C ．–66 D ．–132【答案】D【解析】因为3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，所以3924a a +=-， 又396242a a a +=-=，所以612a =-，61111111211()13222a a a S ⨯⨯+===-，故选D ．【名师点睛】本题考查等差数列的性质及求和公式，考查方程思想，是基础题．6．【四川省百校2019年高三模拟冲刺卷数学】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且728S =，则4a = A ．4 B ．7 C ．8 D ．14【答案】A 【解析】()177477282a a S a +===，故44a =，故选A ．【名师点睛】本题考查等差数列求和及基本性质，熟记求和公式及性质，准确计算是关键，是基础题． 7．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且86a =，828S =，则其公差为A ．47 B ．57 C ．47-D ．57-【答案】B【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由86a =，828S =，则1176878282a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得57d =，故选B ．【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等差数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．8．【四川省雅安市2019届高三第三次诊断考试数学】已知等差数列{}n a ，12018a =-，其前n 项和为n S ，20192018120192018S S -=，则2019S = A ．0 B ．1 C ．2018 D ．2019【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()112n n n S na d -=+， 所以2019110092019S a d =+，20181201720182S a d =+，代入20192018120192018S S -=，得2d =． 所以()20192019201820192018202S ⨯=⨯-+⨯=．故选A ． 【名师点睛】本题主要考查了等差数列前n 项和公式，考查方程思想及计算能力，属于中档题．9．【重庆市南开中学2019届高三第三次教学质量检测考试数学】等差数列{}n a 的前7项和为28，108a =，则7a = A ．6B ．7【答案】A【解析】由题得11717672822,2,,26623398a d a d a a d ⨯⎧+⨯=⎪∴==∴=+⨯=⎨⎪+=⎩．故选A ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项的基本量的计算，考查等差数列的前n 项和的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．10．【贵州省贵阳市2019届高三2月适应性考试（一）数学】已知{a n }为递增的等差数列，a 4+a 7=2，a 5•a 6=–8，则公差d = A ．6 B ．6- C ．2- D ．4【答案】A【解析】∵{a n }为递增的等差数列，且a 4+a 7=2，a 5•a 6=–8，∴a 5+a 6=2，∴a 5，a 6是方程22x 80x --=的两个根，且a 5<a 6，∴a 5=–2，a 6=4，∴d =a 6–a 5=6，故选A ． 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查方程的构造及解法，是基础的计算题． 11．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第四次模拟考试数学】在等差数列{}n a 中，若35791155a a a a a ++++=，33S =，则5a 等于A ．9B ．7C ．6D ．5【答案】B【解析】因为35791155a a a a a ++++=，所以5a 7=55，所以711a =， 因为33S =，所以21a =，所以公差7225a a d -＝＝，所以5237a a d =+=．故选B ． 【名师点睛】本题考查等差数列的第5项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．12．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第四次模拟考试数学】在等差数列{}n a 中，若357911355,3a a a a a s ++++==，则5a 等于A ．5B ．6【答案】C【解析】在等差数列{}n a 中，因为35791155a a a a a ++++=，所以7755511a a =⇒=， 又33S =，123223331a a a a a ∴++=⇒=⇒=，又因为7252a a d d =+⇒=，5237a a d ∴=+=，故选C ．【名师点睛】本题考查了等差数列的性质．13．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】在数列{}n a 中，已知121n n n n a a a a +++-=-，10101a =，则该数列前2019项的和2019S =A ．2019B ．2020C ．4038D ．4040【答案】A 【解析】121n n n n a a a a +++-=-，122n n n a a a ++∴=+，{}n a ∴为等差数列，10101a =，()1201910102019201920192201922a a a S +⨯∴===．【名师点睛】本题考查等差中项，等差数列的基本性质，属于简单题．14．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】在等差数列{}n a 中，已知10101a =，则该数列前2019项的和2019S = A ．2018 B ．2019 C ．4036 D ．4038【答案】B【解析】由题得2019S =1201910102019)201920192a a a +==（．故选B ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和，考查等差中项的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．15．【贵州省2019年普通高等学校招生适应性考试数学】等差数列{}n a 中，2a 与4a 是方程2430x x -+=的两根，则12345a a a a a ++++=A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】C【解析】∵2a 与4a 是方程2430x x -+=的两根，∴2a +4a ＝4＝1a +532a a =， 则1234510a a a a a ++++=．故选C ．【名师点睛】本题考查了等差数列的性质、一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题． 16．【贵州省遵义市绥阳中学2019届高三模拟卷（二）数学】若等差数列{}n a 的前n 项和为258,2,8n S a a S +=-=，则n S =A ．22n n -B ．27n n -C ．251n n ++D ．27n n -+【答案】B【解析】令()11n a a n d =+-，则1114287882a d a d a d +++=-⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩162a d =-⎧⇒⎨=⎩ 所以()216272n n n S n n n ⨯-=-⨯+⨯=-，故选B ． 【名师点睛】本题考查等差数列基本量的计算，关键在于能够将已知条件转化为关于基本量的方程，属于基础题．17．【贵州省遵义市绥阳中学2019届高三模拟卷（一）数学】已知等差数列{}n a 的前n 项和分别为n S ，912162a a =+，24a =，若数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前k 项和为1011，则k =A ．11B ．10C ．9D ．8【答案】B【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()11118116,24,a d a d a d ⎧+=++⎪⎨⎪+=⎩解得12a d ==．()21222n n n S n n n-∴=+⨯=+，()111111nS n n n n ∴==-++， 1211111111110112231111k S S S k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，10k =．故选B ． 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式，考查裂项相消法，考查计算能力与推理能力，属于中档题．18．【云南省昆明市2019届高三高考模拟（第四次统测）数学】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，721S =，则4a = A ．0 B ．2 C ．3 D ．6【答案】C【解析】因为{}n a 是等差数列，所以1717744217)2(6263S a a a a a a ++=⇒=⇒=⇒==，故本题选C ．【名师点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式和等差数列的性质．考查了运算能力． 19．【云南省保山市2019年普通高中毕业生市级统一检测数学】已知等差数列{}n a 满足711a =，2810a a +=，则11=SA ．176B ．88C ．44D ．22【答案】B【解析】因为数列{}n a 是等差数列，由2810a a +=，得55a =，又711a =， 则()()111571*********a a a a S ++===，故选B ．【名师点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．20．【西藏拉萨市2019届高三第三次模拟考试数学】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，34222S a S =+，则8a =A ．8B ．9C ．16D ．15【答案】D【解析】由题意，因为11a =，34222S a S =+， 即111322(3)2(3)22a d a d a d ⨯⨯+=+++，解得2d =， 所以81717215a a d =+=+⨯=，故选D ．【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．21．【西藏拉萨市2019届高三下学期第二次模拟考试数学】已知等差数列{}n a 的前n 项和2n S n bn c =++，等比数列{}n b 的前n 项和3nn T d =+，则向量(,)c d =a 的模为A ．1 BCD ．无法确定【答案】A【解析】等差数列{}n a 前n 项和()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，即常数项为0的二次式， 而根据已知2n S n bn c =++，故可得0c =，等比数列{}n b 的前n 项()1111111n n n b q b bT q qq q-==----， 而根据已知3nn T d =+，可得11111b d q b q⎧=⎪-⎪⎨⎪-=⎪-⎩，即1d =-，因此向量()0,1=-a ，则1=a ，故选A ．【名师点睛】本题考查等差数列和等比数列求和公式的性质，属于中档题．22．【西藏山南市第二高级中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学】在等差数列{}n a 中，1516a a +=，则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．31-【答案】B【解析】在等差数列{}n a 中，1516a a +=，()51555164022S a a ∴=+=⨯=，故选B ． 【名师点睛】本题考查等差数列的前n 项和的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用．23．【西藏拉萨市2019届高三下学期第二次模拟考试数学】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且859a a -=，8566S S -=，则33a =A ．82B ．97C ．100D ．115【答案】C【解析】因为等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且859a a -=，所以39d =，解得3d =， 又由8566S S -=，所以11875483536622a a ⨯⨯+⨯--⨯=，解得14a =， 所以331324323100a a d =+=+⨯=，故选C ．【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等差数列的求和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n 项和公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．24．【四川省凉山州2019届高中毕业班第二次诊断性检测数学】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，116m S -=，25m S =，11a =（2m ≥，且m ∈N ），则m 的值是A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，116m S -=，25m S =， ∴19m m m a S S -=-=，又25m S =，11a =，∴()15252m m a a m S m +===，∴5m =，故选B ．【名师点睛】本题考查等差数列前n 项和公式，考查前n 项和与通项的关系，考查计算能力．25．【四川省内江市2019届高三第一次模拟考试数学】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33a =，621S =，则数列{}n a 的公差为 A ．1 B ．–1 C ．2 D ．–2【答案】A【解析】∵S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 3＝3，S 6＝21，∴316123656212a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得a 1＝1，d ＝1．∴数列{a n }的公差为1．故选A ． 【名师点睛】本题考查数列的公差的求法，考查等差数列的前n 项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．26．【四川省成都市2019届高三毕业班第一次诊断性检测数学】设n S 为等差数列的前n 项和，且3652a a a +=+，则7S =A ．28B ．14C ．7D ．2【答案】B【解析】因为563542a a a a a +=+=+，所以42a =，177477142a a S a +=⨯==，故选B ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n 项和公式，属于中档题．求解等差数列有关问题时，要注意应用等差数列的性质2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系．27．【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若57a =，则9S =__________． 【答案】63【解析】因为57a =，所以()199599632a a S a +===．故答案为：63． 【名师点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和，以及等差数列的性质，熟记公式即可，属于基础题型． 28．【广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若211n n n n a a a a +++-=-，12a =，38a =，则4S =__________．【答案】26【解析】因为211n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}n a 为等差数列，设公差为d ，则8232d -==，所以443423262S ⨯=⨯+⨯=．故答案为：26． 【名师点睛】本题主要考查了等差数列的定义及求和公式的应用，属于基础题．29．【四川省南充市高三2019届第二次高考适应性考试高三数学】设等差数列{}n a 满足：127a a +=，136a a -=-，则5a =__________．【答案】14【解析】∵等差数列{a n }满足：a 1+a 2＝7，a 1–a 3＝–6．∴1111726a a d a a d ++=⎧⎨--=-⎩，解得a 1＝2，d ＝3，∴5a ＝a 1+4d ＝2+4×3＝14．故答案为：14． 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的性质等基础知识，属于基础题． 30．【四川省内江、眉山等六市2019届高三第二次诊断性考试数学】中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九日走1260里，第一日，第四日，第七日所走之和为390里，则该男子的第三日走的里数为__________． 【答案】120【解析】由题意，男子每天走的里数符合等差数列，设这个等差数列为{}n a ，其公差为d ，前n 项和为n S ．根据题意可知，91471260,390S a a a =++=，法一：()199********,1402a a S a a +===∴=，147443390,130a a a a a ++==∴=， 5410d a a ∴=-=，34120a a d ∴=-=．故答案为：120．法二：91471260390S a a a =⎧⎨++=⎩，11119891260236390a d a a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪++++=⎩，解得110010a d =⎧⎨=⎩， 所以312120a a d =+=．故答案为：120．【名师点睛】本题考查文字描述转化数学语言的能力，等差数列求和和通项以及基本性质，属于简单题．。
西藏山南地区第二高级中学2019届高三上学期期中模拟数学试题含答案
山南地区第二高级中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 以下四个命题中，真命题的是（ ） A ．(0,)x π∃∈，sin tan x x =B ．“对任意的x R ∈，210x x ++>”的否定是“存在0x R ∈，20010x x ++<C ．R θ∀∈，函数()sin(2)f x x θ=+都不是偶函数D ．ABC ∆中，“sin sin cos cos A B A B +=+”是“2C π=”的充要条件【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力．2． 复数ii -+3)1(2的值是（ ）A ．i 4341+-B ．i 4341-C ．i 5351+-D ．i 5351- 【命题意图】本题考查复数乘法与除法的运算法则，突出复数知识中的基本运算，属于容易题．3． 函数()2cos()f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕ-π<<）的部分图象如右图所示，则 f （0）的值为（ ）A.32-B.1-C.D.【命题意图】本题考查诱导公式，三角函数的图象和性质，数形结合思想的灵活应用. 4． 已知α，[,]βππ∈-，则“||||βα>”是“βαβαcos cos ||||->-”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力.5． 若集合,则= ( )ABCD6． 已知函数()sin()(,0)4f x x x R πωω=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ω=的图象，只要将()y f x =的图象（ ）A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度7． 已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(0)2πϕ<<与y 轴的交点为(0,1)，且图像上两对称轴之间的最小距离为2π，则使()()0f x t f x t +--+=成立的t 的最小值为（ ）A ．6πB ．3πC ．2π D ．23π8． 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是，，，BH 为AC 边上的高，5BH =，若2015120aBC bCA cAB ++=，则H 到AB 边的距离为（ ）A ．2B ．3 C.1 D ．49． 执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )。
西藏山南市第二高级中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题(解析版)
西藏山南市第二高级中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x＞3}，B={x|x−1x−4＜0}则A∩B=（）A. φB. (3,4)C. (−2,1)D. (4,+∞)2.复数Z=2i1+i，则Z−对应的点所在的象限为（）A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限3.下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A. y=2xB. y=√xC. y=|x|D. y=−x2+14.函数y=cos2（x+π4）-sin2（x+π4）的最小正周期为（）A. 2πB. πC. π2D. π45.以下说法错误的是（）A. 命题“若“x2−3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2−3x+2≠0”B. “x=2”是“x2−3x+2=0”的充分不必要条件C. 若命题p：存在x0∈R，使得x02−x0+1<0，则￢p：对任意x∈R，都有x2−x+1≥0D. 若p且q为假命题，则p，q均为假命题6.在等差数列{a n}中，a1+a5=16，则S5=（）A. 80B. 40C. 31D. −317.函数f（x）=ln x−3x的零点所在的区间是（）A. (1,2)B. (1,e)C. (e,3)D. (3,+∞)8.二项式（x+1x2）6的展开式中，常数项为（）A. 64B. 30C. 15D. 19.执行如图所示的程序框图，若p=0.9，则输出的n为（）A. 6B. 5C. 4D. 310. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1左右焦点分别为F 1，F 2，双曲线x 2m 2−y 2n 2=1的一条渐近线交椭圆于点P ，且满足PF 1⊥PF 2，已知椭圆的离心率为e 1=34，则双曲线的离心率e 2=（ ）A. √2B. 9√28 C. 9√24 D. 3√2211. 若抛物线y 2=2px （p ＞0）上一点到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p 的值为（ ） A. 2 B. 18 C. 2或18 D. 4或16 12. 已知x 、y 满足不等式组{x ≥0x −y ≤04x +3y ≤14，设（x +2）2+（y +1）2的最小值为ω，则函数f （t ）=sin （ωt +π6）的最小正周期为（ ）A. π2B. π2C. π2D. 2π5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =（x ，1），b ⃗ =（3，-2），若a ⃗ ∥b ⃗ ，则x =______． 14. 若∫a1（2x +1x ）dx =3+ln2（a ＞1），则a 的值是______．15. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b =1，c +b =2a cos B ，当△ABC 的面积最大时，cos A =______． 16. 设不等式组{x −2y +2≥0x ≤4y ≥−2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到直线x -5=0的距离大于7的概率是______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，已知A =π4，cos B =2√55．（Ⅰ）求cos C 的值；（Ⅱ）若BC =2√5，D 为AB 的中点，求CD 的长．18.设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1-2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1，（a＞b＞0）的离心率为√22，其中左焦点F（-2，0）．（Ⅰ）求出椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线y=x+m与曲线C交于不同的A、B两点，且线段AB的中点M在曲线x2+2y=2上，求m的值．20.已知函数f(x)=e axx−1．（1）当a=1时，求曲线f（x）在（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间．21.袋中装有黑色球和白色球共7个，从中任取2个球都是白色球的概率为17．现有甲、乙两人从袋中轮流摸出1个球，甲先摸，乙后摸，然后甲再摸，……，摸后均不放回，直到有一人摸到白色球后终止．每个球在每一次被摸出的机会都是等可能的，用X表示摸球终止时所需摸球的次数．（1）求随机变量X的分布列和均值E（X）；（2）求甲摸到白色球的概率．22. 已知直线l 的参数方程为{x =3−√22ty =√5+√22t（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ=2√5sinθ． （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为（3，√5），求|PA |+|PB |．23. 已知f （x ）=|x +1|-|ax -1|．（1）当a =1时，求不等式f （x ）＞1的解集；（2）若x ∈（0，1）时不等式f （x ）＞x 成立，求a 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合A={x|x＞3}，B={x|＜0}={x|1＜x＜4}，A∩B={x|3＜x＜4}．故选：B．利用交集的定义和不等式的性质求解．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．2.【答案】A【解析】解：Z====1+i，则=1-i，对应的点的坐标为（1，-1）位于第四象限，故选：A．根据复数的运算法则进行化简，结合共轭复数以及复数的几何意义进行判断即可．本题主要考查复数的几何意义，结合复数的运算法则进行化简是解决本题的关键．3.【答案】D【解析】解：A．根据y=2x的图象知该函数非奇非偶，∴该选项错误；B．根据的图象知该函数非奇非偶，∴该选项错误；C．x∈（0，+∞）时，y=|x|=x为增函数；即y=|x|在（0，+∞）上单调递增，∴该选项错误；D．显然y=-x2+1为偶函数，根据其图象可看出该函数在（0，+∞）上单调递减，∴该选项正确．故选：D．由奇函数和偶函数图象的对称性，根据y=2x和的图象便可判断出A，B错误，而由y=x的单调性便可判断选项C错误，对于D，由偶函数的定义便可判断该函数为偶函数，由该二次函数的图象便可判断出在（0，+∞）上单调递减，从而得出D正确．考查奇函数和偶函数图象的对称性，清楚y=2x和的图象，一次函数的单调性，偶函数的定义，以及二次函数的单调性的判断．4.【答案】B【解析】解：y=cos2（x+）-sin2（x+）=cos（2x+）=-sin2x，∴函数的最小正周期为：，故选：B．先利用二倍角的余弦公式化简函数解析式，然后利用周期公式可求答案．本题考查三角函数的周期性及其求法，考查二倍角的余弦公式，属基础题．5.【答案】D【解析】解：A．“若“x2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2-3x+2≠0”，正确；B．由x2-3x+2=0，解得x=1，2，因此“x=2”是“x2-3x+2=0”的充分不必要，正确；C．命题p：存在x0∈R，使得x02-x0+1＜0，则￢p：对任意x∈R，都有x2-x+1≥0，正确；D．由p且q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，因此不正确．故选：D．A．利用逆否命题的定义即可判断出正误；B．由x2-3x+2=0，解得x=1，2，即可判断出关系；C．利用￢p的定义即可判断出；D．由p且q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，即可判断出正误．本题考查了简易逻辑的判定方法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题解：∵在等差数列{a n}中，a1+a5=16，∴S5==40．故选：B．利用等差数列通项公式求解．本题考查等差数列的前5项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．7.【答案】C【解析】解：函数f（x）=lnx在（0，+∞）上连续，且f（e）=10，f（3）=ln3-1＞0，故选：C．由题意，函数f（x）=lnx在（0，+∞）上连续，计算f（e），f（3）即可．本题考查了零点的判定定理，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：二项式（x+）6的展开式的通项公式为T r+1=•x6-r•（）r=•x6-3r，令6-3r=0，求得r=2，故展开式中的常数项为=15，故选：C．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，再求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，是基础题目．9.【答案】B【解析】解：执行如图所示的程序框图，有满足条件S＜P，有S=，n=2；满足条件S＜P，有S=+，n=3；满足条件S＜P，有S=++，n=4；满足条件S＜P，有S=+++=，n=5；不满足条件S＜P，退出循环，输出n的值为5．故选：B．执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当S≥0.9时，不满足条件S＜P，退出循环，输出n的值．本题考查了程序框图和算法的应用问题，是对基本知识的考查．10.【答案】B【解析】解：椭圆左右焦点分别为F1，F2，椭圆的离心率为，不妨令a=4，c=3，则b=，所以椭圆方程为：，双曲线的一条渐近线交椭圆于点P，且满足PF1⊥PF2，可设P（s，t）s＞0，t＞0，则：，解得=，可得，双曲线的离心率为：==．故选：B．利用椭圆的离心率，设出椭圆方程，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．11.【答案】C【解析】解：∵抛物线y2=2px（p＞0）上一点到的对称轴的距离6，∴设该点为P，则P的坐标为（x，±6）∵P到抛物线的焦点F（，0）的距离为10∴由抛物线的定义，得x0+=10 (1)∵点P是抛物线上的点，∴2px0=36 (2)（1）（2）联解，得p=2，x0=9或p=18，x0=1故选：C．由抛物线上点P到的对称轴的距离6，设P的坐标为（x0，±6）．根据点P坐标适合抛物线方程及点P到焦点的距离为10，联列方程组，解之可得p与x0的值，从而得到本题的答案．本题已知抛物线上一点到焦点和到对称轴的距离，求抛物线的焦参数p，着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．12.【答案】D【解析】解：作出不等式组对应的平面区域，（x+2）2+（y+1）2的几何意义是区域内的点到定点C（-2，-1）的距离的平方由图象知OC的距离最小，此时最小值为ω=（0+2）2+（0+1）2=4+1=5，f（t）=sin（5t+），则最小正周期T=，故选：D．作出不等式组对应的平面区域，利用，（x+2）2+（y+1）2的几何意义求出ω的值，然后根据三角函数的周期公式进行求解即可．本题主要考查三角函数周期的计算以及线性规划的应用，根据线性规划的知13.【答案】-32【解析】解：∵向量=（x，1），=（3，-2），，∴，解得x=-．故答案为：-．利用向量平行的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】2【解析】解：=（x2+lnx）=a2+lna-（1+ln1）=3+ln2，a＞1，∴a2+lna=4+ln2=22+ln2，解得a=2，故答案为：2；根据题意找出2x+的原函数，然后根据积分运算法则，两边进行计算，求出a值；此题主要考查定积分的计算，解题的关键是找到被积函数的原函数，此题是一道基础题．15.【答案】0【解析】解：：∵b+c=2acosB，∴sinB+sinC=2sinAcosB，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinB=sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B），由A，B∈（0，π），∴B=A-B，或B=π-（A-B），∴A=2B，或A=π（舍去）．∴A=2B，C=π-A-B=π-3B．由正弦定理可得，∴a=2cosB，∴S=absinC=cosBsin（π-3B）=cosBsin（B+2B）=cosBsinBcos2B+cos2Bsin2B= sin2Bcos2B+=sin2B，∴当2B=时S 取得最大值，此时cosA=cos2B=cos =0．故答案为：0．利用正弦定理将边化角，得出A=2B ，利用正弦定理求出a ，带入面积公式可得S 关于B 的函数，从而得出面积最大时对应的B 的值．本题考查了三角恒等变换，正弦定理，三角形的面积公式，属于中档题． 16.【答案】425【解析】解：如图，不等式对应的区域为△DEF 及其内部．其中D （-6，-2），E （4，-2），F （4，3）， 求得直线DF 、EF 分别交x 轴于点B （-2，0），∵当点D 在线段x=-2上时，点D 到直线x-5=0的距离等于7，∴要使点D 到直线的距离大于2，则点D 应在△BCD 中（或其边界） 因此，根据几何概型计算公式，可得所求概率=．故答案为：．作出可行域，以面积为测度，可得概率．本题考查几何概型，考查面积的计算，确定以面积为测度是关键．17.【答案】解：（Ⅰ）∵cos B =2√55且B ∈（0，π）， ∴sin B =√1−cos 2B =√55，则cos C =cos （π-A -B ）=cos （3π4-B ）=cos 3π4cos B +sin 3π4sin B =-√22-2√55+√22-√55=-√1010；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sin C =√1−cos 2C =(−√1010)=3√1010，由正弦定理得BC sinA =ABsinC ，即2√5√22=3√1010，解得AB =6，在△BCD 中，CD 2=BC 2+AD 2-2BC •AD cos B =（2√5）2+32-2×3×2√5×2√55=5，所以CD=√5．【解析】（I）由cosB的值及B的范围求出sinB的值，所求式子利用诱导公式及内角和定理变形，再利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出cosC的值；（Ⅱ）由cosC的值，求出sinC的值，根据BC，sinA，以及sinC的值，利用正弦定理求出AB的唱，再利用余弦定理即可求出CD的长．此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及正弦、余弦定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．18.【答案】解：（1）由a1=1，及S n+1=4a n+2，得a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，所以b1=a2-2a1=3．由S n+1=4a n+2，①则当n≥2时，有S n=4a n-1+2，②①-②得a n+1=4a n-4a n-1，所以a n+1-2a n=2（a n-2a n-1），又b n=a n+1-2a n，所以b n=2b n-1（b n≠0），所以{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（6分）（2）由（I）可得b n=a n+1-2a n=3•2n-1，等式两边同时除以2n+1，得a n+12n+1−a n2n=34．所以数列{a n2n }是首项为12，公差为34的等差数列．所以a n2n =12+(n−1)34=34n−14，即a n=（3n-1）•2n-2（n∈N*）．（13分）【解析】（1）由题设条件知b1=a2-2a1=3．由S n+1=4a n+2和S n=4a n-1+2相减得a n+1=4a n-4a n-1，即a n+1-2a n=2（a n-2a n-1），所以b n=2b n-1，由此可知{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（2）由题设知．所以数列是首项为，公差为的等差数列．由此能求出数列{a n}的通项公式．本题考查数列的性质和应用，解题时要掌握等比数列的证明方法，会求数列的通项公式．19.【答案】解：（Ⅰ）由题意得，ca =√22，c =2，解得：a =2√2，b =2， 所以椭圆C 的方程为：x 28+y 24=1．-----------------（6分）（Ⅱ）设点A ，B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），线段AB 的中点为M （x 0，y 0）， 由{x 28+y 24=1y =x +m ，消去y 得3x 2+4mx +2m 2-8=0，-----------------（8分） 由△=96-8m 2＞0，解得-2√3＜m ＜2√3， 所以x 0=x 1+x 22=-2m 3，y 0=x 0+m =m3，因为点M （x 0，y 0）在曲线x 2+2y =2上， 所以(−2m 3)2+2×m 3=2，即m =32或m =−3-----------------（12分）【解析】（Ⅰ）首先，根据椭圆的离心率和左焦点坐标，可以确定a=2，b=2，从而确定其椭圆的标准方程；（Ⅱ）首先，设A ，B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），线段AB 的中点为M （x 0，y 0），然后，联立方程组，利用韦达定理，建立等式，求解即可．本题重点考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题． 20.【答案】解：当a =1时，f(x)=e x x−1，则f ′(x)=e x (x−2)(x−1)2．又f （0）=e 00−1=−1，f ′(0)=e 0(0−2)(0−1)2=−2，所以f （x ）在（0，f （0））处的切线方程为y -（-1）=-2（x -0），即y =-2x -1； （2）由函数f(x)=e axx−1，得：f ′(x)=e ax [ax−(a+1)](x−1)2．当a =0时，f ′(x)=−1(x−1)2＜0，又函数的定义域为{x |x ≠1}，所以 f （x ）的单调递减区间为（-∞，1），（1，+∞）． 当a ≠0时，令f ′（x ）=0，即ax -（a +1）=0，解得x =a+1a，当a ＞0时，x =a+1a＞1，所以f ′（x ），f （x ）随x 的变化情况如下表 x （-∞，1） 1 (1，a +1a) a +1a(a +1a，+∞) f ′（x ）-无定义- 0 +所以f （x ）的单调递减区间为（-∞，1），（1，a+1a），单调递增区间为(a+1a，+∞)， 当a ＜0时，x =a+1a＜1，所以所以f ′（x ），f （x ）随x 的变化情况如下表所以f （x ）的单调递增区间为(−∞，a+1a)，单调递减区间为(a+1a，1)，（1，+∞）．【解析】（1）把a=1代入函数解析式，求出函数在x=0时的函数值f （0），求出f ′（0），利用直线方程的点斜式可得曲线f （x ）在（0，f （0））处的切线方程；（2）求出原函数的导函数，分a=0，a ＜0，a ＞0三种情况分析导函数在定义域内的符号，当a=0时，导函数在定义域内恒小于0，所以原函数在定义域内的两个区间内单调递减，当a≠0时，求出导函数的零点由零点把定义域分段，判断导函数在各段内的符号，从而得到原函数的单调区间．本题考查了利用导数求曲线上的某点的切线方程，考查了利用函数的导函数研究函数的单调性，解答此题时，最后下结论的时候学生容易出错，误把函数的减区间取并集．此题是中档题．21.【答案】解：设袋中白色球共有x 个，x ∈N *且x ≥2，则依题意知C x 2C 72=17，所以x(x−1)2×17×62×1=17，即x 2-x -6=0，解得x =3（x =-2舍去）． （1）袋中的7个球，3白4黑，随机变量X 的所有可能取值是1，2，3，4，5． P （X =1）=A 31A 71=37，P （X =2）=A 41A 31A 72=27，P （X =3）=A 42A 31A 73=635，P （X =4）=A 43A 31A 74=335，P （X =5）=A 44A 31A 75=135．随机变量X 的分布列为X 1 2 3 4 5 P3727635335135所以E （X ）=1×37+2×27+3×635+4×335+5×135=2． （2）记事件A 为“甲摸到白色球”，则事件A 包括以下三个互斥事件：A 1=“甲第1次摸球时摸出白色球”； A 2=“甲第2次摸球时摸出白色球”； A 3=“甲第3次摸球时摸出白色球”． 依题意知，P （A 1）=A 31A 71=37，P （A 2）=A 42A 31A 73=635，P （A 3）=A 44A 31A 75=135，所以甲摸到白色球的概率为P （A ）=P （A 1）+P （A 2）+P （A 3）=37+635+135=2235． 【解析】设袋中白色球共有x 个，x ∈N *且x≥2，则依题意知=，解得x=3，（1）袋中的7个球，3白4黑，随机变量X 的所有可能取值是1，2，3，4，5．求出概率，得到随机变量X 的分布列然后求解期望．（2）记事件A 为“甲摸到白色球”，则事件A 包括以下三个互斥事件：A 1=“甲第1次摸球时摸出白色球”；A 2=“甲第2次摸球时摸出白色球”；A 3=“甲第3次摸球时摸出白色球”．求出概率，利用互斥事件概率的和求解即可．本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，互斥事件的概率的求法，考查计算能力．22.【答案】解：（1）由x =ρcosθ，y =ρsinθ，x 2+y 2=ρ2，圆C 的极坐标方程为ρ=2√5sinθ，即为x 2+y 2=2√5y ，即为x 2+（y -√5）2=5；（2）将l 的参数方程代入圆的方程可得，（3-√22t ）2+（√22t ）2=5，即有t 2-3√2t +4=0，判别式为18-16=2＞0，设t 1，t 2为方程的两实根， 即有t 1+t 2=3√2，t 1t 2=4， 则t 1，t 2均为正数，又直线l 经过点（3，√5）， 由t 的几何意义可得，|PA |+|PB |=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2=3√2． 【解析】（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x 2+y 2=ρ2，即可得到圆的直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程代入圆的直角坐标方程，化简整理，再由韦达定理和t 的几何意义，即可求得|PA|+|PB|．本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，同时考查直线与圆的位置关系，考查直线参数方程的运用，属于基础题．23.【答案】解：（1）当a =1时，f （x ）=|x +1|-|x -1|={2，x ＞12x ，−1≤x ≤1−2，x ＜−1，由f （x ）＞1，∴{−1≤x ≤12x>1或{x >12>1， 解得x ＞12，故不等式f （x ）＞1的解集为（12，+∞）， （2）当x ∈（0，1）时不等式f （x ）＞x 成立， ∴|x +1|-|ax -1|-x ＞0， 即x +1-|ax -1|-x ＞0， 即|ax -1|＜1， ∴-1＜ax -1＜1， ∴0＜ax ＜2， ∵x ∈（0，1）， ∴a ＞0， ∴0＜x ＜2a ， ∴a ＜2x ∵2x ＞2，∴0＜a ≤2，故a 的取值范围为（0，2]． 【解析】（1）去绝对值，化为分段函数，即可求出不等式的解集，（2）当x ∈（0，1）时不等式f （x ）＞x 成立，转化为即|ax-1|＜1，即0＜ax ＜2，转化为a ＜，且a ＞0，即可求出a 的范围．本题考查了绝对值不等式的解法和含参数的取值范围，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．。
专题04 二项式定理-2019年高考理数母题题源系列全国Ⅲ专版(解析版)
【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为A ．12B ．16C ．20D ．24【答案】A【解析】由题意得x 3的系数为3144C 2C 4812+=+=，故选A ．【名师点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷理数】522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为A ．10B ．20C ．40D ．80【答案】C【解析】由题可得522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通式为()521031552C C 2rr r rr r r T x x x --+⎛⎫⋅⋅== ⎪⎝⎭，令1034r -=，得2r =，所以展开式中4x 的系数为225C 240⨯=．故选C ．【名师点睛】本题主要考查二项式定理，属于基础题．【母题原题3】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数为A ．80-B ．40-C ．40D ．80【答案】C【解析】()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-，专题04 二项式定理由()52x y -展开式的通项公式()()515C 2rrrr T x y -+=-，可得：当3r =时，()52x x y -展开式中33x y 的系数为()3325C 2140⨯⨯-=-； 当2r =时，()52y x y -展开式中33x y 的系数为()2235C 2180⨯⨯-=，则33x y 的系数为804040-=．故选C ．【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．【命题意图】高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查二项式定理的通项公式及其应用，要求同学们熟练掌握并灵活应用二项式定理的通项公式，考查分类讨论的数学思想．【命题规律】高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：一种是利用通项公式求解指定的项；一种利用通项公式考查系数、指数问题，如常数项、2x 项的系数等．重点对该部分内容的考查仍将以能力考查为主，利用题意写出通项公式是关键，通项公式是解决本类问题的核心与灵魂． 【答题模板】解答本类题目，一般考虑如下两步： 第一步：考查()na b +的展开式的通项公式其通项公式为1C r n r rr n T a b -+=，通项公式是后面进行讨论和计算的基础；第二步：结合代数式的整体进行考查结合题意，考查r 的某个值的特殊情形，据此分类讨论即可求得的系数． 【方法总结】 1．二项式()()na b n *+∈N 展开式()011222nn n n r n r rn nn n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++，从恒等式中我们可以发现以下几个特点： （1）()na b +完全展开后的项数为()1n +；（2）展开式按照a 的指数进行降幂排列，对于展开式中的每一项，,a b 的指数呈此消彼长的特点．指数和为n ；（3）在二项式展开式中由于按a 的指数进行降幂排列，所以规定“+”左边的项视为a ，右边的项为b ，比如：()1n x +与()1nx +虽然恒等，但是展开式却不同，前者按x 的指数降幂排列，后者按1的指数降幂排列．如果是()na b -，则视为()na b +-⎡⎤⎣⎦进行展开；（4）二项展开式的通项公式1r n r rr n T C a b -+= （注意是第1r +项）．2．二项式系数：项前面的01,,,nn n n C C C 称为二项式系数，二项式系数的和为2n ；二项式系数的来源：多项式乘法的理论基础是乘法的运算律（分配律，交换律，结合律），所以在展开时有这样一个特征：每个因式都必须出项，并且只能出一项，将每个因式所出的项乘在一起便成为了展开时中的某项．对于()na b +可看作是n 个()a b +相乘，对于n r r a b - 意味着在这n 个()a b +中，有()n r -个式子出a ，剩下r 个式子出b ，那么这种出法一共有r n C 种．所以二项式展开式的每一项都可看做是一个组合问题．而二项式系数便是这个组合问题的结果． 3．系数：是指该项经过化简后项前面的数字因数．注：（1）在二项式定理中要注意区分二项式系数与系数．二项式系数是展开式通项公式中的C rn ，对于确定的一个二项式，二项式系数只由r 决定．而系数是指展开并化简后最后项前面的因数，其构成一方面是二项式系数，同时还有项本身的系数．例如：()521x +展开式中第三项为()32235C 21T x =⋅⋅，其中25C 为该项的二项式系数，而()322335C 2180T x x =⋅⋅=，化简后的结果80为该项的系数．（2）二项式系数与系数的概念不同，但在某些情况下可以相等：当二项式中每项的系数均为1时（排除项本身系数的干扰），则展开后二项式系数与系数相同．例如()51x + 展开式的第三项为()32235C 1T x =⋅⋅，可以计算出二项式系数与系数均为10．4．有理项：系数为有理数，次数为整数的项，比如212,5x x就不是有理项． 5．()na b +与()na b -的联系 首先观察他们的通项公式，()na b +：1r n r r r n T C a b -+=；()n a b -：()()'11r rr n r r n r rr n n T C a b C a b --+=-=-．两者对应项的构成是相同的，对应项的系数相等或互为相反数．其绝对值相等．所以在考虑()na b -系数的绝对值问题时，可将其转化为求()na b +系数的问题．1．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】23(1)(31)x x -+的展开式中4x 的系数是 A ．27 B ．–27 C ．26 D ．–26【答案】B【解析】()()32131x x -+展开式中4x 的系数，1x -中的x 与()3231x +展开式中3x 项相乘，但()3231x +展开式中没有3x 项，1x -中的1-与()3231x +展开式中4x 项相乘，()21243C 327xx =，所以4x 的系数是27-，故选B ．【名师点睛】本题考查二项式的展开式与多项式相乘，得到项的系数，属于简单题．2．【云南省2019届高三第一次高中毕业生复习统一检测数学】在102()x x-的二项展开式中，6x 的系数等于 A ．–180 B ．53- C ．53D ．180【答案】D【解析】102()x x-的二项展开式的通项公式为102110C (2)r r r r T x -+=-⋅⋅， 令1026r -=，求得2r =，可得6x 的系数为2210(21C )80-⋅=．故选D ．【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查二项展开式的通项公式，考查二项展开式的特定项的系数的求法，属于基础题．3．【西藏拉萨市2019届高三第三次模拟考试数学】若()52a x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式的常数项等于–80，则a = A ．–2 B ．2 C ．–4 D ．4【答案】A【解析】由题意3325C (1)80a ⨯-=-，解得2a =-．故选A ．【名师点睛】本题考查二项式定理，解题关键是掌握二项展开式的通项公式，同时掌握多项式乘法法则． 4．【西藏拉萨市2019届高三下学期第二次模拟考试数学】5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为 A ．–80 B ．–40 C ．40 D ．80【答案】C【解析】要求()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数，则x y +中x 与()52x y -展开式中23x y 相乘，以及x y +中y 与()52x y -展开式中32x y 相乘，而()52x y -展开式中，23x y 项为()()233235C 240x y x y -=-，32x y 项为()()322325C 280x y x y -=．所以()()52x y x y +-的展开式中33x y 的项为333333408040x y x y x y -+=，故选C ．【名师点睛】本题考查二项式展开式与多项式相乘，其中某一项的系数，属于基础题．5．【西藏山南市第二高级中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学】二项式621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ．15 D ．1【答案】C【解析】二项式621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为66316621C C rr r rr r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令630r -=，求得2r =，故展开式中的常数项为26C 15=，故选C ．【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．6．【广西柳州市2019届高三毕业班1月模拟考试高三数学】设0sin d x a x π=⎰，则6a x ⎛ ⎝的展开式中的常数项为__________．（用数字填写） 【答案】60【解析】0sin d x a x π=⎰cos πcos02=-+=，则662a x x ⎛⎛= ⎝⎝，展开式的通项为(6162rrr r T C x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，当4r =时得到常数项为(2446260C x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故答案为60．【名师点睛】本题考查了定积分的计算，考查了二项式定理的运用，考查了计算能力，属于基础题．7．【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】二项式63x⎛⎝的展开式中4x 的系数为__________．（用数字作答） 【答案】15【解析】因为二项式63x⎛ ⎝的展开式的通项为()()()1718632216611kk kkk k kk T C x x C x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令71842k -=得4k =， 所以展开式中4x 的系数为()446115C -=．故答案为：15．【名师点睛】本题主要考查指定项的系数，熟记二项展开式的通项公式即可，属于基础题型． 8．【广西南宁市、玉林市、贵港市等2019届高三毕业班摸底考试数学】()()5211x x +-的展开式中的含5x 的系数为__________．（用数字作答） 【答案】11【解析】()()5211x x +-=()()55211x x x -+-而()51x -展开式的通项为()515C 1rr r r T x -+=-取3r =和5r =，得()51x -展开式中含3x 和5x 项的系数分别为10和1， 所以()()5211x x +-的展开式中的含5x 的系数为10+1=11．【名师点睛】本题考查了等价转化的数学思想，以及利用二项式展开式的通项公式解决二项展开式指定项的系数问题，属于基础题．9．【贵州省贵阳市2019年高三5月适应性考试（二）数学】621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为__________． 【答案】15．【解析】通项公式T r +16C r =（x 2）6–r1()r x-=（–1）r 6C r x 12–3r，令12–3r ＝0，解得r ＝4．∴展开式中的常数项为46C =15．故答案为：15．【名师点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10．【贵州省遵义市绥阳中学2019届高三模拟卷（一）数学】()()341212x x +-展开式中4x 的系数为__________． 【答案】48【解析】因为()()()()()()333342221212141214214x x x x x x x+-=--=---，又()3214x-展开式的通项为()2134kk kk TC x +=-，令24k =得2k =，所以原式展开式中4x 的系数为()223448C -=．故答案为：48．【名师点睛】本题主要考查二项式定理，熟记二项展开式的通项公式即可，属于基础题型． 11．【贵州省贵阳第一中学、云南师大附中、广西南宁三中2019届高三“333”高考备考诊断联考数学】若6x ⎛+ ⎝⎭的展开式的常数项是45，则常数a 的值为__________． 【答案】3【解析】6a x ⎛+ ⎝⎭展开式的通项公式为6316·C r r r r T x -+=，令630r -=，求得2r =， 可得它的常数项为26C ·45a =，1545a ∴=，3a ∴= 故答案为：3．【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．12．【贵州省遵义市2019届高三年级第一次联考试卷数学】若二项式2nm x ⎫+⎪⎭展开式的二项式系数之和为32，常数项为10，则实数m 的值为__________． 【答案】2【解析】根据题意，2nm x ⎫⎪⎭展开式中二项式系数之和是32，有2n＝32，则n ＝5，则2nm x ⎫⎪⎭展开式的通项为T r +1＝5C r •）5–r•（2m x ）r ＝m r •5C r •552r x -，令552r-=0，可得r ＝1，则2nm x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为T 2＝m •15C ，则有m •15C ＝10，即m ＝2，故答案为：2．【名师点睛】本题考查二项式定理的应用，解题的关键是由二项式系数的性质求出n ，并得到该二项式的通项．13．【云南省保山市2019年普通高中毕业生市级统一检测数学】已知(12)n x +的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则多项式()211()nx x x++展开式中的常数项为__________． 【答案】35【解析】由()12nx +的展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以6n =．多项式61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项公式：662166C C r r r r rr T x x x ---+==，其中0,1,2,,6r =．考虑61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项和含2x -的项： （1）令622r -=-，则4r =； （2）令620r -=，则3r =．故常数项为4366C C 152035+=+=．故答案为：35．【名师点睛】本题考查了二项式定理的展开式的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 14．【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试数学】()()27231x x --的展开式中，3x 的系数为__________．【答案】–455【解析】依题意，3x 的系数为332217774C (1)12C (1)9C (1)455⨯⨯--⨯⨯-+⨯⨯-=-．故答案为：–455．【点睛】本题考查二项式定理，考查推理论证能力以及分类讨论思想，是基础题．15．【辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟考试数学】1(2)n x x-（n 为正整数）的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含x 项的系数是__________． 【答案】560-【解析】依题意可知2128n =，解得7n =，()712x x --展开式的通项公式为()()()717727721C C 2rrrr r rr x x x ----⋅-=-⋅⋅⋅，当721r -=时3r =，故含x 项的系数为()3437C 12560-⨯⨯=-．故答案为：560-．【点睛】本小题主要考查二项式系数和，考查二项式展开式的通项公式以及二项式展开式中指定项的系数的求法，属于基础题．。
西藏山南市第二高级中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题
西藏山南市第二高级中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧<--=>=041,3x x x B x x A ，则=B A （ ） A ．φ B ．()4,3 C ．()1,2- D ．()+∞,42.复数ii Z +=12，则z 对应的点所在的象限为（ ） A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限3.下列函数中，是偶函数且在区间()+∞,0上单调递减的函数是（ ）A ．x y 2=B ．x y =C ．x y =D ．12+-=x y4.函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin 4cos 22ππx x y 的最小正周期为（ ） A ． π2 B ．π C.2π D ．4π 5.以下说法错误的是（ ） A ．命题“若1,232=+-x x x 则”的逆否命题为“若1≠x ，则0232≠+-x x ”B ．“2=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件C.若命题:P 存在R x ∈0，使得01020<+-x x ，则p ⌝:对任意R x ∈，都有012≥+-x x D ．若p 且q 为假命题，则q p ,均为假命题6.在等差数列{}n a 中，1651=+a a ，则=5S （ ）A ． 80B ．40 C.31 D ．31-7.函数()x x x f 3ln -=的零点所在的区间是（ ） A ．()2,1 B ．()e ,1 C.()3,e D ．()+∞,38.二项式621⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，常数项为（ ） A ．64 B ．30 C. 15 D ．19.执行如图所示的程序框图，若9.0=p ，则输出的n 为（ ）A ．6B ．5 C. 4 D ．310.已知椭圆12222=+b y a x 左右焦点分别为21,F F ，双曲线12222=-ny m x 的一条渐近线交椭圆于点P ，且满足21PF PF ⊥，已知椭圆的离心率为431=e ，则双曲线的离心率=2e （ ）A ．2B ．829 C. 429 D ．223 11.若抛物线()022>=p px y 上一点到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p 的值为（ ）A ．2B ．18 C. 2或18 D ．4或1612.已知y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤-≥143400y x y x x ，设()()2212+++y x 的最小值为ω，则函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6sin πωt t f 的最小正周期为（ ）A ．2πB ．π C. 2π D ．52π 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()()2,3,1,-==b x a ，若//a b ，则=x ．14.若1123ln 2ax dx x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⎰()1a >，则a 的值是 ． 15.在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知B a b c b cos 2,1=+=，当ABC ∆的面积最大时，=A cos ．16.设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤≥+-24022y x y x 表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到直线05=-x 的距离大于7的概率是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆中，已知.552cos ,4==B A π （Ⅰ）求C cos 的值； （Ⅱ）若D BC ,52=为AB 的中点，求CD 的长.18.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知().24,111*+∈+==N n a S a n n （1）设n n n a a b 21-=+，证明数列{}n b 是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式.19.已知椭圆2222:1x y C a b+= ()0a b >> 的离心率为22，其中左焦点()0,2-F . （Ⅰ）求出椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线m x y +=与曲线C 交于不同的B A ,两点，且线段AB 的中点M 在曲线222=+y x 上，求m 的值. 20.已知函数().1-=x e x f ax（1）当1=a 时，求曲线()x f 在()()0,0f 处的切线方程；（2）求函数()x f 的单调区间.21.袋中装有黑色球和白色球共7个，从中任取2个球都是白色球的概率为71，现有甲、乙两人从袋中轮流摸出1个球，甲先摸，乙后摸，然后甲再摸， ，摸后均不放回，直到有一个人摸到白色球后终止，每个球在每一次被摸出的机会都是等可能的，用X 表示摸球终止时所需摸球的次数.（1）求随机变量X 的分布和均值()X E ；（2）求甲摸到白色球的概率.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.23.已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 225223（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为.sin 52θρ=（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点B A ,，若点P 的坐标为()5,3，求.PB PA +24.已知().11--+=ax x x f（1）当1=a 时，求不等式()1>x f 的解集；（2）若()1,0∈x 时不等式()x x f >成立，求的取值范围.试卷答案一、选择题1.【答案】B【解析】 集合{}3A x x =>，104x B x x ⎧-⎫=<⎨⎬-⎩⎭{}14x x =<<{}34A B x x =<< 故选B利用交集的定义和不等式的性质求解.本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用.2.【答案】A 【解析】()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-，则1z i =-，对应的点的坐标为()1,1-位于第四象限，故选A.根据复数的运算法则进行化简，结合共轭复数以及复数的几何意义进行判断即可.本题主要考察复数的几何意义，结合复数的运算法则进行化简是解决本题的关键.3.【答案】D【解析】解：A ．根据2x y =的图象知该函数非奇非偶，∴该选项错误；B ．根据y =∴该选项错误；C ．()0,x ∈+∞ 时，y x x ==为增函数； 即y x = 在()0,+∞ 上单调递增，∴ 该选项错误；D ．显然21y x =+为偶函数，根据其图象可看出该函数在()0,+∞上单调递减，∴该选项正确． 故选：D ．由奇函数和偶函数图象的对称性，根据2x y =和y =,A B 错误，而由y x =的单调性便可判断选项C 错误，对于D ，由偶函数的定义便可判断该函数为偶函数，由该二次函数的图象便可判断出在()0,+∞上单调递减，从而得出D 正确．考查奇函数和偶函数图象的对称性，清楚2x y =和y =及二次函数的单调性的判断．4.【答案】B【解析】 解：22cos sin cos 2sin 2442y x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴函数的最小正周期为：22ππ=， 故选：B ．先利用二倍角的余弦公式化简函数解析式，然后利用周期公式可求答案．本题考查三角函数的周期性及其求法，考查二倍角的余弦公式，属基础题．5.【答案】D【解析】解：A ．“若“2320x x -+= ，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”，正确； B ．由2320x x -+=，解得1,2x =，因此“2x =”是“2320x x -+=”的充分不必要，正确；C ．命题p ：存在0x R ∈，使得20010x x -+<，则:p ⌝对任意x R ∈，都有210x x -+≥，正确；D ．由p 且q 为假命题，则,p q 至少有一个为假命题，因此不正确．故选：D ．A ．利用逆否命题的定义即可判断出正误；B ．由2320x x -+=，解得1,2x =，即可判断出关系；C ．利用p ⌝的定义即可判断出；D ．由p 且q 为假命题，则,p q 至少有一个为假命题，即可判断出正误．本题考查了简易逻辑的判定方法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6.【答案】B【解析】 解：在等差数列{}n a 中，1516a a += ，()51555164022S a a ∴=+=⨯=． 故选：B ．利用等差数列通项公式求解．本题考查等差数列的前5项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．7.【答案】C【解析】解：函数()3ln f x x x=-在()0,+∞上连续， 且()310f e e=-<，()3ln310f =-> ， 故选：C ． 由题意，函数()3ln f x x x=-在()0,+∞上连续，计算()(),3f e f 即可． 本题考查了零点的判定定理，属于基础题．8.【答案】C【解析】 解：二项式621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为 66316621rr r r r r T C x C x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭， 令630r -= ，求得2r = ，故展开式中的常数项为2615C = ， 故选：C ．在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，再求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，是基础题目．9.【答案】B【解析】解：执行如图所示的程序框图，有0.9,1,0P n s === ，满足条件S P <，有1,22S n ==； 满足条件S P <，有1124S =+ ,3n =； 满足条件S P <，有111248S =++，4n = ； 满足条件S P <，有1111152481616S =+++=，5n = ； 不满足条件S P <，退出循环，输出n 的值为5．故选：B ．执行程序框图，依次写出每次循环得到的,S n 的值，当0.9S ≥时，不满足条件S P <，退出循环，输出n 的值．本题考查了程序框图和算法的应用问题，是对基本知识的考查．10.【答案】B【解析】 解：椭圆22221x y a b +=左右焦点分别为12,F F ，椭圆的离心率为134e =，不妨令4,3a c ==，则b = 所以椭圆方程为：221167x y +=，双曲线22221x y m n -=的一条渐近线交椭圆于点P ，且满足12PF PF ⊥ ，可设(),0,0P s t s t >> ，则：222291167s t st⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得24932t s ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得224932n m =8==．故选：B ．利用椭圆的离心率，设出椭圆方程，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．11.【答案】C【解析】 解：抛物线22y px =()0p >上一点到的对称轴的距离6，∴ 设该点为P ，则P 的坐标为()0,6x ± P 到抛物线的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离为10∴ 由抛物线的定义，得0102px += (1)点P 是抛物线上的点，0236px ∴= (2)（1）（2）联解，得02,9p x == 或08,1p x ==故选：C ．由抛物线上点P 到的对称轴的距离6，设P 的坐标为()0,6x ±．根据点P 坐标适合抛物线方程及点P 到焦点的距离为10，联列方程组，解之可得p 与0x 的值，从而得到本题的答案．本题已知抛物线上一点到焦点和到对称轴的距离，求抛物线的焦参数p ，着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．12.【答案】D【解析】解：作出不等式组对应的平面区域，()()2221x y +++ 的几何意义是区域内的点到定点()2,1C -- 的距离的平方由图象知OC 的距离最小，此时最小值为()()220201415ω=+++=+= ， ()sin 56f t t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 则最小正周期25T π=， 故选：D ．作出不等式组对应的平面区域，利用，()()2221x y +++的几何意义求出ω的值，然后根据三角函数的周期公式进行求解即可．本题主要考查三角函数周期的计算以及线性规划的应用，根据线性规划的知识求出ω的值是解决本题的关键．二、填空题13.【答案】32- 【解析】 解：向量(),1a x = ，()3,2b =- ，//a b ，132x ∴=-，解得32x =-． 故答案为：32-． 利用向量平行的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 14.【答案】2 【解析】解：()()22112ln ln 1ln13ln 21aa x dx x x a a x ⎛⎫+=+=+-+=+ ⎪⎝⎭⎰()1a >， 22ln 4ln 22ln 2a a ∴+=+=+ ，解得2a = ，故答案为：2； 根据题意找出12x x+的原函数，然后根据积分运算法则，两边进行计算，求出a 值； 此题主要考查定积分的计算，解题的关键是找到被积函数的原函数，此题是一道基础题． 15.【答案】0 【解析】 解：2cos b c a B +=，sin sin 2sin cos B C A B ∴+= ，()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ ，()sin sin cos cos sin sin B A B A B A B ∴=-=- ，由(),0,A B π∈ ，B A B ∴=-，或()B A B π=-- ，2A B ∴=，或A π= （舍去）．2,3A B C A B B ππ∴==--=- ．由正弦定理sin sin AC BC B A =可得1sin sin 2sin cos a aB A B B==， 2cos a B ∴=，()()1sin cos sin 3cos sin 22S ab C B B B B B π∴==-=+2cos sin cos 2cos sin 2B B B B B =+11cos 21sin 2cos 2sin 2sin 2222B B B B B -=+⋅= ， 303B B ππ->∴<，∴ 当22B π=时S 取得最大值，此时cos cos 2cos02A B π=== ．故答案为：0．利用正弦定理将边化角，得出2A B = ，利用正弦定理求出a ，带入面积公式可得S 关于B 的函数，从而得出面积最大时对应的B 的值．本题考查了三角恒等变换，正弦定理，三角形的面积公式，属于中档题． 16.【答案】425【解析】解：如图，不等式对应的区域为DEF ∆及其内部． 其中()()()6,2,4,2,4,3D E F --- ， 求得直线,DF EF 分别交x 轴于点()2,0B - ，当点D 在线段2x =-上时，点D 到直线50x -=的距离等于7，∴要使点D 到直线的距离大于2，则点D 应在BCD ∆ （或其边界）因此，根据几何概型计算公式，可得所求概率142421251052⨯⨯=⨯⨯． 故答案为：．作出可行域，以面积为测度，可得概率．本题考查几何概型，考查面积的计算，确定以面积为测度是关键．三、解答题17.（Ⅰ）552cos =B 且()π,0∈B ， 55cos 1sin 2=-=∴B B , 则()1010552255222sin 43sin cos 43cos 43cos cos cos -=-+--=+=⎪⎭⎫⎝⎛-=--=B B B B A C ππππ（Ⅱ）由（Ⅰ）可得1010310101cos 1sin 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=C C ,由正弦定理得C AB A BC sin sin =,即101032252AB=,解得6=AB , 在BCD ∆中，()55525232352cos 222222=⨯⨯⨯-+=⋅-+=B AD BC AD BC CD ， 所以.5=CD 【解析】（I ）由cos B 的值及B 的范围求出sin B 的值，所求式子利用诱导公式及内角和定理变形，再利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出cos C 的值；（Ⅱ）由cos C 的值，求出sin C 的值，根据,sin ,BC A 以及sin C 的值，利用正弦定理求出AB 的值，再利用余弦定理即可求出CD 的长．此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及正弦、余弦定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键． 18.解：（1） 由11=a ，及241+=+n n a S ，得523,2412121=+=+=+a a a a a ，所以32121=-=a a b ， 由241+=+n n a S ① 则当2≥n 时，有241+=-n n a S ②①-②得1144-+-=n n n a a a ，所以()11222-+-=-n n n n a a a a ， 又n n n a a b 21-=+，所以()021≠=-n n n b b b ， 所以{}n b 是以31=b 为首项，以2为公比的等比数列.（2）由（Ⅰ）可得11232-+⋅=-=n n n n a a b ，等式两边同时除以12+n ，得113224n n n n a a ++-=． 所以数列2n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为12，公差为34的等差数列． 所以()1331122444n na n n =+-=-，即()2312n n a n -=-⋅ ()n N *∈ 【解析】（1）由题设条件知12123b a a =-=．由142n n S a +=+和142n n S a -=+相减得1144n n n a a a +-=-，即()1122n n n n a a a a +--=-，所以12n n b b -=，由此可知{}n b 是以13b =为首项、以2为公比的等比数列．（2）由题设知13224n n n n a a +-=．所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为12，公差为34的等差数列．由此能求出数列{}n a 的通项公式．本题考查数列的性质和应用，解题时要掌握等比数列的证明方法，会求数列的通项公式．19.【答案】解：（Ⅰ）由题意得，2c a =，2c =，解得：2a b ==， 所以椭圆C 的方程为：22184x y += ．（Ⅱ）设点A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ，由22184x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得2234280x mx m ++-= ， 由29680m ∆=->，解得m -<< 所以120223x x m x +==，003my x m =+=， 因为点()00,M x y 在曲线222x y +=上，所以222233m m ⎛⎫-+⨯= ⎪⎝⎭，即32m =或3m =- 【解析】（Ⅰ）首先，根据椭圆的离心率和左焦点坐标，可以确定2a b ==，从而确定其椭圆的标准方程； （Ⅱ）首先，设A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ，然后，联立方程组，利用韦达定理，建立等式，求解即可．本题重点考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题．20.【答案】解：当1a =时，()1xe f x x =-，则()()()221x e x f x x -'=-．又()00101e f ==--，()()()02020201e f -'==--， 所以()f x 在()()0,0f 处的切线方程为()()120y x --=-- ，即21y x =-- ；（2）由函数()1axef x x =-，得：()()()211ax e ax a f x x -+⎡⎤⎣⎦'=-．当0a =时，()()2101f x x -'=<-，又函数的定义域为{}1x x ≠ ，所以()f x 的单调递减区间为()(),1,1,-∞+∞ ． 当0a ≠ 时，令()0f x = ，即()10ax a -+= ，解得1a x a+=， 当0a >时，11a x a+=>， 所以()f x ' ，()f x 随x 的变化情况如下表所以()f x 的单调递减区间为(),1-∞ ，1,a ⎛⎫⎪⎝⎭， 单调递增区间为1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭， 当0a <时，11a x a+=<， 所以所以()f x ' ，()f x 随x 的变化情况如下表所以()f x 的单调递增区间为,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， 单调递减区间为1,1a a +⎛⎫⎪⎝⎭，()1,+∞． 【解析】（1）把1a =代入函数解析式，求出函数在0x =时的函数值()0f ，求出()0f ，利用直线方程的点斜式可得曲线()f x 在()()0,0f 处的切线方程；（2）求出原函数的导函数，分0a = ，0a < ，0a > 三种情况分析导函数在定义域内的符号，当0a = 时，导函数在定义域内恒小于0，所以原函数在定义域内的两个区间内单调递减，当0a ≠时，求出导函数的零点由零点把定义域分段，判断导函数在各段内的符号，从而得到原函数的单调区间．本题考查了利用导数求曲线上的某点的切线方程，考查了利用函数的导函数研究函数的单调性，解答此题时，最后下结论的时候学生容易出错，误把函数的减区间取并集．此题是中档题．21.【答案】解：设袋中白色球共有x 个，x N ∈ *且2x ≥，则依题意知22717x C C =，所以()112176721x x -⨯=⨯⨯，即260x x --= ，解得3x =（2x =- 舍去）．（1）袋中的7个球，3白4黑，随机变量X 的所有可能取值是1，2，3，4，5．()1317317A P X A ===，()114327227A A P X A ===，()2143376335A A P X A ===，（2）()3143473435A A P X A ===， ()4143571535A A P XA ===．随机变量X 的分布列为所以()112345277353535E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ． （2）记事件A 为“甲摸到白色球”，则事件A 包括以下三个互斥事件：1A =“甲第1次摸球时摸出白色球”； 2A =“甲第2次摸球时摸出白色球”；3A =“甲第3次摸球时摸出白色球”．依题意知，()1311737A P A A ==，()2143237635A A P A A ==，()4143357135A A P A A ==， 所以甲摸到白色球的概率为()()()()123361227353535P A P A P A P A =++=++=． 【解析】设袋中白色球共有x 个，x N ∈ *且2x ≥，则依题意知22717x C C =，解得3x =， （1）袋中的7个球，3白4黑，随机变量X 的所有可能取值是1，2，3，4，5．求出概率，得到随机变量X 的分布列然后求解期望．（2）记事件A为“甲摸到白色球”，则事件A 包括以下三个互斥事件：1A =“甲第1次摸球时摸出白色球”；2A =“甲第2次摸球时摸出白色球”；3A =“甲第3次摸球时摸出白色球”．求出概率，利用互斥事件概率的和求解即可．本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，互斥事件的概率的求法，考查计算能力．22.【答案】解：（1）由cos x ρθ= ，sin y ρθ=，222x y ρ+= ，圆C 的极坐标方程为ρθ=，即为22x y +=，即为(225x y +=；（2）将l 的参数方程代入圆的方程可得，223522t ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，即有240t -+= ，判别式为181620-=> ，设12,t t 为方程的两实根，即有12t t +=，124t t = ， 则12,t t 均为正数， 又直线l经过点(， 由t 的几何意义可得，1212PA PB t t t t +=+=+=【解析】（1）由cos x ρθ= ，sin y ρθ=，222x y ρ+= ，即可得到圆的直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程代入圆的直角坐标方程，化简整理，再由韦达定理和t 的几何意义，即可求得PA PB + ．本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，同时考查直线与圆的位置关系，考查直线参数方程的运用，属于基础题．23.【答案】解：（1）当1a =时，()21122f x x x x ⎧⎪=++-=⎨⎪-⎩1111x x x >-≤≤<-，由()1f x > ，2111x x >⎧∴⎨-≤≤⎩ 或211x >⎧⎨>⎩， 解得12x >， 故不等式()1f x > 的解集为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭，（2）当()0,1x ∈ 时不等式()f x x > 成立，110x ax x ∴+---> ，即110x ax x +---> ， 即11ax -< ，111ax ∴-<-< ， 02ax ∴<< ，()0,1x ∈ ， 0a ∴> ，20x a∴<<， 2a x∴<22x>， 02a ∴<≤ ，故a 的取值范围为(]0,2 ． 【解析】（1）去绝对值，化为分段函数，即可求出不等式的解集，（2）当()0,1x ∈时不等式()f x x > 成立，转化为即11ax -< ，即02ax << ，转化为2a x<，且0a > ，即可求出a 的范围．本题考查了绝对值不等式的解法和含参数的取值范围，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．。
2019届西藏自治区林芝市第二高级中学高三下学期第一次模拟考试数学(理)试卷及答案
2019届西藏林芝市第二高级中学高三下学期第一次模拟考试数学（理）试卷考试时间：120分钟；注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题：(每小题5分，共60分）1．设集合2{012},{|320}M N x x x==-+≤，，，则M N⋂=( )A. {1}B. {2}C. {0,1}D. {1,2}2．函数f(x)＝2x－1＋1x－2的定义域为( )A．[0,2) B．(2，＋∞)C．[0,2)∪(2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）1 / 142 / 144．设 a , b ∈ R ,则“ a + b > 4 ”是“ a > 2, 且b > 2 ”的（） A.充分条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件 5．若1sin 3α=，则cos2α=（ ）A ．89 B ．79 C ．79- D ．89- 6．已知向量(1,2),(4,)a b m ==-，若2a b +与a 垂直，则m =（ ）A ．-3B ．3C ．-8D ．87．已知数列{}n b 是等比数列，9b 是1和3的等差中项，则216b b =（ ）A ．16B ．8C ．2D ．48．过点）（1,3且与直线032=--y x 垂直的直线方程是（ ）A ．072=-+y xB ．052=-+y x。
2019年西藏拉萨市高考数学二模试卷(理科)-教师用卷
2019年西藏拉萨市高考数学二模试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，；．故选：C．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，对数函数的定义域，一元二次不等式的解法，交集的运算．2.若复数z满足，则A. B. C. D. 1【答案】D【解析】解：由，得，，则．故选：D．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.在普通高中新课程改革中，某地实施“”选课方案该方案中“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么政治和地至少有一门被选中的概率是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：设两门至少有一门被选中，则两门都没被选中，包含1个基本事件，则，．故选：D．本题可从反面思考，两门至少有一门被选中的反面是两门都没被选中两门都没被选中包含1个基本事件，代入概率公式，即可得到两门都没被选中的概率，则两门至少有一门被选中的概率可得．本题考查了古典概型的概率计算，属于基础题．4.的展开式中的系数为A. B. C. 40 D. 80【答案】C【解析】【分析】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，的展开式的通项公式：令，，解得令，，解得即可得出，属于中档题．【解答】解：的展开式的通项公式：．令，，解得．令，，解得．的展开式中的系数．故选：C．5.经统计，某市高三学生期末数学成绩，且，则从该市任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：学生成绩X服从正态分布，且，，从该市任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率是．故选：A．由已知直接利用正态分布曲线的对称性求解．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．6.将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象的一个对称中心为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为，令，求得，，故函数的对称中心为，，故选：A．利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．7.已知双曲线：的一条渐近线过点，则C的离心率为A. B. C. D. 3【答案】C【解析】解：双曲线：的渐近线方程为，由题意可得，可得，则双曲线的离心率为．故选：C．求得双曲线的渐近线方程，由题意可得，再由离心率公式，计算可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．8.如图所示算法框图，当输入的x为1时，输出的结果为A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】解：当时，不成立，则，，不成立，，成立，，，成立，，成立，，，成立，，成立，，，成立，成立，，，不成立，输出，故选：C．根据程序框图，利用模拟验算法进行求解即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．9.某简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在球O的球面上，则球O的体积是A. B. C.D.【答案】B【解析】解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为直三棱柱，底面为等腰直角三角形，直角边长为2，侧棱长为2．把该三棱锥补形为正方体，则正方体对角线长为．该三棱柱外接球的半径为．体积．故选：B．由三视图还原原几何体，可知该几何体为直三棱柱，底面为等腰直角三角形，直角边长为2，侧棱长为2，然后利用分割补形法求解．本题考查空间几何体的三视图，考查多面体外接球表面积与体积的求法，是中档题．10.已知等差数列的前n项和，等比数列的前n项和，则向量的模长为A. 1B.C.D. 无法确定【答案】A【解析】解：等差数列的前n项和，等比数列的前n项和，由，为等差数列的公差，可得，由，可得，则向量的模为1．故选：A．由等差数列和等比数列的求和公式，可得，，再由向量模的公式计算即可得到所求值．本题考查等差数列和等比数列的求和公式的运用，考查向量的模的求法，注意运用分析法，考查运算能力，属于基础题．11.设椭圆E的两焦点分别为，，以为圆心，为半径的圆与E交于P，Q两点若为直角三角形，则E的离心率为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：如图所示，为直角三角形，，，，则，解得．故选：A．如图所示，为直角三角形，可得，可得，，利用椭圆的定义可得，即可得出．本题考查了椭圆与圆的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.已知定义在R上的函数的导函数为，且1'/>，设，，则a，b的大小关系为A. B. C. D. 无法确定【答案】A【解析】解：根据题意，设，其导数，又由与满足1'/>，则有，则函数在R上为增函数，则，，且，即，则有，故选：A．根据题意，设，求导分析可得，则函数在R上为增函数，又由，，结合函数的单调性分析可得，变形即可得答案．本题考查函数的导数与函数单调性的关系，注意构造新函数．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为______．【答案】3【解析】解：x，y满足约束条件，表示的区域是如下图示的三角形，3个顶点是，，，目标函数在取最大值3．故答案为：3．先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数的最大值．本题考查线性规划的简单应用，线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域即几条直线围成的区域则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最大值．14.已知函数，若，则______．【答案】【解析】解：函数，若，则，变形可得，则；故答案为：．根据题意，由的值分析可得，变形可得，则有则，代入计算可得答案．本题考查函数值的计算，关键是求出函数的解析式，属于基础题．15.古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织布的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为______．【答案】【解析】解：设这女子每天分别织布形成数列尺．则该数列为等比数列，公比，其前5项和．，解得．．故答案为：．设这女子每天分别织布形成数列尺则该数列为等比数列，公比，其前5项和利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则a的取值范围是______．【答案】【解析】解：函数，其中，设，，存在唯一的整数，使得，存在唯一的整数，使得在直线的下方，，当时，，当时，．当时，，，直线恒过，斜率为a，故，且，解得．的取值范围是．故答案为：．设，，则存在唯一的整数，使得在直线的下方，由此利用导数性质能求出a的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．求A；若，点D在BC边上，，，求的面积．【答案】本题满分为12分解：，由正弦定理可得：，可得：，可得：，，，可得：，，，，可得：．，点D在BC边上，，，在中，由正弦定理，可得：，可得：，，可得：，，，．【解析】由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可得：，结合范围，可得，进而可求A的值．在中，由正弦定理可得，可求，利用三角形内角和定理可求，，可求，利用三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.某食品公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取200件作为样本，测量这些产品的项质量指标值，由测量结果得到如下的频率分布直方图：求直方图中a的值；由频率分布直方图可认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布，试计算这批产品中质量指标值落在上的件数；设产品的生产成本为y，质量指标值为x，生产成本与质量指标值满足函数关系式，假设同组中的每个数据用该组数据区间的右端点代替，试计算生产该食品级的平均成本．参考数据：若～，则，，．【答案】解：由频率分布直方图得：，解得．～，则，，，，，，，．这批产品中质量指标值落在上的件数为．根据题意生产该食品的平均成本为：．【解析】由频率分布直方图能求出a．由～，得，，，，从而，进而由此能求出这批产品中质量指标值落在上的件数．由频率分布直方图和题设条件可得产品的成本分布及其概率分布表如下：．本题考查频率、概率、平均数的求法，考查频率分布直方图、正态分布等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把折起，使点C到达点P的位置，且．证明：平面平面ABFD；求DP与平面ABFD所成角的正弦值．【答案】证明：由题意，点E、F分别是AD、BC的中点，则，，由于四边形ABCD为正方形，所以．由于，，则平面PEF．又因为平面ABFD，所以：平面平面ABFD．在平面PEF中，过P作于点H，连接DH，由于EF为面ABCD和面PEF的交线，，则面ABFD，故．在三棱锥中，可以利用等体积法求PH，因为且，所以，又因为 ≌ ，所以，所以，由于，则平面PDE，故，因为且面PEF，所以面PEF，所以．设正方形边长为2a，则，在中，，所以，故，又因为，所以，所以在中，，即为DP与平面ABFD所成角的正弦值为：．【解析】利用正方形的性质可得BF垂直于面PEF，然后利用平面与平面垂直的判断定理证明即可．利用等体积法可求出点P到面ABCD的距离，进而求出线面角．本题主要考查点、直线、平面的位置关系直线与平面所成角的求法几何法的应用，考查转化思想以及计算能力．20.设抛物线E：的焦点为F，直线与E交于A，B两点，的面积为．求E的方程；若M，N是E上的两个动点，，试问：是否存在定点S，使得？若存在，求S的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：把代入抛物线方程，可得：，解得的面积为．，解得．的方程为：．假设存在定点S，使得．设，，线段MN的中点为，，化为：．当轴时满足题意，因此点S必然在x轴上．设直线MN的方程为：．联立，化为：．，．线段MN的垂直平分线方程为：，令，可得：．存在定点，使得．【解析】把代入抛物线方程，可得：，解得根据的面积为可得，解得p．假设存在定点S，使得设，，线段MN的中点为由，可得，化为：当轴时满足题意，因此点S必然在x轴上设直线MN的方程为：与抛物线方程联立可得：根据根与系数的关系、中点坐标公式可得可得线段MN的垂直平分线方程，进而得出结论．本题考查了抛物线的定义标准方程、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、垂直平分线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.已知函数．若，求的单调区间；若，求a的取值范围．【答案】解：时，，．令在时单调递增，．函数在上单调递减，在上单调递增．令由，．时，，函数在上单调递增．时，令，可得，可得，．可得：时函数取得极小值即最小值，，令，．，可得时，函数取得极大值即最大值，而．只有满足条件．．【解析】时，，令在时单调递增，即可得出单调性．令由，对a分类讨论，即可得出单调性极值与最值．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，点P的极坐标为．求C的直角坐标方程和P的直角坐标；设l与C交于A，B两点，线段AB的中点为M，求【答案】解：由得，将，代入上式并整理得曲线C的直角坐标方程为，第11页，共13页设点P的直角坐标为，因为P的极坐标为，所以，，所以点P的直角坐标为．将代入，并整理得，因为，故可设方程的两根为，，则，为A，B对应的参数，且，依题意，点M对应的参数为，所以．【解析】利用互化公式把曲线C化成直角坐标方程，把点P的极坐标化成直角坐标；把直线l的参数方程的标准形式代入曲线C的直角坐标方程，根据韦达定理以及参数t的几何意义可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.已知函数．求不等式的解集；若不等式的解集非空，求m的取值范围．【答案】解：，，当时，，解得；当时，恒成立，故；综上，不等式的解集为．原式等价于存在使得成立，即，设．由知，，当时，，其开口向下，对称轴方程为，；当时，，其开口向下，对称轴方程为，；当时，，其开口向下，对称轴方程为，；综上，，的取值范围为第12页，共13页【解析】由于，解不等式可分与两类讨论即可解得不等式的解集；依题意可得，设，分、、三类讨论，可求得，从而可得m的取值范围．本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题．第13页，共13页。
专题10 双曲线及其性质-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅲ专版)(解析版)
【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C：2242x y-=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若=PO PF，则△PFO的面积为A．4B．2C．D．【答案】A【解析】由2,,a b c===,2PPO PF x=∴=Q，又P在C的一条渐近线上，不妨设为在by xa=上，则222P Pby xa=⋅==，11224PFO PS OF y∴=⋅==△，故选A．【名师点睛】忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷理数】设12F F，是双曲线22221x yCa b-=：（00a b>>，）的左，右焦点，O是坐标原点．过2F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若1PF=，则C的离心率为AB．2专题10 双曲CD【答案】B【解析】由题可知22,PF b OF c ==，∴||PO a =， 在2Rt POF △中，222cos PF bPF O OF c∠==， ∵在12PF F △中，22221212212cos 2PF F F PF b F PF F P O F c+-∠==，∴)222224322b c bc a b cc+-=⇒=⋅，∴e =，故选C ． 【名师点睛】本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题．【命题意图】高考对双曲线内容的考查以基础知识为主，重点考查双曲线的几何性质、方程思想及运算能力．2019年高考题考查了以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．【命题规律】主要考查双曲线的定义、标准方程和几何性质，其中离心率和渐近线问题是高考考查的重点，以选择题和填空题为主，难度中等． 【答题模板】1．求双曲线的离心率的值或范围一般考虑如下三步：第一步：将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式； 第二步：利用222b c a +=和ce a=转化为关于e 的方程或不等式； 第三步：通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围． 2．其他问题：（1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b ．（2）若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min =a+c ，|PF 2|min =c –a ．（3）同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为22b a；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a ．（4）若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则12PF F S △=2tan 2b θ，其中θ为∠F 1PF 2．（5）若P 是双曲线22x a22y b -=1(a>0，b>0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2内切圆的圆心，则圆心I 的横坐标为定值a ． 【方法总结】1．双曲线定义的应用策略（1）根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线．（2）利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题． （3）利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a <|F 1F 2|；③焦点所在坐标轴的位置． 2．求双曲线的标准方程的方法 （1）定义法根据双曲线的定义确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有： ①c 2=a 2+b 2；②双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a ．求轨迹方程时，满足条件：|PF 1|–|PF 2|=2a （0<2a <|F 1F 2|）的双曲线为双曲线的一支，应注意合理取舍． （2）待定系数法 一般步骤为①判断：根据已知条件，确定双曲线的焦点是在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能； ②设：根据①中的判断结果，设出所需的未知数或者标准方程； ③列：根据题意，列出关于a ，b ，c 的方程或者方程组； ④解：求解得到方程． 常见设法有①与双曲线22x a –22y b =1共渐近线的双曲线方程可设为22x a –22y b=λ（λ≠0）；②若双曲线的渐近线方程为y =±ba x ，则双曲线方程可设为22x a –22yb =λ（λ≠0）；③若双曲线过两个已知点，则双曲线方程可设为2x m +2y n=1（mn <0）；④与双曲线22x a –22y b =1共焦点的双曲线方程可设为22x a k -–22y b k+=1（–b 2<k <a 2）；⑤与椭圆22x a +22y b =1（a >b >0）有共同焦点的双曲线方程可设为22x a λ-+22y b λ-=1（b 2<λ<a 2）．注意：当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是如果已知中心在原点，但不能确定焦点的具体位置，可以设双曲线的方程为mx 2+ny 2=1（mn <0）． 3．求双曲线离心率的值（1）直接求出c a ,，求解e ：已知标准方程或a ，c 易求时，可利用离心率公式e ＝ca求解； （2）变用公式，整体求e ：如利用e，e； 4．双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，二者之间可以互求．已知渐近线方程时，可得b a的值，于是e 2＝22c a ＝222a b a +＝1＋2()b a ，因此可求出离心率e 的值；而已知离心率的值，也可求出渐近线的方程，即b a个解．1．【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】已知双曲线222:1(0)3x y C a a -=>的一个焦点为（2，0），则双曲线C 的渐近线方程为A ．y x =±B ．y =C ．y =D ．2y x =±【答案】C【解析】因为双曲线222:1(0)3x y C a a -=>的一个焦点为（2，0），所以234a +=，故21a =，因此双曲线的方程为2213y x -=，所以其渐近线方程为y =．故选C ．【名师点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的性质即可，属于基础题型．2．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点为1F 、2F ，双曲线上的点P 满足121243PF PF F F +≥u u u v u u u u v u u u u v恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是A ．312e <≤B ．32e ≥C ．413e <≤D ．43e ≥【答案】C【解析】∵OP 是12F PF △的边12F F 上的中线，∴122PF PF PO+=u u u v u u u u v u u u v． ∵121243PF PF F F u u u v u u u u v u u u u v +≥，∴1283PO F F ≥u u u v u u u u v，当且仅当12,,F P F 三点共线时等号成立． 又PO a ≥u u u v ，122F F c =u u u u v ，∴86a c ≥，∴43c e a =≤，又1e >，∴413e <≤．故离心率的取值范围为41,3⎛⎤⎥⎝⎦．故选C ． 【名师点睛】解答本题时注意两点：一是注意数形结合在解题中的应用，特别是由题意得到PO a ≥u u u v；二是根据题意得到,,a b c 间的关系，再根据离心率的定义求解，属于基础题．3．【四川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测考试数学】已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，过点2F 作x 轴的垂线，与双曲线的渐近线在第一象限的交点为P ，线段2PF 的中点M ，则此双曲线的渐近线方程为 A ．2y x =± B ．12y x =±C ．4y x =±D ．14y x =±【答案】A【解析】由题意知，双曲线的渐近线方程为b y x a =±，易求点P 的坐标为,bc c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，中点M 的坐标为,2bc c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵2222)2bc OM c a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴224a b =，即2b a =．故选A ． 【名师点睛】本题考查双曲线的方程与简单的几何性质，考查计算能力与转化能力，属于基础题． 4．【四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试数学】已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线方程为340x y +=，则该双曲线的离心率是A ．53 B ．54C ．43或53D ．53或54【答案】D【解析】33404x y y x +=⇒=-，当焦点位于横轴时，2239416b b a a =⇒=，而222c a b =+，所以22295164c a c e a a -=⇒==； 当焦点位于纵轴时，22222222416165,,3993b bc a c c a b e a a a a -=⇒==+⇒=⇒==故选D ． 【名师点睛】本题考查了通过双曲线的渐近线方程求离心率问题，解题的关键是对焦点的位置进行分类．5．【四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试数学】已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，抛物线()220=>y px p 与双曲线C 有相同的焦点．设P 为抛物线与双曲线C 的一个交点，且12sin PF F ∠=，则双曲线C 的离心率为AB或3 C ．2D ．2或3【答案】D【解析】不妨设P 在第一象限且()00,P x y ，则1,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭， 过P 作直线2px =-（抛物线的准线）的垂线，垂足为E ， 则112F PE PF F ∠=∠，故112sin sin 7F PE PF F ∠=∠=， 因1F PE △为直角三角形，故可设,2p E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0P x ， 且25PE PF k ==，17PF k =，所以02052242p x k k px ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得043p k x k =⎧⎨=⎩或062p k x k =⎧⎨=⎩， 若043p k x k =⎧⎨=⎩，则124F F k =，22752ke k k ==-； 若062p k x k =⎧⎨=⎩，则126F F k =，33752ke k k ==-． 综上可得，选D ．【名师点睛】离心率的计算关键在于构建,,a b c 的一个等量关系，构建时可依据圆锥曲线的几何性质来转化，有两个转化的角度：（1）利用圆锥曲线的定义转化为与另一个焦点；（2）利用圆锥曲线的统一定义把问题转化为与曲线上的点到相应准线的距离．6．【四川省成都七中2019届高三5月高考模拟测试数学】已知双曲线1C ：22142-=x y ，双曲线2C 的焦点在y 轴上，它的渐近线与双曲线1C 相同，则双曲线2C 的离心率为 A ．3 B ．2 CD ．1【解析】由题意，双曲线2C 的焦点在y 轴上，它的渐近线与双曲线1C 相同，设双曲线2C 的方程为22(0)24y x λλ-=>，则双曲线2C =A ． 【名师点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求解，其中解答中根据双曲线2C 的焦点在y 轴上，它的渐近线与双曲线1C 相同，得出双曲线2C 的方程的形式，再根据离心率的定义求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．7．【四川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测数学】已知双曲线的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，过点2F 作x 轴的垂线，与双曲线的渐近线在第一象限内的交点为P ，线段2PF 的中点M 到，则双曲线的渐近线方程为 A ．2y x =± B ．12y x =±C ．4y x =±D ．14y x =±【答案】A【解析】设双曲线的渐近线方程为()0,0by x a b a=±>>， 根据题意可知P 点坐标,bc c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，M为2PF 中点，所以可得,2bc M c a ⎛⎫⎪⎝⎭， 所以222222bc OM c c a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以224a b =，即2b a =， 所以双曲线的渐近线方程为2y x =±，故选A ．【名师点睛】本题考查通过双曲线中，线段的几何关系求双曲线渐近线方程，属于简单题．8．【四川省雅安市2019届高三第三次诊断考试数学】双曲线2212x y -=的离心率为A BCD【解析】由双曲线的方程2212x y -=可得：222,1a b ==，所以2223c a b =+=，所以2c e a ===．故选D ． 【名师点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查计算能力，属于基础题．9．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为34y x =，则该双曲线的离心率为 A ．43 B ．53C ．54D ．2【答案】C【解析】双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的一条渐近线方程为34y x =，可得34b a =，即222916c a a -=，解得e 22516=，e 54=．故选C ． 【名师点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，涉及双曲线的渐近线方程，离心率等知识，考查计算能力．10．【四川省双流中学2019届高三第一次模拟考试数学】已知M 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右支上一点，,A F 分别为双曲线C 的左顶点和右焦点，线段FA 的垂直平分线过点M ，60MFA ∠=︒，则双曲线C 的离心率为A B ．2 C ．3 D ．4【答案】D【解析】设双曲线另一个焦点为F '，如下图所示．因为线段FA 的垂直平分线过点M ，60MFA ∠=︒，所以MFA △是等边三角形，边长为a c +，M 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右支上一点，所以有23MF MF a MF a c -=⇒='+'，在MFF '△中，由余弦定理可得：'2222cos60MF MF FF MF FF ︒=+-'⋅'， 即22430a ac c +-=，解得4a c =，即4ca=，双曲线的离心率为4，故选D ． 【名师点睛】本题考查了双曲线的定义、离心率，考查了转化思想、数形结合思想．11．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学】已知双曲线22213x y a -=的左右焦点分别为12,F F ，以它的一个焦点为圆心，半径为a 的圆恰好与双曲线的两条渐近线分别切于,A B 两点，则四边形12F AF B 的面积为A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】D【解析】因为双曲线22213x y a -=的左右焦点分别为()()12,0,0F c F c -，，双曲线的渐近线方程为y x a=±0ay -=， 以它的一个焦点为圆心，半径为a 的圆恰好与双曲线的两条渐近线分别切于A ，B 两点， 根据焦点到渐近线的距离及双曲线中a b c 、、的关系，可得223a c a ==+⎪⎩，解得a c ==A ⎝⎭，则四边形12F AF B的面积为1212122622F AF B F AF S S ==⨯⨯=．故选D ． 【名师点睛】本题考查双曲线的简单性质以及圆与双曲线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．12．【四川省成都市外国语学校2019届高三一诊模拟考试数学】过双曲线C ：22221x y a b-=的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A ．若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点（O 为坐标原点），则双曲线C 的方程为A ．221124x y -=B ．22179x y -=C ．22188x y -=D ．221412x y -=【答案】D【解析】∵以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点（O 为坐标原点）， ∴半径4R c ==，则圆的标准方程为()22416x y -+=，(),0A a ，b y a b a=⋅=，即(),B a b ，则()22416a b -+=，即2281616a a b -++=，即280c a -=，即816a =，则2a =，216412b =-=，则双曲线C 的方程为221412x y -=，故选D ．【名师点睛】本题主要考查双曲线方程的求解，根据圆的性质先求出半径4c =是解决本题的关键．属于简单题．13．【四川省成都市2019届高三毕业班第二次诊断性检测数学】已知双曲线()222:10y C x b b-=>的焦距为4，则双曲线C 的渐近线方程为 A．y =B ．2y x =±C ．3y x =± D．y =【答案】D【解析】双曲线C ：()22210y x b b-=>的焦距为4，则2c ＝4，即c ＝2，∵1+b 2＝c 2＝4，∴b =C 的渐近线方程为y =x ，故选D ．【名师点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查双曲线的渐近线方程的运用，属于基础题．14．【四川省2019届高三联合诊断数学】已知双曲线()222:103x y C a a -=>的右焦点为F ，则点F 到C的渐近线的距离为 A ．3 BC ．a D【答案】B【解析】因为双曲线()222:103x y C a a -=>的右焦点为()0F c ，，渐近线y x =， 所以点F到渐近线y x ===B ． 【名师点睛】本题主要考查利用双曲线的方程求焦点坐标与渐近线方程，以及点到直线距离公式的应用，属于基础题．若双曲线方程为22221x y a b-=，则渐近线方程为b y x a =±．15．【四川省广安、眉山、内江、遂宁2019届高三第一次诊断性考试数学】若双曲线221x y m-=的一条渐近线为20x y -=，则实数m = A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】B【解析】∵双曲线的方程为221x y m-=，∴双曲线的渐近线方程为yx ，又∵一条渐近线方程为y =12x ，∴m =4．故选B ． 【名师点睛】本题给出双曲线的方程和一条渐近线方程，求参数m 的值，属于基础题．16．【四川省高2019届高三第一次诊断性测试数学】中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆()2221x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是A ．2B ．2C2D．3或2【答案】A【解析】设双曲线C 的渐近线方程为y =kx，∴k =，得双曲线的一条渐近线的方程为3y =，∴焦点在x 、y 轴上两种情况讨论： ①当焦点在x轴上时有：b c e a a ==②当焦点在y轴上时有：23a c e b a ==＝．∴求得双曲线的离心率2A ． 【名师点睛】本小题主要考查直线与圆的位置关系、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．解题的关键是：由圆的切线求得直线的方程，再由双曲线中渐近线的方程的关系建立等式，从而解出双曲线的离心率的值．此题易忽视两解得出错误答案． 17．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第十一模（最后一卷）数学】设12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，若1290F PF ︒∠=，c =2，213PF F S =△，则双曲线的两条渐近线的夹角为 A ．5π B ．4πC ．π6D ．π3【答案】D【解析】由题意可得22121216132PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，可得212)4PF PF -=（， 可得1222PF PF a -==，可得a =1，b所以双曲线的渐近线方程为y =，可得双曲线的渐近线的夹角为π3，故选D ． 【名师点睛】本题主要考察双曲线的性质及渐近线的方程，熟练掌握其性质是解题的关键．18．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】已知抛物线2y =的焦点为双曲线2221(0)x y a a-=>的一个焦点，那么双曲线的渐近线方程是A．3y x =±B．y =C．2y x =± D．y =【答案】C【解析】抛物线2y =的焦点为)，所以双曲线中c =，由双曲线方程2221x y a-=，222+=a b c，所以a =因此双曲线的渐近线方程为2y x =±，故选C ． 【名师点睛】本题考查抛物线的焦点，根据焦点求双曲线的方程和渐近线方程，属于简单题． 19．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】已知A 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点，P 为双曲线右支上一点，若点P 关于双曲线中心O 的对称点Q 满足AP k ⨯14AQ k =，则双曲线的离心率为 A1BCD1【答案】B【解析】设(,),(,),P x y Q x y --∵AP k ⨯14AQ k =， ∴222000014y y y y y x a x a x a x a x a -----⋅=⋅==----+-， ∵22221x y a b -=，∴22222=()b y x a a-，∴222222()14b x a ax a -=-， ∴a =2b ，∴222244()a b c a ==-，∴2254a c =，∴2e =．故选B ． 20．【云南省昆明市2019届高三高考模拟（第四次统测）数学】已知双曲线C的一个焦点坐标为0)，渐近线方程为2y x =±，则C 的方程是 A ．2212y x -=B ．2212x y -=C ．2212y x -=D ．2212x y -=【答案】B【解析】因为双曲线C的一个焦点坐标为),所以c =又因为双曲线C的渐近线方程为2y x =±，所以有2b a=a ⇒=，c =而c =1a b ==，因此双曲线方程为2212x y -=，故选B ．【名师点睛】本题考查了求双曲线的标准方程，考查了解方程、运算能力．21．【云南省2019届高三第一次毕业生复习统一检测数学】双曲线M 的焦点是1F ，2F ，若双曲线M 上存在点P ，使12PF F △是有一个内角为23π的等腰三角形，则M 的离心率是 A1B1C D 【答案】C【解析】不妨设P 在第一象限，由于12PF F △是有一个内角为23π的等腰三角形，故()2P c ，代入双曲线方程得2222431c c a b -=，化简得4224480c a c a -+=，42810e e -+=，解得2e =，故e =C ． 【名师点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查等腰三角形的知识，属于基础题．22．【西藏山南市第二高级中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学】已知椭圆22221x y a b+=左右焦点分别为12,F F ，双曲线22221x y m n-=的一条渐近线交椭圆于点P ，且满足12PF PF ⊥，已知椭圆的离心率为134e =，则双曲线的离心率2e =AB ．8C ．4D ．2【答案】B【解析】椭圆22221x y a b+=左右焦点分别为12,F F ，椭圆的离心率为134e =，不妨令4,3a c ==，则b =221167x y +=，双曲线22221x y m n-=的一条渐近线交椭圆于点P ，且满足12PF PF ⊥，可设(),,0,0P s t s t >>，可得()13,PF s t =---u u u r ，()23,PF s t =--u u u u r ，则222291167s t s t ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得22329499s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 代入双曲线方程渐近线方程n y x m =±，可得224932n m =，双曲线的离心率为：28e ===．故选B ． 【名师点睛】本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，利用垂直关系和点在椭圆上建立方程组，求得双曲线,a b 之间满足的关系是解题关键．23．【广西柳州市2019届高三毕业班1月模拟考试高三数学】已知双曲线()2222100x y C a b a b-=>>：，的离心率为2，左焦点为1F ，点()0Q （c 为半焦距）．P 是双曲线C 的右支上的动点，且1PF PQ +的最小值为6．则双曲线C 的方程为___________．【答案】2213y x -=【解析】设双曲线右焦点为2F ，则122PF PF a -=，所以122PF PQ a PF PQ +=++， 而2PF PQ +的最小值为22QF c ==，所以1PF PQ +最小值为226a c +=，又2c a =，解得12a c ==，，于是23b =，故双曲线方程为2213y x -=． 【点睛】本题考查了双曲线的方程，双曲线的定义，及双曲线的离心率，考查了计算能力，属于中档题．24．【西藏拉萨市2019届高三第三次模拟考试数学】已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点为1F 、2F ，过1F 且斜率为2的直线l 与C 的一条渐近线在第一象限相交于A 点，若21AF AF ⊥，则该双曲线的离心率为___________． 【答案】3【解析】∵21AF AF ⊥，∴12AF F △是直角三角形，又O 是12F F 中点，∴AO c =，又A 在双曲线渐近线上，∴(,)A a b ，∴12tan AF F ∠=2b ac =+， 变形可得：22230c ac a --=，()(3)0c a c a +-=，∴3c a =，3ce a==．故答案为：3． 【点睛】本题考查双曲线的几何性质，解题关键是掌握双曲线的性质：即过双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的右顶点A 作x 轴垂线，交渐近线于点P ，则OP c =，AP b =．。
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西藏山南市第二高级中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A=则A B="( " )A. B. （3，4） C. （-2，1） D. （4+）【答案】B【解析】试题分析：因为，又因为，所以. 考点：解不等式求交集.2.复数，则对应的点所在的象限为（）A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限【答案】A【解析】【分析】根据复数的运算法则进行化简，结合共轭复数以及复数的几何意义进行判断即可.【详解】则，对应的点的坐标为，位于第四象限本题正确选项：【点睛】本题主要考察复数的几何意义，结合复数的运算法则进行化简是解决本题的关键，属于基础题.3.下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的函数是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】由奇函数和偶函数图象的对称性，根据的图象和的定义域便可判断出错误，而由的单调性便可判断选项错误，从而得出正确．【详解】选项：根据的图象知该函数非奇非偶，可知错误；选项：的定义域为，知该函数非奇非偶，可知错误；选项：时，为增函数，不符合题意，可知错误；选项：，可知函数为偶函数，根据其图象可看出该函数在上单调递减，可知正确.本题正确选项：【点睛】本题考查奇函数和偶函数图象的对称性，函数单调性的问题，属于基础题．4.函数的最小正周期为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用二倍角的余弦公式化简函数解析式，然后利用周期公式可求答案．【详解】函数的最小正周期为：本题正确选项：【点睛】本题考查三角函数的周期性及其求法，考查二倍角的余弦公式，属基础题．5.以下说法错误的是（）A. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B. “”是“”的充分不必要条件C. 若命题存在，使得，则:对任意，都有D. 若且为假命题，则均为假命题【答案】D【解析】根据逆否命题定义、命题否定的定义分别判断出正确；解方程得到解集和的包含关系，结合充要条件的判定可知正确；根据复合命题的真假性可知错误，由此可得结果.【详解】选项：根据逆否命题的定义可知：原命题的逆否命题为“若，则”，可知正确；选项：由，解得，因此“”是“”的充分不必要，可知正确；选项：根据命题的否定可知对任意，都有，可知正确；选项：由且为假命题，则至少有一个为假命题，因此不正确.本题正确选项：【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.6.在等差数列中，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的前项和公式直接求解即可．【详解】在等差数列中，本题正确选项：【点睛】本题考查等差数列的前项和的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用．7.函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：函数零点在区间（e，3）内考点：函数零点存在性定理8.二项式的展开式中，常数项为（）【答案】C【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，再求得常数项．【详解】二项式的展开式的通项公式为令，求得故展开式中的常数项为本题正确选项：【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．9.执行如图所示的程序框图，若，则输出的为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的的值，当时，不满足条件，退出循环，输出的值．【详解】执行如图所示的程序框图，有满足条件，有，；满足条件，有,；满足条件，有，；满足条件，有，；不满足条件，退出循环，输出的值为本题正确选项：【点睛】本题考查了程序框图和算法的应用问题，是对框图中的循环结构进行了考查，属于基础题.10.已知椭圆左右焦点分别为，双曲线的一条渐近线交椭圆于点，且满足，已知椭圆的离心率为，则双曲线的离心率（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用椭圆的离心率，设出椭圆方程，假设点坐标，利用和在椭圆上构造方程组，解得结果代入渐进性方程，得到的关系，再利用双曲线之间的关系，求解离心率即可．【详解】椭圆左右焦点分别为，椭圆的离心率为不妨令，则所以椭圆方程为：双曲线的一条渐近线交椭圆于点，且满足可设，可得，则：，解得：代入双曲线方程渐近线方程，可得双曲线的离心率为：本题正确选项：【点睛】本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，利用垂直关系和点在椭圆上建立方程组，求得双曲线之间满足的关系是解题关键.A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】设P(x0,y0),则∴36=2p,即p2-20p+36=0.解得p=2或18.故选C.12.已知满足不等式组，设的最小值为，则函数的最小正周期为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义求出的值，然后根据三角函数的周期公式进行求解即可．【详解】作出不等式组对应的平面区域，如下图阴影部分所示：的几何意义是区域内的点到定点的距离的平方由图象知的距离最小此时最小值为本题正确选项：【点睛】本题主要考查三角函数周期的计算以及线性规划的应用，根据线性规划中距离型问题的求解方法求出的值是解决本题的关键．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，若，则__________．【答案】【解析】【分析】利用向量平行的性质直接构造方程求解．【详解】向量，且，解得：本题正确结果：【点睛】本题考查向量平行的性质，属于基础题．14.若，则的值是__________．【答案】2【解析】试题分析：∵，易得，故答案为.考点：定积分的计算.15.在中，内角所对的边分别为，已知，当的面积最大时，__________．【答案】0【解析】【分析】利用正弦定理将边化角，得出，利用正弦定理求出，带入面积公式可得关于的函数，从而得出面积最大时对应的的值，进而求得．又由可得：或或（舍去），由正弦定理可得当时取得最大值，此时本题正确结果：【点睛】本题考查了三角恒等变换，正弦定理，三角形的面积公式，关键是能够通过正弦定理对边角关系式进行化简，从而得到角之间的关系．16.设不等式组表示的平面区域为，在区域内随机取一个点，则此点到直线的距离大于的概率是__________．【答案】【解析】【分析】作出可行域，找到点到直线距离等于的临界状态，从而找到符合题意的区域，以面积为测度，可求得概率．【详解】如图，不等式对应的区域为及其内部其中当点在线段上时，点到直线的距离等于要使点到直线的距离大于，则点应在内（或其边界）因此，根据几何概型计算公式，可得所求概率本题正确结果：【点睛】本题考查几何概型，确定符合条件要求的点构成的区域是解决本题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，已知（1）求的值；（2）若为的中点，求的长.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）在三角形中，，再求出，代入即得；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，再由正弦定理得，解得．在中，用余弦定理可求得.试题解析：（Ⅰ）且，∴2分4分6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得8分由正弦定理得，即，解得． 10分在中，，所以12分考点：1、三角恒等变换；2、解三角形.（1）设，证明数列是等比数列；（2）求数列的通项公式.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【解析】试题分析：（1）先根据和项与通项关系得项之间递推关系，再根据等比数列定义进行证明（2）先求由变形得，根据等差数列定义求，即得数列的通项公式试题解析：（1）由及，有∵.①∴.②②－①得，∴，设，则．且．∴数列是首项为3，公比为2的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，∴，∴，设，则,∴．∴{}是以为首项，公差为的等差数列．∴，∴．19.已知椭圆的离心率为，其中左焦点.（1）求出椭圆的方程；（2）若直线与曲线交于不同的两点，且线段的中点在曲线上，求的值.【答案】（1）（2）或【分析】（1）根据离心率和焦点坐标求出，从而得到椭圆方程；（2）将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出点横坐标，代入直线得到坐标；再将代入曲线方程，从而求得. 【详解】（1）由题意得：，解得：，所以椭圆的方程为：（2）设点，，线段的中点为由，消去得由，解得：所以，因为点在曲线上所以解得：或【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，关键是能够通过联立，将中点坐标利用韦达定理表示出来，从而利用点在曲线上构造方程，求得结果.20.已知函数（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）求函数的单调区间.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）利用解析式求出切点坐标，再利用导数求出切线斜率，从而得到切线方程；（2）求导后可知导函数的正负由的符号决定；分别在，和三种情况下讨论的正负，从而得到导函数的正负，进而确定的单调区间；在讨论时要注意的定义域与的根的大小关系.【详解】当时，，则又，所以在处的切线方程为，即（2）由函数，得：当时，又函数的定义域为所以的单调递减区间为当时，令，即，解得：当时，所以变化情况如下表：极小值所以的单调递减区间为，；单调递增区间为当时，所以变化情况如下表：所以的单调递增区间为；单调递减区间为，【点睛】本题考查利用导数的几何意义求解切线方程、讨论含参数函数的单调性问题；解决含参函数单调性问题的关键是对于影响导函数符号的式子的讨论；本题的易错点是在讨论过程中忽略最高次项系数为零的情况和函数的定义域的影响.21.袋中装有黑色球和白色球共个，从中任取个球都是白色球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸出个球，甲先摸，乙后摸，然后甲再摸，，摸后均不放回，直到有一个人摸到白色球后终止，每个球在每一次被摸出的机会都是等可能的，用表示摸球终止时所需摸球的次数. （1）求随机变量的分布和均值；（2）求甲摸到白色球的概率. 【答案】(1)分布列见解析，E (X )＝2. (2) P (A )＝.【解析】分析：（1）由已知先出白子个数，进而可得随机变量X 的概率分布列和数学期望；（2）记事件A 为“甲摸到白色球”，则事件A 包括以下三个互斥事件：A 1＝“甲第1次摸球时摸出白色球”；A 2＝“甲第2次摸球时摸出白色球”；A 3＝“甲第3次摸球时摸出白色球”，利用互斥事件概率加法公式可得. 详解：设袋中白色球共有x 个，x ∈N *且x ≥2，则依题意知＝，所以＝，即x 2－x －6＝0，解得x ＝3(x ＝－2舍去)．(1)袋中的7个球，3白4黑，随机变量X 的所有可能取值是1,2,3,4,5.P (X ＝1)＝＝，P (X ＝2)＝＝，P (X ＝3)＝＝，P (X ＝4)＝＝，P (X ＝5)＝＝.随机变量X 的分布列为所以E (X )＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝2.(2)记事件A 为“甲摸到白色球”，则事件A 包括以下三个互斥事件：A 1＝“甲第1次摸球时摸出白色球”； A 2＝“甲第2次摸球时摸出白色球”； A 3＝“甲第3次摸球时摸出白色球”．依题意知，P (A 1)＝＝，P (A 2)＝＝，P (A 3)＝＝，所以甲摸到白色球的概率为P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.点睛：本题考查的知识点是古典概型的概率计算公式，随机变量的分布列和数学期望，互斥事件概率加法公式. 22.已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为（1）求圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于点，若点的坐标为，求【答案】(1).(2).【解析】（1）由，可得，即．（2）将的参数方程代入圆的直角坐标方程，可得，即．由于，故可设，是方程的两个实根，由根与系数关系可得，，又直线过点，故．23.已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】分析：(1)将代入函数解析式，求得，利用零点分段将解析式化为，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式的解集为；(2)根据题中所给的，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式可以化为时，分情况讨论即可求得结果.详解：（1）当时，，即故不等式的解集为．（2）当时成立等价于当时成立．若，则当时； 若，的解集为，所以，故．综上，的取值范围为．点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果.。